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Urbild und Abbild. Leibniz, Kant und Hausdorff über das Raumproblem

The Original and the Copy. Leibniz, Kant and Hausdorff on the Problem of Space

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Journal for General Philosophy of Science Aims and scope Submit manuscript

Abstract

The article attempts to reconsider the relationship between Leibniz’s and Kant’s philosophy of geometry on the one hand and the nineteenth century debate on the foundation of geometry on the other. The author argues that the examples used by Leibniz and Kant to explain the peculiarity of the geometrical way of thinking are actually special cases of what the Jewish-German mathematician Felix Hausdorff called “transformation principle”, the very same principle that thinkers such as Helmholtz or Poincaré applied in a more general form in their celebrated philosophical writings about geometry. The first two parts of the article try to show that Leibniz’s and Kant’s philosophies of geometry, despite their differences, appear to be preoccupied with the common problem of the impossibility to grasp conceptually the intuitive difference between two figures (such as a figure and its scaled, displaced or mirrored copy). In the third part, it is argued that from the perspective of Hausdorff’s philosophical-geometrical reflections, this very same problem seems to find a more radical application in Helmholtz’s or Poincaré’s thought experiments on the impossibility of distinguishing distorted copies of our universe from the original one. I draw the conclusion that in Hausdorff’s philosophical work, which has received scholarly attention only recently, one can find not only an original attempt to frame these classical arguments from a set-theoretical point of view, but also the possibility of considering the history of philosophy of geometry from an uncommon perspective, where especially the significance of Kant’s infamous appeal to “intuition” can be judged by more appropriate standards.

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Notes

  1. Für einen viel anspruchsvolleren Versuch vgl. vor allem die Arbeiten von Michael Friedmann, insbesondere Friedman (1992). Vgl. auch Friedman (2002).

  2. So z.B. Rudolf Carnap: „Diese einfachen Tatsachen der Geometrie, so sagte Kant, sehen wir unmittelbar. Wir begreifen ihre Wahrheit intuitiv“ (Carnap 1974, 128). Dagegen versteht Reichenbach unter „Anschauung“ vor allem die Verwendung von gezeichneten Figuren in der Geometrie. In der englischen Übersetzung von (Reichenbach 1977)wird deswegen Anschauung mit „visualization“ übersetzt (vgl. Reichenbach 1958, 83, Anm. 82). Gegen diese Auffassung, dass Anschauung „something you can visualize“ (Hintikka 1992, 23) sei, hat sich vor allem Jakko Hintikka geäußert, der „Anschauung“ vielmehr als Individualitätsbezug interpretiert: „There is, we may say, nothing ‘intuitive' about intuitions so defined. Intuitivity means simply individuality“ (Hintikka 1992, 23); s.u. Anm. 16.

  3. Für biographische Informationen über Hausdorff vgl. Epple (2007); Purkert (2008).

  4. Die vorliegende Arbeit nimmt auf folgende Texte des Nachlasses Bezug: Kapsel 24; Fasz. 71: Zeit und Raum, Vorlesung Universität Leipzig (WS 1903/04); Kapsel 48; Fasz. 994: Nichteuklidische Geometrie. Populärwissenschaftlicher Aufsatz [nach 1899, vermutl. 1902–1904]; Kapsel 49; Fasz. 1067: Raum und Zeit (Leipzig, vermutl. 1904); Kapsel 49; Fasz. 1077: Ähnlichkeit, Absolute und Relative Bewegung, Der Raum als Ganzes (Leipzig, vermutl. 1895–1910); Kapsel 49; Fasz. 1079: Transformationsprincip (Leipzig, vermutl. 1895–1910). Die Publikation dieses Materials ist in Hausdorff (2010) vorgesehen. Ich bedanke mich sehr herzlich bei Prof. Walter Purkert (Universität Bonn), der mir den Zugang zum Hausdorff-Nachlass ermöglichte und Entwürfe dieses Aufsatzes kommentierte. Großer Dank gebührt auch einem der anonymen Begutachter, dessen Bemerkungen sehr hilfreich für die Verbesserung der erste Version dieses Aufsatzes gewesen sind.

  5. Hermann Weyl betrachtet Leibniz’ Ähnlichkeitsdefinition als die erste anschauliche Definition von Automorphismus, einer strukturerhaltenden Abbildung einer Menge auf sich selbst: „Ein Automorphismus führt eine Figur in eine andere über, die, um mit Leibniz zu reden, ,von ihr unterscheidbar ist, wenn jede der beiden Figuren für sich betrachtet wird‘ (Weyl 1955; vgl. auch Mainzer 1988, 142ff.). Das ist meines Erachtens ein Hinweis auf die Möglichkeit, einen Vergleich der Leibniz’schen Definition mit der späteren Entwicklung der Mathematik durchzuführen.

