UNIVERSITÄT GREIFSWALD Ein Redehandlungskalkül Ein pragmatisierter Kalkül des natürlichen Schliessens nebst Metatheorie Moritz Cordes und Friedrich Reinmuth 30.01.2011 VERSION 2.0 Kommentare willkommen! In dieser Arbeit wird aufbauend auf den Arbeiten von PETER HINST und GEO SIEGWART ein pragmatisierter Kalkül des natürlichen Schliessens entwickelt und die Äquivalenz der Konse‐ quenzrelation für den Kalkül mit der modelltheoretischen Konsequenzrelation bewiesen. Ein Redehandlungskalkül. Ein pragmatisierter Kalkül des natürlichen Schliessens nebst Metatheorie. Version 2.0 von Moritz Cordes und Friedrich Reinmuth steht unter einer Creative Commons Attribution‐NonCommercial‐NoDerivs 3.0 Germany Lizenz. This work is licensed under the Creative Commons Attribution‐NonCommercial‐NoDerivs 3.0 Germany License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by‐nc‐nd/3.0/de/ or send a letter to Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 94105, USA. Inhaltsverzeichnis VORBEMERKUNG .............................................................................................................................. III 1 ZUM GRAMMATISCHEN RAHMEN ............................................................................................ 1 1.1 INVENTAR UND SYNTAX ...................................................................................................................... 1 1.2 SUBSTITUTION ................................................................................................................................ 26 2 VERFÜGBARKEIT VON AUSSAGEN .......................................................................................... 47 2.1 ABSCHNITTE UND ABSCHNITTSFOLGEN ................................................................................................. 47 2.2 GESCHLOSSENE ABSCHNITTE .............................................................................................................. 63 2.3 VERS, VANS, VER UND VAN ........................................................................................................ 103 3 DER REDEHANDLUNGSKALKÜL .............................................................................................. 119 3.1 DER KALKÜL ................................................................................................................................. 119 3.2 ABLEITUNGSBEGRIFF UND DEDUKTIVE KONSEQUENZSCHAFT ................................................................... 127 3.3 VERS, VANS, VER UND VAN IN ABLEITUNGEN UND BEI EINZELNEN ÜBERGÄNGEN ................................... 141 4 THEOREME ZUR DEDUKTIVEN KONSEQUENZSCHAFT ............................................................. 157 4.1 VORBEREITUNGEN ......................................................................................................................... 157 4.2 EIGENSCHAFTEN DER DEDUKTIVEN KONSEQUENZSCHAFT ....................................................................... 196 5 MODELLTHEORIE .................................................................................................................. 211 5.1 ERFÜLLUNGSRELATION UND MODELLTHEORETISCHE KONSEQUENZ .......................................................... 211 5.2 ABGESCHLOSSENHEIT DER MODELLTHEORETISCHEN KONSEQUENZSCHAFT ................................................. 230 6 KORREKTHEIT UND VOLLSTÄNDIGKEIT DES REDEHANDLUNGSKALKÜLS ................................. 239 6.1 KORREKTHEIT DES REDEHANDLUNGSKALKÜLS ...................................................................................... 239 6.2 VOLLSTÄNDIGKEIT DES REDEHANDLUNGSKALKÜLS ................................................................................ 245 7 RÜCK‐ UND AUSBLICK ........................................................................................................... 263 LITERATUR ...................................................................................................................................... 265 DEFINITIONSVERZEICHNIS ............................................................................................................... 267 THEOREMVERZEICHNIS ................................................................................................................... 271 REGELVERZEICHNIS ......................................................................................................................... 279 Vorbemerkung In dieser Arbeit1 wird aufbauend auf den Arbeiten von PETER HINST und GEO SIEGWART zur Pragmatisierung von Kalkülen des natürlichen Schliessens2 ein (klassischer) Redehandlungskalkül3 für das natürliche Schliessen entwickelt, für den gilt: (i) Jede Satzsequenz , d.h. hier: jede Sequenz aus Annahmeund Folgerungssätzen, ist keine Ableitung einer Aussage aus einer Aussagenmenge oder es gibt genau eine Aussage Γ und genau eine Aussagenmenge X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist, wobei dies für jede Satzsequenz ohne Rückgriff auf metasprachliche Kommentarmittel feststellbar ist.4 (ii) Die klassische modelltheoretische Konsequenzrelation für die erste Stufe ist äquivalent zu der Konsequenzrelation für den Kalkül. Bei der Entwicklung des Kalküls wird der von PETER HINST und GEO SIEGWART entwickelte grammatische Rahmen pragmatisierter Sprachen erster Stufe vorausgesetzt und um einige zusätzliche Begrifflichkeiten ergänzt (1). Sodann wird die Rede von der Verfügbarkeit von Aussagen etabliert: Im Gegensatz zu den von HINST und SIEGWART entwickelten Kalkülen wird bei der Formulierung der Redehandlungsregeln für diesen Kalkül nicht auf eine Abhängigkeitsrelation zwischen Aussagenmengen und Aussagen zurückgegriffen, sondern auf eine Verfügbarkeitsrelation zwischen Aussagen, Satzsequenzen und Stellen (natürlichen Zahlen im Definitionsbereich von Sequenzen). Dabei ist die Gestaltung der Verfügbarkeitsrede von der etwa im KALISH-MONTAGUE-MAR-Kalkül umgesetzten Idee inspiriert, dass – mit Ausnahme der Konklusion – die Aussagen in einem 1 In dieser Version des Textes (2.0) sind gegenüber Version 1.0 einige Fehler korrigiert, die Ausdrucksverkettung modifiziert, kleinere Hilfstheoreme ergänzt und einige Begrifflichkeiten, Definitionen und Beweise etwas vereinfacht worden. 2 Siehe HINST, P.: Pragmatische Regeln, Logischer Grundkurs, Logik und SIEGWART, G.: Vorfragen, Denkwerkzeuge und Alethic Acts. 3 Den Ausdruck 'Redehandlungskalkül' zur Bezeichnung pragmatisierter Kalküle des natürlichen Schliessens übernehmen wir von SEBASTIAN PAASCH. 4 Dabei regulieren wir das Prädikat '.. ist eine Ableitung von .. aus ..' so, dass die an dritter Stelle genannte Aussagenmenge die Menge der in der an erster Stelle genannten Satzsequenz tatsächlich auftretenden und nicht eliminierten Annahmen ist. Reguliert man das Prädikat, wie auch üblich, so, dass die an dritter Stelle genannte Aussagenmenge eine Obermenge der Menge der in der betreffenden Satzsequenz tatsächlich auftretenden und nicht eliminierten Annahmen ist, dann gewährleistet der Kalkül dementsprechend, dass jede Satzsequenz entweder keine Ableitung einer Aussage aus einer Aussagenmenge ist oder aber dass es eine Aussage Γ und Aussagenmenge X gibt, so dass für jede Aussage Δ und Aussagenmenge Y gilt: ist eine Ableitung von Δ aus Y gdw Δ = Γ und X ⊆ Y. IV Vorbemerkung Unterbeweis nach Schliessung dieses Unterbeweises nicht mehr verfügbar sein sollen.5 Allerdings werden hier nur Unterbeweise, die auf Subjunktoreinführung (SE), Negatoreinführung (NE) oder Partikularquantorbeseitigung (PB) abzielen, so behandelt und der Kalkül wird so etabliert, dass auf den Einsatz graphischer Mittel oder metasprachlicher Kommentare verzichtet werden kann: Welche Aussagen in einer Sequenz verfügbar sind, lässt sich für jede Sequenz ohne Rückgriff auf irgendeine Art von Kommentar eindeutig feststellen (2). Sodann wird der Redehandlungskalkül etabliert. Dieser enthält, wie für pragmatisierte Kalküle des natürlichen Schliessens üblich, neben einer Annahmeregel, die das Annehmen beliebiger Aussagen erlaubt, für jeden logischen Operator zwei Regeln, von denen jeweils die eine seine Einführung und die andere seine Beseitigung reguliert. Abgesehen von der Regel der Identitätseinführung (IE), die die prämissenlose Folgerung von Selbstidentitätsaussagen erlaubt, verlangen die Einführungsund Beseitigungsregeln immer, dass bereits entsprechende Prämissen gewonnen wurden, d.h. verfügbar sind. So erlaubt etwa die Regel der Subjunktorbeseitigung (SB), dass man Γ folgern darf, wenn man Δ und Δ → Γ bereits gewonnen hat, d.h. wenn Δ und Δ → Γ verfügbar sind. Gewonnen bzw. verfügbar gemacht werden Aussagen dabei, indem sie gefolgert oder angenommen werden. Sodann gewinnt man eine Aussage Γ im Ausgang von einer Annahme, wenn diese Annahme die letzte vor bzw. bei der Gewinnung von Γ gemachte Annahme ist, die noch verfügbar ist. Drei der Regeln, nämlich SE, NE und PB, erlauben es ihrerseits, sich von gemachten Annahmen auch wieder zu befreien: Hat man im Ausgang von der Annahme einer Aussage Δ eine Aussage Γ gewonnen, dann darf man Δ → Γ folgern und sich so von der gemachten Annahme von Δ befreien (SE); hat man im Ausgang von der Annahme einer Aussage Δ Aussagen Γ und ¬Γ gewonnen, dann darf man ¬Δ folgern und sich so von der gemachten Annahme von Δ befreien (NE), ist eine Partikularquantifikation ξΔ verfügbar und hat man im Ausgang von der repräsentativen Ersatzannahme [β, ξ, Δ] eine Aussage Γ gewonnen, dann darf man Γ folgern und sich so von der gemachten Ersatzannahme befreien (PB). Die Befreiung von der jeweils gemachten Eingangsannah- 5 Siehe KALISH, D.; MONTAGUE, R.; MAR, G.: Logic. Siehe auch LINK, G.: Collegium Logicum, S. 299– 363. Vorbemerkung V me wird dabei dadurch erreicht, dass mit der Anwendung von SE, NE und PB jeweils der gesamte Unterbeweis von der entsprechenden Annahme an geschlossen wird. Dies hat dann zum einen zur Folge, dass die jeweiligen Eingangsannahmen nicht mehr verfügbar sind, aber es macht auch die im Zuge des Unterbeweises gemachten Zwischenfolgerungen als Prämissen unverfügbar – diese dienten ja nur dazu, die entsprechende Regelanwendung vorzubereiten, und sind unter der jeweiligen Annahme gewonnen worden. Ist die Annahme nicht mehr verfügbar, dann sollen dementsprechend auch keine Aussagen, die nur unter dieser Annahme zu gewinnen waren, verfügbar sein. Man vergegenwärtige sich dies etwa an dem zur Vorbereitung von NE zu gewinnenden Paar Γ und ¬Γ . Im Anschluss an die Etablierung des Kalküls wird dann ein Ableitungsund Konsequenzbegriff für den Kalkül etabliert. Dabei ist dann eine Satzsequenz genau dann eine Ableitung einer Aussage Γ aus einer Aussagenmenge X, wenn sich gemäss den Regeln des Kalküls äussern lässt, Γ die Aussage des letzten Gliedes von und X die Menge der in verfügbaren Annahmen ist. Sodann wird eine Aussage Γ genau dann deduktive Konsequenz einer Aussagenmenge X sein, wenn es eine Ableitung von Γ aus einem Y ⊆ X gibt (3). Um den Beweis der Adäquatheit des so etablierten deduktiven Konsequenzbegriffs vorzubereiten, sind sodann u.a. Reflexivität, Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung und Transitivität der deduktiven Konsequenzschaft zu beweisen (4). Im Anschluss wird dann eine zum grammatischen Rahmen passende Fassung des üblichen modelltheoretischen Konsequenzbegriffs etabliert (5). Sodann wird die Korrektheit und die Vollständigkeit des deduktiven gegenüber diesem modelltheoretischen Konsequenzbegriff gezeigt (6). Den Abschluss bilden einige Bemerkungen zum möglichen Ausbau des hier verfolgten Ansatzes (7). Als Rahmen für die Entwicklung des Kalküls setzen wir eine gängige Mengenoder Klassen-Mengen-Lehre, wie etwa ZF oder NBG(U), voraus, wobei wir zur Bezeichnung von Mengen auch die Klassenschreibweise verwenden. Da wir keine Entscheidung für eine reine Mengenlehre treffen wollten, müssen wir an einigen Stellen Forderungen – wie etwa X ∈ {X} – erheben, die im Rahmen einer reinen Mengenlehre trivial, im Rahmen einer Klassen-Mengen-Lehre jedoch informativ sind. Die Entwicklung und metatheoretische Analyse des Redehandlungskalküls greift stark auf übliche mengentheoretische und VI Vorbemerkung (meta)logische Instrumente und Beweistechniken zurück, wie sie in den im Literaturverzeichnis aufgeführten Werken präsentiert werden, ohne dass dies immer einzeln ausgewiesen wäre. Ein Benutzerhinweis: Die Einträge im Inhaltsverzeichnis sind mit den entsprechenden Kapiteln verknüpft und als Lesezeichen vorhanden. Ferner sind alle Querverweise sowie alle Nennungen von Postulaten, Definitionen, Theoremen und Regeln mit den entsprechenden Stellen verknüpft. Man kann daher durch Klicken auf Verweise und mit den Funktionen "Vorherige Ansicht" (Alt+Nach-Links-Taste) und "Nächste Ansicht" (Alt+Nach-Rechts-Taste) zwischen den einschlägigen Verweisstellen und dem gerade gelesenen Abschnitt wechseln. Wir danken SEBASTIAN PAASCH dafür, uns auf Probleme, die die Entwicklung unseres Kalküls angestossen und angetrieben haben, aufmerksam gemacht zu haben, für wertvolle Hinweise und für seine konstruktive Kritik an einer früheren Fassung dieses Textes. Sodann danken wir GEO SIEGWART für wertvolle Hinweise, Geduld und ein offenes Ohr. 1 Zum grammatischen Rahmen Der Redehandlungskalkül und seine Metatheorie werden für abzählbare pragmatisierte Sprachen erster Stufe entwickelt.6 Um die folgende Darstellung zu vereinfachen, wird jedoch der Sprachbezug unterdrückt bzw. eine beliebig, aber fest gewählte Sprache dieser Art mit abzählbar unendlichem Inventar, die Sprache L, vorausgesetzt. Deren Inventar und Syntax sind zunächst zu spezifizieren (1.1). Sodann sind Substitutionsbegrifflichkeiten für die weitere Arbeit zu entwickeln und einige Substitutionstheoreme zu beweisen (1.2). 1.1 Inventar und Syntax L soll als beliebig, aber fest gewählter Vertreter für Sprachen des gewünschten Typs mit abzählbar unendlichem nicht-logischen Inventar stehen, wobei der Kalkül natürlich auch für Sprachen mit endlich vielen deskriptiven Konstanten einschlägig ist. Da L nicht eine konkret konstruierte Sprache ist, wird nun einfach gefordert, dass ein entsprechendes Inventar und eine passende Ausdrucksverkettungsoperation existieren. Welches Inventar im konkreten Fall gewählt bzw. wie es konstruiert wird (und wie es mengentheoretisch etwa unter Rückgriff auf Teilmengen von N in NBG oder ZF modelliert bzw. wie es etwa unter Rückgriff auf axiomatisch charakterisierte (Mengen von) Urelemente(n) in NBGU beschrieben wird) und wie die Verkettungsoperation für Ausdrücke ausgestaltet wird (etwa einfach durch Rückgriff auf endliche Folgen oder durch eine eigens entwickelte Konkatenationsoperation) wird offen gelassen. Mit dem ersten Postulat wird nun die Existenz passender Mengen von Grundausdrücken für das Inventar von L gefordert: Postulat 1-1. Das Inventar von L (KONST, PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ) Folgende Mengen sind wohldefiniert, paarweise disjunkt und haben ∅ nicht zum Element: (i) Die abzählbar unendliche Menge KONST = {ci | i ∈ N}, wobei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j: ci ≠ cj und ci ∈ {ci}, (die Menge der Individuenkonstanten; Metavariablen: α, α', α*, ...), 6 Siehe dazu die in Fussnote 2 angegebene Literatur. Für eine rigorose Entwicklung des grammatischen Rahmens siehe insbesondere HINST, P.: Logik, Kap. 1. 2 1 Zum grammatischen Rahmen (ii) Die abzählbar unendliche Menge PAR = {xi | i ∈ N}, wobei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j: xi ≠ xj und xi ∈ {xi}, (die Menge der Parameter; Metavariablen: β, β', β*, ...), (iii) Die abzählbar unendliche Menge VAR = {xi | i ∈ N}, wobei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j: xi ≠ xj und xi ∈ {xi}, (die Menge der Variablen; Metavariablen: ξ, ζ, ω, ξ', ζ', ω', ξ*, ζ*, ω*, ...), (iv) Die abzählbar unendliche Menge FUNK = {fi.j | i ∈ N\{0} und j ∈ N}, wobei für alle i, k ∈ N\{0} und j, l ∈ N mit (i, j) ≠ (k, l): fi.j ≠ fk.l und fi.j ∈ {fi.j}, (die Menge der Funktoren; Metavariablen: φ, φ', φ*, ...), (v) Die abzählbar unendliche Menge PRÄ = {=} ∪ {Pi.j | i ∈ N\{0} und j ∈ N}, wobei {=} {Pi.j | i ∈ N\{0} und j ∈ N} und für alle i, k ∈ N\{0} und j, l ∈ N mit (i, j) ≠ (k, l): Pi.j ≠ Pk.l und Pi.j ∈ {Pi.j}, (die Menge der Prädikatoren; Metavariablen: Φ, Φ', Φ*, ...), (vi) Die Fünfermenge JUNK = {¬, →, ↔, ∧, ∨} (die Menge der Junktoren; Metavariablen: ψ, ψ', ψ*, ...), (vii) Die Zweiermenge QUANT = { , } (die Menge der Quantifikatoren; Metavariablen: Π, Π', Π*, ...), (viii) Die Zweiermenge PERF = {Sei, Also} (die Menge der Performatoren; Metavariablen: Ξ, Ξ', Ξ*, ...) und (ix) Die Dreiermenge HZ = {(} ∪ {)} ∪ {,} (die Menge der Hilfszeichen). Die metasprachlichen Ausdrücke, durch die die Elemente der Mengen PERF und HZ bezeichnet werden, werden im Folgenden ausserdem als metasprachliche Performatoren und Hilfszeichen verwendet, gleiches gilt für den Identitätsprädikator. Um Konfusionen zu vermeiden und die intuitive Lesbarkeit zu erhöhen, werden daher im Folgenden Quasianführungszeichen (' ', ' ') verwendet, wenn objektsprachliche Ausdrücke bezeichnet werden sollen. Als allgemeine Metavariablen für objektsprachliche Ausdrücke dienen: μ, τ, μ', τ', μ*, τ*, .... Das Inventar von L soll nun einfach die Menge aus den in Postulat 1-1 geforderten Mengen sein: Definition 1-1. Das Inventar von L (INV) INV = {KONST, PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ}. Die Syntax von L enthält die Kategorien der Terme, Quantoren, Formeln und Sätze gemäss der weiter unten angegebenen Definitionen. Zunächst wird jedoch die Menge der Grundausdrücke etabliert: 1.1 Inventar und Syntax 3 Definition 1-2. Die Menge der Grundausdrücke (GAUS) GAUS = INV. Nun wird die Existenz einer passenden Verkettungsoperation für Ausdrücke postuliert, wobei – wie bereits bemerkt – offen gelassen wird, wie diese im Einzelnen auszugestalten ist. Dazu wird zuerst die Verkettung für Grundausdrücke und dann, nach der Definition der Menge der Ausdrücke und der Ausdruckslängenfunktion, die allgemeine Verkettung von beliebigen Ausdrücken reguliert. Postulat 1-2. Verkettung von Grundausdrücken7 Die durch Juxtaposition angezeigte Ausdrucksverkettungsoperation ist wohldefiniert und es gilt: (i) Für alle k, j ∈ N\{0}: Wenn {μ0, ..., μk-1} ⊆ GAUS und {μ'0, ..., μ'j-1} ⊆ GAUS, dann: μ0...μk-1 = μ'0...μ'j-1 gdw j = k und für alle i < k gilt: μi = μ'i, (ii) Wenn μ ∈ GAUS, dann gibt es kein k ∈ N\{0, 1}, so dass {μ0, ..., μk-1} ⊆ GAUS und μ = μ0...μk-1 , und (iii) Für alle k ∈ N\{0}: Wenn {μ0, ..., μk-1} ⊆ GAUS, dann ist μ0...μk-1 ≠ ∅ und μ0...μk-1 ∈ { μ0...μk-1 }. Mit der Darstellung durch Juxtaposition wird bereits die Assoziativität der Ausdrucksverkettungsoperation vorausgesetzt. Diese Eigenschaft kann daher als implizit postuliert betrachtet werden. Als Obermenge zu allen im weiteren Verlauf zu definierenden grammatischen Kategorien wird nun die Menge aller Ausdrücke und im Anschluss die Längenfunktion für Ausdrücke definiert: Definition 1-3. Die Menge der Ausdrücke (AUS; Metavariablen: μ, τ, μ', τ', μ*, τ*, ...) AUS = { μ0...μk-1 | k ∈ N\{0} und {μ0, ..., μk-1} ⊆ GAUS}. Definition 1-4. Ausdruckslänge (AUSL) AUSL = {(μ, k) | μ ∈ AUS, k ∈ N\{0} und es gibt {μ0, ..., μk-1} ⊆ GAUS mit μ = μ0...μk-1 }. 7 Hier und im Folgenden setzen wir voraus, dass gilt: Wenn k ∈ N\{0} und {a0, ..., ak-1} ⊆ X, wobei X ∈ {X}, dann gilt für alle i < k: ai ∈ {a0, ..., ak-1}. 4 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-1. AUSL ist eine Funktion auf AUS (i) Dom(AUSL) = AUS und (ii) Für alle μ ∈ AUS, k, l ∈ N: Wenn (μ, k), (μ, l) ∈ AUSL, dann k = l. Beweis: (i) ergibt sich direkt aus Definition 1-3 und Definition 1-4. Zu (ii): Seien μ ∈ AUS, k, l ∈ N mit (μ, k), (μ, l) ∈ AUSL. Dann gibt es {μ0, ..., μk-1} ⊆ GAUS mit μ = μ0...μk-1 und es gibt {μ'0, ..., μ'l-1} ⊆ GAUS mit μ = μ'0...μ'l-1 . Nach Postulat 1-2-(i) ist dann k = l. ■ Theorem 1-2. Ausdrücke sind Verkettungen von Grundausdrücken Wenn μ ∈ AUS, dann gibt es {μ0, ..., μAUSL(μ)-1} ⊆ GAUS, so dass μ = μ0...μAUSL(μ)-1 . Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 1-3 und Definition 1-4. ■ Theorem 1-3. Identifizierung von Gliedern einer Ausdrucksverkettu gn Wenn k ∈ N\{0} und für alle i < k: μi ∈ AUS, dann gilt für alle s < ∑kj AUSL(μj): (i) s < AUSL(μ0) oder (ii) AUSL(μ0) ≤ s und es gibt l, r, so dass a) 0 < l < k und r < AUSL(μl) und s = (∑ln AUSL(μn))+r und b) Für alle l', r': Wenn 0 < l' < k und r' < AUSL(μl') und s = (∑ l′n AUSL(μn))+r', dann l' = l und r' = r. Beweis: Sei k ∈ N\{0} und gelte für alle i < k: μi ∈ AUS. Sei nun s < ∑ kj AUSL(μj). Dann ist s < AUSL(μ0) oder AUSL(μ0) ≤ s. Im ersten Fall gilt die Behauptung. Sei nun AUSL(μ0) ≤ s. Dann ist 1 < k, denn sonst wäre 1 = k und somit AUSL(μ0) = ∑ kj AUSL(μj) > s. Also gibt es wenigstens ein i, nämlich 1, so dass 0 < i < k und ∑ in AUSL(μn) ≤ s. Sei nun l = max({i | 0 < i < k und ∑ in AUSL(μn) ≤ s}). Dann ist 0 < l < k und ∑ ln AUSL(μn) ≤ s. Dann gibt es ein r, so dass (∑ ln AUSL(μn))+r = s. Wäre nun AUSL(μl) ≤ r. Nun ist l < k-1 oder l = k-1. Angenommen l < k-1. Dann ist l+1 < k. Dann wäre ∑ ln AUSL(μn) = (∑ ln AUSL(μn))+AUSL(μl) ≤ (∑ ln AUSL(μn))+r = s, was der Maximalität von l widerspricht. Angenommen l = k-1. Dann wäre l-1 = k-2 und somit ∑ kn AUSL(μn) = (∑ kn AUSL(μn))+AUSL(μk-1) ≤ (∑ kn AUSL(μn))+r = s, was der Annahme über s widerspricht. Also führt die Annahme, dass AUSL(μl) ≤ r in 1.1 Inventar und Syntax 5 beiden Fällen zu einem Widerspruch. Also ist r < AUSL(μl). Also ist insgesamt 0 < l < k und r < AUSL(μl) und s = (∑ ln AUSL(μn))+r und somit gilt a). Nun ist noch b), also die eindeutige Bestimmtheit von l, r, zu zeigen. Sei dazu 0 < l' < k und r' < AUSL(μl') und s = (∑ l′n AUSL(μn))+r'. Dann ist ∑ l′n AUSL(μn) ≤ s. Damit ergibt sich aus der Maximalität von l, dass l' ≤ l. Wäre nun l' < l. Dann wäre l' ≤ l-1 und damit wäre (∑ l′n AUSL(μn))+AUSL(μl') = ∑ l′n AUSL(μn) ≤ ∑ ln AUSL(μn) ≤ s = (∑ l′n AUSL(μn))+r'. Damit wäre dann aber AUSL(μl') ≤ r', was der Annahme über r' widerspricht. Also ist l' = l. Damit ist dann aber (∑ l′n AUSL(μn))+r' = (∑ ln AUSL(μn))+r' = s = (∑ ln AUSL(μn))+r und somit auch r' = r. ■ Postulat 1-3. Verkettung von Ausdrücken Wenn k ∈ N\{0} und für alle i < k: μi ∈ AUS und μi = μμi0...μμiAUSL(μi)-1 , wobei {μ μi0, ..., μμiAUSL(μi)-1} ⊆ GAUS, dann gibt es m ∈ N\{0} und {μ*0, ..., μ*m-1} ⊆ GAUS, so dass für alle i < k: μ0...μk-1 = μ0...μi-1μμi0...μμiAUSL(μi)-1μi+1...μk-1 = μ*0...μ*m-1 w b i , o e a) m = ∑ kj AUSL(μj) und b) Für alle s < m: μ*s = μμ0s, falls s < AUSL(μ0) und μ*s = μμlr für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k und r < AUSL(μl) und s = (∑ln AUSL(μn))+r, falls AUSL(μ0) ≤ s. Als unmittelbare Konsequenz aus Postulat 1-3 ergibt sich zunächst, dass jede Verkettung von Ausdrücken mit einer Verkettung von Grundausdrücken identisch und somit ein Ausdruck ist. Nun folgen zunächst einige allgemeine Theoreme zu Ausdrücken und ihren Verkettungen (Theorem 1-4 bis Theorem 1-8), bevor die Stelligkeit von Operatoren und sodann die Kategorien der Terme, Quantoren und Formeln definiert werden. 6 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-4. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (a) Wenn k ∈ N\{0} und für alle i < k: μi ∈ AUS und μi = μμi0...μμiAUSL(μi)-1 , wobei {μ μi0, ..., μμiAUSL(μi)-1} ⊆ GAUS, dann: (i) μ0...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ k μ μ -10... μk-1AUSL(μk-1)-1 , (ii) AUSL( μ0...μk-1 ) = ∑ kj AUSL(μj) und (iii) Wenn m ∈ N\{0} und {μ'0, ..., μ'm-1} ⊆ GAUS, dann: μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μk-10...μμk-1AUSL(μk-1)-1 = μ'0... 'm-1 μ m = ∑ kj AUSL(μj) und für alle s < m: μ's = μ μ0 s, falls s < AUSL(μ0), und gdw μ's = μμlr für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k und r < AUSL(μl) und s = (∑ ln AUSL(μn))+r, falls AUSL(μ0) ≤ s. Beweis: Sei k ∈ N\{0}, für alle i < k: μi ∈ AUS und μi = μμi0...μμiAUSL(μi)-1 , wobei {μμi0, ..., μμiAUSL(μi)-1} ⊆ GAUS. Zu (i): Durch Induktion über i wird zunächst gezeigt, dass für alle i < k gilt: μ0...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μi0...μμiAUSL(μi)-1μi+1...μk-1 . Damit gilt dies dann auch für i = k-1 und damit gilt dann (i). Gelte die Behauptung nun für alle l < i. Sei nun i < k. Dann ist i = 0 oder 0 < i. Sei nun i = 0. Wegen μ0 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1 ist dann nach Postulat 1-3: μ0...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1μ1...μk-1 . Sei nun 0 < i. Dann gilt für alle l < i, dass l < k und damit nach I.V.: μ0...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μl0...μμlAUSL(μl)-1μl+1...μk-1 . Da nun i-1 < i, gilt damit: μ0...μk-1 = 1.1 Inventar und Syntax 7 μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μi-10...μμi-1AUSL(μi-1)-1μi...μk-1 . Wegen μi = μμi0...μμiAUSL(μi)-1 gilt dann mit Postulat 1-3: μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μi-10...μμi-1AUSL(μi-1)-1μi...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μi-10...μμi-1AUSL(μi-1)-1μ μi0...μμiAUSL(μi)-1μi+1...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μi0...μμiAUSL(μi)-1μi+1...μk-1 . Damit gilt dann insgesamt: μ0...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μi0...μμiAUSL(μi)-1μi+1...μk-1 . Zu (ii) und (iii): Nach Postulat 1-3 gibt es m* ∈ N\{0} und {μ*0, ..., μ*m*-1} ⊆ GAUS, so dass μ0...μk-1 = μ*0...μ*m*-1 und m* = ∑ kj AUSL(μj) und für alle s < m*: μ*s = μμ0s, falls s < AUSL(μ0), und μ*s = μμlr für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μl) und s = (∑ ln AUSL(μn))+r, falls AUSL(μ0) ≤ s. Dann gilt zunächst ∑ kj AUSL(μj) = m* = AUSL( μ*0...μ*m*-1 ) = AUSL( μ0...μk-1 ). Damit gilt (ii). Sei nun für (iii) m ∈ N\{0} und {μ'0, ..., μ'm-1} ⊆ GAUS. (L-R): Sei μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μμk-10...μμk-1AUSL(μk-1)-1 = μ'0...μ'm-1 . Mit (i) gilt dann μ'0...μ'm-1 = μ0...μk-1 = μ*0...μ*m*-1 . Mit Postulat 1-2-(i) gilt dann m = m* = ∑ kj AUSL(μj) und für alle s < m gilt μ's = μ*s. Damit gilt dann für alle s < m: μ's = μμ0s, falls s < AUSL(μ0), und μ's = μμlr für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μl) und s = (∑ ln AUSL(μn)) f lls AUSL(μ0) ≤ s. +r, a (R-L): Sei m = ∑ kj AUSL(μj) und gelte für alle s < m: μ's = μμ0s, falls s < AUSL(μ0), und μ's = μμlr für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μl) und s = (∑ ln AUSL(μn))+r, falls AUSL(μ0) ≤ s. Dann gilt m* = m und für alle s < m gilt μ's = μ*s. Damit gilt dann mit Postulat 1-2-(i), dass μ'0...μ'm-1 = μ*0...μ*m*-1 . Damit gilt mit (i): μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μμk-10...μμk-1AUSL(μk-1)-1 = μ0...μk-1 = μ*0...μ*m*-1 = μ'0...μ'm-1 . ■ 8 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-5. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (b) Wenn k, k' ∈ N\{0} und für alle i < k: μi ∈ AUS und μi = μμi0...μμiAUSL(μi)-1 , wobei {μ μi0, ..., μμiAUSL(μi)-1} ⊆ GAUS, und für alle i < k': μ'i ∈ AUS und μ'i = μ' μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1 , wobei {μ'μ'i0, ..., μ'μ'iAUSL(μ'i)-1} ⊆ GAUS, und wenn μ0...μk-1 = μ'0...μ'k'-1 , dann: (i) μ0...μk-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μk-10...μμk-1AUSL(μk-1)-1 = μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ'k'-10...μ'μ'k'-1AUSL(μ'k'-1)-1 = μ'0...μ'k'-1 , (ii) AUSL( μ0...μk-1 ) = ∑ kj AUSL(μj) = ∑k′j AUSL(μ'j) = AUSL( μ'0...μ'k'-1 ) und (iii) Für alle i < k, k': Wenn AUSL(μj) = AUSL(μ'j) für alle j ≤ i, dann: a) μ0...μi = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μi0...μμiAUSL(μi)-1 = μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1 = μ'0...μ'i und b) Für alle j ≤ i: μj = μ'j. Beweis: Seien k, k' ∈ N\{0} und für alle i < k: μi ∈ AUS und μi = μμi0...μμiAUSL(μi)-1 , wobei {μμi0, ..., μμiAUSL(μi)-1} ⊆ GAUS, und für alle i < k': μ'i ∈ AUS und μ'i = μ'μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1 , wobei {μ'μ'i0, ..., μ'μ'iAUSL(μ'i)-1} ⊆ GAUS, und sei μ0...μk-1 = μ'0...μ'k'-1 . Dann gelten (i) und (ii) mit Theorem 1-4-(i) und -(ii). Sei nun für (iii) i < k, k' und sei AUSL(μj) = AUSL(μ'j) für alle j ≤ i. Zunächst gilt mit Postulat 1-3: Es gibt m* ∈ N\{0} und {μ*0, ..., μ*m-1} ⊆ GAUS, so dass μ0...μk-1 = μ*0...μ*m-1 und m = ∑ kn AUSL(μn) und für alle s < m: μ*s = μμ0s, falls s < AUSL(μ0), und μ*s = μμlr für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μl) und s = (∑ ln AUSL(μn))+r, falls AUSL(μ0) ≤ s, und es gibt m' ∈ N\{0} und {μ'*0, ..., μ'*m'-1} ⊆ GAUS, so dass μ'0...μ'k'-1 = μ'*0...μ'*m'-1 und m' = ∑ k′n AUSL(μ'n) und für alle s < m': μ'*s = μ'μ'0s, falls s < AUSL(μ'0), und μ'*s = μ'μ'l'r' für die eindeutig bestimmten l', r', für die 0 < l' < k', r' < AUSL(μ'l') und s = (∑ l′n AUSL(μ'n))+r', falls AUSL(μ'0) ≤ s. Dann ist mit (ii) m = m'. Sodann ist mit (i): 1.1 Inventar und Syntax 9 μ*0...μ*m*-1 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μ μk-10...μμk-1AUSL(μk-1)-1 = μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ'k'-10...μ'μ'k'-1AUSL(μ'k'-1)-1 = μ'*0...μ'*m'-1 . Mit Postulat 1-2-(i) gilt dann für alle s < m = m': μ*s = μ'*s. Sodann ist i = 0 oder 0 < i. Sei i = 0. Nach Annahme ist AUSL(μ0) = AUSL(μ'0). Sei nun s < AUSL(μ0). Dann ist s < AUSL(μ'0) und s < m = m'. Dann ist μ*s = μμ0s und μ'*s = μ'μ'0s. Damit ist dann μμ0s = μ'μ'0s. Also gilt für alle s < AUSL(μ0) = AUSL(μ'0), dass μμ0s = μ'μ'0s und damit nach Postulat 1-2-(i), dass μ0 = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1 = μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1 = μ'0. Damit gilt a) für i = 0. Sodann gilt bei i = 0 für alle j ≤ i, dass j = i = 0 und damit gilt in diesem Fall auch b). Sei nun 0 < i. Aus der Annahme, dass AUSL(μj) = AUSL(μ'j) für alle j ≤ i, ergibt sich: ∑ in AUSL(μn) = ∑ in AUSL(μ'n). Sodann gilt mit Postulat 1-3: Es gibt t ∈ N\{0} und {μ+0, ..., μ+t-1} ⊆ GAUS, so dass μ0...μi = μ+0...μ+t-1 und t = ∑ in AUSL(μn) und für alle s < t: μ+s = μμ0s, falls s < AUSL(μ0), und μ+s = μμl°r° für die eindeutig bestimmten l°, r°, für die 0 < l° < i+1, r° < AUSL(μl°) und s = (∑ l°n AUSL(μn))+r°, falls AUSL(μ0) ≤ s, und es gibt t' ∈ N\{0} und {μ'+0, ..., μ'+t'-1} ⊆ GAUS, so dass μ'0...μ'i = μ'+0...μ'+t'-1 und t' = ∑ in AUSL(μ'n) und für alle s < t': μ'+s = μ'μ'0s, falls s < AUSL(μ'0), und μ'+s = μ'μ'l'°r'° für die eindeutig bestimmten l'°, r'°, für die 0 < l'° < i+1, r'° < AUSL(μ'l'°) und s = (∑ l′°n AUSL(μ'n))+r'°, falls AUSL(μ'0) ≤ s. Dann ist t = ∑ in AUSL(μn) = ∑ in AUSL(μ'n) = t'. Wegen ∑ in AUSL(μn) ≤ ∑ kn AUSL(μn) gilt zudem t ≤ m = m'. Sei nun s < t. Dann ist s < t' und s < m = m'. Sodann ist s < AUSL(μ0) oder AUSL(μ0) ≤ s. Sei nun s < AUSL(μ0). Wegen 0 < i ist dann nach Annahme AUSL(μ0) = AUSL(μ'0) und damit auch s < AUSL(μ'0). Dann ist μ*s = μμ0s = μ+s und μ'*s = μ'μ'0s = μ'+s. Wegen μ*s = μ'*s ist damit μ+s = μ'+s. Sei nun AUSL(μ0) = AUSL(μ'0) ≤ s. Dann gilt: μ*s = μμlr für die eindeutig bestimmten l, r, für die 0 < l < k, r < AUSL(μl) und s = (∑ ln AUSL(μn))+r, und μ'*s = μ'μ'l'r' für die eindeutig bestimmten l', r', für die 0 < l' < k', r' < AUSL(μ'l') und s = (∑ l′n AUSL(μ'n))+r', und 10 1 Zum grammatischen Rahmen μ+s = μμl°r° für die eindeutig bestimmten l°, r°, für die 0 < l° < i+1, r° < AUSL(μl°) und s = (∑ l°n AUSL(μn))+r°, und μ'+s = μ'μ'l'°r'° für die eindeutig bestimmten l'°, r'°, für die 0 < l'° < i+1, r'° < AUSL(μ'l'°) und s = (∑ l′°n AUSL(μ'n))+r'°. Mit l°, l'° < i+1 gilt dann l°, l'° ≤ i. Damit gilt nach Annahme AUSL(μl'°) = AUSL(μ'l'°) und ∑ l′°n AUSL(μn) = ∑ l′°n AUSL(μ'n). Damit gilt 0 < l'° < i+1 und r'° < AUSL(μl'°) und s = (∑ l′°n AUSL(μn))+r'°. Dann ist nach Theorem 1-3 l'° = l° und r'° = r°. Wäre nun i+1 ≤ l. Dann wäre i ≤ l-1. Damit wäre aber t = ∑ in AUSL(μn) ≤ ∑ ln AUSL(μn) ≤ s. Widerspruch! Also ist l < i+1. Damit ergibt sich dann l = l° und r = r°. Analog ergibt sich, dass l' = l'° und r' = r'°, womit dann insgesamt gilt: l = l° = l'° = l' und r = r° = r'° = r'. Damit ist dann μ*s = μμlr = μ+s und μ'*s = μ'μ'lr = μ'+s. Wegen μ*s = μ'*s, ist damit μ+s = μ'+s. Also gilt für alle s < t = t', dass μ+s = μ'+s und damit nach Postulat 1-2-(i), dass μ0...μi = μ+0...μ+t-1 = μ'+0...μ'+t'-1 = μ'0...μ'i . Sodann gilt mit Theorem 1-4-(i), dass μ0...μi = μμ00...μμ0AUSL(μ0)-1...μμi0...μμiAUSL(μi)-1 und μ'0...μ'i = μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ'μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1 . Damit gilt dann auch für 0 < i, dass a) gilt. Sei nun für b) j ≤ i. Für den Fall j = 0 wurde oben bereits gezeigt, dass dann μj = μ'j gilt. Sei nun 0 < j ≤ i. Sei nun r < AUSL(μj) = AUSL(μ'j). Dann ist (∑ jn AUSL(μn))+r = (∑ jn AUSL(μ'n))+r < t = t' ≤ m = m'. Dann gilt mit s = (∑ j n AUSL(μn))+r, dass μ + s = μμjr und μ'+s = μ'μ'jr. Da s < t = t' gilt dann, wie eben gezeigt, dass μ+s = μ'+s und damit auch μμjr = μ'μ'jr. Also gilt für alle r < AUSL(μj) = AUSL(μ'j), dass μμjr = μ'μ'jr. Damit gilt dann mit Postulat 1-2-(i), dass μj = μμj0...μμjAUSL(μj)-1 = μ'μ'j0...μ'μ'jAUSL(μ'j)-1 = μ'j. Damit gilt b) auch für 0 < i. ■ Theorem 1-6. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (c) Wenn k, s ∈ N\{0} und {μ0, ..., μk-1} ⊆ AUS und {μ'0, ..., μ's-1} ⊆ AUS und j < k und μj = μ'0...μ's-1 , dann: μ0...μk-1 = μ0...μj-1μ'0...μ's-1μj+1...μk-1 . Beweis: Seien k, s ∈ N\{0} und {μ0, ..., μk-1} ⊆ AUS und {μ'0, ..., μ's-1} ⊆ AUS und j < k und μj = μ'0...μ's-1 . Dann gibt es mit {μ'0, ..., μ's-1} ⊆ AUS und Theorem 1-2 für alle i < s {μ'μ'i0, ..., μ'μ'iAUSL(μ'i)-1} ⊆ GAUS, so dass μ'i = μ'μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1 . Mit Theorem 1-4-(i) ist μj = μ'0...μ's-1 = μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ'μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1 . Mit Postulat 1-3 gilt μ0...μk-1 = μ0...μj-1μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ'μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 . Durch Induktion über i wird zunächst gezeigt, dass für alle i < s gilt: 1.1 Inventar und Syntax 11 μ0...μj-1μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 = μ0...μj-1μ'0...μ'iμ'μ'i+10...μ'μ'i+1AUSL(μ'i+1)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 . Damit gilt dies dann auch für i = s-1 und damit gilt dann μ0...μk-1 = μ0...μj-1μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 = μ0...μj-1μ'0...μ's-1μj+1...μk-1 . Damit gilt dann das Theorem. Gelte die Behauptung nun für alle l < i. Sei nun i < s. Dann ist i = 0 oder 0 < i. Sei i = 0. Wegen μ'0 = μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1 ist dann nach Postulat 1-3: μ0...μj-1μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 = μ0...μj-1μ'0μ'μ'10...μ'μ'1AUSL(μ'1)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 . Sei nun 0 < i. Dann gilt für alle l < i, dass l < s und damit nach I.V.: μ0...μj-1μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 = μ0...μj-1μ'0...μ'lμ'μ'l+10...μ'μ'l+1AUSL(μ'l+1)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 . Da nun mit 0 < i gilt, dass i-1 < i, gilt damit: μ0...μj-1μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 = μ0...μj-1μ'0...μ'i-1μ'μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 . Wegen μ'i = μ'μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1 gilt dann mit Postulat 1-3: μ0...μj-1μ'μ'00...μ'μ'0AUSL(μ'0)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 = μ0...μj-1μ'0...μ'i-1μ'μ'i0...μ'μ'iAUSL(μ'i)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 = μ0...μj-1μ'0...μ'iμ'μ'i+10...μ'μ'i+1AUSL(μ'i+1)-1...μ' μ's-10...μ'μ's-1AUSL(μ's-1)-1μj+1...μk-1 . Damit gilt die Behauptung für alle i < s und das Theorem ergibt sich wie oben angeben. ■ 12 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-7. Eindeutige Anfangsund Endausdrücke Wenn μ, μ', μ*, μ+ ∈ AUS, dann: (i) Wenn μμ* = μμ+ , dann: μ* = μ+, (ii) Wenn μ*μ = μ+μ , dann: μ* = μ+, und (iii) Wenn μ, μ' ∈ GAUS und μμ* = μ'μ+ , dann μ = μ'. Beweis: Seien μ, μ', μ*, μ+ ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N\{0}, so dass {μ0, ..., μi-1} ⊆ GAUS und μ = μ0...μi-1 und j ∈ N\{0}, so dass {μ*0, ..., μ*j-1} ⊆ GAUS und μ* = μ*0...μ*j-1 und k ∈ N\{0}, so dass {μ+0, ..., μ+k-1} ⊆ GAUS und μ+ = μ+0...μ+k-1 . Sei nun für (i) μμ* = μμ+ . Dann gilt mit Theorem 1-5-(ii): i+j = i+k und somit j = k und damit mit Theorem 1-5-(iii): μ* = μ+. (ii) ergibt sich analog. Seien nun für (iii) μ, μ' ∈ GAUS und μμ* = μ'μ+ . Dann ist μμ*0...μ*j-1 = μ'μ+0...μ+k-1 . Dann gilt mit AUSL(μ) = 1 = AUSL(μ') und Theorem 1-5-(iii) μ = μ'. ■ Theorem 1-8. Kein Ausdruck enthält sich selbst echt Wenn μ', μ*, μ+ ∈ AUS, dann: (i) μ' ≠ μ'μ* , (ii) μ' ≠ μ*μ'μ+ und (iii) μ' ≠ μ*μ' . Beweis: Seien μ', μ*, μ+ ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N\{0}, so dass {μ'0, ..., μ'i-1} ⊆ AUS und μ' = μ'0...μ'i-1 und j ∈ N\{0}, so dass {μ*0, ..., μ*j-1} ⊆ AUS und μ* = μ*0...μ*j-1 und k ∈ N\{0}, so dass {μ+0, ..., μ+k-1} ⊆ AUS und μ+ = μ+0...μ+k-1 .Wäre nun μ' = μ'μ* oder μ' = μ*μ'μ+ oder μ' = μ*μ' . Mit Theorem 1-5-(ii) wäre dann i = i+j oder i = j+i+k oder i = j+i und andererseits mit i, j, k ∈ N\{0}: i ≠ i+j und i ≠ j+i+k und i ≠ j+i. Widerspruch! Also μ' ≠ μ'μ* und μ' ≠ μ*μ'μ+ und μ' ≠ μ*μ' . ■ Nun werden alle Operatoren nach ihrer Stelligkeit bestimmt, wobei die unter Definition 1-5-(vi) beschriebenen Operatoren in Definition 1-8 als Quantoren definiert werden, welche eine eigene Kategorie bilden. Nach der Stelligkeitsdefinition können dann weiterhin die Kategorien der Terme und der Formeln eingeführt und sodann die eindeutige Lesbarkeit für die bereits etablierten Kategorien gezeigt werden. Im Anschluss werden dann weitere grammatische Begrifflichkeiten bis hin zu den Satzsequenzen entwickelt. 1.1 Inventar und Syntax 13 Definition 1-5. Stelligkeit μ ist i-stellig gdw (i) μ ∈ FUNK und es gibt j ∈ N, so dass μ = fi.j oder (ii) μ ∈ PRÄ und es gibt j ∈ N, so dass μ = Pi.j oder (iii) μ = = und i = 2 oder (iv) μ = ¬ und i = 1 oder (v) μ ∈ JUNK\{ ¬ } und i = 2 oder (vi) Es gibt Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR und μ = Πξ und i = 1 oder (vii) μ ∈ PERF und i = 1. Definition 1-6. Die Menge der Terme (TERM; Metavariablen: θ, θ', θ*, ...) TERM = {R | R ⊆ AUS und (i) KONST ∪ PAR ∪ VAR ⊆ R und (ii) Wenn {θ0, ..., θn-1} ⊆ R und φ ∈ FUNK n-stellig, dann φ(θ0, ..., θn-1) ∈ R}. Hinweis: Leerzeichen dienen hier und im Folgenden nur der besseren Lesbarkeit, sie sind kein Teil der Ausdrücke. So steht etwa f3.1(c0, c0, c1) für f3.1(c0,c0,c1) . Definition 1-7. Atomare und funktorale Terme (ATERM und FTERM) (i) ATERM = KONST ∪ PAR ∪ VAR, (ii) FTERM = TERM\ATERM. Definition 1-8. Die Menge der Quantoren (QUANTOR) QUANTOR = { Πξ | Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR}. Definition 1-9. Die Menge der Formeln (FORM; Metavariablen: Α, Β, Γ, Δ, Α', Β', Γ', Δ', Α*, Β*, Γ*, Δ*, ...) FORM = {R | R ⊆ AUS und (i) Wenn {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM und Φ ∈ PRÄ n-stellig, dann Φ(θ0, ..., θn-1) ∈ R, (ii) Wenn Δ ∈ R, dann ¬Δ ∈ R, (iii) Wenn Δ0, Δ1 ∈ R und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }, dann (Δ0 ψ Δ1) ∈ R, und (iv) Wenn Δ ∈ R und ξ ∈ VAR und Π ∈ QUANT, dann ΠξΔ ∈ R}. 14 1 Zum grammatischen Rahmen Definition 1-10. Atomare, junktorale und quantorale Formeln (AFORM, JFORM, QFORM) (i) AFORM = { Φ(θ0, ..., θn-1) | Φ ∈ PRÄ n-stellig und {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM}, (ii) JFORM = { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}, (iii) QFORM = { ΠξΔ | Δ ∈ FORM und Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR}. Das folgende Theorem führt direkt zur eindeutigen Lesbarkeit hin. Theorem 1-9. Terme resp. Formeln haben keine Terme resp. Formeln als echte Anfangsausdrücke (i) Wenn θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS, dann θ' ≠ θμ , und (ii) Wenn Δ, Δ' ∈ FORM und μ ∈ AUS, dann Δ' ≠ Δμ . Beweis: Zu (i): Seien θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion über AUSL(θ') geführt. Gelte dazu die Behauptung für alle θ* ∈ TERM mit AUSL(θ*) < AUSL(θ'). Für AUSL(θ') = 1, also θ' ∈ ATERM, gilt die Behauptung trivial, weil es nach Postulat 1-2-(ii) keine θ, μ ∈AUS gibt, so dass θ' = θμ . Sei nun 1 < AUSL(θ'). Dann gilt θ' ∉ ATERM, also θ' ∈ FTERM. Also gibt es n' ∈ N\{0} und φ' ∈ FUNK, wobei φ' n'-stellig, und {θ'0, ..., θ'n'-1} ⊆ TERM, so dass θ' = φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) . Wäre nun θ' = θμ . Wäre θ ∈ ATERM. Dann wäre θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR und daher würde nach Theorem 1-7-(iii) mit φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) = θ' = θμ gelten, dass φ' = θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Widerspruch! Also ist θ ∈ FTERM und es gibt n ∈ N\{0} und φ ∈ FUNK, wobei φ n-stellig, und {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM, so dass θ = φ(θ0, ..., θn-1) . Also φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) = φ(θ0, ..., θn-1)μ . Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) φ' = φ und damit nach Definition 1-5 und Postulat 1-1-(iv) n = n'. Also φ(θ'0, ..., θ'n-1) = φ(θ0, ..., θn-1)μ , wobei für alle i < n auch gilt, dass AUSL(θ'i), AUSL(θi) < AUSL(θ'). Sodann gilt mit {μ} ∪ TERM ⊆ AUS, dass es {μ*0, ..., μ*AUSL(μ)-1} ⊆ GAUS und {μθ'00, ..., μθ'0AUSL(θ'0)-1} ∪ ... ∪ {μθ'n-10, ..., μθ'n-1AUSL(θ'n-1)-1} ⊆ GAUS und {μθ00, ..., μθ0AUSL(θ0)-1} ∪ ... ∪ {μθn-10, ..., μθn-1AUSL(θn-1)-1} ⊆ GAUS gibt, so dass μ = μ*0...μ*AUSL(μ)-1 und für alle i < n: θ'i = μθ'i0...μθ'iAUSL(θ'i)-1 und θi = μθi0...μθiAUSL(θi)-1 . Dann ist mit Theorem 1-5-(i) φ(μθ'00...μθ'0AUSL(θ'0)-1, ..., μ θ'n-10...μθ'n-1AUSL(θ'n-1)-1) = φ(μθ00...μθ0AUSL(θ0)-1, ..., μ θn-10...μθn-1AUSL(θn-1)-1)μ*0...μ*AUSL(μ)-1 und damit mit Theorem 1-7-(i) 1.1 Inventar und Syntax 15 μθ'00...μθ'0AUSL(θ'0)-1, ..., μ θ'n-10...μθ'n-1AUSL(θ'n-1)-1) = μθ00...μθ0AUSL(θ0)-1, ..., μ θn-10...μθn-1AUSL(θn-1)-1)μ*0...μ*AUSL(μ)-1 . Wäre nun AUSL(θ'i) = AUSL(θi) für alle i < n. Dann wäre mit Theorem 1-5-(iii) und Theorem 1-7-(i) ) = )μ*0...μ*AUSL(μ)-1 , während andererseits mit Postulat 1-2-(ii) gilt: ) ≠ )μ*0...μ*AUSL(μ)-1 . Widerspruch! Also gibt es ein kleinstes i mit AUSL(θ'i) ≠ AUSL(θi). Sei i so und zunächst AUSL(θ'i) < AUSL(θi). Angenommen i = 0. Dann ergibt sich mit Theorem 1-5-(iii) für alle j < AUSL(θ'0), dass μθ'0j = μθ0j und damit nach Postulat 1-2-(i): θ'0 = μθ'00...μθ'0AUSL(θ'0)-1 = μθ00...μθ0AUSL(θ'0)-1 . Wegen AUSL(θ'0) < AUSL(θ0) gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass θ'0μθ0AUSL(θ'0)...μθ0AUSL(θ0)-1 = μθ00...μθ0AUSL(θ'0)-1μθ0AUSL(θ'0)...μθ0AUSL(θ0)-1 = μθ00...μθ0AUSL(θ0)-1 = θ0, im Widerspruch zur I.V. Angenommen i > 0. Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii): μθ'00...μθ'0AUSL(θ'0)-1, ..., μ θ'i-10...μθ'i-1AUSL(θ'i-1)-1, = μθ00...μθ0AUSL(θ0)-1, ..., μ θi-10...μθi-1AUSL(θi-1)-1, . Also mit Theorem 1-7-(i): μθ'i0...μθ'iAUSL(θ'i)-1, ..., μ θ'n-10...μθ'n-1AUSL(θ'n-1)-1) = μθi0...μθiAUSL(θi)-1, ..., μ θn-10...μθn-1AUSL(θn-1)-1)μ*0...μ*AUSL(μ)-1 . Mit Theorem 1-5-(iii) gilt sodann für alle j < AUSL(θ'i), dass μθ'ij = μθij und damit nach Postulat 1-2-(i): θ'i = μθ'i0...μθ'iAUSL(θ'i)-1 = μθi0...μθiAUSL(θ'i)-1 . Wegen AUSL(θ'i) < AUSL(θi) gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass θ'iμθiAUSL(θ'i)...μθiAUSL(θi)-1 = μθi0...μθiAUSL(θ'i)-1μθiAUSL(θ'i)...μθiAUSL(θi)-1 = μθi0...μθiAUSL(θi)-1 = θi, ebenfalls im Widerspruch zur I.V. Bei AUSL(θi) < AUSL(θ'i) ergibt sich analog ein Widerspruch. Also führt die Annahme, dass θ' = θμ für ein θ ∈ TERM, zum Widerspruch. Zu (ii): Seien nun Δ, Δ' ∈ FORM und μ ∈ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion über AUSL(Δ') geführt. Gelte dazu die Behauptung für alle Δ* ∈ FORM mit AUSL(Δ*) < AUSL(Δ'). Mit Δ' ∈ FORM gilt Δ' ∈ AFORM ∪ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Diese vier Fälle werden nun unterschieden. Erstens: Sei Δ' ∈ AFORM. Der Beweis wird analog zum Induktionsschritt für (i) unter Rückgriff auf (i) gezeigt. Angenommen Δ' = Δμ . Also gibt es n' ∈ N\{0} und Φ' ∈ 16 1 Zum grammatischen Rahmen PRÄ und {θ'0, ..., θ'n'-1} ⊆ TERM, so dass Δ' = Φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) . Wäre Δ ∈ JFORM ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ { ¬ , ( } ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten Φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) = Δ' = Δμ = μ'μ*μ und damit nach Theorem 1-7-(iii) Φ' = μ'. Also Φ' ∈ { ¬ , ( } ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∉ JFORM ∪ QFORM, sondern Δ ∈ AFORM. Damit gibt es n ∈ N\{0} und Φ ∈ PRÄ, Φ nstellig, und {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM, so dass Δ = Φ(θ0, ..., θn-1) . Also Φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) = Φ(θ0, ..., θn-1)μ . Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) Φ' = Φ und damit nach Definition 1-5 und Postulat 1-1-(v) n = n'. Also Φ(θ'0, ..., θ'n-1) = Φ(θ0, ..., θn-1)μ . Ab hier läuft der Beweis für Δ' ∈ AFORM vollkommen analog zum Induktionsschritt für (i), wobei der resultierende Widerspruch hier nicht mit der I.V., sondern mit (i) besteht. Zweitens: Sei nun Δ' ∈ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM}. Dann gibt es Δ# ∈ FORM, so dass Δ' = ¬Δ# , wobei AUSL(Δ#) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = Δμ und damit Δμ = ¬Δ# . Wäre Δ ∈ AFORM ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ { ( } ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten ¬Δ# = Δμ = μ'μ*μ und damit nach Theorem 1-7-(iii) ¬ = μ'. Also ¬ ∈ PRÄ ∪ { ( } ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∈ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM} und es gibt Δ+ ∈ FORM, so dass Δ = ¬Δ+ . Also ¬Δ# = ¬Δ+μ . Mit Theorem 1-7-(i) gilt Δ# = Δ+μ , im Widerspruch zur I.V. Drittens: Sei nun Δ' ∈ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}. Dann gibt es Δ'0, Δ'1 ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass Δ' = (Δ'0 ψ' Δ'1) , wobei AUSL(Δ'0) < AUSL(Δ') und AUSL(Δ'1) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = Δμ und damit Δμ = (Δ'0 ψ' Δ'1) . Wäre Δ ∈ AFORM ∪ { ¬Δ* | Δ* ∈ FORM} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ { ¬ } ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten (Δ'0 ψ' Δ'1) = Δ' = Δμ = μ'μ*μ und damit nach Theorem 1-7-(iii) ( = μ'. Also ( ∈ PRÄ ∪ { ¬ } ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∈ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} und es gibt Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass Δ = (Δ0 ψ Δ1) , wobei AUSL(Δ0), AUSL(Δ1) < AUSL(Δ'). Also (Δ'0 ψ' Δ'1) = (Δ0 ψ Δ1)μ . Mit Theorem 1-7-(i) gilt Δ'0 ψ' Δ'1) = Δ0 ψ Δ1)μ . Sodann gilt mit {μ} ∪ FORM ⊆ AUS, dass es {μ*0, ..., μ*AUSL(μ)-1} ⊆ GAUS und {μΔ'00, ..., μΔ'0AUSL(Δ'0)-1} ∪ {μΔ'10, ..., μΔ'1AUSL(Δ'1)-1} ⊆ GAUS und {μΔ00, ..., μΔ0AUSL(Δ0)-1} ∪ {μΔ10, ..., μΔ1AUSL(Δ1)-1} ⊆ GAUS gibt, so dass μ = μ*0...μ*AUSL(μ)-1 und für alle i < 2: Δ'i = μΔ'i0...μΔ'iAUSL(Δ'i)-1 und Δi = μΔi0...μΔiAUSL(Δi)-1 . 1.1 Inventar und Syntax 17 Dann ergibt sich mit Theorem 1-5-(i): μΔ'00...μΔ'0AUSL(Δ'0)-1ψ'μ Δ'10...μΔ'1AUSL(Δ'1)-1) = μΔ00...μΔ0AUSL(Δ0)-1ψμ Δ10...μΔ1AUSL(Δ1)-1)μ*0...μ*AUSL(μ)-1 . Wäre nun AUSL(Δ'0) < AUSL(Δ0). Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii) für alle j < AUSL(Δ'0), dass μΔ'0j = μΔ0j, und damit nach Postulat 1-2-(i) Δ'0 = μΔ'00...μΔ'0AUSL(Δ'0)-1 = μΔ00...μΔ0AUSL(Δ'0)-1 . Damit gilt dann mit Theorem 1-6, dass Δ'0μΔ0AUSL(Δ'0)...μΔ0AUSL(Δ0)-1 = μΔ00...μΔ0AUSL(Δ'0)-1μΔ0AUSL(Δ'0)...μΔ0AUSL(Δ0)-1 = μΔ00...μΔ0AUSL(Δ0)-1 = Δ0; im Widerspruch zur I.V. Bei AUSL(Δ0) < AUSL(Δ'0) ergibt sich analog ein Widerspruch. Also AUSL(Δ'0) = AUSL(Δ0). Damit gilt mit Theorem 1-5-(iii) μΔ'00...μΔ'0AUSL(Δ'0)-1ψ' = μΔ00...μΔ0AUSL(Δ0)-1ψ und damit mit Theorem 1-7-(i) auch μΔ'10...μΔ'1AUSL(Δ'1)-1) = μΔ10...μΔ1AUSL(Δ1)-1)μ*0...μ*AUSL(μ)-1 . Wie eben für Δ'0, Δ0 zeigt man, dass AUSL(Δ'1) = AUSL(Δ1). Damit gilt dann aber mit Theorem 1-5-(iii), dass Δ'1 = Δ1, und damit mit Theorem 1-7-(i), dass ) = )μ*0...μ*AUSL(μ)-1 , was Postulat 1-2-(ii) widerspricht. Viertens: Sei nun Δ' ∈ QFORM. Dann gibt es Δ# ∈ FORM und Π' ∈ QUANT und ξ' ∈ VAR, so dass Δ' = Π'ξ'Δ# , wobei AUSL(Δ#) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = Δμ und damit Δμ = Π'ξ'Δ# . Wäre Δ ∈ AFORM ∪ JFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ { ¬ , ( } und μ* ∈ AUS, so dass Δ = μ'μ* . Also würde mit Theorem 1-6 gelten Π'ξ'Δ# = Δμ = μ'μ*μ und damit Π' = μ'. Also Π' ∈ PRÄ ∪ { ¬ , ( }. Widerspruch! Also Δ ∈ QFORM und es gibt Δ+ ∈ FORM und Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR, so dass Δ = ΠξΔ+ . Also Π'ξ'Δ# = ΠξΔ+μ . Mit Theorem 1-7-(iii) und -(i) gilt zunächst ξ'Δ# = ξΔ+μ und schliesslich Δ# = Δ+μ , im Widerspruch zur I.V. In allen vier Fällen führt Δ' = Δμ zum Widerspruch. Also Δ' ≠ Δμ . ■ 18 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-10. Eindeutige Lesbarkeit ohne Sätze (a – Eindeutige Kategorie) (i) KONST ∩ (PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (ii) PAR ∩ (KONST ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (iii) VAR ∩ (KONST ∪ PAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (iv) FTERM ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (v) QUANTOR ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (vi) AFORM ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (vii) { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM) = ∅, (viii) { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ QFORM) = ∅ und (ix) QFORM ∩ (KONST ∪ PAR ∪ VAR ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}) = ∅. Beweis: Sei μ ∈ KONST. Dann ist nach Postulat 1-1 μ ∉ PAR ∪ VAR und nach Definition 1-7 μ ∉ FTERM. Wäre μ ∈ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ GAUS und μ* ∈ AUS, so dass μ = μ'μ* . Das widerspricht Postulat 1-2-(ii). Also μ ∉ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Für μ ∈ PAR und μ ∈ VAR verläuft der Beweis analog. Sei nun μ ∈ FTERM. Nach Definition 1-7 ist dann μ ∉ KONST ∪ PAR ∪ VAR und es ist μ ∈ TERM. Nach Definition 1-6 gibt es damit φ ∈ FUNK und μ+ ∈ AUS, so dass μ = φμ+ . Wäre μ ∈ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Dann gäbe es μ' ∈ PRÄ ∪ QUANT ∪ {'¬', '('} und μ* ∈ AUS, so dass μ = μ'μ* . Dann müsste nach Theorem 1-7-(iii) μ' = φ sein und damit μ' ∈ FUNK. Das widerspricht Postulat 1-1. Also μ ∉ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Für μ ∈ QUANTOR, μ ∈ AFORM, μ ∈ { ¬Δ | Δ ∈ FORM}, μ ∈ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} und μ ∈ QFORM verläuft der Beweis analog. ■ 1.1 Inventar und Syntax 19 Theorem 1-11. Eindeutige Lesbarkeit ohne Sätze (b – Eindeutige Zerlegbarkeit) Wenn μ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM, dann: (i) μ ∈ ATERM oder (ii) μ ∈ FTERM und es gibt n ∈ N\{0}, φ ∈ FUNK und {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM, so dass μ = φ(θ0, ..., θn-1) und für alle n' ∈ N\{0}, φ' ∈ FUNK und {θ'0, ..., θ'n'-1} ⊆ TERM mit μ = φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) gilt: n = n' und φ = φ' und für alle i < n: θi = θ'i, oder (iii) μ ∈ QUANTOR und es gibt Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR, so dass μ = Πξ und für alle Π' ∈ QUANT und ξ' ∈ VAR mit μ = Π'ξ' gilt: Π = Π' und ξ = ξ', oder (iv) μ ∈ AFORM und es gibt n ∈ N\{0}, Φ ∈ PRÄ und {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM, so dass μ = Φ(θ0, ..., θn-1) und für alle n' ∈ N\{0}, Φ' ∈ PRÄ und {θ'0, ..., θ'n'-1} ⊆ TERM mit μ = Φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) gilt: n = n' und Φ = Φ' und für alle i < n: θi = θ'i, oder (v) μ ∈ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} und es gibt Δ ∈ FORM, so dass μ = ¬Δ und für alle Δ' ∈ FORM mit μ = ¬Δ' gilt: Δ = Δ', oder (vi) μ ∈ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} und es gibt Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass μ = (Δ0 ψ Δ1) und für alle Δ'0, Δ'1 ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK\{ ¬ } mit μ = (Δ'0 ψ' Δ'1) gilt: Δ0 = Δ'0 und Δ1 = Δ'1 und ψ = ψ', oder (vii) μ ∈ QFORM und es gibt Π ∈ QUANT, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, so dass μ = ΠξΔ und für alle Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR und Δ' ∈ FORM mit μ = Π'ξ'Δ' gilt: Π = Π' und ξ = ξ' und Δ = Δ'. Beweis: Sei μ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM. Also μ ∈ ATERM ∪ FTERM ∪ QUANTOR ∪ AFORM ∪ { ¬Δ | Δ ∈ FORM} ∪ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }} ∪ QFORM. Es werden diese sieben Fälle unterschieden. Erstens: Angenommen μ ∈ ATERM. Damit ist (i) trivial erfüllt. Zweitens: Sei μ ∈ FTERM. Dann gibt es nach Definition 1-6 und Definition 1-7 n ∈ N\{0}, φ ∈ FUNK und {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM, so dass μ = φ(θ0, ..., θn-1) . Seien nun auch n' ∈ N\{0}, φ' ∈ FUNK und {θ'0, ..., θ'n'-1} ⊆ TERM, so dass μ = φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) . φ = φ' folgt mit Theorem 1-7-(iii). Mit Theorem 1-7-(i) folgt damit θ0, ..., θn-1) = θ'0, ..., θ'n'-1) . Dann lässt sich durch Induktion über i zeigen, dass für alle i ∈ N gilt: Wenn i < n, dann i < n' und θi = θ'i. Gelte dazu die Behauptung für alle k < i. Angenommen i < n. Angenommen i = 0. Dann gilt, dass 0 < n'. Ausserdem gilt, dass es {μ0, ..., μAUSL(θ0)-1} ∪ {μ'0, ..., μ'AUSL(θ'0)-1} ⊆ GAUS gibt, so dass θ0 = μ0...μAUSL(θ0)-1 and θ'0 = μ'0...μ'AUSL(θ'0)-1 und somit mit Theorem 1-6 μ0...μAUSL(θ0)-1, ..., θn-1) = μ'0...μ'AUSL(θ'0)-1, ..., θ'n'-1) . Wäre AUSL(θ0) < AUSL(θ'0). Dann wäre mit Theorem 1-5-(iii) für alle l < AUSL(θ0) μl = μ'l und damit nach Postulat 1-2-(i) θ0 = μ0...μAUSL(θ0)-1 = μ'0...μ'AUSL(θ0)-1 . Damit wäre dann aber mit Theorem 1-6 20 1 Zum grammatischen Rahmen θ0μ'AUSL(θ0)...μ'AUSL(θ'0)-1 = μ'0...μ'AUSL(θ0)-1μ'AUSL(θ0)...μ'AUSL(θ'0)-1 = θ'0, was Theorem 1-9-(i) widerspricht. Ebenso folgt ein Widerspruch für AUSL(θ'0) < AUSL(θ0). Also gilt, dass AUSL(θ0) = AUSL(θ'0) und somit mit Theorem 1-5-(iii) auch θ0 = θ'0. Angenommen 0 < i. Dann gilt für alle k < i: k < n. Mit I.V. gilt mithin für alle k < i, dass k < n' und θk = θ'k. Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii), dass θ0, ..., θi-1 = θ'0, ..., θ'i-1 . Ausserdem gilt, dass i-1 < n' und somit, dass i ≤ n'. Wäre i = n'. Dann wäre θ0, ..., θi-1 = θ'0, ..., θ'n'-1 . Mit Theorem 1-7-(i) wäre dann jedoch , θi, ..., θn-1) = ) , was Postulat 1-2-(ii) widerspricht. Also gilt i < n'. Damit ergibt sich wiederum mit Theorem 1-7-(i), dass θi, ..., θn-1) = θ'i, ..., θ'n'-1) . Daraus ergibt sich θi = θ'i in derselben Weise wie θ0 = θ'0 für i = 0. Also gilt für alle i < n, dass i < n' und θi = θ'i. Analog zeigt man, dass für alle i < n' gilt: i < n und θ'i = θi. Zusammen ergibt sich damit dann, dass n = n' und dass für alle i < n: θi = θ'i. Drittens: Sei μ ∈ QUANTOR. Dann gibt es nach Definition 1-8 Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR, so dass μ = Πξ . Seien nun auch Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR, so dass μ = Π'ξ' . Aus Theorem 1-7-(iii) und -(i) folgt sofort Π = Π' und ξ = ξ'. Viertens: Sei μ ∈ AFORM. Dann gibt es nach Definition 1-10-(i) n ∈ N\{0}, Φ ∈ PRÄ und {θ0, ..., θn-1} ⊆ TERM, so dass μ = Φ(θ0, ..., θn-1) . Seien nun auch n' ∈ N\{0}, Φ' ∈ PRÄ und {θ'0, ..., θ'n'-1} ⊆ TERM, so dass μ = Φ'(θ'0, ..., θ'n'-1) . Φ = Φ' ergibt sich aus Theorem 1-7-(iii). Damit gilt dann mit Theorem 1-7-(i), dass θ0, ..., θn-1) = θ'0, ..., θ'n'-1) . Daraus ergibt sich wie im zweiten Fall, dass n = n' und dass für alle i < n: θi = θ'i. Fünftens: Sei μ ∈ { ¬Δ | Δ ∈ FORM}. Dann gibt es Δ ∈ FORM, so dass μ = ¬Δ . Sei nun auch Δ' ∈ FORM, so dass μ = ¬Δ' . Aus Theorem 1-7-(i) folgt sofort Δ = Δ'. Sechstens: Sei μ ∈ { (Δ0 ψ Δ1) | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }}. Dann gibt es Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass μ = (Δ0 ψ Δ1) . Seien nun auch Δ'0, Δ'1 ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK\{ ¬ }, so dass μ = (Δ'0 ψ' Δ'1) . Dann gilt zunächst mit Theorem 1-7-(i) Δ0 ψ Δ1) = Δ'0 ψ' Δ'1) . Sodann gibt es {μ0, ..., μAUSL(Δ0)-1} ∪ {μ'0, ..., μ'AUSL(Δ'0)-1} ⊆ GAUS, so dass Δ0 = μ0...μAUSL(Δ0)-1 und Δ'0 = μ'0...μ'AUSL(Δ'0)-1 . Wäre AUSL(Δ0) < AUSL(Δ'0). Dann wäre mit Theorem 1-5-(iii) μi = μ'i für alle i < AUSL(Δ0). Damit wäre dann nach nach Postulat 1-2-(i) Δ0 = μ0...μAUSL(Δ0)-1 = μ'0...μ'AUSL(Δ0)-1 . Mit Theorem 1-6 wäre dann aber Δ0μ'AUSL(Δ0)...μ'AUSL(Δ'0)-1 = μ'0...μ'AUSL(Δ0)-1μ'AUSL(Δ0)...μ'AUSL(Δ'0)-1 = μ'0...μ'AUSL(Δ'0)-1 = Δ'0, entgegen Theorem 1-9-(ii). Für AUSL(Δ'0) < AUSL(Δ0) ergibt sich auf analoge Weise ein Widerspruch. 1.1 Inventar und Syntax 21 Also AUSL(Δ0) = AUSL(Δ'0) und damit Δ0 = Δ'0. Mit Theorem 1-7 gilt dann ψ Δ1) = ψ' Δ'1) , dann ψ = ψ', weiter Δ1) = Δ'1) und schliesslich Δ1 = Δ'1. Siebtens: Sei μ ∈ QFORM. Dann gibt es nach Definition 1-10-(iii) Π ∈ QUANT, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, so dass μ = ΠξΔ . Seien nun auch Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR, Δ' ∈ FORM, so dass μ = Π'ξ'Δ' . Aus Theorem 1-7-(iii) und -(i) folgt sofort Π = Π' und ξ = ξ' und Δ = Δ'. ■ Nach Theorem 1-10 und Theorem 1-11 lassen sich nun in der üblichen Weise Funktionen auf den Mengen TERM, FORM und ihrer Vereinigungsmenge über den induktiven Aufbau der Terme und Formeln definieren. Die folgenden Termund Formelgraddefinitionen (Definition 1-11 und Definition 1-12) erlauben es, Eigenschaften von Formeln und Termen durch Beweise mittels Induktion über die natürlichen Zahlen in bequemerer Weise zu führen als dies unter Rückgriff auf AUSL möglich ist. Definition 1-11. Termgrad8 (TGRAD) TGRAD ist eine Funktion auf TERM und (i) Wenn θ ∈ ATERM, dann TGRAD(θ) = 0, (ii) Wenn φ(θ0, ..., θn-1) ∈ FTERM, dann TGRAD( φ(θ0, ..., θn-1) ) = max({TGRAD(θ0), ..., TGRAD(θn-1)})+1. Definition 1-12. Formelgrad (FGRAD) FGRAD ist eine Funktion auf FORM und (i) Wenn Δ ∈ AFORM, dann FGRAD(Δ) = 0, (ii) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann FGRAD( ¬Δ ) = FGRAD(Δ)+1, (iii) Wenn (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM, dann FGRAD( (Δ0 ψ Δ1) ) = max({FGRAD(Δ0), FGRAD(Δ1)})+1, (iv) Wenn ΠξΔ ∈ QFORM, dann FGRAD( ΠξΔ ) = FGRAD(Δ)+1. Für den Identitätsprädikator wird im Weiteren die übliche Infixnotation ohne Klammern verwendet, also θ = θ* für =(θ, θ*) . Auch werden bei Formeln oft die äusseren Klammern weggelassen, also Α ψ Β für (Α ψ Β) . Mit Definition 1-13 können nun die 8 'min(..)' sei für nicht-leere Teilmengen von N und 'max(..)' für nicht-leere und endliche Teilmengen von N wie üblich definiert. Falls X keine nicht-leere Teilmenge von N ist, sei min(X) = 0, und falls X keine nicht-leere endliche Teilmenge von N ist, sei auch max(X) = 0. 22 1 Zum grammatischen Rahmen freien Variablen eines Terms oder einer Formel und auf dieser Basis in Definition 1-16 die Sätze bestimmt werden. Definition 1-13. Zuordnung der Menge der Variablen, die in einem Term θ oder einer Formel Γ frei vorkommen (FV) FV ist eine Funktion auf TERM ∪ FORM und (i) Wenn α ∈ KONST, dann FV(α) = ∅, (ii) Wenn β ∈ PAR, dann FV(β) = ∅, (iii) Wenn ξ ∈ VAR, dann FV(ξ) = {ξ}, (iv) Wenn φ(θ0, ..., θn-1) ∈ FTERM, dann FV( φ(θ0, ..., θn-1) ) = {FV(θi) | i < n}, (v) Wenn Φ(θ0, ..., θn-1) ∈ AFORM, dann FV( Φ(θ0, ..., θn-1) ) = {FV(θi) | i < n}, (vi) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann FV( ¬Δ ) = FV(Δ), (vii) Wenn (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM, dann FV( (Δ0 ψ Δ1) ) = FV(Δ0) ∪ FV(Δ1), und (viii) Wenn ΠξΔ ∈ QFORM und, dann FV( ΠξΔ ) = FV(Δ)\{ξ}. Definition 1-14. Die Menge der geschlossenen Terme (GTERM) GTERM = {θ | θ ∈ TERM und FV(θ) = ∅}. Hinweis: Man beachte, dass Parameter nach Definition 1-14 geschlossene Terme sind. Definition 1-15. Die Menge der geschlossenen Formeln (GFORM) GFORM = {Δ | Δ ∈ FORM und FV(Δ) = ∅}. Geschlossene Formeln werden auch als Aussagen angesprochen. Man beachte, dass geschlossene Formeln durchaus Parameter zum Teilausdruck (siehe Definition 1-20) haben können. Definition 1-16. Die Menge der Sätze (SATZ; Metavariablen: Σ, Σ', Σ*, ...) SATZ = { ΞΓ | Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM}. Definition 1-17. Annahmeund Folgerungssätze (ASATZ und FSATZ) (i) ASATZ = { Sei Γ | Γ ∈ GFORM}, (ii) FSATZ = { Also Γ | Γ ∈ GFORM}. 1.1 Inventar und Syntax 23 Theorem 1-12. Eindeutige Kategorie und eindeutige Zerlegbarkeit für Sätze Wenn Σ ∈ SATZ, dann Σ ∉ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM und (i) Σ ∈ ASATZ und Σ ∉ FSATZ und es gibt Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Sei Γ und für alle Γ' ∈ GFORM mit Σ = Sei Γ' gilt: Γ = Γ', oder (ii) Σ ∈ FSATZ und Σ ∉ ASATZ und es gibt Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Also Γ und für alle Γ' ∈ GFORM mit Σ = Also Γ' gilt: Γ = Γ'. Beweis: Sei Σ ∈ SATZ. Also gibt es Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass Σ = ΞΓ . Wäre Σ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM, dann wäre Σ ∈ ATERM oder Σ ∈ FTERM ∪ QUANTOR ∪ FORM. Im ersten Falle wäre im Widerspruch zu Postulat 1-2-(ii) Σ ∈ GAUS. Im zweiten Falle gäbe es μ ∈ FUNK ∪ QUANT ∪ PRÄ ∪ { ¬ , ( } und μ' ∈ AUS, so dass Σ = μμ' . Damit wäre Ξ = μ und mithin Ξ ∈ FUNK ∪ QUANT ∪ PRÄ ∪ { ¬ , ( }, im Widerspruch zu Postulat 1-1. Also Σ ∉ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM. Wenn nun Σ ∈ SATZ, dann mit Postulat 1-1-(viii) Σ ∈ ASATZ oder Σ ∈ FSATZ. Es werden diese zwei Fälle unterschieden. Erstens: Sei Σ ∈ ASATZ. Dann gibt es Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Sei Γ . Wäre darüber hinaus Σ ∈ FSATZ, dann gäbe es Γ*, so dass Σ = Also Γ* und nach Theorem 1-7-(iii) Sei = Also . Dann wäre entgegen Postulat 1-1-(viii) { Sei , Also } keine Zweiermenge. Also Σ ∉ FSATZ. Sei nun auch Γ' ∈ GFORM, so dass Σ = Sei Γ' . Also Sei Γ = Sei Γ' . Mit Theorem 1-7-(i) folgt sofort Γ = Γ'. Zweitens: Sei Σ ∈ FSATZ. Dann gibt es Γ ∈ GFORM, so dass Σ = Also Γ . Wäre nun auch Σ ∈ ASATZ, dann ergäbe sich analog zum ersten Fall ein Widerspruch. Also Σ ∉ ASATZ. Sei nun auch Γ' ∈ GFORM, so dass Σ = Also Γ' . Also Also Γ = Also Γ' . Mit Theorem 1-7-(i) folgt sofort Γ = Γ'. ■ Nach Theorem 1-12 lassen sich nun auch Funktionen auf der Menge TERM ∪ FORM ∪ SATZ in der üblichen Weise über den Aufbau der Terme, Formeln und Sätze definieren. Definition 1-18. Satzaussagenzuordnung (A) A = {( ΞΓ , Γ) | Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM}. Hinweis: Mit Definition 1-16 und Theorem 1-12 ergibt sich sofort, dass A eine Funktion auf SATZ ist. Daher wird im Weiteren die Funktionsschreibweise verwendet: A( ΞΓ ) = Γ. Die Menge der Grundausdrücke und die definierten grammatischen Kategorien können nun als die eigentlichen Ausdrücke zusammengefasst werden. 24 1 Zum grammatischen Rahmen Definition 1-19. Die Menge der eigentlichen Ausdrücke (EAUS) EAUS = GAUS ∪ QUANTOR ∪ TERM ∪ FORM ∪ SATZ. Definition 1-20. Die Teilausdruckfunktion (TA) TA ist eine Funktion auf EAUS und (i) Wenn τ ∈ GAUS, dann TA(τ) = {τ}, (ii) Wenn φ(θ0, ..., θn-1) ∈ FTERM, dann TA( φ(θ0, ..., θn-1) ) = { φ(θ0, ..., θn-1) , φ} ∪ {TA(θi) | i < n}, (iii) Wenn Πξ ∈ QUANTOR, dann TA( Πξ ) = { Πξ , Π, ξ}, (iv) Wenn Φ(θ0, ..., θn-1) ∈ AFORM, dann TA( Φ(θ0, ..., θn-1) ) = { Φ(θ0, ..., θn-1) , Φ} ∪ {TA(θi) | i < n}, (v) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann TA( ¬Δ ) = { ¬Δ , ¬ } ∪ TA(Δ), (vi) Wenn (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM, dann TA( (Δ0 ψ Δ1) ) = { (Δ0 ψ Δ1) , ψ} ∪ TA(Δ0) ∪ TA(Δ1), (vii) Wenn ΠξΔ ∈ QFORM, dann TA( ΠξΔ ) = { ΠξΔ } ∪ TA( Πξ ) ∪ TA(Δ), und (viii) Wenn ΞΔ ∈ SATZ, dann TA( ΞΔ ) = { ΞΔ , Ξ} ∪ TA(Δ). Definition 1-21. Die Teiltermfunktion (TT) TT ist eine Funktion auf TERM ∪ FORM ∪ SATZ und für alle τ ∈ TERM ∪ FORM ∪ SATZ ist TT(τ) = TA(τ) ∩ TERM. Definition 1-22. Die Teilformelfunktion (TF) TF ist eine Funktion auf FORM ∪ SATZ und für alle τ ∈ FORM ∪ SATZ ist TF(τ) = TA(τ) ∩ FORM. Die folgenden Definitionen beschreiben die Syntax von L insoweit sie über die Satzebene hinausgeht. Wie oben bemerkt, wird – wie schon bei den vorhergehenden Definitionen – der explizite Bezug auf L unterdrückt. Definition 1-23 zeichnet endliche Folgen aus Folgerungsund Annahmesätzen als (Satz)Sequenzen aus: Definition 1-23. (Satz)Sequenzen (Metavariablen: , ', *, ...) ist eine Sequenz gdw ist eine endliche Folge und für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ∈ SATZ. 1.1 Inventar und Syntax 25 Definition 1-24. Menge der (Satz)Sequenzen (SEQ) SEQ = { | ist eine Sequenz}. Definition 1-25. Konklusionszuordnung (K) K = {( , Γ) | ∈ SEQ\{∅} und Γ = A( Dom( )-1)}. Hinweis: Aus dieser Definition ergibt sich direkt, dass K eine Funktion auf SEQ\{∅} ist. Definition 1-26. Zuordnung der Teilmenge einer Sequenz , deren Glieder die Annahmesätze von sind (ANS) ANS = {( , X) | ∈ SEQ und X = {(i, i) | i ∈ Dom( ) und i ∈ ASATZ}}. Definition 1-27. Zuordnung der Menge der Annahmen (AN) AN = {( , X) | ∈ SEQ und X = {Γ | Es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )), so dass Γ = A( i)}}. Definition 1-28. Zuordnung der Teilmenge einer Sequenz , deren Glieder die Folgerungssätze von sind (FS) FS = {( , X) | ∈ SEQ und X = {(i, i) | i ∈ Dom( ) und i ∈ FSATZ}}. Hinweis: Aus diesen Definitionen ergibt sich direkt, dass ANS, AN und FS Funktionen auf SEQ sind. Definition 1-29. Zuordnung der Menge der Teilterme der Glieder einer Sequenz (TTSEQ) TTSEQ = {( , X) | ∈ SEQ und X = {TT( i) | i ∈ Dom( )}}. Hinweis: Aus dieser Definition ergibt sich direkt, dass TTSEQ eine Funktion auf SEQ ist. Definition 1-30. Zuordnung der Menge der Teilterme der Elemente einer Formelmenge X (TTFM) TTFM = {(X, Y) | X ⊆ FORM und Y = {TT(Α) | Α ∈ X}}. Hinweis: Aus dieser Definition ergibt sich direkt, dass TTFM eine Funktion auf Pot(FORM) ist. 26 1 Zum grammatischen Rahmen 1.2 Substitution Für die metalogische Arbeit sind nun Substitutionsbegrifflichkeiten zu etablieren. Dabei wird die übliche Substitutionskonzeption eingeschränkt: Die Substituenda dürfen nur atomare Terme sein und von den Substituentia wird Geschlossenheit verlangt. Dies macht es auch überflüssig, gebundene Umbenennungen vorzunehmen, um Variablenkollisionen zu verhindern, da die Substituentia eben geschlossen sind. Die Aufgaben, die in vielen Kalkülen und in der Modelltheorie üblicherweise von freien Variablen übernommen werden, leisten im Redehandlungskalkül und in der hier entwickelten Modelltheorie die Parameter – welche geschlossene Terme sind (siehe Definition 1-14). Sodann können nicht nur Terme und Formeln Substitutionsorte sein, sondern auch Sätze und Sequenzen (Klausel (ix) und (x) von Definition 1-31). Definition 1-31. Substitution von geschlossenen Termen für atomare Terme in Termen, Formeln, Sätzen und Sequenzen9 Die Substitution ist eine 3-stellige Funktion auf {〈〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, μ〉 | k ∈ N\{0}, 〈θ'0, ..., θ'k-1〉 ∈ kGTERM, 〈θ0, ..., θk-1〉 ∈ kATERM und μ ∈ TERM ∪ FORM ∪ SATZ ∪ SEQ}. Als Substitutionsoperator wird '[.., .., ..]' verwendet. Die Werte werden wie folgt zugeordnet: (i) Wenn θ+ ∈ ATERM und θ+ = θk-1, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, θ+] = θ'k-1, (ii) Wenn θ+ ∈ ATERM, θ+ ≠ θk-1 und k = 1, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, θ+] = θ+, (iii) Wenn θ+ ∈ ATERM, θ+ ≠ θk-1 und k ≠ 1, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, θ+] = [〈θ'0, ..., θ'k-2〉, 〈θ0, ..., θk-2〉, θ+], (iv) Wenn φ(θ*0, ..., θ*l-1) ∈ FTERM, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, φ(θ*0, ..., θ*l-1) ] = φ([〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, θ*0], ..., [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, θ*l-1]) , (v) Wenn Φ(θ0, ..., θl-1) ∈ AFORM, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, Φ(θ*0, ..., θ*l-1) ] = Φ([〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, θ*0], ..., [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, θ*l-1]) , (vi) Wenn ¬Δ ∈ JFORM, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, ¬Δ ] = ¬[〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, Δ] , (vii) Wenn (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, (Δ0 ψ Δ1) ] = ([〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, Δ0] ψ [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, Δ1]) , 9 Es gelte XY = {f | f ∈ Pot(X × Y) und f ist Funktion auf X und Ran(f) ⊆ Y}. Für die Verwendung des Tupeloperators gelte: 〈a0, ..., ak-1〉 = {(i, ai) | i < k}. Bei der Angabe von Substitutionen werden im Folgenden für 1-Tupel einfach deren Werte notiert. Also etwa [θ'0, θ0, Δ] statt [〈θ'0〉, 〈θ0〉, Δ]. 1.2 Substitution 27 (viii) Wenn ΠξΔ ∈ QFORM, dann sei 〈i0, ..., is-1〉 so, dass s = |{j | j < k und θj ≠ ξ}| und für alle l < s gilt il ∈ {j | j < k und θj ≠ ξ} und für alle k < l < s gilt ik < il, und es sei [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, ΠξΔ ] = Πξ[〈θ'i0, ..., θ'is-1〉, 〈θi0, ..., θis-1〉, Δ] , falls |{j | j < k und θj ≠ ξ}| ≠ 0, [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, ΠξΔ ] = ΠξΔ sonst, (ix) Wenn ΞΔ ∈ SATZ, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, ΞΔ ] = Ξ[〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, Δ] , und (x) Wenn ∈ SEQ, dann [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, ] = {(j, [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈θ0, ..., θk-1〉, j]) | j ∈ Dom( )}. In Klausel (viii) wird die Substitution in Quantorformeln reguliert. Falls Glieder der Substituendumfolge nicht mit der durch den betreffenden Quantor gebundene Variable identisch sind, dann soll die Substitution innerhalb der quantifizierten Formel für und nur für diese Glieder der Substituendumfolge durchgeführt werden. Dementsprechend müssen in diesem Fall die erwünschten Substituendumglieder und die ihnen korrespondierenden Substituensglieder herausgegriffen werden. Dies geschieht durch die (jeweils eindeutig bestimmte) Zahlenfolge 〈i0, ..., is-1〉, die gerade die Indizes herausgreift, deren Werte in der Substituendumfolge verschieden von der gebundenen Variable sind. Durch Komposition der ursprünglichen Substituendumresp. Substituensfolgen mit 〈i0, ..., is-1〉 entstehen dann gerade die neue Substituendumresp. Substituensfolgen, die die gewünschten Eigenschaften haben. Sind dagegen alle Glieder der Substituendumfolge mit der gebundenen Variable identisch, dann soll das Substitutionsergebnis mit dem Substitutionsort – also der betreffenden Quantorformel – identisch sein. Nun sind einige Theoreme zu etablieren, die für die Metatheorie des Redehandlungskalküls – insbesondere ab Kap. 4 – benötigt werden. Es empfiehlt sich für den ungeduldigeren Leser, diese Theoreme zunächst zu überspringen und dann im Bedarfsfall hierher zurückzukehren. Zunächst folgt ein Theorem, das Induktionsbeweise über den Formelgrad vereinfacht. Es wird mittels Induktion über den Formelaufbau bewiesen. Theorem 1-13. Formelgraderhaltung bei Substitution Wenn θ ∈ GTERM, θ' ∈ ATERM und Δ ∈ FORM, dann FGRAD(Δ) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Beweis: Seien θ ∈ GTERM, θ' ∈ ATERM und Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ..., θn-1) ∈ AFORM. Dann ist nach Definition 1-12 FGRAD(Δ) = 0. Dabei gilt [θ, θ', Δ] = [θ, θ', Φ(θ0, ..., θn-1) ] = Φ([θ, θ', θ0], ..., [θ, θ', θn-1]) ∈ AFORM. Also auch FGRAD([θ, θ', Δ]) = 0. 28 1 Zum grammatischen Rahmen Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM. Also FGRAD(Δ0) = FGRAD([θ, θ', Δ0]) und FGRAD(Δ1) = FGRAD([θ, θ', Δ1]). Zu JFORM: Sei nun Δ = ¬Δ0 . Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( ¬Δ0 ) = FGRAD(Δ0)+1 = FGRAD([θ, θ', Δ0])+1 = FGRAD( ¬[θ, θ', Δ0] ) = FGRAD([θ, θ', ¬Δ0 ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Sei nun Δ = (Δ0 ψ Δ1) für ein ψ ∈ JUNK\{ ¬ }. Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( (Δ0 ψ Δ1) ) = max({FGRAD(Δ0), FGRAD(Δ1)})+1 = max({FGRAD([θ, θ', Δ0]), FGRAD([θ, θ', Δ1])})+1 = FGRAD( ([θ, θ', Δ0] ψ [θ, θ', Δ1]) ) = FGRAD([θ, θ', (Δ0 ψ Δ1) ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Zu QFORM: Sei nun Δ = ΠξΔ0 . Sei zunächst ξ ≠ θ'. Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( ΠξΔ0 ) = FGRAD(Δ0)+1 = FGRAD([θ, θ', Δ0])+1 = FGRAD( Πξ[θ, θ', Δ0] ) = FGRAD([θ, θ', ΠξΔ0 ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). Sei sodann ξ = θ'. Dann ist FGRAD(Δ) = FGRAD( ΠξΔ0 ) = FGRAD([θ, θ', ΠξΔ0 ]) = FGRAD([θ, θ', Δ]). ■ Theorem 1-14. Für alle Substituenda und Substitutionsorte gilt, dass entweder alle geschlossenen Terme Teilterme des jeweiligen Substitutionsergebnisses sind oder für alle geschlossenen Terme das jeweilige Substitutionsergebnis mit dem Substitutionsort identisch ist Wenn θ' ∈ ATERM, θ* ∈ TERM, Δ ∈ FORM, dann: (i) θ ∈ TT([θ, θ', θ*]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', θ*] = θ* für alle θ ∈ GTERM und (ii) θ ∈ TT([θ, θ', Δ]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', Δ] = Δ für alle θ ∈ GTERM. Beweis: Seien θ' ∈ ATERM, θ* ∈ TERM, Δ ∈ FORM. Zu (i): Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ* geführt. Sei θ* ∈ ATERM. Falls θ' = θ*, dann ist [θ, θ', θ*] = θ und mithin θ ∈ TT([θ, θ', θ*]) für alle θ ∈ GTERM. Falls θ' ≠ θ*, dann ist [θ, θ', θ*] = θ* für alle θ ∈ GTERM. Gelte die Behauptung nun für θ*0, ..., θ*r-1 ∈ TERM und sei θ* = φ(θ*0, ..., θ*r-1) ∈ FTERM. Dann ist [θ, θ', θ*] = [θ, θ', φ(θ*0, ..., θ*r-1) ] = φ([θ, θ', θ*0], ..., [θ, θ', θ*r-1]) für alle θ ∈ GTERM. Nun gilt nach I.V. für alle i < r: θ ∈ TT([θ, θ', θ*i]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', θ*i] = θ*i für alle θ ∈ GTERM. Angenommen es gibt ein i < r, so dass θ ∈ TT([θ, θ', θ*i]) für alle θ ∈ GTERM. Dann ist auch θ ∈ TT( φ([θ, θ', θ*0], ..., [θ, θ', θ*r-1]) ) = TT([θ, θ', θ*]) für alle θ ∈ GTERM. Angenommen es gibt kein i < r, so dass θ ∈ TT([θ, θ', θ*i]) für alle θ ∈ GTERM. Dann gilt nach I.V. [θ, θ', θ*i] = θ*i für alle θ ∈ GTERM und alle i < r. Also [θ, θ', θ*] = φ([θ, θ', θ*0], ..., [θ, θ', θ*r-1]) = φ(θ*0, ..., θ*r-1) = θ* für alle θ ∈ GTERM. 1.2 Substitution 29 Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERMFall unter Verwendung von (i). Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann ist [θ, θ', Δ] = [θ, θ', ¬Δ0 ] = ¬[θ, θ', Δ0] für alle θ ∈ GTERM. Nun gilt nach I.V. θ ∈ TT([θ, θ', Δ0]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', Δ0] = Δ0 für alle θ ∈ GTERM. Im ersten Fall gilt auch θ ∈ TT( ¬[θ, θ', Δ0] ) = TT([θ, θ', Δ]) für alle θ ∈ GTERM. Im zweiten Fall gilt [θ, θ', Δ] = ¬[θ, θ', Δ0] = ¬Δ0 = Δ für alle θ ∈ GTERM. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) . Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠξΔ0 . Sei zunächst ξ = θ'. Dann ist [θ, θ', Δ] = [θ, θ', ΠξΔ0 ] = ΠξΔ0 = Δ für alle θ ∈ GTERM. Sei sodann ξ ≠ θ'. Dann ist [θ, θ', Δ] = [θ, θ', ΠξΔ0 ] = Πξ[θ, θ', Δ0] für alle θ ∈ GTERM. Nun gilt nach I.V. θ ∈ TT([θ, θ', Δ0]) für alle θ ∈ GTERM oder [θ, θ', Δ0] = Δ0 für alle θ ∈ GTERM. Im ersten Fall gilt auch θ ∈ TT( Πξ[θ, θ', Δ0] ) = TT([θ, θ', Δ]) für alle θ ∈ GTERM. Im zweiten Fall gilt [θ, θ', Δ] = Πξ[θ, θ', Δ0] = ΠξΔ0 = Δ für alle θ ∈ GTERM. ■ Theorem 1-15. Basen für die Substitution von geschlossenen Termen in Termen Wenn θ ∈ TERM, k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(θ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j, dann gibt es ein θ+ ∈ TERM, wobei FV(θ+) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(θ) und TT(θ+) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅, so dass θ = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ+]. Beweis: Durch Induktion über den Termaufbau von θ. Sei θ ∈ ATERM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(θ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j. Dann ist θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei zunächst θ ∈ PAR ∪ KONST. Dann gibt es kein i < k, so dass θ = θi, oder es gibt ein i < k, so dass θ = θi. Im ersten Fall ergibt sich θ = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ] sowie FV(θ) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(θ) und TT(θ) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Im zweiten Fall ist dann für ein i < k θ = [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, ξi]. Wegen ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j, gilt damit aber auch θ = [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, ξi] = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ξi] und es ist FV(ξi) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(θ) und TT(ξi) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Sei nun θ ∈ VAR. Dann ist wegen {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(θ) ebenfalls θ = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ] und FV(θ) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(θ) und wegen TT(θ) ∩ {θ0, ..., θk-1} ⊆ VAR ∩ GTERM = ∅ auch TT(θ) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. 30 1 Zum grammatischen Rahmen Gelte die Behauptung nun für θ'0, ..., θ'r-1 ∈ TERM und sei θ = φ(θ'0, ... θ'r-1) ∈ FTERM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(θ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit {TT(θ'i) | i < r} ⊆ TT(θ), gilt dann für alle i < r, dass {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(θ'i). Damit gibt es nach I.V. für jedes θ'i (i < r) ein θ+i ∈ TERM, so dass θ'i = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ1, ..., ξk-1〉, θ+i] und FV(θ+i) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(θ'i) und TT(θ+i) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Dann gibt es kein i < k, so dass φ(θ'0, ... θ'r-1) = θi, oder es gibt ein i < k, so dass φ(θ'0, ... θ'r-1) = θi. Im ersten Fall ist φ(θ'0, ... θ'r-1) = φ([〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ+0], ..., [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ+r-1]) = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, φ(θ+0, ..., θ+r-1) ]. Sodann ist FV( φ(θ+0, ..., θ+r-1〉 ) = {FV(θ+i) | i < r} und somit mit I.V. FV( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) ⊆ {FV(θ'i) | i < r} ∪ {ξ0, ..., ξk-1} = FV( φ(θ'0, ..., θ'r-1) ) ∪ {ξ0, ..., ξk-1}. Sodann ist nach Fallannahme und I.V. TT( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ({ φ(θ+0, ..., θ+r-1) } ∪ {TT(θ+i) | i < r}) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ({ φ(θ+0, ..., θ+r-1) } ∩ {θ0, ..., θk-1}) ∪ ( {TT(θ+i) | i < r} ∩ {θ0, ..., θk-1}) = ∅ ∪ {TT(θ+i) ∩ {θ0, ..., θk-1} | i < r} = ∅. Im zweiten Fall ist dann für ein i < k φ(θ'0, ... θ'r-1) = [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, ξi]. Wegen ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j, gilt aber auch φ(θ'0, ... θ'r-1) = [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, ξi] = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ξi] und FV(ξi) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV( φ(θ'0, ... θ'r-1) ) und wegen ξi ∉ GTERM auch TT(ξi) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. ■ Theorem 1-16. Basen für die Substitution von geschlossenen Termen in Formeln Wenn Δ ∈ FORM, k ∈ N\{0},{θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(Δ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j, dann gibt es ein Δ+ ∈ FORM, wobei FV(Δ+) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(Δ) und TT(Δ+) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅, so dass Δ = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ+]. Beweis: Durch Induktion über den Formelaufbau von Δ. Sei Δ = Φ(θ'0, ... θ'r-1) ∈ AFORM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT( Φ(θ'0, ... θ'r-1) ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit {TT(θ'i) | i < r} = TT( Φ(θ'0, ... θ'r-1) ), gilt dann für alle i < r, dass {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(θ'i). Dann gibt es nach Theorem 1-15 für jedes θ'i (i < r) ein θ+i ∈ TERM, so dass θ'i = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ+i] und FV(θ+i) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(θ'i) und TT(θ+i) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Dann ist Φ(θ'0, ... θ'r-1) = Φ([〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ+0], ..., [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ+r-1]) = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ]. Sodann ist FV( Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) = {FV(θ+i) | i < r} und daher FV( Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) ⊆ {FV(θ'i) | i < r} ∪ {ξ0, 1.2 Substitution 31 ..., ξk-1} = FV( Φ(θ'0, ..., θ'r-1) ) ∪ {ξ0, ..., ξk-1}. Sodann ist TT( Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) ∩ {θ0, ..., θk-1} = {TT(θ+i) | i < r} ∩ {θ0, ..., θk-1} = {TT(θ+i) ∩ {θ0, ..., θk-1} | i < r} = ∅. Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT( ¬Δ0 ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit TT(Δ0) = TT( ¬Δ0 ) gilt dann {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(Δ0). Dann gibt es nach I.V. für Δ0 ein Δ+0 ∈ FORM, so dass Δ0 = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ+0] und FV(Δ+0) ⊆ FV(Δ0) ∪ {ξ0, ..., ξk-1} und TT(Δ+0) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Dann ist ¬Δ0 = ¬[〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ+0] = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ1, ..., ξk-1〉, ¬Δ+0 ]. Sodann ist FV( ¬Δ+0 ) = FV(Δ+0) und daher FV( ¬Δ+0 ) ⊆ FV(Δ0) ∪ {ξ0, ..., ξk-1} = FV( ¬Δ0 ) ∪ {ξ0, ..., ξk-1}. Sodann ist TT( ¬Δ+0 ) ∩ {θ0, ..., θk-1} = TT(Δ+0) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Sei nun Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Sei nun k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT( (Δ0 ψ Δ1) ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j. Mit TT(Δ0) ∪ TT(Δ1) = TT( (Δ0 ψ Δ1) ) gilt dann {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\(TT(Δ0) ∪ TT(Δ1)). Dann gibt es nach I.V. für Δ0, Δ1 jeweils ein Δ+0, Δ+1 ∈ FORM, so dass für l < 2: Δl = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ+l] und FV(Δ+l) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(Δl) und TT(Δ+l) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Dann ist (Δ0 ψ Δ1) = ([〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ+0] ψ [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ1, ..., ξk-1〉, Δ+1]) = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, (Δ+0 ψ Δ+1) ]. Sodann ist FV( (Δ+0 ψ Δ+1) ) = FV(Δ+0) ∪ FV(Δ+1) und daher FV( (Δ+0 ψ Δ+1) ) ⊆ FV(Δ0) ∪ FV(Δ1) ∪ {ξ0, ..., ξk-1} = FV( (Δ0 ψ Δ1) ) ∪ {ξ0, ..., ξk-1}. Sodann ist TT( (Δ+0 ψ Δ+1) ) ∩ {θ0, ..., θk-1} = (TT(Δ+0) ∩ {θ0, ..., θk-1}) ∪ (TT(Δ+1) ∩ {θ0, ..., θk-1}) = ∅. Sei nun Δ = ΠζΔ0 ∈ QFORM und weiter k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT( ΠζΔ0 ), wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k mit i ≠ j. Damit gilt insbesondere ζ ∉ {ξ0, ..., ξk-1}. Sodann gilt mit TT(Δ0) ⊆ TT( ΠζΔ0 ), dass {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR\TT(Δ0). Damit gibt es nach I.V. für Δ0 ein Δ+0 ∈ FORM, so dass Δ0 = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ+0] und FV(Δ+0) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(Δ0) und TT(Δ+0) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. Da ζ ∉ {ξ0, ..., ξk-1} ist dann ΠζΔ0 = Πζ[〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ+0] = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ΠζΔ+0 ]. Sodann ist FV( ΠζΔ+0 ) = FV(Δ+0)\{ζ} ⊆ (FV(Δ0)\{ζ}) ∪ {ξ0, ..., ξk-1} = FV( ΠζΔ0 ) ∪ {ξ0, ..., ξk-1}. Sodann ist mit VAR ∩ GTERM = ∅ schliesslich TT( ΠζΔ+0 ) ∩ {θ0, ..., θk-1} = (TT(Δ+0) ∪ {ζ}) ∩ {θ0, ..., θk-1} = ∅. ■ 32 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-17. Alternative Basen für die Substitution von geschlossenen Termen für Variablen in Termen Wenn {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und θ ∈ TERM, wobei FV(θ) ⊆ {ξ} ∪ X, dann gibt es ein θ* ∈ TERM, wobei FV(θ*) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = [θ', ζ, θ*]. Beweis: Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und sei θ ∈ TERM, wobei FV(θ) ⊆ {ξ} ∪ X. Falls ξ = ζ, dann ergibt sich mit θ* = θ sofort die Behauptung. Sei nun ξ ≠ ζ. Der Beweis wird nun mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ KONST ∪ PAR. Dann gilt mit θ* = θ, dass FV(θ*) = ∅ ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = [θ', ζ, θ*]. Sei nun θ ∈ VAR. Angenommen θ = ξ. Dann gilt mit θ* = ζ, dass FV(θ*) ⊆ {ζ} ∪ X und für alle θ' ∈ GTERM: [θ', ξ, θ] = θ' = [θ', ζ, θ*]. Angenommen θ ≠ ξ. Dann ist θ ∈ X und damit θ ∉ {ξ, ζ}. Dann gilt mit θ* = θ, dass FV(θ*) = {θ} ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = θ = θ* = [θ', ζ, θ*]. Gelte die Behauptung nun für θ0, ..., θr-1 ∈ TERM und sei θ = φ(θ0, ... θr-1) ∈ FTERM. Dann gilt für alle i < r: FV(θi) ⊆ {ξ} ∪ X. Dann gibt es nach I.V. für alle i < r ein θ*i ∈ TERM, wobei FV(θ*i) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θi] = [θ', ζ, θ*i]. Dann gilt mit θ* = φ(θ*0, ... θ*r-1) , dass FV(θ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θ] = [θ', ξ, φ(θ0, ... θr-1) ] = φ([θ', ξ, θ0], ... [θ', ξ, θr-1]) = φ([θ', ζ, θ*0], ... [θ', ζ, θ*r-1]) = [θ', ζ, φ(θ*0, ... θ*r-1) ] = [θ', ζ, θ*]. ■ Theorem 1-18. Alternative Basen für die Substitution von geschlossenen Termen für Variablen in Formeln Wenn {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ), dann gibt es ein Δ* ∈ FORM, wobei FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ] = [θ', ζ, Δ*]. Beweis: Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ... θr-1) ∈ AFORM. Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ). Dann gilt für alle i < r: FV(θi) ⊆ {ξ} ∪ X. Nach Theorem 1-17 gibt es dann für alle i < r ein θ*i ∈ TERM, wobei FV(θ*i) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, θi] = [θ', ζ, θ*i]. Dann gilt mit Δ* = Φ(θ*0, ... θ*r-1) , dass 1.2 Substitution 33 FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Φ(θ0, ... θr-1) ] = Φ([θ', ξ, θ0], ... [θ', ξ, θr-1]) = Φ([θ', ζ, θ*0], ... [θ', ζ, θ*r-1]) = [θ', ζ, Φ(θ*0, ... θ*r-1) ] = [θ', ζ, Δ*]. Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ ∈ JFORM. Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ). Sei zunächst Δ = ¬Δ0 . Dann gilt FV(Δ0) = FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ0). Dann gibt es nach I.V. Δ*0 ∈ FORM, wobei FV(Δ*0) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ0] = [θ', ζ, Δ*0]. Dann gilt mit Δ* = ¬Δ*0 , dass FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, ¬Δ0 ] = ¬[θ', ξ, Δ0] = ¬[θ', ζ, Δ*0] = [θ', ζ, ¬Δ*0 ] = [θ', ζ, Δ*]. Sei nun Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Dann gilt FV(Δ0) ⊆ FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ0) und FV(Δ1) ⊆ FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ1). Dann gibt es nach I.V. Δ*0, Δ*1 ∈ FORM, wobei FV(Δ*0) ⊆ {ζ} ∪ X und FV(Δ*1) ⊆ {ζ} ∪ X, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ0] = [θ', ζ, Δ*0] und [θ', ξ, Δ1] = [θ', ζ, Δ*1]. Dann gilt mit Δ* = (Δ*0 ψ Δ*1) , dass FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, (Δ0 ψ Δ1) ] = ([θ', ξ, Δ0] ψ [θ', ξ, Δ1]) = ([θ', ζ, Δ*0] ψ [θ', ζ, Δ*1]) = [θ', ζ, (Δ*0 ψ Δ*1) ] = [θ', ζ, Δ*]. Sei nun Δ = Πξ'Δ0 ∈ QFORM. Seien {ξ, ζ} ∪ X ⊆ VAR, wobei {ξ, ζ} ∩ X = ∅, und FV(Δ) ⊆ {ξ} ∪ X und ζ ∉ TT(Δ). Dann gilt insbesondere ζ ≠ ξ'. Sei zunächst ξ = ξ'. Dann ist [θ', ξ, Πξ'Δ0 ] = Πξ'Δ0 für alle θ' ∈ GTERM und FV(Δ) ⊆ X. Sei dann Δ* = Δ = Πξ'Δ0 . Da ζ ∉ TT(Δ) gilt auch [θ', ζ, Πξ'Δ0 ] = Πξ'Δ0 für alle θ' ∈ GTERM und FV(Δ*) = FV(Δ) ⊆ X ⊆ {ζ} ∪ X. Sei nun ξ ≠ ξ'. Dann gilt FV(Δ0) ⊆ FV(Δ) ∪ {ξ'} ⊆ {ξ} ∪ X ∪ {ξ'} und ζ ∉ TT(Δ0). Dann gibt es nach I.V. Δ*0 ∈ FORM, wobei FV(Δ*0) ⊆ {ζ} ∪ X ∪ {ξ'}, so dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Δ0] = [θ', ζ, Δ*0]. Dann gilt mit Δ* = Πξ'Δ*0 , dass FV(Δ*) ⊆ {ζ} ∪ X und dass für alle θ' ∈ GTERM gilt: [θ', ξ, Πξ'Δ0 ] = Πξ'[θ', ξ, Δ0] = Πξ'[θ', ζ, Δ*0] = [θ', ζ, Πξ'Δ*0 ] = [θ', ζ, Δ*]. ■ 34 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-19. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Terme Wenn θ, θ+ ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ+)) und θ§ ∈ ATERM und wenn [θ*, θ§, θ] = [θ*, θ§, θ+], dann θ = θ+. Beweis: Durch Induktion über den Termaufbau von θ. Sei θ ∈ ATERM. Sei nun θ+ ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ+)) und θ§ ∈ ATERM und sei [θ*, θ§, θ] = [θ*, θ§, θ+]. Sei nun θ§ = θ. Dann ist [θ*, θ§, θ] = θ*. Dann ist θ* = [θ*, θ, θ+]. Da nach Voraussetzung θ* ∉ TT(θ+) und mithin θ+ ≠ θ*, ist dann θ = θ+. Sei nun θ§ ≠ θ. Dann ist [θ*, θ§, θ] = θ. Dann ist θ = [θ*, θ§, θ+], womit sich wegen θ* ∉ TT(θ) mit Theorem 1-14-(i) ebenfalls ergibt, dass θ = θ+. Gelte die Behauptung nun für {θ0, ..., θr-1} ⊆ TERM und sei φ(θ0, ... θr-1) ∈ FTERM. Sei nun θ+ ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT( φ(θ0, ... θr-1) ) ∪ TT(θ+)) und θ§ ∈ ATERM und sei [θ*, θ§, φ(θ0, ..., θr-1) ] = [θ*, θ§, θ+]. Also [θ*, θ§, θ+] = φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) ∈ FTERM. Wäre θ+ ∈ ATERM. Dann wäre θ§ ≠ θ+ oder θ§ = θ+. Angenommen θ§ ≠ θ+. Dann ist θ+ = [θ*, θ§, θ+] = φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) ∈ FTERM. Widerspruch! Angenommen θ§ = θ+. Dann ist θ* = [θ*, θ§, θ+] = φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) . Mit Theorem 1-14-(i) gilt dann für alle i < r: [θ*, θ§, θi] = θi oder es gibt ein i < r, so dass θ* ∈ TT([θ*, θ§, θi]). Wenn [θ*, θ§, θi] = θi für alle i < r, dann θ* = φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) = φ(θ0, ..., θr-1) und damit entgegen der Voraussetzung θ* ∈ TT( φ(θ0, ... θr-1) ). Wenn es andererseits ein i < r gibt, so dass θ* ∈ TT([θ*, θ§, θi]), dann ist θ* echter Teilterm von φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) , also echter Teilterm von sich selbst. Widerspruch zu Theorem 1-8. Also θ+ ∉ ATERM, sondern θ+ ∈ FTERM. Also gibt es {θ'0, ..., θ'k-1} ⊆ TERM und φ' ∈ FUNK, so dass θ+ = φ'(θ'0, ..., θ'k-1) . Damit ist φ'([θ*, θ§, θ'0], ..., [θ*, θ§, θ'k-1]) = [θ*, θ§, φ'(θ'0, ..., θ'k-1) ] = [θ*, θ§, θ+] = φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) . Mit Theorem 1-11-(ii) gilt dann k = r und φ' = φ und [θ*, θ§, θi] = [θ*, θ§, θ'i] für alle i < r. Mit I.V. ergibt sich, dass θi = θ'i für alle i < r. Damit ist dann φ(θ0, ..., θr-1) = φ'(θ'0, ..., θ'k-1) = θ+. ■ Theorem 1-20. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Formeln Wenn Δ, Δ+ ∈ FORM, θ* ∈ GTERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ+)) und θ§ ∈ ATERM und wenn [θ*, θ§, Δ] = [θ*, θ§, Δ+], dann Δ = Δ+. Beweis: Seien Δ, Δ+ ∈ FORM, θ* ∈ GTERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ+)) und θ§ ∈ ATERM und [θ*, θ§, Δ] = [θ*, θ§, Δ+]. Wie im Induktionsschritt des vorangehenden Beweises für funk1.2 Substitution 35 torale Terme lässt sich für alle Formeln zeigen, dass Substitutionsorte (Δ bzw. Δ+) der gleichen Kategorie angehören und denselben Hauptoperator (Prädikator, Junktor oder Quantor) haben wie die Substitutionsergebnisse ([θ*, θ§, Δ] bzw. [θ*, θ§, Δ+]). Der Beweis wird nun mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ... θr-1) ∈ AFORM. Dann ist auch [θ*, θ§, Δ] = Φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) ∈ AFORM und es gibt {θ'0, ..., θ'r-1} ⊆ TERM mit Φ(θ'0, ... θ'r-1) = Δ+. Also auch Φ([θ*, θ§, θ0], ..., [θ*, θ§, θr-1]) = [θ*, θ§, Δ] = [θ*, θ§, Δ+] = [θ*, θ§, Φ(θ'0, ... θ'r-1) ] = Φ([θ*, θ§, θ'0], ..., [θ*, θ§, θ'r-1]) ∈ AFORM. Mit Theorem 1-11-(iv) gilt dann [θ*, θ§, θi] = [θ*, θ§, θ'i] für alle i < r. Mit Theorem 1-19 ergibt sich, dass θi = θ'i für alle i < r. Damit ist dann Φ(θ0, ... θr-1) = Φ(θ'0, ... θ'r-1) = Δ+. Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, θ§, Δ] = ¬[θ*, θ§, Δ0] ∈ JFORM und es gibt Δ'0 ∈ FORM mit ¬Δ'0 = Δ+. Also auch ¬[θ*, θ§, Δ0] = [θ*, θ§, Δ] = [θ*, θ§, Δ+] = [θ*, θ§, ¬Δ'0 ] = ¬[θ*, θ§, Δ'0] ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(v) gilt dann [θ*, θ§, Δ0] = [θ*, θ§, Δ'0]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ0 = Δ'0 und damit Δ = ¬Δ0 = ¬Δ'0 = Δ+. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, θ§, Δ] = ([θ*, θ§, Δ0] ψ [θ*, θ§, Δ1]) ∈ JFORM und es gibt Δ'0, Δ'1 ∈ FORM mit (Δ'0 ψ Δ'1) = Δ+. Also auch ([θ*, θ§, Δ0] ψ [θ*, θ§, Δ1]) = [θ*, θ§, Δ] = [θ*, θ§, Δ+] = [θ*, θ§, (Δ'0 ψ Δ'1) ] = ([θ*, θ§, Δ'0] ψ [θ*, θ§, Δ'1]) ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(vi) gilt dann [θ*, θ§, Δ0] = [θ*, θ§, Δ'0] und [θ*, θ§, Δ1] = [θ*, θ§, Δ'1]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ0 = Δ'0 und Δ1 = Δ'1 und damit Δ = (Δ0 ψ Δ1) = (Δ'0 ψ Δ'1) = Δ+. Sei Δ = ΠξΔ0 ∈ QFORM. Dann ist auch [θ*, θ§, Δ] ∈ QFORM und es gibt Δ'0 ∈ FORM mit ΠξΔ'0 = Δ+. Angenommen ξ = θ§. Dann ist Δ = ΠξΔ0 = [θ*, θ§, ΠξΔ0 ] = [θ*, θ§, Δ] = [θ*, θ§, Δ+] = [θ*, θ§, ΠξΔ'0 ] = ΠξΔ'0 = Δ+. Angenommen ξ ≠ θ§. Dann ist Πξ[θ*, θ§, Δ0] = [θ*, θ§, Δ] = [θ*, θ§, Δ+] = [θ*, θ§, ΠξΔ'0 ] = Πξ[θ*, θ§, Δ'0] ∈ QFORM. Mit Theorem 1-11-(vii) gilt dann [θ*, θ§, Δ0] = [θ*, θ§, Δ'0]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ0 = Δ'0 und damit Δ = ΠξΔ0 = ΠξΔ'0 = Δ+. ■ Theorem 1-21. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Sätze Wenn Σ, Σ+ ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM\(TT(Σ) ∪ TT(Σ+)) und θ§ ∈ ATERM und wenn [θ*, θ§, Σ] = [θ*, θ§, Σ+], dann Σ = Σ+. Beweis: Analog zum Negatorfall im Beweis zu Theorem 1-20 unter Rückgriff auf Theorem 1-20 und Theorem 1-12. ■ 36 1 Zum grammatischen Rahmen Theorem 1-22. Eindeutige Substitutionsorte (b) für Terme Wenn θ, θ+ ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ+)), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, θ] = [θ*, β, θ+], dann θ+ = [β, ξ, θ]. Beweis: Durch Induktion über den Termaufbau von θ. Sei θ ∈ ATERM. Sei nun θ+ ∈ TERM, θ* ∈ GTERM\(TT(θ) ∪ TT(θ+)), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, θ] = [θ*, β, θ+]. Dann ist θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei nun θ ∈ KONST. Dann ist [θ*, ξ, θ] = θ. Dann ist θ = [θ*, β, θ+], womit sich wegen θ* ∉ TT(θ) und Theorem 1-14-(i) ergibt, dass θ = θ+ und wegen θ ≠ ξ: θ+ = θ = [β, ξ, θ]. Sei nun θ ∈ PAR. Dann ist [θ*, ξ, θ] = θ. Dann ist θ = [θ*, β, θ+], womit sich wegen θ* ∉ TT(θ) und Theorem 1-14-(i) ergibt, dass auch θ = θ+ und wegen ξ ≠ θ: θ+ = θ = [β, ξ, θ]. Sei nun θ ∈ VAR. Angenommen θ = ξ. Dann ist [θ*, ξ, θ] = θ*. Dann ist θ* = [θ*, β, θ+]. Dann ist wegen θ* ≠ θ+ β ∈ TT(θ+). Damit ist θ* ∈ TT([θ*, β, θ+]). Wäre nun θ+ ≠ β ergäbe sich dann mit θ* = [θ*, β, θ+], dass θ* im Widerspruch zu Theorem 1-8 echter Teilterm von sich selbst wäre. Also gilt θ+ = β = [β, ξ, θ]. Sei nun θ ≠ ξ. Dann ist θ = [θ*, ξ, θ]. Dann ist θ = [θ*, β, θ+]. Dann ist wegen θ* ∉ TT(θ) und Theorem 1-14-(i) θ = θ+ und wegen θ ≠ ξ: θ+ = θ = [β, ξ, θ]. Gelte die Behauptung nun für {θ0, ..., θr-1} ⊆ TERM und sei φ(θ0, ..., θr-1) ∈ FTERM. Sei nun θ+ ∈ TERM, θ* ∈ TERM\(TT( φ(θ0, ..., θr-1) ) ∪ TT(θ+)), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, φ(θ0, ..., θr-1) ] = [θ*, β, θ+]. Also [θ*, β, θ+] = φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) ∈ FTERM. Wäre θ+ ∈ ATERM. Dann wäre β ≠ θ+ oder β = θ+. Angenommen β ≠ θ+. Dann ist θ+ = [θ*, β, θ+] = φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) ∈ FTERM. Widerspruch! Angenommen β = θ+. Dann ist θ* = [θ*, β, θ+] = φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) . Mit Theorem 1-14-(i) gilt dann für alle i < r: [θ*, ξ, θi] = θi oder es gibt ein i < r, so dass θ* ∈ TT([θ*, ξ, θi]). Wenn [θ*, ξ, θi] = θi für alle i < r, dann θ* = φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) = φ(θ0, ..., θr-1) und damit entgegen der Voraussetzung θ* ∈ TT( φ(θ0, ... θr-1) ). Wenn es andererseits ein i < r gibt, so dass θ* ∈ TT([θ*, ξ, θi]), dann ist θ* echter Teilterm von φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) , also echter Teilterm von sich selbst. Widerspruch zu Theorem 1-8. Also θ+ ∉ ATERM, sondern θ+ ∈ FTERM. Also gibt es {θ'0, ..., θ'k-1} ⊆ TERM und φ' ∈ FUNK, so dass θ+ = φ'(θ'0, ..., θ'k-1) . Damit ist φ'([θ*, β, θ'0], ..., [θ*, β, θ'k-1]) = [θ*, β, φ'(θ'0, ..., θ'k-1) ] = [θ*, β, θ+] = φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) . Mit Theorem 1-11-(ii) gilt dann k = r und φ' = φ und [θ*, β, θ'i] = [θ*, ξ, θi] für alle i < r. Mit I.V. ergibt sich, dass θ'i = [β, ξ, θi] für alle i < r. Damit ist dann θ+ = φ'(θ'0, ..., θ'k-1) = φ([β, ξ, θ0], ..., [β, ξ, θr-1]) = [β, ξ, φ(θ0, ..., θr-1) ]. ■ 1.2 Substitution 37 Theorem 1-23. Eindeutige Substitutionsorte (b) für Formeln Wenn Δ, Δ+ ∈ FORM, θ* ∈ TERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ+)), ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ+], dann Δ+ = [β, ξ, Δ]. Beweis: Seien Δ, Δ+ ∈ FORM, θ* ∈ GTERM\(TT(Δ) ∪ TT(Δ+)) und ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ+]. Wie im Induktionsschritt des vorangehenden Beweises für funktorale Terme lässt sich für alle Formeln zeigen, dass Substitutionsorte (Δ bzw. Δ+) der gleichen Kategorie angehören und denselben Hauptoperator (Prädikator, Junktor oder Quantor) haben wie die Substitutionsergebnisse ([θ*, ξ, Δ] bzw. [θ*, β, Δ+]). Der Beweis wird nun mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ... θr-1) ∈ AFORM. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = Φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) ∈ AFORM und es gibt {θ'0, ..., θ'r-1} ⊆ TERM mit Φ(θ'0, ..., θ'r-1) = Δ+. Also auch Φ([θ*, ξ, θ0], ..., [θ*, ξ, θr-1]) = [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ+] = [θ*, β, Φ(θ'0, ..., θ'r-1) ] = Φ([θ*, β, θ'0], ..., [θ*, β, θ'r-1]) ∈ AFORM. Mit Theorem 1-11-(iv) gilt dann [θ*, ξ, θi] = [θ*, β, θ'i] für alle i < r. Mit Theorem 1-22 ergibt sich, dass θ'i = [β, ξ, θi] für alle i < r. Damit ist dann Δ+ = Φ(θ'0, ... θ'r-1) = Φ([β, ξ, θ0], ..., [β, ξ, θr-1]) = [β, ξ, Φ(θ0, ..., θr-1) ] = [β, ξ, Δ]. Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = ¬[θ*, ξ, Δ0] ∈ JFORM und es gibt Δ'0 ∈ FORM mit ¬Δ'0 = Δ+. Also auch ¬[θ*, ξ, Δ0] = [θ*, β, Δ+] = [θ*, β, ¬Δ'0 ] = ¬[θ*, β, Δ'0] ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(v) gilt dann [θ*, ξ, Δ0] = [θ*, β, Δ'0]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ'0 = [β, ξ, Δ0] und damit Δ+ = ¬Δ'0 = ¬[β, ξ, Δ0] = [β, ξ, ¬Δ0 ] = [β, ξ, Δ]. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = ([θ*, ξ, Δ0] ψ [θ*, ξ, Δ1]) ∈ JFORM und es gibt Δ'0, Δ'1 ∈ FORM mit (Δ'0 ψ Δ'1) = Δ+. Also auch ([θ*, ξ, Δ0] ψ [θ*, ξ, Δ1]) = [θ*, β, Δ+] = [θ*, β, (Δ'0 ψ Δ'1) ] = ([θ*, β, Δ'0] ψ [θ*, β, Δ'1]) ∈ JFORM. Mit Theorem 1-11-(vi) gilt dann [θ*, ξ, Δ0] = [θ*, β, Δ'0] und [θ*, ξ, Δ1] = [θ*, β, Δ'1]. Mit I.V. ergibt sich, dass Δ'0 = [β, ξ, Δ0] und Δ'1 = [β, ξ, Δ1] und damit Δ+ = (Δ'0 ψ Δ'1) = ([β, ξ, Δ0] ψ [β, ξ, Δ1]) = [β, ξ, (Δ0 ψ Δ1) ] = [β, ξ, Δ]. Sei Δ = Πξ'Δ0 ∈ QFORM. Angenommen ξ' = ξ. Dann ist Δ = Πξ'Δ0 = [θ*, ξ, Πξ'Δ0 ] = [θ*, ξ, Δ] = [θ*, β, Δ+]. Mit Theorem 1-14-(ii) ist θ* ∈ TT([θ*, β, Δ+]) = TT(Δ) oder [θ*, β, Δ+] = Δ+. Der erste Fall kann nach Voraussetzung nicht eintreten. Im zweiten Fall ist Δ+ = Πξ'Δ0 = [β, ξ, Πξ'Δ0 ] = [β, ξ, Δ]. Angenommen ξ' ≠ ξ. Dann ist auch [θ*, ξ, Δ] = Πξ'[θ*, ξ, Δ0] ∈ QFORM und es gibt Δ'0 ∈ FORM mit Πξ'Δ'0 = Δ+. Also auch Πξ'[θ*, ξ, Δ0] = [θ*, β, Δ+] = [θ*, β, Πξ'Δ'0 ] = Πξ'[θ*, β, Δ'0] ∈ QFORM. Mit Theorem 1-11-(vii) gilt dann [θ*, ξ, Δ0] = [θ*, β, Δ'0]. Mit I.V. ergibt sich, 38 1 Zum grammatischen Rahmen dass Δ'0 = [β, ξ, Δ0] und damit Δ+ = Πξ'Δ'0 = Πξ'[β, ξ, Δ0] = [β, ξ, Πξ'Δ0 ] = [β, ξ, Δ]. ■ Theorem 1-24. Kürzung von Parametern bei der Substitution Wenn θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM, β ∈ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ) ∪ TT(Σ)) und θ+ ∈ ATERM, dann: (i) [θ*, θ+, θ] = [θ*, β, [β, θ+, θ]], (ii) [θ*, θ+, Δ] = [θ*, β, [β, θ+, Δ]] und (iii) [θ*, θ+, Σ] = [θ*, β, [β, θ+, Σ]]. Beweis: Seien θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM, β ∈ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ) ∪ TT(Σ)) und θ+ ∈ ATERM. Zu (i): Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Dann ist θ = θ+ oder θ ≠ θ+. Sei zunächst θ = θ+. Dann ist [β, θ+, θ] = β und [θ*, θ+, θ] = θ*. Dann ist [θ*, θ+, θ] = θ* = [θ*, β, β] = [θ*, β, [β, θ+, θ]]. Sei nun θ ≠ θ+. Dann ist [β, θ+, θ] = θ und [θ*, θ+, θ] = θ. Wegen β ∉ TT(θ) ist β ≠ θ und mithin θ = [θ*, β, θ]. Also [θ*, θ+, θ] = θ = [θ*, β, θ] = [θ*, β, [β, θ+, θ]]. Gelte die Behauptung nun für {θ0, ..., θr-1} ⊆ TERM und sei θ = φ(θ0, ... θr-1) ∈ FTERM. Wegen β ∉ TT(θ) gilt auch β ∉ TT(θi) für alle i < r. Dann gilt mit I.V. [θ*, θ+, θi] = [θ*, β, [β, θ+, θi]] für alle i < r. Dann ist [θ*, θ+, φ(θ0, ... θr-1) ] = φ([θ*, θ+, θ0], ..., [θ*, θ+, θr-1]) = φ([θ*, β, [β, θ+, θ0]], ..., [θ*, β, [β, θ+, θr-1]]) = [θ*, β, φ([β, θ+, θ0], ..., [β, θ+, θr-1]) ] = [θ*, β, [β, θ+, φ(θ0, ... θr-1) ]]. Zu (ii): Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ... θr-1) ∈ AFORM. Dann gilt β ∉ TT(θi) für alle i < r und [θ*, θ+, Δ] = [θ*, θ+, Φ(θ0, ... θr-1) ] = Φ([θ*, θ+, θ0], ... [θ*, θ+, θr-1]) . Mit (i) gilt [θ*, θ+, θi] = [θ*, β, [β, θ+, θi]] für alle i < r. Also [θ*, θ+, Δ] = Φ([θ*, β, [β, θ+, θ0]], ..., [θ*, β, [β, θ+, θr-1]]) = [θ*, β, Φ([β, θ+, θ0], ..., [β, θ+, θr-1]) = [θ*, β, [β, θ+, Φ(θ0, ... θr-1) ]] = [θ*, β, [β, θ+, Δ]]. Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM. Sei zunächst Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann gilt β ∉ TT(Δ0) und [θ*, θ+, Δ] = [θ*, θ+, ¬Δ0 ] = ¬[θ*, θ+, Δ0] . Mit I.V. gilt [θ*, θ+, Δ0] = [θ*, β, [β, θ+, Δ0]]. Also [θ*, θ+, Δ] = ¬[θ*, β, [β, θ+, Δ0]] = [θ*, β, [β, θ+, ¬Δ0 ]] = [θ*, β, [β, θ+, Δ]]. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. 1.2 Substitution 39 Sei Δ = ΠξΔ0 ∈ QFORM. Angenommen ξ = θ+. Dann ist [θ*, θ+, Δ] = [θ*, θ+, ΠξΔ0 ] = ΠξΔ0 = [β, θ+, ΠξΔ0 ] = [β, θ+, Δ]. Dann ist β ∉ TT([β, θ+, Δ]) = TT(Δ). Also [θ*, θ+, Δ] = [β, θ+, Δ] = [θ*, β, [β, θ+, Δ]]. Angenommen ξ ≠ θ+. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Zu (iii): Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. ■ Theorem 1-25. Eine hinreichende Bedingung für die Kommutativität einer Substitution in Termen und Formeln Wenn θ*0, θ*1 ∈ GTERM, θ0, θ1 ∈ ATERM, θ0 ≠ θ1, θ1 ∉ TT(θ*0) und θ0 ∉ TT(θ*1), dann: (i) Wenn θ+ ∈ TERM, dann [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Δ]]. Beweis: Seien θ*0, θ*1 ∈ GTERM, θ0, θ1 ∈ ATERM, θ0 ≠ θ1, θ1 ∉ TT(θ*0) und θ0 ∉ TT(θ*1). Zu (i): Sei θ+ ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ+ geführt. Sei θ+ ∈ ATERM. Angenommen θ+ = θ0. Dann ist θ+ ≠ θ1 und [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*1, θ1, θ*0]. Weil θ1 ∉ TT(θ*0) gilt [θ*1, θ1, θ*0] = θ*0. Andererseits ist [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]] = [θ*0, θ0, θ+] = θ*0. Also [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]]. Sei nun θ+ ≠ θ0. Angenommen θ+ = θ1. Dann ist [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*1, θ1, θ+] = θ*1. Weil θ0 ∉ TT(θ*1) gilt [θ*0, θ0, θ*1] = θ*1. Damit ist [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]] = [θ*0, θ0, θ*1] = θ*1. Also [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]]. Angenommen θ+ ≠ θ1. Dann ist [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*1, θ1, θ+] = θ+ und [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]] = [θ*0, θ0, θ+] = θ+. Also auch [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]]. Gelte die Behauptung für {θ'0, ..., θ'r-1} ⊆ TERM und sei θ+ = φ(θ'0, ..., θ'r-1) ∈ FTERM. Dann ist [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, φ(θ'0, ..., θ'r-1) ]] = φ([θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ'0]], ..., [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ'r-1]]) . Mit I.V. gilt [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ'i]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ'i]] für alle i < r. Also [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ+]] = φ([θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ'0]], ..., [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ'r-1]]) = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, φ(θ'0, ... θ'r-1) ]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ+]]. Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ'0, ... θ'r-1) ∈ AFORM. Dann ist [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ]] = [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Φ(θ'0, ..., θ'r-1) ]] = Φ([θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ'0]], ..., [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ'r-1]]) . Mit (i) gilt [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, θ'i]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ'i]] für alle i < r. Also [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ]] = Φ([θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ'0]], ..., [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, θ'r-1]]) = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Φ(θ'0, ... θ'r-1) ]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Δ]]. 40 1 Zum grammatischen Rahmen Gelte die Behauptung für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann ist [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ]] = [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, ¬Δ0 ]] = ¬[θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ0]] . Mit I.V. gilt [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ0]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Δ0]]. Also [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ]] = ¬[θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Δ0]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, ¬Δ0 ]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Δ]]. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠξΔ0 ∈ QFORM. Angenommen ξ = θ0. Dann ist ξ ≠ θ1 und [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ]] = [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, ΠξΔ0 ]] = [θ*1, θ1, ΠξΔ0 ] = Πξ[θ*1, θ1, Δ0] = [θ*0, θ0, Πξ[θ*1, θ1, Δ0] ] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, ΠξΔ0 ]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Δ]]. Angenommen ξ = θ1. Dann ist ξ ≠ θ0 und [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, Δ]] = [θ*1, θ1, [θ*0, θ0, ΠξΔ0 ]] = [θ*1, θ1, Πξ[θ*0, θ0, Δ0] ] = Πξ[θ*0, θ0, Δ0] = [θ*0, θ0, ΠξΔ0 ] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, ΠξΔ0 ]] = [θ*0, θ0, [θ*1, θ1, Δ]]. Sei θ0 ≠ ξ ≠ θ1. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. ■ Theorem 1-26. Substitution in Substitutionsergebnissen Wenn ζ ∈ VAR, θ', θ* ∈ GTERM und θ+ ∈ KONST ∪ PAR, dann: (i) Wenn θ ∈ TERM, dann [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θ]], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [θ', θ+, [θ*, ζ, Δ]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δ]]. Beweis: Seien ζ ∈ VAR, θ', θ* ∈ GTERM und θ+ ∈ KONST ∪ PAR. Zu (i): Sei θ ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Sei weiter θ ∈ KONST ∪ PAR. Angenommen θ = θ+. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ+, θ] = θ'. Nun ist ζ ∉ TT(θ') ∈ GTERM und daher [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = θ' = [[θ', θ+, θ*], ζ, θ'] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θ]]. Angenommen θ ≠ θ+. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ+, θ] = θ = [[θ', θ+, θ*], ζ, θ] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θ]]. Sei schliesslich θ ∈ VAR. Angenommen θ = ζ. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ+, θ*] = [[θ', θ+, θ*], ζ, θ] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θ]]. Angenommen θ ≠ ζ. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ+, θ] = θ = [[θ', θ+, θ*], ζ, θ] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θ]]. Gelte die Behauptung nun für {θ0, ..., θr-1} ⊆ TERM und sei θ = φ(θ0, ..., θr-1) ∈ FTERM. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = [θ', θ+, [θ*, ζ, φ(θ0, ..., θr-1) ]] = φ([θ', θ+, [θ*, ζ, θ0]], ..., [θ', θ+, [θ*, ζ, θr-1]]) . Mit I.V. gilt [θ', θ+, [θ*, ζ, θi]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θi]] für alle i < r. Also [θ', θ+, [θ*, ζ, θ]] = φ([[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θ0]], ..., [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θr-1]]) = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, φ(θ0, ..., θr-1) ]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, θ]]. Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ... θr-1) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (i). 1.2 Substitution 41 Gelte die Behauptung für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, Δ]] = [θ', θ+, [θ*, ζ, ¬Δ0 ]] = ¬[θ', θ+, [θ*, ζ, Δ0]] . Mit I.V. gilt [θ', θ+, [θ*, ζ, Δ0]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δ0]]. Also [θ', θ+, [θ*, ζ, Δ]] = ¬[[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δ0]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, ¬Δ0 ]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δ]]. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠξΔ0 ∈ QFORM. Angenommen ξ = ζ. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, Δ]] = [θ', θ+, [θ*, ζ, ΠξΔ0 ]] = [θ', θ+, ΠξΔ0 ] = Πξ[θ', θ+, Δ0] = [[θ', θ+, θ*], ζ, Πξ[θ', θ+, Δ0] ] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, ΠξΔ0 ]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δ]]. Angenommen ξ ≠ ζ. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. ■ Theorem 1-27. Mehrfache Substitution von neuen und paarweise verschiedenen Parametern für paarweise verschiedene Parameter in Termen, Formeln, Sätzen und Sequenzen Wenn θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, ∈ SEQ, k ∈ N\{0} und {β*0, ..., β*k} ⊆ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ) ∪ TT(Σ) ∪ TTSEQ( )) und {β0, ..., βk} ⊆ PAR\{β*0, ..., β*k}, wobei β*i ≠ β*j und βi ≠ βj für alle i, j < k+1 mit i ≠ j, dann: (i) [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ]] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θ], (ii) [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, Δ]] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, Δ], (iii) [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, Σ]] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, Σ] und (iv) [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ]] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, ]. Beweis: Seien θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, ∈ SEQ, k ∈ N\{0} und {β*0, ..., β*k} ⊆ PAR\(TT(θ) ∪ TT(Δ)) und {β0, ..., βk} ⊆ PAR\{β*0, ..., β*k}, wobei β*i ≠ β*j und βi ≠ βj für alle i, j < k+1 mit i ≠ j. Zu (i): Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Dann ist θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei nun θ ∈ KONST ∪ VAR ∪ (PAR\{β0, ..., βk}). Dann ist θ = [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ] und es ist θ = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θ] und damit [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ]] = [β*k, βk, θ] = θ = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θ]. Sei nun θ ∈ {β0, ..., βk}. Dann ist θ = βi für ein i < k+1. Dann ist nach Voraussetzung für alle j < k+1 mit j ≠ i gilt auch θ ≠ βj. Damit ist zunächst [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θ] = β*i. Sei nun i < k. Dann ist [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ] = β*i und damit [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ]] = [β*k, βk, β*i]. Aus der Voraussetzung ergibt sich nun, dass βk ≠ β*i und damit, dass [β*k, βk, β*i] = β*i. Sei nun i = k. Dann ist [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ] = θ = βk und somit [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ]] = [β*k, βk, βk] = β*k = β*i. 42 1 Zum grammatischen Rahmen Gelte die Behauptung nun für {θ0, ..., θr-1} ⊆ TERM und sei θ = φ(θ0, ..., θr-1) ∈ FTERM. Dann ist [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ]] = [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, φ(θ0, ..., θr-1) ]] = φ([β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ0]], ..., [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θr-1]]) . Mit I.V. gilt [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θi]] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θi] für alle i < r. Also [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, θ]] = φ([〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θ0], ..., [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θr-1]) = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, φ(θ0, ..., θr-1) ] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, θ]. Zu (ii): Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ... θr-1) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (i). Gelte die Behauptung nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM und sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann ist [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, Δ]] = [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ¬Δ0 ]] = ¬[β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, Δ0]] . Mit I.V. gilt [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, Δ0]] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, Δ0]. Also [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, Δ]] = ¬[〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, Δ0] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, ¬Δ0 ] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, Δ]. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠξΔ0 ∈ QFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Zu (iii) und (iv): (iii) ergibt sich analog zum Negatorfall unter Verwendung von (ii). (iv) ergibt sich analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (iii). ■ Hinweis: Ein zu Theorem 1-27 analoges Theorem lässt sich für Formelmengen zeigen. Theorem 1-28. Mehrfache Substitution von geschlossenen Termen für paarweise verschiedene Variablen in Termen und Formeln (a) Wenn k ∈ N\{0}, {θ*0, ..., θ*k} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk} ⊆ VAR, wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k+1 mit i ≠ j, dann: (i) Wenn θ ∈ TERM, dann [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. Beweis: Seien k ∈ N\{0}, {θ*0, ..., θ*k} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk} ⊆ VAR, wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k+1 mit i ≠ j. Zu (i): Sei θ ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ geführt. Sei θ ∈ ATERM. Angenommen ξi ≠ θ für alle i < 1.2 Substitution 43 k+1. Dann ist [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ]] = [θ*k, ξk, θ] = θ = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ]. Angenommen ξi = θ für ein i < k. Dann ist ξj ≠ θ für alle i < j < k+1. Dann ist [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ] = [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ] = [〈θ*0, ..., θ*i〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, θ] = θ*i ∈ GTERM. Also [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ]] = [θ*k, ξk, θ*i] = θ*i = [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ]. Angenommen ξk = θ. Dann ist ξi ≠ θ für alle i < k und [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ] = θ. Also [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ]] = [θ*k, ξk, θ] = θ*k = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ]. Gelte die Behauptung nun für {θ0, ..., θr-1} ⊆ TERM und sei θ = φ(θ0, ..., θr-1) ∈ FTERM. Dann ist [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ]] = [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, φ(θ0, ..., θr-1) ]] = φ([θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ0]], ..., [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θr-1]]) . Mit I.V. gilt [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θi]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θi] für alle i < r. Also [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ]] = φ([〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ0], ..., [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θr-1]) = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, φ(θ0, ..., θr-1) ] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ]. Zu (ii): Sei Δ ∈ FORM. Der Beweis wird mittels Induktion über den Formelaufbau von Δ geführt. Sei Δ = Φ(θ0, ... θr-1) ∈ AFORM. Der Fall verläuft analog zum FTERM-Fall unter Verwendung von (i). Gelte das Theorem nun für Δ0, Δ1 ∈ FORM. Sei Δ = ¬Δ0 ∈ JFORM. Dann ist [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ¬Δ0 ]] = ¬[θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ0]] . Mit I.V. gilt [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ0]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ0]. Also [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = ¬[〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ0] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, ¬Δ0 ] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. Sei Δ = (Δ0 ψ Δ1) ∈ JFORM. Der Fall verläuft analog zum Negatorfall. Sei Δ = ΠζΔ0 ∈ QFORM. Angenommen ξi = ζ für ein i < k. Dann ist ξj ≠ ζ für alle j < k+1 mit i ≠ j. Dann ist [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ΠζΔ0 ]] = [θ*k, ξk, Πζ[〈θ*0, ..., θ*i-1, θ*i+1, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξi-1, ξi+1, ..., ξk-1〉, Δ0] ] = Πζ[θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*i-1, θ*i+1, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξi-1, ξi+1, ..., ξk-1〉, Δ0]] . Mit I.V. gilt [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*i-1, θ*i+1, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξi-1, ξi+1, ..., ξk-1〉, Δ0]] = [〈θ*0, ..., θ*i-1, θ*i+1, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξi-1, ξi+1, ..., ξk〉, Δ0]. Also [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = Πζ[〈θ*0, ..., θ*i-1, θ*i+1, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξi-1, ξi+1, ..., ξk〉, Δ0] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, ΠζΔ0 ] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. Angenommen ξk = ζ. Dann ist ξi ≠ ζ für alle i < k und [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = [θ*k, ξk, [〈θ*0, 44 1 Zum grammatischen Rahmen ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ΠζΔ0 ]] = [θ*k, ξk, Πζ[〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ0] ] = Πζ[〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ0] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, ΠζΔ0 ] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. Angenommen ξi ≠ ζ für alle i < k+1. Dann ist [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ΠζΔ0 ]] = [θ*k, ξk, Πζ[〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ0] ] = Πζ[θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ0]] . Mit I.V. gilt [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ0]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ0]. Also [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = Πζ[〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ0] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, ΠζΔ0 ] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. ■ Theorem 1-29. Mehrfache Substitution von geschlossenen Termen für paarweise verschiedene Variablen in Termen und Formeln (b) Wenn k ∈ N\{0}, {θ*0, ..., θ*k} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk} ⊆ VAR, wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k+1 mit i ≠ j, dann: (i) Wenn θ ∈ TERM, dann [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, [θ*k, ξk, θ]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ], und (ii) Wenn Δ ∈ FORM, dann [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, [θ*k, ξk, Δ]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. Beweis: Seien k ∈ N\{0}, {θ*0, ..., θ*k} ⊆ GTERM und {ξ0, ..., ξk} ⊆ VAR, wobei ξi ≠ ξj für alle i, j < k+1 mit i ≠ j. Zu (i): Sei θ ∈ TERM. Der Beweis wird mittels Induktion über k geführt. Sei k = 1. Dann ist mit Theorem 1-25-(i) und Theorem 1-28-(i) [θ*0, ξ0, [θ*1, ξ1, θ]] = [θ*1, ξ1, [θ*0, ξ0, θ]] = [〈θ*0, θ*1〉, 〈ξ0, ξ1〉, θ]. Sei nun 1 < k. Durch Anwendung von I.V., Theorem 1-25-(i), I.V., Theorem 1-28-(i), I.V. und Theorem 1-28-(i) in dieser Reihenfolge ergibt sich: [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, [θ*k, ξk, θ]] = [〈θ*0, ..., θ*k2〉, 〈ξ0, ..., ξk-2〉, [θ*k-1, ξk-1, [θ*k, ξk, θ]]] = [〈θ*0, ..., θ*k-2〉, 〈ξ0, ..., ξk-2〉, [θ*k, ξk, [θ*k-1, ξk-1, θ]]] = [〈θ*0, ..., θ*k-2, θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk-2, ξk〉, [θ*k-1, ξk-1, θ]] = [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-2〉, 〈ξ0, ..., ξk-2〉, [θ*k-1, ξk-1, θ]]] = [θ*k, ξk, [〈θ*0, ..., θ*k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, θ]] = [〈θ*0, ..., θ*k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, θ]. (ii) folgt auf analogem Wege aus Theorem 1-25-(ii) und Theorem 1-28-(ii). ■ 2 Verfügbarkeit von Aussagen In diesem Kapitel werden die für den Kalkül benötigten Verfügbarkeitsbegrifflichkeiten entwickelt. Das Vorgehen lässt sich wie folgt skizzieren: Vorbereitend sind zunächst Redemittel zu Abschnitten und Abschnittsfolgen zu etablieren, wobei ein Abschnitt in einer Sequenz eine nicht-leere, zusammenhängende Teilmenge derselben ist (2.1). Sodann werden bestimmte SE-, NEund EA-artige Abschnitte, wie sie insbesondere beim Schliessen mit Subjunktoreinführung (SE), Negatoreinführung (NE) und Partikularquantorbeseitigung (PB) entstehen, als geschlossene Abschnitte ausgezeichnet (2.2). Ausgehend von den geschlossenen Abschnitten werden dann die Verfügbarkeitsbegrifflichkeiten selbst etabliert, wobei in einer Sequenz genau solche Aussagen an einer Stelle verfügbar sein sollen, die in dieser Sequenz an dieser Stelle nicht in einem echten Anfangsabschnitt eines geschlossenen Abschnitts liegen (2.3). Mit den in diesem Kapitel etablierten Theoremen lässt sich dann später zeigen, dass SE, NE und PB und nur diese Annahmen eliminieren können. 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen In diesem Kapitel werden nun Abschnitte in einer Sequenz als nicht-leere und zusammenhängende Teilmengen derselben charakterisiert. Sodann werden einige Theoreme zu Abschnitten bewiesen. Anschliessend werden Begrifflichkeiten und Theoreme zu Abschnittsfolgen für Sequenzen etabliert, wobei Abschnittsfolgen für eine Sequenz solche endlichen Folgen sind, die nur disjunkte Abschnitte in aufzählen. Ausgehend von den Abschnittsfolgen werden dann so genannte ANS-umfassende Abschnittsfolgen für Abschnitte in Sequenzen definiert. Dabei ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für einen Abschnitt in eine Abschnittsfolge für , deren Werte allesamt Teilabschnitte von sind, wobei diese Teilabschnitte einerseits disjunkt sind und andererseits alle Annahmesätze in in einem dieser Teilabschnitte liegen. Diese ANS-umfassenden Abschnittsfolgen werden später bei der induktiven Erzeugung von geschlossenen Abschnitten eine Schlüsselrolle spielen. Den Abschluss des Kapitels bildet dann der Beweis von Theoremen zu ANS-umfassenden Abschnittsfolgen, die bei der Etablierung der geschlossenen Abschnitte bzw. von Theoremen über diese benötigt werden. Nun zur Abschnittsdefinition: 48 2 Verfügbarkeit von Aussagen Definition 2-1. Abschnitt in einer Sequenz (Metavariablen: , , , ', ', ', *, *, *, ...) ist ein Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ≠ ∅, ⊆ und = {(i, i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))}. Definition 2-2. Zuordnung der Menge der Abschnitte von (ABS) ABS = {( , X) | ∈ SEQ und X = { | ist ein Abschnitt in }}. Definition 2-3, Definition 2-4 und Definition 2-5 dienen vor allem der Verflüssigung des Ausdrucks. Definition 2-3. Abschnitt ist ein Abschnitt gdw es gibt ein , so dass ein Abschnitt in ist. Definition 2-4. Teilabschnitt ist ein Teilabschnitt von ' gdw , ' sind Abschnitte und ⊆ '. Definition 2-5. Echter Teilabschnitt ist ein echter Teilabschnitt von ' gdw ist Teilabschnitt von ' und ≠ '. Theorem 2-1. Eine Sequenz ist genau dann nicht-leer, wenn ABS( ) nicht-leer ist Wenn ∈ SEQ, dann: ≠ ∅ gdw ABS( ) ≠ ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei zunächst ≠ ∅. Dann ist ein Abschnitt in und somit ∈ ABS( ). Sei nun ABS( ) ≠ ∅. Dann gibt es ein , so dass ein Abschnitt in ist. Dann ist ≠ ∅ und ⊆ und damit ≠ ∅. ■ Theorem 2-2. Das Abschnittsprädikat ist bezüglich Teilmengenschaft zwischen Sequenzen monoton Wenn , ' ∈ SEQ, ⊆ ' und ein Abschnitt in ist, dann ist ein Abschnitt in '. Beweis: Seien , ' ∈ SEQ, ⊆ ' und ein Abschnitt in . Dann ist ≠ ∅ und ⊆ ⊆ '. Ferner ist = ' Dom( ). Damit ist = {(i, i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 49 = {(i, 'i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} und somit insgesamt ein Abschnitt in '. ■ Bemerkung 2-1. Alle der im Folgenden definierten Abschnittsprädikate sind bezüglich Teilmengenschaft zwischen Sequenzen monoton. Dies wird in der weiteren Darstellung benutzt, aber nicht extra gezeigt Wenn F eines der im Folgenden definierten Abschnittsprädikate ist, dann gilt: Wenn , ' ∈ SEQ, ⊆ ' und ein F-Abschnitt in ist, dann ist ein F-Abschnitt in '. Erläuterung: Alle folgenden Definitionen von Abschnittsprädikaten haben eine der beiden folgenden Formen: ist ein F-Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und H( , ). oder ist ein F-Abschnitt in gdw ist ein Abschnitt in und H( , ). Dabei ist H der variable Teil im Definiens, der die einzelnen Definitionen voneinander unterscheidet. Für H gilt jeweils: Wenn , ' ∈ SEQ, ⊆ ' und ∈ ABS( ) (bzw., äquivalent dazu: ist ein Abschnitt in ) und H( , ), dann H( , '). Damit ergibt sich mit Theorem 2-2 und der entsprechenden Definition dann jeweils: Wenn , ' Sequenzen sind, ⊆ ' und ein F-Abschnitt in ist, dann ist ein F-Abschnitt in '. Daraus ergibt sich auch: Wenn , ' Sequenzen sind, und ein F-Abschnitt in ist, dann ist auch ein F-Abschnitt in '.10 Zu beachten ist allerdings, dass für viele der im Folgenden definierten Abschnittsprädikate nicht gilt: Wenn , ' Sequenzen sind, und ein F-Abschnitt in ist, dann ist auch ein F-Abschnitt in ' . ■ 10 '.. ..' ist der Operator der Folgenverkettung. Die Klammern sind weggelassen und es ist Linksklammerung unterstellt. Also: a0 a1 a2 .... an-1 = (...((a0 a1) a2) ... ) an-1) . 50 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-3. Abschnitte in Beschränkungen11 Wenn ∈ SEQ, dann: ist ein Abschnitt in gdw ist ein Abschnitt in max(Dom( ))+1. Beweis: Sei ∈ SEQ. (L-R): Sei ein Abschnitt in . Dann ergibt sich: ≠ ∅, ⊆ und damit: max(Dom( ))+1 ∈ SEQ. Sodann ist ⊆ max(Dom( ))+1 ⊆ und somit = {(i, i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} = {(i, ( max(Dom( ))+1)i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} und somit insgesamt ein Abschnitt in max(Dom( ))+1. (R-L): Ist umgekehrt ein Abschnitt in max(Dom( ))+1, dann ist max(Dom( ))+1 ∈ SEQ und nach der Eingangsvoraussetzung eine Sequenz und mit max(Dom( ))+1 ⊆ und Theorem 2-2 auch ein Abschnitt in . ■ Bemerkung 2-2. F-Abschnitte in Beschränkungen Wenn F eines der im Folgenden definierten Abschnittsprädikate ist, dann gilt: Wenn ∈ SEQ, dann: ist ein F-Abschnitt in gdw ist ein F-Abschnitt in max(Dom( ))+1. Erläuterung: Alle folgenden Definitionen von Abschnittsprädikaten haben die Form wie in Bemerkung 2-1 angegeben, wobei für H jeweils gilt: Wenn ∈ SEQ, ∈ ABS( ) (bzw., äquivalent dazu: ist ein Abschnitt in ) und H( , ), dann H( , max(Dom( ))+1). Der Grund ist jeweils, dass in den Definientia nur Bezug auf Verhältnisse in max(Dom( ))+1 genommen wird. Damit ergibt sich dann mit Theorem 2-3 und der entsprechenden Definition jeweils: Wenn eine Sequenz ist und ein FAbschnitt in ist, dann ist ein F-Abschnitt in max(Dom( ))+1. Für die Gegenrichtung siehe Bemerkung 2-1. ■ 11 '.. ..' ist der Beschränkungsoperator. Dabei gelte: R X = {(a, b) | (a, b) ∈ R und a ∈ X}. 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 51 Theorem 2-4. Abschnitte mit gleichem Anfang und Ende sind identisch Wenn ∈ SEQ, , ' ∈ ABS( ), min(Dom( )) = min(Dom( ')) und max(Dom( )) = max(Dom( ')), dann = '. Beweis: Sei ∈ SEQ, , ' ∈ ABS( ), min(Dom( )) = min(Dom( ')) und max(Dom( )) = max(Dom( ')). Dann gilt für alle (i, i): (i, i) ∈ gdw min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )) gdw min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( ')) gdw (i, i) ∈ '. ■ Theorem 2-5. Inklusionsverhältnisse zwischen Abschnitten Wenn ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ), dann: (i) min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )) gdw ' ⊆ , und (ii) Wenn min(Dom( )) = min(Dom( ')), dann ⊆ ' oder ' ⊆ . Beweis: Seien ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ). Dann ist = {(l, l) | min(Dom( )) ≤ l ≤ max(Dom( ))} und ' = {(l, l) | min(Dom( ')) ≤ l ≤ max(Dom( '))}. Zu (i): Sei min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Sei (l, l) ∈ '. Dann ist min(Dom( ')) ≤ l ≤ max(Dom( ')) und damit nach Voraussetzung min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) ≤ l ≤ max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Also ist (l, l) ∈ . Sei nun ' ⊆ . Dann sind min(Dom( ')), max(Dom( ')) ∈ Dom( ) und somit min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Zu (ii): Sei min(Dom( )) = min(Dom( ')). Dann ist max(Dom( )) ≤ max(Dom( ')) oder max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Im ersten Fall ergibt sich dann mit (i): ⊆ ' im zweiten Fall ergibt sich mit (i): ' ⊆ . ■ Theorem 2-6. Nicht-leere Beschränkungen von Abschnitten sind Abschnitte Wenn ∈ SEQ und ∈ ABS( ), dann gilt für alle k ∈ Dom( ): k+1 ∈ ABS( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ∈ ABS( ) und sei k ∈ Dom( ). Dann gilt, dass min(Dom( )) < k+1 ≤ max(Dom( ))+1. Damit gilt, dass k+1 = {(i, i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} k+1 = {(i, i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ k} = {(i, i) | min(Dom( k+1)) ≤ i ≤ max(Dom( k+1))} und dass k+1 ⊆ ⊆ . Ausserdem gilt k ∈ Dom( k+1) und somit, dass k+1 ≠ ∅. Also gilt k+1 ∈ ABS( ). ■ 52 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-7. Beschränkungen eines Abschnitts, die Abschnitte sind, haben denselben Anfang wie der beschränkte Abschnitt Wenn ein Abschnitt in ist, dann gilt für alle k ∈ Dom( ): Wenn k ein Abschnitt in ist, dann ist min(Dom( k)) = min(Dom( )). Beweis: Sei ein Abschnitt in . Sei nun k ∈ Dom( ) und sei k ein Abschnitt in und damit insbesondere k ≠ ∅. Dann gilt: k = {(i, i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ))} k = {(i, i) | min(Dom( )) ≤ i ≤ k-1} und wegen k ≠ ∅ mithin min(Dom( k)) = min(Dom( )). ■ Theorem 2-8. Zwei Abschnitte sind genau dann elementfremd, wenn einer von beiden vor dem anderen liegt Wenn ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ), dann: ∩ ' = ∅ gdw (i) min(Dom( )) < min(Dom( ')) und max(Dom( )) < min(Dom( ')) oder (ii) min(Dom( ')) < min(Dom( )) und max(Dom( ')) < min(Dom( )). Beweis: Sei ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ) und sei ∩ ' = ∅. Dann ist min(Dom( )) < min(Dom( ')) oder min(Dom( )) = min(Dom( ')) oder min(Dom( ')) < min(Dom( )). Der zweite Fall min(Dom( )) = min(Dom( ')) kann nicht eintreten, denn sonst wäre (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ und (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ ' und damit ∩ ' ≠ ∅. Angenommen min(Dom( )) < min(Dom( ')). Wäre nun min(Dom( ')) ≤ max(Dom( )), dann wäre (min(Dom( ')), min(Dom( '))) ∈ und (min(Dom( ')), min(Dom( '))) ∈ '. Also ∩ ' ≠ ∅. Daher gilt im ersten Fall min(Dom( )) < min(Dom( ')) und max(Dom( )) < min(Dom( ')). Angenommen min(Dom( ')) < min(Dom( )). Wäre nun min(Dom( )) ≤ max(Dom( ')), dann wäre (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ ' und (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ . Also ∩ ' ≠ ∅. Daher gilt im dritten Fall min(Dom( ')) < min(Dom( )) und max(Dom( ')) < min(Dom( )). 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 53 Sei nun min(Dom( )) < min(Dom( ')) und max(Dom( )) < min(Dom( ')) oder min(Dom( ')) < min(Dom( )) und max(Dom( ')) < min(Dom( )). Wäre es nun der Fall, dass ∩ ' ≠ ∅. Dann gäbe es ein i, so dass (i, i) ∈ ∩ '. Dann gilt min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )) und min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( ')). Damit würde gelten: min(Dom( ')) < min(Dom( ')) oder min(Dom( )) < min(Dom( )). Widerspruch! Also ist ∩ ' = ∅. ■ Theorem 2-9. Zwei Abschnitte sind genau dann nicht elementfremd, wenn der Anfang von einem von beiden in dem anderen liegt Wenn ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ), dann: ∩ ' ≠ ∅ gdw (i) min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder (ii) min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und , ' ∈ ABS( ). (L-R): Sei ∩ ' ≠ ∅. Dann gibt es ein i ∈ Dom( ), so dass (i, i) ∈ ∩ '. Dann gilt: min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )) und min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( ')) und min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) oder min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Damit ist dann min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( ')) oder min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) ≤ i ≤ max(Dom( )). Damit gilt wiederum: min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder min(Dom( ')) ∈ Dom( ). (R-L): Gilt min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder min(Dom( ')) ∈ Dom( ), dann ist (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ ∩ ' oder (min(Dom( ')), min(Dom( '))) ∈ ∩ ' und in beiden Fällen ist ∩ ' ≠ ∅. ■ 54 2 Verfügbarkeit von Aussagen Definition 2-6. Passende Folgen natürlicher Zahlen für Teilmengen von Sequenzen g ist eine passende Folge natürlicher Zahlen für gdw Es gibt ein ∈ SEQ, so dass ⊆ und g eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen mit Ran(g) = Dom( ) ist. Zweck der Definition ist es zunächst, die Elemente (des Definitionsbereichs) einer Teilmenge einer Sequenz unter Wahrung der natürlichen Ordnung aufzählen zu können. Sodann können passende Folgen dazu verwendet werden, um aus Abschnitten von Sequenzen Sequenzen zu machen, indem man den Abschnitt mit einer zu ihm passenden Folge natürlicher Zahlen verknüpft. In gewisser Weise handelt es sich also um eine Umkehroperation zur Folgenverkettung. Theorem 2-10. Existenz passender Folgen natürlicher Zahlen Wenn ∈ SEQ und ⊆ , dann gibt es ein g, so dass g eine passende Folge natürlicher Zahlen für ist. Beweis: Sei ∈ SEQ und ⊆ . Der Beweis wird induktiv über die Mächtigkeit von geführt. Sei | | = 0. Sei g = ∅. Dann ist g trivialerweise eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen mit Ran(g) = Dom( ). Sei nun | | = k+1. Dann ist k = 0 oder k > 0. Im ersten Fall ist {(0, max(Dom( )))} eine passende Folge natürlicher Zahlen für . Sei nun k > 0. Da eine endliche Funktion ist, ist | \{(max(Dom( )), max(Dom( )))}| = k. Ausserdem ist \{(max(Dom( )), max(Dom( )))} ⊆ . Also gibt es nach I.V. ein g, so dass g eine passende Folge natürlicher Zahlen für \{(max(Dom( )), max(Dom( )))} ist. Sei nun g' = g ∪ {(Dom(g), max(Dom( )))}. Offenbar ist Ran(g') = Dom( ). Wegen g(max(Dom(g))) = max(Ran(g)) = max(Dom( \{(max(Dom( )), max(Dom( )))})) < max(Dom( )) = max(Ran(g')) = g'(Dom(g)) = g'(max(Dom(g'))) überträgt sich die strenge Monotonie von g auf g'. Also ist g' eine passende Folge natürlicher Zahlen für . ■ 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 55 Theorem 2-11. Bijektivität passender Folgen natürlicher Zahlen Wenn ∈ SEQ, ⊆ und g eine passende Folge natürlicher Zahlen für ist, dann ist g eine Bijektion zwischen Dom(g) und Dom( ). Beweis: Sei ∈ SEQ, ⊆ und sei g eine passende Folgen natürlicher Zahlen für . Dann ist Ran(g) = Dom( ) und g somit eine Surjektion von Dom(g) auf Dom( ). Ferner gilt, da g eine streng monotone Folge natürlicher Zahlen ist, dass g eine Injektion von Dom(g) in Dom( ) ist und somit ist g insgesamt eine Bijektion zwischen Dom(g) und Dom( ). ■ Theorem 2-12. Eindeutigkeit passender Folgen natürlicher Zahlen Wenn ∈ SEQ, ⊆ und g, g' passende Folgen natürlicher Zahlen für sind, dann: g = g'. Beweis: Sei ∈ SEQ, ⊆ und seien g, g' passende Folgen natürlicher Zahlen für . Dann ist Ran(g) = Dom( ) = Ran(g'). Ferner gilt mit Theorem 2-11 dass Dom(g) = |Ran(g)| = |Ran(g')| = Dom(g'). Nun sind aber streng monoton wachsende Folgen natürlicher Zahlen mit gleichem Definitionsund Wertebereich identisch. Also ist g = g'. ■ Theorem 2-13. Nicht-rekursive Charakterisierung der passenden Folge für einen Abschnitt Wenn ein Abschnitt in ist, dann ist {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|} eine passende Folge natürlicher Zahlen für . Beweis: Sei ∈ SEQ und ein Abschnitt in . Dann ist ≠ ∅. Der Beweis wird induktiv über die Mächtigkeit von Dom( ) geführt. Sei |Dom( )| = 1. Dann ist Dom( ) = {min(Dom( ))} und {(0, min(Dom( )))} ist eine passende Folge natürlicher Zahlen für und {(0, min(Dom( )))} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < 1} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|}. Gelte die Behauptung nun für k ≥ 1 und sei |Dom( )| = k+1. Da eine endliche Funktion ist, ist | \{(max(Dom( )), max(Dom( )))}| = k. Ausserdem ist * = \{(max(Dom( )), max(Dom( )))} ein Abschnitt in . Also ist nach I.V. g = {(l, min(Dom( *))+l) | l < |Dom( *)|} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|-1} eine passende Folge natürlicher Zahlen für *. Sei g' = g ∪ {(|Dom( )|-1, max(Dom( )))}. Dann ist Ran(g') = Dom( *) ∪ {max(Dom( ))} = Dom( ) und es ist Dom(g') = Dom(g) ∪ {Dom(g)} = Dom(g)+1 = |Dom( *)|+1 = |Dom( )|. Da ein Abschnitt in ist, gilt sodann, dass max(Dom( *))+1 = max(Dom( )). Damit ist g'(|Dom( )|-1) = max(Dom( *))+1 = 56 2 Verfügbarkeit von Aussagen g(|Dom( )|-2)+1 = (min(Dom( *))+|Dom( )|-2)+1 = (min(Dom( ))+|Dom( )|-2)+1 = min(Dom( ))+|Dom( )|-1. Somit ist g' = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|-1} ∪ {(|Dom( )|-1, min(Dom( ))+|Dom( )|-1)} = {(l, min(Dom( ))+l) | l < |Dom( )|}. Damit ist g' auch eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen und somit insgesamt eine passende Folge natürlicher Zahlen für . ■ Definition 2-7. Abschnittsfolgen für Sequenzen G ist eine Abschnittsfolge für gdw ∈ SEQ und G ist eine Folge mit Ran(G) ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(G) gilt: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))). Definition 2-8. Zuordnung der Menge der Abschnittsfolgen für (ABSF) ABSF = {( , X) | ∈ SEQ und X = {G | G ist eine Abschnittsfolge für }}. Theorem 2-14. Eine Sequenz ist genau dann nicht-leer, wenn es eine nicht-leere Abschnittsfolge für gibt Wenn ∈ SEQ, dann: ≠ ∅ gdw es gibt ein G ∈ ABSF( ) mit G ≠ ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei nun ≠ ∅. Dann ist ∅ ≠ {(i, {(i, i)}) | i ∈ Dom( )} ∈ ABSF( ). Gebe es nun umgekehrt ein G ∈ ABSF( ) mit G ≠ ∅. Dann gibt es ein i ∈ Dom(G). Sodann ist Ran(G) ⊆ ABS( ) und damit G(i) ∈ ABS( ). Damit gilt mit Theorem 2-1, dass ≠ ∅. ■ Theorem 2-15. ∅ ist eine Abschnittsfolge für alle Sequenzen Wenn ∈ SEQ, dann ist ∅ ∈ ABSF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ. Dann ist ∅ eine Folge mit Ran(∅) = ∅ ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(∅) = ∅ gilt trivialerweise: Wenn i < j, dann min(Dom(∅(i))) < min(Dom(∅(j))) und max(Dom(∅(i))) < min(Dom(∅(j))). ■ 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 57 Theorem 2-16. Eigenschaften von Abschnittsfolgen Wenn ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ), dann: (i) G ist eine Injektion von Dom(G) in Ran(G), (ii) G ist eine Bijektion zwischen Dom(G) und Ran(G), (iii) Dom(G) = |Ran(G)| und (iv) G ist eine endliche Folge. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ). Dann ist G eine Folge mit Ran(G) ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(G) gilt: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))). Zu (i): Seien nun i, j ∈ Dom(G) und sei G(i) = G(j). Dann ist min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))). Wäre i ≠ j. Dann ist i < j oder j < i und damit wäre min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) oder min(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Beides steht jedoch im Widerspruch zu min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))). Also ist für i, j ∈ Dom(G) mit G(i) = G(j) auch i = j und somit G eine Injektion von Dom(G) in Ran(G). Zu (ii): G ist eine Surjektion von Dom(G) auf Ran(G) und mit (i) ist G dann eine Bijektion zwischen Dom(G) und Ran(G). Zu (iii): Da G eine Folge ist, gilt mit (ii): Dom(G) = |Ran(G)| Zu (iv): G ist eine Folge und mit (iii) ist G dann eine endliche Folge, denn Ran(G) ⊆ ABS( ) ⊆ POT( ) und somit (da mit ∈ SEQ gilt, dass | | ∈ N): Dom(G) = |Ran(G)| ≤ |ABS( )| ≤ |POT( )| = 2| | ∈ N. ■ Theorem 2-17. Existenz von Abschnittsfolgen, die alle Elemente einer Menge von disjunkten Abschnitten aufzählen Wenn ∈ SEQ und X ⊆ ABS( ) und für alle , ' ∈ X gilt: Wenn ≠ ', dann ∩ ' = ∅, dann: Es gibt es G ∈ ABSF( ), so dass Ran(G) = X. Beweis: Sei ∈ SEQ und X ⊆ ABS( ) und gelte für alle , ' ∈ X: Wenn ≠ ', dann ∩ ' = ∅. Nun ist = {(l, l) | Es gibt ein ∈ X und l = min(Dom( ))} ⊆ und damit gibt es nach Theorem 2-10 eine passende Folge natürlicher Zahlen g für . Dann ist g mit Theorem 2-11 eine Bijektion zwischen Dom(g) und Dom( ) und damit gilt nach Definition von für alle ∈ X: min(Dom( )) = g(i) für ein i ∈ Dom(g). Sodann gilt 58 2 Verfügbarkeit von Aussagen wegen des streng monotonen Wachstums von g: Wenn i, j ∈ Dom(g) und i < j, dann g(i) < g(j). Dann gilt für alle i ∈ Dom(g): Es gibt genau ein ∈ X, so dass g(i) = min(Dom( )). Sei nämlich i ∈ Dom(g). Dann ist g(i) = min(Dom( )) für ein ∈ X. Sei nun ' ∈ X und g(i) = min(Dom( ')). Nun gilt nach Voraussetzung X ⊆ ABS( ) und somit ergibt sich mit Theorem 2-9: ∩ ' ≠ ∅. Damit ergibt sich aus der Eingangsannahme, dass = '. Sei nun G = {(i, ) | i ∈ Dom(g) und ∈ X und g(i) = min(Dom( ))}. Dann ist zunächst G eine Folge mit Ran(G) ⊆ X ⊆ ABS( ). Sodann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))). Seien nämlich i, j ∈ Dom(G) und sei i < j. Dann ist min(Dom(G(i))) = g(i) < g(j) = min(Dom(G(j)). Dann ist G(i) ≠ G(j) und somit nach Voraussetzung G(i) ∩ G(j) = ∅. Ferner sind dann G(i), G(j) ∈ ABS( ) und somit – da eben min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) – mit Theorem 2-8: max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))). Ferner ist dann Ran(G) = X. Es gilt bereits Ran(G) ⊆ X. Sei nun ∈ X. Dann ist min(Dom( )) = g(i) für ein i ∈ Dom(g). Dann ist (i, ) ∈ G und somit ∈ Ran(G). ■ Theorem 2-18. Hinreichende Bedingungen für die Identität der Argumente einer Abschnittsfolge Wenn ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): (i) Wenn min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))), dann i = j, und (ii) Wenn max(Dom(G(i))) = max(Dom(G(j))), dann i = j. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ) und seien i, j ∈ Dom(G). Sei nun min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j)). Aus Definition 2-7 ergibt sich: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und wenn j < i, dann min(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Beide Fälle stehen im Widerspruch zur Annahme. Also ist i = j. Sei nun max(Dom(G(i))) = max(Dom(G(j))). Wäre nun i < j oder j < i, dann wäre max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) oder max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Also wäre max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) ≤ max(Dom(G(j))) oder max(Dom(G(j))) < 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 59 min(Dom(G(i))) ≤ max(Dom(G(i))) und beide Fälle widersprechen der Annahme. Also ist i = j. ■ Theorem 2-19. Verschiedene Glieder einer Abschnittsfolge sind elementfremd Wenn ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn G(i) ≠ G(j), dann G(i) ∩ G(j) = ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ABSF( ). Dann ist G eine Folge mit Ran(G) ⊆ ABS( ) und für alle i, j ∈ Dom(G) gilt: Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))). Seien i, j ∈ Dom(G). Dann gilt: G(i), G(j) ∈ ABS( ). Sei nun G(i) ≠ G(j). Dann gilt mit Theorem 2-16-(i), dass i ≠ j. Dann ist i < j oder j < i. Dann ist min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) oder min(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Also ist mit Theorem 2-8 G(i) ∩ G(j) = ∅. ■ Definition 2-9. ANS-umfassende Abschnittsfolge für einen Abschnitt in G ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in gdw (i) ∈ SEQ, (ii) ∈ ABS( ), (iii) G ∈ ABSF( )\{∅} und a) min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))), b) max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )) und c) Für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) gilt: Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)). Definition 2-10. Zuordnung der Menge der ANS-umfassenden Abschnittsfolgen in (ANSUMF) ANSUMF = {( , X) | ∈ SEQ und X = {G | Es gibt ein ∈ ABS( ) und G ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in }}. 60 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-20. Existenz von ANS-umfassenden Abschnittsfolgen für alle Abschnitte Wenn ∈ SEQ und ∈ ABS( ), dann gibt es eine ANS-umfassende Abschnittsfolge G für in . Beweis: Sei ∈ SEQ und ∈ ABS( ). Dann ist {(0, )} eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in . ■ Theorem 2-21. Eine Sequenz ist genau dann nicht-leer, wenn ANSUMF( ) nicht-leer ist Wenn ∈ SEQ, dann: ≠ ∅ gdw ANSUMF( ) ≠ ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei nun ≠ ∅. Dann gibt es mit Theorem 2-1 ein , so dass ∈ ABS( ). Daraus folgt mit Theorem 2-20, dass ANSUMF( ) ≠ ∅. Sei nun umgekehrt ANSUMF( ) ≠ ∅. Dann gibt es nach Definition 2-10 ein ∈ ABS( ) und damit gilt wiederum mit Theorem 2-1, dass ≠ ∅. ■ Theorem 2-22. Eigenschaften von ANS-umfassenden Abschnittsfolgen Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann: (i) G ist eine Injektion von Dom(G) in Ran(G), (ii) G ist eine Bijektion zwischen Dom(G) und Ran(G), (iii) Dom(G) = |Ran(G)| und (iv) G ist eine endliche Folge. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Dann folgt mit Definition 2-9, dass G ∈ ABSF( )\{∅} und damit und mit Theorem 2-16 die Behauptung. ■ Theorem 2-23. Alle Glieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge liegen innerhalb des betreffenden Abschnitts Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, dann gilt für alle i ∈ Dom(G): min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom( )). Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und sei i ∈ Dom(G). Dann ist 0 ≤ i ≤ max(Dom(G)). Ferner gilt dann – da nach Definition 2-9 G ∈ ABSF( )\{∅} – mit Definition 2-7 für alle k, j ∈ Dom(G): Wenn k < j, dann min(Dom(G(k))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(k))) < min(Dom(G(j))). Also gilt: min(Dom(G(0))) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ 2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 61 max(Dom(G(max(Dom(G))))). Ferner ergibt sich aus der Annahme und Definition 2-9, dass min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0)) und max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )). Damit gilt dann: min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom( )). ■ Theorem 2-24. Alle Glieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge sind Teilmengen des betreffenden Abschnitts Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, dann gilt für alle i ∈ Dom(G): G(i) ⊆ . Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und sei i ∈ Dom(G). Dann gilt mit Definition 2-9 und Definition 2-7: Ran(G) ⊆ ABS( ) und damit, dass G(i) ein Abschnitt in ist. Sodann gilt mit Theorem 2-23: min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom( )). Damit gilt dann mit Theorem 2-5: G(i) ⊆ . ■ Theorem 2-25. Nicht-leere Beschränkungen von ANS-umfassenden Abschnittsfolgen sind ANS-umfassende Abschnittsfolgen Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, dann gilt für alle j ∈ Dom(G): G (j+1) ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für (max(Dom(G(j)))+1). Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und sei j ∈ Dom(G). Dann gilt nach Definition 2-9, dass ∈ SEQ und ∈ ABS( ) und G ∈ ABSF( )\{∅} und min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0)) und max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )) und für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) gilt: Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)). Mit Definition 2-7 ergibt sich leicht, dass G (j+1) ∈ ABSF( )\{∅}. Mit Theorem 2-23 ergibt sich, dass min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(j))) ≤ max(Dom(G(j))) ≤ max(Dom( )) und somit, dass max(Dom(G(j))) ∈ Dom( ). Mit Theorem 2-6 ergibt sich damit, dass (max(Dom(G(j)))+1) ∈ ABS( ). Nun sind die drei Unter-Klauseln von (iii) aus Definition 2-9 zu zeigen. Zu a): Zunächst ist 0 < j+1. Damit ist 0 ∈ Dom(G (j+1)) und somit (G (j+1))(0) = G(0) und damit min(Dom( (max(Dom(G(j)))+1))) = min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))) ≤ min(Dom((G (j+1))(0))). Zu b): max(Dom((G (j+1))(max(Dom(G (j+1)))))) = 62 2 Verfügbarkeit von Aussagen max(Dom(G(j))) = max(Dom( (max(Dom(G(j)))+1))). Zu c): Sei nun l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( (max(Dom(G(j)))+1)). Dann gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)). Wäre nun j+1 ≤ i. Dann wäre mit G ∈ ABSF( ) und mit Definition 2-7 max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))) ≤ l ≤ max(Dom(G(i))) und andererseits l ≤ max(Dom(G(j))). Widerspruch! Also ist i < j+1 und damit G(i) = (G (j+1))(i). Also gilt für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( (max(Dom(G(j)))+1)), dass es ein i ∈ Dom(G (j+1)) gibt, so dass l ∈ Dom((G (j+1))(i)). Damit ist dann nach Definition 2-9 G (j+1) insgesamt eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für (max(Dom(G(j)))+1). ■ Theorem 2-26. Hinreichende Bedingungen für die Identität der Argumente einer ANSumfassenden Abschnittsfolge Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): (i) Wenn min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j))), dann i = j, (ii) Wenn max(Dom(G(i))) = max(Dom(G(j))), dann i = j. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Dann folgt mit Definition 2-9 und Definition 2-10, dass G ∈ ABSF( )\{∅} und damit mit Theorem 2-18 die Behauptung. ■ Theorem 2-27. Verschiedene Glieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge sind elementfremd Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn G(i) ≠ G(j), dann G(i) ∩ G(j) = ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Dann folgt mit Definition 2-9 und Definition 2-10, dass G ∈ ABSF( )\{∅} und damit mit Theorem 2-19 die Behauptung. ■ 2.2 Geschlossene Abschnitte 63 2.2 Geschlossene Abschnitte Im Folgenden werden mit den SE-, NEund EA-artigen Abschnitten einzelne Arten von Abschnitten ausgesondert, nämlich die, die grundsätzlich eine Form zeigen, wie sie mit dem Schliessen mit Subjunktoreinführung (SE-artige), Negatoreinführung (NE-artige) und Partikularquantorbeseitigung (EA-artige) verbunden ist. Unter diesen werden sodann so genannte minimale SE-, NEund PB-geschlossene Abschnitte ausgezeichnet, welche zusammen die minimalen geschlossenen Abschnitte bilden. Sodann wird die Erzeugungsrelation ERZ definiert, mit der sich im Ausgang von minimalen geschlossenen Abschnitten weitere non-redundante SE-, NEund EA-artige Abschnitte erzeugen lassen. Sodann wird die Menge der ERZ-induktiven Relationen definiert und ihr grosser Schnitt als die Relation ausgezeichnet, die einer Sequenz genau die Abschnitte zuordnet, die in dieser Sequenz geschlossenen sind. Damit sind die geschlossenen Abschnitte in einer Sequenz dann gerade die SE-, NEund EA-artigen Abschnitte in dieser Sequenz, die entweder minimale geschlossene Abschnitte sind oder sich mit der Erzeugungsrelation aus minimalen geschlossenen Abschnitten bilden lassen. Sodann werden allgemeine Theoreme zu geschlossenen Abschnitten bewiesen. Im Anschluss werden dann unter den geschlossenen Abschnitten die SE-, NEbzw. PBgeschlossenen Abschnitte unterschieden, wobei SEresp. NEresp. PB-geschlossene Abschnitte gerade die SEresp. NEresp. EA-artigen geschlossenen Abschnitte sein werden. Mit den zum Abschluss dieses Kapitels etablierten Theoremen (Theorem 2-66, Theorem 2-67, Theorem 2-68, Theorem 2-69) lässt sich dann später zeigen, dass SE resp. NE resp. PB und nur diese SEresp. NEresp. PB-geschlossene Abschnitte und damit überhaupt geschlossene Abschnitte erzeugen. Im nächsten Kapitel (2.3) wird dann unter direktem Rückgriff auf dieses Kapitel die Verfügbarkeitsrede etabliert: Eine Aussage Γ soll in einer Sequenz genau dann an der Stelle i verfügbar sein, wenn Γ die Aussage von i ist und (i, i) in allen geschlossenen Abschnitten in höchstens als letztes Glied vorkommt. Unter diesen Festlegungen ergibt sich dann, dass SE, NE und PB und nur SE, NE und PB Annahmen eliminieren können. Mit den ersten drei Definitionen werden nun zunächst die SE-, NEund EA-artigen Abschnitte ausgesondert. Sodann werden im Anschluss an einige Theoreme unter diesen Abschnitten die minimalen (SE-, NEund PB-)geschlossenen Abschnitte ausgezeichnet. 64 2 Verfügbarkeit von Aussagen Definition 2-11. SE-artiger Abschnitt ist ein SE-artiger Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass (i) min(Dom( )) = Sei Δ , (ii) A( max(Dom( ))-1) = Γ und (iii) max(Dom( )) = Also Δ → Γ . Definition 2-12. NE-artiger Abschnitt ist ein NE-artiger Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), (ii) min(Dom( )) = Sei Δ , (iii) A( i) = Γ und A( max(Dom( ))-1) = ¬Γ oder A( i) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1) = Γ und (iv) max(Dom( )) = Also ¬Δ . In Klausel (iii) von Definition 2-12 werden Widerspruchsglieder, wie sie für die Negatoreinführung notwendig sind, in der Sequenz verortet. Dabei ist entweder das negative ( ¬Γ ) oder das positive (Γ) Widerspruchsglied die Aussage des vorletzten Folgenglieds des betrachteten Abschnitts . Die Stelle des jeweils anderen Widerspruchsgliedes wird nicht genau festgelegt. Es wird nur gefordert, dass es irgendeine Stelle (i) zwischen dem ersten und dem vorletzten Glied des Abschnitts gibt, an der das Widerspruchsglied auftritt. Bei minimalen NE-geschlossenen Abschnitten (Definition 2-15) ist dieser Umstand unproblematisch. Erst bei der Erzeugung nicht-minimaler geschlossener Abschnitte aus geschlossenen Abschnitten muss gesondert sichergestellt werden, dass das Widerspruchsglied, dessen Stelle nicht näher bekannt ist, nicht in einen echten Teilabschnitt von fällt, der bereits geschlossen ist. Dies ist insbesondere bei der Konstruktion der Erzeugungsrelation zu berücksichtigen (vgl. insbesondere Definition 2-18). 2.2 Geschlossene Abschnitte 65 Definition 2-13. EA-artiger Abschnitt ist ein EA-artiger Abschnitt in gdw ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und es gibt ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, β ∈ PAR, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ), so dass (i) A( min(Dom( ))) = ξΔ , (ii) min(Dom( ))+1 = Sei [β, ξ, Δ] , (iii) A( max(Dom( ))-1) = Γ, (iv) max(Dom( )) = Also Γ , (v) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (vi) Es kein j ≤ min(Dom( )) gibt, so dass β ∈ TT( j), und (vii) = \{(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Hinweis: 'EA' steht für Ersatzannahme, also für die für eine Partikularquantorbeseitigung zu machende ›repräsentative Annahme‹. Theorem 2-28. Kein Abschnitt ist zugleich SEund NEoder SEund EA-artiger Abschnitt (i) Es gibt keine , , so dass SEund NE-artiger Abschnitt in ist, (ii) Es gibt keine , , so dass SEund EA-artiger Abschnitt in ist. Beweis: Ergibt sich aus den Definitionen und Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 bis Theorem 1-12). ■ Man beachte, dass es durchaus sein kann, dass ein ein NEund EA-artiger Abschnitt in ist. Unter Verwendung weiter unten einzuführender Terminologie ist das zum Beispiel dann der Fall, wenn die Annahme für einen indirekten Beweis parameterfrei ist, selbst das positive Widerspruchsglied stellt, und zudem die (leer laufende) Partikularquantifikation der indirekten Annahme unmittelbar vor dieser Annahme gewonnen wurde. Theorem 2-29. Das letzte Glied eines SEoder NEoder EA-artigen Abschnitts ist kein Annahmesatz Wenn ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist, dann ist max(Dom( )) ∉ Dom(ANS( )). Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-11-(iii), Definition 2-12-(iv), Definition 2-13-(iv) und dem Theorem über die eindeutige Lesbarkeit von Sätzen (Theorem 1-12). ■ 66 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-30. Alle Annahmesätze in einem SEoder NEoder EA-artigen Abschnitt liegen innerhalb eines echten Teilabschnitts, der das letzte Glied nicht umfasst Wenn ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist und i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )), dann min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Beweis: Ergibt sich aus Theorem 2-29. ■ Theorem 2-31. Mächtigkeit von SE-, NE-, und EA-artigen Abschnitten (i) Wenn ein SEoder EA-artiger Abschnitt in ist, dann 2 ≤ | |, und (ii) Wenn ein NE-artiger Abschnitt in ist, dann 3 ≤ | |. Beweis: Ergibt sich mit den Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 bis Theorem 1-12) direkt aus Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13. ■ Definition 2-14. Minimaler SE-geschlossener Abschnitt ist ein minimaler SE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein SE-artiger Abschnitt in und (i) ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} und (ii) Für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Definition 2-15. Minimaler NE-geschlossener Abschnitt ist ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein NE-artiger Abschnitt in und (i) ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} und (ii) Für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Definition 2-16. Minimaler PB-geschlossener Abschnitt ist ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein EA-artiger Abschnitt in und (i) ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} und (ii) Für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . 2.2 Geschlossene Abschnitte 67 Definition 2-17. Minimaler geschlossener Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in gdw ist ein minimaler SEoder ein minimaler NEoder ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in . Theorem 2-32. SE-, NEund EA-artige Abschnitte mit nur einem Annahmesatz haben einen minimalen geschlossenen Abschnitt zum Anfangsabschnitt Wenn ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist und |ANS( ) ∩ | = 1, dann ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass i ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist. Beweis: Sei ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in und |ANS( ) ∩ | = 1. Dann ist mit Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13 ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Angenommen ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gilt nach Voraussetzung mit Definition 2-17 und Definition 2-14, Definition 2-15 und Definition 2-16, dass es ein j ∈ Dom( ) gibt, so dass j ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist. Sei nun i = min({j | j ∈ Dom( ) und j ist ein SE-, NEoder EA-artiger Abschnitt in }). Dann ist ANS( ) ∩ i ⊆ ANS( ) ∩ und mit Theorem 2-7 min(Dom( i)) = min(Dom( )) und damit ANS( ) ∩ i = {(min(Dom( i)), min(Dom( i)))}. Sodann gilt wegen der Minimalität von i, dass für alle l ∈ Dom( i) gilt, dass ( i) l = l kein SE-, NEoder EA-artiger Abschnitt in ist. Damit ist dann i ein minimaler SEoder NEoder PB-geschlossener und damit ein minimaler geschlossener Abschnitt in . ■ Theorem 2-33. Verhältnis von Folgerungsund Annahmesätzen in minimalen geschlossenen Abschnitten Wenn ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist, dann |ANS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Beweis: Sei ein minimaler geschlossener und also ein minimaler SEoder NEoder PB-geschlossener Abschnitt in . Dann gilt mit den Definitionen und Theorem 2-29: |ANS( ) ∩ | = 1 ≤ |FS( ) ∩ |. ■ Nun wird eine Erzeugungsrelation für Abschnitte definiert, mit der sich im Ausgang von minimalen geschlossenen Abschnitten weitere non-redundante SE-, NEund EA-artige Abschnitte erzeugen lassen, bei denen alle Annahmesätze Anfangsglieder eines solchen 68 2 Verfügbarkeit von Aussagen non-redundanten SE-, NEoder EA-artigen Teilabschnitts sind. Dazu wird zunächst folgende Proto-Erzeugungsrelation definiert: Definition 2-18. Proto-Erzeugungsrelation für non-redundante SE-, NEund EA-artige Abschnitte in Sequenzen (PERZ) PERZ = {(〈 , G〉, X) | ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und X = { | ∈ ABS( ) und es gibt ein ∈ ABS( ), so dass (i) G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, (ii) ANS( ) ∩ ≠ ∅, (iii) min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1, (iv) ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in und wenn ein NEartiger Abschnitt in ist, dann gibt es Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass a) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), b) min(Dom( )) = Sei Δ , c) A( i) = Γ und A( max(Dom( ))-1) = ¬Γ oder A( i) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1) = Γ, d) Für alle r ∈ Dom(G) gilt: i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i, e) max(Dom( )) = Also ¬Δ , und (v) Für alle i ∈ Dom( ) ist i kein minimaler geschlossener Abschnitt in }}. In Klausel (iv) von Definition 2-18 wird für NE-artige Abschnitte eine Sonderbedingung gestellt. Bei der Erzeugung geschlossener Abschnitte aus bereits geschlossenen Abschnitten sollen die Werte der ANS-umfassenden Abschnittsfolge G nämlich gerade die bereits geschlossenen Ausgangsabschnitte sein. Im NE-Fall muss jedoch sichergestellt werden, dass nur solche Abschnitte als NE-geschlossen erzeugt werden, bei denen tatsächlich beide Widerspruchsglieder in max(Dom( )) liegen und dort in keinen bereits geschlossenen Abschnitt fallen. Genau dies wird für das erste Widerspruchsglied mit (iv-d) gewährleistet (vgl. den Beweis zu Theorem 2-68). Theorem 2-34. Einige wichtige Eigenschaften von PERZ Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ PERZ(〈 , G〉), dann: (i) Es gibt ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und ANS( ) ∩ ≠ ∅, min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1, (ii) ∈ ABS( ) ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in , 2.2 Geschlossene Abschnitte 69 (iii) Für alle i ∈ Dom( ) ist i kein minimaler geschlossener Abschnitt in , (iv) Es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass min(Dom( )) < i und i ∈ Dom(ANS( )), (v) ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in und (vi) Für alle ∈ PERZ(〈 , G〉) gilt: min(Dom( )) = min(Dom( )). Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ PERZ(〈 , G〉). Dann ergeben sich (i)-(iii) direkt aus Definition 2-18. Sei nun wie in (i) gefordert. Dann ist ANS( ) ∩ ≠ ∅ und somit gibt es ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) ⊆ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) wobei wegen min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) gilt, dass min(Dom( )) < i. Damit gilt dann (iv) und mit Definition 2-14, Definition 2-15, Definition 2-16 und Definition 2-17 auch (v). Sodann gilt nach Definition 2-9, dass min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))) ≤ max(Dom( )) und damit, dass min(Dom( )) < min(Dom(G(0))). Sei nun ∈ PERZ(〈 , G〉). Dann gibt es ein ' ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' in ist und min(Dom( ))+1 = min(Dom( ')) und max(Dom( )) = max(Dom( '))+1 und ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Dann gilt min(Dom( )), min(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )). Sodann ergibt sich nach Definition 2-9 min(Dom( ')) ≤ min(Dom(G(0))) ≤ max(Dom( ')) und damit min(Dom( )) < min(Dom(G(0))). Damit gilt dann: min(Dom( )), min(Dom( )) < min(Dom(G(0))) ≤ max(Dom( )), max(Dom( ')). Wäre nun min(Dom( )) < min(Dom( )). Dann wäre min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) ≤ max(Dom( ')). Dann wäre min(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ') und da G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' in ist, wäre dann nach Definition 2-9 min(Dom( )) ∈ Dom(G(l)) für ein l ∈ Dom(G). Da G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, wäre damit nach Theorem 2-24 wiederum min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Widerspruch! Wäre nun min(Dom( )) < min(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) ≤ max(Dom( )). Damit wäre dann wiederum min(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) und damit min(Dom( )) ∈ Dom(G(l')) für ein l' ∈ Dom(G) und damit wiederum min(Dom( ))+1 = min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )). Widerspruch! Also ist min(Dom( )) = min(Dom( )) und somit gilt (vi). ■ 70 2 Verfügbarkeit von Aussagen Die gewünschte Erzeugungsrelation soll nun für gegebene , G lediglich die nonredundanten Abschnitte aus PERZ(〈 , G〉) berücksichtigen: Definition 2-19. Erzeugungsrelation für non-redundante SE-, NEund EA-artige Abschnitte in Sequenzen (ERZ) ERZ = {(〈 , G〉, X) | ∈ SEQ, G ∈ ANSUMF( ) und X = { | ∈ PERZ(〈 , G〉) und es gibt kein i ∈ Dom( ) und j ∈ Dom(G), so dass i ∈ PERZ(〈 , G (j+1)〉)}}. ERZ ist eine zweistellige Funktion, die einer Sequenz und einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge G für einen Abschnitt in eine Teilmenge X der Menge der SE-, NEoder EA-artigen Abschnitte in zuordnet, die die Glieder von G zum echten Teilabschnitt haben. Diese Teilmenge ist dann entweder leer oder sie ist die Einermenge aus dem kürzesten Abschnitt, der sich mit PERZ für und Beschränkungen von G auf j+1 mit j ∈ Dom(G) erzeugen lässt. Dies sichert später, dass nicht nur minimale, sondern auch ERZ-erzeugte und damit alle geschlossenen Abschnitte durch ihren Anfang eindeutig bestimmt sind (vgl. Theorem 2-50). Das folgende Theorem fasst einige Eigenschaften von ERZ für den Fall ERZ(〈 , G〉) ≠ ∅ zusammen. Theorem 2-35. Einige häufiger benutzte Konsequenzen aus Definition 2-19 Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ ERZ(〈 , G〉), dann: (i) Es gibt ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und ANS( ) ∩ ≠ ∅, min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1, (ii) ∈ ABS( ) ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in , (iii) Für alle i ∈ Dom( ) ist i kein minimaler geschlossener Abschnitt in , (iv) Es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass min(Dom( )) < i und i ∈ Dom(ANS( )), (v) ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in , (vi) Es gibt kein i ∈ Dom( ) und j ∈ Dom(G), so dass i ∈ PERZ(〈 , G (j+1)〉), und (vii) ERZ(〈 , G〉) = { }. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ergeben sich (i)-(v) direkt aus Definition 2-19 und Theorem 2-34 und (vi) aus Definition 2-19. Sei nun ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ist mit Definition 2-19 und , ∈ ERZ(〈 , G〉) auch , ∈ PERZ(〈 , G〉) und damit mit Theorem 2-34-(vi) min(Dom( )) = min(Dom( )). Wäre nun max(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ≤ max(Dom( ))+1 ≤ 2.2 Geschlossene Abschnitte 71 max(Dom( )) und daher max(Dom( ))+1 ∈ Dom( ). Gleichzeitig gilt max(Dom( ))+1 = ∈ PERZ(〈 , G〉) = PERZ(〈 , G (max(Dom(G))+1)〉) und somit nach Definition 2-19 ∉ ERZ(〈 , G〉). Widerspruch! Analog ergibt sich für max(Dom( )) < max(Dom( )) ein Widerspruch. Also ist auch max(Dom( )) = max(Dom( )) und damit mit Theorem 2-4 insgesamt = ∈ { }. Also ist ERZ(〈 , G〉) ⊆ { }. Sodann gilt nach Voraussetzung { } ⊆ ERZ(〈 , G〉) und somit insgesamt: ERZ(〈 , G〉) = { } und damit (vii). ■ Theorem 2-36. ERZ-erzeugte Abschnitte sind mächtiger als die Glieder der entsprechenden ANS-umfassenden Abschnittsfolge Wenn ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ), dann gilt für alle ∈ Ran(G) und ∈ ERZ(〈 , G〉): | | < | |. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Seien nun ∈ Ran(G) und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann gibt es ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Dann ist | | < | |. Ferner gilt mit Theorem 2-24 wegen ∈ Ran(G), dass | | ≤ | | und somit dass | | < | |. ■ Theorem 2-37. Hilfssatz für Theorem 2-39 (a) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Beweis: Sei ( , ) ∈ {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in }. Dann ergibt sich aus Definition 2-14, Definition 2-15, Definition 2-16 und Definition 2-17, dass ein Abschnitt in ist und damit, dass ∈ SEQ. Damit: ( , ) ∈ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. ■ 72 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-38. Hilfssatz für Theorem 2-39 (b) Für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) gilt, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Beweis: Sei ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ). Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ergibt sich aus den Voraussetzungen und Theorem 2-35-(ii), dass ∈ ABS( ) und damit folgt insgesamt die Behauptung. ■ Nun wird die Menge der ERZ-induktiven Relationen definiert: Definition 2-20. Menge der ERZ-induktiven Relationen (GSR) GSR = {R | R ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und (i) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ R und (ii) Für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ R gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R}. Definition 2-20 ist im Wesentlichen eine Hilfsdefinition, um in Definition 2-21 zu der Relation, die einer Sequenz alle und nur die geschlossenen Abschnitte in dieser Sequenz zuordnet, zu gelangen. Informell gesprochen enthält GSR alle Relationen R, die für eine gegebene Sequenz alle geordneten Paare aus und – so vorhanden – einem der minimalen geschlossenen Abschnitte in und alle geordneten Paare ( , ) für Abschnitte in , die sich mit ERZ aus Abschnitten 0, ..., n-1 mit {( , 0), ..., ( , n-1)} ⊆ R erzeugen lassen, enthalten. Theorem 2-39. Hilfssatz für Theorem 2-40 SEQ × { | ist ein Abschnitt} ∈ GSR. Beweis: Zunächst gilt: SEQ × { | ist ein Abschnitt} ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Sodann gilt mit Theorem 2-37, dass {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Ferner gilt mit Theorem 2-38 für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. ■ 2.2 Geschlossene Abschnitte 73 Nun wird die Relation, die einer Sequenz alle und nur die Abschnitte zuordnet, die minimale geschlossene Abschnitte in sind oder sich durch wiederholte Anwendung von ERZ aus minimalen geschlossenen Abschnitten in erzeugen lassen, definiert: Definition 2-21. Die kleinste ERZ-induktive Relation (GS) GS = GSR. Das folgende Theorem bringt zum Ausdruck, dass GS tatsächlich eine Relation ist, die einer Sequenz alle minimalen geschlossenen Abschnitte in dieser Sequenz sowie alle SE-, NEund EA-artigen Abschnitte, die sich durch widerholte Anwendung von ERZ aus minimalen geschlossenen Abschnitten erzeugen lassen, zuordnet und zum anderen auch Teilmenge von allen anderen solchen Relationen und somit die kleinste solche Relation ist und daher einer Sequenz nur solche Abschnitte wie angegeben zuordnet. Theorem 2-40. GS ist die kleinste ERZ-induktive Relation (i) GS ∈ GSR und (ii) Wenn R ∈ GSR, dann GS ⊆ R. Beweis: (ii) ergibt sich aus Definition 2-21. Zu (i): Zu zeigen ist: a) GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}, b) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS und c) für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Dabei ergibt sich a) GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} mit Theorem 2-39 und (ii). Da für alle R ∈ GSR gilt, dass {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ R, gilt mit Definition 2-21 auch b) {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS. Nun ist zu zeigen, dass c) für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ GS. Um zu zeigen, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS, ist nach Definition 2-21 zu zeigen, dass für alle R ∈ GSR gilt, dass { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R. Sei nun R ∈ GSR. Dann ergibt sich aus der Annahme, dass { } × Ran(G) ⊆ GS, und (ii), dass { } × Ran(G) ⊆ R. Da nun nach Voraussetzung R ∈ GSR ist, gilt mit Definition 2-20 { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R. Also gilt für alle R ∈ GSR, dass 74 2 Verfügbarkeit von Aussagen { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ R und damit ist { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Also gilt für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. ■ Mit dem vorhergehenden Theorem kann die folgende Definition im Anschluss an die obigen Erläuterungen informell so erläutert werden, dass mit ihr genau diejenigen Abschnitte in einer Sequenz als geschlossene Abschnitt in dieser Sequenz ausgezeichnet werden, die minimale geschlossene Abschnitte in dieser Sequenz sind oder die sich durch wiederholte Anwendung von ERZ aus diesen minimalen Abschnitten gewinnen lassen. Definition 2-22. Geschlossener Abschnitt ist ein geschlossener Abschnitt in gdw ( , ) ∈ GS. Theorem 2-41. Geschlossene Abschnitte sind minimal oder ERZ-erzeugt ( , ) ∈ GS gdw (i) ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder (ii) ∈ SEQ und es gibt ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉). Beweis: Die R-L-Richtung ergibt sich mit Theorem 2-40-(i) und Definition 2-20. Sei nun für die L-R-Richtung X = {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder ∈ SEQ und es gibt ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉)} ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii). Mit Theorem 2-40-(i) gilt, dass GS ∈ GSR. Nach Definition 2-20 und der Definition von X gilt daher: X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X. Nun ist zu zeigen, dass für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS und damit mit Theorem 2-40-(i) und Definition 2-20 auch { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann gibt es also ein G ∈ ANSUMF( ) 2.2 Geschlossene Abschnitte 75 mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉) und ausserdem ist ( , ) ∈ GS. Also ist ( , ) ∈ X. Also insgesamt X ∈ GSR. ■ Theorem 2-42. Geschlossene Abschnitte sind SEoder NEoder EA-artige Abschnitte Wenn ( , ) ∈ GS, dann ist ein SE-, NEoder EA-artiger Abschnitt in . Beweis: Sei ( , ) ∈ GS. Dann gilt mit Theorem 2-41 und Theorem 2-37: ∈ SEQ und ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder es gibt ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ergibt sich die Behauptung unmittelbar mit Definition 2-14, Definition 2-15, Definition 2-16, Definition 2-17 und Theorem 2-35-(ii). ■ Theorem 2-43. ∅ ist weder in Dom(GS) noch in Ran(GS) Wenn ( , ) ∈ GS, dann ist ≠ ∅ und ≠ ∅. Beweis: Sei ( , ) ∈ GS. Dann gilt mit Theorem 2-42, dass ein SEoder NEoder EAartiger Abschnitt in ist. Dann gilt mit Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass ∈ SEQ und ∈ ABS( ). Dann ist mit Theorem 2-1 und Definition 2-1 ≠ ∅ und ≠ ∅. ■ Theorem 2-42 zeigt, dass GS nur Paare von Sequenzen und SEoder NEoder EAartigen Abschnitten in diesen Sequenzen enthält. Die ersten und letzten Glieder der Abschnitte verleihen ihnen also die Gestalt, wie sie aus den entsprechenden beweisnahen Schlussfiguren (bei NE mit den Widerspruchsgliedern in einem echten Anfangsabschnitt des betreffenden Abschnitts und bei PB mit der Partikularquantifikation vor dem jeweiligen EA-artigen Abschnitt) bekannt ist. Umgekehrt ist aber nicht jedes Paar aus einer Sequenz und einem Abschnitt in dieser Sequenz, der eine solche Gestalt hat, in GS enthalten. Das lässt sich unter Rückgriff auf Theorem 2-41 und Theorem 2-42 zeigen. Hier ein Beispiel für eine Sequenz und einen SE-artigen Abschnitt in dieser Sequenz, für die das geordnete Paar aus beiden nicht Element von GS ist: 76 2 Verfügbarkeit von Aussagen Beispiel [2.1] Sei [2.1] die folgende Sequenz: 0 Sei P1.1(c1) 1 Sei P1.1(c1) 2 Also P1.1(c1) → P1.1(c1) Erläuterung: Angenommen ( [2.1], [2.1]) ∈ GS. Dann wäre nach Theorem 2-41 [2.1] ein minimaler geschlossener Abschnitt in [2.1] oder es gäbe ein G ∈ ANSUMF( [2.1]) mit { [2.1]} × Ran(G) ⊆ GS und [2.1] ∈ ERZ(〈 [2.1], G〉). Da |ANS( [2.1])| = 2, ist [2.1] kein minimaler geschlossener Abschnitt in [2.1]. Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( [2.1]) mit { [2.1]} × Ran(G) ⊆ GS und [2.1] ∈ ERZ(〈 [2.1], G〉). Dann ist [2.1] ∈ ERZ(〈 [2.1], G〉). Dann gibt es ein ∈ ABS( [2.1]), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in [2.1] ist und min(Dom( [2.1]))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( [2.1])) = max(Dom( ))+1. Dann ist = {(1, Sei P1.1(c1) )}. Da G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in [2.1] sein muss, ist dann Ran(G) = {{(1, Sei P1.1(c1) )}}. Nun ist jedoch {(1, Sei P1.1(c1) )} kein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in [2.1]. Nun gilt aber nach Annahme { [2.1]} × Ran(G) ⊆ GS und damit ( [2.1], {(1, Sei P1.1(c1) )}) ∈ GS. Dann aber müsste nach Theorem 2-42 {(1, Sei P1.1(c1) )} ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in [2.1] sein. Aus der Annahme, dass ( [2.1], [2.1]) ∈ GS ergibt sich also ein Widerspruch. Also ( [2.1], [2.1]) ∉ GS. ■ Theorem 2-44. Geschlossene Abschnitte sind wenigstens zwei-elementig Wenn ( , ) ∈ GS, dann 2 ≤ | |. Beweis: Mit Theorem 2-31 gilt für alle SEoder NEoder EA-artigen Abschnitte in : 2 ≤ | |. Mit Theorem 2-42 folgt das Theorem. ■ 2.2 Geschlossene Abschnitte 77 Theorem 2-45. Jeder geschlossene Abschnitt hat einen minimalen geschlossenen Abschnitt zum Teilabschnitt Wenn ( , ) ∈ GS, dann gibt es einen minimalen geschlossenen Abschnitt in , so dass ⊆ . Beweis: Sei X = {( , ) | Es gibt einen minimalen geschlossenen Abschnitt in , so dass ⊆ } ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii). Zunächst ist X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X. Nun ist zu zeigen, dass für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist zunächst ( , ) ∈ GS. Wegen ∈ ERZ(〈 , G〉) gibt es sodann mit Theorem 2-35 ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, ANS( ) ∩ ≠ ∅ und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Dann gibt es ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Nun ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für . Also gilt mit Definition 2-9 für alle r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): es gibt ein s ∈ Dom(G), so dass r ∈ Dom(G(s)). Also gibt es ein entsprechendes s für i. Dann ist nach Annahme { } × Ran(G) ⊆ X und somit ( , G(s)) ∈ X und damit gibt es einen minimalen geschlossenen Abschnitt in , so dass ⊆ G(s). Nun gilt mit Theorem 2-24 G(s) ⊆ und somit ⊆ und damit wegen ⊆ insgesamt ⊆ . Somit ist ( , ) ∈ X. ■ Theorem 2-46. Verhältnis von Folgerungsund Annahmesätzen in geschlossenen Abschnitten Wenn ( , ) ∈ GS, dann |ANS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Beweis: Sei X = {( , ) | Wenn ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist, dann |ANS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |} ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii) und Theorem 2-42. 78 2 Verfügbarkeit von Aussagen Zunächst ist X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt}. Sodann gilt mit Theorem 2-33: {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X. Nun ist zu zeigen, dass für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist zunächst ( , ) ∈ GS. Wegen ∈ ERZ(〈 , G〉) gibt es sodann mit Theorem 2-35 ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist. Dann ist mit Theorem 2-29 |ANS( ) ∩ | ≤ 1+|ANS( ) ∩ | und 1+|FS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Nun gilt mit Definition 2-9-(iii-c) für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)) und andererseits gilt mit Theorem 2-24 für alle i ∈ Dom(G): G(i) ⊆ . Damit ist {ANS( ) ∩ G(i) | i ∈ Dom(G)} = ANS( ) ∩ . Sodann ist {FS( ) ∩ G(i) | i ∈ Dom(G)} ⊆ FS( ) ∩ . Sodann gilt wegen { } × Ran(G) ⊆ X für alle i ∈ Dom(G): ( , G(i)) ∈ X und mithin |ANS( ) ∩ G(i)| ≤ |FS( ) ∩ G(i)|. Nun gilt mit Theorem 2-22-(i) und Theorem 2-27 für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn i ≠ j, dann G(i) ∩ G(j) = ∅. Damit gilt für alle i, j ∈ Dom(G): Wenn i ≠ j, dann (ANS( ) ∩ G(i)) ∩ (ANS( ) ∩ G(j)) = ∅ und (FS( ) ∩ G(i)) ∩ (FS( ) ∩ G(j)) = ∅. Somit gilt | {ANS( ) ∩ G(j) | j ∈ Dom(G)}| = ∑ D Gj |ANS( ) ∩ G(j)| und | {FS( ) ∩ G(j) | j ∈ Dom(G)}| = ∑ D Gj |FS( ) ∩ G(j)|. Sodann gilt wegen |ANS( ) ∩ G(j ≤ |FS( ) ∩ G(j)| für alle j ∈ Dom(G) auch: )| ∑ D Gj |ANS( ) ∩ G(j)| ≤ ∑ D G j |FS( ) ∩ G(j)|. Damit gilt insgesamt: |ANS( ) ∩ | ≤ 1+|ANS( ) ∩ | = 1+∑ D Gj |ANS( ) ∩ G(j)| ≤ 2.2 Geschlossene Abschnitte 79 1+∑ D Gj |FS( ) ∩ G(j)| ≤ 1+|FS( ) ∩ | ≤ |FS( ) ∩ |. Also ist ( , ) ∈ X. ■ Theorem 2-47. Jeder Annahmesatz in einem geschlossenen Abschnitt liegt an dessen Anfang oder am Anfang eines echten geschlossenen Teilabschnitts von Wenn ( , ) ∈ GS, dann gilt für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): (i) i = min(Dom( )) oder (ii) Es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass a) i = min(Dom( )) und b) min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Beweis: Sei X = {( , ) | Für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): i = min(Dom( )) oder es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass i = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( ))} ∩ GS. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii). Zunächst ist X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und mit Definition 2-17, Definition 2-14-(i), Definition 2-15-(i), Definition 2-16-(i) und Theorem 2-41 gilt: {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X. Nun ist zu zeigen, dass für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist zunächst ( , ) ∈ GS. Mit ∈ ERZ(〈 , G〉) gibt es sodann ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, ANS( ) ∩ ≠ ∅ und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Sei nun i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) und i ≠ min(Dom( )). Dann ergibt sich mit Theorem 2-30: min(Dom( )) < i < max(Dom( )). Dann ist min(Dom( )) ≤ i ≤ max(Dom( )). Dann ist i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Nun ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für . Also gilt mit Definition 2-9 für alle r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): Es gibt ein s ∈ Dom(G), so dass r ∈ Dom(G(s)). Also gibt es ein entsprechendes s für i. Dann ist i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G(s)) und nach Theorem 2-24 ist G(s) ⊆ 80 2 Verfügbarkeit von Aussagen ⊆ . Sodann ist nach Annahme { } × Ran(G) ⊆ X und somit ( , G(s)) ∈ X. Also gilt für alle r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G(s)): r = min(Dom(G(s))) oder es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass r = min(Dom( )) und min(Dom(G(s))) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom(G(s))). Also ist i = min(Dom(G(s))) oder es gibt ein entsprechendes . Im ersten Fall ist G(s)) selber der gesuchte Abschnitt, denn mit ( , G(s)) ∈ X gilt auch ( , G(s)) ∈ GS. Sodann gilt dann nach Annahme min(Dom( )) < i = min(Dom(G(s))) und max(Dom(G(s))) ≤ max(Dom( )) < max(Dom( ))+1 = max(Dom( ))). Mit Theorem 2-44 gilt zudem min(Dom(G(s))) < max(Dom(G(s))). Sei für den zweiten Fall wie gefordert. Dann ist min(Dom( )) < i = min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom(G(s))) ≤ max(Dom( )) < max(Dom( )) und somit der gesuchte Abschnitt. Also gilt für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ): i = min(Dom( )) oder es gibt ein mit ( , ) ∈ GS, so dass i = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Somit ist ( , ) ∈ X. ■ Theorem 2-48. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt, dessen Annahmesätze am Anfang oder in echten geschlossenen Teilabschnitten liegen Wenn ( , ) ∈ GS, dann: (i) ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in oder (ii) ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt , wobei für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i gilt: Es gibt ein , so dass a) (i, i) ∈ , b) ( , ) ∈ GS, c) i = min(Dom( )) und d) min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Beweis: Sei ( , ) ∈ GS. Sei nun kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gilt mit Theorem 2-42, dass ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist und mit Theorem 2-47, dass es für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ein entsprechendes gibt. ■ 2.2 Geschlossene Abschnitte 81 Theorem 2-49. Geschlossene Abschnitte sind non-redundant, d.h. echte Anfangsabschnitte von geschlossenen Abschnitten sind keine geschlossenen Abschnitte Wenn ( , ) ∈ GS, dann gilt für alle i ∈ Dom( ): ( , i) ∉ GS. Beweis: Sei X = {( , ) | ( , ) ∈ GS und für alle i ∈ Dom( ) gilt: ( , i) ∉ GS }. Um das Theorem zu beweisen, reicht es zu zeigen, dass X ∈ GSR, dann folgt die Behauptung mit Theorem 2-40-(ii). Zunächst ist X ⊆ GS ⊆ SEQ × { | ist ein Abschnitt} und mit Definition 2-17, Definition 2-14-(ii), Definition 2-15-(ii), Definition 2-16-(ii), Theorem 2-41 und Theorem 2-42 gilt: {( , ) | ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in } ⊆ X. Nun ist zu zeigen, dass für alle ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ X gilt: { } × ERZ(〈 , G〉) ⊆ X. Sei dazu zunächst ∈ SEQ und G ∈ ANSUMF( ) und { } × Ran(G) ⊆ X. Dann ist zunächst { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ( , ) ∈ { } × ERZ(〈 , G〉). Dann ist ∈ ERZ(〈 , G〉) und damit ( , ) ∈ GS. Sodann gibt es ein ∈ ABS( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und ANS( ) ∩ ≠ ∅ und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Wäre es nun der Fall, dass ( , i) ∈ GS für ein i ∈ Dom( ). Dann ist i ein Abschnitt in . Dann gilt zunächst mit Theorem 2-7 min(Dom( i)) = min(Dom( )) und damit mit Theorem 2-23 insbesondere dass für alle j ∈ Dom(G) gilt: min(Dom( i)) < min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(j)). Sodann ist mit Theorem 2-35-(iii) i kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gilt mit Theorem 2-41, dass es ein G* ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G*) ⊆ GS und i ∈ ERZ(〈 , G*〉) gibt. Dann gilt mit Theorem 2-35, dass es ein ' ∈ ABS( ) gibt, so dass min(Dom( ))+1 = min(Dom( i))+1 = min(Dom( ')) und max(Dom( i)) = i-1 = max(Dom( '))+1. Nun wird gezeigt, dass es ein s ∈ Dom(G) gibt, so dass i ∈ PERZ(〈 , G( s+1)〉), was mit Theorem 2-35-(vii) im Widerspruch zu ∈ ERZ(〈 , G〉) steht. Mit Theorem 2-35-(iv) gilt, dass es ein l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( i) gibt, so dass min(Dom( i)) = min(Dom( )) < l. Sei nun l0 = max({l | l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( i) und min(Dom( i)) < l}. Dann ergibt sich mit i ≤ max(Dom( )) und Dom( i) ⊆ Dom( ), dass min(Dom( )) = min(Dom( i)) < l0 < max(Dom( )). Dann ist 82 2 Verfügbarkeit von Aussagen min(Dom( )) ≤ l0 ≤ max(Dom( )). Dann ist l0 ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Nun ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für . Also gilt mit Definition 2-9, dass es ein s ∈ Dom(G) gibt, so dass l0 ∈ Dom(G(s)). Dann ist l0 ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G(s)) und somit wegen { } × Ran(G) ⊆ X ⊆ GS mit Theorem 2-47 min(Dom(G(s))) ≤ l0 < max(Dom(G(s))). Sodann ist ( , i) ∈ GS und damit mit Theorem 2-47 l0 < i-1. Damit gilt dann insgesamt, dass min(Dom( i)) < min(Dom(G(s))) < i-1. Sei nun k ≤ s. Weil G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, gilt dann mit Definition 2-9 und Definition 2-7, dass min(Dom( i)) < min(Dom(G(k))) ≤ min(Dom(G(s))) < i-1 und damit min(Dom(G(k))) ∈ Dom( '). Da { } × Ran(G) ⊆ X ⊆ GS, gilt mit Theorem 2-42 dann min(Dom(G(k))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( '). Da G* eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' in ist, gibt es dann ein r ∈ Dom(G*), so dass min(Dom(G(k))) ∈ Dom(G*(r)). Dann ist min(Dom(G(k))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom(G*(r)). Angenommen min(Dom(G*(r))) = min(Dom(G(k))). Dann gilt mit { } × Ran(G) ⊆ X und { } × Ran(G*) ⊆ GS, dass max(Dom(G(k))) ≤ max(Dom(G*(r))). Angenommen min(Dom(G*(r))) ≠ min(Dom(G(k))). Dann gilt mit { } × Ran(G*) ⊆ GS und Theorem 2-47, dass es ein gibt, so dass ( , ) ∈ GS und min(Dom(G(k))) = min(Dom( )) und min(Dom(G*(r))) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom(G*(r))). Dann gilt mit { } × Ran(G) ⊆ X, dass max(Dom(G(k))) ≤ max(Dom( )). Damit gilt mit Theorem 2-5-(i) in beiden Fällen G(k) ⊆ G*(r). Also gilt für alle k ≤ s, dass es ein r ∈ Dom(G*) gibt, so dass G(k) ⊆ G*(r). Da G* eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' ist und max(Dom( ')) = i-2 gilt damit insbesondere auch, dass max(Dom(G(s))) ≤ i-2. Nun gilt, falls i ein NE-artiger Abschnitt in ist, dass es j ∈ Dom( i) gibt, so dass A( j) = Γ und A( i-2) = ¬Γ oder A( j) = ¬Γ und A( i-2) = Γ und für alle r ∈ Dom(G*) gilt: j < min(Dom(G*(r))) oder max(Dom(G*(r))) ≤ j. Gäbe es nun ein k ≤ s, so dass min(Dom(G(k))) ≤ j < max(Dom(G(k))), dann gäbe es aber wie gezeigt auch ein r ∈ Dom(G*), so dass G(k) ⊆ G*(r) und damit min(Dom(G*(r))) ≤ j < max(Dom(G*(r))). Also gibt es, falls i ein NE-artiger Abschnitt in ist, j ∈ Dom( i), so dass A( j) = Γ und A( i-2) = ¬Γ oder A( j) = ¬Γ und A( i-2) = Γ und für alle k ≤ s gilt: j < min(Dom(G(k))) oder 2.2 Geschlossene Abschnitte 83 max(Dom(G(k))) ≤ j. Sodann gilt für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( '), dass es ein k ≤ s gibt, so dass l ∈ Dom(G(k)). Zunächst ist ' ⊆ und damit gibt es für solche l ein k ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(k)) und sodann würde bei s < k mit Definition 2-9 und Definition 2-7 gelten, dass l0 < max(Dom(G(s))) < min(Dom(G(k))) ≤ l, während andererseits gelten müsste l ≤ l0. Mit Definition 2-9 und Definition 2-7 ergibt sich, dass G (s+1) ∈ ABSF( ) und damit gilt insgesamt, dass G (s+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für ' ist und damit auch G (s+1) ∈ ANSUMF( ) und somit gilt zuletzt, dass i ∈ PERZ(〈 , G (s+1)〉). Dies widerspricht jedoch Theorem 2-35-(vii). Also gibt es kein i ∈ Dom( ), so dass ( , i) ∈ GS und da ( , ) ∈ GS ist damit insgesamt ( , ) ∈ X. ■ Theorem 2-50. Geschlossene Abschnitte sind durch ihren Anfang eindeutig bestimmt Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und min(Dom( )) = min(Dom( ')), dann = '. Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und min(Dom( )) = min(Dom( ')). Angenommen max(Dom( )) < max(Dom( ')). Dann ist min(Dom( ')) = min(Dom( )) < max(Dom( ))+1 ≤ max(Dom( ')). Da ' ein Abschnitt ist, ist somit max(Dom( ))+1 ∈ Dom( ') und damit ' (max(Dom( ))+1) = ein geschlossener Abschnitt in , was mit Theorem 2-49 der Annahme widerspricht, dass ' ein geschlossener Abschnitt in ist. Ebenso ergibt sich bei max(Dom( ')) < max(Dom( )), dass kein geschlossener Abschnitt in wäre. Also ist max(Dom( )) = max(Dom( ')) und damit = '. ■ Theorem 2-51. ANS-umfassende Abschnittsfolgen für ein und denselben Abschnitt, deren Werte ausschliesslich geschlossene Abschnitte sind, sind identisch Wenn ein Abschnitt in ist und G, G* ANS-umfassende Abschnittsfolgen für in sind und { } × Ran(G) ⊆ GS und { } × Ran(G*) ⊆ GS, dann ist G = G*. Beweis: Sei ein Abschnitt in und seien G, G* ANS-umfassende Abschnittsfolgen für in und { } × Ran(G) ⊆ GS und { } × Ran(G*) ⊆ GS. Dann gilt zunächst mit Definition 2-9, dass G, G* ∈ ABSF( )\{∅} und mit Theorem 2-24 gilt für alle i ∈ Dom(G), dass G(i) ⊆ , und für alle j ∈ Dom(G*) gilt, dass G*(j) ⊆ . Sodann gilt Ran(G) ⊆ Ran(G*). Sei nämlich i ∈ Dom(G). Dann ist ( , G(i)) ∈ GS und damit ist 84 2 Verfügbarkeit von Aussagen min(Dom(G(i))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Damit gibt es dann ein j ∈ Dom(G*), so dass min(Dom(G(i))) ∈ Dom(G*(j)), und mit ( , G*(j)) ∈ GS und Theorem 2-47 und Theorem 2-49 gilt G(i) ⊆ G*(j). Analog ergibt sich, dass es ein i* ∈ Dom(G) gibt, so dass G*(j) ⊆ G(i*). Dann ist G(i) ⊆ G(i*) und da mit Theorem 2-43 G(i) ≠ ∅ und daher G(i) ∩ G(i*) ≠ ∅, gilt dann mit Theorem 2-27, dass G(i) = G(i*) und damit, dass G*(j) ⊆ G(i), und somit insgesamt, dass G*(j) = G(i). Also ist G(i) ∈ Ran(G*). Also ist Ran(G) ⊆ Ran(G*). Analog ergibt sich, dass Ran(G*) ⊆ Ran(G) und damit insgesamt Ran(G) = Ran(G*). Damit gilt mit Theorem 2-22-(iii) aber auch, dass Dom(G) = Dom(G*). Nun wird durch Induktion über i gezeigt, dass für alle i ∈ Dom(G) = Dom(G*) gilt, dass G(i) = G*(i) und damit auch G = G*. Gelte dazu für alle l < i: Wenn l ∈ Dom(G), dann G(l) = G*(l). Sei nun i ∈ Dom(G). Wäre nun G(i) ≠ G*(i). Dann wäre mit ( , G(i)) ∈ GS und ( , G*(i)) ∈ GS und mit Theorem 2-50 min(Dom(G(i))) ≠ min(Dom(G*(i))). Angenommen min(Dom(G(i))) < min(Dom(G*(i))). Dann gilt mit ( , G(i)) ∈ GS, dass min(Dom(G(i))) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Damit gibt es dann wiederum ein j ∈ Dom(G*), so dass min(Dom(G(i))) ∈ Dom(G*(j)). Dann ergibt sich wie oben, dass G*(j) = G(i). Mit G(i) ≠ G*(i) ist dann G*(j) ≠ G*(i) und damit j ≠ i. Da G, G* ∈ ABSF( ), gilt dann mit Definition 2-7 und min(Dom(G*(j))) = min(Dom(G(i))) < min(Dom(G*(i))), dass j < i. Nach I.V. gilt dann aber, dass G(j) = G*(j) = G(i) und andererseits gilt mit Theorem 2-22-(i) mit j < i, dass G(j) ≠ G(i). Widerspruch! Analog ergibt sich mit I.V. ein Widerspruch für min(Dom(G*(i))) < min(Dom(G(i))). Also gilt min(Dom(G(i))) = min(Dom(G*(i))) und damit G(i) = G*(i). ■ Theorem 2-52. Liegt der Anfang eines geschlossenen Abschnitts ' in einem geschlossenen Abschnitt , dann ist ' ein Teilabschnitt von Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und min(Dom( ')) ∈ Dom( ), dann ' ⊆ . Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und sei min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Dann ist min(Dom( ')) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Dann gibt es mit Theorem 2-47 ein 2.2 Geschlossene Abschnitte 85 ⊆ , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( ')) = min(Dom( )). Dann ergibt sich mit Theorem 2-50, dass ' = und also, dass ' ⊆ . ■ Theorem 2-53. Geschlossene Abschnitte sind durch ihre Ende eindeutig bestimmt Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und max(Dom( )) = max(Dom( ')), dann = '. Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und max(Dom( )) = max(Dom( ')). Angenommen min(Dom( )) < min(Dom( ')). Dann ist min(Dom( )) < min(Dom( ')) < max(Dom( ')) = max(Dom( )). Dann ist min(Dom( ')) ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( ')). Damit gibt es mit Theorem 2-48 einen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( ')) = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Dann gilt mit Theorem 2-50: ' = . Dann gilt aber im Widerspruch zur Annahme: max(Dom( ')) = max(Dom( )) < max(Dom( )). Also ist min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )). Umgekehrt ergibt sich für min(Dom( ')) < min(Dom( )), dass max(Dom( )) < max(Dom( ')) – wiederum im Widerspruch zur Annahme. Somit ist insgesamt min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) und min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')) und damit min(Dom( )) = min(Dom( ')). Daraus folgt mit Theorem 2-50 = '. ■ Theorem 2-54. Echte Teilabschnittschaft zwischen geschlossenen Abschnitten Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind, dann: min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))} gdw ' ⊂ . Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in . (L-R): Sei min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))}. Also ist min(Dom( ')) ≠ min(Dom( )) und damit auch ' ≠ . Ausserdem ist min(Dom( ')) ∈ Dom( ) und mit Theorem 2-52 ' ⊆ . Also ' ⊂ . (R-L): Sei nun ' ⊂ . Dann ist min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Sodann ist min(Dom( ')) ≠ min(Dom( )), denn sonst würde mit Theorem 2-50 ' = gelten. Also ist min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))}. ■ 86 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-55. Echte und unechte Teilabschnittschaft zwischen geschlossenen Abschnitten Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und min(Dom( ')) ∈ Dom( ), dann ' ⊂ oder ' = . Beweis: Seien , ' geschlossene Abschnitte in und sei min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Angenommen min(Dom( ')) ∈ Dom( ))\{min(Dom( ))}. Dann ist mit Theorem 2-54 ' ⊂ . Angenommen min(Dom( ')) = min(Dom( )). Dann ist mit Theorem 2-50: ' = . ■ Theorem 2-56. Inklusionsverhältnisse zwischen nicht-disjunkten geschlossenen Abschnitten Wenn , ' geschlossene Abschnitte in sind und ∩ ' ≠ ∅, dann: (i) min(Dom( )) < min(Dom( ')) gdw ' ⊂ , (ii) min(Dom( )) = min(Dom( ')) gdw ' = , (iii) min(Dom( )) < min(Dom( ')) gdw max(Dom( ')) < max(Dom( )), (iv) min(Dom( )) = min(Dom( ')) gdw max(Dom( )) = max(Dom( ')). Beweis: Seien und ' geschlossene Abschnitte in und ∩ ' ≠ ∅. Zu (i): (L-R): Sei min(Dom( )) < min(Dom( ')). Da und ' Abschnitte sind und ∩ ' ≠ ∅, gilt mit Theorem 2-9: min(Dom( )) ∈ Dom( ') oder min(Dom( ')) ∈ Dom( ). Dann gilt mit der Voraussetzung min(Dom( ')) ∈ Dom( )\{min(Dom( ))}. Damit gilt mit Theorem 2-54: ' ⊂ . (R-L): Sei umgekehrt ' ⊂ . Dann gilt mit Theorem 2-54: min(Dom( ')) ∈ Dom( ))\{min(Dom( ))} und also: min(Dom( )) < min(Dom( ')). Zu (ii): Ergibt sich mit Theorem 2-50 Zu (iii): (L-R): Sei min(Dom( )) < min(Dom( ')). Dann gilt mit (i): ' ⊂ . Dann gilt mit Theorem 2-5-(i): max(Dom( ')) ≤ max(Dom( )). Sodann ergibt sich mit ' ⊂ und Theorem 2-53: max(Dom( ')) ≠ max(Dom( )) und somit insgesamt max(Dom( ')) < max(Dom( )). (R-L): Sei max(Dom( ')) < max(Dom( )). Dann gilt mit Theorem 2-5-(i): '. Damit gilt mit (i) und (ii): weder min(Dom( ')) < min(Dom( )) noch min(Dom( ')) = min(Dom( )). Also ist min(Dom( )) < min(Dom( ')). Zu (iv): Ergibt sich mit (ii) und Theorem 2-53. ■ 2.2 Geschlossene Abschnitte 87 Theorem 2-57. Geschlossene Abschnitte sind entweder disjunkt oder einer ist Teilabschnitt des anderen. Wenn und ' geschlossene Abschnitte in sind, dann: ∩ ' = ∅ oder ⊆ ' oder ' ⊆ . Beweis: Seien und ' geschlossene Abschnitte in . Sei ∩ ' ≠ ∅. Dann ist min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) oder min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Damit ergibt sich mit Theorem 2-56-(i) und -(ii): ⊆ ' oder ' ⊆ . ■ Theorem 2-58. Ein minimaler geschlossener Abschnitt ' ist mit einem geschlossenen Abschnitt elementfremd oder er ist ein Teilabschnitt von Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist und ' ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist, dann: ∩ ' = ∅ oder ' ⊆ . Beweis: Sei ein geschlossener Abschnitt in und sei ' ein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann ist ' auch ein geschlossener Abschnitt in . Sei ∩ ' ≠ ∅. Dann ist min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Wäre nämlich min(Dom( ')) < min(Dom( )) ergäbe sich mit Theorem 2-56-(i): ⊂ '. Dann wäre mit Theorem 2-54 min(Dom( )) ∈ Dom( '))\{min(Dom( '))}. Damit wäre einerseits min(Dom( )) ≠ min(Dom( ')). Da nach Annahme ein geschlossener Abschnitt ist, wäre andererseits aber auch min(Dom( )) ∈ Dom( ') ∩ Dom(ANS( )) und damit müsste nach Definition 2-17, Definition 2-14, Definition 2-15 und Definition 2-16 min(Dom( )) = min(Dom( ')). Widerspruch! Also min(Dom( )) ≤ min(Dom( ')). Mit ∩ ' ≠ ∅ und Theorem 2-56-(i) und -(ii) ergibt sich dann, dass ' ⊆ . ■ Das nächste Theorem bringt zum Ausdruck, dass es für jeden Abschnitt , der wenigstens einen Annahmesatz enthält und in dem es für jeden Annahmesatz einen geschlossenen Teilabschnitt gibt, in dem der betreffende Annahmesatz liegt, immer eine ANSumfassende Abschnittsfolge G für gibt, die die grössten geschlossenen und voneinander disjunkten Teilabschnitte von so aufzählt, dass alle geschlossenen Teilabschnitte von erfasst werden. Theorem 2-59 spielt später eine zentrale Rolle in den Beweisen von Theorem 2-67, Theorem 2-68, Theorem 2-69, welche mittelbar ein Kernstück im Vollständigkeitsund Korrektheitsnachweis darstellen: Mit diesen Theoremen wird später gezeigt, dass SE, NE und PB und nur SE, NE und PB Annahmen eliminieren können; Theorem 2-59 selbst ist 88 2 Verfügbarkeit von Aussagen dabei entscheidend für den Nachweis, dass SE, NE und PB Annahmen eliminieren können und mithin entscheidend für den Vollständigkeitsnachweis. Theorem 2-59. ERZ-Material-Bereitstellungs-Theorem Wenn ein Abschnitt in ist, ANS( ) ∩ ≠ ∅ und es für jedes i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )) einen geschlossenen Abschnitt in gibt, so dass (i, i) ∈ und ⊆ , dann: Es gibt ein G ∈ ANSUMF( ), so dass (i) G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist, (ii) Ran(G) = { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } und (iii) { } × Ran(G) ⊆ { } × { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS. Beweis: Sei ein Abschnitt in , ANS( ) ∩ ≠ ∅ und gebe es für jedes i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (i, i) ∈ und ⊆ . Dann ergibt sich mit Definition 2-1 zunächst, dass ∈ SEQ. Sei X = { | ⊆ und ( , ) ∈ GS und für alle ⊆ : Wenn ( , ) ∈ GS und ⊆ , dann = }. Zunächst gilt X ⊆ ABS( ). Um Theorem 2-17 anwenden zu können wird gezeigt, dass für alle *, ' ∈ X mit * ≠ ' gilt, dass * ∩ ' = ∅. Seien dazu *, ' ∈ X und * ≠ '. Mit *, ' ∈ X gilt ( , *), ( , ') ∈ GS und mit Theorem 2-57 dann * ∩ ' = ∅ oder * ⊆ ' oder ' ⊆ *. Der zweite und dritte Fall werden zum Widerspruch geführt: Angenommen * ⊆ '. Wegen * ∈ X gilt für alle ⊆ : Wenn ( , ) ∈ GS und * ⊆ , dann * = . Wegen ' ∈ X gilt ' ⊆ und ( , ') ∈ GS. Mit der Fallannahme gilt dann * = ', was der früheren Annahme widerspricht. Analog folgt ein Widerspruch unter der Annahme von ' ⊆ * für den dritten Fall. Also liegt der erste Fall vor: * ∩ ' = ∅. Es gilt also für alle *, ' ∈ X mit * ≠ ', dass * ∩ ' = ∅. Mit Theorem 2-17 gibt es G ∈ ABSF( ), so dass Ran(G) = X. Nun wird gezeigt, dass G (i) bis (iii) erfüllt. Aus (i) folgt dann auch G ∈ ANSUMF( ). Zu (i): Es muss noch gezeigt werden, dass a) G ≠ ∅, b) min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))), c) max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )) und d) für alle l ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) gilt: Es gibt ein i ∈ Dom(G), so dass l ∈ Dom(G(i)). 2.2 Geschlossene Abschnitte 89 Mit Definition 2-9 folgt dann, dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist. Da ANS( ) ∩ ≠ ∅ und damit Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) ≠ ∅, folgt zudem a) aus d). Da es ausserdem für jedes i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )) einen geschlossenen Abschnitt in gibt, so dass (i, i) ∈ und ⊆ , folgen d) und a) bereits daraus, dass e) für alle ⊆ mit ( , ) ∈ GS gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass ⊆ G(i). Zu e): Gäbe es ein ⊆ mit ( , ) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i). Sei k = min({j | Es gibt ein ⊆ mit ( , ) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i), und j = min(Dom( ))}). Dann gibt es ein ⊆ mit ( , ) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i), und k = min(Dom( )). Sei nun ' ⊆ und ( , ') ∈ GS und ⊆ '. Dann gilt min(Dom( ')) ≤ k. Sodann gilt für ', dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ' ⊆ G(i), denn sonst wäre auch ⊆ G(i) für dieses i. Also gilt wegen der Minimaliät von k, dass min(Dom( ')) = k. Damit gilt aber mit Theorem 2-50, dass = '. Also gilt für alle ' ⊆ mit ( , ') ∈ GS und ⊆ ', dass = '. Also ist ∈ X und damit gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass = G(i). Widerspruch! Also gilt für alle ⊆ mit ( , ) ∈ GS, dass es ein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ⊆ G(i). Zu b): Für alle ∈ Ran(G) = X gilt ⊆ . Wegen G ≠ ∅ ist auch G(0) ∈ Ran(G) = X und daher G(0) ⊆ . Also min(Dom( )) ≤ min(Dom(G(0))). Zu c): Mit G ≠ ∅ ist max(Dom(G)) ∈ Dom(G) und daher G(max(Dom(G))) ∈ Ran(G) = X. Daraus folgt max(Dom(G(max(Dom(G))))) ≤ max(Dom( )). Zu (ii): Sei (i, i) ∈ Ran(G). Dann ist (i, i) ∈ X. Also gibt es ein ∈ X mit (i, i) ∈ . Dann ist ⊆ und ( , ) ∈ GS. Also ∈ { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in }. Also (i, i) ∈ { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in }. Aus e) folgt die Rückrichtung, also { | ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ Ran(G). Zu (iii): (iii) folgt aus der Definition von X und Ran(G) = X. ■ 90 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-60. Sind alle Folgenglieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge für geschlossene Abschnitte, dann ist jeder geschlossene Teilabschnitt von Teilabschnitt eines Folgengliedes Wenn ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und G ∈ ANSUMF( ) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und { } × Ran(G) ⊆ GS, dann gilt für alle : Wenn ⊆ ein geschlossener Abschnitt in ist, dann gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass ⊆ G(i). Beweis: Sei ∈ SEQ, ∈ ABS( ) und G ∈ ANSUMF( ) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in und { } × Ran(G) ⊆ GS. Sei nun ⊆ ein geschlossener Abschnitt in . Dann ist mit Definition 2-11 bis Definition 2-13 und Theorem 2-42 min(Dom( )) ∈ ANS( ) ∩ . Damit gibt es nach Definition 2-9-(iii-c) ein i ∈ Dom(G), so dass min(Dom( )) ∈ Dom(G(i)) und nach Voraussetzung ist ( , G(i)) ∈ GS. Dann folgt mit Theorem 2-52: ⊆ G(i). ■ Nachdem bisher vor allem Theoreme gezeigt wurden, die für alle geschlossenen Abschnitte gelten, liegt das Interesse später auch gerade bei den besonderen Eigenschaften von geschlossenen Abschnitten, insofern diese durch die Anwendung von Subjunktoreinführung (SE-geschlossene), Negatoreinführung (NE-geschlossene) und Partikularquantorbeseitigung (PB-geschlossene) entstehen. Daher werden nun für diese Arten von geschlossenen Abschnitten eigene Prädikate bereitgestellt, wobei jeder geschlossene Abschnitt einer dieser Arten angehört (Theorem 2-61). Definition 2-23. SE-geschlossener Abschnitt ist ein SE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein geschlossener Abschnitt und ein SE-artiger Abschnitt in . Definition 2-24. NE-geschlossener Abschnitt ist ein NE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein geschlossener Abschnitt und ein NE-artiger Abschnitt in . 2.2 Geschlossene Abschnitte 91 Definition 2-25. PB-geschlossener Abschnitt ist ein PB-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein geschlossener Abschnitt und ein EA-artiger Abschnitt in . Theorem 2-61. SE-, NEund PB-geschlossene Abschnitte und nur diese sind geschlossene Abschnitte ist ein geschlossener Abschnitt in gdw ist ein SEoder NEoder PB-geschlossener Abschnitt in . Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-22, Definition 2-23, Definition 2-24, Definition 2-25 und Theorem 2-42. ■ Theorem 2-62. Monotonie der '(F-)geschlossener Abschnitt'-Prädikate Wenn , ' ∈ SEQ und ⊆ ', dann: (i) Wenn ein SE-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein SE-geschlossener Abschnitt in ', (ii) Wenn ein NE-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein NE-geschlossener Abschnitt in ', (iii) Wenn ein PB-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ' (iv) Wenn ein minimaler SE-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein minimaler SE-geschlossener Abschnitt in ' (v) Wenn ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt in ', (vi) Wenn ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in ', (vii) Wenn ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in , und (viii) Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein geschlossener Abschnitt in '. Beweis: Siehe Bemerkung 2-1. ■ 92 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-63. Geschlossene Abschnitte bleiben in Verkettungen in der Anfangssequenz geschlossen Wenn ', ∈ SEQ, dann: (i) Wenn ein SE-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein SE-geschlossener Abschnitt in ', (ii) Wenn ein NE-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein NE-geschlossener Abschnitt in ', (iii) Wenn ein PB-geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ', (iv) Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist, dann ist ein geschlossener Abschnitt in '. Beweis: Ergibt sich mit ⊆ ' und Theorem 2-62-(i), -(ii), -(iii) und -(viii). ■ Theorem 2-64. (F-)geschlossene Abschnitte in Beschränkungen Wenn eine Sequenz ist, dann: (i) ist ein SE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein SE-geschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1, (ii) ist ein NE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein NE-geschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1, (iii) ist ein PB-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein PB-geschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1, (iv) ist ein minimaler SE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein minimaler SEgeschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1, (v) ist ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein minimaler NEgeschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1, (vi) ist ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in gdw ist ein minimaler PBgeschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1, (vii) ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in gdw ist ein minimaler geschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1, und (viii) ist ein geschlossener Abschnitt in gdw ist ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1. Beweis: Siehe Bemerkung 2-2. ■ 2.2 Geschlossene Abschnitte 93 Theorem 2-65. Vorbereitungstheorem für Theorem 2-67, Theorem 2-68 und Theorem 2-69 Wenn ein Abschnitt in ist und für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt, dass min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )), dann gilt für alle i ∈ Dom( ): (i) i ist kein geschlossener Abschnitt in und (ii) Es gibt kein G ∈ ANSUMF( ), so dass { } × Ran(G) ⊆ GS und i ∈ PERZ(〈 , G〉). Beweis: Sei ein Abschnitt in und gelte für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )), dass min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Sei weiter i ∈ Dom( ). Zunächst ist ∈ SEQ. Zu (i): Wäre nun i ein geschlossener Abschnitt in , dann würde mit Theorem 2-64-(viii) gelten: i ist ein geschlossener Abschnitt in i. Ferner ist i ≤ max(Dom( )) und somit i ⊆ max(Dom( )) und damit gilt mit Theorem 2-62-(viii): i ist ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Offenbar gilt mit Theorem 2-7 min(Dom( i)) = min(Dom( )) und somit mit Theorem 2-31 weder min(Dom( )) < min(Dom( i)) noch max(Dom( i)) ≤ min(Dom( )), was der Voraussetzung widerspricht. Zu (ii): Gäbe es nun ein G ∈ ANSUMF( ), so dass { } × Ran(G) ⊆ GS und i ∈ PERZ(〈 , G〉). Sei nun j = min({i | i ∈ Dom( ) und es gibt G ∈ ANSUMF( ), so dass { } × Ran(G) ⊆ GS und i ∈ PERZ(〈 , G〉)}). Dann gibt es G* ∈ ANSUMF( ), so dass { } × Ran(G*) ⊆ GS und j ∈ PERZ(〈 , G*〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( j) und ein l ∈ Dom(G*) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G* (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G* (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G*(l))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G* (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G* (l+1)〉) und andererseits k < j, was im Widerspruch zur Minimaliät von j steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( j) und kein l ∈ Dom(G*), so dass k ∈ PERZ(〈 , G* (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 j ∈ ERZ(〈 , G*〉) und damit mit { } × Ran(G*) ⊆ GS und Theorem 2-41 ( , j) ∈ GS und also j im Widerspruch zu (i) ein geschlossener Abschnitt in . ■ Die folgenden vier Theoreme schliessen Kap. 2.2 ab und stellen die Basis für den Nachweis der Korrektheit und der Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bereit. Mit diesen Theoremen lässt sich später zeigen, dass SE resp. NE resp. PB und nur diese SEresp. 94 2 Verfügbarkeit von Aussagen NEresp. PB-geschlossene Abschnitte und damit überhaupt geschlossene Abschnitte erzeugen. Theorem 2-66. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder ein SEoder NEoder PB-geschlossener Abschnitt, dessen Annahmesätze am Anfang oder in echten geschlossenen Teilabschnitten liegen Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist, dann: (i) ist minimaler geschlossener Abschnitt in oder (ii) ist ein SEoder NEoder PB-geschlossener Abschnitt in , wobei für alle i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i gilt: Es gibt ein , so dass a) (i, i) ∈ , b) ein geschlossener Abschnitt in ist, c) i = min(Dom( )) und d) min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )). Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-22, Definition 2-23, Definition 2-24, Definition 2-25 und Theorem 2-48. ■ Theorem 2-67. Vorbereitungstheorem für Theorem 2-91 ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass (i) min(Dom( )) = Sei Δ , (ii) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )), (iii) A( max(Dom( ))-1) = Γ, (iv) Für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r) ∈ , und (v) max(Dom( )) = Also Δ → Γ gdw ist ein SE-geschlossener Abschnitt in . Beweis: (L-R): Seien die Voraussetzungen für und erfüllt und seien Δ und Γ wie gefordert. Dann ist zunächst ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-11 ein SE-artiger Abschnitt in . Sodann ergibt sich mit Klausel (ii) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist. Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} oder es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. 2.2 Geschlossene Abschnitte 95 Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Dann ergibt sich damit, dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist, und Theorem 2-32, dass ein minimaler geschlossener und damit ein geschlossener Abschnitt in ist. Da ein SE-artiger Abschnitt in ist, ist damit ein SE-geschlossener Abschnitt in . Gebe es nun ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Sei nun = {(l, l) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1}. Dann ist ein Abschnitt in und i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Sodann gibt es für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (r, r) ∈ und ⊆ . Sei nämlich r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Dann ist min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 und somit gibt es nach Klausel (iv) einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r) ∈ . Dann ist min(Dom( )) ≤ min(Dom( )), denn andernfalls wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( )), was Klausel (ii) widerspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass ein Abschnitt in max(Dom( )) ist, dass max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( )). Also ist mit Theorem 2-5 ⊆ . Damit erfüllt die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und { } × Ran(G) ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von , dass ∈ ABS( ) und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ANS( ) ∩ ≠ ∅. Sodann ist ein SE-artiger Abschnitt in . Damit gilt mit Theorem 2-28 auch, dass kein NE-artiger Abschnitt in ist. Ferner gilt damit, dass für alle i ∈ Dom( ) gilt, dass i kein geschlossener Abschnitt in ist, dass auch für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Damit ist gemäss Definition 2-18 ∈ PERZ(〈 , G〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( ) und ein l ∈ Dom(G) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G(l)))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉) und andererseits ∈ SEQ und { } × Ran(G (l+1)) ⊆ { } × Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( ) und kein l ∈ Dom(G), so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 ∈ ERZ(〈 , G〉) und weil { } × Ran(G) ⊆ GS mit Theorem 2-41 96 2 Verfügbarkeit von Aussagen auch ( , ) ∈ GS und damit ein geschlossener Abschnitt in und ein SE-artiger Abschnitt in und somit ein SE-geschlossener Abschnitt in . (R-L): Sei nun ein SE-geschlossener Abschnitt in . Dann ist ein geschlossener Abschnitt und ein SE-artiger Abschnitt in . Dann ergibt sich damit, dass ein SEartiger Abschnitt in ist, dass es Δ, Γ ∈ GFORM gibt, so dass (i), (iii) und (v) erfüllt sind. Sodann gilt mit Theorem 2-48, dass (iv) gilt. (Falls ein minimaler geschlossener Abschnitt ist, gilt (iv) trivialerweise.) Sei nun ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Angenommen min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) und min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ∈ Dom( ) und somit ∩ ≠ ∅ und min(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Damit würde mit Theorem 2-56-(i) und -(ii) gelten, dass ⊆ . Damit wäre aber ⊆ ⊆ max(Dom( )) und somit max(Dom( )) ∉ Dom( ) ≠ ∅. Widerspruch! Also ist min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Also gilt auch (iii). ■ Theorem 2-68. Vorbereitungstheorem für Theorem 2-92 ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), (ii) min(Dom( )) = Sei Δ , (iii) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )), (iv) A( i) = Γ und A( max(Dom( ))-1) = ¬Γ oder A( i) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1) = Γ, (v) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: i < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ i, (vi) Für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r) ∈ , und (vii) max(Dom( )) = Also ¬Δ gdw ist ein NE-geschlossener Abschnitt in . Beweis: (L-R): Seien die Voraussetzungen für und erfüllt und seien Δ, Γ und i wie gefordert. Dann ist zunächst ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-12 ein NE-artiger Abschnitt in . Sodann ergibt sich mit Klausel (iii) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist. 2.2 Geschlossene Abschnitte 97 Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} oder es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Dann ergibt sich damit, dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist, und Theorem 2-32, dass ein minimaler geschlossener und damit ein geschlossener Abschnitt in ist. Da ein NE-artiger Abschnitt in ist, ist damit ein NE-geschlossener Abschnitt in . Gebe es nun ein s ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < s ≤ max(Dom( ))-1. Sei nun = {(l, l) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1}. Dann ist ein Abschnitt in und s ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Sodann gibt es für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (r, r) ∈ und ⊆ . Sei nämlich r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ). Dann ist min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 und somit gibt es nach Klausel (vi) einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r) ∈ . Dann ist min(Dom( )) ≤ min(Dom( )), denn andernfalls wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( )), was Klausel (iii) widerspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass ein Abschnitt in max(Dom( )) ist, dass max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( )). Also ist mit Theorem 2-5 ⊆ . Damit erfüllt die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für in ist und { } × Ran(G) ⊆ { } × { * | * ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ { } × { * | * ⊆ ist ein geschlossener Abschnitt in } ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von , dass ∈ ABS( ) und min(Dom( ))+1 = min(Dom( )) und max(Dom( )) = max(Dom( ))+1 und ist ein NE-artiger Abschnitt in . Sodann gilt für alle r ∈ Dom(G): i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i. Sei nämlich r ∈ Dom(G). Dann ist G(r) ⊆ ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Somit gilt nach Klausel (v): i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i. Ferner gilt damit, dass für alle i ∈ Dom( ) gilt, dass i kein geschlossener Abschnitt in ist, dass auch für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Damit ist gemäss Definition 2-18 ∈ PERZ(〈 , G〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( ) und ein l ∈ Dom(G) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G(l)))+1. 98 2 Verfügbarkeit von Aussagen Damit ist dann nach Definition 2-10 G (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉) und andererseits ∈ SEQ und { } × Ran(G (l+1)) ⊆ { } × Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( ) und kein l ∈ Dom(G), so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 ∈ ERZ(〈 , G〉) und damit mit { } × Ran(G) ⊆ GS und Theorem 2-41 ( , ) ∈ GS und damit ein geschlossener Abschnitt in und ein NE-artiger Abschnitt in und somit ein NE-geschlossener Abschnitt in . (R-L): Sei nun ein NE-geschlossener Abschnitt in . Dann ist ein geschlossener Abschnitt und ein NE-artiger Abschnitt in . Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} oder es gibt ein j ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < j ≤ max(Dom( ))-1. Erster Fall: Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Dann gilt mit Theorem 2-35-(iv) und Theorem 2-41, dass ein minimaler geschlossener Abschnitt in und damit, da ein NE-artiger Abschnitt in ist, dass ein minimaler NEgeschlossener Abschnitt in ist. Dann ergibt sich, dass es Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ) gibt, so dass (i), (ii), (iv) und (vii) erfüllt sind. Sodann gilt trivialerweise, dass (vi) gilt. Seien nun Δ, Γ und i wie in (i), (ii), (iv) und (vii) gefordert. Dann gelten auch (iii) und (v). Sei nämlich ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Dann gilt, wenn l = min(Dom( )) oder l = i, dann l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Da nämlich ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt und damit ein minimaler geschlossener Abschnitt in ist, gilt mit Theorem 2-58: ∩ = ∅ oder ⊆ . Da nun aber nach Annahme ⊆ max(Dom( )) gilt, folgt {(max(Dom( )), max(Dom( )))} ∈ \ und somit und daher ∩ = ∅. Für l = min(Dom( )) oder l = i und min(Dom( )) ≤ l < max(Dom( )) wäre andererseits aber ∩ ≠ ∅. Zweiter Fall: Gebe es nun ein j ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < j ≤ max(Dom( ))-1. Dann ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Dann gibt es mit Theorem 2-41 ein G ∈ ANSUMF( ) mit { } × Ran(G) ⊆ GS und ∈ ERZ(〈 , G〉). Dann ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für = {(l, l) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1} in . Sodann ist ein NE-artiger Abschnitt in und damit gilt gemäss Definition 2-18 und Definition 2-19: 2.2 Geschlossene Abschnitte 99 Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass a) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), b) min(Dom( )) = Sei Δ , c) A( i) = Γ und A( max(Dom( ))-1) = ¬Γ oder A( i) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1) = Γ, d) Für alle r ∈ Dom(G) gilt: i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i, e) max(Dom( )) = Also ¬Δ . Dann sind (i), (ii), (iv) und (vii) erfüllt. Sodann gilt mit Theorem 2-48 auch (vi). Sodann gelten auch (iii) und (v). Sei nämlich ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Damit gilt: ⊆ max(Dom( )) und somit {(max(Dom( )), max(Dom( )))} ∈ \ und somit . Ferner ergibt sich aus der Annahme, dass max(Dom( )) < max(Dom( )). Damit gilt, dass ∩ = ∅ oder ⊆ . Sei nämlich ∩ ≠ ∅. Dann gilt wegen mit Theorem 2-57 ⊂ und somit mit Theorem 2-56: min(Dom( )) < min(Dom( )). Damit gilt insgesamt: min(Dom( )) = min(Dom( ))+1 ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( )) und somit mit Theorem 2-5 ⊆ . Damit ergibt sich mit Theorem 2-52 sofort, dass (iii) gilt, also dass min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Ferner gilt auch (v), also: i < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ i. Wäre nämlich min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Dann wäre (i, i) ∈ . Nun ist ⊆ ein geschlossener Abschnitt in und damit gilt mit Theorem 2-60: Es gibt ein r ∈ Dom(G), so dass ⊆ G(r). Dann wäre min(Dom(G(r))) ≤ min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )) ≤ max(Dom(G(r))). Andererseits müsste aber wegen d) gelten: i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i. Widerspruch! Also muss gelten: i < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ i. ■ 100 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-69. Vorbereitungstheorem für Theorem 2-93 ist ein Abschnitt in und es gibt ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ), so dass (i) A( min(Dom( ))) = ξΔ , (ii) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )), (iii) min(Dom( ))+1 = Sei [β, ξ, Δ] , (iv) Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: min(Dom( ))+1 < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( ))+1, (v) A( max(Dom( ))-1) = Γ, (vi) max(Dom( )) = Also Γ , (vii) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (viii) Es gibt kein j ≤ min(Dom( )), so dass β ∈ TT( j), (ix) = \{(min(Dom( )), min(Dom( )))} und (x) Für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r) ∈ gdw ist ein PB-geschlossener Abschnitt in . Beweis: (L-R): Sei ein Abschnitt in und seien ξ, β, Δ, Γ und so wie gefordert. Dann ist zunächst ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-13 ein EA-artiger Abschnitt in , wobei min(Dom( )) = min(Dom( ))+1. Sodann ergibt sich mit Klausel (iv) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist. Sodann ist ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} oder es gibt ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Gelte nun ANS( ) ∩ = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Dann ergibt sich damit, dass für alle k ∈ Dom( ) gilt, dass k kein geschlossener Abschnitt in ist, und Theorem 2-32, dass ein minimaler SE-, NEoder PB-geschlossener und damit ein geschlossener Abschnitt in ist. Da ein EA-artiger Abschnitt in ist, ist damit ein PBgeschlossener Abschnitt in . Gebe es nun ein i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( ) mit min(Dom( )) < i ≤ max(Dom( ))-1. Sei nun * = {(l, l) | min(Dom( ))+1 ≤ l ≤ max(Dom( ))-1}. Dann ist * ein Abschnitt in und i ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( *). Sodann gibt es für jedes r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( *) einen geschlossenen Abschnitt in , so dass (r, r) ∈ und ⊆ *. Sei nämlich r ∈ Dom(ANS( )) ∩ Dom( *). Dann ist min(Dom( )) < r ≤ 2.2 Geschlossene Abschnitte 101 max(Dom( ))-1 und somit gibt es nach Klausel (x) einen geschlossenen Abschnitt in max(Dom( )), so dass (r, r) ∈ . Dann ist min(Dom( *)) ≤ min(Dom( )), denn andernfalls wäre min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( )), was Klausel (iv) widerspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass ein Abschnitt in max(Dom( )) ist, dass max(Dom( )) ≤ max(Dom( ))-1 = max(Dom( *)). Also ist mit Theorem 2-5 ⊆ *. Damit erfüllt * die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈ ANSUMF( ), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für * in ist und { } × Ran(G) ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von *, dass * ∈ ABS( ) und min(Dom( ))+1 = min(Dom( *)) und max(Dom( )) = max(Dom( *))+1 und ist ein EA-artiger Abschnitt in . Angenommen, ist ein NE-artiger Abschnitt in . Dann ist Γ = ¬[β, ξ Δ] und A( min(Dom( ))) = [β, ξ, Δ] und A( max(Dom( ))-1) = ¬[β, ξ, Δ] . Sodann gilt für alle r ∈ Dom(G): min(Dom( )) < min(Dom( *)) ≤ min(Dom(G(r)). Ferner gilt damit, dass für alle i ∈ Dom( ) gilt, dass i kein geschlossener Abschnitt in ist, dass auch für alle i ∈ Dom( ) gilt: i ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in . Damit ist gemäss Definition 2-18 ∈ PERZ(〈 , G〉). Wäre es nun der Fall, dass es ein k ∈ Dom( ) und ein l ∈ Dom(G) gäbe, so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Dann ist nach Theorem 2-25 G (l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge für max(Dom(G(l)))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G (l+1) ∈ ANSUMF( ) und nach Annahme k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉) und andererseits ∈ SEQ und { } × Ran(G (l+1)) ⊆ { } × Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es kein k ∈ Dom( ) und kein l ∈ Dom(G), so dass k ∈ PERZ(〈 , G (l+1)〉). Damit ist nach Definition 2-19 ∈ ERZ(〈 , G〉) und damit mit { } × Ran(G) ⊆ GS und Theorem 2-41 ( , ) ∈ GS und damit ein geschlossener Abschnitt in und ein EA-artiger Abschnitt in und somit ein PB-geschlossener Abschnitt in . (R-L): Sei nun ein PB-geschlossener Abschnitt in . Dann ist ein geschlossener Abschnitt und ein EA-artiger Abschnitt in . Dann ergibt sich damit, dass ein EAartiger Abschnitt in ist, dass es ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ein ∈ ABS( ) gibt, für die die Klauseln (i), (iii), und (v)-(ix) erfüllt sind. Sodann gilt mit Theorem 2-48, dass (x) gilt (falls ein minimaler geschlossener Abschnitt ist, gilt (x) trivialerweise). Ausserdem ist min(Dom( )) = min(Dom( ))+1. 102 2 Verfügbarkeit von Aussagen Zu zeigen ist nun noch, dass auch (ii) und (iv) gelten. Dazu wird zuerst (iv) gezeigt. Sei dazu ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Angenommen min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) ∈ Dom( ) und somit ∩ ≠ ∅. Sodann würde mit Theorem 2-56 gelten, dass ⊆ . Damit wäre aber ⊆ ⊆ max(Dom( )) und somit max(Dom( )) ∉ Dom( ) ≠ ∅. Widerspruch! Also ist min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Nun ist noch (ii) zu zeigen. Sei dazu wieder ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( )). Angenommen min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann wäre min(Dom( )) < min(Dom( )) ≤ max(Dom( )). Nun gilt mit (iv) – wie eben gezeigt – min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Da der erste Fall ausgeschlossen ist, gilt dann max(Dom( )) ≤ min(Dom( )) und damit insgesamt max(Dom( )) = min(Dom( )). Dann ist max(Dom( )) ∈ Dom(ANS( )). Andererseits ist mit Theorem 2-42 ein SEoder ein NEoder ein EA-artiger Abschnitt in und damit müsste mit Theorem 2-29 gelten: max(Dom( )) ∉ Dom(ANS( )). Widerspruch! Damit gilt min(Dom( )) < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ min(Dom( )). Also gilt auch (ii). ■ 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 103 2.3 VERS, VANS, VER und VAN Unter Rückgriff auf Kap. 2.2 wird nun die Verfügbarkeitsrede etabliert. Dabei soll eine Aussage in einer Sequenz genau dann bei einem i ∈ Dom( ) verfügbar sein, wenn (i, i) in keinem echten Anfangsabschnitt eines geschlossenen Abschnitts in liegt (Definition 2-26). Von allen Aussagen der Glieder eines geschlossenen Abschnitts in ist also höchstens die Aussage des letzten Gliedes von bei irgendeinem i ∈ Dom( ), nämlich gerade bei max(Dom( )), in verfügbar. Die Funktion VERS ordnet sodann einer Sequenz die Teilmenge von zu, für deren Elemente (i, i) gilt, dass die Aussage von i in bei i verfügbar ist (Definition 2-28). Die Aussagen der Sätze aus VERS( ) lassen sich sodann mit der Funktion VER zu VER( ), der Menge der in an irgendeiner Stelle verfügbaren Aussagen, zusammenfassen (Definition 2-30). Sodann ordnet die Funktion VANS einer Sequenz die Teilmenge von zu, für deren Elemente (i, i) gilt, dass i ein Annahmesatz ist und dass die Aussage von i in bei i verfügbar ist (Definition 2-29). Die Aussagen der Annahmesätze aus VANS( ) lassen sich sodann wiederum mit der Funktion VAN zu VAN( ), der Menge der in an irgendeiner Stelle angenommenen und an dieser Stelle noch verfügbaren Aussagen – kurz: zur Menge der in verfügbaren Annahmen – zusammenfassen (Definition 2-31). Sodann werden Theoreme bewiesen, die zum einen Zusammenhänge zwischen VERS, VANS, VER und VAN und zum anderen Zusammenhänge zwischen der Fortsetzung einer Sequenz und Veränderungen in den Verfügbarkeitsverhältnissen etablieren. Für das Verständnis des Kalküls und die weitere Entwicklung sind dabei insbesondere Theorem 2-82, Theorem 2-83, Theorem 2-91, Theorem 2-92 und Theorem 2-93 entscheidend. Mit diesem Kapitel sind dann die Vorbereitungen abgeschlossen und im nächsten Kapitel kann der Redehandlungskalkül entwickelt und sodann in den weiteren Kapiteln untersucht werden. 104 2 Verfügbarkeit von Aussagen Definition 2-26. Verfügbarkeit einer Aussage in einer Sequenz an einer Stelle Γ ist in bei i verfügbar gdw Γ ∈ GFORM und ∈ SEQ und (i) i ∈ Dom( ), (ii) Γ = A( i) und (iii) Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Definition 2-27. Verfügbarkeit einer Aussage in einer Sequenz Γ ist in verfügbar gdw Es gibt ein i ∈ Dom( ), so dass Γ in bei i verfügbar ist. Hinweis: Wenn der Bezug auf die Sequenz klar ist, werden auch kurz die Wendungen 'Γ ist bei i verfügbar' oder 'Γ ist verfügbar' gebraucht. Definition 2-28. Zuordnung der Menge der verfügbaren Sätze (VERS) VERS = {( , X) | ∈ SEQ und X = {(i, i) | i ∈ Dom( ) und A( i) ist in bei i verfügbar}}. Definition 2-29. Zuordnung der Menge der verfügbaren Annahmesätze (VANS) VANS = {( , X) | ∈ SEQ und X = VERS( ) ∩ ANS( )}. Hinweis: Tatsächlich sind die Titel 'Zuordnung der Menge der ... Sätze' insofern irreführend, als dass VERS und VANS Sequenzen keine Mengen von Sätzen zuordnen sondern Teilmengen dieser Sequenzen, also Mengen von geordneten Paaren, deren zweite Projektionen dann die entsprechenden Sätze sind. Theorem 2-70. Verhältnis von VANS, VERS und jeweiliger Sequenz Wenn ∈ SEQ, dann: (i) VANS( ) = VERS( ) ∩ ANS( ) und (ii) VANS( ) ⊆ VERS( ) ⊆ . Beweis: Ergibt sich direkt aus den Definitionen. ■ 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 105 Definition 2-30. Zuordnung der Menge der verfügbaren Aussagen (VER) VER = {( , X) | ∈ SEQ und X = {Γ | Es gibt ein i ∈ Dom(VERS( )) und Γ = A( i)}}. Definition 2-31. Zuordnung der Menge der verfügbaren Annahmen (VAN) VAN = {( , X) | ∈ SEQ und X = {Γ| Es gibt ein i ∈ Dom(VANS( )) und Γ = A( i)}}. Theorem 2-71. Verhältnis von VAN und VER Wenn ∈ SEQ, dann VAN( ) ⊆ VER( ). Beweis: Ergibt sich mit Theorem 2-70 direkt aus den Definitionen. ■ Theorem 2-72. VERS-Inklusion impliziert VANS-Inklusion Wenn , ' ∈ SEQ und VERS( ) ⊆ VERS( '), dann VANS( ) ⊆ VANS( '). Beweis: Seien , ' ∈ SEQ und sei VERS( ) ⊆ VERS( '). Sei nun (i, i) ∈ VANS( ). Dann ist (i, i) ∈ VERS( ) ∩ ANS( ). Dann ist (i, i) ∈ VERS( ) und i ∈ ASATZ. Dann ist nach Voraussetzung (i, i) ∈ VERS( ') und somit auch (i, i) ∈ '. Da i ∈ ASATZ, ist damit (i, i) ∈ ANS( ') und damit insgesamt (i, i) ∈ VERS( ') ∩ ANS( ') = VANS( '). ■ Theorem 2-73. VANS-Verringerung impliziert VERS-Verringerung Wenn , ' ∈ SEQ und VANS( )\VANS( ') ≠ ∅, dann VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Beweis: Seien , ' ∈ SEQ und sei VANS( )\VANS( ') ≠ ∅. Dann ist VANS( ) VANS( ') und mit Theorem 2-72 folgt VERS( ) VERS( ') und daher VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. ■ Theorem 2-74. VERS-Inklusion impliziert VER-Inklusion Wenn , ' ∈ SEQ und VERS( ) ⊆ VERS( '), dann VER( ) ⊆ VER( '). Beweis: Seien , ' ∈ SEQ und sei VERS( ) ⊆ VERS( '). Sei nun Γ ∈ VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( )), so dass Γ = A( i). Dann ist (i, i) ∈ VERS( ). Nach Voraussetzung ist dann (i, i) ∈ VERS( '). Nun ist VERS( ') ⊆ ' und somit (i, i) ∈ ' und also i = 'i. Somit ist Γ = A( i) = A( 'i). Also ist insgesamt i ∈ Dom(VERS( ')) und Γ = A( 'i). Also ist Γ ∈ VER( '). ■ 106 2 Verfügbarkeit von Aussagen Theorem 2-75. VANS-Inklusion impliziert VAN-Inklusion Wenn , ' ∈ SEQ und VANS( ) ⊆ VANS( '), dann VAN( ) ⊆ VAN( '). Beweis: Seien , '∈ SEQ und sei VANS( ) ⊆ VANS( '). Sei nun Γ ∈ VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( )) und Γ = A( i). Dann ist (i, i) ∈ VANS( ). Nach Voraussetzung ist dann (i, i) ∈ VANS( '). Nun ist VANS( ') ⊆ ' und somit (i, i) ∈ ' und also i = 'i. Somit ist Γ = A( i) = A( 'i). Also ist insgesamt i ∈ Dom(VANS( ')) und Γ = A( 'i). Also ist Γ ∈ VAN( '). ■ Theorem 2-76. VAN ist höchstens so gross wie VANS Für alle ∈ SEQ: |VAN( )| ≤ |VANS( )|. Beweis: Sei ∈ SEQ. Nach Definition 2-31 ist dann f : VAN( ) → VANS( ), f(Γ) = (min({i | i ∈ Dom(VANS( )) und A( i) = Γ}), min({i | i ∈ Dom(VANS( )) und A( i) = Γ})) eine Injektion von VAN( ) in VANS( ). ■ Theorem 2-77. VAN ist dann und nur dann leer, wenn auch VANS leer ist Für alle ∈ SEQ: |VAN( )| = 0 gdw |VANS( )| = 0. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei |VAN( )| ≠ 0. Dann ist mit Theorem 2-76 auch |VANS( )| ≠ 0. Sei nun |VANS( )| ≠ 0. Dann gibt es (i, i) ∈ VANS( ) und mit Definition 2-31 ist dann A( i) ∈ VAN( ) und damit |VAN( )| ≠ 0. Damit ist insgesamt |VAN( )| ≠ 0 gdw |VANS( )| ≠ 0, woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt. ■ Theorem 2-78. Bei non-redundantem VANS ist jede Annahme an genau einer Stelle als Annahme verfügbar Wenn ∈ SEQ und |VAN( )| = |VANS( )|, dann gilt für alle Γ ∈ VAN( ): Es gibt genau ein j ∈ Dom(VANS( )), so dass Γ = A( j). Beweis: Sei ∈ SEQ und |VAN( )| = |VANS( )|. Dann gilt nach Theorem 2-70-(ii), dass VANS( ) ⊆ und damit mit ∈ SEQ und Definition 1-24 und Definition 1-23, dass |VAN( )| = |VANS( )| = k für ein k ∈ N. Sei nun Γ ∈ VAN( ). Dann ist k > 0. Sodann gibt es nach Definition 2-31 ein j ∈ Dom(VANS( )), so dass Γ = A( j). Sei nun i ∈ Dom(VANS( )) und Γ = A( i). Wäre nun i ≠ j. Dann ist |VANS( )\{(j, j)}| = k-1 und andererseits ist f : VAN( ) → VANS( )\{(j, j)}, f(Β) = (min({l | l ∈ Dom(VANS( )\{(j, j)}) und A( l) = Β}), min({l | l ∈ Dom(VANS( )\{(j, j)}) und A( l) = Β})) eine 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 107 Injektion von VAN( ) in VANS( )\{(j, j)}) und somit k = |VAN( )| ≤ k-1. Widerspruch! ■ Theorem 2-79. VERS, VANS, VER und VAN in Verkettungen mit ein-gliedrigen Sequenzen Wenn , ' ∈ SEQ und Dom( ') = 1, dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), '0)}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ) ∪ {(Dom( ), '0)}, (iii) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')}, (iv) VAN( ') ⊆ VAN( ) ∪ {K( ')}. Beweis: Seien , ' ∈ SEQ und sei Dom( ') = 1. Zu (i): Sei (i, ( ')i) ∈ VERS( '). Dann ist i ∈ Dom( ') und A(( ')i) ist in ' bei i verfügbar. Sodann ist i ∈ Dom( ) oder i = Dom( ). Sei nun i ∈ Dom( ). Dann ist ( ')i = i. Wäre nun A( i) = A(( ')i) in bei i nicht verfügbar. Dann gäbe es nach Definition 2-26 ein , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Mit Theorem 2-62-(viii) wäre dann wegen ⊆ ' allerdings auch ein geschlossener Abschnitt in ' und min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Damit wäre A(( ')i) aber in ' bei i nicht verfügbar. Also ist i ∈ Dom( ) und A(( ')i) ist in bei i verfügbar und somit (i, ( ')i) ∈ VERS( ). Sei nun i = Dom( ). Dann ist ( ')i = ( ')Dom( ) = '0 und damit (i, ( ')i) = (Dom( ), '0) ∈ {(Dom( ), '0)}. Zu (ii): Sei (i, ( ')i) ∈ VANS( '). Dann ist mit Theorem 2-70 (i, ( ')i) ∈ VERS( ') und ( ')i ∈ ASATZ. Dann ist mit (i) (i, ( ')i) ∈ VERS( ) ∪ {(Dom( ), '0)}. Angenommen (i, ( ')i) ∉ {(Dom( ), '0)}. Dann ist (i, ( ')i) ∈ VERS( ). Dann ist (i, ( ')i) ∈ VERS( ) und ( ')i ∈ ASATZ und damit ist (i, ( ')i) ∈ VANS( ). Zu (iii): Sei Γ ∈ VER( '). Dann gibt es ein i ∈ Dom( '), so dass Γ in ' bei i verfügbar ist. Dann ist Γ = A(( ')i) und (i, ( ')i) ∈ VERS( '). Damit ist mit (i) (i, ( ')i) ∈ VERS( ) ∪ {(Dom( ), '0)}. Sei nun (i, ( ')i) ∈ VERS( ). Dann ist i ∈ Dom(VERS( )) und i = ( ')i und somit Γ = A( i) ∈ VER( ). Sei nun (i, ( ')i) ∈ {(Dom( ), '0)}. Dann ist i = Dom( ) und ( ')i = '0 und somit Γ = A( '0) = K( ') ∈ {K( ')}. 108 2 Verfügbarkeit von Aussagen Zu (iv): Sei Γ ∈ VAN( '). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( ')) und Γ = A(( ')i). Dann ist (i, ( ')i) ∈ VANS( ') und mit (ii) ist (i, ( ')i) ∈ VANS( ) ∪ {(Dom( ), '0)}. Sei nun (i, ( ')i) ∈ VANS( ). Dann ist i ∈ Dom(VANS( )) und i = ( ')i und somit Γ = A( i) ∈ VAN( ). Sei nun (i, ( ')i) ∈ {(Dom( ), '0)}. Dann ist i = Dom( ) und ( ')i = '0 und somit Γ = A( '0) = K( ') ∈ {K( ')}. ■ Theorem 2-80. VERS, VANS, VER und VAN in Verkettungen mit beliebigen Sequenzen Wenn , ' ∈ SEQ, dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, 'i) | i ∈ Dom( ')}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ) ∪ {(Dom( )+i, 'i) | i ∈ Dom( ')}. Beweis: Beweis per Induktion über Dom( '). Für Dom( ') = 0 folgt die Induktionsbasis mit ' = . Angenommen, für alle * ∈ SEQ mit Dom( *) = j gilt das Theorem. Zu (i) gilt also VERS( *) ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, *i) | i ∈ Dom( *)} für alle * ∈ SEQ mit Dom( *) = j. Sei nun Dom( ') = j+1. Dann ist Dom( ' Dom( ')-1) = j. Also ist nach I.V. VERS( ( ' Dom( ')-1)) ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, ( ' Dom( ')-1)i) | i ∈ Dom( ' Dom( ')-1)} = VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, 'i) | i ∈ Dom( ')-1}. Nun ist VERS( ') = VERS( ( ' Dom( ')-1) {(0, 'Dom( ')-1)}). Nach Theorem 2-79 ist aber VERS( ( ' Dom( ')-1) {(0, 'Dom( ')-1)}) ⊆ VERS( ( ' Dom( ')-1)) ∪ {(Dom( ( ' Dom( ')-1)), 'Dom( ')-1)} = VERS( ( ' Dom( ')-1)) ∪ {(Dom( )+(Dom( ')-1), 'Dom( ')-1)}. Also insgesamt VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, 'i) | i ∈ Dom( ')-1} ∪ {(Dom( )+(Dom( ')-1), 'Dom( ')-1)} und damit VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( )+i, 'i) | i ∈ Dom( ')}. Der Beweis zu (ii) verläuft analog. ■ Theorem 2-81. VERS, VANS, VER und VAN in Beschränkungen auf Dom( )-1 Wenn ∈ SEQ, dann: (i) VERS( ) ⊆ VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}, (ii) VANS( ) ⊆ VANS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}, (iii) VER( ) ⊆ VER( Dom( )-1) ∪ {A( Dom( )-1)}, (iv) VAN( ) ⊆ VAN( Dom( )-1) ∪ {A( Dom( )-1)}. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei = ∅. Dann ist VERS( ) ∪ VANS( ) ∪ VER( ) ∪ VAN( ) = ∅ und damit gilt die Behauptung. Sei nun ≠ ∅. Dann ist = ( Dom( )-1) {(0, Dom( )-1)} und die Behauptung ergibt sich mit Theorem 2-79. ■ 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 109 Theorem 2-82. Die Konklusion ist immer verfügbar Wenn ∈ SEQ\{∅}, dann ist K( ) in bei Dom( )-1 verfügbar. Beweis: Sei ∈ SEQ\{∅}. Dann gilt für alle geschlossenen Abschnitte in : max(Dom( )) ≤ Dom( )-1 und also gibt es keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 < max(Dom( )). Also ist A( Dom( )-1) = K( ) in bei Dom( )-1 verfügbar. ■ Theorem 2-83. Zusammenhang von Nichtverfügbarkeit und der Entstehung eines geschlossenen Abschnitts beim Übergang von Dom( )-1 auf Wenn ∈ SEQ und VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅, dann: Es gibt ein , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und (i) min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1, (ii) Für alle geschlossenen Abschnitte in Dom( )-1 gilt: Dom( )-1 ∩ = ∅ oder min(Dom( )) < min(Dom( )) und max(Dom( )) < Dom( )-1, (iii) Für alle geschlossenen Abschnitte * in gilt: Wenn * kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 ist, dann ist * = , (iv) VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ⊆ {(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}, (v) VERS( ) = (VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}, (vi) VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}, (vii) VANS( Dom( )-1) = VANS( ) ∪ {(min(Dom( )), min(Dom( )))}, (viii) VER( Dom( )-1)\VER( ) ⊆ {A( j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}, (ix) VER( Dom( )-1) ⊆ {A( j) | j ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1)} ∪ {A( j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}, (x) VAN( Dom( )-1)\VAN( ) ⊆ {A( min(Dom( )))} und (xi) VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( min(Dom( )))}. Beweis: Sei ∈ SEQ und sei VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅. Dann gibt es nach Definition 2-28 ein i ∈ Dom( )-1, so dass (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Dann ist Dom( )-1 ≠ ∅ und damit ≠ ∅. Dann gilt nach Definition 2-28 und Definition 2-26, dass es kein ' gibt, so dass ' ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 ist und min(Dom( ')) ≤ i < max(Dom( ')) und dass es ein gibt, so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Zu (i): Es ist zunächst max(Dom( )) ≤ Dom( )-1. Wäre nun Dom( )-2 < min(Dom( )). Dann wäre mit Theorem 2-44 Dom( )-1 ≤ min(Dom( )) < 110 2 Verfügbarkeit von Aussagen max(Dom( )) ≤ Dom( )-1. Widerspruch! Also ist min(Dom( )) ≤ Dom( )-2. Wäre nun max(Dom( )) < Dom( )-1. Dann wäre min(Dom( )) < max(Dom( )) < Dom( )-1 und mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem 2-62-(viii) ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 und es wäre min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Damit wäre aber (i, i) ∉ VERS( Dom( )-1). Also gilt, dass max(Dom( )) = Dom( )-1 und damit insgesamt, dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1. Zu (ii): Sei ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Sei nun Dom( )-1 ∩ ≠ ∅. Dann ist ∩ ≠ ∅. Dann gilt mit Theorem 2-57: ⊆ oder ⊆ . Da aber ⊆ Dom( )-1 und (Dom( )-1, Dom( )-1) ∈ , gilt . Damit gilt ⊂ . Damit gilt mit Theorem 2-56-(i) und -(iii): min(Dom( )) < min(Dom( )) und max(Dom( )) < max(Dom( )) = Dom( )-1. Zu (iii): Sei * ein geschlossener Abschnitt in , aber kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Dann ist max(Dom( *)) = Dom( )-1. Es gilt nämlich: max(Dom( *)) ≤ Dom( )-1. Wäre nun max(Dom( *)) < Dom( )-1, dann wäre mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem 2-62-(viii) * entgegen der Voraussetzung ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Also gilt Dom( )-1 ≤ max(Dom( *)) und somit insgesamt max(Dom( *)) = Dom( )-1 = max(Dom( )). Damit ergibt sich mit Theorem 2-53, dass * = . Zu (iv): Sei (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Dann gibt es einen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )) und kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 ist. Dann gilt mit (iii): = und somit min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )) = Dom( )-1. Damit gilt dann (i, i) ∈ {(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Zu (v): Sei zunächst (i, i) ∈ VERS( ). Dann gilt zunächst mit Theorem 2-81-(i): (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}. Sodann gilt, dass es keinen geschlossenen Abschnitt in gibt, so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Da nun ein geschlossener Abschnitt in ist, gilt dann mit (i): (i, i) ∉ {(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Damit ergibt sich dann: (i, i) ∈ (VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}. Sei nun umgekehrt (i, i) ∈ (VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}. Sei zunächst (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Wäre nun (i, i) ∉ VERS( ). Dann wäre (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ) und (i, i) ∉ {(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}, was im Widerspruch zu (iv) steht. Also ist im ersten Fall (i, i) ∈ VERS( ). Sei nun 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 111 (i, i) ∈ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}. Dann ist i = Dom( )-1 und A( Dom( )-1) = K( ) und damit gilt mit Theorem 2-82 auch im zweiten Fall: (i, i) ∈ VERS( ). Zu (vi): Sei zunächst (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1))\VANS( ). Dann ist (i, i) ∈ (VERS( Dom( )-1) ∩ ANS( Dom( )-1))\(VERS( ) ∩ ANS( )). Da ANS( Dom( )-1) ⊆ ANS( ) ist (i, i) ∈ ANS( ) und somit (i, i) ∉ VERS( ) und insgesamt (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Somit gilt mit (iv) und (i): (i, i) ∈ . Dann ist (i, i) ∈ ANS( ) ∩ und somit gibt es mit Theorem 2-47 ein ⊆ , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und i = min(Dom( )). Wegen (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1) ist dann kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1 und daher mit (iii) = und daher i = min(Dom( )) = min(Dom( )). Dann ist (i, i) = (min(Dom( )), min(Dom( ))). Nun zum Nachweis von {(min(Dom( )), min(Dom( )))} ⊆ VANS( Dom( )-1)\VANS( ). Zunächst ist (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ ANS( ). Angenommen, es gäbe einen geschlossenen Abschnitt in Dom( )-1, so dass min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )). Dann ist ∩ Dom( )-1 ≠ ∅. Damit würde aber mit (ii) gelten: min(Dom( )) < min(Dom( )). Widerspruch! Also gibt es keinen entsprechenden geschlossenen Abschnitt in Dom( )-1 und somit ist (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VANS( Dom( )-1). Sodann gibt es mit selbst einen geschlossenen Abschnitt ' in , so dass min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( ')) und somit ist (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∉ VANS( ) und daher insgesamt (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VANS( Dom( )-1)\VANS( ). Zu (vii): Sei zunächst (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1). Dann ist (i, i) ∈ VANS( ) oder (i, i) ∉ VANS( ). Sei nun (i, i) ∉ VANS( ). Dann ist (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1)\VANS( ) und damit mit (vi): (i, i) ∈ {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Also gilt in beiden Fällen: (i, i) ∈ VANS( ) ∪ {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Sei nun umgekehrt (i, i) ∈ VANS( ) ∪ {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Sei nun zunächst (i, i) ∈ VANS( ). Dann ist (i, i) ∈ ANS( ). Sodann gilt mit Theorem 2-81-(ii): (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}. Nun gilt aber mit (i) max(Dom( )) = Dom( )-1 und da ein geschlossener Abschnitt in und damit ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in ist, ist damit mit Theorem 2-29 (Dom( )-1, Dom( )-1) ∉ ANS( ) und somit ist (i, i) ∉ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}. Damit ist dann 112 2 Verfügbarkeit von Aussagen (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1). Sei nun (i, i) ∈ {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Dann gilt mit (vi) ebenfalls (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1). Zu (viii): Sei Γ ∈ VER( Dom( )-1)\VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)) und Γ = A( i). Dann ist (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1) und (i, i) ∉ VERS( ), denn sonst wäre Γ ∈ VER( ). Dann gilt mit (iv): (i, i) ∈ {(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Dann ist Γ ∈ {A( j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Zu (ix): Sei Γ ∈ VER( Dom( )-1). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1), so dass Γ = A( i). Dann ist (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1) und damit auch i < Dom( )-1. Sodann ist Γ ∈ {A( j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1} oder Γ ∉ {A( j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Sei nun Γ ∉ {A( j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Damit ist dann auch (i, i) ∉ {(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1} und somit insgesamt (i, i) ∈ VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Mit (v) ist dann (i, i) ∈ VERS( ) und mit i < Dom( )-1 gilt (i, i) ∈ VERS( ) Dom( )-1. Also ist i ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1) und damit Γ ∈ {A( j) | j ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1)}. Also gilt in beiden Fällen: Γ ∈ {A( j) | j ∈ Dom(VERS( ) Dom( )-1)} ∪ {A( j) | min(Dom( )) ≤ j < Dom( )-1}. Zu (x): Sei Γ ∈ VAN( Dom( )-1)\VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1) und Γ = A( i). Dann ist (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1) und (i, i) ∉ VANS( ), denn sonst wäre Γ ∈ VAN( ). Dann ergibt sich mit (vi): (i, i) = (min(Dom( )), min(Dom( ))). Dann ist Γ = A( i) = A( min(Dom( ))) ∈ {A( min(Dom( )))}. Und zuletzt zu (xi): Mit (vii) gilt: VANS( Dom( )-1) = VANS( ) ∪ {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Damit gilt: Γ ∈ VAN( Dom( )-1) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und Γ = A( i) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( )) ∪ {min(Dom( ))} und Γ = A( i) gdw Γ ∈ VAN( ) ∪ {A( min(Dom( )))}. Also gilt VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( min(Dom( )))}. ■ Theorem 2-84. VERS-Verringerung beim Übergang von Dom( )-1 zu dann und nur dann, wenn dabei ein neuer geschlossener Abschnitt erzeugt wird Wenn ∈ SEQ, dann: VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅ gdw Es gibt ein , so dass (i) ein geschlossener Abschnitt in ist und (ii) min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1. 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 113 Beweis: Sei ∈ SEQ. Die Links-Rechts-Richtung ergibt sich unmittelbar mit Theorem 2-83. Gebe es nun für die Rechts-Links-Richtung ein , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1. Dann gilt: (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). Zunächst ist nämlich (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∉ VERS( ), da es mit selbst einen geschlossenen Abschnitt ' in gibt, so dass min(Dom( ')) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( ')). Sei nun ein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Dann gilt wegen ⊆ Dom( )-1 und (Dom( )-1, Dom( )-1) ∈ , dass . Damit gilt aber mit Theorem 2-52: min(Dom( )) ∉ Dom( ). Somit gibt es keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ min(Dom( )) < max(Dom( )) und daher gilt: (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VERS( Dom( )-1) und insgesamt: (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VERS( Dom( )-1)\VERS( ). ■ Theorem 2-85. VANS-Verringerung beim Übergang von Dom( )-1 zu dann und nur dann, wenn dabei ein neuer geschlossener Abschnitt erzeugt wird, dessen erstes Glied gerade der nun unverfügbare Annahmesatz und das maximale Glied in VANS( Dom( )-1) ist Wenn ∈ SEQ, dann: VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅ gdw Es gibt ein , so dass (i) ein geschlossener Abschnitt in ist, (ii) min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1 und (iii) VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))))}. Beweis: Sei ∈ SEQ. (L-R): Sei VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅. Mit Theorem 2-73 gilt dann, dass auch VERS( Dom( )-1)\VERS( ) ≠ ∅. Damit gibt es mit Theorem 2-83 ein , so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und min(Dom( )) ≤ Dom( )-2 und max(Dom( )) = Dom( )-1 und VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Sodann ist auch min(Dom( )) = max(Dom(VANS( Dom( )-1))). Zunächst ist (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VANS( Dom( )-1) und damit min(Dom( )) ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Sei nun k ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und sei min(Dom( )) ≤ k. Dann ist (k, k) ∈ VANS( Dom( )-1) und damit (k, k) ∈ ANS( Dom( )-1) und damit auch (k, k) ∈ ANS( ). Sodann ist min(Dom( )) ≤ k < 114 2 Verfügbarkeit von Aussagen Dom( )-1 = max(Dom( )). Damit ist dann k ∈ ANS( ) ∩ Dom( ). Mit Theorem 2-66 ist dann k = min(Dom( )) oder es gibt ein , so dass k = min(Dom( )) und min(Dom( )) < min(Dom( )) < max(Dom( )) < max(Dom( )) = Dom( )-1. Der zweite Fall ist allerdings ausgeschlossen, da es sonst mit Theorem 2-64-(viii) und Theorem 2-62-(viii) einen geschlossenen Abschnitt mit min(Dom( )) ≤ k < max(Dom( )) in Dom( )-1 gäbe und damit (k, k) ∉ VANS( Dom( )-1) gelten würde. Also ist k = min(Dom( )). Damit ist gezeigt, dass min(Dom( )) = max(Dom(VANS( Dom( )-1))) und damit gilt {(min(Dom( )), min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))))}. (R-L): Gibt es umgekehrt einen geschlossenen Abschnitt in , für den VANS( Dom( )-1))\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}, dann ist VANS( Dom( )-1))\VANS( ) ≠ ∅. ■ Theorem 2-86. Ist das letzte Glied eines geschlossenen Abschnitts in mit dem letzten Glied von identisch, dann ist das erste Glied von das maximale Glied von VANS( Dom( )-1) und in nicht mehr verfügbar Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist und max(Dom( )) = Dom( )-1, dann gilt: VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))))}. Beweis: Sei ein geschlossener Abschnitt in und max(Dom( )) = Dom( )-1. Dann ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in und ∈ SEQ. Dann gilt mit Theorem 2-31: min(Dom( )) < max(Dom( )) = Dom( )-1 und somit min(Dom( )) ≤ Dom( )-2. Damit ergibt sich mit Theorem 2-84, dass VERS( Dom( ))\VERS( ) ≠ ∅ ist. Daraus ergibt sich wiederum mit Theorem 2-83-(vi), dass es ein gibt, so dass ein geschlossener Abschnitt in ist und VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Nun ist ein geschlossener Abschnitt in und mit max(Dom( )) = Dom( )-1 ist kein Abschnitt und damit auch kein geschlossener Abschnitt in Dom( )-1. Damit gilt mit Theorem 2-83-(iii): = und damit VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Damit ergibt sich mit Theorem 2-85, dass VANS( Dom( )-1)\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( Dom( )-1))), max(Dom(VANS( Dom( )-1))))}. ■ 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 115 Theorem 2-87. Beim Übergang von Dom( )-1 zu verringert sich die Anzahl der verfügbaren Annahmesätze maximal um eins Wenn ∈ SEQ, dann |VANS( Dom( )-1)\VANS( )| ≤ 1. Beweis: Sei ∈ SEQ. Dann ist VANS( Dom( )-1))\VANS( ) = ∅ oder VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅. Im ersten Fall ist |(VANS( Dom( )-1)\VANS( )| = 0. Sei nun VANS( Dom( )-1))\VANS( ) ≠ ∅. Dann gibt es mit Theorem 2-85 einen geschlossenen Abschnitt in , so dass VANS( Dom( )-1))\VANS( ) = {(min(Dom( )), min(Dom( )))}. Dann ist |VANS( Dom( )-1)\VANS( )| = 1. ■ Theorem 2-88. Beim Übergang von Dom( )-1 zu impliziert echte VAN-Inklusion echte VANS-Inklusion Wenn ∈ SEQ und VAN( ) ⊂ VAN( Dom( )-1), dann VANS( ) ⊂ VANS( Dom( )-1). Beweis: Sei ∈ SEQ und sei VAN( ) ⊂ VAN( Dom( )-1). Dann gibt es ein Γ ∈ GFORM, so dass Γ ∈ VAN( Dom( )-1)\VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass Γ = A( i). Dann ist i ∉ Dom(VANS( )), denn sonst wäre Γ ∈ VAN( ). Damit ist VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ≠ ∅ und mit Theorem 2-85 gibt es einen geschlossenen Abschnitt in , so dass max(Dom( )) = Dom( )-1. Dann ist ein SEoder NEoder EA-artiger Abschnitt in . Dann ergibt sich mit Theorem 2-29, dass (Dom( )-1, Dom( )-1) ∉ ANS( ) und damit (Dom( )-1, Dom( )-1) ∉ VANS( ). Mit Theorem 2-81 gilt nun: VANS( ) ⊆ VANS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, Dom( )-1)}, so dass sich zunächst einmal VANS( ) ⊆ VANS( Dom( )-1) ergibt und mit (i, i) ∈ VANS( Dom( )-1)\VANS( ) ergibt sich: VANS( ) ⊂ VANS( Dom( )-1). ■ Theorem 2-89. Vorbereitungstheorem (a) für Theorem 2-91, Theorem 2-92 und Theorem 2-93 Wenn ein Abschnitt in ist und l ∈ Dom( max(Dom( ))), dann: (l, l) ∈ VERS( max(Dom( ))) gdw Für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Beweis: Sei ein Abschnitt in und l ∈ Dom( max(Dom( ))). (L-R): Sei nun zunächst (l, l) ∈ VERS( max(Dom( ))). Sei nun ein geschlossener Abschnitt in 116 2 Verfügbarkeit von Aussagen max(Dom( )). Wäre dann min(Dom( )) ≤ l < max(Dom( )), dann wäre damit (l, l) ∉ VERS( max(Dom( ))), was der Annahme widerspricht. Also ist l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. (R-L): Gelte nun für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )): l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Dann gilt für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )), dass es nicht der Fall ist, dass min(Dom( )) ≤ l < max(Dom( )). Sodann ist nach Voraussetzung l ∈ Dom( max(Dom( ))) und damit ist A( l) in max(Dom( )) bei l verfügbar. Also gilt: (l, l) ∈ VERS( max(Dom( ))). ■ Theorem 2-90. Vorbereitungstheorem (b) für Theorem 2-91, Theorem 2-92 und Theorem 2-93 Wenn ein Abschnitt in ist und l ∈ Dom( max(Dom( ))), dann: (l, l) ∈ VANS( max(Dom( ))) gdw (l, l) ∈ ANS( ) und für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Beweis: Sei ein Abschnitt in und l ∈ Dom( max(Dom( ))). (L-R): Sei nun zunächst (l, l) ∈ VANS( max(Dom( ))). Dann ist (l, l) ∈ VERS( max(Dom( ))) ∩ ANS( max(Dom( ))) und da ANS( max(Dom( ))) ⊆ ANS( ) ist damit (l, l) ∈ ANS( ). Sodann ergibt sich mit (l, l) ∈ VERS( max(Dom( ))) und Theorem 2-89, dass für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )) gilt: l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. (R-L): Sei nun (l, l) ∈ ANS( ) und gelte für alle geschlossenen Abschnitte in max(Dom( )): l < min(Dom( )) oder max(Dom( )) ≤ l. Nach Voraussetzung gilt, dass l ∈ Dom( max(Dom( ))) und damit, dass (l, l) ∈ ANS( max(Dom( ))). Sodann ergibt sich mit Theorem 2-89, dass (l, l) ∈ VERS( max(Dom( ))) und damit insgesamt, dass (l, l) ∈ VANS( max(Dom( ))). ■ Theorem 2-91. SE-Schliesst!-Theorem ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass (i) A( min(Dom( ))) = Δ und (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VANS( max(Dom( ))), (ii) A( max(Dom( ))-1) = Γ, (iii) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt, so dass (r, r) ∈ VANS( max(Dom( ))), und (iv) max(Dom( )) = Also Δ → Γ gdw ist ein SE-geschlossener Abschnitt in . 2.3 VERS, VANS, VER und VAN 117 Beweis: Ergibt sich direkt aus Theorem 2-67, Theorem 2-89 und Theorem 2-90. ■ Theorem 2-92. NE-Schliesst!-Theorem ist ein Abschnitt in und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )), (ii) A( min(Dom( ))) = Δ und (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VANS( max(Dom( ))), (iii) A( i) = Γ und A( max(Dom( ))-1) = ¬Γ oder A( i) = ¬Γ und A( max(Dom( ))-1) = Γ, (iv) (i, i) ∈ VERS( max(Dom( ))), (v) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt, so dass (r, r) ∈ VANS( max(Dom( ))), und (vi) max(Dom( )) = Also ¬Δ gdw ist ein NE-geschlossener Abschnitt in . Beweis: Ergibt sich direkt aus Theorem 2-68, Theorem 2-89 und Theorem 2-90. ■ Theorem 2-93. PB-Schliesst!-Theorem ist ein Abschnitt in und es gibt ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ), so dass (i) A( min(Dom( ))) = ξΔ und (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VERS( max(Dom( ))), (ii) A( min(Dom( ))+1) = [β, ξ, Δ] und (min(Dom( ))+1, min(Dom( ))+1) ∈ VANS( max(Dom( ))), (iii) A( max(Dom( ))-1) = Γ, (iv) max(Dom( )) = Also Γ , (v) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (vi) Es kein j ≤ min(Dom( )) gibt, so dass β ∈ TT( j), (vii) = \{(min(Dom( )), min(Dom( )))} und (viii) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ max(Dom( ))-1 gibt, so dass (r, r) ∈ VANS( max(Dom( ))) gdw ist ein PB-geschlossener Abschnitt in . Beweis: Ergibt sich direkt aus Theorem 2-69, Theorem 2-89 und Theorem 2-90. ■ 3 Der Redehandlungskalkül Die Metatheorie des Kalküls ist nun hinreichend entwickelt, damit dieser etabliert werden kann (3.1). Sodann wird für diesen Kalkül ein Ableitungsund ein Konsequenzbegriff bereitgestellt (3.2). Den Abschluss des Kapitels bildet der Beweis von Theoremen, die die Arbeitsweise des Kalküls beschreiben und im weiteren Fortgang nützlich sind (3.3). 3.1 Der Kalkül Mit dem Redehandlungskalkül werden nun Regeln für das Annehmen und das Folgern etabliert, die letztendlich das Ableiten von Aussagen aus Aussagenmengen anleiten. Dazu ist vorbereitend zu bemerken: Ein Autor nimmt eine Aussage Γ an, indem er den Satz Sei Γ äussert, und ein Autor folgert eine Aussage Γ, indem er den Satz Also Γ äussert. Ein Autor äussert die leere Sequenz, indem er nichts äussert. Ein Autor äussert eine nichtleere Sequenz , indem er nacheinander für jedes i ∈ Dom( ) i äussert. Ein Autor setzt eine Sequenz zu einer Sequenz * fort, wenn er geäussert hat und nun eine Sequenz ' äussert, so dass * = '. Ein Autor setzt also eine von ihm geäusserte Sequenz zu der Sequenz ∪ {(Dom( ), Sei Γ )} fort, indem er Γ annimmt, d.h., indem er Sei Γ äussert, und ein Autor setzt eine von ihm geäusserte Sequenz zu der Sequenz ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fort, indem er Γ folgert, d.h., indem er Also Γ äussert.12 Die Regeln des Kalküls – und nur diese – sollen es erlauben, eine bereits geäusserte Sequenz zu einer Sequenz ' mit Dom( ') = Dom( )+1 fortzusetzen. Im Anschluss an das Reglement kann dann ein Ableitungsund ein Konsequenzbegriff etabliert werden, wobei Ableitungen genau die nicht-leeren Sequenzen sein sollen, die sich nach den Regeln des Kalküls äussern lassen (↑ 3.2). Wie für pragmatisierte Kalküle des natürlichen Schliessens üblich gibt es eine Annahmeregel (Handlungsanleitung 3-1) und 16 Folgerungsregeln (Handlungsanleitung 3-2 bis Handlungsanleitung 3-17). Zusätzlich enthält der Kalkül eine Interdiktionsklausel (IDK, Handlungsanleitung 3-18), die alle Fortsetzungen verbietet, die nicht durch 12 Zum Zusammenhang des Vollzugs von Redehandlungen bzw. Redehandlungssequenzen und der Äusserung von Sätzen bzw. Satzsequenzen siehe HINST, P.: Logischer Grundkurs, S. 58–71, SIEGWART, G.: Vorfragen, S. 25–32, Denkwerkzeuge, S. 39–52, und Alethic Acts. Offenbar setzt die hier gepflegte Äusserungsrede voraus, dass die mit Postulat 1-1 bis Postulat 1-3 geforderten Ausdrücke und Ausdrucksverkettungen äusserbare Gebilde sind. 120 3 Der Redehandlungskalkül Handlungsanleitung 3-1 bis Handlungsanleitung 3-17 erlaubt sind. Unter den Folgerungsregeln regulieren jeweils zwei einen der Junktoren, Quant(ifikat)oren oder den Identitätsprädikator. Mit einer der beiden Regeln wird der Operator eingeführt, mit der anderen beseitigt. Zum besseren Verständnis sei hier noch einmal die Verfügbarkeitsrede in Stenoform wiederholt: Ist eine Sequenz, dann ist (i, i) genau dann in VERS( ), wenn die Aussage von i in bei i verfügbar ist. Ferner ist (i, i) genau dann in VANS( ), wenn die Aussage von i in bei i verfügbar und i ein Annahmesatz ist. Sodann ist Γ genau dann Element von VER( ), wenn es (i, i) ∈ VERS( ) gibt, so dass Γ die Aussage von i ist, und Γ ist genau dann Element von VAN( ), wenn es (i, i) ∈ VANS( ) gibt, so dass Γ die Aussage von i ist. Um vorbereitend eine intuitiv eingängige Kurzfassung des Reglements zu geben, sei vereinbart: Wenn man eine Sequenz geäussert hat und Γ in bei i verfügbar ist, dann hat man Γ in bei i gewonnen. Wenn Δ die letzte bei der Äusserung von gemachte Annahme ist, die noch verfügbar ist, und man Γ in nach bzw. mit der Annahme von Δ gewonnen hat, dann hat man Γ in im Ausgang von der Annahme von Δ gewonnen. Setzt man zu ∪ {(Dom( ), Σ)} fort und ist Δ = A( i) eine in bei i verfügbare Annahme, die in ∪ {(Dom( ), Σ)} bei i nicht mehr verfügbar ist, dann hat man sich von der Annahme von Δ bei i befreit. Nun die Kurzform des Reglements unter Vernachlässigung von Sequenzund Stellenbezug und grammatischer Spezifikation: Man darf jede Aussage Γ annehmen (AR); hat man als letztes Γ im Ausgang von der Annahme von Δ gewonnen, dann darf man Δ → Γ folgern und sich so von der Annahme von Δ befreien (SE); hat man Δ und Δ → Γ gewonnen, dann darf man Γ folgern (SB); hat man Δ und Γ gewonnen, dann darf man Δ ∧ Γ folgern (KE); hat man Δ ∧ Γ oder Γ ∧ Δ gewonnen, dann darf man Γ folgern (KB); hat man Δ → Γ und Γ → Δ gewonnen, dann darf man Δ ↔ Γ folgern (BE); hat man Δ und Δ ↔ Γ oder Δ und Γ ↔ Δ gewonnen, dann darf man Γ folgern (BB); hat man Γ oder Δ gewonnen, dann darf man Δ ∨ Γ folgern (AE); hat man B ∨ Δ , B → Γ und Δ → Γ gewonnen, dann darf man Γ folgern (AB); hat man im Ausgang von der Annahme von Δ entweder Γ und als letztes ¬Γ oder ¬Γ und als letztes Γ gewonnen, dann darf man ¬Δ folgern und sich so von der Annahme von Δ befreien (NE); hat 3.1 Der Kalkül 121 man ¬¬Γ gewonnen, dann darf man Γ folgern (NB); hat man [β, ξ, Δ] gewonnen, wobei β kein Teilterm von Δ oder von einer verfügbaren Annahme ist, dann darf man ξΔ folgern (UE), hat man ξΔ gewonnen, dann darf man [θ, ξ, Δ] folgern (UB); hat man [θ, ξ, Δ] gewonnen, dann darf man ξΔ folgern (PE); hat man ξΔ gewonnen, als nächstes [β, ξ, Δ] angenommen, wobei β ein neuer Parameter und kein Teilterm von Δ ist, und dann im Ausgang von der Annahme von [β, ξ, Δ] als letztes Γ gewonnen, wobei β kein Teilterm von Γ ist, dann darf man Γ folgern und sich so von der Annahme von [β, ξ, Δ] befreien (PB); man darf θ = θ folgern (IE); hat man θ0 = θ1 und [θ0, ξ, Δ] gewonnen, dann darf man [θ1, ξ, Δ] folgern (IB); das ist alles, was man darf (IDK). Es folgen nun die Regeln des Redehandlungskalküls in ihrer verbindlichen Formulierung: Handlungsanleitung 3-1. Annahmeregel (AR) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat und Γ ∈ GFORM, dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Sei Γ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-2. Subjunktoreinführungsregel (SE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ) und (i) A( i) = Δ und (i, i) ∈ VANS( ), (ii) A( Dom( )-1) = Γ und (iii) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l) ∈ VANS( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} fortsetzen. Man beachte, dass die Anwendung der Subjunktoreinführungsregel SE-geschlossene Abschnitte gemäss Definition 2-23 erzeugt (vgl. Theorem 2-91). Setzt man mittels SE zu ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} fort, so ist daher in ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} keine der bei der Äusserung von ab (einschliesslich) dem i-ten Glied gefolgerten oder angenommenen Aussagen verfügbar, es sei denn, die Aussage war in schon vor dem i-ten Glied verfügbar (vgl. Definition 2-26). Davon ist natürlich die neuerdings verfügbare Subjunktion Δ → Γ ausgenommen, da sie die Aussage des neuen letzten Gliedes bildet und damit in jedem Fall in der nun insgesamt geäusserten Sequenz verfügbar ist (vgl. Theorem 2-82). Da die Aussage des letzten Gliedes einer Sequenz in immer bei Dom( )-1 verfügbar ist, reicht es auch, in Klausel (ii) der Regel zu fordern, dass das Sukzedens der zu folgernden Subjunktion die Aussage des letzten Gliedes von ist, ohne 122 3 Der Redehandlungskalkül zusätzlich zu fordern, dass diese Aussage dort auch verfügbar ist. Analoges betrifft Handlungsanleitung 3-10 (NE) und Handlungsanleitung 3-15 (PB). Handlungsanleitung 3-3. Subjunktorbeseitigungsregel (SB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und {Δ, Δ → Γ } ⊆ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-4. Konjunktoreinführungsregel (KE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat und Δ, Γ ∈ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Δ ∧ Γ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-5. Konjunktorbeseitigungsregel (KB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und { Δ ∧ Γ , Γ ∧ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅, dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-6. Bisubjunktoreinführungsregel (BE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und { Δ → Γ , Γ → Δ } ⊆ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Δ ↔ Γ )} fortsetzen. Hier wird die metalogische Separiertheitsmaxime, nach der jede Regel genau einen Operator regulieren soll, verletzt. Im Regelantezedens wird gefordert, dass bestimmte Subjunktionen bereits verfügbar sind. Die Bisubjunktoreinführungsregel ist damit zugleich eine Regel für die Beseitigung von Subjunktionen in bestimmten Kontexten. Handlungsanleitung 3-7. Bisubjunktorbeseitigungsregel (BB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Δ ∈ VER( ), Γ ∈ GFORM, und { Δ ↔ Γ , Γ ↔ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅, dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-8. Adjunktoreinführungsregel (AE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und {Δ, Γ} ∩ VER( ) ≠ ∅, dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Δ ∨ Γ )} fortsetzen. 3.1 Der Kalkül 123 Handlungsanleitung 3-9. Adjunktorbeseitigungsregel (AB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Β, Δ, Γ ∈ GFORM und { B ∨ Δ , B → Γ , Δ → Γ } ⊆ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Hier wird die metalogische Separiertheitsmaxime ein zweites Mal verletzt. Im Regelantezedens wird gefordert, dass bestimmte Subjunktionen bereits verfügbar sind. Die Adjunktorbeseitigungsregel ist damit zugleich eine Regel für die Beseitigung von Subjunktionen in bestimmten Kontexten. Handlungsanleitung 3-10. Negatoreinführungsregel (NE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Δ, Γ ∈ GFORM und i, j ∈ Dom( ) und (i) i ≤ j, (ii) A( i) = Δ und (i, i) ∈ VANS( ), (iii) A( j) = Γ und A( Dom( )-1) = ¬Γ oder A( j) = ¬Γ und A( Dom( )-1) = Γ, (iv) (j, j) ∈ VERS( ) und (v) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l) ∈ VANS( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} fortsetzen. Die Anwendung der Negatoreinführungsregel erzeugt NE-geschlossene Abschnitte gemäss Definition 2-24 (vgl. Theorem 2-92). Setzt man mittels NE zu ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} fort, so ist dementsprechend in ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} keine der bei der Äusserung von ab (einschliesslich) dem i-ten Glied gefolgerten oder angenommenen Aussagen verfügbar, es sei denn, die Aussage war in schon vor dem i-ten Glied verfügbar (vgl. Definition 2-26). Davon ist natürlich die neuerdings verfügbare Negation ¬Δ ausgenommen. Da die Aussage des letzten Gliedes einer Sequenz in immer bei Dom( )-1 verfügbar ist (vgl. Theorem 2-82), reicht es ferner, in Klausel (iii) der Regel nur zu fordern, dass eines der Widerspruchsglieder bei j verfügbar ist und das andere Widerspruchsglied die Aussage des letzten Gliedes von ist. Handlungsanleitung 3-11. Negatorbeseitigungsregel (NB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, Γ ∈ GFORM und ¬¬Γ ∈ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. 124 3 Der Redehandlungskalkül Handlungsanleitung 3-12. Universalquantoreinführungsregel (UE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, [β, ξ, Δ] ∈ VER( ) und β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( )), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-13. Universalquantorbeseitigungsregel (UB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und ξΔ ∈ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also [θ, ξ, Δ] )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-14. Partikularquantoreinführungsregel (PE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und [θ, ξ, Δ] ∈ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-15. Partikularquantorbeseitigungsregel (PB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ) und (i) A( i) = ξΔ und (i, i) ∈ VERS( ), (ii) A( i+1) = [β, ξ, Δ] und (i+1, i+1) ∈ VANS( ), (iii) A( Dom( )-1) = Γ, (iv) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (v) Es kein j ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( j), (vi) Es kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (m, m) ∈ VANS( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fortsetzen. Die Anwendung der Partikularquantorbeseitigungsregel erzeugt PB-geschlossene Abschnitte gemäss Definition 2-25 (vgl. Theorem 2-93). Setzt man also mittels PB zu ∪ {(Dom( ), Also Γ )} fort, so ist in ∪ {(Dom( ), Also Γ )} keine der bei der Äusserung von nach dem i-ten Glied gefolgerten oder angenommenen Aussagen verfügbar, es sei denn, die Aussage war in schon vor dem i+1-ten Glied verfügbar (vgl. Definition 2-26). Davon ist natürlich die zuletzt gefolgerte Aussage Γ ausgenommen, die in der nun insgesamt geäusserten Sequenz in jedem Fall verfügbar ist. Da die Aussage des letzten Gliedes einer Sequenz in immer bei Dom( )-1 verfügbar ist (vgl. Theorem 2-82), reicht es auch, in Klausel (iii) der Regel nur zu fordern, dass Γ die Aussage des letzten Gliedes von ist. 3.1 Der Kalkül 125 Handlungsanleitung 3-16. Identitätseinführungsregel (IE) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat und θ ∈ GTERM, dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also θ = θ )} fortsetzen. Handlungsanleitung 3-17. Identitätsbeseitigungsregel (IB) Wenn man ∈ SEQ geäussert hat, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, θ0, θ1 ∈ GTERM und { θ0 = θ1 , [θ0, ξ, Δ]} ⊆ VER( ), dann darf man zu ∪ {(Dom( ), Also [θ1, ξ, Δ] )} fortsetzen. Zuletzt wird ein Verbot gesetzt, das den interdiktionalen Status des Reglements explizit macht. Dazu werden für die Fortsetzung von zu ' alle 17 Regelantezedentia als unerfüllt vorausgesetzt. Dieser Zustand ist dann hinreichend dafür, dass man nicht zu ' fortsetzen darf. Handlungsanleitung 3-18. Interdiktionsklausel (IDK) Wenn ∉ SEQ oder wenn man nicht geäussert hat oder wenn es keine B, Γ, Δ ∈ GFORM und θ0, θ1 ∈ GTERM und β ∈ PAR und ξ ∈ VAR und Δ' ∈ FORM, wobei FV(Δ') ⊆ {ξ}, und i, j ∈ Dom( ) gibt, so dass (i) ' = ∪ {(Dom( ), Sei Γ )} oder (ii) A( i) = Δ, (i, i) ∈ VANS( ), A( Dom( )-1) = Γ, es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} oder (iii) {Δ, Δ → Γ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (iv) {Δ, Γ} ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ∧ Γ )} oder (v) { Δ ∧ Γ , Γ ∧ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (vi) { Δ → Γ , Γ → Δ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ↔ Γ )} oder (vii) Δ ∈ VER( ), { Δ ↔ Γ , Γ ↔ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (viii) {Δ, Γ} ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ∨ Γ )} oder (ix) { B ∨ Δ , B → Γ , Δ → Γ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (x) i ≤ j, A( i) = Δ, (i, i) ∈ VANS( ), A( j) = Γ und A( Dom( )-1) = ¬Γ oder A( j) = ¬Γ und A( Dom( )-1) = Γ, (j, j) ∈ VERS( ), es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} oder (xi) ¬¬Γ ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (xii) [β, ξ, Δ'] ∈ VER( ), β ∉ TTFM({Δ'} ∪ VAN( )) und ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ' )} oder (xiii) ξΔ' ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also [θ0, ξ, Δ'] )} oder (xiv) [θ0, ξ, Δ'] ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ' )} oder 126 3 Der Redehandlungskalkül (xv) A( i) = ξΔ' , (i, i) ∈ VERS( ), A( i+1) = [β, ξ, Δ'], (i+1, i+1) ∈ VANS( ), A( Dom( )-1) = Γ, β ∉ TTFM({Δ', Γ}), es kein l ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( l), es kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (m, m) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} oder (xvi) ' = ∪ {(Dom( ), Also θ0 = θ0 )} oder (xvii) { θ0 = θ1 , [θ0, ξ, Δ]} ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also [θ1, ξ, Δ] )}, dann darf man nicht zu ' fortsetzen. Handlungsanleitung 3-18 besagt informell: Wenn keine der Regeln Handlungsanleitung 3-1 bis Handlungsanleitung 3-17 die Fortsetzung von zu ' erlaubt, dann darf man nicht zu ' fortsetzen. Mit der Setzung der 18 Regeln wurde der Kalkül etabliert. Er kann nun im vollen Umfang eingesetzt werden. Will man dem Kalkül später weitere Regeln hinzufügen – zum Beispiel für das Anziehen, das Konstatieren oder das axiomatische und definitorische Setzen – so ist Handlungsanleitung 3-18 zu revidieren. Im nächsten Abschnitt wird nun ein Ableitungsund Konsequenzbegriff für den Kalkül etabliert (3.2) und sodann ein Beweis von Theoremen erbracht, die die Funktionsweise des Kalküls deutlich machen (3.3). 3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 127 3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft Mit der Etablierung des Kalküls bleibt nun noch die Aufgabe, einen entsprechenden Ableitungsund Konsequenzbegriff zu etablieren und dessen Adäquatheit zu zeigen. Da Ableitungsund Konsequenzschaft nicht an die tatsächliche Äusserung von Sequenzen, sondern nur an deren Äusserbarkeit gemäss den Regeln gebunden sein sollen, ist der Ableitungsbegriff dabei nicht unter Rückgriff auf die vollen Regeln des Kalküls – die ja jeweils die Äusserung einer Sequenz verlangen –, sondern unter alleinigem Rückgriff auf deren jeweiligen sequenzenspezifischen und äusserungsunabhängigen Anteil zu etablieren. Dazu wird zunächst für jede Regel des Kalküls eine Funktion definiert, die einer Sequenz jeweils die Menge der Sequenzen zuordnet, zu denen ein Autor, der geäussert hat, nach der entsprechenden Regel fortsetzen darf (Definition 3-1 bis Definition 3-17). Im Ausgang von diesen Funktionen wird dann die Funktion RGF etabliert, die einer Sequenz die Menge regelgemässen Fortsetzungen von zuordnet, also die Menge der Sequenzen, zu denen ein Autor, der geäussert hat, nach einer der Regeln des Kalküls fortsetzen dürfte (Definition 3-18). Darauf aufbauend wird dann die Menge der regelgemässen Sequenzen, RGS, als die Menge der Sequenzen definiert, von denen jede ihrer nicht-leeren Beschränkungen eine regelgemässe Fortsetzung der nächst kleineren Beschränkung ist (Definition 3-19). Eine Ableitung einer Aussage Γ aus einer Aussagenmenge X wird dann ein nicht-leeres RGS-Element sein, für das gilt: K( ) = Γ und VAN( ) = X (Definition 3-20). Sodann erfolgt die Einführung des deduktiven Konsequenzbegriffs und umgebender Begrifflichkeiten für den Kalkül, wobei eine Aussage Γ genau dann deduktive Konsequenz einer Aussagenmenge X sein wird, wenn es eine Ableitung von Γ aus einem Y ⊆ X gibt (Definition 3-21). Wie angekündigt, werden nun zunächst zu den Regeln in 3.1 analoge Funktionen definiert: Definition 3-1. Annahmefunktion (AF) AF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Sei Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-1. Da die Menge der geschlossenen Formeln nicht leer ist, ergibt sich als Korollar, dass auch AF( ) für keine Sequenz leer ist. 128 3 Der Redehandlungskalkül Definition 3-2. Subjunktoreinführungsfunktion (SEF) SEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) A( i) = Δ und (i, i) ∈ VANS( ), (ii) A( Dom( )-1) = Γ, (iii) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l) ∈ VANS( ), und (iv) ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-2. Definition 3-3. Subjunktorbeseitigungsfunktion (SBF) SBF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass {Δ, Δ → Γ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-3. Definition 3-4. Konjunktoreinführungsfunktion (KEF) KEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ VER( ), so dass ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ∧ Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-4. Definition 3-5. Konjunktorbeseitigungsfunktion (KBF) KBF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass { Δ ∧ Γ , Γ ∧ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-5. Definition 3-6. Bisubjunktoreinführungsfunktion (BEF) BEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass { Δ → Γ , Γ → Δ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ↔ Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-6. Definition 3-7. Bisubjunktorbeseitigungsfunktion (BBF) BBF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ ∈ VER( ) und Γ ∈ GFORM, so dass { Δ ↔ Γ , Γ ↔ Δ } ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-7. 3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 129 Definition 3-8. Adjunktoreinführungsfunktion (AEF) AEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass {Δ, Γ} ∩ VER( ) ≠ ∅ und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ ∨ Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-8. Definition 3-9. Adjunktorbeseitigungsfunktion (ABF) ABF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Β, Δ, Γ ∈ GFORM, so dass { B ∨ Δ , B → Γ , Δ → Γ } ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-9. Definition 3-10. Negatoreinführungsfunktion (NEF) NEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i, j ∈ Dom( ), so dass (i) i ≤ j, (ii) A( i) = Δ und (i, i) ∈ VANS( ), (iii) A( j) = Γ und A( Dom( )-1) = ¬Γ oder A( j) = ¬Γ und A( Dom( )-1) = Γ, (iv) (j, j) ∈ VERS( ), (v) Es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l) ∈ VANS( ), und (vi) ' = ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-10. Definition 3-11. Negatorbeseitigungsfunktion (NBF) NBF= {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt Γ ∈ GFORM, so dass ¬¬Γ ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-11. Definition 3-12. Universalquantoreinführungsfunktion (UEF) UEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt β ∈ PAR, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass (i) [β, ξ, Δ] ∈ VER( ), (ii) β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( )) und (iii) ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-12. 130 3 Der Redehandlungskalkül Definition 3-13. Universalquantorbeseitigungsfunktion (UBF) UBF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass ξΔ ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also [θ, ξ, Δ] )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-13. Definition 3-14. Partikularquantoreinführungsfunktion (PEF) PEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und θ ∈ GTERM, so dass [θ, ξ, Δ] ∈ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-14. Definition 3-15. Partikularquantorbeseitigungsfunktion (PBF) PBF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass (i) A( i) = ξΔ und (i, i) ∈ VERS( ), (ii) A( i+1) = [β, ξ, Δ] und (i+1, i+1) ∈ VANS( ), (iii) A( Dom( )-1) = Γ, (iv) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), (v) Es kein j ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( j), (vi) Es kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (m, m) ∈ VANS( ), und (vii) ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-15. Definition 3-16. Identitätseinführungsfunktion (IEF) IEF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt θ ∈ GTERM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Also θ = θ )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-16. Da die Menge der geschlossenen Terme nicht leer ist, ergibt sich als Korollar, dass wie AF( ) auch IEF( ) für keine Sequenz leer ist. Dieser Sachverhalt schlägt sich weiter unten in Theorem 3-2 nieder. 3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 131 Definition 3-17. Identitätsbeseitigungsfunktion (IBF) IBF = {( , X) | ∈ SEQ und X = { ' | Es gibt θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass { θ0 = θ1 , [θ0, ξ, Δ]} ⊆ VER( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also [θ1, ξ, Δ] )}}}. Vgl. Handlungsanleitung 3-17. Im Folgenden wird nun die Menge der regelgemässen Sequenzen, RGS (Definition 3-19), und dann das Ableitungsprädikat: '.. ist eine Ableitung von .. aus ..' (Definition 3-20) definiert. Dabei soll RGS neben der leeren Sequenz alle und nur die Sequenzen enthalten, zu denen sich die leere Sequenz nach den Regeln des Kalküls fortsetzen lässt. Unter Rückgriff auf die soeben definierte Annahmefunktion und die soeben definierten Einführungsund Beseitigungsfunktionen wird dementsprechend RGS so definiert, dass RGS die Menge der Sequenzen ist, von denen jede ihrer nicht-leeren Beschränkungen eine regelgemässe Fortsetzung der nächst kleineren Beschränkung ist. Dazu wird zunächst die Funktion RGF definiert: Definition 3-18. Zuordnung der Menge der regelgemässen Annahmeund Folgerungsfortsetzungen einer Sequenz (RGF) RGF = {( , X) | ∈ SEQ und X = {AF( ), SEF( ), SBF( ), KEF( ), KBF( ), BEF( ), BBF( ), AEF( ), ABF( ), NEF( ), NBF( ), UEF( ), UBF( ), PEF( ), PBF( ), IEF( ), IBF( )}}. RGF ist also so definiert, dass ein Autor, der ∈ SEQ geäussert hat, genau dann zu ' fortsetzen darf, wenn ' ∈ RGF( ). Vor der Definition der Menge der regelgemässen Sequenzen, RGS, werden nun zunächst einige Theoreme zu RGF bewiesen. Theorem 3-1. RGF-Fortsetzungen von Sequenzen sind nicht-leere Sequenzen Wenn ∈ SEQ, dann ist RGF( ) ⊆ SEQ\{∅}. Beweis: Sei ∈ SEQ. Sei ' ∈ RGF( ). Dann gilt ' ∈ AF( ) oder ' ∈ SEF( ) oder ' ∈ SBF( ) oder ' ∈ KEF( ) oder ' ∈ KBF( ) oder ' ∈ BEF( ) oder ' ∈ BBF( ) oder ' ∈ AEF( ) oder ' ∈ ABF( ) oder ' ∈ NEF( ) oder ' ∈ NBF( ) oder ' ∈ UEF( ) oder ' ∈ UBF( ) oder ' ∈ PEF( ) oder ' ∈ PBF( ) oder ' ∈ IEF( ) oder ' ∈ IBF( ). Dann ergibt sich aus Definition 3-1 bis Definition 3-17, dass ' = ∪ {(Dom( ), Σ)} für ein Σ ∈ SATZ. In allen Fällen gilt mit Definition 1-23 und Definition 1-24 ' ∈ SEQ\{∅}. ■ 132 3 Der Redehandlungskalkül Als nächstes soll gezeigt werden, dass RGF( ) für keine Sequenz leer ist, dass also jede Sequenz irgendwie fortgesetzt werden kann. Theorem 3-2. RGF ist für keine Sequenz leer Wenn ∈ SEQ, dann ist RGF( ) ≠ ∅. Beweis: Sei ∈ SEQ. Nun gilt, dass x0 ∈ GTERM. Also ist nach Definition 3-16 ∪ {(Dom( ), Also x0 = x0 )} ∈ IEF( ). Also ist ∪ {(Dom( ), Also x0 = x0 )} ∈ RGF( ) ≠ ∅. ■ Theorem 3-3. Die Elemente von RGF( ) sind Fortsetzungen von um genau einen Satz Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann gibt es Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Ξ Γ )}. Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Dann ist ' ∈ AF( ) oder ' ∈ SEF( ) oder ' ∈ SBF( ) oder ' ∈ KEF( ) oder ' ∈ KBF( ) oder ' ∈ BEF( ) oder ' ∈ BBF( ) oder ' ∈ AEF( ) oder ' ∈ ABF( ) oder ' ∈ NEF( ) oder ' ∈ NBF( ) oder ' ∈ UEF( ) oder ' ∈ UBF( ) oder ' ∈ PEF( ) oder ' ∈ PBF( ) oder ' ∈ IEF( ) oder ' ∈ IBF( ). Sei ' ∈ AF( ). Dann gibt es gemäss Definition 3-1 Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Sei Γ )}. Dann ist 'Dom( ) = Sei Γ und damit gibt es Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Ξ Γ )}. Sei ' ∈ SEF( ) oder ' ∈ SBF( ) oder ' ∈ KEF( ) oder ' ∈ KBF( ) oder ' ∈ BEF( ) oder ' ∈ BBF( ) oder ' ∈ AEF( ) oder ' ∈ ABF( ) oder ' ∈ NEF( ) oder ' ∈ NBF( ) oder ' ∈ UEF( ) oder ' ∈ UBF( ) oder ' ∈ PEF( ) oder ' ∈ PBF( ) oder ' ∈ IEF( ) oder ' ∈ IBF( ). Dann gibt es gemäss Definition 3-2 bis Definition 3-17 jeweils Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )}. Dann ist 'Dom( ) = Also Γ und damit gibt es abermals Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Ξ Γ )}. ■ Theorem 3-4. RGF-Fortsetzungen von Sequenzen sind genau um eins mächtiger als die Ausgangssequenz Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann Dom( ') = Dom( )+1. Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Dann gibt es mit Theorem 3-3 Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Ξ Γ )} und damit Dom( ') = Dom( )+1. ■ 3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 133 Theorem 3-5. Eindeutige RGF-Vorgänger Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann ' Dom( ')-1 = . Beweis: Ergibt sich unmittelbar aus Theorem 3-3 und Theorem 3-4. ■ Definition 3-19. Die Menge der regelgemässen Sequenzen (RGS) RGS = { | ∈ SEQ und für alle j < Dom( ) gilt: j+1 ∈ RGF( j)}. Theorem 3-6. Eine Sequenz ist genau dann in RGS, wenn sie leer oder eine regelgemässe Fortsetzung von Dom( )-1 und Dom( )-1 ein RGS-Element ist ∈ RGS gdw = ∅ oder ∈ RGF( Dom( )-1) und Dom( )-1 ∈ RGS. Beweis: (L-R): Sei ∈ RGS und ≠ ∅. Dann ist zunächst ∈ SEQ\{∅}. Sodann ist Dom( )-1 ∈ SEQ. Ausserdem ist Dom( )-1 ⊆ und für alle j < Dom( ) gilt ( Dom( )-1) j = j. Wegen ∈ RGS gilt sodann für alle j < Dom( ) nach Definition 3-19 j+1 ∈ RGF( j). Damit gilt zweierlei: Zum einen ist = Dom( )-1+1 ∈ RGF( Dom( )-1). Zum anderen gilt dann für alle j < Dom( )-1 = Dom( Dom( )-1) ebenfalls ( Dom( )-1) j+1 = j+1 ∈ RGF( j) = RGF(( Dom( )-1) j). Also ist nach Definition 3-19 Dom( )-1 ∈ RGS. (R-L): Sei = ∅ oder ∈ RGF( Dom( )-1) und Dom( )-1 ∈ RGS. Wenn = ∅, dann ist ∈ SEQ und es gilt trivial, dass j+1 ∈ RGF( j) für alle j < Dom( ) und somit gilt ∈ RGS. Sei nun ≠ ∅ und ∈ RGF( Dom( )-1) und Dom( )-1 ∈ RGS. Also gilt nach Definition 3-19 Dom( )-1 ∈ SEQ und ( Dom( )-1) j+1 ∈ RGF(( Dom( )-1) j) für alle j < Dom( Dom( )-1) und darüber hinaus ∈ RGF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-1 ist dann ∈ SEQ und somit, wegen ≠ ∅, Dom( ) = Dom( )-1+1 = Dom( Dom( )-1)+1. Dann gilt für alle j < Dom( ), dass j = ( Dom( )-1) j. Damit gilt j+1 = ( Dom( )-1) j+1 ∈ RGF(( Dom( )-1) j) = RGF( j) für alle j < Dom( )-1. Wenn aber j = Dom( )-1, dann ist j+1 = Dom( )-1+1 = ∈ RGF( Dom( )-1) = RGF( j). Also gilt insgesamt für alle j < Dom( ), dass j+1 ∈ RGF( j) und damit ∈ RGS. ■ Das folgende Theorem wird in den weiteren Kapiteln häufig genutzt, ohne jedes Mal explizit angezogen zu werden: 134 3 Der Redehandlungskalkül Theorem 3-7. Die regelgemässe Fortsetzung eines RGS-Elements führt zu einem nicht-leeren RGS-Element Wenn ∈ RGS und ' ∈ AF( ) ∪ SEF( ) ∪ SBF( ) ∪ KEF( ) ∪ KBF( ) ∪ BEF( ) ∪ BBF( ) ∪ AEF( ) ∪ ABF( ) ∪ NEF( ) ∪ NBF( ) ∪ UEF( ) ∪ UBF( ) ∪ PEF( ) ∪ PBF( ) ∪ IEF( ) ∪ IBF( ), dann ist ' ∈ RGS\{∅}. Beweis: Sei ∈ RGS und ' ∈ AF( ) ∪ SEF( ) ∪ SBF( ) ∪ KEF( ) ∪ KBF( ) ∪ BEF( ) ∪ BBF( ) ∪ AEF( ) ∪ ABF( ) ∪ NEF( ) ∪ NBF( ) ∪ UEF( ) ∪ UBF( ) ∪ PEF( ) ∪ PBF( ) ∪ IEF( ) ∪ IBF( ). Dann ist nach Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Mit Theorem 3-5 gilt dann = ' Dom( ')-1. Damit gilt wegen ∈ RGS mit Theorem 3-6, dass ' ∈ RGS. Mit Theorem 3-1 ist sodann ' ≠ ∅ und damit ' ∈ RGS\{∅}. ■ Theorem 3-8. ist genau dann ein nicht-leeres RGS-Element, wenn eine nicht-leere Sequenz ist und alle nicht-leeren Anfangsabschnitte von nicht-leere RGS-Elemente sind ∈ RGS\{∅} gdw ∈ SEQ\{∅} und für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGS\{∅}. Beweis: (L-R): Sei ∈ RGS\{∅}. Dann gilt nach Definition 3-19, dass ∈ SEQ und für alle i ∈ Dom( ), dass (i+1) ∈ RGF( i). Dann ist mit der Voraussetzung ∈ SEQ\{∅}. Sei nun 0 ∈ Dom( ). Dann ist also 1 ∈ RGF( 0) = RGF(∅). Nun gilt mit Theorem 3-6 ∅ ∈ RGS und damit ergibt sich mit 1 ∈ RGF(∅) wiederum mit Theorem 3-6, dass 1 ∈ RGS und mit 0 ∈ Dom( 1) dann auch 1 ∈ RGS\{∅}. Gelte nun für i: wenn i ∈ Dom( ), dann i+1 ∈ RGS\{∅}. Sei nun i+1 ∈ Dom( ). Dann ist i ∈ Dom( ) und damit nach I.V. auch i+1 ∈ RGS\{∅}. Nun ist aber i+2 ∈ RGF( i+1). Wegen ∈ SEQ und i+1 ∈ Dom( ) ist i+1 = ( (i+2)) Dom( (i+2))-1. Mit Theorem 3-6 und Theorem 3-1 ist dann i+2 ∈ RGS\{∅}. (R-L): Gelte nun umgekehrt ∈ SEQ\{∅} und für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGS\{∅}. Dann ist mit ∈ SEQ\{∅} Dom( )-1 ∈ Dom( ) und somit Dom( )-1+1 = ∈ RGS\{∅}. ■ Unter Rückgriff auf Definition 3-19 wird nun ein Ableitungsbegriff eingeführt. Darauf aufbauend wird dann, nach einigen Theoremen und einer Beispielbetrachtung zum Ableitungskonzept, ein entsprechender Konsequenzbegriff etabliert. 3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 135 Definition 3-20. Ableitung ist eine Ableitung von Γ aus X gdw (i) ∈ RGS\{∅}, (ii) Γ = K( ) und (iii) X = VAN( ). Mit Blick auf Definition 3-19 sind jetzt genau diejenigen nicht-leeren Sequenzen Ableitungen einer Aussage aus einer Aussagenmenge, die sich sukzessiv jeweils unter Anwendung der Regeln des Redehandlungskalküls äussern lassen. Theorem 3-9. Eigenschaften von Ableitungen Wenn eine Ableitung von Γ aus X ist, dann: (i) ∈ SEQ\{∅}, (ii) Γ ∈ GFORM und (iii) X ⊆ GFORM und |X| ∈ N. Beweis: Sei eine Ableitung von Γ aus X. Dann ist ∈ RGS\{∅} und K( ) = Γ und X = VAN( ). Mit Definition 3-19 ist ∈ SEQ\{∅}. Nach Definition 1-25, Definition 1-24, Definition 1-23, Definition 1-18 und Definition 1-16 ist K( ) = Γ ∈ GFORM. Darüber hinaus ist nach Definition 1-23 und Definition 1-24 Dom( ) ∈ N. Mit Definition 2-31, Definition 2-29, Definition 2-28 und Definition 2-26 ist damit auch X = VAN( ) ⊆ GFORM und |X| = |VAN( )| ∈ N. ■ Theorem 3-10. In nicht-leeren RGS-Elementen, sind alle nicht-leeren Anfangsabschnitte Ableitungen ihrer Konklusion Wenn ∈ RGS\{∅}, dann gilt für alle i ∈ Dom( ): i+1 ist eine Ableitung von A( i) aus VAN( i+1). Beweis: Sei ∈ RGS\{∅}. Dann gilt mit Theorem 3-8 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGS\{∅}. Ferner ist für alle i ∈ Dom( ): A( i) = K( i+1) und VAN( i+1) = VAN( i+1). ■ 136 3 Der Redehandlungskalkül Theorem 3-11. Eindeutigkeitssatz für den Redehandlungskalkül13 Wenn ∈ SEQ, dann: (i) Es gibt kein Γ und kein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist, oder (ii) Es gibt genau ein Γ und genau ein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist. Beweis: Sei ∈ SEQ. Dann gibt es kein Γ und kein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist oder es gibt ein Γ und ein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist. Im ersten Fall gilt die Behauptung. Gebe es nun für den zweiten Fall ein Γ und ein X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist. Dann ist nach Definition 3-20 ∈ RGS\{∅}, Γ = K( ) und VAN( ) = X. Nun ist noch die Eindeutigkeit zu zeigen, damit die Einzigkeit folgt. Seien dazu Γ' und X' so, dass eine Ableitung von Γ' aus X' ist. Dann ist Γ' = K( ) = Γ und X' = VAN( ) = X. ■ Dieses Ergebnis sei zunächst illustriert. Sei dazu ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und sei β ∈ PAR\TT(Δ). Sei nun [3.1] die folgende Sequenz: Beispiel [3.1] 0 Sei ξ¬Δ 1 Sei ξΔ 2 Sei [β, ξ, Δ] 3 Sei ξΔ 4 Also ξΔ ∧ [β, ξ, Δ] 5 Also [β, ξ, Δ] 6 Also ¬[β, ξ, Δ] 7 Also ¬ ξΔ 8 Also ¬ ξΔ 9 Also ¬ ξΔ Kommentar: Nach Theorem 3-11 sollte sich nun eindeutig ein Γ und ein X finden lassen, so dass [3.1] eine Ableitung von Γ aus X ist. Dies ist tatsächlich der Fall, denn [3.1] ist 13 Zur Formulierung eines entsprechenden Theorems für eine Regulierung des Prädikats '.. ist eine Ableitung von .. aus ..', bei der die an dritter Stelle genannte Aussagenmenge nicht mit der Menge der in der an erster Stelle genannten Sequenz verfügbaren Annahmen identisch, sondern nur eine Obermenge derselben sein muss, siehe Fussnote 4. 3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 137 eine Ableitung von ¬ ξΔ aus { ξ¬Δ }. Dies lässt sich durch eine informelle Betrachtung nachvollziehen. Dazu sei die Sequenz zunächst mit einem Kommentar versehen, der anschliessend erläutert wird. Beispiel [3.2] verfg. 