Die Gründe, die C. I. Lewis [5], [6] bewogen haben, neben der gewöhnlichen Implikation eine strikte Implikation einzuführen, sind bekannt. In der vorliegenden Arbeit wird aus ähnlichen Gründen eine strenge Implikation eingeführt, die jedoch einen engeren Begriff darstellt als die strikte Implikation. Mit einer Arbeit von Arnold Schmidt [7] hat meine nur geringe Berührungspunkte, da der Verfasser sich mit der strikten Implikation beschäftigt. Für diese wird ein relativ einfaches Axiomensystem angegeben und gezeigt, wie man durch geeignete Definitionen von Notwendigkeit und (...) Möglichkeit bei eventueller Hinzufügung von Zusatzaxiomen die bekannten Systeme des Modalitätenkalküls erhält. Den Hauptteil meiner Arbeit bildet die Einführung meines Implikationsbegriffs; im zweiten Teil der Arbeit komme ich dann auf dieser Basis auch zu einer Einführung der Modalitäten.Um die Art der Einführung des Kalküls zu motivieren, wollen wir kurz auf das eingehen, das uns mehr oder weniger deutlich vorschwebt, wenn wir von der strengen Implikation sprechen. Die strenge Implikation, die wir durchA → Bwiedergeben, soll ausdrücken, daß zwischenAundBein logischer Zusammenhang besteht, daß der Inhalt vonBein Teil des Inhaltes vonAist, oder wie wir es sonst ausdrücken wollen. Das hat mit der Richtigkeit oder Falschheit vonAundBnichts zu tun. So würde man die Allgemeingültigkeit einer FormelA→ (B → A) ablehnen, da sie den Schluß vonAaufB → Aeinschließt und da die Richtigkeit vonAnichts damit zu tun hat, ob zwischenBundAein logischer Zusammenhang besteht. (shrink)

Die vorliegenden Untersuchungen haben sich aus solchen entwickelt, die ich an andrer Stelle früher veröffentlichte. Die Kenntnis dieser früheren Arbeit wird in keiner Weise hier vorausgesetzt und ist für das folgende unwesentlich. Es sei mir jedoch gestattet, für den Kenner der früheren Arbeit einige Bemerkungen voraufzuschicken. In der genannten Arbeit hatte ich, angeregt ursprünglich durch Gedankengänge von Herrn Behmann, ein typenfreies System der Logik aufgebaut, das allein auf dem Gedanken fußte, daß der Definitionsbereich der Prädikate im allgemeinen beschränkt ist, sodaß (...) nur bestimmte Zusammenstellungen von Prädikaten und Dingen sinnvolle, d.h. wahre oder falsche Aussagen ergeben, und das diesen Gesichtspunkt meiner Meinung nach konsequent durchführte. Eine anschließende Arbeit sollte dann die Widerspruchsfreiheit des Systems untersuchen. Diese Untersuchung ist inzwischen geschehen. Es zeigte sich, daß sich die Widerspruchsfreiheit des Systems nur dann beweisen ließ, falls die in ihm enthaltene Vollständigkeit von → die sich durch das Bestehen eines Deduktionstheorems zeigte, fallen gelassen wurde. Die Grundformeln (13) und (14) mußten wegbleiben. Die Widerspruchsfreiheit des restlichen Systems ließ sich dann durch eine dem System eigentümliche Methode der Beweistransformation zeigen.Diese anschließienden Untersuchungen, die ihrer Zeit nicht mehr veröffentlicht werden konnten, sind inzwischen durch die vorliegenden überholt. Es war das Unbefriedigende bei dem genannten Aufbau, daß hinterher doch wieder eine Einschränkung gemacht werden mußte, die sich nicht aus den zugrunde gelegten Prinzipien ergab, sondern von ihnen aus unvorhergesehen war. Diese Einschränkung bewirkte übrigens, daß keine volle Zahlentheorie in dem System zu gewinnen war. (shrink)