  6. Es wird hier selbstverständlich nicht der Anspruch erhoben, das geometrische Raumproblem bei Leibniz ausführlich zu behandeln. Die jüngste umfassende Gesamtdarstellung findet man in De Risi (2007). Grundlegend für die folgende Darstellung bleibt aber immer noch Schneider (1988). Zu erwähnen sind auch Münzenmayer (1979); Wallwitz (1991); Mugnai (1992, 88ff.). Immer noch nützlich sind auch die Klassiker: Couturat (1961, Kap. IX), Cassirer (1998, Kap. III).

  7. „Figura in universum praeter quantitatem continet qualitatem seu forma; et quemadmodum aequalia sunt quorum eadem est magnitudo, ita similia sunt quorum eadem est forma.“ (GM V, 179; De analysi situs).

  8. „Similia sunt, in quibus per se singulatim consideratis inveniri non potest quo discernantur, ut duo sphaerae vel circuli (vel duo cubi aut duo quadrata perfecta) A et B […] Ut si solus oculus sine aliis membris fingantur, nunc esse intra sphaeram A nunc intra sphaeram B, non poterit eas discernere, sed poterit si ambas simul spectet, vel si secum membra alia corporis aliamve mensuram introrsum afferat, quam nunc uni nunc alteri applicet. Itaque ad similia discernenda opus est vel compraesentia eorum inter se, vel tertii cum singulis successive. [At in dissimilibus aliqua partium proportio notata in uno, quae non notatur in altero, sufficit ad discernendum sigillatim]”. (GM VII, 30; Initia mathematica, De quantitate).

  9. „[C]'est-à-dire par leur comparaison intuitive“ (Couturat 1961, 412).

  10. „At si quemadmodum alibi jam dixi Deus omnia mutaret proportione eadem servata perisset nobis omnis mensura, nec possemus scire quantum res mutatae sint, quoniam mensura nulla certa definitione comprehendi adeoque nec memoria retineri potest, sed opus est reali ejus conservatione. Ex quibus omnibus discrimen inter magnitudinem et speciem inter quantitatem et qualitatem elucere arbitror.“ (GM VII, 276; Specimen Geometriae Luciferae).

  11. „Enim alius possit esse circulus pedalis, alius semipedalis etc., tamen pedis nulla dari potest definitio, sed opus est typo aliquo fixo et permanente.“ (GM VII, 276).

  12. Zu Leibniz’ Kongruenzbegriff vgl. Couturat (1961, 412), Cassirer (1998, 140ff.) Schneider (1988, 173ff.), De Risi (2007, 137ff).

  13. „Si vero duae res non tantum sunt similes sed et aequales, id est si sint congruae etiam simul perceptas non discernere possum, nisi loco id est, nisi adhuc aliud assumant extra ipsas et observem ipsas diversum habere situm ad tertium assumtum. Denique si ambo simul in eodem sint loco, jam nihil habere me amplius quo discriminentur.” (GM V, 155; Charachteristica geometrica).

  14. „Congrua sunt quae sola comperceptione cum tertio discerni possunt […] Congrua itaque sunt, quorum qualitas et quantitas eadem est, et quae tamen positione discernuntur.’ (LA VI.4a 565)

  15. „unum alio orientalius aut occidentalius vel septentrionalius aut meridionalius vel superius aut inferius esse vel alteri alicui corpori extra ipsa posito esse propius.” (GM VII, 275f.)

  16. „Ainsi l'hypothese, que l'univers auroit eu d'abord une autre position du temps et du lieu que celle qui est arrivée effectivement, et que pourtant toutes les parties de l'univers auroient eu la même position entre elles, que celle qu'elles ont receue en effect, est une fiction impossible.” (GP VII, 372; Streitschriften zwischen Leibniz u. Clarke. Leibniz' viertes Schreiben).

  17. „[I]l est impossible qu'il y ait une raison, pourquoy Dieu, gardant les mêmes situations des corps entre eux, ait placé les corps dans l'espace ainsi et non pas autrement, et pourquoy tout n'a pas eté mis à rebours (par exemple) par un échange de l'orient et de l'occident [….] ces deux etats, l'un tel qu'il est, l'autre supposé à rebours, ne differeroient point entre eux. (GP VII, 364; Streitschriften zwischen Leibniz u. Clarke. Leibniz’ drittes Schreiben). Nicht alle Interpreten sind sich darüber einig, dass es in Leibniz’ Beispiel um eine Spiegelung geht. Es könnte sich nämlich auch um eine Drehung um 180° handeln (vgl. z.B. Mates 1986, 233). Die These der Spiegelung wird dagegen von Weyl (1955, 28f.) und Max Jammer (1954, 223–226) vertreten. John Earman hält beide Interpretationen für korrekt (vgl. Earman 1989, 173).

