Le nom de Jean Cavailles evoque pour les uns le heros de la Resistance, le combattant intrepide fusille a 40 ans par les Allemands, pour les autres le philosophe brillant qui a propose une conception neuve de la pensee logique. Cet homme ne fait pourtant qu'un, l'unite de la pensee abstraite et de l'action concrete s'arrimant chez lui dans une meme disposition ethique, disposition a prendre des risques, a vivre le risque - theorique ou pratique - comme la solution exigee (...) par un probleme rationnellement pose. Or ce chemin qui va de la position d'un probleme theorique a l'invention de sa solution, le philosophe Cavailles se demande s'il est necessaire ou contingent. L'apparition de la theorie des ensembles de Cantor par exemple est-elle le fruit necessaire du developpement de la mathematique ou bien un evenement contingent qui aurait non seulement pu ne pas se produire mais se produire selon une autre modalite? Mais si plusieurs mathematiques differentes peuvent coexister, n'est-ce pas le modele le plus rigoureux du savoir qui perd d'un coup son unite et sa necessite? Le probleme de Cavailles est de trouver comment d'un univers ancien peut sortir un nouvel univers, comment on peut allier la continuite de la demarche rationnelle et la rupture des concepts. Ce sont les voies utilisees par Cavailles pour resoudre cette question que le livre d'Hourya Benis Sinaceur degage avec une grande clarte. Loin de perdre le lecteur profane dans des considerations mathematiques et logiques qui le depasseraient, l'auteur s'emploie a cerner l'originalite de la pensee philosophique de Cavailles, en montrant comment il fait jouer les unes contre les autres les sources philosophiques auxquelles il puise pour construire une histoire du sens absolument singuliere, irreductible a l'une ou l'autre des philosophies qui l'alimentent pourtant. Entre Frege et Bolzano du cote d'une conception objectiviste des idees, et Hegel et Husserl du cote d'une logique subjectiviste, c'est-a-dire de la conscience, Cavailles tisse une voie moyenne une dialectique materielle (du contenu) sans sujet. L'auteur Ancienne eleve de l'Ecole Normale Superieure et docteur d'Etat es Lettres, Hourya Benis Sinaceur est directrice de recherche emerite au Centre National de la Recherche Scientifique. Membre du comite national d'histoire et philosophie des sciences de l'Academie internationale d'histoire des sciences, elle dirige aujourd'hui une collection d'histoire et de philosophie des sciences chez Vrin. Elle est l'auteur de: - Corps et Modeles, Paris, Vrin, Collection Mathesis, 1991, 2e edition 1999. - Le labyrinthe du continu (co-edition avec SALANSKIS J.-M.), Springer-Verlag France, 1992. - Les paradoxes de l'infini, edition francaise, avec notes et introduction, de BOLZANO Bernard, Die Paradoxien des Unendlichen, Paris, Le Seuil, 1993. - Jean Cavailles, Philosophie mathematique, Paris, PUF, 1994. - La creation des nombres, edition francaise de DEDEKIND Richard, avec notes et introductions, Paris, Vrin, Collection Mathesis, 2008. (shrink)

Mathematical abstraction is the process of considering and ma­nipulating operations, rules, methods and concepts divested from their refe­rence to real world phenomena and circumstances, and also deprived from the content connected to particular applications. There is no one single way of per­forming mathematical abstraction. The term “abstraction” does not name a unique procedure but a general process, which goes many ways that are mostly simultaneous and intertwined; in particular, the process does not amount only to logical subsumption. I will consider (...) comparatively how philosophers consi­der abstraction and how mathematicians perform it, with the aim to bring to light the fundamental thinking processes at play, and to illustrate by signifi­cant examples how much intricate and multi-leveled may be the combination of typical mathematical techniques which include axiomatic method, invariance principles, equivalence relations and functional correspondences. (shrink)

Après le rappel de différents contextes dans lesquels a émergé et s’est affirmée en Allemagne au xixe siècle l’idée de philosophie scientifique, l’article a pour objectif une description de la conception de Reichenbach, contrastée avec celle de plusieurs membres du Cercle de Vienne. Je montre en particulier le lien épistémologique et institutionnel entre le groupe de Reichenbach à Berlin et celui de Göttingen autour de Hilbert. J’esquisse aussi un rapprochement entre certains traits caractéristiques de la position de Reichenbach et la (...) conception régionale de l’épistémologie historique française. L’axiomatique et la métamathématique de Hilbert sont bien entendu une racine commune aux orientations suivies par Reichenbach et les épistémologues français des mathématiques. Mais l’impact de la théorie de la relativité, de la mécanique quantique et du calcul des probabilités ne fut pas moins grand et renouvela en profondeur les concepts de temps, d’espace, de substance, de cause et de loi dans une mise en question des thèses du transcendantalisme kantien qui tourna l’intérêt vers les pratiques scientifiques effectives. (shrink)