Die vorliegenden Untersuchungen haben sich aus solchen entwickelt, die ich an andrer Stelle früher veröffentlichte. Die Kenntnis dieser früheren Arbeit wird in keiner Weise hier vorausgesetzt und ist für das folgende unwesentlich. Es sei mir jedoch gestattet, für den Kenner der früheren Arbeit einige Bemerkungen voraufzuschicken. In der genannten Arbeit hatte ich, angeregt ursprünglich durch Gedankengänge von Herrn Behmann, ein typenfreies System der Logik aufgebaut, das allein auf dem Gedanken fußte, daß der Definitionsbereich der Prädikate im allgemeinen beschränkt ist, sodaß (...) nur bestimmte Zusammenstellungen von Prädikaten und Dingen sinnvolle, d.h. wahre oder falsche Aussagen ergeben, und das diesen Gesichtspunkt meiner Meinung nach konsequent durchführte. Eine anschließende Arbeit sollte dann die Widerspruchsfreiheit des Systems untersuchen. Diese Untersuchung ist inzwischen geschehen. Es zeigte sich, daß sich die Widerspruchsfreiheit des Systems nur dann beweisen ließ, falls die in ihm enthaltene Vollständigkeit von → die sich durch das Bestehen eines Deduktionstheorems zeigte, fallen gelassen wurde. Die Grundformeln (13) und (14) mußten wegbleiben. Die Widerspruchsfreiheit des restlichen Systems ließ sich dann durch eine dem System eigentümliche Methode der Beweistransformation zeigen.Diese anschließienden Untersuchungen, die ihrer Zeit nicht mehr veröffentlicht werden konnten, sind inzwischen durch die vorliegenden überholt. Es war das Unbefriedigende bei dem genannten Aufbau, daß hinterher doch wieder eine Einschränkung gemacht werden mußte, die sich nicht aus den zugrunde gelegten Prinzipien ergab, sondern von ihnen aus unvorhergesehen war. Diese Einschränkung bewirkte übrigens, daß keine volle Zahlentheorie in dem System zu gewinnen war. (shrink)

ZusammenfassungDer Verfasser geht auf Beziehungen zwischen dem von C. I. Lewis eingeführten Begriff der « strikten » Implikation und dem von ihm selbst eingeführten Begriff der « strengen » Implikation ein. Er zeigt, dass sich innerhalb des Systems der strengen Implikation ein weiterer Folgebegriff definieren lässt, der alle Eigenschaften hat, die von der strikten Implikation verlangt werden. Als dieser Folgebegriff wird genommen, dass die Konjunktion von A und dem Gegenteil von B unmöglich ist, was in dem System der strengen Implikation (...) keineswegs damit identisch ist, dass A in strenger Weise B impliziert. Das System der strikten Implikation wird dabei in einer von Arnold Schmidt gegebenen Form zugrunde gelegt.RésuméIl s'agit des relations entre la conception d'implication stricte introduite par C. I. Lewis et la conception de « strenge » implication introduite par l'auteur. L'auteur indique qu'une conception d'implication se laisse définir dans le système de « strenge » implication qui a toutes les qualités d'implication stricte. La définition est la suivante: A implique B a ce sens si la conjonction de A et non B est impossible ce qui n'équivaut pas à la proposition qu'il y a de « strenge » implication de A à B. Le système d'implication stricte est considéré sous la forme qui lui a été donnée par Arnold Schmidt.In this paper the author enters into the particulars of the relations of the concept of « strict » implication introduced by C. I. Lewis with the concept of « strenge » implication introduced by himself. He points out that within the system of « strenge »implication a further concept of implication may be defined which has all the qualities of strictimplication. The definition is the following: A implies B in this sense if the conjunction of A and non‐B is impossible, which is not the same as the « strenge » implication between A and B. The system of strict implication is taken in the form as formerly given by Arnold Schmidt. (shrink)

Three indexes have been compiled: authors of main articles (including our special departments such as ‘Projects in progress’ and ‘Notes and discussions’); essay reviews; and book reviews. Co-author...

Die theoretische Logik, auch mathematische oder symbolische Logik genannt, ist eine Ausdehnung der fonnalen Methode der Mathematik auf das Gebiet der Logik. Sie wendet fUr die Logik eine ahnliche Fonnel­ sprache an, wie sie zum Ausdruck mathematischer Beziehungen schon seit langem gebrauchlich ist. In der Mathematik wurde es heute als eine Utopie gelten, wollte man beim Aufbau einer mathematischen Disziplin sich nur der gewohnlichen Sprache bedienen. Die groBen Fortschritte, die in der Mathematik seit der Antike gemacht worden sind, sind zum (...) wesentlichen Teil mit dadurch bedingt, daB es gelang, einen brauchbaren und leistungsfahigen Fonnalismus zu finden. - Was durch die Formel­ sprache in der Mathematik erreicht wird, das solI auch in der theoretischen Logik durch diese erzielt werden, namlich eine exakte, wissenschaftliche Behandlung ihres Gegenstandes. Die logischen Sachverhalte, die zwischen Urteilen, Begriffen usw. bestehen, finden ihre Darstellung durch Formeln, deren Interpretation frei ist von den Unklarheiten, die beim sprachlichen Ausdruck leicht auftreten konnen. Der Dbergang zu logischen Folgerungen, wie er durch das SchlieBen geschieht, wird in seine letzten Elemente zerlegt und erscheint als fonnale Umgestaltung der Ausgangsfonneln nach gewissen Regeln, die den Rechenregeln in der Algebra analog sind; das logische Denken findet sein Abbild in einem LogikkalkUl. Dieser Kalkiil macht die erfolgreiche Inangriffnahme von Problemen moglich, bei denen das rein inhaltliche Denken prinzipiell versagt. Zu diesen gehort z. B. (shrink)