  18. „Sed dextrum a sinistro discerni non potest [….] nisi facto ipso, seu perceptione, dum ab uno latere motum commodiorem quam ab alio homines experiuntur“ (Leibniz 1903, Phil VII, D, II, 2, f. 30).

  19. „une identité, une chose qui soit veritablement la même“ (GP VII, 401; Streitschriften zwischen Leibniz u. Clarke. Leibniz’ fünftes Schreiben).

  20. Vgl. dazu die klassische Interpretation von Gottlob Frege: Frege (1977, 78ff.), vgl. auch Angelelli (1967, 97f.) und Ishiguro (1972, 17–34). Vgl. im Allgemeinen zu diesem Thema auch Weyl (1990, 25). „Mit dieser Einteilung der mathematischen Gegenstände in Dingklassen hat Leibniz nichts anders geleistet als was man—modern gesprochen—eine Äquivalenzklasse nennt“ (Schneider 1988, 179).

  21. Vgl. Kulstad (1957) und Maunu (2008).

  22. „Une chose exprime une autre […] lorsqu’il y a un rapport constant et reglé entre ce qui se peut dire de l’une et de l’autre. C’est ainsi qu’une projection de perspective exprime son geometral.“ (GP II, 112; Leibniz an Arnauld, September 1687; vgl. auch Leibniz (1903, Phil. I, 15) und GP VII, 263, Quid sit Idea).

  23. Für eine ausführliche Auflistung von Leibniz’ Beispielen vgl. Kulstad (1957, 56).

  24. „il y a un certain rapport exact et naturel entre ce qui est projetté et la projection, qui s’en fait, chaque point de l’un repondant suivant une certaine relation à chaque point de l’autre“ (GP V, 118; Leibniz 1996, IV, 147)

  25. „Similia, quae sibi substitui possunt salva qualitate seu ita discerni nequeant, nisi simul spectentur“ (GM VII, 196).

  26. „Omnia theoremata, omnia constructiones, omnes proprietates, proportiones, respectus, qui in uno circulo notari possunt, poterunt etiam in alio notari“ (GM VII, 276; Specimen geometriae luciferae).

  27. „Congrua sunt quae sibi substitui possunt in eodem loco“ (GM V, 172).

  28. „dans un même espace“ (GM II, 23; Leibniz an Huygens, 8. September 1879).

  29. Vgl. z.B. diese Stelle: „Car tous les points du monde ont de la congruité entre eux, c'est à dire l'un se peut tousjours mettre à la place de l'autre. Or tous les points du monde sont dans un même espace. (GM II, 23; Leibniz an Huygens 8. September 1879) [Denn zwischen allen Punkten der Welt besteht Kongruenz, d.h. der eine kann immer an die Stelle des anderen gesetzt werden. Nun befinden sich alle Punkte der Welt in einem und demselben Raume] (HGP I, 58f.). „Itaque omnia puncta sunt in eodem spatio, et ad se invicem referri possunt.“ (GM V, 144) [Daher sind alle Punkte in demselben Raum und können auf einander bezogen werden].

  30. Der Text ist von De Risi (2007, 582–585) herausgegeben (hier: 583). Vgl. auch diese Stelle: „Idem est in piano, quod est superficies intus uniformis vel sibi similis et in recta quae est linea intus sibi similis“ (GM VII, 20; Initia rerum mathematicarum metaphysica) [Ebenso verhält es sich mit der Ebene, die eine innerlich gleichförmige, in all ihren Teilen ähnliche Fläche und mit der Geraden, die eine innerlich gleichförmige Linie ist] (PW, 40). Die Existenz von Ähnlichkeitstransformationen, die keine Isometrien sind, ist, wie man weiß, eine Besonderheit der Euklidischen Geometrie, in der der Raum als „flach“ betrachtet wird.

  31. Die These einer Kontinuität zwischen Leibniz’ und Kants Raumlehre zu behaupten, obwohl Kants Diktum dem zu widersprechen scheint, hat eine wichtige Interpretationsgeschichte hinter sich, in der der Marburger Neukantianismus die vornehmste Rolle spielt. Nach Hermann Cohen konnte sogar „[d]ie Grösse von Leibniz […] erst durch Kant selbst zur Aufhellung gelangen“ (Cohen 1987, 5). Insbesondere in Bezug auf das Raumproblem versuchten die Neukantianer die Polemik Kants gegen Leibniz auf die Leibnizianer, Wolff und Baumgarten, zu verschieben: Kant habe Leibniz „zu sehr im Lichte Wolffs und der wolfschen Leibnizianer“ (Cohen 1987, 5) betrachtet. Es waren Wolff und Baumgarten, die die „Auffassung von Raum und Zeit als ,verworrene [….]‘ Ansichten der Dinge“ (Cassirer 1998, 239) vertraten. Wenn man diese Interpretation von Leibniz’ Raumlehre bestreitet, kann man sogar behaupten, dass „nicht erst Kant, sondern bereits Leibniz“ die These vertrat, „daß der Raum eine reine „Form“ sei. […] Damit war der Standpunkt der modernen Mathematik im Grunde von der Philosophie vorweggenommen.“ (Cassirer 2000, 40) Eine ähnliche Kontinuität zwischen Leibniz und Kant behauptete später—wenn auch von einem vom Problem einer Ontologie der Relationen geprägten Standpunkt aus—Gottfried Martin: „So war der Raum für Kant wie für Leibniz als ein Gefüge der Relationen und Mathematik Relationstheorie. Die Natur ist bestimmt durchaus nur als Verhältnissen bestehend, die Natur ist ein reines Relationsproblem, und mathematisch-physikalische Naturwissenschaft Relationstheorie“ (Martin 1951, 126).