0 Sei ξ¬Δ (AR) 0 1 Sei ξΔ (AR) 0, 1 2 Sei [β, ξ, Δ] (AR) 0, 1, 2 3 Sei ξΔ (AR) 0, 1, 2, 3 4 Also ξΔ ∧ [β, ξ, Δ] (KE); 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 5 Also [β, ξ, Δ] (KB); 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 6 Also ¬[β, ξ, Δ] (UB); 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Also ¬ ξΔ (NE); 5, 6 0, 1, 2, 7 8 Also ¬ ξΔ (PB); 1, 7 0, 1, 8 9 Also ¬ ξΔ (NE); 1, 8 0, 9 Kommentar: In der zweiten Spalte von rechts sind wie üblich die Regeln (vgl. Abschnitt 3.1), nach denen der bereits geäusserte Anfangsabschnitt der Sequenz fortgesetzt werden darf, sowie die jeweiligen Prämissenzeilen vermerkt. Ganz rechts aussen stehen jeweils die Zeilennummern der Zeilen, deren Aussagen in der Beschränkung von [3.1] auf den Nachfolger der aktuellen Zeilennummer verfügbar sind. Man beachte, dass dabei die in [3.1] i (1 ≤ i ≤ 10) jeweils verfügbaren Aussagen und Annahmen eindeutig bestimmt sind. Sodann gilt, dass etwa die Folgerung in Zeile 8 nur nach PB und die Folgerung in Zeile 9 nur nach NE korrekt ist, wobei die Prämissenzeilen eindeutig bestimmt sind. In Zeile 8 ist NE deswegen ausgeschlossen, weil einerseits die in Zeile 2 angenommene Aussage in [3.1] 8 noch verfügbar ist, so dass 1 als Eröffnungsannahme für NE ausfällt, während andererseits 3 als Eröffnungsannahme für NE ausfällt, weil die dort angenommene Aussage in [3.1] 8 an dieser Stelle nicht verfügbar ist. Umgekehrt ist in 9 PB ausgeschlossen (und NE möglich), weil die Ersatzannahme in Zeile 2 in [3.1] 9 an dieser Stelle (und überhaupt) nicht mehr verfügbar ist. Überprüft man auch alle anderen Zeilen, so überzeugt man sich leicht davon, dass [3.1] ∈ RGS\{∅}. Die Menge der insgesamt in [3.1] verfügbaren Annahmen ist eindeutig bestimmt und bestimmbar, da man nach Definition 2-26, Definition 2-28, Definition 2-29 138 3 Der Redehandlungskalkül und Definition 2-31 für jede angenommene Aussage A in [3.1] feststellen kann, ob A ∈ VAN( [3.1]). Wie gewünscht zeigt sich, dass VAN( [3.1]) = { ξ¬Δ }. Unproblematisch lässt sich [3.1]Dom( [3.1])-1 = Also ¬ ξΔ ablesen, so dass sich Theorem 3-11 bestätigt. Der Kommentar dient dabei nicht zur Disambiguierung, aus welcher Aussagenmenge die Aussage in der letzten Zeile abgeleitet wurde, sondern zur leichteren Nachvollziehbarkeit. Dabei ist zu bemerken, dass der Regelkommentar für [3.1] zufälligerweise eindeutig bestimmt ist, dass sich für andere Sequenzen jedoch unter Umständen verschiedene Regelkommentare angeben lassen: Unter Umständen kann nämlich ein Übergang durchaus nach verschiedenen Regeln, etwa UB und PB, korrekt sein. Es ist jedoch ausgeschlossen, dass die Möglichkeit alternativer Regelkommentare Auswirkungen auf die Eindeutigkeit des Verfügbarkeitskommentars hat. Die Feststellung der verfügbaren Aussagen bzw. Zeilen erfolgt nämlich nicht über den Regelkommentar, sondern nach der Definition der Verfügbarkeit und damit letztendlich nach der Definition der geschlossenen Abschnitte. Die gesonderte Definition der Verfügbarkeit schliesst es nun aus, dass sich bei einem Übergang, der nach mehreren Regeln korrekt ist, je nach unterstellter Regelanwendung unterschiedliche Verfügbarkeiten ergeben. Damit bleibt immer eindeutig bestimmt und bestimmbar, ob es sich bei einer gegebenen Sequenz um die Ableitung einer bestimmten Aussage aus einer bestimmten Aussagenmenge handelt. Geschlossene Abschnitte entstehen dann und nur dann, wenn sich SE, NE oder PB anwenden lassen (vgl. Theorem 3-23 und Theorem 3-24). Ist ein Übergang also etwa nach UB und PB korrekt, dann verändern sich die Verfügbarkeiten wie beim Übergang nach PB. Damit ist man als Benutzer des Redehandlungskalküls beim Vollzug von bestimmten Folgerungen eingeschränkt: Es steht einem etwa nicht offen, eine annahmeeliminierende Folgerung nach PB als nicht annahmeeliminierende Folgerung nach UB zu vollziehen. Man mag dies als Nachteil für die Handlichkeit im Gebrauch empfinden, allerdings geht dieser Nachteil, so es denn einer ist, mit dem Vorteil einher, dass sich für jede Äusserung einer Sequenz durch einen Autor eindeutig feststellen lässt, ob damit eine Ableitung einer bestimmten Aussage aus einer bestimmten Aussagenmenge geäussert wurde: Die Möglichkeit, die teilweise in anderen Kalkülen besteht, die Äusserung ein und derselben Sequenz unterschiedlich zu beschreiben und damit etwa die Äusserung einer Sequenz einmal als Äusserung einer Ableitung von Γ aus X und einmal als Äusserung einer Se3.2 Ableitungsbegriff und deduktive Konsequenzschaft 139 quenz, die keine Ableitung von Γ aus X ist, zu beschreiben, ist im Rahmen des Redehandlungskalküls nicht vorgesehen. Beim Ableiten im Redehandlungskalkül ist man weder auf graphische Mittel zur Markierung von Unterableitungen noch auf metasprachliche Kommentare in der Form von Regeloder Abhängigkeitsanzeigern angewiesen: Im Rahmen des Redehandlungskalküls sind Äusserungen von Satzsequenzen nicht deutungsbedürftig. Nun folgt die Einführung eines deduktiven Konsequenzbegriffs und einiger handelsüblicher metalogischer Begrifflichkeiten. In Kap. 4 werden dann einige Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft, wie etwa Reflexivität, Transitivität und Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung gezeigt. Daraufhin wird dann in Kap. 6 ein Adäquatheitsbeweis des Kalküls bezüglich der modelltheoretischen Konsequenzschaft vorgelegt. Diese selbst wird in Kap. 5 zur Verfügung gestellt. Nun zur Definition der Konsequenzschaft: Definition 3-21. Deduktive Konsequenzschaft X Γ gdw X ⊆ GFORM und es gibt ein , so dass (i) eine Ableitung von Γ aus VAN( ) ist und (ii) VAN( ) ⊆ X. Mit Theorem 3-9-(iii) gilt dann also wie üblich, dass für X ⊆ GFORM: X Γ genau dann, wenn es endliches Y ⊆ X gibt, so dass Y Γ. Daraus ergibt sich dann mit Definition 3-23, dass X genau dann konsistent ist, wenn alle endlichen Y ⊆ X konsistent sind, und mit Definition 3-24, dass X ⊆ GFORM genau dann inkonsistent ist, wenn es endliches Y ⊆ X gibt, so dass Y inkonsistent ist. Das folgende Theorem ist unter Definition 3-20 äquivalent zu Definition 3-21: Theorem 3-12. Γ ist genau dann deduktive Konsequenz aus einer Aussagenmenge X, wenn es ein nicht-leeres aus RGS gibt, so dass Γ die Konklusion von und VAN( ) ⊆ X ist X Γ gdw X ⊆ GFORM und es gibt ∈ RGS\{∅}, so dass Γ = K( ) und VAN( ) ⊆ X. Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 3-20 und Definition 3-21. ■ 140 3 Der Redehandlungskalkül Definition 3-22. Logische Beweisbarkeit Γ gdw ∅ Γ. Definition 3-23. Konsistenz X ist konsistent gdw X ⊆ GFORM und es gibt kein Γ ∈ GFORM, so dass X Γ und X ¬Γ . Definition 3-24. Inkonsistenz X ist inkonsistent gdw X ⊆ GFORM und es gibt ein Γ ∈ GFORM, so dass X Γ und X ¬Γ . Theorem 3-13. Aussagenmengen sind genau dann inkonsistent, wenn sie nicht konsistent sind Wenn X ⊆ GFORM, dann: X ist inkonsistent gdw X ist nicht konsistent. Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 3-23 und Definition 3-24. ■ Definition 3-25. Deduktive Konsequenz für Mengen X M Y gdw X ∪ Y ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ Y gilt: X Δ. Definition 3-26. Logische Beweisbarkeit für Mengen M X gdw ∅ M X. Definition 3-27. Der Abschluss einer Aussagenmenge unter deduktiver Konsequenz X = {Δ | Δ ∈ GFORM und X Δ}. Bevor in Kap. 4 und 6 die üblichen Eigenschaften für den hier etablierten deduktiven Konsequenzbegriff bewiesen werden, folgt nun mit Kap. 3.3 zunächst noch ein Abschnitt zur Funktionsweise des Kalküls. 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 141 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen Nun werden Theoreme zu den einzelnen Regeln (vgl. Kap. 3.1) beziehungsweise Operationen (vgl. Kap. 3.2) etabliert, die gewissermassen die Arbeitsweise des Redehandlungskalküls beschreiben. Genauer werden Theoreme bewiesen, die die Zusammenhänge zwischen der Änderung der Verfügbarkeiten (VERS, VANS, VER, VAN) beim regelgemässen Fortsetzen eine Sequenz zu einer Sequenz ' einerseits und der dabei verwendeten Regel oder Operation andererseits darstellen. Gleichzeitig bilden diese Theoreme die Basis für die in den folgenden Kapiteln bewiesenen Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft (Kap. 4) und zum Nachweis der Korrektheit und der Vollständigkeit des Redehandlungskalküls (Kap. 6). Am Abschluss des Kapitels bietet Theorem 3-30 einen Überblick über die Gestalt von und die Verfügbarkeitsverhältnisse in Ableitungen im Redehandlungskalkül. Theorem 3-14. VERS, VANS, VER und VAN in RGF Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (iii) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')} und (iv) VAN( ') ⊆ VAN( ) ∪ {K( ')}. Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Dann gibt es mit Theorem 3-3 Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Ξ Γ )} = {(0, Ξ Γ )} und die Behauptung folgt mit Theorem 2-79. ■ Theorem 3-15. VERS, VANS, VER und VAN bei AR Wenn ∈ SEQ und ' ∈ AF( ), dann: (i) VERS( ')\VERS( ) = {(Dom( ), 'Dom( ))}, (ii) VERS( ') = VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (iii) VANS( ')\VANS( ) = {(Dom( ), 'Dom( ))}, (iv) VANS( ') = VANS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (v) VER( ')\VER( ) ⊆ {K( ')}, (vi) VER( ') = VER( ) ∪ {K( ')}, 142 3 Der Redehandlungskalkül (vii) VAN( ')\VAN( ) ⊆ {K( ')} und (viii) VAN( ') = VAN( ) ∪ {K( ')}. Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ AF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-1, dass es Γ ∈ GFORM gibt, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Sei Γ )}. Damit gilt dann auch ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Zu (i): Sei (i, 'i) ∈ VERS( ')\VERS( ). Dann folgt mit Theorem 3-14-(i): (i, 'i) ∈ {(Dom( ), 'Dom( ))}. Sodann gilt mit Theorem 2-82: (Dom( ), 'Dom( )) ∈ VERS( ') und es gilt (Dom( ), 'Dom( )) ∉ VERS( ) ⊆ . Also (Dom( ), 'Dom( )) ∈ VERS( ')\VERS( ). Zu (ii): Mit Theorem 3-14-(i) gilt: VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}. Sodann gilt, dass (Dom( ), 'Dom( )) = (Dom( ), Sei Γ ) ∈ ANS( '). Damit gilt mit Theorem 2-30, dass es keinen SEoder NEoder EA-artigen und damit auch keinen geschlossenen Abschnitt in ' gibt, so dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 = Dom( ')-2 und max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1. Dann gilt mit Theorem 2-84 VERS( )\VERS( ') = ∅ und damit VERS( ) ⊆ VERS( '). Mit (i) gilt (Dom( ), 'Dom( )) ∈ VERS( ') und mithin VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))} ⊆ VERS( '). Zu (iii): Sei (i, 'i) ∈ VANS( ')\VANS( ). Dann folgt mit Theorem 3-14-(ii): (i, 'i) ∈ {(Dom( ), 'Dom( ))}. Sodann gilt mit (i): (Dom( ), 'Dom( )) ∈ VERS( ') und es gilt sodann (Dom( ), 'Dom( )) = (Dom( ), Sei Γ ) ∈ ANS( ') und damit (Dom( ), 'Dom( )) ∈ VANS( ') und (Dom( ), 'Dom( )) ∉ VANS( ) ⊆ . Zu (iv): Mit (iii) gilt, dass (Dom( ), 'Dom( )) ∈ VANS( ') = VERS( ') ∩ ANS( '). Damit gilt mit (ii): VANS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))} = (VERS( ) ∩ ANS( )) ∪ ({(Dom( ), 'Dom( ))} ∩ ANS( ')) = (VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}) ∩ ANS( ') = VERS( ') ∩ ANS( ') = VANS( '). Zu (v), (vi), (vii), (viii): (v) ergibt sich mit Theorem 3-14-(iii) und (vii) ergibt sich mit Theorem 3-14-(iv). (vi) ergibt sich mit Definition 2-30 und (ii). (viii) ergibt sich mit Definition 2-31 und (iv). ■ 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 143 Theorem 3-16. VANS-Vermehrung nur bei AR Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann: (i) Wenn VANS( ) ⊂ VANS( '), dann ' ∈ AF( ), und (ii) Wenn VAN( ) ⊂ VAN( '), dann ' ∈ AF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Zu (i): Sei VANS( ) ⊂ VANS( '). Dann gibt es (i, 'i) ∈ VANS( ')\VANS( ). Dann ist (i, 'i) ∈ ANS( '). Sodann gilt mit Theorem 3-14-(ii): (i, 'i) = (Dom( ), 'Dom( )) und somit (Dom( ), 'Dom( )) ∈ ANS( '). Dann ist mit Definition 3-1 ' ∈ AF( ). Zu (ii): Sei VAN( ) ⊂ VAN( '). Dann ist mit Theorem 2-75 VANS( ') VANS( ) und somit gibt es (i, 'i) ∈ VANS( ')\VANS( ). Damit ergibt sich die Behauptung wie zu (i). ■ Theorem 3-17. VERS, VANS, VER und VAN bei Übergängen ohne AR Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( )\AF( ), dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ), (iii) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')} und (iv) VAN( ') ⊆ VAN( ). Beweis: Sei ' ∈ RGF( )\AF( ). (i) und (iii) folgen mit Theorem 3-14-(i) und -(iii). Zu (ii): Mit ' ∈ RGF( )\AF( ) und Definition 3-1 bis Definition 3-18 gilt, dass (Dom( ), 'Dom( )) = (Dom( ), Also A( 'Dom( )) ) ∉ ANS( ') und somit (Dom( ), 'Dom( )) ∉ VANS( '). Damit ist mit Theorem 3-14-(ii) VANS( ') ⊆ VANS( ). Zu (iv): (iv) ergibt sich mit Theorem 2-75 aus (ii). ■ Theorem 3-18. Nicht-leeres VANS ist hinreichend für SE Wenn ∈ SEQ und VANS( ) ≠ ∅, dann ist ∪ {(Dom( ), Also A( max(Dom(VANS( )))) → K( ) )} ∈ SEF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und VANS( ) ≠ ∅. Dann ist (max(Dom(VANS( ))), max(Dom(VANS( )))) ∈ VANS( ) und es ist A( Dom( )-1) = K( ) und es gibt kein l mit max(Dom(VANS( ))) < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, l) ∈ VANS( ). Damit ist mit Definition 3-2 ∪ {(Dom( ), Also A( max(Dom(VANS( )))) → K( ) )} ∈ SEF( ). ■ 144 3 Der Redehandlungskalkül Theorem 3-19. VERS, VANS, VER und VAN bei SE Wenn ∈ SEQ und ' ∈ SEF( ), dann: (i) {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ist ein SE-geschlossener Abschnitt in ', (ii) VERS( )\VERS( ') ⊆ {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (iii) VERS( ') = (VERS( )\{(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (iv) VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}, (v) VANS( ) = VANS( ') ∪ {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}, (vi) VER( )\VER( ') ⊆ {A( 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (vii) VER( ) ⊆ {A( 'j) | j ∈ Dom(VERS( ') Dom( ))} ∪ {A( 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (viii) VAN( )\VAN( ') ⊆ {A( 'max(Dom(VANS( ))))}, (ix) VAN( ) = VAN( ') ∪ {A( 'max(Dom(VANS( ))))} und (x) K( ') = A( 'max(Dom(VANS( )))) → K( ) . Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ SEF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-2: Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass A( i) = Δ und (i, i) ∈ VANS( ) und A( Dom( )-1) = Γ und es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (l, l) ∈ VANS( ) und ' = ∪ {(Dom( ), Also Δ → Γ )} und somit ' ∈ SEQ und ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Sodann ist = {(j, 'j) | i ≤ j ≤ Dom( )} ein Abschnitt in ' und A( 'i) = Δ und (i, 'i) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( 'Dom( )-1) = Γ und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, 'l) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( 'Dom( )) = Δ → Γ . Damit gilt mit Theorem 2-91, dass ein SE-geschlossener und damit auch ein geschlossener Abschnitt in ' ist. Da sodann max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1, ergibt sich mit Theorem 2-86, dass VANS( ' Dom( ')-1)\VANS( ') = {(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))), 'max(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))))}. Da = ' Dom( ')-1 folgt daraus: VANS( )\VANS( ') = {(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}. Damit ist i = min(Dom( )) = max(Dom(VANS( ))) und es gilt: = {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )}. Damit gilt dann (i). Ausserdem gilt dann A( 'max(Dom(VANS( )))) = A( i) = Δ und da K( ) = Γ und K( ') = Δ → Γ gilt dann (x). Sodann ergibt sich mit VANS( )\VANS( ') ≠ ∅ und Theorem 2-73 auch VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Damit und mit = ' Dom( ')-1 und = {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ergeben sich dann mit Theorem 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 145 2-83-(iv) bis -(xi) und mit der eindeutigen Bestimmtheit geschlossener Abschnitte mit demselben Endglied (Theorem 2-53) die restlichen Klauseln ((ii) bis (ix)). ■ Theorem 3-20. VERS, VANS, VER und VAN bei NE Wenn ∈ SEQ und ' ∈ NEF( ), dann: (i) {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ist ein NE-geschlossener Abschnitt in ', (ii) VERS( )\VERS( ') ⊆ {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (iii) VERS( ') = (VERS( )\{(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (iv) VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}, (v) VANS( ) = VANS( ') ∪ {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}, (vi) VER( )\VER( ') ⊆ {A( 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (vii) VER( ) ⊆ {A( 'j) | j ∈ Dom(VERS( ') Dom( ))} ∪ {A( 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (viii) VAN( )\VAN( ') ⊆ {A( 'max(Dom(VANS( ))))}, (ix) VAN( ) = VAN( ') ∪ {A( 'max(Dom(VANS( ))))} und (x) K( ') = ¬A( 'max(Dom(VANS( )))) . Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ NEF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-10: Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i, j ∈ Dom( ), so dass i ≤ j, A( i) = Δ und (i, i) ∈ VANS( ), A( j) = Γ und A( Dom( )-1) = ¬Γ oder A( j) = ¬Γ und A( Dom( )-1) = Γ und (j, j) ∈ VERS( ) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, l) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also ¬Δ )} und somit ' ∈ SEQ und ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Sodann ist = {(j, 'j) | i ≤ j ≤ Dom( )} ein Abschnitt in ' und A( 'i) = Δ und (i, 'i) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( 'j) = Γ und A( 'Dom( )-1) = ¬Γ oder A( 'j) = ¬Γ und A( 'Dom( )-1) = Γ und (j, 'j) ∈ VERS( ' Dom( )) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-1, so dass (l, 'l) ∈ VANS( ' Dom( )) und A( 'Dom( )) = ¬Δ . Damit gilt mit Theorem 2-92, dass ein NE-geschlossener und damit auch ein geschlossener Abschnitt in ' ist. Da sodann max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1, ergibt sich mit Theorem 2-86, dass VANS( ' Dom( ')-1)\VANS( ') = {(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))), 'max(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))))}. Da = ' Dom( ')-1 folgt daraus: VANS( )\VANS( ') = {(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}. Damit ist i = min(Dom( )) = 146 3 Der Redehandlungskalkül max(Dom(VANS( ))) und es gilt: = {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )}. Damit gilt dann (i). Ausserdem gilt dann A( 'max(Dom(VANS( )))) = A( i) = Δ und da K( ') = ¬Δ gilt dann (x). Sodann ergibt sich mit VANS( )\VANS( ') ≠ ∅ und Theorem 2-73 auch VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Damit und mit = ' Dom( ')-1 und = {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ergeben sich dann mit Theorem 2-83-(iv) bis -(xi) und mit der eindeutigen Bestimmtheit geschlossener Abschnitte mit demselben Endglied (Theorem 2-53) die restlichen Klauseln ((ii) bis (ix)). ■ Theorem 3-21. VERS, VANS, VER und VAN bei PB Wenn ∈ SEQ und ' ∈ PBF( ), dann: (i) {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ', (ii) VERS( )\VERS( ') ⊆ {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (iii) VERS( ') = (VERS( )\{(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (iv) VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}, (v) VANS( ) = VANS( ') ∪ {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}, (vi) VER( )\VER( ') ⊆ {A( 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (vii) VER( ) ⊆ {A( 'j) | j ∈ Dom(VERS( ') Dom( ))} ∪ {A( 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j < Dom( )}, (viii) VAN( )\VAN( ') ⊆ {A( 'max(Dom(VANS( ))))}, (ix) VAN( ) = VAN( ') ∪ {A( 'max(Dom(VANS( ))))} und (x) K( ') = K( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ PBF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-15: Es gibt β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom( ), so dass A( i) = ξΔ und (i, i) ∈ VERS( ), A( i+1) = [β, ξ, Δ] und (i+1, i+1) ∈ VANS( ), und A( Dom( )-1) = Γ, wobei β ∉ TTFM({Δ, Γ}), und es kein j ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( j), und es kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (m, m) ∈ VANS( ), und ' = ∪ {(Dom( ), Also Γ )} und somit ' ∈ SEQ und ' Dom( ')-1 = ' Dom( ) = . Sodann ist = {(j, 'j) | i+1 ≤ j ≤ Dom( )} ein Abschnitt in ' und β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und A( 'i) = ξΔ und (i, 'i) ∈ VERS( ' Dom( )), A( 'i+1) = [β, ξ, Δ] und (i+1, 'i+1) ∈ VANS( ' Dom( )-1), und A( 'Dom( )-1) = Γ, wobei β ∉ TTFM({Δ, Γ}), und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( 'j), und es gibt kein m mit i+1 < m ≤ Dom( )-1, so dass (m, 'm) ∈ VANS( ' Dom( )), und 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 147 A( 'Dom( )) = Γ. Damit gilt mit Theorem 2-93, dass ein PB-geschlossener und damit auch ein geschlossener Abschnitt in ' ist. Da sodann max(Dom( )) = Dom( ) = Dom( ')-1, ergibt sich mit Theorem 2-86, dass VANS( ' Dom( ')-1)\VANS( ') = {(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))), 'max(Dom(VANS( ' Dom( ')-1))))}. Da = ' Dom( ')-1 folgt daraus: VANS( )\VANS( ') = {(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}. Damit ist i = min(Dom( )) = max(Dom(VANS( ))) und es gilt: = {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )}. Damit gilt dann (i). Ausserdem gilt dann K( ) = A( 'Dom( )-1) = Γ = K( ') und somit gilt (x). Sodann ergibt sich mit VANS( )\VANS( ') ≠ ∅ und Theorem 2-73 auch VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Damit und mit = ' Dom( ')-1 und = {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ergeben sich dann mit Theorem 2-83-(iv) bis -(xi) und mit der eindeutigen Bestimmtheit geschlossener Abschnitte mit demselben Endglied (Theorem 2-53) die restlichen Klauseln ((ii) bis (ix)). ■ Theorem 3-22. Ist die zuletzt angenommene Aussage nur einmal als Annahme verfügbar, dann wird sie bei SE, NE und PB eliminiert Wenn ∈ SEQ, Δ ∈ GFORM und für alle i ∈ Dom(VANS( )) gilt: Wenn A( i) = Δ, dann i = max(Dom(VANS( ))), dann gilt für alle ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ): VAN( ') ⊆ VAN( )\{Δ}. Beweis: Sei ∈ SEQ, Δ ∈ GFORM und gelte für alle i ∈ Dom(VANS( )): Wenn A( i) = Δ, dann i = max(Dom(VANS( ))). Sei nun ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Dann gilt mit Theorem 3-19-(iv), -(v), Theorem 3-20-(iv), -(v) und Theorem 3-21-(iv), -(v), dass VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))} und VANS( ') ⊆ VANS( ). Mit Theorem 2-75 gilt VAN( ') ⊆ VAN( ). Damit gilt: Δ ∉ VAN( '). Wäre nämlich Δ ∈ VAN( '). Dann gäbe es nach Definition 2-31 i ∈ Dom(VANS( ')), so dass Δ = A( 'i). Dann gilt mit VANS( ') ⊆ VANS( ), dass i ∈ Dom(VANS( )) und es ist Δ = A( i). Da nun nach Annahme für alle i ∈ Dom(VANS( )) gilt: Wenn A( i) = Δ, dann i = max(Dom(VANS( ))) wäre damit max(Dom(VANS( ))) = i ∈ Dom(VANS( ')). Mit VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))} gilt nun jedoch max(Dom(VANS( ))) ∉ Dom(VANS( ')). Widerspruch! Also ist Δ ∉ VAN( ') und damit VAN( ') ⊆ VAN( )\{Δ}. ■ 148 3 Der Redehandlungskalkül Theorem 3-23. VANS-Verringerung bei und nur bei SE, NE und PB Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann: VANS( ') ⊂ VANS( ) gdw VANS( )\VANS( ') = {(max(Dom(VANS( ))), max(Dom(VANS( ))))} und ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Die Rechts-Links-Richtung ergibt sich mit den Klauseln (iv) und (v) von Theorem 3-19, Theorem 3-20 und Theorem 3-21. Sei nun für die Links-Rechts-Richtung VANS( ') ⊂ VANS( ). Zunächst ist mit ' ∈ RGF( ) und mit Theorem 3-1 ' ∈ SEQ. Mit Theorem 3-5 ist dann ' Dom( ')-1 = und damit Dom( ) = Dom( ')-1. Damit gilt wegen VANS( ') ⊂ VANS( ) mit Theorem 2-85, dass es einen geschlossenen Abschnitt in ' gibt, so dass min(Dom( )) ≤ Dom( ')-2 = Dom( )-1 und max(Dom( )) = Dom( ')-1 = Dom( ) und VANS( )\VANS( ') = {(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} = {(max(Dom(VANS( ))), 'max(Dom(VANS( ))))}. Zu zeigen ist nun noch, dass ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Nun gilt: VANS( ' max(Dom( ))) = VANS( ' Dom( )) = VANS( ). Ferner gilt mit Theorem 2-61, dass ein SEoder NEoder PB-geschlossener Abschnitt in ' ist. Sei nun ein SE-geschlossener Abschnitt in '. Dann gilt mit Theorem 2-91: a) (min(Dom( )), 'min(Dom( ))) = (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VANS( ), b) A( 'Dom( )-1) = A( Dom( )-1) = K( ), c) Es gibt kein r mit min(Dom( )) < r ≤ Dom( )-1, so dass (r, 'r) = (r, r) ∈ VANS( ), und d) 'Dom( ) = Also A( min(Dom( ))) → K( ) . Damit ist nach Definition 3-2 ' ∈ SEF( ). Sei nun ein NE-geschlossener Abschnitt in '. Dann gilt mit Theorem 2-92, dass es ein i ∈ Dom( ') und Γ ∈ GFORM gibt, so dass: a) min(Dom( )) ≤ i < Dom( ), b) (min(Dom( )), 'min(Dom( ))) = (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VANS( ), c) A( 'i) = A( i) = Γ und A( 'Dom( )-1) = A( Dom( )-1) = ¬Γ oder A( 'i) = A( i) = ¬Γ und A( 'Dom( )-1) = A( Dom( )-1) = Γ, d) (i, i) ∈ VERS( ), 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 149 e) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (r, 'r) = (r, r) ∈ VANS( ), und f) 'Dom( ) = Also ¬A( 'min(Dom( ))) = Also ¬A( min(Dom( ))) . Dann ist nach Definition 3-10 ' ∈ NEF( ). Sei nun ein PB-geschlossener Abschnitt in '. Dann gilt mit Theorem 2-93, dass es ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM und ∈ ABS( ') gibt, so dass: a) A( 'min(Dom( ))) = ξΔ und (min(Dom( )), 'min(Dom( ))) ∈ VERS( ), b) A( 'min(Dom( ))+1) = [β, ξ, Δ] und (min(Dom( ))+1, 'min(Dom( ))+1) ∈ VANS( ), c) A( 'max(Dom( ))-1) = Γ, d) 'max(Dom( )) = Also Γ , e) β ∉ TTFM({Δ, Γ}), f) Es kein j ≤ min(Dom( )) gibt, so dass β ∈ TT( 'j), g) = \{(min(Dom( )), 'min(Dom( )))} und h) Es kein r mit min(Dom( )) < r ≤ Dom( )-1 gibt, so dass (r, 'r) ∈ VANS( ). Dann gilt mit g): min(Dom( )) = min(Dom( ))+1 und Dom( ) = max(Dom( )) = max(Dom( )). Damit gilt dann min(Dom( )) < min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 und also insgesamt min(Dom( )), min(Dom( ))+1 ∈ Dom( ) und max(Dom( ))-1 = Dom( )-1. Damit gilt dann: a') A( min(Dom( ))) = ξΔ und (min(Dom( )), min(Dom( ))) ∈ VERS( ), b') A( min(Dom( ))+1) = [β, ξ, Δ] und (min(Dom( ))+1, min(Dom( ))+1) ∈ VANS( ), c') A( Dom( )-1) = Γ, d') 'Dom( ) = Also Γ , e') β ∉ TTFM({Δ, Γ}), f') Es gibt kein j ≤ min(Dom( )), so dass β ∈ TT( j), h') Es gibt kein r mit min(Dom( ))+1 < r ≤ Dom( )-1, so dass (r, r) ∈ VANS( ). Dann ist nach Definition 3-15 ' ∈ PBF( ). Also ist in allen drei Fällen ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). ■ 150 3 Der Redehandlungskalkül Theorem 3-24. VERS-Verringerung bei und nur bei SE, NE und PB Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ), dann: VERS( ) VERS( ') gdw {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ist ein SEoder NEoder PB-geschlossener Abschnitt in ' und '∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ RGF( ). Die Rechts-Links-Richtung ergibt sich mit den Klausel (iv) von Theorem 3-19, Theorem 3-20 und Theorem 3-21 sowie Theorem 2-72. Sei nun für die Links-Rechts-Richtung VERS( ) VERS( '). Dann ist VERS( )\VERS( ') ≠ ∅. Sodann ist mit ' ∈ RGF( ) und Theorem 3-1 ' ∈ SEQ. und mit Theorem 3-5 ist ' Dom( ')-1 = . Mit Theorem 2-83-(vi) und -(vii) gilt dann VANS( ') ⊂ VANS( ). Mit Theorem 3-23 gilt: '∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Damit ergibt sich mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i) und Theorem 3-21-(i), dass {(j, 'j) | max(Dom(VANS( ))) ≤ j ≤ Dom( )} ein SEoder NEoder PB-geschlossener Abschnitt in ' ist. ■ Theorem 3-25. VERS unter Ausschluss von SE, NE und PB Wenn ∈ SEQ und ' ∈ RGF( )\(SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( )), dann: VERS( ') = VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}. Beweis: Seien ∈ SEQ und ' ∈ RGF( )\(SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( )). Wegen Theorem 3-14-(i) ist VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}. Mit Theorem 2-82 ist K( ') = A( 'Dom( ')-1) in ' bei Dom( ')-1 verfügbar. Mit Theorem 3-4 ist Dom( ')-1 = Dom( ). Also (Dom( ), 'Dom( )) ∈ VERS( '). Wäre VERS( ) VERS( '), so wäre mit Theorem 3-24 entgegen der Voraussetzung ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Also VERS( ) ⊆ VERS( '). Also gilt auch VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))} ⊆ VERS( '). ■ Theorem 3-26. VERS, VANS, VER und VAN bei KE, BE, AE, UE, PE, IE Wenn ∈ SEQ und ' ∈ KEF( ) ∪ BEF( )∪ AEF( ) ∪ UEF( ) ∪ PEF( )∪ IEF( ), dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ), (iii) Wenn VANS( ') ⊂ VANS( ), dann ist ' ∈ PBF( ), (iv) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')}, 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 151 (v) VAN( ') ⊆ VAN( ) und (vi) Wenn VAN( ') ⊂ VAN( ), dann ist ' ∈ PBF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ KEF( ) ∪ BEF( )∪ AEF( ) ∪ UEF( ) ∪ PEF( )∪ IEF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-4, Definition 3-6, Definition 3-8, Definition 3-12, Definition 3-14 und Definition 3-16: Es gibt Α, Β ∈ GFORM und θ ∈ GTERM und β ∈ PAR und ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass ' = ∪ {(Dom( ), Also Α ∧ Β )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also Α ↔ Β )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also Α ∨ Β )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ )} oder ' = ∪ {(Dom( ), Also θ = θ )}. Dann ist mit eindeutiger Lesbarkeit (Theorem 1-10, Theorem 1-11 und Theorem 1-12) (Dom( ), 'Dom( )) ∉ ANS( ') und damit nach Definition 3-1 ' ∉ AF( ). Dann ergeben sich (i), (ii), (iv) und (v) mit Theorem 3-17-(i), -(ii), -(iii) and -(iv). Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(x), Theorem 3-20-(x) und eindeutiger Lesbarkeit, dass ' ∉ SEF( ) ∪ NEF( ). Damit gilt mit Theorem 3-23: Wenn VANS( ') ⊂ VANS( ), dann ' ∈ PBF( ) und somit (iii). Sei nun für (vi): VAN( ') ⊂ VAN( ). Dann gilt VAN( ) VAN( ') und damit mit Theorem 2-75 VANS( ) VANS( '). Damit gilt mit (ii): VANS( ') ⊂ VANS( ) und damit mit (iii), dass ' ∈ PBF( ). ■ Theorem 3-27. VERS, VANS, VER und VAN bei SB, KB, BB, AB, NB, UB, IB Wenn ∈ SEQ und ' ∈ SBF( ) ∪ KBF( ) ∪ BBF( )∪ ABF( )∪ NBF( )∪ UBF( ) ∪ IBF( ), dann: (i) VERS( ') ⊆ VERS( ) ∪ {(Dom( ), 'Dom( ))}, (ii) VANS( ') ⊆ VANS( ), (iii) Wenn VANS( ') ⊂ VANS( ), dann ist ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ), (iv) VER( ') ⊆ VER( ) ∪ {K( ')}, (v) VAN( ') ⊆ VAN( ) und (vi) Wenn VAN( ') ⊂ VAN( ), dann ist ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). Beweis: Sei ∈ SEQ und ' ∈ SBF( ) ∪ KBF( ) ∪ BBF( )∪ ABF( )∪ NBF( )∪ UBF( ) ∪ IBF( ). Dann gilt mit Definition 3-18 ' ∈ RGF( ). Sodann gilt mit Definition 3-3, Definition 3-5, Definition 3-7, Definition 3-9, Definition 3-11, Definition 3-13 und Definition 3-17: ' = ∪ {(Dom( ), Also A( 'Dom( )) )}. Dann ist (Dom( ), 'Dom( )) ∉ ANS( ') und damit ' ∉ AF( ). Dann ergeben sich (i), (ii), (iv) und (v) mit Theorem 3-17-(i), -(ii), -(iii) and -(iv). Sodann ergibt sich (iii) mit Theorem 3-23. Sei nun 152 3 Der Redehandlungskalkül für (vi) VAN( ') ⊂ VAN( ). Dann gilt VAN( ) VAN( ') und damit mit Theorem 2-75 VANS( ) VANS( '). Damit gilt mit (ii): VANS( ') ⊂ VANS( ) und damit mit (iii), dass ' ∈ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ). ■ Theorem 3-28. Ohne AR, SE, NE oder PB gibt es keine VAN-Veränderung Wenn ∈ RGS und ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1), dann VAN( ) = VAN( Dom( )-1). Beweis: Sei ∈ RGS und ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Dann ist = ∅ oder ≠ ∅. Im ersten Fall ist Dom( )-1 ⊆ = ∅ und das Theorem gilt. Sei nun ≠ ∅. Nach Theorem 3-6 und Definition 3-18 gilt dann erstens ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder zweitens ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1). In den ersten sechs Fällen folgt VAN( ) = VAN( Dom( )-1) aus Theorem 3-26-(v) und -(vi). In den restlichen Fällen folgt VAN( ) = VAN( Dom( )-1) aus Theorem 3-27-(v) und -(vi). ■ Theorem 3-29. VERS, VANS, VER und VAN bleiben aus Beschränkungen, deren Konklusion verfügbar bleibt, in der unbeschränkten Sequenz erhalten. Wenn ∈ RGS und Γ in bei i verfügbar ist, dann: (i) VERS( i+1) ⊆ VERS( ), (ii) VANS( i+1) ⊆ VANS( ), (iii) VER( i+1) ⊆ VER( ) und (iv) VAN( i+1) ⊆ VAN( ). Beweis: Sei ∈ RGS und Γ in bei i verfügbar. Dann gilt nach Definition 2-26: i ∈ Dom( ) und Γ = A( i) und es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Zu (i): Sei zum Nachweis von VERS( i+1) ⊆ VERS( ) (j, Σ) ∈ VERS( i+1). Also mit Definition 2-28: j ∈ Dom( i+1) und ( i+1)j = Σ und Α(Σ) ist in i+1 bei j verfügbar. Damit gibt es nach Definition 2-26 keinen geschlossenen Abschnitt in i+1, so dass min(Dom( )) ≤ j < max(Dom( )). Wäre nun (j, Σ) ∉ VERS( ), dann wäre j ∉ 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 153 Dom( ) oder j ≠ Σ oder Α(Σ) ist in bei j nicht verfügbar. Da i+1 eine Beschränkung von ist und j ∈ Dom( i+1), kann nur letzteres zutreffen. Es gilt also j ∈ Dom( ) und j = Σ und Α(Σ) ist in bei j nicht verfügbar. Damit gibt es nach Definition 2-26 einen geschlossenen Abschnitt in , so dass min(Dom( )) ≤ j < max(Dom( )). Nach Theorem 2-64-(viii) ist auch ein geschlossener Abschnitt in max(Dom( ))+1. Wäre nun i < max(Dom( )), so wäre wegen j ∈ Dom( i+1) und damit j ≤ i auch min(Dom( )) ≤ i < max(Dom( )). Damit wäre entgegen der Annahme A( i) = Γ nicht in bei i verfügbar. Also max(Dom( )) ≤ i und damit max(Dom( ))+1 ≤ i+1. Also max(Dom( ))+1 ⊆ i+1. Mit Theorem 2-62-(viii) ist dann auch ein geschlossener Abschnitt in i+1. Also gibt es einen geschlossenen Abschnitt in i+1, so dass min(Dom( )) ≤ j < max(Dom( )). Widerspruch! Also (j, Σ) ∈ VERS( ). Zu (ii), (iii) und (iv): Mit Theorem 2-72 ergibt sich (ii) aus (i). Mit Theorem 2-74 ergibt sich (iii) aus (i). Mit Theorem 2-75 ergibt sich (iv) aus (ii). ■ Theorem 3-30. VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen Wenn ∈ SEQ, dann: ∈ RGS gdw Für alle i ∈ Dom( ): (i) i+1 ∈ AF( i) und a) VERS( i+1)\VERS( i) = {(i, i)}, b) VERS( i+1) = VERS( i) ∪ {(i, i)}, c) VANS( i+1)\VANS( i) = {(i, i)}, d) VANS( i+1) = VANS( i) ∪ {(i, i)}, e) VER( i+1)\VER( i) ⊆ {A( i)}, f) VER( i+1) = VER( i) ∪ {A( i)}, g) VAN( i+1)\VAN( i) ⊆ {A( i)} und h) VAN( i+1) = VAN( i) ∪ {A( i)} oder (ii) i+1 ∈ SEF( i) und a) {(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j ≤ i} ist ein SE-geschlossener Abschnitt in i+1, b) VERS( i)\VERS( i+1) ⊆ {(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, c) VERS( i+1) = (VERS( i)\{(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}) ∪ {(i, i)}, d) VANS( i)\VANS( i+1) = {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))))}, 154 3 Der Redehandlungskalkül e) VANS( i) = VANS( i+1) ∪ {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))))}, f) VER( i)\VER( i+1) ⊆ {A( j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, g) VER( i) ⊆ {A( j) | j ∈ Dom(VERS( i+1) i)} ∪ {A( j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, h) VAN( i)\VAN( i+1) ⊆ {A( max(Dom(VANS( i))))}, i) VAN( i) = VAN( i+1) ∪ {A( max(Dom(VANS( i))))} und j) A( i) = A( max(Dom(VANS( i)))) → A( i-1) oder (iii) i+1 ∈ NEF( i) und a) {(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j ≤ i} ist ein NE-geschlossener Abschnitt in i+1, b) VERS( i)\VERS( i+1) ⊆ {(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, c) VERS( i+1) = (VERS( i)\{(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}) ∪ {(i, i)}, d) VANS( i)\VANS( i+1) = {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))))}, e) VANS( i) = VANS( i+1) ∪ {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))))}, f) VER( i)\VER( i+1) ⊆ {A( j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, g) VER( i) ⊆ {A( j) | j ∈ Dom(VERS( i+1) i)} ∪ {A( j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, h) VAN( i)\VAN( i+1) ⊆ {A( max(Dom(VANS( i))))}, i) VAN( i) = VAN( i+1) ∪ {A( max(Dom(VANS( i))))} und j) A( i) = ¬A( max(Dom(VANS( i)))) oder (iv) i+1 ∈ PBF( i) und a) {(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j ≤ i} ist ein PB-geschlossener Abschnitt in i+1, b) VERS( i)\VERS( i+1) ⊆ {(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, c) VERS( i+1) = (VERS( i)\{(j, j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}) ∪ {(i, i)}, d) VANS( i)\VANS( i+1) = {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))))}, e) VANS( i) = VANS( i+1) ∪ {(max(Dom(VANS( i))), max(Dom(VANS( i))))}, f) VER( i)\VER( i+1) ⊆ {A( j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, g) VER( i) ⊆ {A( j) | j ∈ Dom(VERS( i+1) i)} ∪ {A( j) | max(Dom(VANS( i))) ≤ j < i}, h) VAN( i)\VAN( i+1) ⊆ {A( max(Dom(VANS( i))))}, 3.3 VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen und bei einzelnen Übergängen 155 i) VAN( i) = VAN( i+1) ∪ {A( max(Dom(VANS( i))))} un j) A( i) = A( i-1) oder (v) i+1 ∈ KEF( i) ∪ BEF( i)∪ AEF( i)∪ UEF( i)∪ PEF( i)∪ IEF( i) und a) VERS( i+1) ⊆ VERS( i) ∪ {(i, i)}, b) VANS( i+1) ⊆ VANS( i), c) Wenn VANS( i+1) ⊂ VANS( i), dann ist i+1 ∈ PBF( i), d) VER( i+1) ⊆ VER( i) ∪ {A( i)}, e) VAN( i+1) ⊆ VAN( i) und f) Wenn VAN( i+1) ⊂ VAN( i), dann ist i+1 ∈ PBF( i) oder (vi) i+1 ∈ SBF( i) ∪ KBF( i) ∪ BBF( i) ∪ ABF( i) ∪ NBF( i) ∪ UBF( i)∪ IBF( i) und a) VERS( i+1) ⊆ VERS( i) ∪ {(i, i)}, b) VANS( i+1) ⊆ VANS( i), c) Wenn VANS( i+1) ⊂ VANS( i), dann ist i+1 ∈ SEF( i) ∪ NEF( i) ∪ PBF( i), d) VER( i+1) ⊆ VER( i) ∪ {A( i)}, e) VAN( i+1) ⊆ VAN( i) und f) Wenn VAN( i+1) ⊂ VAN( i), dann ist (i+1) ∈ SEF( i) ∪ NEF( i) ∪ PBF( i). Beweis: Sei ∈ SEQ. (L-R): Sei nun ∈ RGS. Dann gilt mit Definition 3-19 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGF( i). Dann gilt mit Definition 3-18 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ AF( i) ∪ SEF( i) ∪ NEF( i) ∪ PBF( i) ∪ KEF( i) ∪ BEF( i) ∪ AEF( i) ∪ UEF( i) ∪ PEF( i) ∪ IEF( i) ∪ SBF( i) ∪ KBF( i) ∪ BBF( i) ∪ ABF( i) ∪ NBF( i) ∪ UBF( i) ∪ IBF( i). Dann ergibt sich für i+1 ∈ AF( i) mit Theorem 3-15, dass (i) gilt, für i+1 ∈ SEF( i) mit Theorem 3-19, dass (ii) gilt, für i+1 ∈ NEF( i) mit Theorem 3-20, dass (iii) gilt, für i+1 ∈ PBF( i) mit Theorem 3-21, dass (iv) gilt, für i+1 ∈ KEF( i) ∪ BEF( i) ∪ AEF( i) ∪ UEF( i) ∪ PEF( i) ∪ IEF( i) mit Theorem 3-26, dass (v) gilt und zuletzt für i+1 ∈ SBF( i) ∪ KBF( i) ∪ BBF( i) ∪ ABF( i) ∪ NBF( i) ∪ UBF( i) ∪ IBF( i) mit Theorem 3-27, dass (v) gilt. (R-L): Gelte nun für alle i ∈ Dom( ) einer der Fälle (i) bis (vi). Dann gilt mit Definition 3-18 für alle i ∈ Dom( ): i+1 ∈ RGF( i). Mit Definition 3-19 ist ∈ RGS. ■ 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Im Folgenden werden Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft bewiesen, die zum einen aufzeigen, dass übliche Eigenschaften wie etwa Reflexivität, Monotonie, die Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung der logischen Operatoren und Transitivität für diese gelten und die zum anderen als Vorbereitung auf den Nachweis der Vollständigkeit in Kap. 6.2 dienen. Dazu sind zunächst einige Vorbereitungen zu erbringen (4.1). Sodann werden die gewünschten Eigenschaften der deduktiven Konsequenzrelation gezeigt (4.2). 4.1 Vorbereitungen Zunächst werden Vorbereitungen getroffen, um zeigen zu können, dass die deduktive Konsequenzschaft unter SE abgeschlossen ist. Dazu wird zunächst gezeigt, dass es zu jeder Ableitung eine Ableitung * mit VAN( *) ⊆ VAN( ) und K( *) = K( ) gibt, in der keine der angenommenen Aussagen an zwei Stellen verfügbar ist (Theorem 4-1). Theorem 4-2 zeigt dann, dass es zu jeder Ableitung und jedem Γ ∈ GFORM eine Ableitung * mit VAN( *) ⊆ VAN( ) und K( *) = K( ) gibt, so dass Γ wenn überhaupt nur als letzte Annahme verfügbar ist. Dieses Theorem bildet die Basis für die Abgeschlossenheit unter SE. Die restlichen Theoreme zielen auf die Abgeschlossenheit unter Einführungen und Beseitigungen ab, bei denen die Antezedentia der Abgeschlossenheitsklauseln (vgl. Theorem 4-18) die Form X0 Α0, ..., Xn-1 Αn-1 haben. Hier ist es nicht einfach möglich, beliebige Ableitungen einfach zu verketten, da es unter Umständen durch die Entstehung geschlossener Abschnitte oder durch Verletzung von Parameterbedingungen zu Problemen kommen kann. Daher muss gezeigt werden, dass sich Ableitungen durch die Hinzufügung von blockierenden Gliedern, die Substitution von Parametern und die mehrfache Anwendung von UE und UB so umformen lassen, dass die gewünschten Verkettungen möglich sind. Hierzu wird zunächst gezeigt, dass sich parameterfremde Ableitungen unter Einschub einer die Entstehung von geschlossenen Abschnitten blockierenden Annahme (Theorem 4-3) miteinander verbinden lassen (Theorem 4-4), wobei die blockierende Annahme wieder entfernt werden kann (Theorem 4-7). Sodann wird gezeigt, dass die einfache Substitution eines neuen Parameter für einen möglicherweise bereits verwendeten Parameter 158 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft RGS-treu ist (Theorem 4-8). Der dazu gehörige Beweis dient als Vorlage für den Beweis des Folgetheorems (Theorem 4-9), das seinerseits das Generalisierungstheorem (Theorem 4-24) vorbereitet. Zudem wird gezeigt, dass die simultane Substitution mehrerer neuer und paarweise verschiedener Parameter für paarweise verschiedene Parameter RGS-treu ist (Theorem 4-10). Sodann werden Eigenschaften von UEund UB-Fortsetzungen von Ableitungen etabliert, bis dann schlussendlich mit Theorem 4-14 gezeigt werden kann, dass sich je zwei beliebige Ableitungen so verbinden lassen, dass einerseits die verfügbaren Annahmen insgesamt nicht mehr werden und andererseits die Konklusionen beider Ableitungen noch verfügbar sind. Theorem 4-1. Non-redundantes VANS Wenn ∈ RGS\{∅} dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) ⊆ VAN( ) (ii) K( *) = K( ) und (iii) |VANS( *)| = |VAN( *)|. Beweis: Sei ∈ RGS\{∅}. Der Beweis wird mittels Induktion über |VANS( )| geführt. Sei |VANS( )| = 0. Offenbar gilt VAN( ) ⊆ VAN( ) und K( ) = K( ) und mit Theorem 2-77 folgt auch |VAN( )| = 0. Sei nun |VANS( )| = k ≠ 0. Gelte die Behauptung für alle ' ∈ RGS\{∅} mit |VANS( ')| < k. Dann ist mit Theorem 2-76 |VAN( )| ≤ |VANS( )|. Sei nun |VAN( )| ≠ |VANS( )|. Dann ist |VAN( )| < |VANS( )|. Sodann ist VANS( ) ≠ ∅. Damit ist mit Theorem 3-18 1 = ∪ {(Dom( ), Also A( max(Dom(VANS( )))) → K( ) )} ∈ SEF( ). Dann ist mit Theorem 3-19-(ix) VAN( 1) ⊆ VAN( ) und mit Theorem 3-19-(iv) und -(v) ergibt sich |VANS( 1)| < k. Dann gibt es nach I.V. 2 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 2) ⊆ VAN( 1), K( 2) = K( 1) und |VANS( 2)| = |VAN( 2)|. Dann ist VAN( 2) ⊆ VAN( 1) ⊆ VAN( ) und K( 2) = K( 1) = A( max(Dom(VANS( )))) → K( ) . Nun ist A( max(Dom(VANS( )))) ∈ VAN( 2) oder A( max(Dom(VANS( )))) ∉ VAN( 2). Sei A( max(Dom(VANS( )))) ∈ VAN( 2). Dann ist 3 = 2 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 2) und mit Theorem 3-27-(v) VAN( 3) ⊆ VAN( 2) ⊆ VAN( 1) ⊆ VAN( ) und es ist K( 3) = K( ) und |VANS( 3)| = |VAN( 3)|. Letzteres ergibt sich wie folgt: Wäre |VANS( 3)| > |VAN( 3)|. Dann gäbe es i, j ∈ Dom( 3) mit i ≠ j und Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 3) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 3). Da mit Theorem 3-27-(ii) VANS( 3) ⊆ VANS( 2) gäbe es damit i, j ∈ Dom( 2) mit i ≠ j und 4.1 Vorbereitungen 159 Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 2) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 2). Dann wäre jedoch auch |VANS( 2)| > |VAN( 2)|. Also ist |VANS( 3)| ≤ |VAN( 3)| und damit mit Theorem 2-76 insgesamt |VANS( 3)| = |VAN( 3)|. Sei A( max(Dom(VANS( )))) ∉ VAN( 2). Sei nun 4 = 2 {(0, Sei A( max(Dom(VANS( )))) )}. Dann ist 4 ∈ AF( 2). Dann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN( 4) = VAN( 2) ∪ {A( max(Dom(VANS( ))))} ⊆ VAN( ) und es ist K( 4) = A( max(Dom(VANS( )))) und |VANS( 4)| = |VAN( 4)|. Letzteres ergibt sich wie folgt: Zunächst ist |VAN( 2)| = |VANS( 2)| und |{A( max(Dom(VANS( ))))}| = |{(Dom( 2), Sei A( max(Dom(VANS( )))) )}|. Ferner ist VANS( 2) ∩ {(Dom( 2), Sei A( max(Dom(VANS( )))) )} = ∅ und VAN( 2) ∩ {A( max(Dom(VANS( ))))} = ∅. Damit ist dann mit Theorem 3-15-(iv) und -(viii): |VANS( 4)| = |VANS( 2) ∪ {(Dom( 2), Sei A( max(Dom(VANS( )))) )}| = |VANS( 2)|+|{(Dom( 2), Sei A( max(Dom(VANS( )))) )}| = |VAN( 2)|+|{A( max(Dom(VANS( ))))}| = |VAN( 2) ∪ {A( max(Dom(VANS( ))))}| = |VAN( 4)|. Sodann gilt mit Theorem 3-15-(vi), dass {A( max(Dom(VANS( )))), A( max(Dom(VANS( )))) → K( ) } ⊆ VER( 4). Damit ist 5 = 4 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 4) und mit Theorem 3-27-(v) VAN( 5) ⊆ VAN( 4) ⊆ VAN( ) und K( 5) = K( ) und |VANS( 5)| = |VAN( 5)|. Letzteres ergibt sich wie oben für |VANS( 3)| = |VAN( 3)| unter Rückgriff auf |VANS( 4)| = |VAN( 4)|. ■ Das folgende Theorem dient insbesondere der Vorbereitung der Abgeschlossenheit unter SE (Theorem 4-18-(i)). Theorem 4-2. SE-Vorbereitungstheorem Wenn ∈ RGS\{∅} und Γ ∈ GFORM, dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) ⊆ VAN( ), (ii) K( *) = K( ) und (iii) Für alle i ∈ Dom(VANS( *)): Wenn A( *i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( *))). Beweis: Sei ∈ RGS\{∅} und Γ ∈ GFORM. Dann ist Γ ∉ VAN( ) oder Γ ∈ VAN( ). Sei Γ ∉ VAN( ). Dann ist selbst ein solches * ∈ RGS\{∅}, so dass (i), (ii) und trivialerweise (iii) gelten. Sei nun Γ ∈ VAN( ). Der Beweis wird mittels Induktion über 160 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft |VANS( )| geführt. Sei |VANS( )| = 0. Mit Theorem 2-77 folgt entgegen der Annahme |VAN( )| = 0, womit die Behauptung trivial gilt. Sei nun |VANS( )| = k ≠ 0. Gelte die Behauptung für alle ' ∈ RGS\{∅} mit |VANS( ')| < k. Dann gibt es mit Theorem 4-1 ein 1 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 1) ⊆ VAN( ), K( 1) = K( ) und |VANS( 1)| = |VAN( 1)| ≤ |VAN( )| ≤ |VANS( )|. Sodann gilt mit |VANS( 1)| = |VAN( 1)| für alle Β ∈ VAN( 1): Es gibt genau ein i ∈ Dom(VANS( 1)), so dass Β = A( i). Angenommen, für alle i ∈ Dom(VANS( 1)): Wenn A( 1i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 1))). Dann ist 1 das gesuchte Element von RGS\{∅}. Gelte nun nicht für alle i ∈ Dom(VANS( 1)): Wenn A( 1i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 1))). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VANS( 1)), so dass A( 1i) = Γ und i ≠ max(Dom(VANS( 1))). Dann ist VANS( 1) ≠ ∅ und Γ ∈ VAN( 1) und es gilt für alle j ∈ Dom(VANS( 1)): Wenn A( j) = Γ, dann j = i und damit auch j ≠ max(Dom(VANS( 1))). Damit ist Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ≠ Γ. Sodann gilt mit VANS( 1) ≠ ∅, Theorem 3-18 und K( 1) = K( ): 2 = 1 {(0, Also Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) → K( ) )} ∈ SEF( 1). Dann gilt mit Theorem 3-22, dass VAN( 2) ⊆ VAN( 1)\{Α( 1max(Dom(VANS( 1))))} ⊆ VAN( ). Mit Theorem 3-19-(iv) und (v) gilt sodann |VANS( 2)| < |VANS( 1)| ≤ |VANS( )| und es gilt: |VANS( 2)| = |VAN( 2)|. Letzteres ergibt sich wie folgt: Wäre |VANS( 2)| > |VAN( 2)|. Dann gäbe es i, j ∈ Dom( 2) mit i ≠ j und Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 2) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 2). Da mit Theorem 3-19-(v) VANS( 2) ⊆ VANS( 1) gäbe es damit i, j ∈ Dom( 1) mit i ≠ j und Α ∈ GFORM, so dass (i, Sei Α ) ∈ VANS( 1) und (j, Sei Α ) ∈ VANS( 1). Dann wäre jedoch auch |VANS( 1)| > |VAN( 1)|. Also ist |VANS( 2)| ≤ |VAN( 2)| und damit mit Theorem 2-76 insgesamt |VANS( 2)| = |VAN( 2)|. Nun ist |VANS( 2)| < |VANS( 1)| ≤ |VANS( )| = k. Damit gibt es nach I.V. ein 3 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 3) ⊆ VAN( 2) und K( 3) = K( 2) und für alle i ∈ Dom(VANS( 3)): Wenn A( 3i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 3))). Dann ist VAN( 3) ⊆ VAN( 2) ⊆ VAN( 1) ⊆ VAN( ), Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ∉ VAN( 3) und K( 3) = Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) → K( ) . Dann lassen sich mit Γ ∈ VAN( 3) oder Γ ∉ VAN( 3) zwei Fälle unterscheiden: Erster Fall: Γ ∈ VAN( 3). Dann ist Γ = A( 3max(Dom(VANS( 3)))) und für alle i ∈ Dom(VANS( 3)): Wenn Γ = A( i), dann i = max(Dom(VANS( 3))). Dann ist mit 4.1 Vorbereitungen 161 Theorem 3-18 4 = 3 {(0, Also Γ → (Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) → K( )) } ∈ SEF( 3). Dann ergibt sich mit Theorem 3-22, dass VAN( 4) ⊆ VAN( 3)\{Γ} ⊆ VAN( ). Also gilt Γ ∉ VAN( 4) und damit, dass für alle i ∈ Dom(VANS( 4)): A( 4i) ≠ Γ. Sei nun 5 = 4 {(0, Sei Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ), (1, Sei Γ )}. Dann ist zunächst 5 ∈ AF( 4 {(0, Sei Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) )}) und 4 {(0, Sei Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) )} ∈ AF( 4). Sodann gilt wegen A( 4i) ≠ Γ für alle i ∈ Dom(VANS( 4)) und Γ ≠ Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) mit Theorem 3-15-(iv) für alle i ∈ Dom(VANS( 5)): A( 5i) = Γ gdw i = max(Dom(VANS( 5))). Sodann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN( 5) ⊆ VAN( 4) ∪ {Γ, Α( 1max(Dom(VANS( 1))))} ⊆ VAN( ). Ferner ist mit Theorem 3-15-(vi) {Γ, Α( 1max(Dom(VANS( 1)))), Γ → (Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) → K( )) } ⊆ VER( 5) und mit Theorem 3-15-(iv) ist (Dom( 4), Sei Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ) ∈ VANS( 5). Dann ist 6 = 5 {(0, Also Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) → K( ) )} ∈ SBF( 5) und mit Theorem 3-27-(v) gilt VAN( 6) ⊆ VAN( 5) ⊆ VAN( ). Sodann gilt für alle i ∈ Dom(VANS( 6)): Wenn A( 6i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 6))). Letzteres ergibt sich wie folgt: Gäbe es ein i ∈ Dom(VANS( 6)), so dass A( 6i) = Γ und i ≠ max(Dom(VANS( 6))). Mit Theorem 3-27-(ii) gilt dann i ∈ Dom(VANS( 5)). Dann ist i = max(Dom(VANS( 5))) = Dom( 4)+1. Nach Konstruktion von 6 ist jedoch max(Dom(VANS( 6))) ≤ Dom( 4)+1 = i und also mit i ≠ max(Dom(VANS( 6))) insgesamt max(Dom(VANS( 6))) < i. Andererseits ist mit i ∈ Dom(VANS( 6)) jedoch i ≤ max(Dom(VANS( 6))). Widerspruch! Sodann ist Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) → K( ) = K( 6) ∈ VER( 6). Wäre nun Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ∉ VER( 6). Dann wäre (Dom( 4), Sei Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ) ∉ VANS( 6) und damit (Dom( 4), Sei Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ) ∈ VANS( 5)\VANS( 6). Mit Theorem 2-85 wäre dann allerdings VANS( 5)\VANS( 6) = {(max(Dom(VANS( 5))), max(Dom(VANS( 5))))} = {(Dom( 4)+1, Sei Γ )} und also Dom( 4) = Dom( 4)+1. Widerspruch! Daher ist 7 = 6 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 6) und mit Theorem 3-27-(v) gilt VAN( 7) ⊆ VAN( 6) ⊆ VAN( ). Ferner gilt mit Theorem 3-27-(ii) für alle i ∈ Dom(VANS( 7)): Wenn A( 7i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 7))). Damit ist 7 das gesuchte Element von RGS\{∅}. Zweiter Fall: Γ ∉ VAN( 3). Sei nun 8 = 3 {(0, Sei Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) )}. Dann ist zunächst 8 ∈ AF( 3). Sodann ist mit Theorem 3-15-(viii) VAN( 8) = VAN( 3) ∪ 162 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft {Α( 1max(Dom(VANS( 1))))} ⊆ VAN( ). Ferner ist mit Theorem 3-15-(vi) {Α( 1max(Dom(VANS( 1)))), Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) → K( ) } ⊆ VER( 8). Sodann gilt mit Γ ∉ VAN( 3) und Α( 1max(Dom(VANS( 1)))) ≠ Γ auch Γ ∉ VAN( 8) und damit für alle i ∈ Dom(VANS( 8): A( 8i) ≠ Γ. Dann gilt trivialerweise für alle i ∈ Dom(VANS( 8)): Wenn A( 8i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 8))). Dann ist 9 = 8 {(0, Also K( ) )} ∈ SBF( 8) und mit Theorem 3-27-(v) gilt VAN( 9) ⊆ VAN( 8) ⊆ VAN( ). Ferner gilt für alle i ∈ Dom(VANS( 9)) wiederum trivialerweise: Wenn A( 9i) = Γ, dann i = max(Dom(VANS( 9))). Damit ist 9 das gesuchte Element von RGS\{∅}. ■ Theorem 4-3. Blockierende Annahmen Wenn ein geschlossener Abschnitt in ist, i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )), Δ = A( i) und PAR ∩ TT(Δ) = ∅, dann gibt es ein j ∈ Dom( ), so dass i ≠ j und Δ ∈ TA( j). Beweis: Sei ein geschlossener Abschnitt in , i ∈ Dom( ) ∩ Dom(ANS( )), Δ = A( i) und PAR ∩ TT(Δ) = ∅. Mit Theorem 2-47 gilt dann, dass es einen geschlossenen Abschnitt in mit ⊆ gibt, so dass i = min(Dom( )). Mit Theorem 2-42 ist dann ein SEoder ein NEoder ein EA-artiger Abschnitt in . Sei ein SEoder ein NE-artiger Abschnitt in . Dann gilt mit Definition 2-11 und Definition 2-12, dass max(Dom( )) ∈ Dom( ), max(Dom( )) ≠ i und Δ ∈ TA( max(Dom( ))). Sei nun ein EA-artiger Abschnitt in . Dann gilt mit Definition 2-13: min(Dom( ))-1 ∈ Dom( ) und min(Dom( ))-1 ≠ i. Sodann gibt es ξ ∈ VAR, Δ+ ∈ FORM, wobei FV(Δ+) ⊆ {ξ} und β ∈ PAR, so dass A( min(Dom( ))-1) = ξΔ+ und Δ = A( min(Dom( ))) = [β, ξ, Δ+]. Da nun nach Annahme PAR ∩ TT(Δ) = ∅, ist dann β ∉ TT([β, ξ, Δ+]) und mit Theorem 1-14-(ii) Δ = [β, ξ, Δ+] = Δ+. Damit ist dann A( min(Dom( ))-1) = ξΔ und somit Δ ∈ TA( min(Dom( ))-1) und die Behauptung gilt. ■ Theorem 4-4. Verkettung parameterfremder RGS-Elemente mit eingeschobener blockierender Annahme Wenn , ' ∈ RGS, PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ und α ∈ KONST\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) Dom( *) = Dom( )+1+Dom( '), (ii) * Dom( ) = , (iii) *Dom( ) = Sei α = α , (iv) Für alle i ∈ Dom( ') ist 'i = *Dom( )+1+i, 4.1 Vorbereitungen 163 (v) Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))}, (vi) VER( *) = VER( ) ∪ { α = α } ∪ VER( ') und (vii) VAN( *) = VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( '). Beweis: Durch Induktion über Dom( ') wird gezeigt, dass es unter den entsprechenden Voraussetzungen immer ein * gibt, dass (i) bis (v) erfüllt. (vi) und (vii) ergeben sich aus den vorhergehenden Klauseln. Mit (i) bis (v) gilt nämlich mit Definition 2-30: Β ∈ VER( *) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VERS( *)), so dass Β = A( *i) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))}, so dass Β = A( *i) gdw Β ∈ VER( ) ∪ { α = α } ∪ VER( '). Sodann ergibt sich (vii) aus (i) bis (v) mit Definition 2-31 wie folgt: Β ∈ VAN( *) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( *)), so dass Β = A( *i) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VERS( *)) ∩ Dom(ANS( *)), so dass Β = A( *i) gdw es gibt ein i ∈ (Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))}) ∩ Dom(ANS( *)), so dass Β = A( *i) gdw es gibt ein i ∈ (Dom(VERS( )) ∩ Dom(ANS( *))) ∪ ({Dom( )} ∩ Dom(ANS( *))) ∪ ({Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} ∩ Dom(ANS( *))), so dass Β = A( *i) gdw es gibt ein i ∈ (Dom(VERS( )) ∩ Dom(ANS( ))) ∪ ({Dom( )} ∩ Dom(ANS( *))) ∪ ({Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} ∩ {Dom( )+1+l | l ∈ Dom(ANS( '))}), so dass Β = A( *i) gdw es gibt ein i ∈ Dom(VANS( )) ∪ {Dom( )} ∪ ({Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VANS( '))}, so dass Β = A( *i) gdw Β ∈ VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( '). 164 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Nun zum Induktionsbeweis: Gelte die Behauptung für k < Dom( ') und seien , ' wie gefordert und sei α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( ')). Angenommen Dom( ') = 0. Dann ist ' = ∅ und mit * = {(0, Sei α = α )} und Theorem 3-15-(ii) gilt die Behauptung. Sei nun Dom( ') > 0. Dann ist ' ∈ RGS\{∅}. Dann ist mit Theorem 3-6 ' ∈ RGF( ' Dom( ')-1) und ' Dom( ')-1 ∈ RGS. Sodann ist mit PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ auch PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ' Dom( ')-1) = ∅ und mit α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( ')) ist auch α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( ' Dom( ')-1)). Dann gibt es nach I.V. für , ' Dom( ')-1 und α ein * ∈ RGS, für das (i) bis (v) gelten. Dann gilt: i') Dom( *) = Dom( )+1+Dom( ')-1 = Dom( )+Dom( '), ii') * Dom( ) = , iii') *Dom( ) = Sei α = α , iv') Für alle i ∈ Dom( ')-1 ist 'i = ( ' Dom( ')-1)i = *Dom( )+1+i, v') Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1))}. Sodann ergibt sich aus ' ∈ RGF( ' Dom( ')-1) mit Definition 3-18, dass ' ∈ AF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ SBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ KEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ KBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ BEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ BBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ AEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ ABF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ NEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ NBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ UEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ UBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ PEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ PBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ IEF( ' Dom( ')-1) oder ' ∈ IBF( ' Dom( ')-1). Nun sei vereinbart: vi') + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, 'Dom( ')-1)}. Dann gilt für + bereits + ≠ ∅ und (i) bis (iv). Nun wird gezeigt, dass sich für die einzelnen Fälle AF ... IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS\{∅} und auch (v) gilt, womit + dann jeweils das gesuchte RGS-Element ist. Zunächst ist zu bemerken, dass wegen α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( ')) gilt, dass es kein l ∈ Dom( *) ⊆ Dom( +) gibt, so dass l ≠ Dom( ) und α = α ∈ TA( +l). Damit gilt mit *Dom( ) = +Dom( ) = Sei α = α und Theorem 4-3: vii') Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in + und es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in *, so dass min(Dom( )) ≤ Dom( ) < max(Dom( )). 4.1 Vorbereitungen 165 Damit gilt dann auch: viii') Dom( ) ∈ Dom(VANS( +)), Dom( ) ∈ Dom(VANS( *)) und Dom( ) ≤ max(Dom(VANS( *))). Um Sonderbetrachtungen bei SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UEF, UBF, PEF, IEF und IBF zu vereinfachen wird nun noch vorbereitend gezeigt: ix') Wenn + ∈ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *), dann ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1). Vorbereitungsteil: Sei zunächst + ∈ SEF( *). Dann gilt mit Definition 3-2, Theorem 3-19-(i) und vii') und viii'), dass es Dom( )+1+i ∈ Dom(VANS( *)) gibt, so dass mit i') und iv') A( *Dom( )+1+i) = A( 'i) und K( *) = A( *Dom( )+1+Dom( ')-2) = A( 'Dom( ')-2) = K( ' Dom( ')-1) und es kein l mit Dom( )+1+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also A( *Dom( )+1+i) → K( *) } = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also A( 'i) → K( ' Dom( ')-1) }. Dann gilt mit i'), iv') und v'): i ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)). Ferner gilt dann mit vi'), dass ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also A( 'i) → K( ' Dom( ')-1) } und damit ist dann insgesamt ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1). Für den Fall, dass + ∈ NEF( *), zeigt man analog, dass dann auch ' ∈ NEF( ' Dom( ')-1). Sei nun + ∈ PBF( *). Dann gilt mit Definition 3-15, Theorem 3-21-(i), A( *Dom( )) = α = α und vii') und viii'), dass es β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und Dom( )+1+i ∈ Dom(VERS( *)) gibt, so dass mit i') und iv') ξΔ = A( *Dom( )+1+i) = A( 'i) und [β, ξ, Δ] = A( *Dom( )+2+i) = A( 'i+1), wobei Dom( )+2+i ∈ Dom(VANS( *)) und K( *) = A( *Dom( )+1+Dom( ')-2) = A( 'Dom( ')-2) = K( ' Dom( ')-1) und + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also K( *) } = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also K( ' Dom( ')-1) } und β ∉ TTFM({Δ, K( *)}) und es kein j ≤ Dom( )+1+i gibt, so dass β ∈ TT( *j) und es kein l mit Dom( )+2+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Dann gilt mit i'), iv') und v'): i ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) und i+1 ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und β ∉ TTFM({Δ, K( ' Dom( ')-1)}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( 'j), und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1). Ferner gilt dann mit vi'), dass ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also K( ' Dom( ')-1) } und damit ist dann insgesamt ' ∈ PBF( ' Dom( ')-1). 166 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Hauptteil: Nun zum Nachweis, dass sich für die einzelnen Fälle AF ... IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS\{∅} und v) gilt: (AF): Sei ' ∈ AF( ' Dom( ')-1). Dann ist nach Definition 3-1 ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Sei A( 'Dom( ')-1) )} und mit vi') + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Sei A( 'Dom( ')-1) )} ∈ AF( *) ⊆ RGS\{∅}. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-15-(ii), dass VERS( ') = VERS( ' Dom( ')-1) ∪ {(Dom( ')-1, Sei A( 'Dom( ')-1) )} und VERS( +) = VERS( *) ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Sei A( 'Dom( ')-1) )}. Mit v') ergibt sich dann: i ∈ Dom(VERS( +)) gdw i ∈ Dom(VERS( *)) ∪ {Dom( )+1+Dom( ')-1} gdw i ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1))} ∪ {Dom( )+1+Dom( ')-1} gdw i ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und damit, dass Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und somit (v) gilt. (SEF, NEF): Sei nun ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1). Dann gibt es nach Definition 3-2 i ∈ Dom( ')-1, so dass mit iv') A( 'i) = A( *Dom( )+1+i) und i ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und K( ' Dom( ')-1) = A( *Dom( )+1+Dom( ')-2) = K( *) und es kein l mit i < l ≤ Dom( ')-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also A( i) → K( *) )}. Mit vi') ergibt sich dann: + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also A( i) → K( *) )}. Sodann gilt mit iv') und v'): Dom( )+1+i ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit Dom( )+1+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Damit ist dann auch + ∈ SEF( *) ⊆ RGS\{∅}. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(iii), dass VERS( ') = (VERS( ' Dom( ')-1)\{(j, 'j) | i ≤ j < Dom( ')-1}) ∪ {(Dom( ')-1, 'Dom( ')-1)} und VERS( +) = (VERS( *)\{(r, +r) | Dom( )+1+i ≤ r < Dom( )+1+Dom( ')-1}) ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, 'Dom( ')-1)}. Mit v') ergibt sich dann: k ∈ Dom(VERS( +)) gdw k ∈ (Dom(VERS( *))\{r | Dom( )+1+i ≤ r < Dom( )+1+Dom( ')-1}) ∪ {Dom( )+1+Dom( ')-1} 4.1 Vorbereitungen 167 gdw k ∈ Dom(VERS( *)) und k < Dom( )+1+i oder k = Dom( )+1+Dom( ')-1 gdw k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ∈ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1))} und k < Dom( )+1+i oder k = Dom( )+1+Dom( ')-1 gdw k < Dom( )+1 und k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ≥ Dom( )+1 und k-Dom( )+1 ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) und k-Dom( )+1 < i oder k-Dom( )+1 = Dom( ')-1 gdw k < Dom( )+1 und k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ≥ Dom( )+1 und k-Dom( )+1 ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1))\{j | i ≤ j < Dom( ')-1} oder k-Dom( )+1 = Dom( ')-1 gdw k < Dom( )+1 und k ∈ Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} oder k ≥ Dom( )+1 und kDom ( )+1 ∈ Dom(VERS( ')) und somit, dass Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und damit (v) gilt. Für den Fall, dass ' ∈ NEF( ' Dom( ')-1), zeigt man analog, dass dann auch + ∈ NEF( *) ⊆ RGS\{∅} und v) gilt. (PBF): Sei nun ' ∈ PBF( ' Dom( ')-1). Dann gilt nach Definition 3-15, dass es β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und i ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) gibt, so dass mit iv') ξΔ = A( 'i) = A( *Dom( )+1+i) und [β, ξ, Δ] = A( 'i+1) = A( *Dom( )+2+i), wobei i ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1)) und K( ' Dom( ')-1) = A( 'Dom( ')-2) = A( *Dom( )+1+Dom( ')-2) = K( *) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also K( ' Dom( ')-1)} und β ∉ TTFM({Δ, K( ' Dom( ')-1)}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( 'j), und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( ' Dom( ')-1). Dann gilt mit iv') und v'): Dom( )+1+i ∈ Dom(VERS( *)) und Dom( )+2+i ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit Dom( )+2+i < l ≤ Dom( )+1+Dom( ')-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Sodann gilt mit vi'), dass + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also K( ' Dom( ')-1)} = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also K( *) }. Sodann ist ξ ∈ FV(Δ) oder ξ ∉ FV(Δ). Sei nun ξ ∈ FV(Δ). Dann ist β ∈ TT([β, ξ, Δ]) ⊆ TTSEQ( '). Da nun nach Voraussetzung PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ ist damit β ∉ TTSEQ( ). Damit ergibt sich mit i') bis iv') daraus, dass β ∉ TTFM({Δ, K( ' Dom( ')-1)}) und es kein j ≤ i gibt, so dass β ∈ TT( 'j), dass auch β ∉ TTFM({Δ, 168 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft K( *)}) und es kein j ≤ Dom( )+1+i gibt, so dass β ∈ TT( *j). Damit ist dann + ∈ PBF( *). Sei nun ξ ∉ FV(Δ). Dann ist β ∉ TT([β, ξ, Δ]). Nun gibt es ein β* ∈ PAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')). Dann ist mit Theorem 1-14-(ii) [β*, ξ, Δ] = Δ = [β, ξ, Δ] = A( 'i+1) = A( *Dom( )+2+i). Sodann gilt dann, dass β* ∉ TTFM({Δ, K( *)}) und es kein j ≤ Dom( )+1+i gibt, so dass β* ∈ TT( *j). Damit ist dann wiederum + ∈ PBF( *). Es gilt also insgesamt, dass + ∈ PBF( *) ⊆ RGS\{∅}. Dass auch (v) gilt, ergibt sich dann mit v') und Theorem 3-21-(iii) analog zu SEF und NEF. (SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UBF, PEF, IEF, IBF): Sei nun ' ∈ SBF( ' Dom( ')-1). Dann gibt es nach Definition 3-3 Δ, Γ ∈ GFORM, so dass Δ, Δ → Γ ∈ VER( ' Dom( ')-1) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also Γ )}. Dann gilt mit vi'): + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also Γ )}. Sodann gilt mit Δ, Δ → Γ ∈ VER( ' Dom( ')-1), Definition 2-30 und iv'), dass es i, j ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) gibt, so dass Δ = A( 'i) = A( *Dom( )+1+i) und Δ → Γ = A( 'j) = A( *Dom( )+1+j). Sodann gilt mit v'), dass Dom( )+1+i, Dom( )+1+j ∈ Dom(VERS( *)). Damit ist dann insgesamt + ∈ SBF( *) ⊆ RGS\{∅}. Sodann ist ' ∈ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1) oder ' ∉ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1). Im ersten Fall ergibt sich die Gültigkeit von (v) wie unter den jeweiligen Fallbetrachtungen. Sei nun ' ∉ SEF( ' Dom( ')-1) ∪ NEF( ' Dom( ')-1) ∪ PBF( ' Dom( ')-1). Dann gilt mit ix'), dass auch + ∉ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *). Dann gilt mit Theorem 3-25, dass VERS( ') = VERS( ' Dom( ')-1) ∪ {(Dom( )-1, Also Γ )} und VERS( +) = VERS( *) ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also Γ )}. Mit v') ergibt sich dann wie bei AF, dass VERS( +) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( '))} und folglich (v) gilt. Für den Fall, dass ' ∈ KEF( ' Dom( ')-1) ∪ KBF( ' Dom( ')-1) ∪ BEF( ' Dom( ')-1) ∪ BBF( ' Dom( ')-1) ∪ AEF( ' Dom( ')-1) ∪ ABF( ' Dom( ')-1) ∪ NBF( ' Dom( ')-1) ∪ UBF( ' Dom( ')-1) ∪ PEF( ' Dom( ')-1) ∪ IEF( ' Dom( ')-1) ∪ IBF( ' Dom( ')-1), zeigt man analog, dass dann auch + ∈ KEF( *) ∪ KBF( *) ∪ BEF( *) ∪ BBF( *) ∪ AEF( *) ∪ ABF( *) ∪ NBF( *) ∪ UBF( *) ∪ PEF( *) ∪ IEF( *) ∪ IBF( *) ⊆ RGS\{∅} und jeweils v) gilt. (UEF): Sei nun ' ∈ UEF( ' Dom( ')-1). Dann gibt es nach Definition 3-12 β ∈ PAR, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass [β, ξ, Δ] ∈ VER( ' Dom( ')-1), 4.1 Vorbereitungen 169 β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( ' Dom( ')-1)) und ' = ' Dom( ')-1 ∪ {(Dom( ')-1, Also ξΔ )}. Dann gilt zunächst mit vi'): + = * ∪ {(Dom( )+1+Dom( ')-1, Also ξΔ )}. Sodann gilt mit [β, ξ, Δ] ∈ VER( ' Dom( ')-1), Definition 2-30 und iv'), dass es i ∈ Dom(VERS( ' Dom( ')-1)) gibt, so dass [β, ξ, Δ] = A( 'i) = A( *Dom( )+1+i). Sodann gilt mit v'), dass Dom( )+1+i ∈ Dom(VERS( *)). Sodann ist ξ ∈ FV(Δ) oder ξ ∉ FV(Δ). Sei nun ξ ∈ FV(Δ). Dann ist β ∈ TT([β, ξ, Δ]) ⊆ TTSEQ( '). Da nun nach Voraussetzung PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ ist damit β ∉ TTSEQ( ). Damit ergibt sich mit i') bis v') daraus, dass β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( ' Dom( ')-1))), dass auch β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Damit ist dann + ∈ UEF( *). Sei nun ξ ∉ FV(Δ). Dann ist β ∉ TT([β, ξ, Δ]). Sei nun β* ∈ PAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')). Dann ist mit Theorem 1-14-(ii) [β*, ξ, Δ] = Δ = [β, ξ, Δ] = A( 'i) = A( *Dom( )+1+i). Ausserdem gilt dann, dass β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Damit ist dann wiederum + ∈ UEF( *). Es gilt also insgesamt, dass + ∈ UEF( *) ⊆ RGS\{∅}. (v) ergibt sich dann analog zum Vorgehen bei SBF ... IBF. ■ Theorem 4-5. Geglückte KB-Fortsetzung Wenn ∈ RGS\{∅} und Α ∧ Β ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) = VAN( ), (ii) Α, Β ∈ VER( *) und (iii) K( *) = Β. Beweis: Seien ∈ RGS\{∅} und Α ∧ Β ∈ VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom( ), so dass A( i) = Α ∧ Β und (i, i) ∈ VERS( ). Folgende Sequenzen seien definiert, wobei α ∈ KONST\TTSEQ( ): 1 = ∪ {(Dom( ), Also α = α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1), Also Α )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Also α = α )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also Β )}. Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind zunächst K( 1) und K( 3) keine Negationen oder Subjunktionen und auch nicht identisch mit K( ) resp. K( 2), weil sonst α ∈ TTSEQ( ) resp. α ∈ TT( i) ⊆ TTSEQ( ). Also 1 ∉ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ) und 3 ∉ SEF( 2) ∪ NEF( 2) ∪ PBF( 2). Wäre α = α ∈ TF(Α) ∪ TF(Β), dann wäre α ∈ TT( i) ⊆ TTSEQ( ). Also ist α = α ∉ TF(Α) und α = α ∉ TF(Β) und damit 2 ∉ 170 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft SEF( 1) ∪ PBF( 1) und 4 ∉ SEF( 3) ∪ PBF( 3). Wäre 2 ∈ NEF( 1) oder 4 ∈ NEF( 2). Dann gäbe es ein j ∈ Dom( 3), so dass A( j) = ¬α = α . Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist j ∉ {Dom( 3)-1, Dom( 3)-3}. Wegen α = α ∉ TF(Α) ist aber auch j ≠ Dom( 3)-2. Also j ∈ Dom( 3)\{Dom( 3)-1, Dom( 3)-2, Dom( 3)-3} = Dom( ). Mit α ∈ TT( 3j) = TT( j) wäre dann aber auch α ∈ TTSEQ( ). Widerspruch! Also 2 ∉ NEF( 1) und 4 ∉ NEF( 3). Hingegen ist damit erstens nach Definition 3-16 1 ∈ IEF( ), damit 1 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 1) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 1) = VANS( ) und Α ∧ Β ∈ VER( ) ⊆ VER( 1). Also ist zweitens mit Definition 3-5 2 ∈ KBF( 1) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(Dom( 1), Also Α )}. Damit gilt VANS( 2) = VANS( 1), Α ∧ Β ∈ VER( 1) ⊆ VER( 2) und Α ∈ VER( 2). Sodann ist drittens nach Definition 3-16 3 ∈ IEF( 2), 3 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {(Dom( 2), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 3) = VANS( 2) und Α, Α ∧ Β ∈ VER( 2) ⊆ VER( 3). Viertens ist damit nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4) = VERS( 3) ∪ {(Dom( 3), Also Β )}. Damit gilt VANS( 4) = VANS( 3), Α ∈ VER( 3) ⊆ VER( 4) und Β ∈ VER( 4). Insgesamt ist damit 4 ∈ RGS\{∅}, VAN( 4) = VAN( 3) = VAN( 2) = VAN( 1) = VAN( ), Α, Β ∈ VER( 4) und K( 4) = Β. ■ Theorem 4-6. Verfügbare Aussagen als Konklusionen Wenn ∈ RGS\{∅} und Α ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) = VAN( ), (ii) VER( ) ⊆ VER( *) und (iii) K( *) = Α. Beweis: Seien ∈ RGS\{∅} und Α ∈ VER( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom( ), so dass A( i) = Α und (i, i) ∈ VERS( ). Folgende Sequenzen seien definiert, wobei α ∈ KONST\TTSEQ( ): 1 = ∪ {(Dom( ), Also α = α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1), Also Α ∧ Α )} 4.1 Vorbereitungen 171 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Also α = α )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also Α )}. Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind zunächst K( 1), K( 2) und K( 3) keine Negationen oder Subjunktionen. Sodann sind K( 1) und K( 3) nicht identisch mit K( ) resp. K( 2). Insbesondere ist mit Theorem 1-10-(vi) K( ) nicht identisch mit K( 1). Also 1 ∉ SEF( ) ∪ NEF( ) ∪ PBF( ), 2 ∉ SEF( 1) ∪ NEF( 1) ∪ PBF( 1) und 3 ∉ SEF( 2) ∪ NEF( 2) ∪ PBF( 2). Wäre α = α ∈ TF(Α), dann wäre α ∈ TT( i) ⊆ TTSEQ( ). Also ist α = α ∉ TF(Α) und damit 4 ∉ SEF( 3) ∪ PBF( 3). Wäre 4 ∈ NEF( 3), dann gäbe es ein j ∈ Dom( 3), so dass A( j) = ¬α = α . Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist j ∉ {Dom( 3)-1, Dom( 3)-2, Dom( 3)-3}. Also j ∈ Dom( 3)\{Dom( 3)-1, Dom( 3)-2, Dom( 3)-3} = Dom( ). Mit α ∈ TT( 3j) = TT( j) wäre dann aber auch α ∈ TTSEQ( ). Widerspruch! Also 4 ∉ NEF( 3). Hingegen ist damit erstens nach Definition 3-16 1 ∈ IEF( ), damit 1 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 1) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 1) = VANS( ) und Α ∈ VER( ) ⊆ VER( 1). Also ist zweitens nach Definition 3-4 2 ∈ KEF( 1) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(Dom( 1), Also Α ∧ Α )}. Damit gilt VANS( 2) = VANS( 1), VER( 1) ⊆ VER( 2) und Α ∧ Α ∈ VER( 2). Sodann ist drittens nach Definition 3-16 3 ∈ IEF( 2) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {(Dom( 2), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 3) = VANS( 2) und Α ∧ Α ∈ VER( 2) ⊆ VER( 3). Viertens ist damit nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4) = VERS( 3) ∪ {(Dom( 3), Also Α )}. Damit gilt VANS( 4) = VANS( 3) und VER( 3) ⊆ VER( 4). Insgesamt ist damit 4 ∈ RGS\{∅}, VAN( 4) = VAN( 3) = VAN( 2) = VAN( 1) = VAN( ), VER( ) ⊆ VER( 4) und K( 4) = Α. ■ Theorem 4-7. Eliminierbarkeit einer Annahme von α = α Wenn ∈ RGS\{∅}, α ∈ KONST und Α, Β ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) VAN( *) ⊆ VAN( )\{ α = α }, (ii) Α, Β ∈ VER( *) und (iii) K( *) = Β. Beweis: Seien ∈ RGS\{∅}, α ∈ KONST und Α, Β ∈ VER( ). Angenommen α = α ∉ VAN( ). Dann ist VAN( ) ⊆ VAN( )\{ α = α }. Mit Theorem 4-6 gibt es zudem ein 172 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( ) ⊆ VAN( )\{ α = α }, Α, Β ∈ VER( ) ⊆ VER( *) und K( *) = Β. Sei nun α = α ∈ VAN( ). Dann ist 1 = ∪ {(Dom( ), Also Α ∧ Β )} ∈ KEF( ). Dann gilt 1 ∈ RGS\{∅} und Α ∧ Β ∈ VER( 1) nach Theorem 3-26-(v) VAN( 1) ⊆ VAN( ). Nun gibt es nach Theorem 4-2 ein + ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( +) ⊆ VAN( 1) ⊆ VAN( ), K( +) = K( 1) = Α ∧ Β und für alle k ∈ Dom(VANS( +)): Wenn A( +k) = α = α , dann k = max(Dom(VANS( +))). Dann ist α = α ∈ VAN( +) oder α = α ∉ VAN( +). Erster Fall: Angenommen α = α ∈ VAN( +). Dann ist A( +max(Dom(VANS( +)))) = α = α und für alle k ∈ Dom(VANS( +)): Wenn A( +k) = α = α , dann k = max(Dom(VANS( +))). Seien nun folgende Sequenzen definiert: 2 = + ∪ {(Dom( +), Also α = α → (Α ∧ Β) )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Also α = α )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also Α ∧ Β )}. Nach Definition 3-2 ist 2 ∈ SEF( +), damit 2 ∈ RGS\{∅} und mit Theorem 3-19-(ix) VAN( 2) ⊆ VAN( +) ⊆ VAN( ). Sodann gilt mit Theorem 3-22, dass α = α ∉ VAN( 2) und damit VAN( 2) ⊆ VAN( )\{ α = α }. Zudem ist α = α → (Α ∧ Β) ∈ VER( 2). Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind K( 3) und K( 4) keine Negationen oder Subjunktionen und K( 3) nicht identisch mit K( 2) und K( 4) nicht identisch mit K( 3). Also 3 ∉ SEF( 2) ∪ NEF( 2) ∪ PBF( 2) und 4 ∉ SEF( 3) ∪ NEF( 3) ∪ PBF( 3). Hingegen ist nach Definition 3-16 3 ∈ IEF( 1) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {(Dom( 2), Also α = α )}. Damit gilt VANS( 3) = VANS( 1), α = α → (Α ∧ Β) ∈ VER( 2) ⊆ VER( 3) und α = α ∈ VER( 3). Also ist nach Definition 3-3 4 ∈ SBF( 3) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4) = VERS( 3) ∪ {(Dom( 3), Also Α ∧ Β )}. Damit gilt VANS( 4) = VANS( 3). Insgesamt ist damit 4 ∈ RGS\{∅}, VAN( 4) = VAN( 3) = VAN( 2) ⊆ VAN( )\{ α = α } und Α ∧ Β ∈ VER( 4). Mit Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( 4) ⊆ VAN( )\{ α = α } und Α, Β ∈ VER( *) und K( *) = Β. Zweiter Fall: Angenommen α = α ∉ VAN( +) und mithin VAN( +) ⊆ VAN( )\{ α = α }. Nun ist Α ∧ Β = K( +) ∈ VER( +). Mit Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte 4.1 Vorbereitungen 173 * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( +) ⊆ VAN( )\{ α = α } und Α, Β ∈ VER( *) und K( *) = Β. ■ Theorem 4-8. Einfache Substitution eines neuen Parameters für einen Parameter ist RGS-treu Wenn ∈ RGS, und β* ∈ PAR\TTSEQ( ) und β ∈ PAR\{β*}, dann ist [β*, β, ] ∈ RGS und Dom(VERS([β*, β, ])) = Dom(VERS( )). Beweis: Durch Induktion über Dom( ). Sei ∈ RGS, und β* ∈ PAR\TTSEQ( ) und β ∈ PAR\{β*} und gelte die Behauptung für alle k < Dom( ). Sei Dom( ) = 0. Dann ist = ∅ = [β*, β, ] und damit [β*, β, ] ∈ RGS und es ist Dom(VERS([β*, β, ])) = ∅ = Dom(VERS( )). Sei nun 0 < Dom( ). Dann ist ∈ RGS\{∅}. Dann ist mit Theorem 3-6 ∈ RGF( Dom( )-1). Dann ist nach I.V.: a) * = [β*, β, Dom( )-1] ∈ RGS und Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( Dom( )-1)). Sodann ergibt sich mit ∈ RGF( Dom( )-1) mit Definition 3-18, dass ∈ AF( Dom( )-1) oder ∈ SEF( Dom( )-1) oder ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NEF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ PBF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1). Da sich Operatoren durch die Substitution nicht verändern, gilt nun zunächst: b) Für alle i ∈ Dom( )-1: A( *i) = [β*, β, A( i)] und *i = Ξ [β*, β, A( i)] , wobei i = Ξ A( i) , für ein Ξ ∈ PERF. Sodann gilt mit β* ∈ PAR\TTSEQ( ) und β ∈ PAR\{β*}: c) Für jedes i ∈ Dom( ): β* ∉ TT(A( i)) und β ∉ TT([β*, β, A( i)]), da sonst im Gegensatz zur Voraussetzung β* ∈ TTSEQ( ) oder β = β*. Sodann sei vereinbart: d) + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Dom( )-1])}. 