La proposition 14 du livre V

dans l'économie

des Eléments d'Euclide

Nous voulons ici attirer l'attention sur la manière dont le texte des Eléments d'Euclide, tel qu'il nous est parvenu, applique (ou apparemment n'applique pas, là où l'on attendrait qu'il l'appliquât) la proposition 14 de son livre V, sur les conclusions qu'on peut tirer de ces observations, et les éventuelles corrections du texte qu'on peut être amené à proposer à leur suite. La version des Eléments sur laquelle nous appuierons notre étude est évidemment celle de l'édition Heiberg (1), sur laquelle déjà s'appuyait la traduction et le commentaire de Heath (2).

On sait que le livre V des Eléments, dont une certaine tradition attribue, pour le contenu, la paternité à Eudoxe de Cnide, expose une théorie des grandeurs en général et des proportions entre grandeurs. Les quatre premiers livres, en effet, réunissaient des problèmes ou des théorèmes résolubles ou démontrables sans le moindre recours à cette notion de proportion, qui fait donc au livre V sa première apparition (3). La proposition 14 de ce livre (proposition que nous désignerons désormais par « 14-V ») est ainsi rédigée (4) :

« Si une première grandeur a la même raison à une deuxième qu'une troisième à une quatrième et que la première soit plus grande que la troisième, la deuxième sera aussi plus grande que la quatrième; si la première est égale à la troisième, la deuxième sera égale à la quatrième; et, si la première est plus petite que la troisième, la deuxième sera plus petite que la quatrième. »