  32. Die Unterscheidung zwischen „Begriff“ und „Anschauung“ und die Verbindung zwischen „Anschaulichkeit“ und „Individualität“ wurde besonders in der anglo-amerikanischen Debatte diskutiert. Vgl. dazu vor allem Hintikka (1969), Parsons (1983, 112), Howell (1973) und Smit (2000, 237f) . In Bezug auf die Geometrie vgl. Beth (1956–1957), Hintikka (1992), Friedman (1992). Das Thema einer Form von anschaulicher Verschiedenheit, die nicht begrifflich erfasst werden kann, wird auch in Simon (2003) behandelt, obwohl nicht in Bezug auf Kants Philosophie der Geometrie (vgl. aber a.a.O., 297.).

  33. Kants Quelle scheint die deutsche Schulmetaphysik des 17. Jahrhunderts zu sein. So Baumgarten: „Qua qualitatem eadem sunt SIMILIA, qua quantitatem, AEQUALIA, qua utramque, CONGRUENTIA“ (Baumgarten 1963, §70). Ähnlich schreibt Christian Wolff: „Consistit adeo congruentia in identitate & quantitatum & qualitatum“ (Wolff 1962a, §465); „Quoniam in rebus non distinguimus nisi quantitates und qualitates, in congruentibus autem & quantitates, & qualitates eadem sunt“ (Wolff 1962a, §467).

  34. Vgl. dazu vor allem Van Cleve und Frederick (1991). Nützlich sind immer noch der Anhang Das Paradoxon symmetrischer Gegenstände in Vaihinger (1970, Bd. II, 518–532) und Scaravelli (1952). An dieser Stelle soll es jedoch nicht um die Details des berühmten Kantischen Arguments und vor allem nicht um den Vergleich zwischen der vorkritischen und kritischen These Kants gehen. Vgl. dazu Gloy (1984).

  35. Vgl. Legendre (1833, 213). Zum Verhältnis zwischen Kant und Legendre vgl. Hon und Goldstein (2008, 246ff.). Über inkongruente Gegenstücke vgl. auch den Brief von Gauß an Gerling vom 8. April 1844 in Gauss (1973, VIII, 242). Für den Vergleich mit Leibniz vgl. De Risi (2007, 136ff.).

  36. „wenn man bloß auf eine derselben allein sieht“ (AA II, 382; meine Hervorhebung).

  37. Vgl. Borel (1931, 68–71). Für den Vergleich mit Leibniz vgl. De Risi (2007, 291f.).

  38. Dieses Problem wird am deutlichsten von Carl Friedrich Gauß erläutert: „Der Unterschied zwischen Rechts und Links läßt sich aber nicht definieren, sondern nur vorzeigen, so daß es damit eine ähnliche Bewandtnis hat, wie mit Süß und Bitter“ (Gauss 1973, VIII, 247, meine Hervorhebung). Gauß betont ausdrücklich, dass der Unterschied zwischen rechts und links nicht auf „Begriffe“ zurückgeführt werden kann: „Diesen Unterschied [….] kann man aber nicht auf Begriffe bringen, sondern nur aus dem Anhalten an wirklich vorhandene räumliche Dinge vorzeigen“ (a.a.O., VII, 248; meine Hervorhebung). Obwohl Gauß solche Bemerkungen gegen Kant formulierte, ist dennoch verständlich, dass die Kantianer sie als gute Erläuterung des von Kant gestellten Problems benutzen konnten: So z.B. Ernst Friederich Apelt: „Man kann also am Raume selbst Oben und Unten, Vorn und Hinten, Links und Rechts oder, wie wir sagen, verschiedene Gegenden unterscheiden, aber man kann andern die Anschauung dieses Unterschieds nur durch Nachweisung an wirklichen Gegenständen bemerklich machen.“ (Apelt 1910, 74).