174 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Dann ist + = [β*, β, ]. Nun wird gezeigt, dass sich für die einzelnen Fälle AF ... IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )), womit dann jeweils gezeigt ist, dass das Theorem gilt. Um Sonderbetrachtungen bei SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UEF, UBF, PEF, IEF und IBF zu vereinfachen wird nun noch vorbereitend gezeigt: e) Wenn + ∈ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *), dann ∈ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( -1) ∪ PBF( Dom( -1). Vorbereitungsteil: Sei + ∈ SEF( *). Dann gibt es nach Definition 3-2 i ∈ Dom(VANS( *)), so dass mit b) und d) A( *i) = [β*, β, A( i)] und K( *) = [β*, β, A( Dom( )-2)] und es kein l mit i < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( )-1, Also A( *i) → A( *Dom( )-2) )} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( i)] → [β*, β, A( Dom( )-2)] )}. Mit d) ist Also [β*, β, A( i)] → [β*, β, A( Dom( )-2)] = [β*, β, Also A( i) → A( Dom( )-2) ] = [β*, β, Dom( )-1]. Theorem 1-21 ergibt Also A( i) → A( Dom( )-2) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i) → A( Dom( )-2) )}. Sodann gilt mit a) und b): i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Damit ist dann auch ∈ SEF( Dom( )-1). Für den Fall, dass + ∈ NEF( *), zeigt man analog, dass dann auch ∈ NEF( Dom( )-1). Sei nun + ∈ PBF( *). Dann gibt es nach Definition 3-15 mit b) und d), β+ ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( *)), so dass A( *i) = ζΔ = [β*, β, A( i)] und A( *i+1) = [β+, ζ, Δ] = [β*, β, A( i+1)], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( *)), [β*, β, A( Dom( )-2)] = K( *), β+ ∉ TTFM({Δ, [β*, β, A( Dom( )-2)]}), es kein j ≤ i gibt, so dass β+ ∈ TT( *j), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( )-1, Also K( *) )} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( Dom( )-2)] )} = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also A( Dom( )-2) ])}. Mit d) ist [β*, β, Also A( Dom( )-2) ] = [β*, β, Dom( )-1]. Theorem 1-21 ergibt Also A( Dom( )-2) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2) )}. Mit a) und b) gilt dann: i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), i+1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Zu zeigen ist nun noch, dass A( i), A( i+1) und A( Dom( )-2) die Voraussetzungen für ∈ PBF( Dom( )-1) erfüllen. 4.1 Vorbereitungen 175 Nun ist [β*, β, A( i)] = A( *i) = ζΔ und [β*, β, A( i+1)] = A( *i+1) = [β+, ζ, Δ]. Da Operatoren durch die Substitution nicht verändert werden, gilt damit wegen [β*, β, A( i)] = ζΔ : A( i) = ζΔ+ für ein Δ+ ∈ FORM, wobei β* ∉ TT(Δ+) und FV(Δ+) ⊆ {ζ}. Damit ist ζΔ = [β*, β, A( i)] = [β*, β, ζΔ+ ] = ζ[β*, β, Δ+] und somit Δ = [β*, β, Δ+]. Damit gilt wiederum: [β*, β, A( i+1)] = [β+, ζ, Δ] = [β+, ζ, [β*, β, Δ+]] und β+ ∉ TT([β*, β, Δ+]). Sodann gilt β* = β+ oder β* ≠ β+. Erster Fall: Sei β* = β+. Dann ist β* ∉ TT([β*, β, Δ+]) und damit β ∉ TT(Δ+). Dann ist Δ = [β*, β, Δ+] = Δ+ und wegen β* = β+ ist dann [β*, β, A( i+1)] = [β+, ζ, Δ] = [β*, ζ, Δ+]. Sodann ist β* ∉ TT(Δ+) und β* ∉ TT(A( i+1)) und damit gilt mit Theorem 1-23 wegen [β*, β, A( i+1)] = [β*, ζ, Δ+], dass A( i+1) = [β, ζ, Δ+]. Wäre nun β ∈ TTFM({Δ+, A( Dom( )-2)}) oder gäbe es ein j ≤ i, so dass β ∈ TT( j). Dann ergäbe sich mit b) und β* = β+, dass β+ ∈ TTFM({[β*, β, Δ+], [β*, β, A( Dom( )-2)]}) oder dass es j ≤ i gäbe, so dass β+ ∈ TT( *j). Widerspruch! Also ist A( i) = ζΔ+ und A( i+1) = [β, ζ, Δ+] und β ∉ TTFM({Δ+, A( Dom( )-2)}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( j) und somit insgesamt ∈ PBF( Dom( )-1). Zweiter Fall: Angenommen, β* ≠ β+. Dann lassen sich mit β+ ∈ TT([β*, β, A( i+1)]) und β+ ∉ TT([β*, β, A( i+1)]) zwei Unterfälle unterscheiden. Erster Unterfall: Angenommen β+ ∈ TT([β*, β, A( i+1)]). Dann ist β+ ≠ β und damit β ∉ TT(β+). Dann ist mit Δ = [β*, β, Δ+] und Theorem 1-25-(ii): [β*, β, A( i+1)] = [β+, ζ, Δ] = [β+, ζ, [β*, β, Δ+]] = [β*, β, [β+, ζ, Δ+]]. Sodann ist β* ∉ TT(A( i+1)) und wegen β* ≠ β+ und β* ∉ TT(Δ+) auch β* ∉ TT([β+, ζ, Δ+]) und damit mit Theorem 1-20 A( i+1) = [β+, ζ, Δ+]. Wäre nun β+ ∈ TTFM({Δ+, A( Dom( )-2)}) oder gäbe es ein j ≤ i, so dass β+ ∈ TT( j). Dann wäre wegen β+ ≠ β mit b) auch β+ ∈ TTFM({[β*, β, Δ+], [β*, β, A( Dom( )-2)]}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β+ ∈ TT( *j). Widerspruch! Also ist im ersten Unterfall die Parameterbedingung für β+ auch in Dom( )-1 erfüllt und damit wiederum insgesamt ∈ PBF( Dom( )-1). Zweiter Unterfall: Sei nun β+ ∉ TT([β*, β, A( i+1)]). Dann gilt mit [β*, β, A( i+1)] = [β+, ζ, [β*, β, Δ+]], dass ζ ∉ FV([β*, β, Δ+]). Dann ist [β*, β, A( i+1)] = [β+, ζ, [β*, β, Δ+]] = [β*, β, Δ+] und damit mit β* ∉ TT(A( i+1)) ∪ TT(Δ+) wiederum mit Theorem 1-20 A( i+1) = Δ+, wobei mit ζ ∉ FV([β*, β, Δ+]) auch ζ ∉ FV(Δ+). Sei nun β§ ∈ PAR\TTSEQ( Dom( )-1). Dann gilt mit ζ ∉ FV(Δ+), dass A( i+1) = Δ+ = [β§, ζ, Δ+] und es gilt: β§ ∉ TTFM({Δ+, A( Dom( )-2)}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β§ ∈ TT( j). 176 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Damit ist dann ebenfalls insgesamt auch ∈ PBF( Dom( )-1). Also gilt in beiden Unterfällen und damit insgesamt in beiden Fällen, dass ∈ PBF( Dom( )-1). Hauptteil: Nun zum Nachweis, dass sich für die einzelnen Fälle AF ... IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )). Zunächst werden SEF, NEF und PBF behandelt. Nach einer Ausschlussannahme für alle anderen Fälle kann dann für diese mit a), e) und Theorem 3-25 sofort Dom(VERS( +)) bestimmt werden. (SEF, NEF): Sei nun ∈ SEF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-2 i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass es kein l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) mit i < l ≤ Dom( )-2 gibt und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i) → K( Dom( )-1) )}. Dann gilt mit a), b) und d): i ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)), und A( *i) = [β*, β, A( i)] und K( *) = [β*, β, K( Dom( )-1)] und + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also A( i) → K( Dom( )-1) ])}= * ∪ {(Dom( )-1, Also A( *i) → K( *) )}. Damit ist dann + ∈ SEF( *) und damit + ∈ RGS. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(iii), dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | i ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( i) → K( Dom( )-1) )} und dass VERS( +) = VERS( *)\{(j, +j) | i ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( i)] → [β*, β, K( Dom( )-1)] )}. Mit Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( Dom( )-1)) ergibt sich dann auch Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )). Für den Fall, dass ∈ NEF( Dom( )-1), zeigt man analog, dass dann auch + ∈ NEF( *) ⊆ RGS und Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )). (PBF): Sei nun ∈ PBF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-15 β+ ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = ζΔ , A( i+1) = [β+, ζ, Δ], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), β+ ∉ TTFM({Δ, A( Dom( )-2)}), es kein j ≤ i gibt, so dass β+ ∈ TT( j), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2) )}. Damit ergibt sich dann mit a), b) und d) zunächst: i ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i) = [β*, β, A( i)] = [β*, β, ζΔ ] = ζ[β*, β, Δ] , i+1 ∈ Dom(VANS( *)) und A( *i+1) = [β*, β, A( i+1)] = [β*, β, [β+, ζ, Δ]], K( *) = A( *Dom( )-2) = [β*, β, A( Dom( )-2)] und + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also K( Dom( )-1) ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also K( *)] )} und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Sodann lassen sich mit β+ = β und β+ ≠ β zwei Fälle unterscheiden. 4.1 Vorbereitungen 177 Erster Fall: Sei β+ = β. Dann ist A( i+1) = [β*, β, [β+, ζ, Δ]] = [β*, β, [β, ζ, Δ]] und mit β+ ∉ TT(Δ) auch β ∉ TT(Δ) und somit mit Theorem 1-24-(ii) A( i+1) = [β*, β, [β, ζ, Δ]] = [β*, ζ, Δ]. Mit β ∉ TT(Δ) ist sodann [β*, β, Δ] = Δ und damit A( *i) = ζ[β*, β, Δ] = ζΔ . Sodann gilt mit β = β+ und β* ∉ TTSEQ( ): β, β* ∉ TTFM({Δ, A( Dom( )-2)}) und damit auch β* ∉ TTFM({Δ, [β*, β, A( Dom( )-2)]}). Gäbe es nun ein j ≤ i, so dass β* ∈ TT( *j). Dann ist mit b) β* ∈ TT( *j) = [β*, β, j]. Sodann ist mit β* ∉ TTSEQ( ) auch β* ∉ TT( j). Damit gilt mit β* ∈ TT( *j) dann aber β ∈ TT( j) und andererseits nach Voraussetzung β = β+ ∉ TT( j). Widerspruch! Also gilt, dass es kein j ≤ i gibt, so dass β* ∈ TT( *j). Damit ist dann insgesamt + ∈ PBF( *). Zweiter Fall: Sei nun β+ ≠ β. Dann lassen sich mit β+ ≠ β* und β+ = β* zwei Unterfälle unterscheiden. Erster Unterfall: Sei β+ ≠ β*. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii) und β+ ≠ β: A( *i+1) = [β*, β, [β+, ζ, Δ]] = [β+, ζ, [β*, β, Δ]]. Sodann ist A( *i) = ζ[β*, β, Δ] . Wäre nun β+ ∈ TTFM({[β*, β, Δ], [β*, β, A( Dom( )-2)]}) oder gäbe es ein j ≤ i, so dass β+ ∈ TT( *j). Dann wäre wegen β+ ≠ β* mit b) auch β+ ∈ TTFM({Δ, A( Dom( )-2)}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β+ ∈ TT( j). Widerspruch! Also ist β+ ∉ TTFM({[β*, β, Δ], [β*, β, A( Dom( )-2)]}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β+ ∈ TT( *j) und damit wiederum insgesamt + ∈ PBF( *). Zweiter Unterfall: Sei nun β+ = β*. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β* ∈ TT([β+, ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Damit ist dann [β+, ζ, Δ] = Δ und damit A( *i+1) = [β*, β, [β+, ζ, Δ]] = [β*, β, Δ] und sodann ist A( *i) = ζ[β*, β, Δ] . Sei nun β§ ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β*, β, Δ]) und damit A( *i+1) = [β*, β, Δ] = [β§, ζ, [β*, β, Δ]] und es gilt: β§ ∉ TTFM({[β*, β, Δ], [β*, β, A( Dom( )-2)]}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β§ ∈ TT( *j). Damit ist dann wieder insgesamt auch + ∈ PBF( *). Damit gilt in beiden Unterfällen und somit insgesamt in beiden Fällen, dass + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-21-(iii), dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | i+1 ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2) )} und dass VERS( +) = VERS( *)\{(j, +j) | i+1 ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, A( Dom( )-2)] )}. Mit Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( Dom( )-1)) ergibt sich dann wieder Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )). Ausschlussannahme: Für die verbleibenden Schritte sei ∉ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Mit e) ist dann + ∉ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *). Damit ergibt sich für die folgenden Fälle dann mit Theorem 3-25 jeweils, dass 178 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft VERS( ) = VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, K( ))} und dass VERS( +) = VERS( *) ∪ {(Dom( )-1, K( +))}. Mit Dom(VERS( *)) = Dom(VERS( Dom( )-1)) ergibt sich dann Dom(VERS( +)) = Dom(VERS( )) für alle verbleibenden Fälle. (AF): Sei nun ∈ AF( Dom( )-1). Dann ist nach Definition 3-1 = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Sei A( Dom( )-1) ). Dann ist mit d) + = * ∪ {(Dom( )-1, Sei [β*, β, A( Dom( )-1)] )} ∈ AF( *) und damit + ∈ RGS. (SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF): Sei nun ∈ SBF( Dom( )-1). Dann gibt es mit Definition 3-3 Α, Β ∈ GFORM, so dass Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also Β )}. Mit d) gilt dann: + = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, Β] )}. Sodann gibt es mit Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = Α und A( j) = Α → Β . Mit a) und b) ergibt sich dann, dass i, j ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i) = [β*, β, Α] und A( *j) = [β*, β, Α] → [β*, β, Β] . Damit gilt dann mit d), dass + = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, Β] )} ∈ SBF( *) und damit + ∈ RGS. Für KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF und NBF ist analog vorzugehen. (UEF): Sei nun ∈ UEF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-12 β+ ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [β+, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), β+ ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Dann gilt mit d): + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also ζ[β*, β, Δ] )}. Sodann gibt es mit [β+, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1), so dass [β+, ζ, Δ] = A( i). Mit a) und b) gilt dann, dass i ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i) = [β*, β, A( i)] = [β*, β, [β+, ζ, Δ]]. Sodann lassen sich mit β+ = β und β+ ≠ β zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei β+ = β. Dann ist A( *i) = [β*, β, [β+, ζ, Δ]] = [β*, β, [β, ζ, Δ]] und mit β+ ∉ TT(Δ) auch β ∉ TT(Δ) und somit mit Theorem 1-24-(ii) A( *i) = [β*, β, [β, ζ, Δ]] = [β*, ζ, Δ]. Mit β ∉ TT(Δ) ist sodann [β*, β, Δ] = Δ und damit K( +) = ζ[β*, β, Δ] = ζΔ . Sodann gilt mit β+ = β und β* ∉ TTSEQ( ): β, β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) und damit mit a) und b) auch β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Wäre nämlich β* ∈ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Dann ist β* ∉ TT(Δ), da sonst β* ∈ TT(Δ) ⊆ TT( ζΔ ) = TT(K( )) ⊆ TTSEQ( ), was wegen β* ∉ TTSEQ( ) ausgeschlossen ist. Also gäbe es dann Β ∈ VAN( *), so dass β* ∈ TT(Β). Damit gäbe es mit Definition 2-31 j ∈ Dom(VANS( *)), so dass β* ∈ TT(A( *j)). Dann ist mit b) A( *j) = [β*, β, A( j)]. Sodann ist mit β* ∉ TTSEQ( ) auch β* ∉ TT(A( j)). Damit gilt mit β* ∈ 4.1 Vorbereitungen 179 TT(A( *j)) und A( *j) = [β*, β, A( j)] dann aber β ∈ TT(A( j)). Sodann ergibt sich mit a) und b) aus j ∈ Dom(VANS( *)), dass j ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und somit A( j) ∈ VAN( Dom( )-1). Damit wäre aber β ∈ TTFM(VAN( Dom( )-1)) und andererseits nach Voraussetzung β = β+ ∉ TTFM(VAN( Dom( )-1)). Widerspruch! Also ist β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( *)). Da sodann A( *i) = [β*, ζ, Δ], i ∈ Dom(VERS( *)) und K( +) = ζΔ ist damit dann insgesamt + ∈ UEF( *). Zweiter Fall: Sei nun β+ ≠ β. Dann lassen sich mit β+ ≠ β* und β+ = β* zwei Unterfälle unterscheiden. Erster Unterfall: Sei β+ ≠ β*. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii) und β+ ≠ β: A( *i) = [β*, β, [β+, ζ, Δ]] = [β+, ζ, [β*, β, Δ]]. Sodann ist K( +) = ζ[β*, β, Δ] . Angenommen β+ ∈ TTFM({[β*, β, Δ]} ∪ VAN( *)). Da β+ ≠ β* und β+ ∉ TT(Δ) ist zunächst β+ ∉ TT([β*, β, Δ]). Also wäre β+ ∈ TTFM(VAN( *)) und somit gäbe es mit Definition 2-31 ein j ∈ Dom(VANS( *)), so dass β+ ∈ TT(A( *j)). Da mit b) A( *j) = [β*, β, A( j)] und β+ ≠ β*, wäre damit aber bereits β+ ∈ TT(A( j)). Mit a) und b) ergäbe sich sodann aus j ∈ Dom(VANS( *)), dass j ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und somit A( j) ∈ VAN( Dom( )-1)) und damit β+ ∈ TTFM(VAN( Dom( )-1)) und andererseits nach Voraussetzung β+ ∉ TTFM(VAN( Dom( )-1)). Widerspruch! Also ist β+ ∉ TTFM({[β*, β, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit wiederum insgesamt + ∈ UEF( *). Zweiter Unterfall: Sei nun β+ = β*. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β* ∈ TT([β+, ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Damit ist dann [β+, ζ, Δ] = Δ und damit A( *i) = [β*, β, [β+, ζ, Δ]] = [β*, β, Δ] und sodann ist K( +) = ζ[β*, β, Δ] . Sei nun β§ ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β*, β, Δ]) und damit A( *i) = [β*, β, Δ] = [β§, ζ, [β*, β, Δ]] und es gilt: β§ ∉ TTFM({[β*, β, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit wiederum insgesamt + ∈ UEF( *). Damit gilt in beiden Unterfällen und somit insgesamt in beiden Fällen, dass + ∈ UEF( *) ⊆ RGS. (UBF): Sei nun ∈ UBF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-13 θ ∈ GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass ζΔ ∈ VER( Dom( )-1), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ, ζ, Δ] )}. Mit d) ist dann + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also [θ, ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, [θ, ζ, Δ]] )}. Sodann gibt es mit ζΔ ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = ζΔ . Mit a) und b) ist dann i ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i) = [β*, β, ζΔ ] = ζ[β*, β, Δ] . Sodann ist mit Theorem 1-26-(ii) K( +) = [β*, β, [θ, ζ, Δ]] = [[β*, β, θ], ζ, [β*, β, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM 180 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft auch [β*, β, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β*, β, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ UBF( *) ⊆ RGS. (PEF): Sei nun ∈ PEF( Dom( )-1). Dann gibt es nach Definition 3-14 θ ∈ GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Mit d) ist dann + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also ζ[β*, β, Δ] )}. Sodann gibt es mit [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = [θ, ζ, Δ]. Mit a) und b) ist dann i ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i) = [β*, β, A( i)]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( *i) = [β*, β, A( i)] = [β*, β, [θ, ζ, Δ]] = [[β*, β, θ], ζ, [β*, β, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM auch [β*, β, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β*, β, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ PEF( *) ⊆ RGS. (IEF): Sei nun ∈ IEF( Dom( )-1). Mit Definition 3-16 gibt es dann θ ∈ GTERM, so dass = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also θ = θ )}. Dann ist mit d) + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also θ = θ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, θ] = [β*, β, θ] )}, wobei mit θ ∈ GTERM auch [β*, β, θ] ∈ GTERM. Damit ist dann + ∈ IEF( *) ⊆ RGS. (IBF): Sei nun ∈ IBF( Dom( )-1). Dann gibt es mit Definition 3-17 θ0, θ1 ∈ GTERM, ζ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass θ0 = θ1 , [θ0, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ1, ζ, Δ] )}. Dann ist mit d) + = * ∪ {(Dom( )-1, [β*, β, Also [θ1, ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also [β*, β, [θ1, ζ, Δ]] )}. Sodann gibt es mit θ0 = θ1 , [θ0, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = θ0 = θ1 und A( j) = [θ0, ζ, Δ]. Dann gilt mit a) und b): i, j ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i) = [β*, β, A( i)] = [β*, β, θ0 = θ1 ] = [β*, β, θ0] = [β*, β, θ1] und A( *j) = [β*, β, A( j)]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( *j) = [β*, β, A( j)] = [β*, β, [θ0, ζ, Δ]] = [[β*, β, θ0], ζ, [β*, β, Δ]] und K( +) = [β*, β, [θ1, ζ, Δ]] = [[β*, β, θ1], ζ, [β*, β, Δ]], wobei mit θ0, θ1 ∈ GTERM auch [β*, β, θ0], [β*, β, θ1] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β*, β, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit gilt dann insgesamt + ∈ IBF( *) ⊆ RGS. ■ Das folgende Theorem dient der Vorbereitung des Generalisierungstheorems (Theorem 4-24). Der Beweis ähnelt stark dem Beweis zu Theorem 4-8. 4.1 Vorbereitungen 181 Theorem 4-9. Einfache Substitution eines neuen Parameters für eine Individuenkonstante ist RGS-treu Wenn ∈ RGS, α ∈ KONST und β ∈ PAR\TTSEQ( ), dann gibt es ein + ∈ RGS\{∅}, so dass (i) α ∉ TTSEQ( +), (ii) TTSEQ( +) ⊆ TTSEQ( ) ∪ {β}, (iii) VAN( ) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( +)} und (iv) Wenn ≠ ∅, dann K( ) = [α, β, K( +)]. Beweis: Sei ∈ RGS, α ∈ KONST und β ∈ PAR\TTSEQ( ). Sei nun + wie folgt definiert: a) + = {(0, Also β = β )} [β, α, ]. Zunächst gelten dann (i) und (ii) und es gilt auch, dass + ≠ ∅. Für + kann nun mittels Induktion über Dom( ) gezeigt werden, dass + ∈ RGS und b) Dom(VERS( +)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Mit a) und b) folgen dann auch (iii) und (iv). Zu (iii): Sei Δ ∈ VAN( ). Dann gibt es ein i ∈ Dom(VERS( )), so dass i = Sei Δ . Also ist mit b) i+1 ∈ Dom(VERS( +)) und mit a) +i+1 = Sei [β, α, Δ] . Also ist [β, α, Δ] ∈ VAN( +) und damit [α, β, [β, α, Δ]] ∈ {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( +)}. Nun ist β ∉ TTSEQ( ) und damit β ∉ TT(Δ) und mit Theorem 1-24-(ii) [α, β, [β, α, Δ]] = [α, α, Δ] = Δ. Also Δ ∈ {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( +)}. Sei nun Δ ∈ {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( +)}. Dann gibt es ein Δ* ∈ VAN( +), so dass Δ = [α, β, Δ*]. Wegen Δ* ∈ VAN( +) gibt es dann mit a) ein i+1 ∈ Dom(VERS( +)) mit +i+1 = Sei Δ* . Nun ist mit b) i ∈ Dom(VERS( )) und mit a) +i+1 = [β, α, i] und damit [β, α, i] = Sei Δ* und weiter [α, β, [β, α, i]] = [α, β, Sei Δ* ] = Sei [α, β, Δ*] = Sei Δ . Wie zuvor ist mit Theorem 1-24-(iii) und β ∉ TTSEQ( ) [α, β, [β, α, i]] = [α, α, i] = i und damit i = Sei Δ und A( i) = Δ. Damit ist Δ ∈ VAN( ). Damit gilt (iii). Zu (iv): Angenommen ≠ ∅. Wegen β ∉ TTSEQ( ) ist mit a) und Theorem 1-24-(ii) [α, β, K( +)] = [α, β, A( +Dom( +)-1)] = [α, β, [β, α, A( Dom( +)-2)]] = [α, α, A( Dom( +)-2)] = A( Dom( +)-2). Nun ist Dom( +) = Dom( )+1. Damit gilt weiter [α, β, K( +)] = A( Dom( +)-2) = A( Dom( )-1) = K( ). Nun zum Induktionsbeweis: Gelten nun + ∈ RGS und b) für alle k < Dom( ). Sei Dom( ) = 0. Dann ist = ∅ = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))}. Mit a) und Definition 3-16 ist + = {(0, Also β = β )} ∈ IEF(∅) ⊆ RGS. Offenbar gilt Dom(VERS( +)) = {0} = 182 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Sei nun 0 < Dom( ). Dann ist ∈ RGS\{∅}. Dann ist mit Theorem 3-6 ∈ RGF( Dom( )-1). Dann ist nach I.V.: c) * = {(0, Also β = β )} [β, α, Dom( )-1] ∈ RGS und Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0}. Sodann ergibt sich mit ∈ RGF( Dom( )-1) mit Definition 3-18, dass ∈ AF( Dom( )-1) oder ∈ SEF( Dom( )-1) oder ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NEF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ PBF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1). Da sich Operatoren durch die Substitution nicht verändern, gilt nun zunächst: d) Für alle i ∈ Dom( )-1: A( *i+1) = [β, α, A( i)] und *i+1 = Ξ [β, α, A( i)] , wobei i = Ξ A( i) für ein Ξ ∈ PERF. Sodann gilt mit β ∈ PAR\TTSEQ( ) und α ∈ KONST: e) Für alle i ∈ Dom( ): β ∉ TT(A( i)) und α ∉ TT([β, α, A( i)]), da sonst im Gegensatz zur Voraussetzung β ∈ TTSEQ( ) oder aber im Gegensatz zu Postulat 1-1 α = β. Mit a) gilt: f) + = * ∪ {(Dom( *), +Dom( *))} = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Dom( )-1])}. Nun wird gezeigt, dass sich für die einzelnen Fälle AF ... IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und b), womit + dann jeweils das gesuchte RGS-Element ist. Um Sonderbetrachtungen bei SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UEF, UBF, PEF, IEF und IBF zu vereinfachen wird nun noch vorbereitend gezeigt: g) Wenn + ∈ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *), dann ∈ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( -1) ∪ PBF( Dom( -1). Vorbereitungsteil: Sei + ∈ SEF( *). Dann gibt es nach Definition 3-2 und mit c) und f) ein i ∈ Dom(VANS( *)), so dass es kein l mit i < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)), und + = * ∪ {(Dom( ), Also A( *i) → K( *) )}. Nun ist *0 = Also β = β ∉ VANS( *). Also ist i ≠ 0 und mit d) A( *i) = [β, α, A( i-1)] und K( *) = [β, α, A( Dom( )-2)]. Also + = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( i-1)] → [β, α, 4.1 Vorbereitungen 183 A( Dom( )-2)] )}. Mit f) ist Also [β, α, A( i-1)] → [β, α, A( Dom( )-2)] = [β, α, Also A( i-1) → A( Dom( )-2) ] = [β, α, Dom( )-1]. Theorem 1-21 ergibt Also A( i-1) → A( Dom( )-2) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i-1) → A( Dom( )-2) )}. Sodann gilt mit c), d) und i ≠ 0: i-1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und es gibt kein l mit i-1 < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Damit ist dann auch ∈ SEF( Dom( )-1). Für den Fall, dass + ∈ NEF( *), zeigt man analog, dass dann auch ∈ NEF( Dom( )-1). Sei nun + ∈ PBF( *). Nach Definition 3-15 und mit c), d) und f) gibt es dann β* ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( *)), so dass A( *i) = ζΔ und A( *i+1) = [β*, ζ, Δ] = [β, α, A( i)], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( *)), [β, α, A( Dom( )-2)] = K( *), β* ∉ TTFM({Δ, [β, α, A( Dom( )-2)]}), es kein j ≤ i gibt, so dass β* ∈ TT( *j), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-1 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( *)) und + = * ∪ {(Dom( ), Also K( *) )} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( Dom( )-2)] )} = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also A( Dom( )-2) ])}. Mit f) ist [β, α, Also A( Dom( )-2) ] = [β, α, Dom( )-1]. Theorem 1-21 ergibt Also A( Dom( )-2) = Dom( )-1 und mithin = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2) )}. Mit A( *i) = ζΔ ≠ β = β = A( *0) ist i ≠ 0 und daher A( *i) = ζΔ = [β, α, A( i-1)]. Damit ergibt sich dann mit c), d) und i ≠ 0 zunächst: i-1 ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom( )-2, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)). Zu zeigen ist nun noch, dass A( i-1), A( i) und A( Dom( )-2) die Voraussetzungen für ∈ PBF( Dom( )-1) erfüllen. Nun ist [β, α, A( i-1)] = A( *i) = ζΔ und [β, α, A( i)] = A( *i+1) = [β*, ζ, Δ]. Da Operatoren durch die Substitution nicht verändert werden, gilt damit wegen [β, α, A( i-1)] = ζΔ : A( i-1) = ζΔ+ für ein Δ+ ∈ FORM, wobei β ∉ TT(Δ+) und FV(Δ+) ⊆ {ζ}. Damit ist ζΔ = [β, α, A( i-1)] = [β, α, ζΔ+ ] = ζ[β, α, Δ+] und somit Δ = [β, α, Δ+]. Damit gilt wiederum: [β, α, A( i)] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]] und β* ∉ TT([β, α, Δ+]). Sodann gilt β = β* oder β ≠ β*. Wäre β = β*, dann gäbe es kein j ≤ i, so dass β ∈ TT( *j). Nun ist aber β ∈ TT( Also β = β ) = TT( *0) und 0 ≤ i. Also ist β ≠ β*. Dann lassen sich mit β* ∈ TT([β, α, A( i)]) und β* ∉ TT([β, α, A( i)]) zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Angenommen β* ∈ TT([β, α, A( i)]). Dann ist mit Δ = [β, α, Δ+] und Theorem 1-25-(ii): [β, α, A( i)] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]] = [β, α, [β*, ζ, Δ+]]. Sodann ist β ∉ TT(A( i)) und wegen β ≠ β* und β ∉ TT(Δ+) auch β ∉ TT([β*, ζ, Δ+]) und 184 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft damit mit Theorem 1-20 A( i) = [β*, ζ, Δ+]. Wäre nun β* ∈ TTFM({Δ+, A( Dom( )-2)}) oder gäbe es ein j ≤ i-1, so dass β* ∈ TT( j). Dann wäre wegen β* ≠ α mit d) auch β* ∈ TTFM({[β, α, Δ+], [β, α, A( Dom( )-2)]}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β* ∈ TT( *j). Widerspruch! Also ist im ersten Fall die Parameterbedingung für β* auch in Dom( )-1 erfüllt und damit wiederum insgesamt ∈ PBF( Dom( )-1). Zweiter Fall: Sei nun β* ∉ TT([β, α, A( i)]). Mit [β, α, A( i)] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]], gilt dann ζ ∉ FV([β, α, Δ+]). Dann ist [β, α, A( i)] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]] = [β, α, Δ+] und damit mit β ∉ TT(A( i)) ∪ TT(Δ+) wiederum mit Theorem 1-20 A( i) = Δ+, wobei mit ζ ∉ FV([β, α, Δ+]) auch ζ ∉ FV(Δ+). Sei nun β+ ∈ PAR\TTSEQ( Dom( )-1). Mit ζ ∉ FV(Δ+), gilt dann A( i) = Δ+ = [β+, ζ, Δ+] und es gilt: β+ ∉ TTFM({Δ+, A( Dom( )-2)}) und es gibt kein j ≤ i, so dass β+ ∈ TT( j). Damit ist dann ebenfalls insgesamt auch ∈ PBF( Dom( )-1). Also gilt in beiden Fällen ∈ PBF( Dom( )-1). Hauptteil: Nun zum Nachweis, dass sich für die einzelnen Fälle AF ... IBF jeweils ergibt, dass + ∈ RGS und Dom(VERS( +)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Zunächst werden SEF, NEF und PBF behandelt. Nach einer Ausschlussannahme für alle anderen Fälle kann für diese Dom(VERS( +)) allein mit c), g) und Theorem 3-25 bestimmt werden. (SEF, NEF): Sei nun ∈ SEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-2 gibt es dann ein i ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass es kein l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) mit i < l ≤ Dom( )-2 gibt und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( i) → K( Dom( )-1) )}. Dann gilt mit a), d) und f): i+1 ∈ Dom(VANS( *)) und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-1 = Dom( *)-1, so dass l ∈ Dom(VANS( *)), und A( *i+1) = [β, α, A( i)] und K( *) = [β, α, K( Dom( )-1)] und + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also A( i) → K( Dom( )-1) ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( i)] → [β, α, K( Dom( )-1)] )} = * ∪ {(Dom( ), Also A( *i+1) → K( *) )}. Damit ist dann + ∈ SEF( *) und damit + ∈ RGS. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(iii), dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | i ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( i) → K( Dom( )-1) )} und dass VERS( +) = VERS( *)\{(j, +j) | i+1 ≤ j < Dom( )} ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( i)] → [β, α, K( Dom( )-1)] )}. Mit Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0} ergibt sich dann auch Dom(VERS( +)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. Für den Fall, dass ∈ NEF( Dom( )-1), zeigt man analog, 4.1 Vorbereitungen 185 dass dann auch + ∈ NEF( *) ⊆ RGS und Dom(VERS( +)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. (PBF): Sei nun ∈ PBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-15 gibt es dann β* ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = ζΔ , A( i+1) = [β*, ζ, Δ], wobei i+1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), β* ∉ TTFM({Δ, A( Dom( )-2)}), es kein j ≤ i gibt, so dass β* ∈ TT( j), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom( )-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2) )}. Damit ergibt sich dann mit c), d) und f) zunächst: i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i+1) = [β, α, A( i)] = [β, α, ζΔ ] = ζ[β, α, Δ] , i+2 ∈ Dom(VANS( *)) und A( *i+2) = [β, α, A( i+1)] = [β, α, [β*, ζ, Δ]], K( *) = A( *Dom( )-1) = [β, α, A( Dom( )-2)] und + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also K( Dom( )-1) ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, K( Dom( )-1)] )} = * ∪ {(Dom( ), Also K( *) )} und es gibt kein l mit i+2 < l ≤ Dom( )-1 = Dom( *)-1, so dass l ∈ Dom(VANS( *)). Sodann lassen sich mit β* ≠ β und β* = β zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei β* ≠ β. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii) A( *i+2) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β*, ζ, [β, α, Δ]]. Sodann ist A( *i+1) = ζ[β, α, Δ] . Wäre nun β* ∈ TTFM({[β, α, Δ], [β, α, A( Dom( )-2)]}) oder gäbe es ein j ≤ i+1, so dass β* ∈ TT( *j), dann wäre wegen β* ≠ β mit d) auch β* ∈ TTFM({Δ, A( Dom( )-2)}) oder es gäbe j ≤ i, so dass β* ∈ TT( j). Widerspruch! Also ist β* ∉ TTFM({[β, α, Δ], [β, α, A( Dom( )-2)]}) und es gibt kein j ≤ i+1, so dass β* ∈ TT( *j) und damit ist + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS. Zweiter Fall: Sei nun β* = β. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β ∈ TT([β*, ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Dann ist [β*, ζ, Δ] = Δ und damit A( *i+2) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β, α, Δ] und sodann ist A( *i+1) = ζ[β, α, Δ] . Sei nun β+ ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β, α, Δ]) und damit A( *i+2) = [β, α, Δ] = [β+, ζ, [β, α, Δ]] und es gilt: β+ ∉ TTFM({[β, α, Δ], [β, α, A( Dom( )-2)]}) und es gibt kein j ≤ i+1, so dass β+ ∈ TT( *j). Damit ist dann wieder + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS. Damit gilt in beiden Fällen + ∈ PBF( *) und damit + ∈ RGS. Sodann ergibt sich mit Theorem 3-21-(iii), dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1)\{(j, j) | i+1 ≤ j < Dom( )-1} ∪ {(Dom( )-1, Also A( Dom( )-2) )} und dass VERS( +) = VERS( *)\{(j, +j) | i+2 ≤ j < Dom( )} ∪ {(Dom( ), Also [β, α, A( Dom( )-2)] )}. Mit Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0} ergibt sich dann wieder Dom(VERS( +)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0}. 186 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Ausschlussannahme: Für die verbleibenden Schritte sei ∉ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Mit g) ist dann + ∉ SEF( *) ∪ NEF( *) ∪ PBF( *). Damit ergibt sich für die folgenden Fälle dann jeweils mit Theorem 3-25, dass VERS( ) = VERS( Dom( )-1) ∪ {(Dom( )-1, K( ))} und dass VERS( +) = VERS( *) ∪ {(Dom( ), K( *))}. Mit Dom(VERS( *)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( Dom( )-1))} ∪ {0} ergibt sich dann Dom(VERS( +)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS( ))} ∪ {0} für alle verbleibenden Fälle. (AF): Sei nun ∈ AF( Dom( )-1). Nach Definition 3-1 ist dann = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Sei A( Dom( )-1) ). Dann ist mit f) + = * ∪ {(Dom( ), Sei [β, α, A( Dom( )-1)] )} ∈ AF( *) und damit + ∈ RGS. (SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF): Sei nun ∈ SBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-3 gibt es dann Α, Β ∈ GFORM, so dass Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also Β )}. Mit f) gilt dann: + = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, Β] )}. Sodann gibt es mit Α, Α → Β ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = Α und A( j) = Α → Β . Mit c) und d) ergibt sich dann, dass i+1, j+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i+1) = [β, α, Α] und A( *j+1) = [β, α, Α] → [β, α, Β] . Damit gilt dann + = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, Β] )} ∈ SBF( *) und damit + ∈ RGS. Für KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF und NBF ist analog vorzugehen. (UEF): Sei nun ∈ UEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-12 gibt es dann β* ∈ PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [β*, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1), β* ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Dann gilt mit f): + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( )-1, Also ζ[β, α, Δ] )}. Sodann gibt es mit [β*, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass [β*, ζ, Δ] = A( i). Mit c) und d) gilt dann, dass i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i+1) = [β, α, A( i)] = [β, α, [β*, ζ, Δ]]. Sodann lassen sich mit β* ≠ β und β* = β zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei β* ≠ β. Dann ist mit Theorem 1-25-(ii): A( *i+1) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β*, ζ, [β, α, Δ]]. Sodann ist K( +) = ζ[β, α, Δ] . Wäre β* ∈ TTFM({[β, α, Δ]} ∪ VAN( *)). Da β* ≠ β und β* ∉ TT(Δ) ist zunächst β* ∉ TT([β, α, Δ]). Also wäre β* ∈ TTFM(VAN( *)) und somit gäbe es mit Definition 2-31 ein j ∈ Dom(VANS( *)), so dass β* ∈ TT(A( *j)). Mit *0 ∈ FSATZ ist j ≠ 0. Da mit d) dann A( *j) = [β, α, A( j-1)] und β* ≠ β wäre damit aber bereits β* ∈ TT(A( j-1)). Mit c) und d) ergäbe sich 4.1 Vorbereitungen 187 sodann aus j ∈ Dom(VANS( *)), dass j-1 ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)) und somit A( j-1) ∈ VAN( Dom( )-1) und β* ∈ TTFM(VAN( Dom( )-1)) und andererseits nach Voraussetzung β* ∉ TTFM(VAN( Dom( )-1)). Widerspruch! Also ist β* ∉ TTFM({[β, α, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit + ∈ UEF( *). Zweiter Fall: Sei nun β* = β. Dann ist ζ ∉ FV(Δ), da sonst β ∈ TT([β*, ζ, Δ]) ⊆ TTSEQ( ). Damit ist dann [β*, ζ, Δ] = Δ und damit A( *i+1) = [β, α, [β*, ζ, Δ]] = [β, α, Δ] und sodann ist K( +) = ζ[β, α, Δ] . Sei nun β+ ∈ PAR\TTSEQ( *). Dann ist mit ζ ∉ FV(Δ) auch ζ ∉ FV([β, α, Δ]) und damit A( *i+1) = [β, α, Δ] = [β+, ζ, [β, α, Δ]] und es gilt: β+ ∉ TTFM({[β, α, Δ]} ∪ VAN( *)) und damit wiederum + ∈ UEF( *). Damit gilt in beiden Fällen, dass + ∈ UEF( *) ⊆ RGS. (UBF): Sei nun ∈ UBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-13 gibt es dann θ ∈ GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass ζΔ ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ, ζ, Δ] )}. Mit f) ist dann + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also [θ, ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, [θ, ζ, Δ]] )}. Sodann gibt es mit ζΔ ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = ζΔ . Mit c) und d) ist dann i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i+1) = [β, α, ζΔ ] = ζ[β, α, Δ] . Sodann ist mit Theorem 1-26-(ii) K( +) = [β, α, [θ, ζ, Δ]] = [[β, α, θ], ζ, [β, α, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM auch [β, α, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β, α, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ UBF( *) ⊆ RGS. (PEF): Sei nun ∈ PEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-14 gibt es dann θ ∈ GTERM, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also ζΔ )}. Mit f) ist dann + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also ζΔ ])} = * ∪ {(Dom( ), Also ζ[β, α, Δ] )}. Sodann gibt es mit [θ, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) nach Definition 2-30 ein i ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = [θ, ζ, Δ]. Mit c) und d) ist dann i+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i+1) = [β, α, A( i)]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( *i+1) = [β, α, A( i)] = [β, α, [θ, ζ, Δ]] = [[β, α, θ], ζ, [β, α, Δ]], wobei mit θ ∈ GTERM auch [β, α, θ] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β, α, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit ist dann insgesamt + ∈ PEF( *) ⊆ RGS. (IEF): Sei nun ∈ IEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-16 gibt es dann θ ∈ GTERM, so dass = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also θ = θ )}. Dann ist mit f) + = * ∪ 188 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft {(Dom( ), [β, α, Also θ = θ ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, θ] = [β, α, θ] )}, wobei mit θ ∈ GTERM auch [β, α, θ] ∈ GTERM. Damit ist dann + ∈ IEF( *) ⊆ RGS. (IBF): Sei nun ∈ IBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-17 gibt es dann θ0, θ1 ∈ GTERM, ζ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ζ}, so dass θ0 = θ1 , [θ0, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und = Dom( )-1 ∪ {(Dom( )-1, Also [θ1, ζ, Δ] )}. Dann ist mit f) + = * ∪ {(Dom( ), [β, α, Also [θ1, ζ, Δ] ])} = * ∪ {(Dom( ), Also [β, α, [θ1, ζ, Δ]] )}. Mit θ0 = θ1 , [θ0, ζ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und Definition 2-30 gibt es sodann i, j ∈ Dom(VERS( Dom( )-1)), so dass A( i) = θ0 = θ1 und A( j) = [θ0, ζ, Δ]. Dann gilt mit c) und d): i+1, j+1 ∈ Dom(VERS( *)) und A( *i+1) = [β, α, A( i)] = [β, α, θ0 = θ1 ] = [β, α, θ0] = [β, α, θ1] und A( *j+1) = [β, α, A( j)]. Dann ist mit Theorem 1-26-(ii) A( *j+1) = [β, α, A( j)] = [β, α, [θ0, ζ, Δ]] = [[β, α, θ0], ζ, [β, α, Δ]] und K( +) = [β, α, [θ1, ζ, Δ]] = [[β, α, θ1], ζ, [β, α, Δ]], wobei mit θ0, θ1 ∈ GTERM auch [β, α, θ0], [β, α, θ1] ∈ GTERM und mit FV(Δ) ⊆ {ζ} auch FV([β, α, Δ]) ⊆ {ζ}. Damit gilt dann insgesamt + ∈ IBF( *) ⊆ RGS. ■ Im Beweis des folgenden Theorems dient Theorem 4-8 als Induktionsbasis und als Hilfsmittel im Induktionsschritt. Das Theorem dient zur Vorbereitung der RGS-treuen Verkettung zweier RGS-Elemente, die nicht parameterfremd sind. Theorem 4-10. Mehrfache Substitution von neuen und paarweise verschiedenen Parametern für paarweise verschiedene Parameter ist RGS-treu Wenn ∈ RGS, k ∈ N\{0} und {β*0, ..., β*k-1} ⊆ PAR\TTSEQ( ), wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt, dass β*i ≠ β*j, und {β0, ..., βk-1} ⊆ PAR\{β*0, ..., β*k-1}, wobei für i, j < k mit i ≠ j gilt, dass βi ≠ βj, dann ist [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ] ∈ RGS und Dom(VERS([〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ])) = Dom(VERS( )). Beweis: Durch Induktion über k. Die Behauptung gilt mit Theorem 4-8 für k = 1. Gelte die Behauptung nun für k. Sei nun ∈ RGS, k+1 ∈ N\{0} und {β*0, ..., β*k} ⊆ PAR\TTSEQ( ), wobei für alle i, j < k+1 mit i ≠ j gelte, dass β*i ≠ β*j, und {β0, ..., βk} ⊆ PAR, wobei für alle i, j < k+1 mit i ≠ j gelte, dass βi ≠ βj. Dann gilt mit I.V. [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ] ∈ RGS und Dom(VERS([〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ])) = Dom(VERS( )). Sodann ist mit Theorem 1-27-(iv) [β*k, βk, [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ]] = [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, ] und mit Theorem 4-8 dann [〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, ] ∈ RGS und Dom(VERS([〈β*0, ..., β*k〉, 〈β0, ..., βk〉, ])) = Dom(VERS([〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, ])) = Dom(VERS( )). ■ 4.1 Vorbereitungen 189 Theorem 4-11. UE-Fortsetzung einer Sequenz Wenn ∈ RGS\{∅}, k ∈ N\{0}, {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt: ξi ≠ ξj, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1}, und {β0, ... βk-1} ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )), wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt: βi ≠ βj, und K( ) = [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ], dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) PAR ∩ TTSEQ( *) = PAR ∩ TTSEQ( ), (ii) VAN( *) ⊆ VAN( ) und (iii) K( *) = ξ0... ξk-1Δ . Beweis: Durch Induktion über k. Sei k = 1 und ∈ RGS\{∅}, sei ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∈ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )) und K( ) = [β, ξ, Δ]. Da dann mit Theorem 2-82 [β, ξ, Δ] = K( ) ∈ VER( ), ist nach Definition 3-12 * = ∪ {(Dom( ), Also ξΔ ) ∈ UEF( ) ⊆ RGS\{∅} und K( *) = ξΔ . Sodann ist PAR ∩ TTSEQ( *) = (PAR ∩ TTSEQ( )) ∪ (PAR ∩ TT( ξΔ )) = PAR ∩ TTSEQ( ) und mit Theorem 3-26-(v) ist VAN( *) ⊆ VAN( ). Gelte die Behauptung nun für k und sei ∈ RGS\{∅}, {ξ0, ..., ξk} ⊆ VAR, wobei für i, j < k+1 mit i ≠ j gelte: ξi ≠ ξj, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk} und {β0, ... βk} ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )), wobei für i, j < k+1 mit i ≠ j gelte: βi ≠ βj, und K( ) = [〈β0, ..., βk〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. Mit Theorem 1-28-(ii) ist dann K( ) = [〈β0, ..., βk〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ] = [βk, ξk, [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]]. Mit FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk} ist dann FV〈[〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]) ⊆ {ξk} und mit der paarweisen Verschiedenheit der βi und {β0, ... βk} ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )) ist dann βk ∈ PAR\TTFM({[〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]} ∪ VAN( )). Da sodann [βk, ξk, [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] = K( ) ∈ VER( ) ist nach Definition 3-12 ' = ∪ {(Dom( ), Also ξk[〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ] ) ∈ UEF( ) ⊆ RGS\{∅} und K( ') = ξk[〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ] und PAR ∩ TTSEQ( ') = (PAR ∩ TTSEQ( )) ∪ (PAR ∩ TT( ξk[〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ] )) = PAR ∩ TTSEQ( ) und mit Theorem 3-26-(v) ist VAN( ') ⊆ VAN( ). Wegen der paarweisen Verschiedenheit der ξi ist sodann für alle i < k: ξi ≠ ξk. Damit ist dann K( ) = ξk[〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ] = [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, ξkΔ ]. Mit FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk} ist dann FV( ξkΔ ) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1}, wobei die ξi mit i < k paarweise verschieden sind. Sodann ist mit {β0, ... βk} ⊆ PAR\TTFM({Δ} ∪ VAN( )) dann {β0, ... βk-1} ⊆ PAR\TTFM({ ξkΔ } ∪ VAN( )), wobei die βi mit i < k ebenfalls paarweise verschieden sind. Nach I.V. gibt es damit mit K( ') = [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., 190 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft ξk-1〉, ξkΔ ] ein * ∈ RGS\{∅}, so dass PAR ∩ TTSEQ( *) = PAR ∩ TTSEQ( ') = PAR ∩ TTSEQ( ), VAN( *) ⊆ VAN( ') ⊆ VAN( ) und K( *) = ξ0... ξkΔ . ■ Theorem 4-12. UB-Fortsetzung einer Sequenz Wenn ∈ RGS\{∅}, k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1} ⊆ GTERM, {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt, dass ξi ≠ ξj, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1}, und ξ0 ... ξk-1Δ ∈ VER( ), dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) Dom( *) = Dom( )+k, (ii) * Dom( ) = , (iii) VAN( *) ⊆ VAN( ), (iv) Für alle i < k-1 gilt: K( * Dom( )+i+1) = ξi+1 ... ξk-1[〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, Δ] , und (v) K( *) = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]. Beweis: Durch Induktion über k: Sei k = 1. Seien ∈ RGS\{∅}, θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und ξΔ ∈ VER( ). Dann gilt mit Definition 3-13: * = {(0, Also [θ, ξ, Δ] )} ∈ UBF( ) ⊆ RGS\{∅} und es ist Dom( *) = Dom( )+1 und * Dom( ) = und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( *) ⊆ VAN( ), (iv) ist wegen k = 1 trivialerweise erfüllt und K( ') = [θ, ξ, Δ]. Gelte die Behauptung nun für k und sei ∈ RGS\{∅}, {θ0, ..., θk} ⊆ GTERM, {ξ0, ..., ξk} ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k+1 mit i ≠ j gelte, dass ξi ≠ ξj, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk}, und ξ0 ... ξkΔ ∈ VER( ). Dann gilt mit FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk}, dass FV( ξ1 ... ξkΔ) ⊆ {ξ0} und mit θ0 ∈ GTERM und ξ0 ... ξkΔ ∈ VER( ) gilt mit Definition 3-13: ' = {(0, Also [θ0, ξ0, ξ1 ... ξkΔ] )} ∈ UBF( ) ⊆ RGS\{∅}. Dann ist Dom( ') = Dom( )+1 und ' Dom( ) = und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( ') ⊆ VAN( ). Wegen der paarweisen Verschiedenheit der ξi ist sodann für alle i mit 0 < i ≤ k: ξ0 ≠ ξi. Damit ist dann K( ') = [θ0, ξ0, ξ1 ... ξkΔ ] = ξ1 ... ξk[θ0, ξ0, Δ] . Sei nun ζi = ξi+1 und θ'i = θi+1 für alle i ∈ k. Dann gilt {θ'0, ..., θ'k-1} ⊆ GTERM, {ζ0, ..., ζk-1} ⊆ VAR, wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gilt, dass ζi ≠ ζj, [θ0, ξ0, Δ] ∈ FORM, wobei mit FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk} und θ0 ∈ GTERM gilt: FV([θ0, ξ0, Δ]) ⊆ {ξ1, ..., ξk} = {ζ0, ..., ζk-1}, und mit Theorem 2-82 gilt: ζ0 ... ζk-1[θ0, ξ0, Δ] = ξ1 ... ξk[θ0, ξ0, Δ] = K( ') ∈ VER( '). Dann gilt mit I.V., dass es ein * ∈ RGS\{∅} gibt, so dass: 4.1 Vorbereitungen 191 a) Dom( *) = Dom( ')+k, b) * Dom( ') = ' c) VAN( *) ⊆ VAN( '), d) Für alle i < k-1: K( * Dom( ')+i+1) = ζi+1... ζk-1[〈θ'0, ..., θ'i〉, 〈ζ0, ..., ζi〉, [θ0, ξ0, Δ]] und e) K( *) = [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈ζ0, ..., ζk-1〉, [θ0, ξ0, Δ]]. Dann ergibt sich mit a) wegen Dom( ') = Dom( )+1: Dom( *) = Dom( )+k+1. Sodann ergibt sich mit b) wegen ' Dom( ) = auch * Dom( ) = . Mit c) ergibt sich wegen VAN( ') ⊆ VAN( ), dass VAN( *) ⊆ VAN( ). Damit gilt bereits, dass * ∈ RGS\{∅} und dass die Klauseln (i) bis (iii) für * gelten. Aus d) ergibt sich sodann mit ζi = ξi+1 und θ'i = θi+1: Für alle i < k-1: K( * Dom( ')+i+1) = ξi+2 ... ξk[〈θ1, ..., θi+1〉, 〈ξ1, ..., ξi+1〉, [θ0, ξ0, Δ]] . Mit Dom( ') = Dom( )+1 gilt damit: f) Für alle i < k-1: K( * Dom( )+i+1+1) = ξi+2 ... ξk[〈θ1, ..., θi+1〉, 〈ξ1, ..., ξi+1〉, [θ0, ξ0, Δ]] . Damit gilt: g) Für alle i mit 0 < i < k: K( * Dom( )+i+1) = ξi+1 ... ξk[〈θ1, ..., θi〉, 〈ξ1, ..., ξi〉, [θ0, ξ0, Δ]] . Sodann gilt: h) Für alle i mit 0 < i < k+1: [〈θ1, ..., θi〉, 〈ξ1, ..., ξi〉, [θ0, ξ0, Δ]] = [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, Δ]. h) kann mittels Induktion über i gezeigt werden. Es gilt nämlich zunächst mit Theorem 1-28-(ii), dass [θ1, ξ1, [θ0, ξ0, Δ]] = [〈θ0, θ1〉, 〈ξ0, ξ1〉, Δ]. Gelte nun für i: Wenn 0 < i < k+1, dann [〈θ1, ..., θi〉, 〈ξ1, ..., ξi〉, [θ0, ξ0, Δ]] = [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, Δ]. Sei nun 0 < i+1 < k+1. Dann ist i = 0 oder 0 < i. Für i = 0 ergibt sich die Behauptung wie für die Induktionsbasis. Sei nun 0 < i. Dann ergibt sich zunächst wieder mit Theorem 1-28-(ii): [〈θ1, ..., θi+1〉, 〈ξ1, ..., ξi+1〉, [θ0, ξ0, Δ]] = [θi+1, ξi+1, [〈θ1, ..., θi〉, 〈ξ1, ..., ξi〉, [θ0, ξ0, Δ]]]. Mit I.V. gilt dann [θi+1, ξi+1, [〈θ1, ..., θi〉, 〈ξ1, ..., ξi〉, [θ0, ξ0, Δ]]] = [θi+1, ξi+1, [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, Δ]] und wiederum mit Theorem 1-28-(ii): [θi+1, ξi+1, [〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, Δ]] = [〈θ0, ..., 192 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft θi+1〉, 〈ξ0, ..., ξi+1〉, Δ] und damit insgesamt: [〈θ1, ..., θi+1〉, 〈ξ1, ..., ξi+1〉, [θ0, ξ0, Δ]] = [〈θ0, ..., θi+1〉, 〈ξ0, ..., ξi+1〉, Δ]. Also gilt h). Sodann gilt mit Dom( ') = Dom( )+1 und K( * Dom( ')) = K( ') = ξ1 .... ξk[θ0, ξ0, Δ] , dass K( * Dom( )+0+1) = ξ1 .... ξk[θ0, ξ0, Δ] . Mit g) und h) gilt dann insgesamt Klausel (iv): Für alle i < k: K( * Dom( )+i+1) = ξi+1 ... ξk[〈θ0, ..., θi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, Δ] . Zuletzt gilt mit e), h) und θ'i = θi+1 und ζi = ξi+1: K( *) = [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈ζ0, ..., ζk-1〉, [θ0, ξ0, Δ]] = [〈θ1, ..., θk〉, 〈ξ1, ..., ξk〉, [θ0, ξ0, Δ]] = [〈θ0, ..., θk〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ] und damit Klausel (v), womit insgesamt das Theorem für k+1 gilt. ■ Theorem 4-13. Induktionsbasis für Theorem 4-14 Wenn , ' ∈ RGS\{∅} und VANS( ') = ∅, dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) K( ), K( ') ∈ VER( *) und (ii) VAN( *) ⊆ VAN( ). Beweis: Seien , ' ∈ RGS\{∅} und sei VANS( ') = ∅. Wenn K( ) = K( '), können sowohl als auch ' für * gewählt werden. Sei nun K( ) ≠ K( '). Dann lassen sich mit PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅ und PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') ≠ ∅ zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') = ∅. Nun gibt es ein α ∈ KONST\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')). Dann gibt es mit Theorem 4-4 ein + ∈ RGS\{∅}, so dass VER( ) ∪ VER( ') ⊆ VER( +) und VAN( +) = VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( '). Nun ist mit Theorem 2-82 K( ) ∈ VER( ) und K( ') ∈ VER( ') und damit sind dann K( ), K( ') ∈ VER( +). Sodann gibt es mit Theorem 4-7 * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) ⊆ VAN( +)\{ α = α } = (VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( '))\{ α = α } ⊆ VAN( ) ∪ VAN( ') und K( ), K( ') ∈ VER( *), womit * das gesuchte RGSElement ist. Zweiter Fall: Sei nun PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( ') ≠ ∅. Dann kommen in ' k paarweise verschiedene Parameter für ein k ∈ N\{0} vor. Sei nun {β0, ..., βk-1} = PAR ∩ 4.1 Vorbereitungen 193 TTSEQ( '), wobei für alle i, j < k mit i ≠ j gelte βi ≠ βj. Nun gibt es β*0, ..., β*k-1 ∈ PAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')), wobei für alle i, j < k: Wenn i ≠ j, dann β*i ≠ β*j. Sodann gibt es ξ0, ..., ξk-1 ∈ VAR\(TTSEQ( ) ∪ TTSEQ( ')), wobei für alle i, j < k: Wenn i ≠ j, dann ξi ≠ ξj. Nun gilt mit Theorem 2-77 wegen VANS( ') = ∅ auch VAN( ') = ∅. Sodann gibt es mit Theorem 1-16 ein Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1} ∪ FV(K( ')) = {ξ0, ..., ξk-1} und TT(Δ) ∩ {β0, ..., βk-1} = ∅, so dass K( ') = [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]. Mit Theorem 4-11 gilt dann, dass es ein 1 ∈ RGS\{∅} gibt, so dass PAR ∩ TTSEQ( 1) = PAR ∩ TTSEQ( '), VAN( 1) ⊆ VAN( ') = ∅ und damit auch VANS( 1) = ∅ und K( 1) = ξ0... ξk-1Δ . Sodann gilt dann mit K( ') = [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ], dass PAR ∩ TT(Δ) ⊆ PAR ∩ TTSEQ( ') = {β0, ..., βk-1} und damit mit TT(Δ) ∩ {β0, ..., βk-1} = ∅, dass PAR ∩ TT(Δ) = PAR ∩ TT( ξ0... ξk-1Δ ) = PAR ∩ TT(K( 1)) = ∅. Sodann gilt mit Theorem 4-10: 2 = [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, 1] ∈ RGS und Dom(VERS( 2)) = Dom(VERS( 1)) und damit Dom(VANS( 2)) = Dom(VANS( 1)) = ∅ und somit auch VAN( 2) = ∅. Ausserdem ist dann PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( 2) ⊆ PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ {β*0, ..., β*k-1} = ∅. Ferner gilt wegen PAR ∩ TT(K( 1)) = ∅, dass K( 2) = [〈β*0, ..., β*k-1〉, 〈β0, ..., βk-1〉, K( 1)] = K( 1) = ξ0... ξk-1Δ . Nun gibt es ein α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( 2)). Mit Theorem 4-4 gibt es dann wegen PAR ∩ TTSEQ( ) ∩ TTSEQ( 2) = ∅ ein 3 ∈ RGS\{∅}, so dass: a) Dom( 3) = Dom( )+1+Dom( 2), b) 3 Dom( ) = , c) 3Dom( ) = Sei α = α , d) Für alle i ∈ Dom( 2) ist 2i = 3Dom( )+1+i, e) Dom(VERS( 3)) = Dom(VERS( )) ∪ {Dom( )} ∪ {(Dom( )+1+l | l ∈ Dom(VERS( 2))}, f) VER( 3) = VER( ) ∪ { α = α } ∪ VER( 2) und g) VAN( 3) = VAN( ) ∪ { α = α } ∪ VAN( 2) = VAN( ) ∪ { α = α }. Nun ist mit Theorem 2-82 K( ) ∈ VER( ) und somit mit f) K( ) ∈ VER( 3). Sodann ist ξ0... ξk-1Δ = K( 2) = K( 3). Mit Theorem 4-12 gibt es dann ein 4 ∈ RGS\{∅}, so dass h) Dom( 4) = Dom( 3)+k, i) 4 Dom( 3) = 3, j) VAN( 4) ⊆ VAN( 3) = VAN( ) ∪ { α = α }, 194 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft k) Für alle i < k: K( 4 Dom( 3)+i+1) = ξi+1 ... ξk-1[〈β0, ..., βi〉, 〈ξ0, ..., ξi〉, Δ] und l) K( 4) = [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]. Dann gilt zum einen, dass K( ') = [〈β0, ..., βk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ] = K( 4) ∈ VER( 4). Sodann gilt: 4Dom( ) = 3Dom( ) = Sei α = α . Da sodann α ∈ KONST\(TT( ) ∪ TT( 2)) und damit α ∉ TT(Δ) und da PAR ∩ KONST = ∅, ergibt sich mit a), b), c), d), h), i), k) und l), dass für alle l ∈ Dom( 4) gilt: α ∈ TT( 4l) gdw l = Dom( ). Damit gilt mit 4Dom( ) ∈ ANS( 4) und Theorem 4-3: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in 4, so dass min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Wäre nun ein geschlossener Abschnitt in 4 und min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 < max(Dom( )), dann wäre min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Also gibt es keinen geschlossenen Abschnitt in 4, so dass min(Dom( )) ≤ Dom( )-1 < max(Dom( )) und damit ist dann A( 4Dom( )-1) = K( ) ∈ VER( 4). Ferner ist K( ') = K( 4) ∈ VER( ). Damit gibt es mit Theorem 4-7 ein 5 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( 5) ⊆ VAN( 4)\{ α = α } ⊆ (VAN( ) ∪ {α = α})\{ α = α } ⊆ VAN( ) und K( ), K( ') ∈ VER( 5). ■ Theorem 4-14. SB-, KE-, BE-, BBund IB-Vorbereitungstheorem Wenn , ' ∈ RGS\{∅}, dann gibt es ein * ∈ RGS\{∅}, so dass (i) K( ), K( ') ∈ VER( *) und (ii) VAN( *) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( '). Beweis: Beweis durch Induktion über |VANS( ')|. Für |VANS( ')| = ∅ gilt die Behauptung mit Theorem 4-13. Gelte die Behauptung nun für n und seien , ' ∈ RGS\{∅} und |VANS( ')| = n+1. Dann ist mit Theorem 3-18 1 = ' {(0, Also A( 'max(Dom(VANS( '))) → K( ') )} ∈ SEF( ') ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-19-(iv) und (v) ist |VANS( 1)| = n und mit Theorem 3-19-(ix) ist VAN( 1) ⊆ VAN( '). Mit I.V. gilt dann, dass es ein 2 ∈ RGS\{∅} gibt, so dass: a) K( ), K( 1) ∈ VER( 2) und b) VAN( 2) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( 1) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( '). Folgende Sequenzen seien nun definiert, wobei α ∈ KONST\TTSEQ( 2): 4.1 Vorbereitungen 195 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Sei A( 'max(Dom(VANS( ')))) )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also α = α )} 5 = 4 ∪ {(Dom( 4), Also K( ') )}. Mit Theorem 1-12 ist zunächst K( 3) ∉ FSATZ und daher 3 ∉ SEF( 2) ∪ NEF( 2) ∪ PBF( 2). Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist ausserdem K( 4) keine Negation oder Subjunktion und daher 4 ∉ SEF( 3) ∪ NEF( 3). Wäre A( 'max(Dom(VANS( ')))) = α = α , dann wäre α ∈ TT(A( 'max(Dom(VANS( '))))) ⊆ TT(K( 1)) ⊆ TTFM(VER( 2)) ⊆ TTSEQ( 2), was der Annahme über α widerspricht. Also 4 ∉ SEF( 3) ∪ NEF( 3) ∪ PBF( 3). Wäre 5 ∈ SEF( 4) ∪ NEF( 4) ∪ PBF( 4), dann wäre α ∈ TT(A( 'max(Dom(VANS( '))))) ∪ TT(K( ')) ⊆ TT(K( 1)) ⊆ TTSEQ( 2), was wieder der Annahme über α widerspricht. Also 5 ∉ SEF( 4) ∪ NEF( 4) ∪ PBF( 4). Hingegen ist 3 ∈ AF( 2) und damit 3 ∈ RGS und mit Theorem 3-15-(vi) K( ), K( 1), A( 'max(Dom(VANS( ')))) ∈ VER( 2) ∪ {A( 'max(Dom(VANS( '))))} = VER( 3) und mit Theorem 3-15-(viii) VAN( 3) = VAN( 2) ∪ {A( 'max(Dom(VANS( '))))} ⊆ VAN( ) ∪ VAN( '). Sodann ist 4 ∈ IEF( 3) und damit 4 ∈ RGS und mit Theorem 3-25 VERS( 4) = VERS( 3) ∪ {(Dom( 3), Also α = α )}. Damit gilt VAN( 4) = VAN( 3) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( ') und K( ), K( 1), A( 'max(Dom(VANS( ')))) ∈ VER( 3) ⊆ VER( 4). Wegen K( 1) = A( 'max(Dom(VANS( '))) → K( ') ist 5 ∈ SBF( 4) ⊆ RGS\{∅}. Mit Theorem 3-25 gilt sodann VERS( 5) = VERS( 4) ∪ {(Dom( 4), Also K( ') )}. Damit gilt VAN( 5) = VAN( 4) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( ') und K( ) ∈ VER( 4) ⊆ VER( 5) und mit Theorem 2-82 K( ') = K( 5) ∈ VER( 5) und 5 ∈ RGS\{∅}. 5 ist damit das gesuchte RGS-Element. ■ 196 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft 4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft Nun werden übliche Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft etabliert, wobei insbesondere auch gezeigt wird, dass diese reflexiv (Theorem 4-15), monoton (Theorem 4-16), unter Einführung und Beseitigung der logischen Operatoren abgeschlossen (Theorem 4-18) und transitiv (Theorem 4-19) ist. Theorem 4-15. Erweiterte Reflexivität (AR) Wenn X ⊆ GFORM und Α ∈ X, dann X Α. Beweis: Sei X ⊆ GFORM und Α ∈ X. Dann ist Α ∈ GFORM und nach Definition 3-1 ist {(0, Sei Α )} ∈ AF(∅) ⊆ RGS\{∅} und es gilt, dass Α = K({(0, Sei Α )}) und VAN({(0, Sei Α )}) = {Α} ⊆ X. Also mit Theorem 3-12 X Α. ■ Theorem 4-16. Monotonie Wenn X Β und X ⊆ Y ⊆ GFORM, dann Y Β. Beweis: Sei X Β und X ⊆ Y ⊆ GFORM. Dann gibt es mit Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = Β. Dann ist VAN( ) ⊆ Y und damit Y Β. ■ Theorem 4-17. Principium non contradictionis Wenn X ∪ {Γ} ⊆ GFORM, dann X ¬(Γ ∧ ¬Γ) . Beweis: Sei X ∪ {Γ} ⊆ GFORM. Sei nun die folgende Sequenz: 0 Sei Γ ∧ ¬Γ 1 Also Γ 2 Also ¬Γ 3 Also ¬(Γ ∧ ¬Γ) Dann ist nach Definition 3-1 1 ∈ AF(∅) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 ist VERS( 1) ={(0, Sei Γ ∧ ¬Γ )} = 1 und VER( 1) = { Γ ∧ ¬Γ } und VANS( 1) = {(0, Sei Γ ∧ ¬Γ )}und VAN( 1) = { Γ ∧ ¬Γ }. Dann ist nach Definition 3-5 2 ∈ KBF( 1) ⊆ RGS\{∅}. Da nach Theorem 1-8 Γ ∧ ¬Γ ∉ TF(Γ), gilt sodann nach Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3-15, dass 2 ∉ SEF( 1) ∪ NEF( 1) 4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 197 ∪ PBF( 1). Mit Theorem 3-25 gilt dann VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(1, Also Γ )} = 2. Sodann gilt mit Theorem 3-27-(ii) und -(iii), dass VANS( 2) = VANS( 1) und damit VAN( 2) = VAN( 1) = { Γ ∧ ¬Γ }. Wiederum nach Definition 3-5 ist sodann 3 ∈ KBF( 2) ⊆ RGS\{∅}. Da nach Theorem 1-8 Γ ∧ ¬Γ ∉ TF(Γ) und Γ ≠ ¬Γ , gilt sodann nach Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3-15, dass 3 ∉ SEF( 2) ∪ NEF( 2) ∪ PBF( 2). Mit Theorem 3-25 gilt dann wiederum VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {1, Also ¬Γ )} = 3 und mit Theorem 3-27-(ii) und -(iii), dass VANS( 3) = VANS( 2) und damit VAN( 3) = VAN( 2) = { Γ ∧ ¬Γ }. Dann ist 0 = max(Dom(VANS( 3))) und 1, 2 ∈ Dom(VERS( 3)) und A( 31) = Γ und A( 32) = ¬Γ . Damit ist dann nach Definition 3-10 ∈ NEF( 3) und nach Theorem 3-20 ist VANS( ) = VANS( 3)\{(0, Sei Γ ∧ ¬Γ )} = ∅ und damit auch VAN( ) = ∅. Damit gilt insgesamt: ∈ RGS\{∅} und VAN( ) = ∅ und K( ) = ¬(Γ ∧ ¬Γ) . Mit Theorem 3-12 gilt damit ∅ ¬(Γ ∧ ¬Γ) und damit mit Theorem 4-16 X ¬(Γ ∧ ¬Γ) . ■ Theorem 4-18. Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung Wenn Α, Β, Γ ∈ GFORM, θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann: (i) Wenn X Β und Α ∈ X, dann X\{Α} Α → Β , (SE) (ii) Wenn X Α und Y Α → Β , dann X ∪ Y Β, (SB) (iii) Wenn X Α und Y Β, dann X ∪ Y Α ∧ Β , (KE) (iv) Wenn X Α ∧ Β oder X Β ∧ Α , dann X Α, (KB) (v) Wenn X Α → Β und Y Β → Α , dann X ∪ Y Α ↔ Β , (BE) (vi) Wenn X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y, dann (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β , (BE*) (vii) Wenn X Α und Y Α ↔ Β oder Y Β ↔ Α , dann X ∪ Y Β, (BB) (viii) Wenn X Α oder X Β, dann X Α ∨ Β , (AE) (ix) Wenn X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ , dann X ∪ Y ∪ Z Γ, (AB) (x) Wenn X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z, dann X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ, (AB*) (xi) Wenn X Γ und Y ¬Γ und Α ∈ X ∪ Y, dann (X ∪ Y)\{Α} ¬Α , (NE) (xii) Wenn X ¬¬Γ , dann X Γ, (NB) (xiii) Wenn X [β, ξ, Δ] und β ∉ TTFM(X ∪ {Δ}), dann X ξΔ , (UE) (xiv) Wenn X ξΔ , dann X [θ0, ξ, Δ], (UB) (xv) Wenn X [θ0, ξ, Δ], dann X ξΔ , (PE) 198 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft (xvi) Wenn X ξΔ und Y Γ und [β, ξ Δ] ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Δ]}) ∪ {Δ, Γ}), dann X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) Γ, (PB) (xvii) Wenn X ⊆ GFORM, dann X θ0 = θ0 , und (IE) (xviii) Wenn X θ0 = θ1 und Y [θ0, ξ, Δ], dann X ∪ Y [θ1, ξ, Δ]. (IB) Beweis: Seien Α, Β, Γ ∈ GFORM, θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}. Es wird zunächst der Fall (i) behandelt, bei dem sich die Prämissenmenge verkleinert. Es folgen die Fälle (ii), (iii), (v), (vii) und (xviii), bei denen zwei Prämissenmengen vereinigt werden. In den Fällen (iv), (viii), (xii), (xiii), (xiv) und (xv) bleibt die Prämissenmenge unverändert. In der Reihenfolge (vi), (ix), (x), (xi), (xvi), (xvii) werden die verbleibenden Sonderfälle bearbeitet. Zu (i) (SE): Sei X Β und Α ∈ X. Dann gibt es nach Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass K( ) = Β und VAN( ) ⊆ X. Dann gibt es mit Theorem 4-2 ein ' ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ') ⊆ VAN( ) und K( ') = K( ) und für alle i ∈ Dom(VANS( ')): Wenn A( 'i) = Α, dann i = max(Dom(VANS( '))). Dann gilt mit Theorem 2-82 Β = K( ') ∈ VER( '). Sodann lassen sich mit Α ∈ VAN( ') und Α ∉ VAN( ') zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall: Sei Α ∈ VAN( '). Dann ist VANS( ') ≠ ∅ und es gilt für alle i ∈ Dom(VANS( ')): A( 'i) = Α gdw i = max(Dom(VANS( '))). Dann ist mit Theorem 3-18 + = ' {(0, Also Α → Β )} ∈ SEF( ') ⊆ RGS\{∅}. Dann gilt mit Theorem 3-22, dass VAN( +) ⊆ VAN( ')\{Α} ⊆ VAN( )\{Α} ⊆ X\{Α}. Damit gilt insgesamt: + ∈ RGS\{∅}, K( +) = Α → Β und VAN( +) ⊆ X\{Α} und damit mit Theorem 3-12 X\{Α} Α → Β . Zweiter Fall: Sei nun Α ∉ VAN( '). Dann lässt sich ' wie folgt zu einem 4 ∈ SEQ mit 4 Dom( ') = ' fortsetzen: 1 = ' ∪ {(Dom( '), Sei Α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1), Also Α ∧ Β )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Also Β )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also Α → Β )}. Zunächst ist 4Dom( ') ∈ ASATZ. Mit Theorem 1-8, Theorem 1-10 und Theorem 1-11 gilt sodann K( 1) ≠ K( 2) und K( 2) ≠ K( 3). Weiter gilt, dass K( 2) weder eine Subjunktion noch eine Negation ist. Sodann gilt mit Theorem 1-8, dass K( 3) = Β ≠ Α → (Α ∧ 4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 199 Β) und dass A( 3Dom( ')) = Α ≠ ¬(Α ∧ Β) = ¬A( 3Dom( 1)) . Damit gilt mit Theorem 2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 3 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) = Dom( '). Mit Theorem 2-47 gilt damit für alle k mit 1 ≤ k ≤ 3: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) ≤ Dom( ') ≤ max(Dom( )). Damit ergibt sich auch, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 3 gilt, dass Dom( ') = max(Dom(VANS( k))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann, dass für alle k mit 2 ≤ k ≤ 3 gilt: k ∉ SEF( k-1) ∪ NEF( k-1) ∪ PBF( k-1). Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ') ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 VERS( 1) = VERS( ') ∪ {(Dom( '), Sei Α )} und (Dom( '), Sei Α ) ∈ VANS( ') ∪ {(Dom( '), Sei Α )} = VANS( 1) und Β ∈ VER( ') ⊆ VER( 1) und Α ∈ VER( 1). Also ist zweitens nach Definition 3-4 2 ∈ KEF( 1) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(Dom( 1), Also Α ∧ Β )}. Damit gilt (Dom( '), Sei Α ) ∈ VANS( 1) = VANS( 2) und Α ∧ Β ∈ VER( 2). Also ist drittens nach Definition 3-5 3 ∈ KBF( 2) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {(Dom( 2), Also Β )}. Damit gilt Dom( ') ∈ Dom( 3) und A( 3Dom( ')) = Α und (Dom( '), Sei Α ) ∈ VANS( 2) = VANS( 3) und A( 3Dom( 3)-1) = Β und es gibt kein l mit Dom( ') < l ≤ Dom( 3)-1, so dass (l, 3l) ∈ VANS( 3). Damit ist nach Definition 3-2 4 ∈ SEF( 3) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-19-(iv) und -(v) VANS( 4) = VANS( 3)\{(max(Dom(VANS( 3))), 4max(Dom(VANS( 3))))} = VANS( 3)\{(Dom( '), Sei Α )} = VANS( 1)\{(Dom( '), Sei Α )} = (VANS( ') ∪ {(Dom( '), Sei Α )})\{(Dom( '), Sei Α )} = VANS( ')\{(Dom( '), Sei Α )} ⊆ VANS( '). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN( 4) ⊆ VAN( ') und wegen Α ∉ VAN( ') und VAN( ') ⊆ VAN( ) ⊆ X dann auch VAN( 4) ⊆ VAN( )\{Α} ⊆ X\{Α}. Da K( 4) = Α → Β , gilt mit Theorem 3-12 X\{Α} Α → Β . Zu (ii) (SB), (iii) (KE), (v) (BE), (vii) (BB), (xviii) (IB): (ii) wird exemplarisch gezeigt. Klauseln (iii), (v), (vii) und (xviii) ergeben sich analog. Sei für (ii) X Α und Y Α → Β . Dann gibt es nach Theorem 3-12 , ' ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = Α und VAN( ') ⊆ Y und K( ') = Α → Β . Mit Theorem 4-14 gibt es dann ein * ∈ RGS\{∅}, so dass Α, Α → Β ∈ VER( *) und VAN( *) ⊆ VAN( ) ∪ VAN( ') ⊆ X ∪ Y. Nach Definition 3-3 ist dann + = * {(0, Also Β )} ∈ SBF( *) ⊆ RGS\{∅} und 200 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( +) ⊆ VAN( *) ⊆ X ∪ Y und es ist K( +) = Β. Also gilt mit Theorem 3-12: X ∪ Y Β. Zu (iv) (KB), (viii) (AE), (xii) (NB), (xiii) (UE), (xiv) (UB), (xv) (PE): (iv) wird exemplarisch gezeigt. Klauseln (viii), (xii), (xiii), (xiv) und (xv) ergeben sich analog. Sei für (iv) X Α ∧ Β oder X Β ∧ Α . Sei nun X Α ∧ Β . Dann gibt es nach Theorem 3-12 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = Α ∧ Β . Dann ist mit Theorem 2-82 Α ∧ Β ∈ VER( ) und daher nach Definition 3-5 ' = {(0, Also Α )} ∈ KBF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-27-(v) ist VAN( ') ⊆ VAN( ) ⊆ X und es ist K( ') = Α. Also gilt wiederum nach Theorem 3-12: X Α. Für den Fall, dass X Β ∧ Α zeigt man analog, dass dann ebenfalls X Α gilt. Zu (vi:)(BE*): Sei X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y. Dann gilt mit (i): X\{Α} Α → Β und Y\{Β} Β → Α . Dann gilt mit (v): (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β . Zu (ix) (AB): Sei X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ . Dann ergibt sich mit zweifacher Anwendung von (iii): X ∪ Y ∪ Z (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ)) . Dann gibt es mit Theorem 3-12 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X ∪ Y ∪ Z und K( ) = (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ)) . Nun gibt es ein α ∈ KONST\TTSEQ( ). Damit lässt sich wie folgt zu einem 6 ∈ SEQ mit 6 Dom( ) = fortsetzen: 1 = ∪ {(Dom( ), Sei α = α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1), Also Α ∨ Β )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Also (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also Α → Γ )} 5 = 4 ∪ {(Dom( 4), Also Β → Γ )} 6 = 5 ∪ {(Dom( 5), Also Γ )}. Zunächst ist 6Dom( ) ∈ ASATZ. Sodann gilt mit α ∈ KONST\TTSEQ( ) auch α ∉ TTFM({Α, Β, Γ}) und damit insgesamt, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt: Wenn i ∈ Dom( k), dann: α ∈ TT( ki) gdw i = Dom( ). Sodann gilt für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6, dass Dom( ) ∈ Dom(ANS( k)). Mit Theorem 4-3 gilt damit, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Damit ergibt sich auch, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 6 gilt, dass Dom( ) = max(Dom(VANS( k))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und 4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 201 Theorem 2-61 gilt dann, dass für alle k mit 2 ≤ k ≤ 6 gilt: k ∉ SEF( k-1) ∪ NEF( k-1) ∪ PBF( k-1). Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 VERS( 1) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Sei α = α )} und VANS( 1) = VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei α = α )} und (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ)) ∈ VER( ) ⊆ VER( 1). Also ist zweitens nach Definition 3-5 2 ∈ KBF( 1) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(Dom( 1), Also Α ∨ Β )}. Damit gilt VANS( 2) = VANS( 1), (Α ∨ Β) ∧ ((Α → Γ) ∧ (Β → Γ)) ∈ VER( 1) ⊆ VER( 2) und Α ∨ Β ∈ VER( 2). Also ist drittens nach Definition 3-5 3 ∈ KBF( 2) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {(Dom( 2), Also (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) )}. Damit gilt VANS( 3) = VANS( 2), Α ∨ Β ∈ VER( 2) ⊆ VER( 3) und (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) ∈ VER( 3). Also ist viertens nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4) = VERS( 3) ∪ {(Dom( 3), Also Α → Γ )}. Damit gilt VANS( 4) = VANS( 3), Α ∨ Β , (Α → Γ) ∧ (Β → Γ) ∈ VER( 3) ⊆ VER( 4) und Α → Γ ∈ VER( 4). Also ist fünftens nach Definition 3-5 5 ∈ KBF( 4) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 5) = VERS( 4) ∪ {(Dom( 4), Also Β → Γ )}. Damit gilt VANS( 5) = VANS( 4), Α ∨ Β , Α → Γ ∈ VER( 4) ⊆ VER( 5) und Β → Γ ∈ VER( 5). Schliesslich ist sechstens nach Definition 3-9 6 ∈ ABF( 5) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 6) = VERS( 5) ∪ {(Dom( 5), Also Γ )}. Damit gilt VANS( 6) = VANS( 5) = VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei α = α )}. Damit gilt VAN( 6) = VAN( ) ∪ { α = α } und es gilt Γ ∈ VER( 6). Dann gibt es mit Theorem 4-7 ein + ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( +) ⊆ VAN( 6)\{ α = α } = (VAN( ) ∪ { α = α })\{ α = α } = VAN( )\{ α = α } ⊆ (X ∪ Y ∪ Z)\{ α = α } ⊆ X ∪ Y ∪ Z und K( +) = Γ. Damit gilt dann nach Theorem 3-12 X ∪ Y ∪ Z Γ. Zu (x) (AB*): Sei X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z. Dann gilt mit (i): Y\{Α} Α → Β und Z\{Β} Β → Α . Dann gilt mit (ix): X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ. Zu (xi) (NE): Sei X Γ und Y ¬Γ und Α ∈ X ∪ Y. Ist Α = Δ' ∧ ¬Δ' für ein Δ' ∈ GFORM, dann gilt mit Theorem 4-17 direkt: (X ∪ Y)\{Α} ¬(Δ' ∧ ¬Δ') = ¬Α . Sei nun Α ≠ Δ' ∧ ¬Δ' für alle Δ'. Mit (iii) ergibt sich zunächst: X ∪ Y Γ ∧ ¬Γ . Sodann gilt wiederum mit Theorem 4-17: X ∪ Y ¬(Γ ∧ ¬Γ) und damit mit (iii): X ∪ 202 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Y (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) . Mit (i) ergibt sich sodann: (X ∪ Y)\{Α} Α → ((Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ)) . Damit gibt es mit Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ (X ∪ Y)\{Α} und K( ) = Α → ((Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ)) . Dann lässt sich wie folgt zu einem 5 ∈ SEQ mit 5 Dom( ) = fortsetzen: 1 = ∪ {(Dom( ), Sei Α )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1), Also (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Also Γ ∧ ¬Γ )} 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also ¬(Γ ∧ ¬Γ) )} 5 = 4 ∪ {(Dom( 4), Also ¬Α )}. Zunächst ist 5Dom( ) ∈ ASATZ. Nach Annahme ist sodann K( 1) = Α ≠ K( 2). Mit Theorem 1-8, Theorem 1-10 und Theorem 1-11 ist sodann K( 2) ≠ K( 3) und K( 3) ≠ K( 4). Zudem sind K( 2) und K( 3) weder Subjunktionen noch Negationen und K( 4) ist keine Subjunktion und nach Annahme ist K( 4) = ¬(Γ ∧ ¬Γ) ≠ ¬Α . Damit gilt mit Theorem 2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) = Dom( ). Mit Theorem 2-47 gilt damit für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) ≤ Dom( ) ≤ max(Dom( )). Damit ergibt sich auch, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt, dass Dom( ) = max(Dom(VANS( k))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann für alle k mit 2 ≤ k ≤ 4: k ∉ SEF( k-1) ∪ NEF( k-1) ∪ PBF( k-1). Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 VERS( 1) = VERS( ) ∪ {(Dom( ), Sei Α )} und VANS( 1) = VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei Α )}, Α → ((Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ)) ∈ VER( ) ⊆ VER( 1) und Α ∈ VER( 1). Also ist zweitens nach Definition 3-3 2 ∈ SBF( 1) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(Dom( 1), Also (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) )}. Damit gilt VANS( 2) = VANS( 1) und (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) ∈ VER( 2). Also ist drittens nach Definition 3-5 3 ∈ KBF( 2) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {(Dom( 2), Also Γ ∧ ¬Γ )}. Damit gilt VANS( 3) = VANS( 2), (Γ ∧ ¬Γ) ∧ ¬(Γ ∧ ¬Γ) ∈ VER( 2) ⊆ VER( 3) und Γ ∧ ¬Γ ∈ VER( 3). Also ist viertens nach Definition 3-5 4 ∈ KBF( 3) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4) = VERS( 3) ∪ {(Dom( 3), Also ¬(Γ ∧ ¬Γ) )}. Damit gilt 4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 203 VANS( 4) = VANS( 3) = VANS( 1) und (Dom( 2), Also Γ ∧ ¬Γ ), (Dom( 3), Also ¬(Γ ∧ ¬Γ) ) ∈ VERS( 4) sowie (Dom( ), Sei Α ) ∈ VANS( 1) = VANS( 4). Insgesamt gilt Dom( ), Dom( 2) ∈ Dom( 4), wobei Dom( ) ≤ Dom( 2), A( 4Dom( )) = Α und (Dom( ), 4Dom( )) ∈ VANS( 4), A( Dom( 2)) = Γ ∧ ¬Γ und A( 4Dom( 4)-1) = ¬(Γ ∧ ¬Γ) , (Dom( 2), Dom( 2)) ∈ VERS( 4) und es gibt kein l mit Dom( ) < l ≤ Dom( 4)-1, so dass (l, 4l) ∈ VANS( 4). Damit ist dann schliesslich fünftens nach Definition 3-10 5 ∈ NEF( 4) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-20-(iv) und -(v) VANS( 5) = VANS( 4)\{(max(Dom(VANS( 4))), 5max(Dom(VANS( 4))))} = VANS( 4)\{(Dom( ), Sei Α )} = VANS( 1)\{(Dom( ), Sei Α )} = (VANS( ) ∪ {(Dom( ), Sei Α )})\{(Dom( ), Sei Α )} = VANS( )\{(Dom( ), Sei Α )} ⊆ VANS( ). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN( 5) ⊆ VAN( ) ⊆ (X ∪ Y)\{Α}. Da K( 5) = ¬Α , gilt mit Theorem 3-12 (X ∪ Y)\{Α} ¬Α . Zu (xvi) (PB): Sei X ξΔ und Y Γ und [β, ξ Δ] ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Δ]}) ∪ {Δ, Γ}). Dann gilt mit (i): Y\{[β, ξ, Δ]} [β, ξ, Δ] → Γ . Sodann gilt mit Γ ∈ GFORM: [β, ξ, Γ] = Γ. Damit ist [β, ξ, Δ → Γ ] = [β, ξ, Δ] → [β, ξ, Γ] = [β, ξ, Δ] → Γ und damit gilt Y\{[β, ξ, Δ]} [β, ξ, Δ → Γ ]. Sodann ergibt sich mit β ∉ TTFM({Δ, Γ}), dass β ∉ TT( Δ → Γ ). Sodann ist mit Γ ∈ GFORM und FV(Δ) ⊆ {ξ} auch FV( Δ → Γ ) ⊆ {ξ}. Da nach Annahme auch β ∉ TTFM(Y\{[β, ξ, Δ]}), gilt dann mit (xv): Y\{[β, ξ, Δ]} ξ(Δ → Γ) . Mit (iii) gilt X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) ξ(Δ → Γ) ∧ ξΔ . Dann gibt es nach Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) und K( ) = ξ(Δ → Γ) ∧ ξΔ . Mit Theorem 4-5 gibt es dann ein * ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( *) = VAN( ) ⊆ X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) und ξ(Δ → Γ) , ξΔ ∈ VER( *) und K( *) = ξΔ . Mit Theorem 2-82 ist genauer (Dom( *)-1, Ξ ξΔ ) ∈ VERS( *) für ein Ξ ∈ PERF. Nun gibt es ein β* ∈ PAR\TTSEQ( *) und ein α ∈ KONST\TTSEQ( *). Damit lässt sich * wie folgt zu 5 ∈ SEQ mit 5 Dom( *) = * fortsetzen: 1 = * ∪ {(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} 2 = 1 ∪ {(Dom( 1), Also α = α )} 3 = 2 ∪ {(Dom( 2), Also [β*, ξ, Δ] → Γ )} 204 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft 4 = 3 ∪ {(Dom( 3), Also Γ )} 5 = 4 ∪ {(Dom( 4), Also Γ )}. Zunächst ist 5Dom( *) ∈ ASATZ. Sodann gilt mit α ∈ KONST\TTSEQ( *) auch α ∉ TTFM({[β*, ξ, Δ], Γ}) und damit, dass K( 1) ≠ K( 2), K( 2) ≠ K( 3) und K( 3) ≠ [β*, ξ, Δ] → K( 2) . Mit Theorem 1-8 ist zudem K( 3) ≠ K( 4). Ausserdem gilt mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11, dass K( 2) keine Subjunktion und K( 2) und K( 3) keine Negationen sind. Zudem ist K( 1) = [β*, ξ, Δ] ≠ ¬([β*, ξ, Δ] → Γ) = ¬K( 3) und K( 1) = Γ ≠ [β*, ξ, Δ] → ([β*, ξ, Δ] → Γ) = K( 1) → K( 3) . Damit gilt mit Theorem 2-42, Definition 2-11, Definition 2-12 und Definition 2-13, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) = Dom( *). Mit Theorem 2-47 gilt damit für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4: Es gibt keinen geschlossenen Abschnitt in k für den min(Dom( )) ≤ Dom( *) ≤ max(Dom( )). Damit ergibt sich auch, dass für alle k mit 1 ≤ k ≤ 4 gilt, dass Dom( *) = max(Dom(VANS( k))). Mit Theorem 3-19-(i), Theorem 3-20-(i), Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-61 gilt dann für alle k mit 2 ≤ k ≤ 4: k ∉ SEF( k-1) ∪ NEF( k-1) ∪ PBF( k-1). Hingegen ist erstens nach Definition 3-1 1 ∈ AF( ) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-15 VERS( 1) = VERS( *) ∪ {(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} und VANS( 1) = VANS( *) ∪ {(Dom( ), Sei [β*, ξ, Δ] )}, (Dom( *)-1, 5Dom( *)-1) ∈ VERS( 1), wobei A( 5Dom( *)-1) = ξΔ , und ξ(Δ → Γ) ∈ VER( *) ⊆ VER( 1) und [β*, ξ, Δ] ∈ VER( 1). Sodann ist zweitens nach Definition 3-16 2 ∈ IEF( 1) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 2) = VERS( 1) ∪ {(Dom( 1), Also α = α )}. Damit gilt (Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] ) ∈ VANS( 1) = VANS( 2) und ξ(Δ → Γ) , [β*, ξ, Δ] ∈ VER( 1) ⊆ VER( 2) und (Dom( *)-1, 5Dom( *)-1) ∈ VERS( 2). Also ist drittens nach Definition 3-13 3 ∈ UBF( 2) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 3) = VERS( 2) ∪ {(Dom( 2), Also [β*, ξ, Δ] → Γ )}. Damit gilt (Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] ) ∈ VANS( 2) = VANS( 3) und (Dom( *)-1, 5Dom( *)-1) ∈ VERS( 3) und [β*, ξ, Δ] ∈ VER( 2) ⊆ VER( 3) und [β*, ξ, Δ] → Γ ∈ VER( 3). Also ist viertens nach Definition 3-3 4 ∈ SBF( 3) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-25 VERS( 4) = VERS( 3) ∪ {(Dom( 3), Also Γ )}. Damit gilt (Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] ) ∈ VANS( 3) = VANS( 4) und (Dom( *)-1, 5Dom( *)-1), (Dom( *)+3, Also Γ ) ∈ VERS( 4). Insgesamt gilt damit β* ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ ∈ GFORM Dom( *)-1 ∈ Dom( 4), A( 4Dom( *)-1) = ξΔ und (Dom( *)-1, 4Dom( *)-1) ∈ 4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 205 VERS( 4), A( 4Dom( *)) = [β*, ξ, Δ] und (Dom( *), 4Dom( *)) ∈ VANS( 4), A( 4Dom( 4)-1) = Γ, β* ∉ TTFM({Δ, Γ}) und es gibt kein j ≤ Dom( *)-1, so dass β* ∈ TT( 4j) und es gibt kein m mit Dom( *) < m ≤ Dom( 4)-1, so dass (m, 4m) ∈ VANS( 4). Schliesslich ist damit nach Definition 3-15 5 ∈ PBF( 4) ⊆ RGS\{∅} und mit Theorem 3-21-(iv) und -(v) VANS( 5) = VANS( 4)\{(max(Dom(VANS( 4))), 5 max(Dom(VANS( 4))))} = VANS( 4)\{(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} = VANS( 1)\{(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} = (VANS( *) ∪ {(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )})\{(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} = VANS( *)\{(Dom( *), Sei [β*, ξ, Δ] )} ⊆ VANS( *). Mit Theorem 2-75 ist dann VAN( 5) ⊆ VAN( *) ⊆ X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}). Da K( 5) = Γ, gilt mit Theorem 3-12 X ∪ (Y\{[β, ξ, Δ]}) Γ. Zu (xvii) (IE): Sei X ⊆ GFORM. Dann ist nach Definition 3-16 {(0, Also θ0 = θ0 )} ∈ IE(∅) ⊆ RGS\{∅} und es ist VANS({(0, Also θ0 = θ0 )}) = ∅ und somit nach Definition 2-31 VAN({(0, Also θ0 = θ0 )}) = ∅ und es ist K({(0, Also θ0 = θ0 )}) = θ0 = θ0 und damit nach Theorem 3-12 ∅ θ0 = θ0 . Mit Theorem 4-16 gilt X θ0 = θ0 . ■ Theorem 4-19. Transitivität Wenn X M Y und Y Β, dann X Β. Beweis: Zunächst wird durch Induktion über |Y| gezeigt, dass die Behauptung für alle endlichen Y gilt: Gelte die Behauptung für alle k < |Y| ∈ N. Sei |Y| = 0. Sei nun X M Y und Y Β. Dann ist Y = ∅ ⊆ X ⊆ GFORM. Mit Theorem 4-16 folgt X Β. Sei nun 0 < |Y| und gelte X M Y und Y Β. Dann ist nach Definition 3-25 X ∪ Y ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ Y gilt: X Δ. Da |Y| ≠ 0, gibt es ein Α ∈ Y. Dann gilt mit Theorem 4-18-(i), dass |Y\{Α}| Α → Β . Dann gilt |Y\{Α}| < |Y|. Nach I.V. gilt damit X Α → Β und, da Α ∈ Y, gilt auch X Α. Mit Theorem 4-18-(ii) gilt damit X Β. Damit, dass die Behauptung für endliches Y gilt, gilt sie dann auch für alle: Gelte nämlich X M Y und Y Β. Dann ist nach Definition 3-25 X ∪ Y ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ Y gilt: X Δ. Gelte nun Y Β. Dann gibt es mit Theorem 3-12 ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ Y und K( ) = Β. Dann ist nach Theorem 3-9 VAN( ) endlich und VAN( ) ⊆ GFORM. Dann gilt wieder nach Theorem 3-12, dass VAN( ) Β. Sodann 206 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft gilt mit VAN( ) ⊆ Y, dass für alle Γ ∈ VAN( ) gilt: X Γ und damit X M VAN( ). Damit gilt dann X Β. ■ Theorem 4-20. Cut Wenn X ∪ {Β} Α und Y Β, dann X ∪ Y Α. Beweis: Gelte X ∪ {Β} Α und Y Β. Dann gilt mit Theorem 4-18-(i): X\{Β} Β → Α und damit mit Theorem 4-16, dass X Β → Α . Damit gilt mit Theorem 4-18-(ii): X ∪ Y Α. ■ Theorem 4-21. Deduktionstheorem und Umkehrung X ∪ {Α} Β gdw X Α → Β . Beweis: Gelte zunächst X ∪ {Α} Β. Dann gilt mit Theorem 4-18-(i): X\{Α} Α → Β und damit mit Theorem 4-16, dass X Α → Β . Gelte nun umgekehrt X Α → Β . Dann ist nach Definition 3-21 und Theorem 3-9 Α → Β ∈ GFORM und damit auch Α ∈ GFORM. Damit gilt mit Theorem 4-15: {Α} Α und somit mit Theorem 4-18-(ii): X ∪ {Α} Β. ■ Theorem 4-22. Inkonsistenz und Ableitbarkeit X Α gdw X ∪ { ¬Α } ist inkonsistent. Beweis: (L-R): Gelte zunächst X Α. Dann ist mit Definition 3-21 und Theorem 3-9 X ⊆ GFORM und Α ∈ GFORM. Dann ist ¬Α ∈ GFORM und damit gilt mit Theorem 4-16, dass X ∪ { ¬Α } Α, und mit Theorem 4-15: X ∪ { ¬Α } ¬Α . Damit gilt nach Definition 3-24, dass X ∪ { ¬Α } inkonsistent ist. (R-L): Sei nun X ∪ { ¬Α } inkonsistent. Dann gilt nach Definition 3-24, dass X ∪ { ¬Α } ⊆ GFORM und dass es ein Γ ∈ GFORM gibt, so dass X ∪ { ¬Α } Γ und X ∪ { ¬Α } ¬Γ . Dann gilt mit Theorem 4-18-(xi): X\{ ¬Α } ¬¬Α und damit mit Theorem 4-16: X ¬¬Α . Daraus folgt mit Theorem 4-18-(xii), dass X Α. ■ 4.2 Eigenschaften der deduktiven Konsequenzschaft 207 Theorem 4-23. Eine Aussagenmenge ist genau dann inkonsistent, wenn sich alle Aussagen aus ihr ableiten lassen X ist inkonsistent gdw für alle Γ ∈ GFORM: X Γ. Beweis: (L-R): Sei zunächst X inkonsistent. Dann gilt nach Definition 3-24, dass X ⊆ GFORM und dass es Α ∈ GFORM gibt, so dass X Α und X ¬Α . Sei nun Γ ∈ GFORM. Dann ist ¬Γ ∈ GFORM. Dann gilt mit Theorem 4-16: X ∪ { ¬Γ } Α und X ∪ { ¬Γ } ¬Α . Damit ist X ∪ { ¬Γ } inkonsistent. Damit gilt nach Theorem 4-22: X Γ. (R-L): Gelte nun für alle Γ ∈ GFORM, dass X Γ. Nun gibt es ein Δ ∈ GFORM. Dann ist auch ¬Δ ∈ GFORM. Dann gilt also X Δ und X ¬Δ . Dann ist mit Definition 3-21 X ⊆ GFORM und somit gilt insgesamt nach Definition 3-24, dass X inkonsistent ist. ■ Theorem 4-24. Generalisierungstheorem Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, α ∈ KONST und X [α, ξ, Δ], wobei α ∉ TTFM(X ∪ {Δ}), dann X ξΔ Beweis: Sei ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, α ∈ KONST und X [α, ξ, Δ], wobei α ∉ TTFM(X ∪ {Δ}). Dann gibt nach Theorem 3-12 ein ∈ RGS\{∅}, so dass VAN( ) ⊆ X und K( ) = [α, ξ, Δ]. Sodann gibt es ein β ∈ PAR\TTSEQ( ). Mit Theorem 4-9 gibt es dann ein * ∈ RGS\{∅}, so dass: a) α ∉ TTSEQ( *), b) VAN( ) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( *)} und c) K( ) = [α, β, K( *)]. Da nun für alle Γ ∈ VAN( ) gilt, dass α ∉ TT(Γ), gilt dann mit b), dass für alle Β ∈ VAN( *) gilt, dass β ∉ TT(Β) und damit β ∉ TTFM(VAN( *)). Wäre nämlich β ∈ TT(Γ) für ein Γ ∈ VAN( *), dann wäre α ∈ TT([α, β, Γ]) und mit b) wäre [α, β, Γ] ∈ VAN( ) ⊆ X. Damit würde aber im Gegensatz zur Voraussetzung gelten, dass α ∈ TTFM(X). Damit gilt mit b): VAN( ) = {[α, β, Β] | Β ∈ VAN( *)} = {Β | Β ∈ VAN( *)} = VAN( *). 208 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft Sodann ist mit c) [α, ξ, Δ] = K( ) = [α, β, K( *)]. Da nach Eingangsannahme und mit a) gilt: α ∉ TT(Δ) ∪ TT(K( *) ist dann mit Theorem 1-23 K( *) = [β, ξ, Δ]. Dann ist β ∉ TT(Δ), denn sonst würde wegen [α, ξ, Δ] = K( ) im Gegensatz zur Wahl von β gelten, dass β ∈ TT(K( )) ⊆ TTSEQ( ). Damit gilt dann insgesamt, dass * ∪ {(Dom( *), Also ξΔ )} ∈ UEF( *) ⊆ RGS\{∅}. Damit gilt mit Theorem 3-26-(v) VAN( * ∪ {(Dom( *), Also ξΔ )}) ⊆ VAN( *) = VAN( ) ⊆ X und Theorem 3-12, dass X ξΔ . ■ Theorem 4-25. Mehrfache IB Wenn k ∈ N\{0}, {θ0, ..., θk-1}, {θ'0, ..., θ'k-1} ⊆ GTERM, {ξ0, ..., ξk-1} ⊆ VAR, wobei für alle i, j ∈ k mit i ≠ j auch ξi ≠ ξj, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1}, und X [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ] und für alle i < k: X θi = θ'i , dann X [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]. Beweis: Durch Induktion über k. Für k = 1 ergibt sich die Behauptung mit Theorem 4-18-(xviii). Gelte die Behauptung nun für k und sei {θ0, ..., θk}, {θ'0, ..., θ'k} ⊆ GTERM, {ξ0, ..., ξk} ⊆ VAR, wobei für alle i, j ∈ k+1 mit i ≠ j auch ξi ≠ ξj, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk}, und X [〈θ0, ..., θk〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ] und für alle i < k+1: X θi = θ'i . Dann gilt mit Theorem 1-28-(ii), dass [〈θ0, ..., θk〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ] = [θk, ξk, [〈θ1, ..., θk-1〉, 〈ξ1, ..., ξk-1〉, Δ]] und damit dass X [θk, ξk, [〈θ1, ..., θk-1〉, 〈ξ1, ..., ξk-1〉, Δ]], wobei mit FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk} gilt: FV([〈θ1, ..., θk-1〉, 〈ξ1, ..., ξk-1〉, Δ]) ⊆ {ξk}. Dann gilt mit X θk = θ'k und Theorem 4-18-(xviii), dass X [θ'k, ξk [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, Δ]] und damit wieder mit Theorem 1-28-(ii), dass X [〈θ0, ..., θk-1, θ'k〉, 〈ξ0, ..., ξk-1, ξk〉, Δ]. Dann gilt mit Theorem 1-29-(ii): [〈θ0, ..., θk-1, θ'k〉, 〈ξ0, ..., ξk-1, ξk〉, Δ] = [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, [θ'k, ξk, Δ]] und damit X [〈θ0, ..., θk-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, [θ'k, ξk, Δ]], wobei mit FV(Δ) ⊆ {ξ0, ..., ξk} gilt: FV([θ'k, ξk, Δ]) ⊆ {ξ0, ..., ξk-1}. Damit gilt dann nach I.V., dass X [〈θ'0, ..., θ'k-1〉, 〈ξ0, ..., ξk-1〉, [θ'k, ξk, Δ]] und damit wiederum mit Theorem 1-29-(ii): X [〈θ'0, ..., θ'k〉, 〈ξ0, ..., ξk〉, Δ]. ■ 5 Modelltheorie Im vorliegenden Kapitel wird ein modelltheoretischer Konsequenzbegriff zur Sprache L entwickelt. Zunächst werden die nötigen Begrifflichkeiten definiert – insbesondere die modelltheoretische Erfüllung und darauf aufbauend dann die modelltheoretische Konsequenzschaft – und grundlegende Zusammenhänge zwischen ihnen bewiesen (5.1). Daran schliessen sich Theoreme zur Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft an (5.2). Anschliessend kann dann im nachfolgenden Kap. 6 die Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bezüglich des in Kap. 5.1 entwickelten modelltheoretischen Folgerungsbegriffs gezeigt werden. 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz Die Entwicklung des modelltheoretischen Konsequenzbegriffs folgt dem Standardvorgehen.14 Zunächst werden Interpretationsfunktionen, Modelle und Belegungen definiert. Dies genügt um in Definition 5-6 geschlossenen Termen ein Denotat zuzuweisen, wobei die übliche Definition sich in Theorem 5-2 spiegelt. Sodann kann in Definition 5-8 bestimmt werden, wann ein Modell mit einer Belegung eine Formel erfüllt. Die übliche Definition wird hier von Theorem 5-4 gespiegelt. Sodann werden ein Koinzidenzund ein Substitutionslemma (Theorem 5-5 und Theorem 5-6) sowie weitere Theoreme bewiesen, die im Fortgang benötigt werden. Abschliessend werden noch die gängigen weiterführenden Begriffe eingeführt, darunter die modelltheoretische Konsequenzschaft (Definition 5-10), die in der Formulierung der Korrektheit und der Vollständigkeit verwendet wird. 14 Siehe etwa EBBINGHAUS, H.-D.; FLUM, J.; THOMAS, W.: Mathematische Logik, S. 29–62, GRÄDEL, E.: Mathematische Logik, S. 49–53, und WAGNER, H.: Logische Systeme, S. 47–54. 212 5 Modelltheorie Definition 5-1. Interpretationsfunktion I ist eine Interpretationsfunktion für D gdw D ist eine Menge und I ist eine Funktion mit Dom(I) = KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ und (i) Für alle α ∈ KONST: I(α) ∈ D, (ii) Für alle φ ∈ FUNK: Wenn φ r-stellig ist, dann ist I(φ) eine r-stellige Funktion über D, (iii) Für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig ist, dann I(Φ) ⊆ rD, und (iv) I( = ) = {〈a, a〉 | a ∈ D}. Definition 5-2. Modell M ist ein Modell gdw Es gibt D, I, so dass I eine Interpretationsfunktion für D ist und M = (D, I). Hinweis: Die Nicht-Leerheit von D wird wegen KONST ≠ ∅ mit Klausel (i) von Definition 5-1 gewährleistet. Anders als üblich werden die Belegungsfunktionen nun nicht über VAR, sondern über PAR definiert – die Parameter übernehmen also dem Kalkül entsprechend auch in der Modelltheorie die Aufgaben, die andernorts oft von freien Variablen geleistet werden. Dementsprechend werden Quantorformeln (z. B. ξΔ ) nicht für Δ, sondern für eine Parameterinstanz (z. B. [β, ξ, Δ]) ausgewertet (vgl. Definition 5-7 und Theorem 5-4). Definition 5-3. Belegung b ist eine Belegung für D gdw b ist eine Funktion mit Dom(b) = PAR und Ran(b) ⊆ D. Definition 5-4. Belegungsvariante b' ist in β eine Belegungsvariante von b für D gdw b' und b sind Belegungen für D und β ∈ PAR und b'\{(β, b'(β))} ⊆ b. 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 213 Definition 5-5. Termdenotationsfunktionen für Modelle und Belegungen F ist eine Termdenotationsfunktion für D, I, b gdw (D, I) ist ein Modell und b eine Belegung für D und F ist eine Funktion auf GTERM und: (i) Wenn α ∈ KONST, dann F(α) = I(α), (ii) Wenn β ∈ PAR, dann F(β) = b(β), und (iii) Wenn φ ∈ FUNK und φ r-stellig ist und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERM, dann F( φ(θ0, ..., θr-1) ) = I(φ)(〈F(θ0), ..., F(θr-1)〉). Theorem 5-1. Für jedes Modell (D, I) und Belegung b für D gibt es genau eine Termdenotationsfunktion Wenn (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D ist, dann gibt es genau ein F, so dass F eine Termdenotationsfunktion für D, I, b ist. Beweis: Sei (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Dann gibt es mit den Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 und Theorem 1-11) genau eine Funktion F auf GTERM, so dass Klauseln (i) bis (iii) von Definition 5-5 für F erfüllt sind und damit nach Definition 5-5 genau eine Termdenotationsfunktion für D, I, b. ■ Definition 5-6. Termdenotationsoperation (TD) TD(θ, D, I, b) = a gdw (i) Es gibt eine Termdenotationsfunktion F für D, I, b und θ ∈ GTERM und a = F(θ) oder (ii) Es gibt keine Termdenotationsfunktion für D, I, b oder θ ∉ GTERM und a = ∅. Das folgende Theorem spiegelt die übliche Definition von Termdenotaten für Modelle und Belegungen wider: 214 5 Modelltheorie Theorem 5-2. Termdenotate für Modelle und Belegungen Wenn (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D ist, dann: (i) Wenn α ∈ KONST, dann TD(α, D, I, b) = I(α), (ii) Wenn β ∈ PAR, dann TD(β, D, I, b) = b(β), und (iii) Wenn φ ∈ FUNK, wobei φ r-stellig ist, und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERM, dann TD( φ(θ0, ..., θr-1) , D, I, b) = I(φ)(〈TD(θ0, D, I, b)), ..., TD(θr-1, D, I, b)〉). Beweis: Sei (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Dann gibt es mit Theorem 5-1 genau eine Termdenotationsfunktion F für D, I, b. Dann gilt nach Definition 5-6 für alle θ ∈ GTERM: TD(θ, D, I, b) = F(θ). Daraus folgt dann mit Definition 5-5 die Behauptung. ■ Definition 5-7. Erfüllungsfunktionen für Modelle F ist eine Erfüllungsfunktion für D, I gdw (D, I) ist ein Modell, F ist eine Funktion auf GFORM × {b | b ist eine Belegung für D}, Ran(F) = {0, 1} und für alle Belegungen b für D gilt: (i) Wenn Φ ∈ PRÄ, wobei Φ r-stellig ist, und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERM dann: F( Φ(θ0, ..., θr-1) , b) = 1 gdw 〈TD(θ0, D, I, b), ..., TD(θr-1, D, I, b)〉 ∈ I(Φ), (ii) Wenn Α ∈ GFORM, dann: F( ¬Α , b) = 1 gdw F(Α, b) = 0, (iii) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F( Α ∧ Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = 1 und F(Β, b) = 1, (iv) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F( Α ∨ Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = 1 oder F(Β, b) = 1, (v) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F( Α → Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = 0 oder F(Β, b) = 1, (vi) Wenn Α, Β ∈ GFORM, dann F( Α ↔ Β , b) = 1 gdw F(Α, b) = F(Β, b), (vii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM und FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann F( ξΔ , b) = 1 gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ), so dass für alle b', die in β Belegungsvarianten von b für D sind: F([β, ξ, Δ], b') = 1, und (viii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM und FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann F( ξΔ ) = 1 gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ) und b', das in β eine Belegungsvariante von b für D ist, so dass F([β, ξ, Δ], b') = 1. 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 215 Theorem 5-3. Für jedes Modell (D, I) gibt es genau eine Erfüllungsfunktion Wenn (D, I) ein Modell ist, dann gibt es genau eine Erfüllungsfunktion für D, I. Beweis: Sei (D, I) ein Modell. Dann gibt es mit den Theoremen über eindeutige Lesbarkeit (Theorem 1-10 und Theorem 1-11) genau eine Funktion F auf GFORM × {b | b ist eine Belegung für D}, so dass Klauseln (i) bis (viii) von Definition 5-7 erfüllt sind. Also gibt es genau eine Erfüllungsfunktion für D, I. ■ Definition 5-8. Vierstelliger modelltheoretischer Erfüllungsprädikator ('.., .., .., ..') D, I, b Γ gdw Γ ∈ GFORM, b ist eine Belegung für D und es gibt eine Erfüllungsfunktion F für D, I, so dass F(Γ, b) = 1. Das folgende Theorem spiegelt die übliche Definition der modelltheoretischen Konsequenz im hier gewählten grammatischen Rahmen wider. Dabei wird in der üblichen Weise auf den zu '.., .., .. ..' gehörenden Negatprädikator ('.., .., .. ..') zurückgegriffen. Theorem 5-4. Übliche Erfüllungskonzeption Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, Α, Β ∈ GFORM, ξ ∈ VAR, Φ ∈ PRÄ, Φ rstellig, θ0, ..., θr-1 ∈ GTERM, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, dann: (i) D, I, b Φ(θ0, ..., θr-1) gdw 〈TD(θ0, D, I, b), ..., TD(θr-1, D, I, b)〉 ∈ I(Φ), (ii) D, I, b ¬Α gdw D, I, b Α, (iii) D, I, b Α ∧ Β gdw D, I, b Α und D, I, b Β, (iv) D, I, b Α ∨ Β gdw D, I, b Α oder D, I, b Β, (v) D, I, b Α → Β gdw D, I, b Α oder D, I, b Β, (vi) D, I, b Α ↔ Β gdw D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β, (vii) D, I, b ξΔ gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ), so dass für alle b', die in β Belegungsvarianten von b für D sind: D, I, b' [β, ξ, Δ], und (viii) D, I, b ξΔ gdw es gibt β ∈ PAR\TT(Δ) und b', das in β eine Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b' [β, ξ, Δ]. Beweis: Seien (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, Α, Β ∈ GFORM, ξ ∈ VAR, Φ ∈ PRÄ, Φ r-stellig, θ0, ..., θr-1 ∈ GTERM, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}. Dann gibt 216 5 Modelltheorie es mit Theorem 5-3 genau eine Erfüllungsfunktion F für D, I. Damit gilt dann mit Definition 5-8 für alle Γ ∈ GFORM: D, I, b Γ gdw F(Γ, b) = 1 und D, I, b Γ gdw F(Γ, b) = 0. Daraus ergibt sich die Behauptung dann mit Definition 5-7. ■ Theorem 5-5. Koinzidenzlemma Wenn (D, I) und (D, I') Modelle und b, b' Belegungen für D sind, dann: (i) Für alle θ ∈ GTERM: Wenn I TA(θ) = I' TA(θ) und b TT(θ) = b' TT(θ), dann TD(θ, D, I, b) = TD(θ, D, I', b'), und (ii) Für alle Γ ∈ GFORM: Wenn I TA(Γ) = I' TA(Γ) und b TT(Γ) = b' TT(Γ), dann D, I, b Γ gdw D, I', b' Γ. Beweis: Zu (i): Seien (D, I) und (D, I') Modelle und b, b' Belegungen für D. Der Beweis wird durch Induktion über den Termaufbau von θ ∈ TERM geführt. Sei zunächst θ ∈ ATERM ∩ GTERM und gelte I TA(θ) = I' TA(θ) und b TT(θ) = b' TT(θ). Dann ist θ ∈ KONST ∪ PAR. Sei nun θ ∈ KONST. Dann gilt mit {θ} = TA(θ) ∩ KONST, I TA(θ) = I' TA(θ) und Theorem 5-2-(i): TD(θ, D, I, b) = I(θ) = I'(θ) = TD(θ, D, I', b'). Sei nun θ ∈ PAR. Dann gilt mit {θ} = TT(θ) ∩ PAR, b TT(θ) = b' TT(θ) und Theorem 5-2-(ii): TD(θ, D, I, b) = b(θ) = b'(θ) = TD(θ, D, I', b'). Gelte die Behauptung nun für θ0, ..., θr-1 ∈ TERM und sei φ ∈ FUNK, wobei φ rstellig, und sei φ(θ0, ..., θr-1) ∈ FTERM ∩ GTERM und gelte I TA( φ(θ0, ..., θr-1) ) = I' TA( φ(θ0, ..., θr-1) ) und b TT( φ(θ0, ..., θr-1) ) = b' TT( φ(θ0, ..., θr-1) ). Dann gilt mit FV( φ(θ0, ..., θr-1) ) = {FV(θi) | i < r} für alle θi mit i < r ebenfalls: θi ∈ GTERM. Sodann gilt mit {TA(θi) | i < r} ⊆ TA( φ(θ0, ..., θr-1) ) und {TT(θi) | i < r} ⊆ TT( φ(θ0, ..., θr-1) ) für alle i < r: I TA(θi) = I' TA(θi) und b TT(θi) = b' TT(θi). Mit I.V. gilt somit für alle i < r: TD(θi, D, I, b) = TD(θi, D, I', b'). Sodann gilt mit φ ∈ TA( φ(θ0, ..., θr-1) ) ∩ FUNK nach Annahme auch I(φ) = I'(φ). Damit gilt: TD( φ(θ0, ..., θr-1) , D, I, b) = I(φ)(〈TD(θ0, D, I, b), ..., TD(θr-1, D, I, b)〉) = I'(φ)(〈TD(θ0, D, I', b'), ..., TD(θr-1, D, I', b')〉) = TD( φ(θ0, ..., θr-1) , D, I', b'). 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 217 Zu (ii): Der Beweis wird durch Induktion über den Formelgrad geführt. Gelte dazu das Theorem für alle Α ∈ FORM mit FGRAD(Α) < k. Seien nun (D, I), (D, I') Modelle, b, b' Belegungen für D und sei Γ ∈ GFORM und gelte I TA(Γ) = I' TA(Γ) und b TT(Γ) = b' TT(Γ) und sei FGRAD(Γ) = k. Sei FGRAD(Γ) = 0, also Γ ∈ AFORM. Dann gibt es θ0, ..., θr-1 ∈ TERM und Φ ∈ PRÄ, wobei Φ r-stellig ist, so dass Γ = Φ(θ0, ..., θr-1) . Dann gilt mit FV( Φ(θ0, ..., θr-1) ) = {FV(θi) | i < r}, {TA(θi) | i < r} ⊆ TA( Φ(θ0, ..., θr-1) ) und {TT(θi) | i < r} ⊆ TT( Φ(θ0, ..., θr-1) ) nach der Annahme für Γ für alle i < r: θi ∈ GTERM, I TA(θi) = I' TA(θi) und b TT(θi) = b' TT(θi). Mit (i) gilt damit dann für alle i < r: TD(θi, D, I, b) = TD(θi, D, I', b'). Sodann gilt mit Φ ∈ TA( Φ(θ0, ..., θr-1) ) ∩ PRÄ nach Annahme auch I(Φ) = I'(Φ). Damit gilt mit Theorem 5-4-(i) folgende Kette: D, I, b Γ gdw D, I, b Φ(θ0, ..., θr-1) gdw 〈TD(θ0, D, I, b), ..., TD(θr-1, D, I, b)〉 ∈ I(Φ) gdw 〈TD(θ0, D, I', b'), ..., TD(θr-1, D, I', b')〉 ∈ I'(Φ) gdw D, I', b' Φ(θ0, ..., θr-1) gdw D, I', b' Γ. Sei nun FGRAD(Γ) ≠ 0, also Γ ∈ JFORM ∪ QFORM. Es können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens: Sei Γ = ¬Α . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Γ). Dann ist nach der Annahme für Γ auch Α ∈ GFORM, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α). Mit Theorem 5-4-(ii) und I.V. gilt damit: D, I, b Γ gdw D, I, b ¬Α gdw D, I, b Α gdw D, I', b' Α gdw D, I', b' ¬Α 218 5 Modelltheorie gdw D, I', b' Γ. Zweitens: Sei Γ = Α ∧ Β . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Γ) und FGRAD(Β) < FGRAD(Γ). Dann ist nach Annahme für Γ auch Α, Β ∈ GTERM, I (TA(Α) ∪ TA(Β)) = I' (TA(Α) ∪ TA(Β)) und b (TT(Α) ∪ TT(Β)) = b' (TT(Α) ∪ TT(Β)). Mit Theorem 5-4-(iii) und I.V. gilt: D, I, b Γ gdw D, I, b Α ∧ Β gdw D, I, b Α und D, I, b Β gdw D, I', b' Α und D, I', b' Β gdw D, I', b' Α ∧ Β gdw D, I', b' Γ. Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog. Sechstens: Sei Γ = ζΔ . Nach der Annahme für Γ gilt dann FV(Δ) ⊆ {ζ}, I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ). Gelte nun D, I, b ζΔ . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(vii) ein β ∈ PAR\TT(Δ), so dass für alle b+, die in β Belegungsvarianten von b für D sind, gilt: D, I, b+ [β, ζ, Δ]. Sei nun b'1 in β eine Belegungsvariante von b' für D. Sei nun b1 = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, b'1(β))}. Dann ist b1 in β eine Belegungsvariante von b für D und somit gilt: D, I, b1 [β, ζ, Δ]. Da β ∉ TT(Δ) gilt sodann mit b TT(Δ) = b' TT(Δ) für alle β' ∈ TT(Δ) ∩ PAR: b1(β') = b(β') = b'(β') = b'1(β'). Da sodann auch b1(β) = b'1(β) gilt damit wegen TT([β, ζ, Δ]) ⊆ TT(Δ) ∪ {β}, dass b1 TT([β, ζ, Δ]) = b'1 ([β, ζ, Δ]). Sodann gilt I TA([β, ζ, Δ]) = I (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Δ) = I' TA(Δ) = I' (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β, ζ, Δ]) und somit I TA([β, ζ, Δ]) = I' TA([β, ζ, Δ]). Ferner ist [β, ζ, Δ] ∈ GFORM und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([β, ζ, Δ]) = FGRAD(Δ) < FGRAD(Γ). Damit gilt nach I.V. mit D, I, b1 [β, ζ, Δ] auch: D, I', b'1 [β, ζ, Δ]. Also gilt für alle 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 219 b'+ die in β Belegungsvarianten von b' für D sind: D, I', b'+ [β, ζ, Δ] und somit nach Theorem 5-4-(vii) D, I', b' ζΔ . Die R-L-Richtung verläuft analog. Siebtens: Sei Γ = ζΔ . Nach der Annahme für Γ ist dann FV(Δ) ⊆ {ζ}, I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ). Gelte nun D, I, b ζΔ . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(viii) ein β ∈ PAR\TT(Δ) und b1, das in β Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b1 [β, ζ, Δ]. Sei nun b'1 = (b'\{(β, b'(β))}) ∪ {(β, b1(β))}. Dann ist b'1 in β eine Belegungsvariante von b' für D. Da β ∉ TT(Δ) gilt sodann mit b TT(Δ) = b' TT(Δ) für alle β' ∈ TT(Δ) ∩ PAR: b1(β') = b(β') = b'(β') = b'1(β'). Da sodann auch b1(β) = b'1(β) gilt weiter mit TT([β, ζ, Δ]) ⊆ TT(Δ) ∪ {β}, dass b1 TT([β, ζ, Δ]) = b'1 ([β, ζ, Δ]). Sodann gilt I TA([β, ζ, Δ]) = I (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Δ) = I' TA(Δ) = I' (TA(Δ) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β, ζ, Δ]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β, ζ, Δ]) und somit I TA([β, ζ, Δ]) = I' TA([β, ζ, Δ]). Ferner ist [β, ζ, Δ] ∈ GFORM und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([β, ζ, Δ]) = FGRAD(Δ) < FGRAD(Γ). Damit gilt nach I.V. mit D, I, b1 [β, ζ, Δ] auch: D, I', b'1 [β, ζ, Δ] und somit nach Theorem 5-4-(viii) D, I', b' ζΔ . Die R-L-Richtung verläuft analog. ■ Mit Hilfe des Koinzidenzlemmas kann nun das Substitutionslemma bewiesen werden: Theorem 5-6. Substitutionslemma Wenn (D, I), (D, I') Modelle, b, b' Belegungen für D sind, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I', b') dann: (i) Für alle θ+ ∈ TERM mit FV(θ+) ⊆ {ξ}, I TA(θ+) = I' TA(θ+) und b TT(θ+) = b' TT(θ) gilt: TD([θ, ξ, θ+], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ+], D, I', b'), und (ii) Für alle Δ ∈ FORM mit FV(Δ) ⊆ {ξ}, I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ) gilt: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Beweis: Zu (i): Seien (D, I), (D, I') Modelle, b, b' Belegungen für D, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I', b'). Der Beweis wird mittels Induktion über den Termaufbau von θ+ ∈ TERM geführt. Sei zunächst θ+ ∈ ATERM, wobei FV(θ+) ⊆ {ξ}, I TA(θ+) = I' TA(θ+) und b TT(θ+) = b' TT(θ+). Dann ist θ+ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR. Sei nun θ+ ∈ KONST. Dann ist [θ, ξ, θ+] = θ+ = [θ', ξ, θ+] und damit gilt mit TA(θ+) 220 5 Modelltheorie = {θ+}, I TA(θ+) = I' TA(θ+) und Theorem 5-2-(i): TD([θ, ξ, θ+], D, I, b) = TD(θ+, D, I, b) = I(θ+) = I'(θ+) = TD(θ+, D, I', b') = TD([θ', ξ, θ+], D, I', b'). Sei nun θ+ ∈ PAR. Dann ist [θ, ξ, θ+] = θ+ = [θ', ξ, θ+] und damit gilt mit TT(θ+) = {θ+}, b TT(θ+) = b' TT(θ+) und mit Theorem 5-2-(ii): TD([θ, ξ, θ+], D, I, b) = TD(θ+, D, I, b) = b(θ+) = b'(θ+) = TD(θ+, D, I', b') = TD([θ', ξ, θ+], D, I', b'). Sei nun θ+ ∈ VAR. Dann ist θ+ = ξ. Dann ist [θ, ξ, θ+] = θ und [θ', ξ, θ+] = θ'. Damit ist dann nach Annahme TD([θ, ξ, θ+], D, I, b) = TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I', b') = TD([θ', ξ, θ+], D, I', b'). Gelte die Behauptung nun für θ+0, ..., θ+r-1 ∈ TERM und sei φ ∈ FUNK, wobei φ rstellig, und sei θ+ = φ(θ+0, ..., θ+r-1) ∈ FTERM, wobei FV( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) ⊆ {ξ}, I TA( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) = I' TA( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) und b TT( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) = b' TT( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ). Dann gilt mit FV( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) = {FV(θ+i) | i < r}, {TA(θ+i) | i < r} ⊆ TA( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) und {TT(θ+i) | i < r} ⊆ TT( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) für alle i < r ebenfalls: FV(θ+i) ⊆ {ξ}, I TA(θ+i) = I' TA(θ+i) und b TT(θ+i) = b' TT(θ+i). Mit I.V. gilt somit für alle i < r: TD([θ, ξ, θ+i], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ+i], D, I', b'). Sodann gilt mit φ ∈ TA( φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) ∩ FUNK nach Annahme auch I(φ) = I'(φ). Damit gilt mit Theorem 5-2-(iii) insgesamt: TD([θ, ξ, φ(θ+0, ..., θ+r-1) ], D, I, b) = TD( φ([θ, ξ, θ+0], ..., [θ, ξ, θ+r-1]) , D, I, b) = I(φ)(〈TD([θ, ξ, θ+0], D, I, b), ..., TD([θ, ξ, θ+r-1], D, I, b)〉) = I'(φ)(〈TD([θ', ξ, θ+0], D, I', b'), ..., TD([θ', ξ, θ+r-1], D, I', b')〉) = TD( φ([θ', ξ, θ+0], ..., [θ', ξ, θ+r-1]) , D, I', b') = TD([θ', ξ, φ(θ+0, ..., θ+r-1) ], D, I', b'). Zu (ii): Der Beweis wird durch Induktion über den Formelgrad geführt. Gelte dazu das Theorem für alle Α ∈ FORM mit FGRAD(Α) < k. Seien nun (D, I), (D, I') Modelle, b, b' Belegungen für D, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I', b') und sei Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ), und sei FGRAD(Δ) = k. Sei FGRAD(Δ) = 0, also Δ ∈ AFORM. Dann gibt es θ+0, ..., θ+r-1 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 221 ∈ TERM und Φ ∈ PRÄ, wobei Φ r-stellig ist, so dass Δ = Φ(θ+0, ..., θ+r-1) . Dann gilt mit FV( Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) = {FV(θ+i) | i < r}, {TA(θ+i) | i < r} ⊆ TA( Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) und {TT(θ+i) | i < r} = TT( Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) nach der Annahme für Δ für alle i < r: FV(θ+i) ⊆ {ξ}, I TA(θ+i) = I' TA(θ+i) und b TT(θ+i) = b' TT(θ+i). Mit (i) gilt damit dann für alle i < r: TD([θ, ξ, θ+i], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ+i], D, I', b'). Sodann gilt mit Φ ∈ TA( Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ) ∩ PRÄ nach Annahme auch I(Φ) = I'(Φ). Damit gilt wegen Theorem 5-4-(i) insgesamt: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ, ξ, Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ] gdw D, I, b Φ([θ, ξ, θ+0], ..., [θ, ξ, θ+r-1]) gdw 〈TD([θ, ξ, θ+0], D, I, b), ..., TD([θ, ξ, θ+r-1], D, I, b)〉 ∈ I(Φ) gdw 〈TD([θ', ξ, θ+0], D, I', b'), ..., TD([θ', ξ, θ+r-1], D, I', b')〉 ∈ I'(Φ) gdw D, I', b' Φ([θ', ξ, θ+0], ..., [θ', ξ, θ+r-1]) gdw D, I', b' [θ', ξ, Φ(θ+0, ..., θ+r-1) ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Sei nun FGRAD(Δ) ≠ 0, also Δ ∈ JFORM ∪ QFORM. Es können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens: Sei Δ = ¬Α . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Δ). Dann ist nach der Annahme für Δ auch FV(Α) ⊆ {ξ}, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α). Mit I.V. und Theorem 5-4-(ii) gilt dann: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ, ξ, ¬Α ] gdw D, I, b ¬[θ, ξ, Α] gdw D, I, b [θ, ξ, Α] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α] gdw D, I', b' ¬[θ', ξ, Α] 222 5 Modelltheorie gdw D, I', b' [θ', ξ, ¬Α ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Zweitens: Sei Δ = Α ∧ Β . Also FGRAD(Α) < FGRAD(Δ) und FGRAD(Β) < FGRAD(Δ). Dann ist nach Annahme für Δ auch FV(Α) ∪ FV(Β) ⊆ {ξ}, I (TA(Α) ∪ TA(Β)) = I' (TA(Α) ∪ TA(Β)) und b (TT(Α) ∪ TT(Β)) = b' (TT(Α) ∪ TT(Β)). Mit I.V. und Theorem 5-4-(iii) gilt dann: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ, ξ, Α ∧ Β ] gdw D, I, b [θ, ξ, Α] ∧ [θ, ξ, Β] gdw D, I, b [θ, ξ, Α] und D, I, b [θ, ξ, Β] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α] und D, I', b' [θ', ξ, Β] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α] ∧ [θ', ξ, Β] gdw D, I', b' [θ', ξ, Α ∧ Β ] gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog. Sechstens: Sei Δ = ζΑ . Nach der Annahme für Δ ist dann FV(Α) ⊆ {ξ, ζ}, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α). Angenommen ζ = ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = [θ, ζ, ζΑ ] = ζΑ = [θ', ζ, ζΑ ] = [θ', ξ, Δ] und somit [θ, ξ, Δ] = Δ = [θ', ξ, Δ]. Sodann gilt FV(Δ) = ∅ und somit Δ ∈ GFORM. Da nach Annahme I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ) gilt damit mit Theorem 5-5-(ii): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b Δ gdw D, I', b' Δ gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Sei nun ζ ≠ ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = ζ[θ, ξ, Α] und [θ', ξ, Δ] = ζ[θ', ξ, Α] . Sodann gilt mit ζ ≠ ξ und ζ, ξ ∉ TT(θ#) für alle θ# ∈ GTERM nach Theorem 1-25-(ii) für alle β+ ∈ PAR: [β+, ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β+, ζ, Α]] und [β+, ζ, [θ', ξ, Α]] = [θ', ξ, [β+, ζ, Α]]. 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 223 Gelte nun D, I, b ζ[θ, ξ, Α] . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(vii) ein β+ ∈ PAR\TT([θ, ξ, Α]), so dass für alle b+, die in β+ Belegungsvarianten von b für D sind: D, I, b+ [β+, ζ, [θ, ξ, Α]]. Sei nun β# ∈ PAR\(TT([θ, ξ, Α]) ∪ TT(θ) ∪ TT(θ')). Sei nun b'1 in β# eine Belegungsvariante von b' für D. Sei nun b1 = (b\{(β#, b(β#))}) ∪ {(β#, b'1(β#))}. Dann ist b1 in β# eine Belegungsvariante von b für D und b1(β#) = b'1(β#). Sei nun b2 = (b\{(β+, b(β+))}) ∪ {(β+, b'1(β#))}. Dann ist b2 in β+ eine Belegungsvariante von b für D und somit gilt also D, I, b2 [β+, ζ, [θ, ξ, Α]]. Sodann ist TD(β+, D, I, b2) = b2(β+) = b'1(β#) = b1(β#) = TD(β#, D, I, b1). Sodann gilt nach Annahme für β+ und β#, dass β+, β# ∉ TT([θ, ξ, Α]) und damit b2 TT([θ, ξ, Α]) = b TT([θ, ξ, Α]) = b1 TT([θ, ξ, Α]). Sodann ist trivialerweise I TA([θ, ξ, Α]) = I TA([θ, ξ, Α]). Ferner ist FV([θ, ξ, Α]) ⊆ {ζ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([θ, ξ, Α]) = FGRAD(Α) < FGRAD(Δ). Damit gilt dann nach I.V. wegen D, I, b2 [β+, ζ, [θ, ξ, Α]] auch D, I, b1 [β#, ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β#, ζ, Α]]. Sodann gilt mit β# ∉ TT(θ), dass b1 TT(θ) = b TT(θ), und mit β# ∉ TT(θ'), dass b'1 TT(θ') = b' TT(θ'), und da trivialerweise I TA(θ) = I TA(θ) und I' TA(θ') = I' TA(θ') gilt somit nach Theorem 5-5-(i): TD(θ, D, I, b1) = TD(θ, D, I, b) und TD(θ', D, I', b'1) = TD(θ', D, I', b') und somit nach Eingangsannahme insgesamt TD(θ, D, I, b1) = TD(θ', D, I', b'1). Ferner gilt mit b TT(Α) = b' TT(Α), b1(β#) = b'1(β#) und TT([β#, ζ, Α]) ⊆ TT(Α) ∪ {β#}, dass b1 TT([β#, ζ, Α]) = b'1 ([β#, ζ, Α]). Sodann gilt: I TA([β#, ζ, Α]) = I (TA([β#, ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Α) = I' TA(Α) = I' (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β#, ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β#, ζ, Α]) und somit I TA([β#, ζ, Α]) = I' TA([β#, ζ, Α]). Ferner ist FV([β#, ζ, Α]) ⊆ {ξ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([β#, ζ, Α]) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b1 [θ, ξ, [β#, ζ, Α]] nach I.V. auch: D, I', b'1 [θ', ξ, [β#, ζ, Α]] = [β#, ζ, [θ', ξ, Α]]. Also gilt für alle b'+ die in β# Belegungsvarianten von b' für D sind: D, I', b'+ [β#, ζ, [θ', ξ, Α]] und somit nach Theorem 5-4-(vii) D, I', b' ζ[θ', ξ, Α] . Die R-L-Richtung verläuft analog. 224 5 Modelltheorie Siebtens: Sei Δ = ζΑ . Nach der Annahme für Δ ist dann FV(Α) ⊆ {ξ, ζ}, I TA(Α) = I' TA(Α) und b TT(Α) = b' TT(Α). Angenommen ζ = ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = [θ, ζ, ζΑ ] = ζΑ = [θ', ζ, ζΑ ] = [θ', ξ, Δ] und somit [θ, ξ, Δ] = Δ = [θ', ξ, Δ]. Sodann gilt FV(Δ) = ∅ und somit Δ ∈ GFORM. Da nach Annahme I TA(Δ) = I' TA(Δ) und b TT(Δ) = b' TT(Δ) gilt damit mit Theorem 5-5-(ii): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b Δ gdw D, I', b' Δ gdw D, I', b' [θ', ξ, Δ]. Sei nun ζ ≠ ξ. Dann ist [θ, ξ, Δ] = ζ[θ, ξ, Α] und [θ', ξ, Δ] = ζ[θ', ξ, Α] . Sodann gilt mit ζ ≠ ξ und ζ, ξ ∉ TT(θ#) für alle θ# ∈ GTERM nach Theorem 1-25-(ii) für alle β+ ∈ PAR: [β+, ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β+, ζ, Α]] und [β+, ζ, [θ', ξ, Α]] = [θ', ξ, [β+, ζ, Α]]. Gelte nun D, I, b ζ[θ, ξ, Α] . Dann gibt es mit Theorem 5-4-(viii) ein β+ ∈ PAR\TT([θ, ξ, Α]) und b1, das in β+ Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b1 [β+, ζ, [θ, ξ, Α]]. Sei nun β# ∈ PAR\(TT([θ, ξ, Α]) ∪ TT(θ) ∪ TT(θ')). Sei nun b'1 = (b'\{(β#, b'(β#))}) ∪ {(β#, b1(β+))}. Dann ist b'1 in β# eine Belegungsvariante von b' für D und b'1(β#) = b1(β+). Sei nun b2 = (b\{(β#, b(β#))}) ∪ {(β#, b'1(β#))}. Dann ist b2 in β# eine Belegungsvariante von b für D und TD(β#, D, I, b2) = b2(β#) = b'1(β#) = b1(β+) = TD(β+, D, I, b1). Sodann gilt nach Annahme für β+, β#, dass β+, β# ∉ TT([θ, ξ, Α]) und damit b2 TT([θ, ξ, Α]) = b TT([θ, ξ, Α]) = b1 TT([θ, ξ, Α]). Sodann ist trivialerweise I TA([θ, ξ, Α]) = I TA([θ, ξ, Α]). Ferner ist FV([θ, ξ, Α]) ⊆ {ζ} und mit Theorem 1-13 ist FGRAD([θ, ξ, Α]) = FGRAD(Α) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b1 [β+, ζ, [θ, ξ, Α]] nach I.V., dass D, I, b2 [β#, ζ, [θ, ξ, Α]] = [θ, ξ, [β#, ζ, Α]]. Sodann ist mit β# ∉ TT(θ) und β# ∉ TT(θ'): b2 TT(θ) = b TT(θ) und b'1 TT(θ') = b' TT(θ') und somit nach Theorem 5-5-(i) TD(θ, D, I, b2) = TD(θ, D, I, b) und TD(θ', D, I', b'1) = TD(θ', D, I', b') und somit nach Eingangsannahme insgesamt TD(θ, D, I, b2) = TD(θ', D, I', b'1). Ferner gilt mit b TT(Α) = b' TT(Α), b2(β#) = b'1(β#) und TT([β#, ζ, Α]) ⊆ TT(Α) ∪ {β#}, dass b2 TT([β#, ζ, Α]) = b'1 ([β#, ζ, Α]) und es gilt I TA([β#, ζ, Α]) = I (TA([β#, ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I TA(Α) = I' TA(Α) = I' (TA(Α) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β#, ζ, Α]) ∩ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = I' (TA([β#, ζ, Α]) und somit I TA([β#, ζ, Α]) = I' TA([β#, ζ, Α]). Ferner ist FV([β#, ζ, Α]) ⊆ {ξ} und mit Theorem 1-13 ist 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 225 FGRAD([β#, ζ, Α]) < FGRAD(Δ). Damit gilt mit D, I, b2 [θ, ξ, [β#, ζ, Α]] nach I.V.: D, I', b'1 [θ', ξ, [β#, ζ, Α]] = [β#, ζ, [θ', ξ, Α]] und somit nach Theorem 5-4-(viii): D, I', b' ζ[θ', ξ, Α] . Die R-L-Richtung verläuft analog. ■ Nun werden zur Vereinfachung späterer Beweise einige Konsequenzen des Substitutionslemmas bewiesen. Theorem 5-7. Koreferenzialität Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D ist, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I, b), dann: (i) Für alle θ+ ∈ TERM mit FV(θ+) ⊆ {ξ} gilt: TD([θ, ξ, θ+], D, I, b) = TD([θ', ξ, θ+], D, I, b), und (ii) Für alle Δ ∈ FORM mit FV(Δ) ⊆ {ξ} gilt: D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b [θ', ξ, Δ]. Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, ξ ∈ VAR, θ, θ' ∈ GTERM und TD(θ, D, I, b) = TD(θ', D, I, b). Dann gilt trivialerweise für alle μ ∈ TERM ∪ FORM: I TA(μ) = I TA(μ) und b TT(μ) = b TT(μ) und damit folgt die Behauptung mit Theorem 5-6. ■ Theorem 5-8. Invarianz der Erfüllung von Quantorformeln bzgl. Parameterwahl Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D ist, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∈ PAR\TT(Δ), dann: (i) D, I, b ξΔ gdw für alle b', die in β Belegungsvarianten von b für D sind gilt: D, I, b' [β, ξ, Δ], und (ii) D, I, b ξΔ gdw es gibt b', das in β Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b' [β, ξ, Δ]. Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und β ∈ PAR\TT(Δ). Zu (i): Die R-L-Richtung ergibt sich direkt mit Theorem 5-4-(vii). Gelte nun für die L-R-Richtung D, I, b ξΔ . Dann gibt es ein β* ∈ PAR\TT(Δ), so dass für alle b*, die in β* Belegungsvarianten von b für D sind gilt: D, I, b* [β*, ξ, Δ]. Sei nun b' in β eine Belegungsvariante von b für D. Sei nun b* = (b\{(β*, b(β*))}) ∪ {(β*, b'(β))}. Dann ist b* in β* eine Belegungsvariante von b für D und somit gilt D, I, b* [β*, ξ, Δ]. Ferner gilt dann: TD(β*, D, I, b*) = b*(β*) = b'(β) 226 5 Modelltheorie = TD(β, D, I, b'). Mit β, β* ∉ TT(Δ) gilt sodann auch b* TT(Δ) = b TT(Δ) = b' TT(Δ) und damit mit Theorem 5-6-(ii): D, I, b' [β, ξ, Δ]. Zu (ii): Die R-L-Richtung ergibt sich direkt mit Theorem 5-4-(viii). Gelte nun für die LR-Richtung D, I, b ξΔ . Dann gibt es ein β* ∈ PAR\TT(Δ) und b*, das in β* Belegungsvariante von b für D, so dass D, I, b* [β*, ξ, Δ]. Sei nun b' = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, b*(β*))}. Dann ist b' in β eine Belegungsvariante von b für D und es ist TD(β*, D, I, b*) = b*(β*) = b'(β) = TD(β, D, I, b'). Mit β, β* ∉ TT(Δ) gilt sodann auch wieder b* TT(Δ) = b' TT(Δ) und damit mit Theorem 5-6-(ii): D, I, b' [β, ξ, Δ]. ■ Theorem 5-9. Einfaches Substitutionslemma für Belegungen Wenn (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D ist, ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und θ ∈ GTERM, dann: (i) Wenn b' in β eine Belegungsvariante von b für D ist und b'(β) = TD(θ, D, I, b), dann gilt für alle θ+ ∈ TERM mit FV(θ+) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(θ+): TD([θ, ξ, θ+], D, I, b) = TD([β, ξ, θ+], D, I, b'), und (ii) Wenn b' in β eine Belegungsvariante von b für D ist und b'(β) = TD(θ, D, I, b), dann gilt für alle Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(Δ): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b' [β, ξ, Δ]. Beweis: Sei (D, I) ein Modell, b eine Belegung für D, ξ ∈ VAR, β ∈ PAR und θ ∈ GTERM. Sei nun b' in β eine Belegungsvariante von b für D, wobei b'(β) = TD(θ, D, I, b). Sei nun μ ∈ TERM ∪ FORM mit FV(μ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(μ). Dann gilt trivialerweise I TA(μ) = I TA(μ). Sodann gilt mit β ∉ TT(μ), dass b TT(μ) = b' TT(μ). Ferner gilt nach Annahme: TD(β, D, I, b') = b'(β) = TD(θ, D, I, b). Damit folgt nach Theorem 5-6-(i) für alle θ+ ∈ TERM mit FV(θ+) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(θ+): TD([θ, ξ, θ+], D, I, b) = TD([β, ξ, θ+], D, I, b') und mit Theorem 5-6-(ii) für alle Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ} und β ∉ TT(Δ): D, I, b [θ, ξ, Δ] gdw D, I, b' [β, ξ, Δ]. ■ 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 227 Definition 5-9. Vierstellige modelltheoretische Erfüllung für Mengen D, I, b M X gdw (D, I) ist ein Modell, b ist eine Belegung für D, X ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ X gilt: D, I, b Δ. Definition 5-10. Modelltheoretische Konsequenz X Γ gdw X ∪ {Γ} ⊆ GFORM und für alle D, I, b gilt: Wenn D, I, b M X, dann D, I, b Γ. Definition 5-11. Allgemeingültigkeit Γ gdw ∅ Γ. Definition 5-12. Erfüllbarkeit Γ ist erfüllbar gdw Γ ∈ GFORM und es gibt D, I, b, so dass D, I, b Γ. In Definition 5-8 bis Definition 5-12 wurden einige der üblichen modelltheoretischen Begrifflichkeiten eingeführt. Mit der nächsten Definition wird nun noch ein dreistelliger Erfüllungsbegriff für Aussagen, der insbesondere für den Umgang mit parameterfreien Aussagen interessant ist, etabliert. Sodann werden zu den in Definition 5-10 bis Definition 5-13 für geschlossene Formeln eingeführten Begriffen analoge Begriffe für Aussagenmengen etabliert, wie dies bereits mit Definition 5-9 für den in Definition 5-8 für geschlossene Formeln etablierten Erfüllungsbegriff geschehen ist. Definition 5-13. Dreistellige modelltheoretische Erfüllung D, I Γ gdw (D, I) ist ein Modell und für alle b, die Belegungen für D sind, gilt: D, I, b Γ. 228 5 Modelltheorie Definition 5-14. Dreistellige modelltheoretische Erfüllung für Mengen D, I M X gdw (D, I) ist ein Modell, X ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ X gilt: D, I Δ. Definition 5-15. Modelltheoretische Konsequenz für Mengen X M Y gdw X ∪ Y ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ Y gilt: X Δ. Definition 5-16. Allgemeingültigkeit für Mengen M X gdw X ⊆ GFORM und für alle Δ ∈ X gilt: Δ. Definition 5-17. Erfüllbarkeit für Mengen X ist erfüllbarM gdw X ⊆ GFORM und es gibt D, I, b, so dass D, I, b X. Da im Folgenden immer aus dem Kontext hervorgehen wird, ob auf Aussagen oder Aussagenmengen Bezug genommen wird, unterschlagen wir im Folgenden den Index 'M' bei den Begriffen aus Definition 5-9 und Definition 5-14 bis Definition 5-17. Zuletzt wird nun noch der Abschluss einer Aussagenmenge unter modelltheoretischer Konsequenzschaft definiert. Danach folgen in diesem Abschnitt nur noch einige einfache Hilfstheoreme. Definition 5-18. Der Abschluss einer Aussagenmenge unter modelltheoretischer Konsequenz X = {Δ | Δ ∈ GFORM und X Δ}. Theorem 5-10. Erfüllung überträgt sich auf Untermengen Wenn D, I, b X, dann gilt für alle Y ⊆ X: D, I, b Y. Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 5-9. ■ 5.1 Erfüllungsrelation und modelltheoretische Konsequenz 229 Theorem 5-11. Erfüllbarkeit überträgt sich auf Untermengen Wenn X erfüllbar ist, dann gilt für alle Y ⊆ X: Y ist erfüllbar. Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 5-17 und Theorem 5-10. ■ Theorem 5-12. Konsequenzschaft und Erfüllbarkeit Wenn X ∪ {Γ} ⊆ GFORM, dann: X Γ gdw X ∪ { ¬Γ } ist nicht erfüllbar. Beweis: Sei X ∪ {Γ} ⊆ GFORM. Sei X Γ. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Γ. Angenommen X ∪ { ¬Γ } wäre erfüllbar. Dann gibt es D, I, b, so dass D, I, b X ∪ { ¬Γ }. Mit Definition 5-9 und Theorem 5-4-(ii) gilt dann D, I, b Γ und andererseits aber mit Theorem 5-10 D, I, b X und damit nach Annahme D, I, b Γ. Widerspruch! Sei umgekehrt X ∪ { ¬Γ } nicht erfüllbar. Also gibt es keine D, I, b, so dass D, I, b X ∪ { ¬Γ }. Mit Definition 5-9 gibt es dann keine D, I, b, so dass D, I, b X und D, I, b ¬Γ . Gelte nun D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und D, I, b ¬Γ . Damit gilt nach Theorem 5-4-(ii) dann D, I, b Γ. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Γ. Also X Γ. ■ 230 5 Modelltheorie 5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft Der folgende Abschnitt führt zur Korrektheit hin. Es wird für jede Regel des Redehandlungskalküls (vgl. Kap. 3.1) beziehungsweise für jede Fortsetzungsoperation (vgl. Kap. 3.2) ein modelltheoretisches Theorem bewiesen, dass der jeweiligen Abschlussklausel in Kap. 4.2 entspricht, also Theorem 4-15 (AR) oder einer der Klauseln von Theorem 4-18. Zunächst wird jedoch die modelltheoretische Monotonie (vgl. dazu Theorem 4-16) vorausgeschickt. Theorem 5-13. Modelltheoretische Monotonie Wenn X' ⊆ X ⊆ GFORM und X' Γ, dann X Γ. Beweis: Sei X' ⊆ X ⊆ GFORM und X' Γ. Dann gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X', dann D, I, b Γ. Gelte nun D, I, b X. Dann gilt mit X' ⊆ X nach Theorem 5-10, dass D, I, b X' und damit nach Annahme, dass D, I, b Γ. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Γ. Also X Γ. ■ Theorem 5-14. Modelltheoretische Entsprechung zu AR Wenn X ⊆ GFORM und Α ∈ X, dann X Α. Beweis: Sei X ⊆ GFORM und Α ∈ X. Dann gilt nach Definition 5-9 für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Α und damit X Α. ■ Theorem 5-15. Modelltheoretische Entsprechung zu SE Wenn X Β und Α ∈ X, dann X\{Α} Α → Β . Beweis: Sei X Β und Α ∈ X. Sei nun D, I, b X\{Α}. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und für alle Δ ∈ X\{Α} gilt: D, I, b Δ. Dann gilt entweder D, I, b Α oder D, I, b Α. Im ersten Fall gilt, dass D, I, b Δ für alle Δ ∈ X, und somit gilt D, I, b X. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(v) gilt dann D, I, b Α → Β . Das gilt aber auch, falls D, I, b Α. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X\{Α} gilt, auch D, I, b Α → Β . Also X\{Α} Α → Β . ■ 5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 231 Theorem 5-16. Modelltheoretische Entsprechung zu SB Wenn X Α → Β und Y Α, dann X ∪ Y Β. Beweis: Seien X Α → Β und Y Α. Sei D, I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und sodann gilt mit Theorem 5-10 D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann D, I, b Α und D, I, b Α → Β . Mit letzterem und Theorem 5-4-(v) gilt D, I, b Α oder D, I, b Β und damit mit D, I, b Α, dass D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Ygilt, auch D, I, b Β. Also X ∪ Y Β. ■ Theorem 5-17. Modelltheoretische Entsprechung zu KE Wenn X Α und Y Β, dann X ∪ Y Α ∧ Β . Beweis: Sei X Α und Y Β. Gelte D, I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α und D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(iii) gilt dann D, I, b Α ∧ Β . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y gilt, auch D, I, b Α ∧ Β . Also X ∪ Y Α ∧ Β . ■ Theorem 5-18. Modelltheoretische Entsprechung zu KB Wenn X Α ∧ Β , dann X Α und X Β. Beweis: Sei X Α ∧ Β . Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α ∧ Β . Mit Theorem 5-4-(iii) gilt dann D, I, b Α und D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X gilt, auch D, I, b Α und D, I, b Β. Also X Α und X Β. ■ Theorem 5-19. Modelltheoretische Entsprechung zu BE Wenn X Α → Β und Y Β → Α , dann X ∪ Y Α ↔ Β . Beweis: Sei X Α → Β und Y Β → Α . Sei D, I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b 232 5 Modelltheorie Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α → Β und D, I, b Β → Α . Mit Theorem 5-4-(v) gilt dann (i) D, I, b Α oder D, I, b Β und zum anderen (ii) D, I, b Β oder D, I, b Α. Angenommen (der erste Fall von (i)), D, I, b Α. Mit (ii) muss dann auch D, I, b Β der Fall sein. Angenommen (der zweite Fall von (i)), D, I, b Β. Dann muss mit (ii) auch D, I, b Α der Fall sein. Also gelten D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann D, I, b Α ↔ Β . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y gilt, auch D, I, b Α ↔ Β . Also X ∪ Y Α ↔ Β . ■ Es bietet sich an, eine Variante zu Theorem 5-19 als Korollar zu notieren, in der nicht gefordert wird, dass bestimmte Subjunktionen modelltheoretische Konsequenzen von bestimmten Aussagenmengen sein müssen. Theorem 5-20. Modelltheoretische Entsprechung zu BE* Wenn X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y, dann (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β . Beweis: Sei X Β und Α ∈ X und Y Α und Β ∈ Y. Nach Theorem 5-15 gelten dann X\{Α} Α → Β und Y\{Β} Β → Α . Mit Theorem 5-19 folgt (X\{Α}) ∪ (Y\{Β}) Α ↔ Β . ■ Theorem 5-21. Modelltheoretische Entsprechung zu BB Wenn X Α ↔ Β oder X Β ↔ Α und Y Α, dann X ∪ Y Β. Beweis: Sei X Α ↔ Β oder X Β ↔ Α und Y Α. Sei nun D, I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α. Sei nun X Α ↔ Β . Dann gilt D, I, b Α ↔ Β . Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β. Sei nun X Β ↔ Α . Dann gilt D, I, b Β ↔ Α . Mit Theorem 5-4-(vi) gilt dann wie im ersten Fall D, I, b Α und D, I, b Β oder D, I, b Α und D, I, b Β. D, I, b Α und D, I, b Β kann aber nicht der Fall sein, weil D, I, b Α. Also D, I, b Α und D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y gilt, auch D, I, b Β. Also X ∪ Y Β. ■ 5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 233 Theorem 5-22. Modelltheoretische Entsprechung zu AE Wenn X Α oder X Β, dann X Α ∨ Β . Beweis: Sei X Α oder X Β. Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Nach Voraussetzung gilt sodann auch D, I, b Α oder D, I, b Β. Mit Theorem 5-4-(iv) gilt in beiden Fällen D, I, b Α ∨ Β . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X gilt, auch D, I, b Α ∨ Β . Also X Α ∨ Β . ■ Theorem 5-23. Modelltheoretische Entsprechung zu AB Wenn X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ , dann X ∪ Y ∪ Z Γ. Beweis: Sei X Α ∨ Β und Y Α → Γ und Z Β → Γ . Sei D, I, b X ∪ Y ∪ Z. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y und D, I, b Z. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Α ∨ Β und D, I, b Α → Γ und D, I, b Β → Γ . Mit Theorem 5-4-(iv) und -(v) gelten dann: (i) D, I, b Α oder D, I, b Β und (ii) D, I, b Α oder D, I, b Γ und (ii) D, I, b Β oder D, I, b Γ. Angenommen (der erste Fall von (i)), D, I, b Α. Dann muss mit (ii) D, I, b Γ der Fall sein. Angenommen (der zweite Fall von (i)), D, I, b Β. Dann muss mit (iii) auch D, I, b Γ der Fall sein. In beiden Fällen gilt also D, I, b Γ. Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b X ∪ Y ∪ Z gilt, auch D, I, b Γ. Also X ∪ Y ∪ Z Γ. ■ Es bietet sich an, eine Variante zu Theorem 5-23 als Korollar zu notieren, in der nicht gefordert wird, dass bestimmte Subjunktionen modelltheoretische Konsequenzen von bestimmten Aussagenmengen sein müssen. Theorem 5-24. Modelltheoretische Entsprechung zu AB* Wenn X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z, dann X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ. Beweis: Sei X Α ∨ Β und Y Γ und Α ∈ Y und Z Γ und Β ∈ Z. Nach Theorem 5-15 gelten dann Y\{Α} Α → Γ und Z\{Β} Β → Γ . Mit Theorem 5-23 folgt X ∪ (Y\{Α}) ∪ (Z\{Β}) Γ. ■ 234 5 Modelltheorie Theorem 5-25. Modelltheoretische Entsprechung zu NE Wenn X Β und Y ¬Β und Α ∈ X ∪ Y, dann (X ∪ Y)\{Α} ¬Α . Beweis: Sei X Β und Y ¬Β und Α ∈ X ∪ Y. Sei D, I, b (X ∪ Y)\{Α}. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D, so dass für alle Δ ∈ (X ∪ Y)\{Α} gilt: D, I, b Δ. Wäre nun D, I, b Α. Dann gilt für alle Δ ∈ X und für alle Δ ∈ Y: D, I, b Δ und damit D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b Β und D, I, b ¬Β . Mit Theorem 5-4-(ii) gilt dann D, I, b Β und D, I, b Β. Sed certe hoc esse non potest. Also D, I, b Α und mithin D, I, b ¬Α . Also gilt für alle D, I, b, für die D, I, b (X ∪ Y)\{Α} gilt, auch D, I, b ¬Α . Also (X ∪ Y)\{Α} ¬Α . ■ Theorem 5-26. Modelltheoretische Entsprechung zu NB Wenn X ¬¬Α , dann X Α. Beweis: Sei X ¬¬Α . Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b ¬¬Α . Mit Theorem 5-4-(ii) gilt dann D, I, b ¬Α . Nochmalige Anwendung von Theorem 5-4-(ii) ergibt D, I, b Α. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b Α. Also X Α. ■ Theorem 5-27. Modelltheoretische Entsprechung zu UE Wenn β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ},und X [β, ξ, Α] und β ∉ TTFM(X ∪ {Α}), dann X ξΑ . Beweis: Sei β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, X [β, ξ, Α] und β ∉ TTFM(X ∪ {Α}). Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Sei b' in β eine Belegungsvariante von b für D. Sei Δ ∈ X. Also D, I, b Δ. Nun ist nach Voraussetzung β ∉ TT(Δ). Also gilt b TT(Δ) = b' TT(Δ). Nach Theorem 5-5-(ii) gilt dann auch D, I, b' Δ. Also D, I, b' Δ für alle Δ ∈ X und somit D, I, b' X. Mit X [β, ξ, Α], ist dann auch D, I, b' [β, ξ, Α]. Also gilt für alle b', die in β eine Belegungsvariante von b für D sind: D, I, b' [β, ξ, Α]. Mit Theorem 5-4-(vii) folgt D, I, 5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 235 b ξΑ . Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann auch D, I, b ξΑ . Also X ξΑ . ■ Theorem 5-28. Modelltheoretische Entsprechung zu UB Wenn θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X ξΑ , dann X [θ, ξ, Α]. Beweis: Sei θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X ξΑ . Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt D, I, b ξΑ . Dann gibt es nach Theorem 5-4-(vii) ein β ∈ PAR\TT(Α), so dass für alle b', die in β eine Belegungsvariante von b für D sind, gilt D, I, b' [β, ξ, Α]. Sei b* = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, TD(θ, D, I, b))}. Offenbar ist b* in β eine Belegungsvariante von b für D. Also D, I, b* [β, ξ, Α]. Mit b*(β) = TD(θ, D, I, b) und β ∉ TT(Α) folgt dann mit Theorem 5-9-(ii), dass D, I, b [θ, ξ, Α]. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b [θ, ξ, Α]. Also X [θ, ξ, Α]. ■ Theorem 5-29. Modelltheoretische Entsprechung zu PE Wenn θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X [θ, ξ, Α], dann X ξΑ . Beweis: Sei θ ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X [θ, ξ, Α]. Sei D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und nach Voraussetzung gilt D, I, b [θ, ξ, Α]. Sei nun β ∈ PAR\TT(Α) und sei b* = (b\{(β, b(β))}) ∪ {(β, TD(θ, D, I, b))}. Dann ist b* in β eine Belegungsvariante von b für D. Mit b*(β) = TD(θ, D, I, b), β ∉ TT(Α) und Theorem 5-9-(ii) folgt dann D, I, b* [β, ξ, Α]. Mit Theorem 5-4-(viii) folgt damit dann D, I, b ξΑ . Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b ξΑ . Also X ξΑ . ■ 236 5 Modelltheorie Theorem 5-30. Modelltheoretische Entsprechung zu PB Wenn β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, und X ξΑ und Y Β und {[β, ξ, Α]} ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Α]}) ∪ {Α, Β}), dann X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}) Β. Beweis: Seien β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Α ∈ FORM, wobei FV(Α) ⊆ {ξ}, X ξΑ , Y Β, {[β, ξ, Α]} ∈ Y und β ∉ TTFM((Y\{[β, ξ, Α]}) ∪ {Α, Β}). Sei D, I, b X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}). Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y\{[β, ξ, Α]}. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b ξΑ . Da β ∉ TT(Α), gibt es dann nach Theorem 5-8-(ii) ein b', das in β eine Belegungsvariante von b für D ist, so dass D, I, b' [β, ξ, Α]. Sei nun Δ' ∈ Y, also Δ' ∈ Y\{[β, ξ, Α]} oder Δ' = [β, ξ, Α]. Im ersten Fall gilt D, I, b Δ'. Da aber β ∉ TT(Δ'), gilt b TT(Δ') = b' TT(Δ'). Mit Theorem 5-5-(ii) folgt dann D, I, b' Δ'. Für den zweiten Fall gilt bereits D, I, b' [β, ξ, Α]. Also D, I, b' Δ' für alle Δ' ∈ Y und somit D, I, b' Y. Nach Voraussetzung gilt dann auch D, I, b' Β. Da aber β ∉ TT(Β), gilt b TT(Β) = b' TT(Β). Mit Theorem 5-5-(ii) folgt dann D, I, b Β. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}), dann D, I, b Β. Also X ∪ (Y\{[β, ξ, Α]}) Β. ■ Theorem 5-31. Modelltheoretische Entsprechung zu IE Für alle X ⊆ GFORM und θ ∈ GTERM gilt: X θ = θ . Beweis: Sei X ⊆ GFORM und θ ∈ GTERM. Gelte D, I, b X. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Mit 〈TD(θ, D, I, b), TD(θ, D, I, b)〉 ∈ {〈a, a〉 | a ∈ D} gilt 〈TD(θ, D, I, b), TD(θ, D, I, b)〉 ∈ I( = ). Nach Theorem 5-4-(i) gilt dann D, I, b θ = θ . Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X, dann D, I, b θ = θ . Also X θ = θ . ■ 5.2 Abgeschlossenheit der modelltheoretischen Konsequenzschaft 237 Theorem 5-32. Modelltheoretische Entsprechung zu IB Wenn θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X θ0 = θ1 und Y [θ0, ξ, Δ], dann X ∪ Y [θ1, ξ, Δ]. Beweis: Seien θ0, θ1 ∈ GTERM, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, und X θ0 = θ1 und Y [θ0, ξ, Δ]. Sei nun D, I, b X ∪ Y. Dann ist (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D und mit Theorem 5-10 gilt D, I, b X und D, I, b Y. Nach Voraussetzung gilt dann D, I, b θ0 = θ1 und D, I, b [θ0, ξ, Δ]. Nach Theorem 5-4-(i) gilt dann 〈TD(θ0, D, I, b), TD(θ1, D, I, b)〉 ∈ I( = ) = {〈a, a〉 | a ∈ D}. Damit gilt TD(θ0, D, I, b) = TD(θ1, D, I, b). Nach Theorem 5-7-(ii) gilt dann mit D, I, b [θ0, ξ, Δ] auch D, I, b [θ1, ξ, Δ]. Also gilt für alle D, I, b: Wenn D, I, b X ∪ Y, dann D, I, b [θ1, ξ, Δ]. Also X ∪ Y [θ1, ξ, Δ]. ■ 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls Nachdem der Redehandlungskalkül und die Modelltheorie etabliert wurden, ist nun zu zeigen, dass die jeweiligen Konsequenzschaftsbegriffe äquivalent sind. Wie üblich, zerfällt dieser Adäquatheitsnachweis in zwei Teile: Erstens der Nachweis der Korrektheit des Redehandlungskalküls bezüglich der Modelltheorie. Salopp: Alles, was ableitbar ist, folgt auch modelltheoretisch (6.1). Zweitens der Nachweis der Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bezüglich der Modelltheorie. Salopp: Alles, was modelltheoretisch folgt, ist auch ableitbar (6.2). Dabei richten wir uns mit der Rede von der Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls an den Üblichkeiten aus. Umgekehrt kann man die beiden Resultate natürlich auch so lesen, dass in Kap. 6.1 gezeigt wird, dass die modelltheoretische Konsequenzrelation vollständig bezüglich des Kalküls ist. In Kap. 6.2 würde dann gezeigt, dass die modelltheoretische Konsequenzrelation korrekt bezüglich des Kalküls ist. Diese abweichende Redeweise wird im Folgenden nicht weiter verfolgt, um Konfusionen zu vermeiden. Doch obwohl von Korrektheit und Vollständigkeit im üblichen Sinne geredet wird, soll damit nicht unterstellt oder gar behauptet werden, dass die modelltheoretische Konsequenzrelation in irgendeiner Weise vorgängig gegenüber der durch den Kalkül etablierten deduktiven Konsequenz ist und dass Kalküle gegenüber der Modelltheorie zu rechtfertigen wären und nicht umgekehrt. Das Adäquatheitsresultat bringt zunächst nur zum Ausdruck, dass der Redehandlungskalkül und die Modelltheorie mit äquivalenten Konsequenzrelationen verbunden sind. 6.1 Korrektheit des Redehandlungskalküls Der vorliegende Abschnitt besteht im Wesentlichen aus einem einzelnen Beweis, nämlich dem für Theorem 6-1, das besagt, dass in jeder Ableitung die Konklusion aus VAN( ) modelltheoretisch folgt. Der Beweis wird per Induktion über die Länge einer Ableitung geführt. Dazu wird unter Ausnutzung der I.V. für alle 17 möglichen Fortsetzungen von Dom( )-1 zu gezeigt, dass VAN( ) K( ). Dabei werden zunächst die ›interessanteren‹ Fälle betrachtet, bei denen sich die Menge der verfügbaren Annahmen bei der Fortsetzung von Dom( )-1 zu verkleinert oder vergrössert. Die betreffenden vier 240 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls Fälle entsprechen AF, SEF, NEF und PBF beziehungsweise AR, SE, NE und PB. Für die verbleibenden 13 Fälle kann ausgeschlossen werden, dass die letzte Fortsetzung der betrachteten Ableitung zu einem der ersten vier Fälle gehört. Die Korrektheit des Redehandlungskalküls gegenüber der Modelltheorie wird dann am Ende des Abschnitts in Theorem 6-2 etabliert. Theorem 6-1. Hauptbeweis der Korrektheit Wenn ∈ RGS\{∅}, dann VAN( ) K( ). Beweis: Beweis per Induktion über | |. Gelte dazu das Theorem für alle l < | | und sei ∈ RGS\{∅}. Dann ist nach Definition 3-19 ∈ SEQ und für alle j < Dom( ) gilt: j+1 ∈ RGF( j). Sodann gilt mit Theorem 3-8 für alle j ∈ Dom( ), dass j+1 ∈ RGS\{∅}. Damit gilt nach I.V. für alle j < Dom( )-1: VAN( j+1) K( j+1). Nach Theorem 3-6 und Definition 3-18 gilt sodann, dass ∈ AF( Dom( )-1) oder ∈ SEF( Dom( )-1) oder ∈ SBF( Dom( )-1) oder ∈ KEF( Dom( )-1) oder ∈ KBF( Dom( )-1) oder ∈ BEF( Dom( )-1) oder ∈ BBF( Dom( )-1) oder ∈ AEF( Dom( )-1) oder ∈ ABF( Dom( )-1) oder ∈ NEF( Dom( )-1) oder ∈ NBF( Dom( )-1) oder ∈ UEF( Dom( )-1) oder ∈ UBF( Dom( )-1) oder ∈ PEF( Dom( )-1) oder ∈ PBF( Dom( )-1) oder ∈ IEF( Dom( )-1) oder ∈ IBF( Dom( )-1). Ferner ist ∈ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1) oder ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Damit lassen sich zwei Grossfälle unterscheiden. Sei für den ersten Fall nun zunächst ∈ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Damit lassen sich vier Unterfälle unterscheiden, wobei für die drei letzteren mit Definition 3-2, Definition 3-10 und Definition 3-16 gilt: Dom( )-1 ≠ 0 und damit Dom( )-1 ∈ RGS\{∅} und VAN( Dom( )-1) K( Dom( )-1). (AF): Sei ∈ AF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-15-(viii) ist dann K( ) ∈ VAN( ). Theorem 5-14 liefert dann VAN( ) K( ). (SEF): Sei ∈ SEF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-19-(x) ist dann K( ) = A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) → K( Dom( )-1) . Sodann gilt VAN( Dom( )-1) K( Dom( )-1). Mit Theorem 3-19-(ix) gilt VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} und damit VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} 6.1 Korrektheit des Redehandlungskalküls 241 K( Dom( )-1). Mit Theorem 5-15 folgt VAN( )\{A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) → K( Dom( )-1) . Theorem 5-13 führt zu VAN( ) A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) → K( Dom( )-1) und damit zu VAN( ) K( ). (NEF): Sei ∈ NEF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-20-(x) gilt dann K( ) = ¬A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) . Mit Theorem 3-20-(i) und Theorem 2-92, gibt es sodann Γ ∈ GFORM und j ∈ Dom( )-1, so dass max(Dom(VANS( Dom( )-1))) ≤ j und (j, j) ∈ VERS( Dom( )-1) und entweder A( j) = Γ und A( Dom( )-2) = ¬Γ oder A( j) = ¬Γ und A( Dom( )-2) = Γ. Damit ist entweder Γ = K( j+1) und ¬Γ = K( Dom( )-1) oder ¬Γ = K( j+1) und Γ = K( Dom( )-1). Sei nun zunächst Γ = K( j+1) und ¬Γ = K( Dom( )-1). Dann gilt VAN( j+1) Γ und VAN( Dom( )-1) ¬Γ . Ausserdem ist Γ in Dom( )-1 bei j verfügbar und daher nach Theorem 3-29-(iv) VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und mit Theorem 5-13 dann VAN( Dom( )-1) Γ. Sei nun ¬Γ = K( j+1) und Γ = K( Dom( )-1). Dann gilt VAN( j+1) ¬Γ und VAN( Dom( )-1) Γ. Sodann ist dann ¬Γ in Dom( )-1 bei j verfügbar und daher mit Theorem 3-29-(iv) wiederum VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und mit Theorem 5-13 dann VAN( Dom( )-1) ¬Γ . In beiden Fällen gilt also VAN( Dom( )-1) Γ und VAN( Dom( )-1) ¬Γ . Mit Theorem 3-20-(ix) gilt VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} und damit auch VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} Γ und VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} ¬Γ . Mit Theorem 5-25 (wobei sowohl X als auch Y durch VAN( ) ∪ {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} instanziiert werden) und Theorem 5-13 folgt VAN( ) ¬A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) und damit dass VAN( ) K( ). Für ¬Γ = K( j+1) und Γ = K( Dom( )-1) verläuft der Fall analog. (PBF): Sei ∈ PBF( Dom( )-1). Nach Theorem 3-21-(x) gilt dann K( ) = K( Dom( )-1). Mit Theorem 3-21-(i) und Theorem 2-93 gibt es sodann β ∈ PAR, ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM mit FV(Δ) ⊆ {ξ} und Γ ∈ GFORM, so dass A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1) = ξΔ und (max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1, max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1) ∈ VERS( Dom( )-1) und A( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) = [β, ξ, Δ] und β ∉ TTFM({Δ, K( )}) und es kein j ≤ max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 gibt, so dass β ∈ TT( j). Sodann gilt VAN( Dom( )-1) K( Dom( )-1) = K( ). Mit Theorem 3-21-(ix) gilt sodann VAN( Dom( )-1) = VAN( ) ∪ 242 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls {A( max(Dom(VANS( Dom( )-1))))} = VAN( ) ∪ {[β, ξ, Δ]} und somit VAN( ) ∪ {[β, ξ, Δ]} K( ). Sodann gilt VAN( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) ξΔ . Nun gilt, dass VAN( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) ⊆ VAN( ). Nach Theorem 3-21-(iii) ist nämlich zunächst (max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1, ξΔ ) ∈ VERS( ), da (max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1, max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1) ∈ VERS( Dom( )-1) und max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 < max(Dom(VANS( Dom( )-1))). Also ist ξΔ in bei max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 verfügbar. Mit Theorem 3-29-(iv) folgt, dass VAN( max(Dom(VANS( Dom( )-1)))) ⊆ VAN( ). Damit gilt mit Theorem 5-13, dass VAN( ) ξΔ . Es gilt bereits, dass β ∉ TTFM({Δ, K( )}). Da es kein j ≤ max(Dom(VANS( Dom( )-1)))-1 gibt, so dass β ∈ TT( j), gibt es sodann kein j ∈ Dom(VANS( Dom( )-1)), so dass β ∈ TT( j) = TT(A( j)) und j ≠ max(Dom(VANS( Dom( )-1))). Damit gilt mit Theorem 3-21-(iv) und -(v), dass es kein j ∈ Dom(VANS( )) gibt, so dass β ∈ TT(A( j)). Also ist β ∉ TTFM(VAN( )) und damit insgesamt β ∉ TTFM(VAN( ) ∪ {Δ, K( )}) und schliesslich β ∉ TTFM((VAN( )\{[β, ξ, Δ]}) ∪ {Δ, K( )}). Nach Theorem 5-30 (wobei X durch VAN( ) und Y durch VAN( ) ∪ {[β, ξ, Δ]} instanziiert wird) folgt daher insgesamt VAN( ) K( ). Zweiter Fall: Sei nun ∉ AF( Dom( )-1) ∪ SEF( Dom( )-1) ∪ NEF( Dom( )-1) ∪ PBF( Dom( )-1). Dann ist zunächst nach Theorem 3-28 VAN( ) = VAN( Dom( )-1). Sodann lassen sich 13 Unterfälle unterscheiden. (SBF, KEF, BEF, BBF, IBF): Sei ∈ SBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-3 gibt es dann Δ ∈ GFORM, so dass Δ, Δ → K( ) ∈ VER( Dom( )-1). Wegen Δ, Δ → K( ) ∈ VER( Dom( )-1) gibt es sodann j, l ∈ Dom( )-1, so dass Δ in Dom( )-1 bei j und Δ → K( ) in Dom( )-1 bei l verfügbar ist. Dann ist K( j+1) = Δ und K( l+1) = Δ → K( ) . Dann gilt VAN( j+1) Δ und VAN( l+1) Δ → K( ) . Mit Theorem 3-29-(iv) gilt dann VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und VAN( l+1) ⊆ VAN( Dom( )-1). Da VAN( ) = VAN( Dom( )-1) gilt damit VAN( j+1) ⊆ VAN( ) und VAN( l+1) ⊆ VAN( ) und somit mit Theorem 5-13 auch VAN( ) Δ und VAN( ) Δ → K( ) . Theorem 5-16 ergibt VAN( ) K( ). Analog zeigt man für KEF mit Theorem 5-17, für BEF mit Theorem 5-19, für BBF mit Theorem 5-21 und für IBF mit Theorem 5-32, dass VAN( ) K( ). 6.1 Korrektheit des Redehandlungskalküls 243 (KBF, AEF): Sei ∈ KBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-5 gibt es dann Δ ∈ GFORM, so dass Δ ∧ K( ) ∈ VER( Dom( )-1) oder K( ) ∧ Δ ∈ VER( Dom( )-1). Wegen Δ ∧ K( ) ∈ VER( Dom( )-1) oder K( ) ∧ Δ ∈ VER( Dom( )-1) gibt es j ∈ Dom( )-1, so dass Δ ∧ K( ) oder K( ) ∧ Δ in Dom( )-1 bei j verfügbar ist. Dann ist K( j+1) = Δ ∧ K( ) oder K( j+1) = K( ) ∧ Δ . Dann gilt VAN( j+1) Δ ∧ K( ) oder VAN( j+1) K( ) ∧ Δ . Mit Theorem 3-29-(iv) gilt dann VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) = VAN( ) und damit mit Theorem 5-13 auch VAN( ) Δ ∧ K( ) oder VAN( ) K( ) ∧ Δ . Theorem 5-18 ergibt in beiden Fällen VAN( ) K( ). Analog zeigt man für AEF mit Theorem 5-22, dass VAN( ) K( ). (ABF): Sei ∈ ABF( Dom( )-1). Nach Definition 3-9 gibt es dann Β, Δ ∈ GFORM so dass B ∨ Δ , B → K( ) , Δ → K( ) ∈ VER( Dom( )-1). Dann gibt es j, k, l ∈ Dom( )-1, so dass B ∨ Δ in Dom( )-1 bei j und B → K( ) in Dom( )-1 bei k und Δ → K( ) in Dom( )-1 bei l verfügbar ist. Dann ist K( j+1) = B ∨ Δ und K( k+1) = B → K( ) und K( l+1) = Δ → K( ) . Dann gilt VAN( j+1) B ∨ Δ und VAN( k+1) B → K( ) und VAN( l+1) Δ → K( ) . Mit Theorem 3-29-(iv) gilt sodann VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und VAN( k+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und VAN( l+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) und damit VAN( j+1) ⊆ VAN( ) und VAN( k+1) ⊆ VAN( ) und VAN( l+1) ⊆ VAN( ). Damit gilt mit Theorem 5-13 auch VAN( ) B ∨ Δ und VAN( ) B → K( ) und VAN( ) Δ → K( ) . Theorem 5-23 ergibt VAN( ) K( ). (NBF, UBF, PEF): Sei ∈ NBF( Dom( )-1). Nach Definition 3-11 ist dann ¬¬K( ) ∈ VER( Dom( )-1). Sodann gibt es j ∈ Dom( )-1, so dass ¬¬ K( ) in Dom( )-1 bei j verfügbar ist. Dann ist K( j+1) = ¬¬K( ) . Dann gilt VAN( j+1) ¬¬K( ) . Mit Theorem 3-29-(iv) gilt sodann VAN( j+1) ⊆ VAN( Dom( )-1) = VAN( ) und daher mit Theorem 5-13 auch VAN( ) ¬¬K( ) . Theorem 5-26 ergibt VAN( ) K( ). Analog zeigt man für UBF mit Theorem 5-28 und für PEF mit Theorem 5-29, dass dann auch jeweils VAN( ) K( ). (UEF): Sei ∈ UEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-12 gibt es dann β ∈ PAR, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, so dass [β, ξ, Δ] ∈ VER( Dom( )-1) und β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) und K( ) = ξΔ . Dann gibt es j ∈ Dom( )-1, so dass [β, ξ, Δ] in Dom( )-1 bei j verfügbar ist. Dann ist K( j+1) = [β, ξ, Δ]. Dann gilt VAN( j+1) [β, ξ, Δ]. Mit Theorem 3-29-(iv) gilt sodann VAN( j+1) ⊆ 244 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls VAN( Dom( )-1) = VAN( ) und damit mit Theorem 5-13 auch VAN( ) [β, ξ, Δ]. Mit VAN( Dom( )-1) = VAN( ) folgt aus β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( Dom( )-1)) zudem β ∉ TTFM({Δ} ∪ VAN( )). Theorem 5-27 ergibt VAN( ) K( ). (IEF): Sei ∈ IEF( Dom( )-1). Nach Definition 3-16 gibt es dann θ ∈ GTERM, so dass K( ) = θ = θ . Theorem 5-31 ergibt VAN( ) K( ). ■ Theorem 6-2. Korrektheit des Redehandlungskalküls gegenüber der Modelltheorie Für alle X, Γ: Wenn X Γ, dann X Γ. Beweis: Sei X Γ. Nach Theorem 3-12 ist dann X ⊆ GFORM und es gibt ∈ RGS\{∅}, so dass Γ = K( ) und VAN( ) ⊆ X. Mit Theorem 6-1 folgt dann VAN( ) Γ. Mit Theorem 5-13 und VAN( ) ⊆ X ergibt sich X Γ. ■ 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 245 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls Im Folgenden wird über den Nachweis, dass konsistente Mengen erfüllbar sind, die Vollständigkeit des Redehandlungskalküls bezüglich der in Definition 5-10 für L definierten modelltheoretischen Konsequenzschaft gezeigt. Da GFORM, die Menge der geschlossenen L-Formeln, abzählbar ist, reicht es dabei, diesen Nachweis für abzählbare Mengen zu erbringen. Dazu wird der Beweisweg über die Konstruktion von Hintikka-Mengen und den Nachweis, dass Hintikka-Mengen durch die entsprechende kanonische Termstruktur erfüllt werden, gewählt.15 Dazu ist L zu einer Sprache LH zu erweitern, die aus L entsteht, indem das Inventar von L um abzählbar unendlich viele neue Individuenkonstanten erweitert wird: Definition 6-1. Das Inventar von LH (KONSTERW, PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ) Das Inventar von LH enthält folgende paarweise disjunkte Mengen: Die abzählbar unendliche Menge KONSTERW = KONST ∪ KONSTNEU, wobei KONSTNEU = {c*i | i ∈ N} (dabei sei für alle i, j ∈ N mit i ≠ j: c*i ≠ c*j und c*i ∈ {c*i} und es sei KONST ∩ KONSTNEU = ∅), sowie PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ. Hinweis: Im Folgenden sei für alle mit Definition D definierten Ausdrücke P PH der für LH statt L definierte Ausdruck und DH die entsprechende Definition und für alle Theoreme T sei TH das entsprechende Theorem für LH. Dabei gilt für das Verhältnis von P und PH jeweils, dass geeignete Einschränkungen von PH bzw. PH(a) auf L wieder zu P bzw. P(a) führen. So gilt etwa: (i) EAUS = EAUSH ∩ EAUS, TERM = TERMH ∩ EAUS, FORM = FORMH ∩ EAUS, SATZ = SATZH ∩ EAUS, SEQ = SEQH ∩ SEQ, RGS = RGSH ∩ SEQ. (ii) TT = TTH EAUS, TTSEQ = TTSEQH SEQ, TTFM = TTFMH Pot(FORM), A = AH SATZ, K = KH SEQ, VAN = VANH SEQ. (iii) Wenn ∈ SEQ, dann RGF( ) = RGFH( ) ∩ SEQ. Viele dieser Zusammenhänge sind ohne technische Schwierigkeiten aber nur mit viel Schreibaufwand zu zeigen. Aus diesen Gründen werden die Beweise hier nicht reproduziert. In jenen Fällen, in denen der Zusammenhang nicht unmittelbar einsichtig ist oder im Beweisgang besondere Komplikationen zu bewäl- 15 Siehe etwa GRÄDEL, E.: Mathematische Logik, S. 109–119, WAGNER, H.: Logische Systeme, S. 97–101, und KLEINKNECHT, R.: Grundlagen der modernen Definitionstheorie, S. 154–157. 