Ce livre resulte de recherches sur les transformations recentes d'un concept aussi vieux que la mathematique elle-meme, celui de nombre reel. De l'analyse classique a l'algebre moderne et de celle-ci a la theorie des modeles, on trace ici le parcours singulier d'une alliance reussie des mathematiques et de la logique. La structure algebrique de corps reel clos et la theorie elementaire de cette structure conduisent a deplacer la frontiere du champ d'intervention des concepts analytiques dans de nombreux problemes. S'il est (...) possible de songer aujourd'hui a une philosophie des mathematiques, on ne pourra negliger le materiau ici presente, l'auteur mettant en valeur les elements qui invitent a repenser le rapport de cette science a la logique en qui, aujourd'hui, elle decouvre pour ses multiples facettes une partenaire universelle. (shrink)

Mathematical abstraction is the process of considering and ma­nipulating operations, rules, methods and concepts divested from their refe­rence to real world phenomena and circumstances, and also deprived from the content connected to particular applications. There is no one single way of per­forming mathematical abstraction. The term “abstraction” does not name a unique procedure but a general process, which goes many ways that are mostly simultaneous and intertwined; in particular, the process does not amount only to logical subsumption. I will consider (...) comparatively how philosophers consi­der abstraction and how mathematicians perform it, with the aim to bring to light the fundamental thinking processes at play, and to illustrate by signifi­cant examples how much intricate and multi-leveled may be the combination of typical mathematical techniques which include axiomatic method, invariance principles, equivalence relations and functional correspondences. (shrink)

This article presents Tarski's Address at the Princeton Bicentennial Conference on Problems of Mathematics, together with a separate summary. Two accounts of the discussion which followed are also included. The central topic of the Address and of the discussion is decision problems. The introductory note gives information about the Conference, about the background of the subjects discussed in the Address, and about subsequent developments to these subjects.

Après le rappel de différents contextes dans lesquels a émergé et s’est affirmée en Allemagne au xixe siècle l’idée de philosophie scientifique, l’article a pour objectif une description de la conception de Reichenbach, contrastée avec celle de plusieurs membres du Cercle de Vienne. Je montre en particulier le lien épistémologique et institutionnel entre le groupe de Reichenbach à Berlin et celui de Göttingen autour de Hilbert. J’esquisse aussi un rapprochement entre certains traits caractéristiques de la position de Reichenbach et la (...) conception régionale de l’épistémologie historique française. L’axiomatique et la métamathématique de Hilbert sont bien entendu une racine commune aux orientations suivies par Reichenbach et les épistémologues français des mathématiques. Mais l’impact de la théorie de la relativité, de la mécanique quantique et du calcul des probabilités ne fut pas moins grand et renouvela en profondeur les concepts de temps, d’espace, de substance, de cause et de loi dans une mise en question des thèses du transcendantalisme kantien qui tourna l’intérêt vers les pratiques scientifiques effectives. (shrink)

Mathematical abstraction is the process of considering and ma­nipulating operations, rules, methods and concepts divested from their refe­rence to real world phenomena and circumstances, and also deprived from the content connected to particular applications. There is no one single way of per­forming mathematical abstraction. The term “abstraction” does not name a unique procedure but a general process, which goes many ways that are mostly simultaneous and intertwined; in particular, the process does not amount only to logical subsumption. I will consider (...) comparatively how philosophers consi­der abstraction and how mathematicians perform it, with the aim to bring to light the fundamental thinking processes at play, and to illustrate by signifi­cant examples how much intricate and multi-leveled may be the combination of typical mathematical techniques which include axiomatic method, invariance principles, equivalence relations and functional correspondences. (shrink)