  39. Manche Interpreten haben deswegen eingewandt, dass der „Unterschied“ zwischen den inkongruenten Gegenstücken eigentlich „rein begrifflich“ sei (vgl. Reidemeister 1947; Mühlhölzer 1992; Torretti 1974). Diese Behauptung beruht aber meines Erachtens auf einem Missverständnis: Die Existenz rechts- und linksorientierter Koordinatensysteme ist sicherlich rein „begrifflich“, welches von ihnen aber links- und welches rechtsorientiert ist, kann nur „anschaulich“ definiert werden (s.o. Fußnote 21). Obwohl Kant sicher nicht immer deutlich zwischen den beiden Fällen (vgl. Lyre 2005, 62) unterscheidet, scheint es dennoch plausibel, dass er sich vor allem auf das zweite Problem bezieht.

  40. „L'égalité géométrique ne se réduit pas a l'identité logique“ [Die geometrische Gleichheit ist nicht auf die logische Identität reduzierbar] (Vuillemin 1987, 338).

  41. In der heutigen Ausdrucksweise sagt man, dass alle parallelen Vektoren dieselbe „Richtung“ haben; parallele Vektoren können aber entgegengesetzte „Sinne“ darstellen. Kant benutzt in beiden Fällen das Wort „Richtung“ und er unterscheidet, wie in den Metaphysischen Anfangsgründen der Naturwissenschaft, zwischen beiden Bedeutungen des Wortes (vgl. AA IV, 483). An einer Stelle der Danziger Physik dagegen unterscheidet er zwischen „Direktion“ und „Gegend“ (vgl. AA XXIX, 113).

  42. Eine solche Interpretation scheint von einigen Autoren, die zur sogenannten aetas kantiana gehören, bestätigt werden. So z.B. Johan Schultz: „Die innern Merkmale eines Dinges heißen diejenigen, die seine Qualität und Quantität betreffen, die äußern die welche seine Stelle im Raum und in der Zeit bezeichnen“; „Dinge, die sich durch kein inneres Merkmal unterscheiden lassen, heißen an sich betrachtet vollkommen einerley […] Also können Dinge, die an sich betrachtet vollkommen einerley sind, bloß in Ansehung ihrer Stelle im Raum und in der Zeit verschieden seyn“ (Schultz 1790, 28, meine Hervorhebung). Ähnlich dazu auch Wilhelm Traugott Krug (1770–842), ab 1805 Kants Nachfolger als Professor in Königsberg: „Die Theile des Raums und der Zeit können ja selbst als völlig gleich und ähnlich gedacht und dennoch mittels der Anschauung unterschieden werden, z. B. zwei Dreiecke von gleichen Seiten und Winkeln, oder zwei Stunden, weil sie ausser (neben und nach) einander vorgestellt werden.“ (Krug 1825, 174, meine Hervorhebung.)

  43. Lazarus Bendavid, einer der ersten von Kant selbst sehr geschätzten Vertreter der kritischen Philosophie, hat meines Erachtens diesen Standpunkt sehr deutlich ausgedrückt in seinen Vorlesungen über die Kritik der reinen Vernunft (1796): „Zur Bildung eines allgemeinen Begriffes gehören bekanntermaßen, mehrere, in etwas gleiche und in etwas verschiedene Dinge, von denen man ihre individuelle Verschiedenheit weglässt und nur das behält, was ihnen gemeinschaftlich zukommt. […] Nun aber findet zwischen Raum und Raum gar kein Unterschied statt, und die Vorstellung desselben kann kein allgemeiner Betriff seyn. Wenn ich den Raum meines Zimmers von dem des Nebenzimmers unterscheide, so geschieht das, weil beyde Zimmer durch eine Wand getrennt werden. Nähme ich diese Wand weg, so wären beyde, vorhin verschiedene Räume, nur ein Raum; und eben so würde es durch Aufhebung aller Schranken eines bestimmten Raumes, überall nur einen Raum geben.“ (Bendavid 1968, 14–15). „Ein einziges Ding, das durchgängig keine Verschiedenheit hat, wird nie einen allgemeinen Begriff ausmachen“ (a.a.O. 15), sondern es ist eine Anschauung. Auch Ernst Apelt, ein Schüler von Fries, hat später die Raumanschauung auf eine ähnliche Weise interpretiert: „Kein Theil des Raumes lässt sich also von dem andern durch ein Merkmal (einen Begriff), sondern nur in der Anschauung unterscheiden. Wäre der Raum ein Begriff, so müssten seine Theile auch Begriffe oder Merkmale sein, aber die Theile des Raumes sind wiederum Räume, die sich nur dadurch von einander unterscheiden, dass sie (abgesehen von der Gestalt) eine andere Lage im Ganzen haben.“ „Wodurch ist nun diese Unterscheidung bei der Gleichartigkeit aller Theile möglich? Nicht durch einen Begriff, sondern in der Anschauung. Wäre der Raum nicht ein Gegenstand der Anschauung, so könnte man nicht zwei Punkte von einander unterscheiden, denn der Begriff des einen Punktes ist mit dem Begriff des andern Punktes völlig identisch, beide Punkte sind nur zu unterscheiden durch die Verschiedenheit ihrer Oerter im Raume. Ebenso zwei congruente Kreise oder Kugeln sind ihrer Grösse und Qualität nach vollkommen einerlei, der Verstand hat kein Merkmal, woran er die eine von der andern unterscheiden kann“ (Apelt 1910, 71).

