The invention of mathematical transcendence in the seventeenth century is linked to Leibniz, who always claimed it to be his own creation. However, Descartes had created a completely new symbolic frame in which one considers plane curves, which was a real upheaval. Leibniz initially appreciated this Cartesian frame. Although, as we see in the book, during his research he was confronted with inexpressible contexts he then called 'transcendent'. The development of a concept of mathematical transcendence is at the core of (...) this book. The description follows a pragmatic path by highlighting how and why aspects of the concept were developed and which obstacles were encountered by mathematicians. Also, there were some dead ends which are described here. Leibniz exceeded Descartes' ideas on a symbolical level (transcendent expressions), a geometrical level (transcendent curves) as well as a numerical level (transcendent numbers) those are also examined in detail. (shrink)

This article is devoted to some of the dominant positions in the philosophy of mathematics, in Descartes and in Leibniz, and to their consequences drawn by these authors in mathematical analysis. I shall treat of Descartes’ epistemological conceptions of analysis and of the primacy of order, both of which are excellently exposited in the _Rules for the direction of the mind_ and of various mathematical devices which he developed later, from the time of the _Cogitationes privatae_ until the _Géométrie_.

L’histoire du texte des Régles pour la Direction de l’Esprit (Regulae) de Descartes est un peu singulière: non publié du vivant de Descartes, il n’a paru qu’en 1701, dans les Opera Posthuma d’Amsterdam. De façon plus significative, et contrairement aux autres traités cartésiens perdus, ce texte secret n’est jamais explicitement evoqué par Descartes, fût-ce au détour d’une correspondance. Par leur étroite dépendance vis à vis des mathématiques, les Regulae sont cependant un texte majeur, constitutives de la pensée de leur auteur (...) dans ses années de jeunesse (1619-1628), et par là de toute la philosophie moderne. Descartes avait jugé le texte suffisamment important pour I’emmener à Stockholm, où il a été découvert apres sa mort, dans ses papiers.Entre les mathématiques et les Regulae, ce texte “éclatant et obscur” (J.P. Weber), il est ces trois types principaux de rapports croisés que nous tâcherons d’analyser: historiquement d’abord, quelles furent la formation et I’expérience mathématique du jeune Descartes, qui constituerent, à notre sens, I’armature conceptuelle du texte. Quelles sont ensuite les voies par lesquelles, dans les Regulae, Descartes a putransmuer cette expérience mathématique premiere à la fois en une pratique, une méthode, une théorie de la connaissance, enfin en une épistémologie assez radicalement neuve. Enfin, et prenant Descartes au sérieux nous examinerons à I’occasion cette question: quel est le sort réservé, de nos jours, à cette épistémologie cartésienne, en particulier confrontée aux mathématiques contemporaines? (shrink)