La question fondamentale d’Albert Lautman concerne la nature du réel et la capacité de l’esprit de l’appréhender. C’est pourquoi elle convoque les données de la physique, leur expression en concepts mathématiques et leur interprétation métaphysique qui doit préciser le rapport de la pensée humaine à la réalité du monde. L’examen des théories mathématiques les plus sophistiquées de son temps est destinée à montrer l’affinité de la genèse des concepts mathématiques avec une Dialectique supérieure, qui met en jeu les Idées, comprises (...) en un sens dérivé de Platon. Mon but est d’expliquer comment Lautman comprend les termes « Dialectique », « Idée », « genèse », simultanément sur le plan métaphysique et dans leur incarnation mathématique. Je montrerai que Lautman développe une conception très personnelle du platonisme, différente de celle de la version reçue par la tradition philosophique. Lautman rejette la séparation des Idées et du sensible, et adopte le style de pensée heideggerien pour montrer que les Idées sont mues par une Dialectique et qu’elles entretiennent une relation réciproque, dialectique, avec le sensible.Albert Lautman’s main questioning was about the nature of reality and the capacity of mind to grasp reality. The answer needs to go at the same time into the laws and tools of physics and the corresponding concepts of mathematics, and to search for the metaphysical interpretation that could give an account of the relation between scientific thought and reality. The examination of the most sophisticated mathematical theories was intended to show the affinity between the generation of mathematical concepts and the dialectical movement of Ideas. My aim is to explain how Lautman understood ‘Idea’, ‘Dialectic’, ‘genesis’ at once in a mathematical and in a metaphysical meaning. I will point out that Lautman had a very personal conception of Platonism, very different from Platonism of mathematicians of his time and very different from the traditional interpretation developed in philosophy. Lautman did not assume the separation between Ideas and the sensible world. By contrast, he adopted the Heideggerian style of thought to show the Dialectic between Ideas and the reciprocal relation between Ideas and the sensible. (shrink)

Dans le deuxième volume, inédit, de La Philosophie de l’Algèbre, Jules Vuillemin fait une lecture inattendue et suggestive de l’œuvre de Richard Dedekind. Nous avons essayé de comprendre, en mobilisant les idées et outils de Vuillemin, les résultats de cette lecture. Ceux-ci nous semblent poser en particulier le problème des rapports entre histoire des sciences et philosophie des sciences. Notre article propose un diptyque pour présenter les questions que nous avons voulu poser au texte de Vuillemin. D’une part, nous analysons (...) de quelle manière Vuillemin continue et approfondit le travail de Jean Cavaillès. D’autre part, nous souhaitons accentuer la distance qu’établit Vuillemin entre l’histoire mathématique et son interprétation par les filiations conceptuelles qu’il propose comme essentiellement distinguées des relations historiques. (shrink)

Neurosciences and cognitive sciences provide us with myriad empirical findings that shed light on hypothesised primitive numerical processes in the brain and in the mind. Yet, the hypotheses on which the experiments are based, and hence the results, depend strongly on sophisticated abstract models used to describe and explain neural data or cognitive representations that supposedly are the empirical roots of primary arithmetical activity. I will question the foundational role of such models. I will even cast doubt upon the search (...) for a general and unified philosophical foundation of an empirical science. First, it seems to me hard to draw a global and coherent view from the innumerable and piecemeal neuropsychological experiments and their variable, and sometimes uneasily compatible or fully divergent interpretations. Secondly, I think that the aim of empirical research is to describe dynamical processes, establishing correlations between different sets of data, without meaning to fix an origin or to point to a cause, let alone to a ground. From the very scientific and philosophical point of view it is essential to distinguish between explanations, which provide correlations or, at best, causal mechanisms, and grounding, which involves a claim to some form of determinism. (shrink)

Part I of Frege’s Grundgesetze is devoted to the “exposition [Darlegung]” of his formal system.

This article presents Tarski's Address at the Princeton Bicentennial Conference on Problems of Mathematics, together with a separate summary. Two accounts of the discussion which followed are also included. The central topic of the Address and of the discussion is decision problems. The introductory note gives information about the Conference, about the background of the subjects discussed in the Address, and about subsequent developments to these subjects.

Both Frege's Grundgesetze, and Lagrange's treatises on analytical functions pursue a foundational purpose. Still, the former's program is not only crucially different from the latter's. It also depends on a different idea of what foundation of mathematics should be like . Despite this contrast, the notion of function plays similar roles in their respective programs. The purpose of my paper is emphasising this similarity. In doing it, I hope to contribute to a better understanding of Frege's logicism, especially in relation (...) to its crucial differences with a set-theoretic foundational perspective. This should also spread some light on a question arisen by J. Hintikka and G. Sandu in a widely discussed paper, namely whether Frege should or should not be credited with the notion of arbitrary function underlying our standard interpretation of second-order logic. In section 1, I account for Lagrange's notion of function. In section 2, I advance some remarks on connected historical matters. This will provide an appropriate framework for discussing the role played by the notion of function in Frege's Grundgesetze. Section 3 is devoted to this. Some concluding remarks will close the paper. (shrink)