  44. Eine solche Interpretation wird interessanterweise von Schelling vertreten: „Der Raum ist etwas ganz außer dem Begriff Liegendes (insofern hatte Kant ganz Recht, die Vorstellung des Raums für eine auf bloßer Anschauung beruhende zu erklären), wäre dieß nicht, beruhte die Vorstellung des Raums nicht auf Anschauung, sondern auf einem Begriff, so wäre es dem Geometer ganz unmöglich, sich zwei verschiedene Punkte oder überhaupt zwei congruente Ausdehnungen, z.B. zwei gleiche gerade Linien oder zwei gleiche Kreise, vorzustellen; … Bei zwei gleichen geraden Linien, zwei gleichen Kreisen, zwei gleichen Kugeln hat der Verstand nicht das mindeste innere Merkmal, wodurch er die eine von der andern unterscheiden könnte […]. Ihre Verschiedenheit besteht bloß darin, daß wir sie uns in zwei verschiedenen Oertern des Raums vorstellen. Aber diese Oerter durch irgend einen Begriff kenntlich zu machen, zu bestimmen, was rechts oder links liegt, ist durchaus nicht Sache des Verstandes, und beruht auf unmittelbarer sinnlicher Vorstellung, d. h. auf Anschauung“ (von Schelling 1856, Bd. 10, 314). In jüngerer Zeit und unter einer ganz anderen Perspektive hat vor allem Jakko Hintikka nachzuweisen versucht, dass Kant sich bei der Bestimmung der geometrischen Erkenntnisart am geometrischen Beweisverfahren Euklids orientierte (vgl. Hintikka 1969). Von diesem Standpunkt aus sollte der Raum die „infinite iterability of our process of construction“ (Friedman 1992, 61) erlauben, d.h. a priori die Möglichkeit gewährleisten, an verschiedenen Stellen des Raumes identische Konstruktionen durchzuführen.

  45. Vgl. dazu Meerbote (1981, 204). Für den Vergleich mit Leibniz vgl. De Risi (2007, 355f., Anm. 344).

  46. Das kann weiter bestätigt werden, wenn man darauf achtet, dass, wenn Kant in der Dissertatio bemerkt, dass der Unterschied zwischen links und rechts „discursive describi s. ad notas intellectuales revocari nulla mentis acie possunt“ [trotz aller Schärfe des Verstandes nicht begrifflich beschrieben, d.h. auf Verstandesmerkmale zurückgeführt werden] kann (AA II, 403) oder dass es unmöglich ist, einen solchen Unterschied „per omnia, quae notis menti per sermonem intelligibilibus efferre licet“ [durch Merkmale, die der Seele mittelst der Worte verständlich sind] zu fassen (AA II, 403; vgl. dazu Rusnock und George 1995, 270). Er greift dabei Christian Wolffs Definition der Ähnlichkeit auf, die auf Leibniz selbst zurückgeht (vgl. dazu: Poser 1979, 65). In seinem Mathematischen Lexikon schreibt Wolff: „Denn die Grösse kann man einem wohl geben und undeutlich in die Einbildung fassen, aber nicht mit Worten erklären und im Verstande deutlich begreifen.“ (Wolff 1962b, Sp. 1278 u. 1280). Kant war sicher vertraut mit dieser Definition, die er in der vorkritischen Zeit kritisiert hatte (vgl. AA II, 277).

  47. Kant folgt aber Wolff und Baumgarten, auch wenn er behauptet, dass die „Quantität“ eine „innere Bestimmung“ sei, obwohl sie einen Vergleich erfordert. Kant unterscheidet aber zwischen Quantitas und Quantum. In einer Anmerkung zu § 69 von Baumgartens Methaphysica, der zwischen qualitates und quantitates unterscheidet, bemerkt Kant: „besser quanta; daß etwas ein Qvantum sey, läßt sich absolut erkennen, wie groß aber (quantitas), nur relativ“ (vgl. auch AA XXIX, 991f.).

  48. Jules Vuillemin hat meines Erachtens die Grundlinien der hier vorgeschlagene Interpretation am besten zusammengefasst: „Les exemples que Kant allègue pour prouver la spécificité sensible de la géométrie et empêcher sa réduction à l'analyse intellectuelle appartiennent en réalité à trois domaines distincts de cette science: a) […] ni la translation ni la rotation n'altèrent ni la grandeur ni la forme des figures; b) […] la construction de figures homothétiques c) En troisième lieu, Kant utilise souvent, pour montrer l'irréductibilité de l'espace à un concept, l'exemple de l'égalité indirecte des figures […] d'après Kant, ce retournement est littéralement incompréhensible, l'analyse intellectuelle ne peut en rendre compte.“ [Die Beispiele, die Kant gibt um die sinnliche Natur der Geometrie nachzuweisen und ihre Reduktion auf eine Analyse durch den Verstand zu verhindern, gehören zu drei verschiedenen Feldern dieser Wissenschaft: a) [...] weder die Translation noch die Rotation verändern weder die Form noch die Größe der Figur; b) [...] die Konstruktion von homothetischen Figuren c) Drittens, Kant verwendet oft, um die Nichtreduzierbarkeit des Raumes auf einen Begriff zu zeigen, das Beispiel der indirekten Gleichheit der Figuren [...], diese Umwandlung ist nach Kant wörtlich unverständlich, die Analyse durch den Verstand kann davon keine Rechenschaft geben]. (Vuillemin 1987, 50–51). Mit anderen Worten führen die Automorphismen der Euklidischen Geometrie eine geometrische Figur auf eine andere über, deren Verschiedenheit durch die Begriffe der traditionellen Logik nicht ausdrückt werden kann. Vuillemin entwickelt leider diese Idee nicht weiter. Es scheint mir aber, dass Vuillemins Hinweis einen plausiblen Interpretationsschlüssel bietet, um die Unterscheidung zwischen Begriff und Anschauung in Kants Philosophie der Geometrie zu verstehen. Der von mir unternommene Vergleich zu Leibniz sollte das bestätigen. Die Tatsache, dass Kant Leibniz’ Definition der Ähnlichkeit durch Wolff kannte, zeigt, dass meine Interpretation indirekt auch historisch gestützt wird. (vgl. Anm. 30).

  49. So etwa bei Helmholtz (1903, 43), Calinon (1893, 602), Poincaré (1905, 64f., 1908, 51), Delboeuf (1893), Lechalas (1896, 198ff.), und Frege (1967, 127).

  50. „Umklappung von Handschuhen. An der zweidimensionalen Analogie zu erläutern. Unfug mit dem Handschuhproblem: Kant, Du Prel. Einwand, dass ein R4 sich überall und normaler Weise verrathen müsste. Die ,enantiomorphen Krystalle‘ (Kapsel 24: Fasz. 71, Bl. 52). Doch setzt die Inkongruenz der Gegenstücke voraus, dass der Raum orientierbar ist, denn in einem nicht-orientierbaren Raum könnten die Gegenstücke zur Kongruenz gebracht werden (vgl. Möbius 1885, 171): „Ferner das Möbius'sche Blatt: ,Einseitigkeit‘ von Flächen oder Räumen […] Hier ist Bild = Spiegelbild, so dass man zur Verwandlung rechter in linke Handschuhe nicht einmal den vierdimensionalen Raum braucht.“ (Kapsel 24: Fasz. 71, Bl. 50). Für eine Diskussion dieses Problems im Bezug auf Kant vgl. Nerlich (1991).

  51. Über die vor allem von dem Astrophysiker Friederich Zöllner entwickelte Spekulation über die reale Existenz einer nicht wahrnehmbaren vierten Raumdimension vgl. Epple (1998, 166–174).

  52. Zitat aus Du Prel (1880, 160).

  53. So Helmholtz: „Man denke an das Abbild der Welt in einem Convexspiegel. […] Das Bild eines Mannes, der mit einem Maassstab eine von dem Spiegel sich entfernende gerade Linie abmisst, würde immer mehr zusammenschrumpfen, je mehr das Original sich entfernt, aber mit seinem ebenfalls zusammenschrumpfenden Maassstab würde der Mann im Bilde genau dieselbe Zahl von Centimetern herauszählen, wie der Mann in der Wirklichkeit; überhaupt würden alle geometrischen Messungen, von Linien oder Winkeln mit den gesetzmässig veränderlichen Spiegelbildern der wirklichen Instrumente ausgeführt, genau dieselben Resultate ergeben wie die in der Aussenwelt“ (Helmholtz 1903, 43).

  54. Vgl. unter anderem diese Passage: „Il est clair que si tous les objets qui nous entourent et notre corps lui-même, ainsi que nos instruments de mesure étaient transportés dans une autre région de l'espace, sans que leurs distances mutuelles varient, nous ne nous en apercevrions pas, et c'est en effet ce qui arrive, puisque nous sommes entraînés sans nous en douter par le mouvement de la Terre. Si les objets étaient tous agrandis dans une même proportion, et qu'il en fût de même de nos instruments de mesure, nous ne nous en apercevrions pas davantage“ (Poincaré 1913, 37).

  55. Vgl. dazu Scholz (1996). In Cantor (1874) entdeckte Georg Cantor die Überzahlbarkeit des Kontinuums. Die Arbeit kann als die wissenschaftliche Geburtsstunde der Mengenlehre betrachtet werden. In Cantor (1878) machte er das Konzept der Mächtigkeit einer unendlichen Menge deutlicher, indem er die Äquivalenz eines eindimensionalen mit einem mehrdimensionalen Kontinuum bewies (s.u. Anm. 43). Zwischen 1879 und 1884 in den „Mathematischen Annalen“ erschienen sechs Arbeiten (Cantor 1879/1884) und Cantor (1883), die zusammen mit Cantor (1895/1897) Cantors Hauptwerk bilden.

  56. Erst im Sommersemester 1901 hielt Hausdorff eine Vorlesung über Mengenlehre in Leipzig, die zusammen mit jener von Ernst Zermelo im Wintersemester 1900/1901 in Göttingen, eine der ersten Vorlesungen überhaupt über das Thema war. Nachdem in den Sommersemestern 1910 und 1912 wieder Vorlesungen über Mengenlehre hielt, begann er die Arbeit an seinem 1914 erscheinenden Buch „Grundzüge der Mengenlehre“ (Hausdorff 2002), „dem Schöpfer der Mengenlehre Herrn Georg Cantor in dankbarer Verehrung / gewidmet“. In der zweiten Hälfte des Buches, in den Kapitel über die „Punktmengen“, entwickelt Hausdorff die Begriffe von topologischen und metrischen Räumen, die heute zu Grundbegriffen geworden sind, in denen übrigens auch die Spur seiner erkenntnistheoretischen Reflexionen über das Raumproblem zu finden ist (vgl. Purkert 2002).

  57. Für diese Gegenüberstellung vgl. z.B. Torretti (1974, 43f.) und Nerlich (1994, 185).

  58. Hilbert-Nachlass, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Ms. D. Hilbert, 136.

  59. Vgl. vor allem das Fragment „Der Formalismus“ in Kapsel 49: Fasz. 1067, Bl. 1ff.

  60. Schon 1874 hatte Cantor sich gefragt: „Lässt sich eine Fläche (etwa ein Quadrat mit Einschluss der Begrenzung) eindeutig auf eine Linie (etwa eine gerade Strecke mit Einschluss der Endpunkte) eindeutig beziehen, so dass zu jedem Puncte der Fläche ein Punct der Linie und umgekehrt zu jedem Puncte der Linie ein Punct der Fläche gehört?" (Cantor und Dedekind 1937, 20). In Cantor (1878) bewies Cantor die Gleichmächtigkeit von Kontinua verschiedener Dimension: „Eine nach n Dimensionen ausgedehnte stetige Mannigfaltigkeit lässt sich eindeutig und vollständig einer stetigen Mannigfaltigkeit von einer Dimension zuordnen“ (Cantor 1878, 122). Richard Dedekind wies auf die Unstetigkeit der Cantorschen Bijektion hin. Hausdorff wurde von diesem Resultat gezwungen, seine „Bemerkungen über Nietzsches ewige Wiederkunft zu revidiren“ (Kapsel 49: Fasz. 1076, Bl. 52; mehr dazu Hausdorff 2004, 850f., Kommentar 881, 833–882, 856). Die Invarianz der Dimensionenzahl, d.h. die „Unmöglichkeit, zwischen einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit und einer (m + h)-dimensionalen Mannigfaltigkeit (h > 0) eine eindeutige und stetige Beziehung herzustellen“ (Brouwer 1911, 161), wurde erst 1911 von Luitzen E. J. Brouwer bewiesen.

  61. Für eine Gesamtdarstellung muss man notwendigerweise auf den (bald erscheinenden) von Moritz Epple herausgegebenen Band VI von Hausdorffs Gesamtausgabe mit Einleitung und Kommentar warten: Hausdorff (2010). Vgl. auch Epple (2006).

  62. Vgl. zum Beispiel Friedman (1999, Kap. 8 und 9).

  63. Vgl. auch Felix Hausdorff an Moritz Schlick, 23. Februar 1919 und 17. Juli 1920 (beide Briefe werden im Reichsarchiv Noord Holland in Harlem aufbewahrt). Die Antwort Schlicks ist nicht erhalten (vgl. Stegmaier 2004, 77–78). Hausdorff wird auch in der von Schlick herausgegebenen Sammlung von Helmholtz’ Schriften: Helmholtz (1921, 33, Anm. 43) erwähnt. Hausdorff erwähnt Schlick, jedoch als „O. Schlick“, in seiner kurzen Diskussion der Relativitätstheorie in Kapsel 44: Fasz. 796.

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Giovanelli, M. Urbild und Abbild. Leibniz, Kant und Hausdorff über das Raumproblem. J Gen Philos Sci 41, 283–313 (2010). https://doi.org/10.1007/s10838-010-9139-4

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