246 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls tigen sind, werden die Beweise ausgeführt. Zum Beispiel wird der angeführte Zusammenhang RGS = RGSH ∩ SEQ in Theorem 6-6 mit gezeigt. In Theorem 6-3-(i) wird gezeigt, dass sich ModelleH zu Modellen transformieren lassen, indem die jeweilige InterpretationsfunktionH auf EAUS (bzw. in diesem Fall genauer: KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ) beschränkt wird. Bei der Substitutionsoperation ist die Äquivalenz für LArgumente trivial. Um Indexhäufungen hinter eckigen Klammern zu vermeiden (vgl. den Beweis zu Theorem 6-10), wird daher auf den H-Index bei den Substitutionsklammern verzichtet. Die folgenden Theoreme sichern zunächst den Zusammenhang zwischen der Erfüllbarkeit in L und LH (Theorem 6-3 bis Theorem 6-5) sowie der Konsistenz in L und LH (Theorem 6-6 bis Theorem 6-8). Daran schliesst sich dann die Hintikka-MengenDefinition (Definition 6-2) an. Sodann wird gezeigt, dass alle konsistenten LAussagenmengen eine Hintikka-Obermenge haben (Theorem 6-9) und dass jede Hintikka-Menge erfüllbarH ist (Theorem 6-10). Daraus ergibt sich dann die Vollständigkeit des Redehandlungskalküls (Theorem 6-11). Theorem 6-3. Beschränkungen von LH-Modellen auf L sind L-Modelle (i) Wenn (D, I) ein ModellH ist, dann ist (D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) ein Modell, (ii) b ist eine BelegungH für D gdw b ist eine Belegung für D, und (iii) b' ist in β eine BelegungsvarianteH von b für D gdw b' ist in β eine Belegungsvariante von b für D. Beweis: Zu (i): Sei (D, I) ein ModellH. Dann ist nach Definition 5-2H I eine InterpretationsfunktionH für D. Dann ist nach Definition 5-1H Dom(I) = KONSTERW ∪ FUNK ∪ PRÄ. Mit KONST ⊆ KONSTERW, ist dann Dom(I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) = KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ und es ist für alle μ ∈ KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ: I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)(μ) = I(μ) und damit ergibt sich mit Definition 5-1H und Definition 5-1, dass I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ) eine Interpretationsfunktion für D und damit (D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ)) ein Modell ist. Zu (ii): Mit Definition 5-3H und Definition 5-3 gilt: b ist eine BelegungH für D gdw b ist eine Funktion mit Dom(b) = PAR, so dass für alle β ∈ PAR : b(β) ∈ D 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 247 gdw b ist eine Belegung für D. Zu (iii): Mit Definition 5-4H, (ii) und Definition 5-4 gilt: b' ist in β eine BelegungsvarianteH von b für D gdw b' und b sind BelegungenH für D und β ∈ PAR und b'\{(β, b'(β))} ⊆ b gdw b' und b sind Belegungen für D und β ∈ PAR und b'\{(β, b'(β))} ⊆ b gdw b' ist in β eine Belegungsvariante von b für D. ■ Theorem 6-4. LH-Modelle verhalten sich im Bezug auf geschlossene L-Terme, L-Aussagen und L-Aussagenmengen genauso wie ihre Beschränkungen auf L Wenn (D, I) ein ModellH und b eine BelegungH für D ist, dann gilt für alle θ ∈ GTERM, Γ ∈ GFORM und X ⊆ GFORM: (i) TDH(θ, D, I, b) = TD(θ, D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b), (ii) D, I, b H Γ gdw D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b Γ, und (iii) D, I, b H X gdw D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b X. Beweis: (i) und (ii) zeigt man analog zum Koinzidenzlemma (Theorem 5-5) durch Induktion über den Termund Formelaufbau. Dabei wird zusätzlich auf Theorem 6-3 zurückgegriffen. (iii) ergibt sich dann mit (ii) und Definition 5-9H bzw. Definition 5-9. ■ Theorem 6-5. Eine L-Aussagenmenge ist genau dann LH-erfüllbar, wenn sie L-erfüllbar ist Wenn X ⊆ GFORM, dann: X ist erfüllbarH gdw X ist erfüllbar. Beweis: Sei X ⊆ GFORM. Sei nun X erfüllbarH. Dann gibt es nach Definition 5-17H D, I, b, so dass D, I, b H X. Mit Theorem 6-4 gilt dann D, I (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ), b X und damit ist X erfüllbar. Sei nun X erfüllbar. Dann gibt es D–, I–, b–, so dass D–, I–, b– X. Nun gibt es ein a ∈ D. Sei nun I+ = I– ∪ (KONSTNEU × {a}). Dann ist (D, I+) ein ModellH und b– eine BelegungH und I+ (KONST ∪ FUNK ∪ PRÄ) = I–. Mit Theorem 6-4 ergibt sich dann D–, I+, b– H X und damit ist X erfüllbarH. ■ 248 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls Theorem 6-6. L-Sequenzen sind genau dann RGSH-Elemente, wenn sie RGS-Elemente sind Wenn ∈ SEQ, dann: ∈ RGSH gdw ∈ RGS. Beweis: Der Beweis ist durch Induktion über Dom( ) zu führen. Dabei ist der Induktionsanfang mit ∅ ∈ RGSH ∩ RGS gegeben und man überzeugt sich für ∈ SEQ mit 0 < Dom( ) leicht, dass wenn die Behauptung für Dom( )-1 gilt, sie auch für gilt. ■ Theorem 6-7. Eine L-Aussage ist genau dann aus einer L-Aussagenmenge LH-ableitbar, wenn sie aus dieser Menge L-ableitbar ist Wenn X ∪ {Γ} ⊆ GFORM, dann: X H Γ gdw X Γ. Beweis: Sei X ∪ {Γ} ⊆ GFORM. Dann ergibt sich die Rechts-Links-Richtung direkt mit Theorem 3-12, Theorem 6-6 und Theorem 3-12H. Für die Links-Rechts-Richtung gelte nun X H Γ. Dann gibt es nach Theorem 3-12H ein ∈ RGSH\{∅}, so dass VANH( ) ⊆ X und KH( ) = Γ. Dann lässt sich durch Induktion über |KONSTNEU ∩ TTSEQH( )| ∈ N zeigen, dass es ein * ∈ SEQ ∩ (RGSH\{∅}) mit VANH( *) = VANH( ) und KH( *) = KH( ) gibt. Mit Theorem 6-6 gilt dann für ein solches *, dass * ∈ RGS\{∅}, VAN( *) = VANH( *) = VANH( ) ⊆ X und K( *) = KH( *) = KH( ) = Γ. Damit ergibt sich dann X Γ. Sei |KONSTNEU ∩ TTSEQH( )| = k und gelte die Behauptung für alle * mit |KONSTNEU ∩ TTSEQH( *)| < k. Angenommen k = 0. Offenbar ist dann selbst jenes * ∈ SEQ ∩ (RGSH\{∅}) mit VANH( *) = VANH( ) und KH( *) = KH( ). Sei nun 0 < k. Sei nun α die Individuenkonstante mit dem grössten Index in KONSTNEU ∩ TTSEQH( ). Nun gibt es ein β ∈ PAR\TTSEQH( ). Nach Theorem 4-9H gibt es dann ein * ∈ RGSH\{∅} mit α ∉ TTSEQH( *), TTSEQH( *)\{β} ⊆ TTSEQH( ), VANH( ) = {[α, β, Β] | Β ∈ VANH( *)} und KH( ) = [α, β, KH( *)]. Da wegen VANH( ) ⊆ X ⊆ GFORM gilt, dass α ∉ TTFMH(VANH( )), muss β ∉ TTFMH(VANH( *)) und damit [α, β, Β] = Β für alle Β ∈ VANH( *) gelten. Also VANH( ) = VANH( *). Da wegen KH( ) = Γ ∈ GFORM auch α ∉ TTH(KH( )), muss sodann β ∉ TTH(KH( *)) und damit KH( ) = [α, β, KH( *)] = KH( *) gelten. Also KH( ) = KH( *). Aus α ∉ TTSEQH( *) und TTSEQH( *)\{β} ⊆ TTSEQH( ) folgt zudem |KONSTNEU ∩ TTSEQH( *)| < k. Nach I.V. gibt es dann ein ', so dass VANH( ') = VANH( *) = VANH( ) und KH( ') = KH( *) = KH( ) und ' ∈ SEQ ∩ (RGSH\{∅}). ■ 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 249 Theorem 6-8. Eine L-Aussagenmenge ist genau dann LH-konsistent, wenn sie L-konsistent ist Wenn X ⊆ GFORM, dann: X ist konsistentH gdw X ist konsistent. Beweis: Sei X ⊆ GFORM und sei X nicht konsistentH. Dann gilt mit Theorem 4-23H für alle Δ ∈ GFORMH, dass X H Δ. Dann gilt X H c0 = c0 und X H ¬(c0 = c0) . Nun sind c0 = c0 , ¬(c0 = c0) ∈ GFORM und damit ergibt sich mit Theorem 6-7: X c0 = c0 und X ¬(c0 = c0) und somit ist X nicht konsistent. Sei nun X nicht konsistent. Dann gibt es Α ∈ GFORM ⊆ GFORMH, so dass X Α und X ¬Α . Mit Theorem 6-7 ist dann auch X H Α und X H ¬ Α und damit ist X inkonsistentH. ■ Definition 6-2. Hintikka-Menge X ist eine Hintikka-Menge gdw X ⊆ GFORMH und: (i) Wenn Α ∈ AFORMH ∩ X, dann ¬Α ∉ X, (ii) Wenn Α ∈ GFORMH und ¬¬Α ∈ X, dann Α ∈ X, (iii) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und Α ∧ Β ∈ X, dann {Α, Β} ⊆ X, (iv) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und ¬(Α ∧ Β) ∈ X, dann { ¬Α , ¬Β } ∩ X ≠ ∅, (v) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und Α ∨ Β ∈ X, dann {Α, Β} ∩ X ≠ ∅, (vi) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und ¬(Α ∨ Β) ∈ X, dann { ¬Α , ¬Β } ⊆ X, (vii) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und Α → Β ∈ X, dann { ¬Α , Β} ∩ X ≠ ∅, (viii) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und ¬(Α → Β) ∈ X, dann {Α, ¬Β } ⊆ X, (ix) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und Α ↔ Β ∈ X, dann {Α, Β} ⊆ X oder { ¬Α , ¬Β } ⊆ X, (x) Wenn Α, Β ∈ GFORMH und ¬(Α ↔ Β) ∈ X, dann {Α, ¬Β } ⊆ X oder { ¬Α , Β} ⊆ X, (xi) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMH, wobei FVH(Δ) ⊆ {ξ}, und ξΔ ∈ X, dann gilt für alle θ ∈ GTERMH, dass [θ, ξ, Δ] ∈ X, (xii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMH, wobei FVH(Δ) ⊆ {ξ}, und ¬ ξΔ ∈ X, dann gibt es ein θ ∈ GTERMH, so dass ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X. (xiii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMH, wobei FVH(Δ) ⊆ {ξ}, und ξΔ ∈ X, dann gibt es ein θ ∈ GTERMH, so dass [θ, ξ, Δ] ∈ X, (xiv) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMH, wobei FVH(Δ) ⊆ {ξ}, und ¬ ξΔ ∈ X, dann gilt für alle θ ∈ GTERMH, dass ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X, (xv) Wenn θ ∈ GTERMH, dann θ = θ ∈ X, 250 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls (xvi) Wenn θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH, θ'0, ..., θ'r-1 ∈ GTERMH, für alle i < r: θi = θ'i ∈ X und φ ∈ FUNK r-stellig, dann φ(θ0, ..., θr-1) = φ(θ'0, ..., θ'r-1) ∈ X, und (xvii) Wenn θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH, θ'0, ..., θ'r-1 ∈ GTERMH, für alle i < r: θi = θ'i ∈ X und Φ ∈ PRÄ r-stellig und Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X, dann Φ(θ'0, ..., θ'r-1) ∈ X. Theorem 6-9. Hintikka-Obermengen für konsistente L-Aussagenmengen Wenn X ⊆ GFORM und X konsistent, dann gibt es ein Y ⊆ GFORMH, so dass (i) Y ist eine Hintikka-Menge und (ii) X ⊆ Y. Beweis: Sei X ⊆ GFORM und X konsistent. Sei nun g eine Bijektion zwischen N und GFORMH. Nun wird unter Rückgriff auf g mit Hilfe der (Konversen der) CANTORschen Paarungsfunktion C eine Aufzählung der Γ ∈ GFORMH definiert, in der jede Aussage abzählbar unendlich oft als Wert auftritt.16 Sei dazu F = {(k, Γ) | Es gibt i, j ∈ N, k = i j i j +j und Γ = g(j)}. Dann ist F eine Funktion von N nach GFORMH. Zunächst ist Dom(F) ⊆ N. Sei nun k ∈ N. Dann gilt mit der Surjektivität der CANTORschen Paarungsfunktion und Dom(g) = N, dass es i, j ∈ N und Γ ∈ GFORMH gibt, so dass k = i j i j +j und Γ = g(j). Also ist auch N ⊆ Dom(F) und damit insgesamt Dom(F) = N. Nach den Definitionen von F und g gilt sodann Ran(F) ⊆ GFORMH. Seien nun (k, Γ), (k, Γ*) ∈ F. Dann gibt es i, j und i', j' so dass i j i j +j = k = i j i j +j' und Γ = g(j) und Γ* = g(j'). Dann ist wegen der Injektivität der CANTORschen Paarungsfunktion i = i' und j = j' und damit mit der Injektivität von g: Γ = g(j) = g(j') = Γ*. Sodann gilt für alle l ∈ N und alle Γ ∈ GFORMH: Es gibt ein k > l, so dass F(k) = Γ. Sei nämlich l ∈ N und Γ ∈ GFORMH. Dann gibt es ein s ∈ N, so dass Γ = g(s). Dann ist l ≤ l s l s +s < l s l s +s und F( l s l s +s) = g(s) = Γ. Nun wird unter Rückgriff auf F eine Funktion G auf N definiert, mit der die gewünschte Hintikka-Obermenge zu X erzeugt wird. Sei dazu G(0) = X. Für alle k ∈ N sei nun G(k+1) wie folgt bestimmt: Wenn F(k) ∈ G(k), dann: 16 Zur CANTORschen Paarungsfunktion C: N × N N mit C(i, j) = i j i j 1 2⁄ +j siehe etwa DEISER, O.: Mengenlehre, S. 112–113. 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 251 (i*) Wenn F(k) = Φ(θ0, ..., θr-1) , dann G(k+1) = G(k) ∪ { Φ(θ'0, ..., θ'r-1) | Für alle i < r: θi = θ'i ∈ G(k)} ∪ { φ(θ*0, ..., θ*s-1) = φ(θ+0, ..., θ+s-1) | φ(θ*0, ..., θ*s-1) = θ0 und für alle i < s: θ*i = θ+i ∈ G(k)}, (ii*) Wenn F(k) = ¬Φ(θ0, ..., θr-1) , dann G(k+1) = G(k), (iii*) Wenn F(k) = ¬¬Α , dann G(k+1) = G(k) ∪ {Α}, (iv*) Wenn F(k) = Α ∧ Β , dann G(k+1) = G(k) ∪ {Α, Β}, (v*) Wenn F(k) = ¬(Α ∧ Β) , dann G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Α }, falls G(k) ∪ { ¬Α } konsistentH, G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Β } sonst, (vi*) Wenn F(k) = Α ∨ Β , dann G(k+1) = G(k) ∪ {Α}, falls G(k) ∪ {Α} konsistentH, G(k+1) = G(k) ∪ {Β} sonst, (vii*) Wenn F(k) = ¬(Α ∨ Β) , dann G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Α , ¬Β }, (viii*) Wenn F(k) = Α → Β , dann G(k+1) = G(k) ∪ {¬Α}, falls G(k) ∪ { ¬Α } konsistentH, G(k+1) = G(k) ∪ {Β} sonst, (ix*) Wenn F(k) = ¬(Α → Β) , dann G(k+1) = G(k) ∪ {Α, ¬Β }, (x*) Wenn F(k) = Α ↔ Β , dann G(k+1) = G(k) ∪ {Α, Β}, falls G(k) ∪ {Α, Β} konsistentH, G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Α ¬Β } sonst, (xi*) Wenn F(k) = ¬(Α ↔ Β) , dann G(k+1) = G(k) ∪ {Α, ¬Β }, falls G(k) ∪ {Α, ¬Β } konsistentH, G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Α , Β} sonst, (xii*) Wenn F(k) = ξΔ , dann G(k+1) = G(k) ∪ {[θ, ξ, Δ] | θ ∈ TTFMH(G(k)) ∩ GTERMH}, (xiii*) Wenn F(k) = ¬ ξΔ , dann G(k+1) = G(k) ∪ { ¬[α, ξ, Δ] } für das α ∈ KONSTNEU mit dem kleinsten Index, für welches gilt α ∉ TTFMH(G(k)), (xiv*) Wenn F(k) = ξΔ , dann G(k+1) = G(k) ∪ {[α, ξ, Δ]} für das α ∈ KONSTNEU mit dem kleinsten Index, für welches gilt α ∉ TTFMH(G(k)), (xv*) Wenn F(k) = ¬ ξΔ , dann G(k+1) = G(k) ∪ { ¬[θ, ξ, Δ] | θ ∈ TTFMH(G(k)) ∩ GTERMH }. Wenn F(k) ∉ G(k), dann: Wenn F(k) = θ = θ für ein θ ∈ GTERMH, dann G(k+1) = G(k) ∪ { θ = θ }, G(k+1) = G(k) sonst. 252 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls Man beachte, dass G wohldefiniert ist, da kein α ∈ KONSTNEU Teilterm eines Γ ∈ X ⊆ GFORM ist und da für jedes k ∈ N beim Schritt von G(k) zu G(k+1) höchstens ein Element von KONSTNEU zu den Teiltermen von Elementen von G(k) hinzukommen kann: Für alle k ∈ N ist KONSTNEU\TTFMH(G(k)) abzählbar unendlich. Nach Konstruktion von G gilt nun zunächst: a) X = G(0) ⊆ Ran(G), b) Für alle k ∈ N ist G(k) konsistentH, c) Wenn l ≤ k, dann G(l) ⊆ G(k), d) Wenn Y ⊆ Ran(G) und |Y| ∈ N, dann gibt es ein k ∈ N, so dass Y ⊆ G(k), e) Ran(G) ist konsistentH. a) ergibt sich direkt aus der Definition von G. Nun zu b): G(0) = X ⊆ GFORM ist nach Voraussetzung konsistent und damit mit Theorem 6-8 konsistentH. Gelte nun für k: G(k) ist konsistentH. Wäre nun G(k+1) inkonsistentH. Dann gilt nicht für alle Γ ∈ G(k+1), dass G(k) Γ, da sonst mit Theorem 4-19H auch G(k) inkonsistentH wäre. Damit ist der Fall G(k+1) ⊆ G(k) ∪ { θ = θ } für θ ∈ GTERM ausgeschlossen. Also ist F(k) ∈ G(k). Für diesen Fall sind aus demselben Grund die Fälle (i*)-(iv*), (vii*), (ix*), (xii*) und (xv*) ausgeschlossen (was sich leicht mit den LH-Versionen der Theoreme aus Kap. 4.2 ergibt). Also ist F(k) ∈ G(k) und F(k) = ¬(Α ∧ Β) oder F(k) = Α ∨ Β oder F(k) = Α → Β oder F(k) = Α ↔ Β oder F(k) = ¬(Α ↔ Β) oder F(k) = ¬ ξΔ oder F(k) = ξΔ . Angenommen F(k) = ¬(Α ∧ Β) . Dann ist nach (v*) G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Α }, falls G(k) ∪ { ¬Α } konsistentH, G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Β } sonst. Dann ist G(k) ∪ { ¬Α } inkonsistentH und G(k+1) = G(k) ∪ { ¬Β } ebenfalls. Dann gilt mit Theorem 4-22H: G(k) H Α und G(k) H Β und somit G(k) H Α ∧ Β . Damit wäre dann auch G(k) inkonsistentH. Widerspruch! Die anderen junktoralen Fälle zeigt man analog. Sei nun F(k) = ¬ ξΔ . Dann ist nach (xiii*) G(k+1) = G(k) ∪ { ¬[α, ξ, Δ] } für das α ∈ KONSTNEU mit dem kleinsten Index, für welches gilt α ∉ TTFMH(G(k)). Dann ist G(k) ∪ { ¬[α, ξ, Δ] } inkonsistentH. Dann gilt G(k) H [α, ξ, Δ]. Dann gilt aber wegen α ∉ TTFMH(G(k)) und ¬ ξΔ ∈ G(k), dass α ∉ TTFMH(G(k) ∪ {Δ}) und damit mit 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 253 Theorem 4-24H: G(k) H ξΔ . Dann ist G(k) inkonsistentH. Widerspruch! Den Fall F(k) = ξΔ zeigt man analog. Also b). Durch Induktion über k zeigt man sodann leicht, dass nach der Definition von G c) gilt. Damit gilt auch d): Sei dazu Y ⊆ Ran(G) und |Y| ∈ N. Dann gilt für alle Γ ∈ Y: Es gibt ein l ∈ N, so dass Γ ∈ G(l). Sei nun k = max({l | Es gibt ein Γ ∈ Y, so dass Γ ∈ G(l)}. Dann gilt mit c) für alle Γ ∈ Y: Γ ∈ G(k). Damit gilt auch e). Wäre nämlich Ran(G) inkonsistentH. Dann gäbe es eine endliche inkonsistenteH Teilmenge Y von Ran(G) und damit ein k, so dass G(k) inkonsistentH wäre, was im Widerspruch zu b) steht. Damit kann nun gezeigt werden, dass Ran(G) eine Hintikka-Menge ist. Zunächst gilt mit e) Klausel (i) von Definition 6-2. Sei nun ¬¬Α ∈ Ran(G). Dann gibt es ein l ∈ N, so dass ¬¬Α ∈ G(l). Sodann gibt es ein k > l, so dass ¬¬Α = F(k). Dann ist mit c) ¬¬Α ∈ G(k). Dann ist nach (iii*) Α ∈ G(k+1) und damit Α ∈ Ran(G). Also gilt Klausel (ii) von Definition 6-2. Die anderen junktoralen Fälle (Klauseln (iii) bis (x) von Definition 6-2) und die beiden Partikularfälle (Klauseln (xii) und (xiii) von Definition 6-2) zeigt man analog. Sei nun θ ∈ GTERMH. Dann gibt es ein k ∈ N, so dass θ = θ = F(k). Dann gilt: Wenn θ = θ ∉ G(k), dann θ = θ ∈ G(k+1) und somit in beiden Fällen: θ = θ ∈ Ran(G). Damit gilt zum einen Klausel (xv) von Definition 6-2. Zum anderen gelten damit die beiden Universalfälle, Klauseln (xi) und (xiv) von Definition 6-2. Sei nämlich ξΔ ∈ Ran(G). Sei nun θ ∈ GTERMH. Dann ist (wie eben gezeigt) θ = θ ∈ G(l) für ein l ∈ N und es ist ξΔ ∈ G(i) für ein i ∈ N. Sodann gibt es ein k > l, i, so dass ξΔ = F(k). Dann ist mit c) ξΔ , θ = θ ∈ G(k). Dann ist nach (xii*) [θ, ξ, Δ] ∈ G(k+1) und damit [θ, ξ, Δ] ∈ Ran(G). Also gilt Klausel (xi) von Definition 6-2. Klausel (xiv) zeigt man analog. Nun verbleiben noch die zwei IB-Klauseln, also Klauseln (xvi) und (xvii), von Definition 6-2. Zunächst zu (xvi): Sei dazu θ*0, ..., θ*s-1 ∈ GTERMH, θ+0, ..., θ+s-1 ∈ GTERMH, für alle i < s: θ*i = θ+i ∈ Ran(G) und φ ∈ FUNK s-stellig. Wie bereits gezeigt, ist φ(θ*0, ..., θ*s-1) = φ(θ*0, ..., θ*s-1) ∈ Ran(G). Damit gibt es mit d) ein l ∈ N, 254 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls so dass für alle i < s: θ*i = θ+i ∈ G(l) und φ(θ*0, ..., θ*s-1) = φ(θ*0, ..., θ*s-1) ∈ G(l). Dann gibt es ein k > l, so dass für G(k) selbiges gilt und F(k) = φ(θ*0, ..., θ*s-1) = φ(θ*0, ..., θ*s-1) . Dann ist mit (i*) φ(θ*0, ..., θ*s-1) = φ(θ+0, ..., θ+s-1) ∈ G(k+1) ⊆ Ran(G). Nun zu (xvii): Sei dazu θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH, θ'0, ..., θ'r-1 ∈ GTERMH, für alle i < r: θi = θ'i ∈ Ran(G) und Φ ∈ PRÄ r-stellig und Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ Ran(G). Dann gibt es mit d) ein l ∈ N, so dass für alle i < r: θi = θ'i ∈ G(l) und Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ G(l). Dann gibt es ein k > l, so dass für G(k) selbiges gilt und F(k) = Φ(θ0, ..., θr-1) . Dann ist mit (i*) Φ(θ'0, ..., θ'r-1) ∈ G(k+1) ⊆ Ran(G). ■ Theorem 6-10. Jede Hintikka-Menge ist LH-erfüllbar Wenn X eine Hintikka-Menge ist, dann ist X erfüllbarH. Beweis: Sei X eine Hintikka-Menge. Sei nun A = {(θ, θ') | (θ, θ') ∈ GTERMH × GTERMH und θ = θ' ∈ X}. Dann gilt: A ist eine Äquivalenzrelation über GTERMH. Zur Reflexivität gilt nach Definition 6-2-(xv): θ = θ ∈ X und damit (θ, θ) ∈ A. Nun zur Symmetrie: Sei (θ, θ') ∈ A. Dann ist θ = θ' ∈ X und es ist, wie eben gezeigt, θ = θ ∈ X. Damit ist dann θ = θ' ∈ X und θ = θ ∈ X und damit (mit θ für θ0, θ1 und θ'1 und θ' für θ'0 und θ = θ für Φ(θ0, θ1) und θ' = θ für Φ(θ'0, θ'1) ) nach Definition 6-2-(xvii) auch θ' = θ ∈ X. Also (θ, θ') ∈ A. Nun zur Transitivität: Sei (θ, θ') ∈ A und (θ', θ*) ∈ A. Dann gilt: θ = θ' ∈ X und θ' = θ* ∈ X. Sodann gilt wie bereits gezeigt θ = θ ∈ X, womit (mit θ für θ0 und θ'0 und θ' für θ1 und θ* für θ'1 und θ = θ' für Φ(θ0, θ1) und θ = θ* für Φ(θ'0, θ'1) ) nach Definition 6-2-(xvii) auch θ = θ* ∈ X gilt und damit (θ, θ*) ∈ A. Sei nun für alle θ ∈ GTERMH: [θ]A = {θ' | (θ, θ') ∈ A}. Da A eine Äquivalenzrelation über GTERMH ist, gilt dann: a) Für alle θ ∈ GTERMH: θ ∈ [θ]A. b) Für alle θ, θ' ∈ GTERMH: [θ]A = [θ']A gdw (θ, θ') ∈ A gdw θ = θ' ∈ X. c) Für alle θ, θ' ∈ GTERMH: Wenn [θ]A ∩ [θ']A ≠ ∅, dann [θ]A = [θ']A. Die zweite Äquivalenz in b) ergibt sich dabei aus der Definition von A. 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 255 Sei nun DX = GTERMH/A = {[θ]A | θ ∈ GTERMH}. Sei sodann IX eine Funktion mit Dom(IX) = KONST ∪ KONSTNEU ∪ FUNK ∪ PRÄ, wobei für alle α ∈ KONST ∪ KONSTNEU: IX(α) = [α]A und für alle φ ∈ FUNK: Wenn φ r-stellig, dann IX(φ) = {(〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉, [θ*]A) | (〈θ0, ..., θr-1〉, θ*) ∈ rGTERMH × GTERMH und φ(θ0, ..., θr-1) = θ* ∈ X} und für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig, dann IX(Φ) = {〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉 | 〈θ0, ..., θr-1〉 ∈ rGTERMH und Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X}. Sei zuletzt bX eine Funktion mit Dom(bX) = PAR und für alle β ∈ PAR: bX(β) = [β]A. Dann ist nach Definition 5-1H IX eine InterpretationsfunktionH für DX. Zunächst gilt für alle α ∈ KONST ∪ KONSTNEU: IX(α) = [α]A ∈ DX. Sei nun φ ∈ FUNK r-stellig. Dann ist IX(φ) = {(〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉, [θ*]A) | (〈θ0, ..., θr-1〉, θ*) ∈ rGTERMH × GTERMH und φ(θ0, ..., θr-1) = θ* ∈ X}. Damit ist IX(φ) ⊆ rDX × DX. Sei nun 〈a0, ..., ar-1〉 ∈ rDX. Dann gibt es θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH, so dass für alle i < r: ai = [θi]A. Sodann gilt mit Definition 6-2-(xv) φ(θ0, ..., θr-1) = φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X und damit (〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉, [φ(θ0, ..., θr-1)]A) ∈ IX(φ) und also 〈a0, ..., ar-1〉 ∈ Dom(IX(φ)). Seien nun (〈a0, ..., ar-1〉, a*) ∈ IX(φ) und (〈a0, ..., ar-1〉, a+) ∈ IX(φ). Dann gibt es θ0, ..., θr-1 und θ*, so dass für alle i < r: ai = [θi]A und a* = [θ*]A und (〈θ0, ..., θr-1〉, θ*) ∈ rGTERMH × GTERMH und φ(θ0, ..., θr-1) = θ* ∈ X und es gibt θ'0, ..., θ'r-1 und θ+, so dass für alle i < r: ai = [θ'i]A und a+ = [θ+]A und (〈θ'0, ..., θ'r-1〉, θ +) ∈ rGTERMH × GTERMH und φ(θ'0, ..., θ'r-1) = θ+ ∈ X. Dann gilt für alle i < r: [θi]A = ai = [θ'i]A. Damit gilt dann für alle i < r: (θi, θ'i) ∈ A und damit θi = θ'i ∈ X. Damit gilt nach Definition 6-2-(xvi): φ(θ0, ..., θr-1) = φ(θ'0, ..., θ'r-1) ∈ X und damit mit b): [ φ(θ0, ..., θr-1) ]A = [ φ(θ'0, ..., θ'r-1) ]A. Mit φ(θ0, ..., θr-1) = θ* ∈ X und φ(θ'0, ..., θ'r-1) = θ+ ∈ X und b) gilt sodann auch [ φ(θ0, ..., θr-1) ]A = [θ*] A und [ φ(θ'0, ..., θ'r-1) ]A = [θ +]A und damit insgesamt a* = [θ*]A = [θ +]A = a +. Also ist IX(φ) insgesamt eine r-stellige Funktion über DX. Ferner gilt für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig ist, dann IX(Φ) ⊆ rDX. Zuletzt gilt IX( = ) = {〈a, a〉 | a ∈ DX}. Sei nämlich 〈a, a'〉 ∈ IX( = ). Dann gibt es θ, θ' ∈ GTERMH, so dass a = [θ]A und a' = [θ']A und θ = θ' ∈ X. Damit ergibt sich mit b): a = [θ] A = [θ']A = a'. Sei nun a ∈ DX. Dann gibt es ein θ ∈ 256 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls GTERMH, so dass a = [θ]A. Dann gilt nach Definition 6-2-(xv) θ = θ ∈ X und damit ergibt sich 〈a, a〉 ∈ IX( = ). Damit ist dann gemäss Definition 5-2H (DX, IX) ein ModellH. Sodann sieht man leicht ein, dass bX eine BelegungH für DX ist. Sodann gilt für alle φ ∈ FUNK: Wenn φ r-stellig ist und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH, dann: IX(φ)(〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉) = [ φ(θ0, ..., θr-1) ]A. Seien dazu φ ∈ FUNK r-stellig und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH. Dann gilt mit Definition 6-2-(xv) φ(θ0, ..., θr-1) = φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X und damit (〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉, [φ(θ0, ..., θr-1)]A) ∈ IX(φ) und damit IX(φ)(〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉) = [ φ(θ0, ..., θr-1) ]A. Nun wird gezeigt, dass für alle Φ ∈ PRÄ: Wenn Φ r-stellig ist und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH, dann: 〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉 ∈ IX(Φ) gdw Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X. Seien dazu Φ ∈ PRÄ, Φ r-stellig und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH. Gelte nun zunächst 〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉 ∈ IX(Φ). Dann gibt es θ'0, ..., θ'r-1, so dass für alle i < r: [θi]A = [θ'i]A und 〈θ'0, ..., θ'r-1〉 ∈ rGTERMH und Φ(θ'0, ..., θ'r-1) ∈ X. Dann gilt mit b) für alle i < r: θi = θ'i ∈ X. Mit der oben gezeigten Symmetrie gilt dann für alle i < r: θ'i = θi ∈ X. Sodann gilt Φ(θ'0, ..., θ'r-1) ∈ X und damit nach Definition 6-2-(xvii) auch Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X. Sei nun umgekehrt Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X. Dann ergibt sich leicht, dass 〈[θ]0, ..., [θ]r-1〉 ∈ IX(Φ). Sodann ergibt sich mit Theorem 5-2H durch Induktion über den Termaufbau für alle θ ∈ GTERMH: TD(θ, DX, IX, bX) = [θ]A. Sei nämlich α ∈ KONST ∪ KONSTNEU. Dann ist TD(α, DX, IX, bX) = IX(α) = [α]A. Sei β ∈ PAR. Dann ist TD(β, DX, IX, bX) = bX(β) = [β]A. Gelte die Behauptung nun für θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH und sei φ(θ0, ..., θr-1) ∈ FTERMH. Dann ist TDH( φ(θ0, ..., θr-1) , DX, IX, bX) = IX(φ)(〈TD(θ0, DX, IX, bX), ..., TDH(θr-1, DX, IX, bX)〉) und damit mit I.V. TDH( φ(θ0, ..., θr-1) , DX, IX, bX) = IX(φ)(〈[θ0]A, ..., [θr-1]A〉) = [ φ(θ0, ..., θr-1) ]A. Damit gilt dann für alle Α ∈ AFORMH: DX, IX, bX H Α gdw Α ∈ X. Sei nämlich Α ∈ AFORMH. Dann gibt es Φ ∈ PRÄ, Φ r-stellig, und θ0, ..., θr-1 ∈ GTERMH, so dass Α = Φ(θ0, ..., θr-1) . Dann gilt: DX, IX, bX H Α gdw DX, IX, bX H Φ(θ0, ..., θr-1) 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 257 gdw 〈TDH(θ0, DX, IX, bX), ..., TDH(θr-1, DX, IX, bX)〉 ∈ IX(Φ) gdw 〈[θ]0, ..., [θ]r-1〉 ∈ IX(Φ) gdw Φ(θ0, ..., θr-1) ∈ X gdw Α ∈ X. Nun wird durch Induktion über FGRADH(Γ) gezeigt: Wenn Γ ∈ X, dann DX, IX, bX H Γ und wenn ¬Γ ∈ X, dann DX, IX, bX H Γ. Daraus ergibt sich unmittelbar DX, IX, bX H X und damit, dass X erfüllbarH ist. Gelte die Behauptung für alle k < FGRADH(Γ). Sei nun FGRADH(Γ) = 0. Dann ist Γ ∈ AFORMH. Sei nun Γ ∈ X. Dann gilt: DX, IX, bX H Γ. Sei nun ¬Γ ∈ X. Dann gilt mit Definition 6-2-(i), Γ ∉ X und damit: DX, IX, bX H Γ. Sei nun FGRADH(Γ) > 0. Dann ist Γ ∈ JFORMH ∪ QFORMH. Zunächst wird nun gezeigt: Wenn Γ ∈ X, dann DX, IX, bX H Γ. Sei dazu Γ ∈ X. Es können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens: Sei Γ = ¬Β . Dann ist FGRADH(Β) < FGRADH(Γ) und damit nach I.V. DX, IX, bX H Β und somit DX, IX, bX H ¬Β = Γ. Zweitens: Sei Γ = Α ∧ Β . Dann gilt mit Definition 6-2-(iii): Α, Β ∈ X. Da sodann FGRADH(Α) < FGRADH(Γ) und FGRADH(Β) < FGRADH(Γ), gilt damit nach I.V.: DX, IX, bX H Α und DX, IX, bX H Β und damit DX, IX, bX H Α ∧ Β = Γ. Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog. Sechstens: Sei Γ = ξΔ . Dann gilt mit Definition 6-2-(xi) [θ, ξ, Δ] ∈ X für alle θ ∈ GTERMH. Da für alle θ ∈ GTERMH nach Theorem 1-13H FGRADH([θ, ξ, Δ]) < FGRADH(Γ), gilt damit nach I.V. für alle θ ∈ GTERMH: DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β ∈ PAR\TTH(Δ) und sei b' in β eine BelegungsvarianteH von bX für DX. Dann ist b'(β) ∈ DX und somit gibt es ein θ ∈ GTERMH, so dass b'(β) = [θ]A. Dann ist TDH(θ, DX, IX, bX) = [θ]A und somit b'(β) = TDH(θ, DX, IX, bX). Wegen DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ] folgt dann mit Theorem 5-9H-(ii): DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Also gilt für alle b', die in β 258 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls BelegungsvariantenH von bX für DX sind: DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Nach Theorem 5-8H-(i) gilt somit DX, IX, bX H ξΔ = Γ. Siebtens: Sei Γ = ξΔ . Dann gibt es mit Definition 6-2-(xiii) ein θ ∈ GTERMH, so dass [θ, ξ, Δ] ∈ X. Nach Theorem 1-13H ist dann FGRADH([θ, ξ, Δ]) < FGRADH(Γ) und damit gilt nach I.V. DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β ∉ TTH(Δ). Sei nun b' = (bX\{(β, bX(β))} ∪ {(β, [θ]A)}. Dann ist b' in β eine BelegungsvarianteH von bX für DX mit b'(β) = [θ]A. Sodann ist TDH(θ, DX, IX, bX) = [θ]A und somit b'(β) = TDH(θ, DX, IX, bX). Wegen DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ] folgt dann mit Theorem 5-9H-(ii): DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Also gibt es ein b', das in β BelegungsvarianteH von bX für DX ist, so dass DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Nach Theorem 5-8H-(ii) gilt somit DX, IX, bX H ξΔ = Γ. Nun wird gezeigt: Wenn ¬Γ ∈ X, dann DX, IX, bX H Γ. Sei nun ¬Γ ∈ X. Nach Annahme ist 0 < FGRADH(Γ). Damit können sieben Fälle unterschieden werden. Erstens: Sei Γ = ¬Β . Dann ist mit Definition 6-2-(ii) Β ∈ X und weil FGRADH(Β) < FGRADH(Γ) gilt nach I.V. DX, IX, bX H Β. Mit Theorem 5-4H-(ii) folgt DX, IX, bX H ¬Β = Γ. Zweitens: Sei Γ = Α ∧ Β . Dann ist mit Definition 6-2-(iv) ¬Α ∈ X oder ¬Β ∈ X und weil FGRADH(Α) < FGRADH(Γ) und FGRADH(Β) < FGRADH(Γ) gilt nach I.V. DX, IX, bX H Α oder DX, IX, bX H Β. Mit Theorem 5-4H-(iii) folgt DX, IX, bX H Α ∧ Β = Γ. Der dritte bis fünfte Fall verlaufen analog. Sechstens: Sei Γ = ¬ ξΔ . Dann gilt mit Definition 6-2-(xii): Es gibt ein θ ∈ GTERMH, so dass ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X. Nach Theorem 1-13H gilt dann FGRADH([θ, ξ, Δ]) < FGRADH(Γ). Damit gilt nach I.V.: DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β ∉ TTH(Δ). Sei nun b' in β die BelegungsvarianteH von bX für DX mit b'(β) = [θ]A. Dann ist TDH(θ, DX, IX, bX) = [θ]A und somit b'(β) = TDH(θ, DX, IX, bX). Wegen DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ] folgt dann mit Theorem 5-9H-(ii): DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Also gibt es ein b', das in β BelegungsvarianteH von bX für DX ist, so dass DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Somit gilt mit Theorem 5-8H-(i) DX, IX, bX H ξΔ . Siebtens: Sei Γ = ¬ ξΔ . Dann gilt mit Definition 6-2-(xiv) für alle θ ∈ GTERMH ¬[θ, ξ, Δ] ∈ X. Da für alle θ ∈ GTERMH nach Theorem 1-13H FGRADH([θ, ξ, Δ]) < FGRADH(Γ), gilt damit nach I.V. für alle θ ∈ GTERMH: DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ]. Sei nun β 6.2 Vollständigkeit des Redehandlungskalküls 259 ∉ TTH(Δ) und sei b' in β eine BelegungsvarianteH von bX für DX. Dann ist b'(β) ∈ DX und somit gibt es ein θ ∈ GTERMH, so dass b'(β) = [θ]A. Dann ist TDH(θ, DX, IX, bX) = [θ]A und somit b'(β) = TDH(θ, DX, IX, bX). Wegen DX, IX, bX H [θ, ξ, Δ] folgt dann mit Theorem 5-9H-(ii): DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Also gilt für alle b', die in β BelegungsvariantenH von bX für DX sind: DX, IX, b' H [β, ξ, Δ]. Mit Theorem 5-8H-(ii) gilt somit DX, IX, bX H ξΔ . Damit wurde gezeigt: Wenn Γ ∈ X, dann DX, IX, bX H Γ und wenn ¬Γ ∈ X, dann DX, IX, bX H Γ. Allein aus dem ersten Teil ergibt sich bereits gemäss Definition 5-17H und Definition 5-9H, dass X erfüllbarH ist. ■ Theorem 6-11. Modelltheoretische Konsequenzschaft impliziert Ableitbarkeit Für alle X, Γ: Wenn X Γ, dann X Γ. Beweis: Sei X Γ. Dann ist nach Definition 5-10 X ∪ {Γ} ⊆ GFORM und damit auch X ∪ { ¬Γ } ⊆ GFORM. Sodann ist mit Theorem 5-12 X ∪ { ¬Γ } nicht erfüllbar. Wäre nun X ∪ { ¬Γ } konsistent. Dann gäbe es mit Theorem 6-9 eine Hintikka-Menge Z, so dass X ∪ { ¬Γ } ⊆ Z. Dann gilt mit Theorem 6-10, dass Z erfüllbarH ist, und mit Theorem 5-11H wäre damit aber auch X ∪ { ¬Γ } erfüllbarH. Damit wäre dann mit Theorem 6-5 aber X ∪ { ¬Γ } erfüllbar. Widerspruch! Also ist X ∪ { ¬Γ } nicht konsistent und damit inkonsistent. Damit gilt mit Theorem 4-22: X Γ. ■ Theorem 6-12. Kompaktheitssatz (i) Wenn X Γ, dann gibt es ein Y ⊆ X, so dass |Y| ∈ N und Y Γ, (ii) Wenn X ⊆ GFORM, dann: X ist erfüllbar gdw für alle Y ⊆ X mit |Y| ∈ N gilt: Y ist erfüllbar. Beweis: Zu (i): Sei X Γ. Mit Theorem 6-11 gilt dann X Γ. Also gibt es nach Definition 3-21 ein , so dass eine Ableitung von Γ aus VAN( ) ist und VAN( ) ⊆ X. Dann ist nach Theorem 3-9 |VAN( )| ∈ N. Ausserdem gilt nach Definition 3-20 ∈ RGS\{∅} und damit Theorem 6-1 auch VAN( ) Γ. Also (i). 260 6 Korrektheit und Vollständigkeit des Redehandlungskalküls Zu (ii): Sei X ⊆ GFORM. Die Links-Rechts-Richtung ergibt sich direkt aus Theorem 5-11. Zur Rechts-Links-Richtung: Seien alle Y ⊆ X mit |Y| ∈ N erfüllbar. Wäre X nicht erfüllbar. Nach Definition 5-17 gäbe es dann keine D, I, b, so dass D, I, b X. Damit gilt nach Definition 5-10 X (c0 = c0) ∧ ¬(c0 = c0) . Mit (i) gibt es dann Y ⊆ X, so dass |Y| ∈ N und Y (c0 = c0) ∧ ¬(c0 = c0) . Angenommen es gäbe D, I, b, so dass D, I, b Y. Nach Definition 5-9 wäre dann (D, I) ein Modell und b eine Belegung für D. Sodann wäre nach Definition 5-10 auch D, I, b (c0 = c0) ∧ ¬(c0 = c0) und damit mit Theorem 5-4-(ii) und -(iii) D, I, b c0 = c0 und D, I, b c0 = c0 . Widerspruch! Damit ist Y nicht erfüllbar und es ist |Y| ∈ N, was im Widerspruch zur Annahme steht. Also ist X erfüllbar. ■ 7 Rückund Ausblick Es wurde ein pragmatisierter Kalkül des natürlichen Schliessens entwickelt, für den gilt: (i) Jede Satzsequenz ist keine Ableitung einer Aussage aus einer Aussagenmenge oder es gibt genau eine Aussage Γ und eine Aussagenmenge X, so dass eine Ableitung von Γ aus X ist, wobei dies für jede Satzsequenz ohne Rückgriff auf metasprachliche Kommentarmittel feststellbar ist. (ii) Die klassische modelltheoretische Konsequenzrelation für die erste Stufe ist äquivalent zu der Konsequenzrelation für den Kalkül. Dabei wurde der Bezug auf die Sprache L fix gehalten, wobei L allerdings eine beliebig, aber fest gewählte Sprache mit bestimmten Eigenschaften ist: Die Entwicklung des Kalküls und seiner Metatheorie lässt sich also auf alle entsprechenden Sprachen übertragen. Wir gehen davon aus, dass dieser Kalkül geeignet ist, die Behauptung plausibilisieren, dass sich gängige Folgerungspraxen unter alleinigem Rückgriff auf Regelwerke etablieren bzw. erschliessen lassen, wobei bei der Ausübung dieser Praxen keine metasprachliche Begleitpraxen (etwa kommentierender Art) nötig sind. Konfessorisch: Folgern in einer Sprache besteht im Vollzug von (regelgeleiteten) Redehandlungen in dieser Sprache und nicht im Vollzug von Redehandlungen in dieser Sprache und begleitenden metasprachlichen Redehandlungen. Kurz: Ableiten in einer Sprache ist Redehandeln in dieser Sprache. Diese Thesen sind philosophisch zu substantiieren. Sodann sind weitere metatheoretische Untersuchungen angebracht, etwa eine Ausweitung des Vollständigkeitsresultats für überabzählbare Sprachen und eine genauere Untersuchung des Zusammenhangs der einzelnen Kalkülregeln – exemplarisch: In welchem Sinne sind die logischen Operatoren interdefinierbar? Sodann ist zu untersuchen, wie sich der hier verfolgte Ansatz ausbauen lässt, um Redehandlungsregeln für das axiomatische Setzen, das Definieren, das Konstatieren, das Anziehen von Aussagen als Gründen, den Umgang mit Kennzeichnungen, modalen Operatoren etc. zu entwickeln. Ferner ist zu prüfen, wie sich das Ableiten im Kalkül durch zulässige Regeln handlicher gestalten lässt. Last but not least ist eine propädeutische Fassung des Kalküls vorzulegen, mit der gleichzeitig auch demonstriert werden sollte, dass sich Verfügbarkeitsrede und Kalkülregeln für reine Anwendungszwecke auch ohne Rückgriff auf genuin mengentheoretisches Vokabular entwickeln lassen. Literatur BOSTOCK, D. Intermediate Logic (1997): Intermediate Logic. Oxford: Clarendon Press. DALEN, D. V. Logic and structure (2004): Logic and structure. 4. Aufl. Berlin [u.a.]: Springer. DEISER, O. Mengenlehre (2004): Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2. Aufl. 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Ausdruckslänge (AUSL) ........................................................................................................... 3 Definition 1‐5. Stelligkeit ............................................................................................................................... 13 Definition 1‐6. Die Menge der Terme (TERM; Metavariablen: θ, θ', θ*, ...) .................................................. 13 Definition 1‐7. Atomare und funktorale Terme (ATERM und FTERM) .......................................................... 13 Definition 1‐8. Die Menge der Quantoren (QUANTOR) ................................................................................ 13 Definition 1‐9. Die Menge der Formeln (FORM; Metavariablen: Α, Β, Γ, Δ, Α', Β', Γ', Δ', Α*, Β*, Γ*, Δ*, ...) .. 13 Definition 1‐10. Atomare, junktorale und quantorale Formeln (AFORM, JFORM, QFORM) ......................... 14 Definition 1‐11. Termgrad (TGRAD) .............................................................................................................. 21 Definition 1‐12. Formelgrad (FGRAD) ........................................................................................................... 21 Definition 1‐13. Zuordnung der Menge der Variablen, die in einem Term θ oder einer Formel Γ frei vorkommen (FV) ................................................................................................................................... 22 Definition 1‐14. Die Menge der geschlossenen Terme (GTERM) .................................................................. 22 Definition 1‐15. Die Menge der geschlossenen Formeln (GFORM) ............................................................... 22 Definition 1‐16. Die Menge der Sätze (SATZ; Metavariablen: Σ, Σ', Σ*, ...) .................................................... 22 Definition 1‐17. Annahme‐ und Folgerungssätze (ASATZ und FSATZ) .......................................................... 22 Definition 1‐18. Satzaussagenzuordnung (A) ................................................................................................ 23 Definition 1‐19. Die Menge der eigentlichen Ausdrücke (EAUS) ................................................................... 24 Definition 1‐20. Die Teilausdruckfunktion (TA) ............................................................................................. 24 Definition 1‐21. Die Teiltermfunktion (TT) .................................................................................................... 24 Definition 1‐22. Die Teilformelfunktion (TF) ................................................................................................. 24 Definition 1‐23. (Satz)Sequenzen (Metavariablen: , ', *, ...) ................................................................. 24 Definition 1‐24. Menge der (Satz)Sequenzen (SEQ) ...................................................................................... 25 Definition 1‐25. Konklusionszuordnung (K) ................................................................................................... 25 Definition 1‐26. Zuordnung der Teilmenge einer Sequenz , deren Glieder die Annahmesätze von sind (ANS) .................................................................................................................................................... 25 Definition 1‐27. Zuordnung der Menge der Annahmen (AN) ........................................................................ 25 Definition 1‐28. Zuordnung der Teilmenge einer Sequenz , deren Glieder die Folgerungssätze von sind (FS) ....................................................................................................................................................... 25 Definition 1‐29. Zuordnung der Menge der Teilterme der Glieder einer Sequenz (TTSEQ) ....................... 25 Definition 1‐30. Zuordnung der Menge der Teilterme der Elemente einer Formelmenge X (TTFM) ........... 25 Definition 1‐31. Substitution von geschlossenen Termen für atomare Terme in Termen, Formeln, Sätzen und Sequenzen ..................................................................................................................................... 26 268 Definitionsverzeichnis Definition 2‐1. Abschnitt in einer Sequenz (Metavariablen: , , , ', ', ', *, *, *, ...) ................. 48 Definition 2‐2. Zuordnung der Menge der Abschnitte von (ABS) .............................................................. 48 Definition 2‐3. Abschnitt ............................................................................................................................... 48 Definition 2‐4. Teilabschnitt .......................................................................................................................... 48 Definition 2‐5. Echter Teilabschnitt ............................................................................................................... 48 Definition 2‐6. Passende Folgen natürlicher Zahlen für Teilmengen von Sequenzen .................................... 54 Definition 2‐7. Abschnittsfolgen für Sequenzen ............................................................................................ 56 Definition 2‐8. Zuordnung der Menge der Abschnittsfolgen für (ABSF) .................................................... 56 Definition 2‐9. ANS‐umfassende Abschnittsfolge für einen Abschnitt in ................................................... 59 Definition 2‐10. Zuordnung der Menge der ANS‐umfassenden Abschnittsfolgen in (ANSUMF) ............... 59 Definition 2‐11. SE‐artiger Abschnitt ............................................................................................................ 64 Definition 2‐12. NE‐artiger Abschnitt ............................................................................................................ 64 Definition 2‐13. EA‐artiger Abschnitt ............................................................................................................ 65 Definition 2‐14. Minimaler SE‐geschlossener Abschnitt ............................................................................... 66 Definition 2‐15. Minimaler NE‐geschlossener Abschnitt ............................................................................... 66 Definition 2‐16. Minimaler PB‐geschlossener Abschnitt ............................................................................... 66 Definition 2‐17. Minimaler geschlossener Abschnitt .................................................................................... 67 Definition 2‐18. Proto‐Erzeugungsrelation für non‐redundante SE‐, NE‐ und EA‐artige Abschnitte in Sequenzen (PERZ) ................................................................................................................................. 68 Definition 2‐19. Erzeugungsrelation für non‐redundante SE‐, NE‐ und EA‐artige Abschnitte in Sequenzen (ERZ) ..................................................................................................................................................... 70 Definition 2‐20. Menge der ERZ‐induktiven Relationen (GSR) ...................................................................... 72 Definition 2‐21. Die kleinste ERZ‐induktive Relation (GS) ............................................................................. 73 Definition 2‐22. Geschlossener Abschnitt ..................................................................................................... 74 Definition 2‐23. SE‐geschlossener Abschnitt ................................................................................................. 90 Definition 2‐24. NE‐geschlossener Abschnitt ................................................................................................ 90 Definition 2‐25. PB‐geschlossener Abschnitt................................................................................................. 91 Definition 2‐26. Verfügbarkeit einer Aussage in einer Sequenz an einer Stelle .......................................... 104 Definition 2‐27. Verfügbarkeit einer Aussage in einer Sequenz .................................................................. 104 Definition 2‐28. Zuordnung der Menge der verfügbaren Sätze (VERS) ....................................................... 104 Definition 2‐29. Zuordnung der Menge der verfügbaren Annahmesätze (VANS) ....................................... 104 Definition 2‐30. Zuordnung der Menge der verfügbaren Aussagen (VER) .................................................. 105 Definition 2‐31. Zuordnung der Menge der verfügbaren Annahmen (VAN) ............................................... 105 Definition 3‐1. Annahmefunktion (AF) ........................................................................................................ 127 Definition 3‐2. Subjunktoreinführungsfunktion (SEF) .................................................................................. 128 Definition 3‐3. Subjunktorbeseitigungsfunktion (SBF) ................................................................................ 128 Definitionsverzeichnis 269 Definition 3‐4. Konjunktoreinführungsfunktion (KEF) ................................................................................. 128 Definition 3‐5. Konjunktorbeseitigungsfunktion (KBF) ................................................................................ 128 Definition 3‐6. Bisubjunktoreinführungsfunktion (BEF) .............................................................................. 128 Definition 3‐7. Bisubjunktorbeseitigungsfunktion (BBF) ............................................................................. 128 Definition 3‐8. Adjunktoreinführungsfunktion (AEF) .................................................................................. 129 Definition 3‐9. Adjunktorbeseitigungsfunktion (ABF) ................................................................................. 129 Definition 3‐10. Negatoreinführungsfunktion (NEF) ................................................................................... 129 Definition 3‐11. Negatorbeseitigungsfunktion (NBF) ................................................................................. 129 Definition 3‐12. Universalquantoreinführungsfunktion (UEF) .................................................................... 129 Definition 3‐13. Universalquantorbeseitigungsfunktion (UBF) ................................................................... 130 Definition 3‐14. Partikularquantoreinführungsfunktion (PEF) .................................................................... 130 Definition 3‐15. Partikularquantorbeseitigungsfunktion (PBF) ................................................................... 130 Definition 3‐16. Identitätseinführungsfunktion (IEF) .................................................................................. 130 Definition 3‐17. Identitätsbeseitigungsfunktion (IBF) ................................................................................. 131 Definition 3‐18. Zuordnung der Menge der regelgemässen Annahme‐ und Folgerungsfortsetzungen einer Sequenz (RGF) .................................................................................................................................... 131 Definition 3‐19. Die Menge der regelgemässen Sequenzen (RGS) ............................................................... 133 Definition 3‐20. Ableitung ........................................................................................................................... 135 Definition 3‐21. Deduktive Konsequenzschaft ............................................................................................ 139 Definition 3‐22. Logische Beweisbarkeit ..................................................................................................... 140 Definition 3‐23. Konsistenz ......................................................................................................................... 140 Definition 3‐24. Inkonsistenz....................................................................................................................... 140 Definition 3‐25. Deduktive Konsequenz für Mengen .................................................................................. 140 Definition 3‐26. Logische Beweisbarkeit für Mengen ................................................................................. 140 Definition 3‐27. Der Abschluss einer Aussagenmenge unter deduktiver Konsequenz ................................ 140 Definition 5‐1. Interpretationsfunktion ....................................................................................................... 212 Definition 5‐2. Modell ................................................................................................................................. 212 Definition 5‐3. Belegung ............................................................................................................................. 212 Definition 5‐4. Belegungsvariante .............................................................................................................. 212 Definition 5‐5. Termdenotationsfunktionen für Modelle und Belegungen ................................................. 213 Definition 5‐6. Termdenotationsoperation (TD) ......................................................................................... 213 Definition 5‐7. Erfüllungsfunktionen für Modelle ....................................................................................... 214 Definition 5‐8. Vierstelliger modelltheoretischer Erfüllungsprädikator ('.., .., .., ..') ............................... 215 Definition 5‐9. Vierstellige modelltheoretische Erfüllung für Mengen ........................................................ 227 Definition 5‐10. Modelltheoretische Konsequenz ....................................................................................... 227 Definition 5‐11. Allgemeingültigkeit ........................................................................................................... 227 270 Definitionsverzeichnis Definition 5‐12. Erfüllbarkeit ....................................................................................................................... 227 Definition 5‐13. Dreistellige modelltheoretische Erfüllung ......................................................................... 227 Definition 5‐14. Dreistellige modelltheoretische Erfüllung für Mengen...................................................... 228 Definition 5‐15. Modelltheoretische Konsequenz für Mengen .................................................................... 228 Definition 5‐16. Allgemeingültigkeit für Mengen ....................................................................................... 228 Definition 5‐17. Erfüllbarkeit für Mengen ................................................................................................... 228 Definition 5‐18. Der Abschluss einer Aussagenmenge unter modelltheoretischer Konsequenz ................. 228 Definition 6‐1. Das Inventar von LH (KONSTERW, PAR, VAR, FUNK, PRÄ, JUNK, QUANT, PERF, HZ) ........... 245 Definition 6‐2. Hintikka‐Menge ................................................................................................................... 249 Theoremverzeichnis Theorem 1‐1. AUSL ist eine Funktion auf AUS ................................................................................................. 4 Theorem 1‐2. Ausdrücke sind Verkettungen von Grundausdrücken ............................................................... 4 Theorem 1‐3. Identifizierung von Gliedern einer Ausdrucksverkettung .......................................................... 4 Theorem 1‐4. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (a) ........................................................................... 6 Theorem 1‐5. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (b) ........................................................................... 8 Theorem 1‐6. Zur Identität von Ausdrucksverkettungen (c) ......................................................................... 10 Theorem 1‐7. Eindeutige Anfangs‐ und Endausdrücke ................................................................................. 12 Theorem 1‐8. Kein Ausdruck enthält sich selbst echt .................................................................................... 12 Theorem 1‐9. Terme resp. Formeln haben keine Terme resp. Formeln als echte Anfangsausdrücke ........... 14 Theorem 1‐10. Eindeutige Lesbarkeit ohne Sätze (a – Eindeutige Kategorie) .............................................. 18 Theorem 1‐11. Eindeutige Lesbarkeit ohne Sätze (b – Eindeutige Zerlegbarkeit) ......................................... 19 Theorem 1‐12. Eindeutige Kategorie und eindeutige Zerlegbarkeit für Sätze .............................................. 23 Theorem 1‐13. Formelgraderhaltung bei Substitution .................................................................................. 27 Theorem 1‐14. Für alle Substituenda und Substitutionsorte gilt, dass entweder alle geschlossenen Terme Teilterme des jeweiligen Substitutionsergebnisses sind oder für alle geschlossenen Terme das jeweilige Substitutionsergebnis mit dem Substitutionsort identisch ist ............................................... 28 Theorem 1‐15. Basen für die Substitution von geschlossenen Termen in Termen ........................................ 29 Theorem 1‐16. Basen für die Substitution von geschlossenen Termen in Formeln ....................................... 30 Theorem 1‐17. Alternative Basen für die Substitution von geschlossenen Termen für Variablen in Termen 32 Theorem 1‐18. Alternative Basen für die Substitution von geschlossenen Termen für Variablen in Formeln ............................................................................................................................................................. 32 Theorem 1‐19. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Terme .......................................................................... 34 Theorem 1‐20. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Formeln ....................................................................... 34 Theorem 1‐21. Eindeutige Substitutionsorte (a) für Sätze ............................................................................ 35 Theorem 1‐22. Eindeutige Substitutionsorte (b) für Terme .......................................................................... 36 Theorem 1‐23. Eindeutige Substitutionsorte (b) für Formeln ....................................................................... 37 Theorem 1‐24. Kürzung von Parametern bei der Substitution ...................................................................... 38 Theorem 1‐25. Eine hinreichende Bedingung für die Kommutativität einer Substitution in Termen und Formeln ................................................................................................................................................ 39 Theorem 1‐26. Substitution in Substitutionsergebnissen .............................................................................. 40 Theorem 1‐27. Mehrfache Substitution von neuen und paarweise verschiedenen Parametern für paarweise verschiedene Parameter in Termen, Formeln, Sätzen und Sequenzen ................................................. 41 Theorem 1‐28. Mehrfache Substitution von geschlossenen Termen für paarweise verschiedene Variablen in Termen und Formeln (a) ....................................................................................................................... 42 Theorem 1‐29. Mehrfache Substitution von geschlossenen Termen für paarweise verschiedene Variablen in Termen und Formeln (b) ....................................................................................................................... 44 272 Theoremverzeichnis Theorem 2‐1. Eine Sequenz ist genau dann nicht‐leer, wenn ABS( ) nicht‐leer ist .................................. 48 Theorem 2‐2. Das Abschnittsprädikat ist bezüglich Teilmengenschaft zwischen Sequenzen monoton ........ 48 Theorem 2‐3. Abschnitte in Beschränkungen ................................................................................................ 50 Theorem 2‐4. Abschnitte mit gleichem Anfang und Ende sind identisch ...................................................... 51 Theorem 2‐5. Inklusionsverhältnisse zwischen Abschnitten ......................................................................... 51 Theorem 2‐6. Nicht‐leere Beschränkungen von Abschnitten sind Abschnitte ............................................... 51 Theorem 2‐7. Beschränkungen eines Abschnitts, die Abschnitte sind, haben denselben Anfang wie der beschränkte Abschnitt .......................................................................................................................... 52 Theorem 2‐8. Zwei Abschnitte sind genau dann elementfremd, wenn einer von beiden vor dem anderen liegt ...................................................................................................................................................... 52 Theorem 2‐9. Zwei Abschnitte sind genau dann nicht elementfremd, wenn der Anfang von einem von beiden in dem anderen liegt ................................................................................................................. 53 Theorem 2‐10. Existenz passender Folgen natürlicher Zahlen ...................................................................... 54 Theorem 2‐11. Bijektivität passender Folgen natürlicher Zahlen .................................................................. 55 Theorem 2‐12. Eindeutigkeit passender Folgen natürlicher Zahlen .............................................................. 55 Theorem 2‐13. Nicht‐rekursive Charakterisierung der passenden Folge für einen Abschnitt ....................... 55 Theorem 2‐14. Eine Sequenz ist genau dann nicht‐leer, wenn es eine nicht‐leere Abschnittsfolge für gibt ....................................................................................................................................................... 56 Theorem 2‐15. ∅ ist eine Abschnittsfolge für alle Sequenzen ........................................................................ 56 Theorem 2‐16. Eigenschaften von Abschnittsfolgen ..................................................................................... 57 Theorem 2‐17. Existenz von Abschnittsfolgen, die alle Elemente einer Menge von disjunkten Abschnitten aufzählen .............................................................................................................................................. 57 Theorem 2‐18. Hinreichende Bedingungen für die Identität der Argumente einer Abschnittsfolge ............. 58 Theorem 2‐19. Verschiedene Glieder einer Abschnittsfolge sind elementfremd .......................................... 59 Theorem 2‐20. Existenz von ANS‐umfassenden Abschnittsfolgen für alle Abschnitte .................................. 60 Theorem 2‐21. Eine Sequenz ist genau dann nicht‐leer, wenn ANSUMF( ) nicht‐leer ist ........................ 60 Theorem 2‐22. Eigenschaften von ANS‐umfassenden Abschnittsfolgen ....................................................... 60 Theorem 2‐23. Alle Glieder einer ANS‐umfassenden Abschnittsfolge liegen innerhalb des betreffenden Abschnitts ............................................................................................................................................. 60 Theorem 2‐24. Alle Glieder einer ANS‐umfassenden Abschnittsfolge sind Teilmengen des betreffenden Abschnitts ............................................................................................................................................. 61 Theorem 2‐25. Nicht‐leere Beschränkungen von ANS‐umfassenden Abschnittsfolgen sind ANS‐umfassende Abschnittsfolgen ................................................................................................................................... 61 Theorem 2‐26. Hinreichende Bedingungen für die Identität der Argumente einer ANS‐umfassenden Abschnittsfolge ..................................................................................................................................... 62 Theorem 2‐27. Verschiedene Glieder einer ANS‐umfassenden Abschnittsfolge sind elementfremd ............ 62 Theoremverzeichnis 273 Theorem 2‐28. Kein Abschnitt ist zugleich SE‐ und NE‐ oder SE‐ und EA‐artiger Abschnitt .......................... 65 Theorem 2‐29. Das letzte Glied eines SE‐ oder NE‐ oder EA‐artigen Abschnitts ist kein Annahmesatz ........ 65 Theorem 2‐30. Alle Annahmesätze in einem SE‐ oder NE‐ oder EA‐artigen Abschnitt liegen innerhalb eines echten Teilabschnitts, der das letzte Glied nicht umfasst .................................................................... 66 Theorem 2‐31. Mächtigkeit von SE‐, NE‐, und EA‐artigen Abschnitten ........................................................ 66 Theorem 2‐32. SE‐, NE‐ und EA‐artige Abschnitte mit nur einem Annahmesatz haben einen minimalen geschlossenen Abschnitt zum Anfangsabschnitt ................................................................................. 67 Theorem 2‐33. Verhältnis von Folgerungs‐ und Annahmesätzen in minimalen geschlossenen Abschnitten 67 Theorem 2‐34. Einige wichtige Eigenschaften von PERZ .............................................................................. 68 Theorem 2‐35. Einige häufiger benutzte Konsequenzen aus Definition 2‐19 ............................................... 70 Theorem 2‐36. ERZ‐erzeugte Abschnitte sind mächtiger als die Glieder der entsprechenden ANS‐ umfassenden Abschnittsfolge .............................................................................................................. 71 Theorem 2‐37. Hilfssatz für Theorem 2‐39 (a) .............................................................................................. 71 Theorem 2‐38. Hilfssatz für Theorem 2‐39 (b) .............................................................................................. 72 Theorem 2‐39. Hilfssatz für Theorem 2‐40 ................................................................................................... 72 Theorem 2‐40. GS ist die kleinste ERZ‐induktive Relation ............................................................................. 73 Theorem 2‐41. Geschlossene Abschnitte sind minimal oder ERZ‐erzeugt..................................................... 74 Theorem 2‐42. Geschlossene Abschnitte sind SE‐ oder NE‐ oder EA‐artige Abschnitte ................................ 75 Theorem 2‐43. ∅ ist weder in Dom(GS) noch in Ran(GS) ............................................................................... 75 Theorem 2‐44. Geschlossene Abschnitte sind wenigstens zwei‐elementig ................................................... 76 Theorem 2‐45. Jeder geschlossene Abschnitt hat einen minimalen geschlossenen Abschnitt zum Teilabschnitt ......................................................................................................................................... 77 Theorem 2‐46. Verhältnis von Folgerungs‐ und Annahmesätzen in geschlossenen Abschnitten ................. 77 Theorem 2‐47. Jeder Annahmesatz in einem geschlossenen Abschnitt liegt an dessen Anfang oder am Anfang eines echten geschlossenen Teilabschnitts von ................................................................... 79 Theorem 2‐48. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder ein SE‐ oder NE‐ oder EA‐artiger Abschnitt, dessen Annahmesätze am Anfang oder in echten geschlossenen Teilabschnitten liegen .......................................................................................................................... 80 Theorem 2‐49. Geschlossene Abschnitte sind non‐redundant, d.h. echte Anfangsabschnitte von geschlossenen Abschnitten sind keine geschlossenen Abschnitte ....................................................... 81 Theorem 2‐50. Geschlossene Abschnitte sind durch ihren Anfang eindeutig bestimmt ............................... 83 Theorem 2‐51. ANS‐umfassende Abschnittsfolgen für ein und denselben Abschnitt, deren Werte ausschliesslich geschlossene Abschnitte sind, sind identisch ................................................................ 83 Theorem 2‐52. Liegt der Anfang eines geschlossenen Abschnitts ' in einem geschlossenen Abschnitt , dann ist ' ein Teilabschnitt von ...................................................................................................... 84 Theorem 2‐53. Geschlossene Abschnitte sind durch ihre Ende eindeutig bestimmt ..................................... 85 274 Theoremverzeichnis Theorem 2‐54. Echte Teilabschnittschaft zwischen geschlossenen Abschnitten .......................................... 85 Theorem 2‐55. Echte und unechte Teilabschnittschaft zwischen geschlossenen Abschnitten ...................... 86 Theorem 2‐56. Inklusionsverhältnisse zwischen nicht‐disjunkten geschlossenen Abschnitten ..................... 86 Theorem 2‐57. Geschlossene Abschnitte sind entweder disjunkt oder einer ist Teilabschnitt des anderen. 87 Theorem 2‐58. Ein minimaler geschlossener Abschnitt ' ist mit einem geschlossenen Abschnitt elementfremd oder er ist ein Teilabschnitt von ................................................................................ 87 Theorem 2‐59. ERZ‐Material‐Bereitstellungs‐Theorem ................................................................................ 88 Theorem 2‐60. Sind alle Folgenglieder einer ANS‐umfassenden Abschnittsfolge für geschlossene Abschnitte, dann ist jeder geschlossene Teilabschnitt von Teilabschnitt eines Folgengliedes ......... 90 Theorem 2‐61. SE‐, NE‐ und PB‐geschlossene Abschnitte und nur diese sind geschlossene Abschnitte ....... 91 Theorem 2‐62. Monotonie der '(F‐)geschlossener Abschnitt'‐Prädikate ...................................................... 91 Theorem 2‐63. Geschlossene Abschnitte bleiben in Verkettungen in der Anfangssequenz geschlossen ...... 92 Theorem 2‐64. (F‐)geschlossene Abschnitte in Beschränkungen ................................................................. 92 Theorem 2‐65. Vorbereitungstheorem für Theorem 2‐67, Theorem 2‐68 und Theorem 2‐69 ...................... 93 Theorem 2‐66. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder ein SE‐ oder NE‐ oder PB‐geschlossener Abschnitt, dessen Annahmesätze am Anfang oder in echten geschlossenen Teilabschnitten liegen .................................................................................................. 94 Theorem 2‐67. Vorbereitungstheorem für Theorem 2‐91 ............................................................................. 94 Theorem 2‐68. Vorbereitungstheorem für Theorem 2‐92 ............................................................................. 96 Theorem 2‐69. Vorbereitungstheorem für Theorem 2‐93 ........................................................................... 100 Theorem 2‐70. Verhältnis von VANS, VERS und jeweiliger Sequenz ........................................................... 104 Theorem 2‐71. Verhältnis von VAN und VER ............................................................................................... 105 Theorem 2‐72. VERS‐Inklusion impliziert VANS‐Inklusion ........................................................................... 105 Theorem 2‐73. VANS‐Verringerung impliziert VERS‐Verringerung ............................................................. 105 Theorem 2‐74. VERS‐Inklusion impliziert VER‐Inklusion .............................................................................. 105 Theorem 2‐75. VANS‐Inklusion impliziert VAN‐Inklusion ............................................................................ 106 Theorem 2‐76. VAN ist höchstens so gross wie VANS .................................................................................. 106 Theorem 2‐77. VAN ist dann und nur dann leer, wenn auch VANS leer ist ................................................. 106 Theorem 2‐78. Bei non‐redundantem VANS ist jede Annahme an genau einer Stelle als Annahme verfügbar ........................................................................................................................................................... 106 Theorem 2‐79. VERS, VANS, VER und VAN in Verkettungen mit ein‐gliedrigen Sequenzen ........................ 107 Theorem 2‐80. VERS, VANS, VER und VAN in Verkettungen mit beliebigen Sequenzen ............................. 108 Theorem 2‐81. VERS, VANS, VER und VAN in Beschränkungen auf Dom( )‐1 ........................................... 108 Theorem 2‐82. Die Konklusion ist immer verfügbar .................................................................................... 109 Theoremverzeichnis 275 Theorem 2‐83. Zusammenhang von Nichtverfügbarkeit und der Entstehung eines geschlossenen Abschnitts beim Übergang von Dom( )‐1 auf ............................................................................................ 109 Theorem 2‐84. VERS‐Verringerung beim Übergang von Dom( )‐1 zu dann und nur dann, wenn dabei ein neuer geschlossener Abschnitt erzeugt wird ................................................................................ 112 Theorem 2‐85. VANS‐Verringerung beim Übergang von Dom( )‐1 zu dann und nur dann, wenn dabei ein neuer geschlossener Abschnitt erzeugt wird, dessen erstes Glied gerade der nun unverfügbare Annahmesatz und das maximale Glied in VANS( Dom( )‐1) ist ..................................................... 113 Theorem 2‐86. Ist das letzte Glied eines geschlossenen Abschnitts in mit dem letzten Glied von identisch, dann ist das erste Glied von das maximale Glied von VANS( Dom( )‐1) und in nicht mehr verfügbar .................................................................................................................................. 114 Theorem 2‐87. Beim Übergang von Dom( )‐1 zu verringert sich die Anzahl der verfügbaren Annahmesätze maximal um eins ....................................................................................................... 115 Theorem 2‐88. Beim Übergang von Dom( )‐1 zu impliziert echte VAN‐Inklusion echte VANS‐Inklusion ........................................................................................................................................................... 115 Theorem 2‐89. Vorbereitungstheorem (a) für Theorem 2‐91, Theorem 2‐92 und Theorem 2‐93............... 115 Theorem 2‐90. Vorbereitungstheorem (b) für Theorem 2‐91, Theorem 2‐92 und Theorem 2‐93............... 116 Theorem 2‐91. SE‐Schliesst!‐Theorem ......................................................................................................... 116 Theorem 2‐92. NE‐Schliesst!‐Theorem ......................................................................................................... 117 Theorem 2‐93. PB‐Schliesst!‐Theorem ......................................................................................................... 117 Theorem 3‐1. RGF‐Fortsetzungen von Sequenzen sind nicht‐leere Sequenzen ........................................... 131 Theorem 3‐2. RGF ist für keine Sequenz leer ............................................................................................... 132 Theorem 3‐3. Die Elemente von RGF( ) sind Fortsetzungen von um genau einen Satz ......................... 132 Theorem 3‐4. RGF‐Fortsetzungen von Sequenzen sind genau um eins mächtiger als die Ausgangssequenz ........................................................................................................................................................... 132 Theorem 3‐5. Eindeutige RGF‐Vorgänger ................................................................................................... 133 Theorem 3‐6. Eine Sequenz ist genau dann in RGS, wenn sie leer oder eine regelgemässe Fortsetzung von Dom( )‐1 und Dom( )‐1 ein RGS‐Element ist .......................................................................... 133 Theorem 3‐7. Die regelgemässe Fortsetzung eines RGS‐Elements führt zu einem nicht‐leeren RGS‐Element ........................................................................................................................................................... 134 Theorem 3‐8. ist genau dann ein nicht‐leeres RGS‐Element, wenn eine nicht‐leere Sequenz ist und alle nicht‐leeren Anfangsabschnitte von nicht‐leere RGS‐Elemente sind .............................................. 134 Theorem 3‐9. Eigenschaften von Ableitungen ............................................................................................ 135 Theorem 3‐10. In nicht‐leeren RGS‐Elementen, sind alle nicht‐leeren Anfangsabschnitte ‐Ableitungen ihrer Konklusion .......................................................................................................................................... 135 Theorem 3‐11. Eindeutigkeitssatz für den Redehandlungskalkül ............................................................... 136 276 Theoremverzeichnis Theorem 3‐12. Γ ist genau dann deduktive Konsequenz aus einer Aussagenmenge X, wenn es ein nicht‐ leeres aus RGS gibt, so dass Γ die Konklusion von und VAN( ) ⊆ X ist ..................................... 139 Theorem 3‐13. Aussagenmengen sind genau dann inkonsistent, wenn sie nicht konsistent sind .............. 140 Theorem 3‐14. VERS, VANS, VER und VAN in RGF ....................................................................................... 141 Theorem 3‐15. VERS, VANS, VER und VAN bei AR ....................................................................................... 141 Theorem 3‐16. VANS‐Vermehrung nur bei AR ............................................................................................ 143 Theorem 3‐17. VERS, VANS, VER und VAN bei Übergängen ohne AR ......................................................... 143 Theorem 3‐18. Nicht‐leeres VANS ist hinreichend für SE ............................................................................ 143 Theorem 3‐19. VERS, VANS, VER und VAN bei SE ....................................................................................... 144 Theorem 3‐20. VERS, VANS, VER und VAN bei NE ....................................................................................... 145 Theorem 3‐21. VERS, VANS, VER und VAN bei PB ....................................................................................... 146 Theorem 3‐22. Ist die zuletzt angenommene Aussage nur einmal als Annahme verfügbar, dann wird sie bei SE, NE und PB eliminiert ..................................................................................................................... 147 Theorem 3‐23. VANS‐Verringerung bei und nur bei SE, NE und PB ............................................................. 148 Theorem 3‐24. VERS‐Verringerung bei und nur bei SE, NE und PB ............................................................. 150 Theorem 3‐25. VERS unter Ausschluss von SE, NE und PB .......................................................................... 150 Theorem 3‐26. VERS, VANS, VER und VAN bei KE, BE, AE, UE, PE, IE .......................................................... 150 Theorem 3‐27. VERS, VANS, VER und VAN bei SB, KB, BB, AB, NB, UB, IB .................................................. 151 Theorem 3‐28. Ohne AR, SE, NE oder PB gibt es keine VAN‐Veränderung ................................................. 152 Theorem 3‐29. VERS, VANS, VER und VAN bleiben aus Beschränkungen, deren Konklusion verfügbar bleibt, in der unbeschränkten Sequenz erhalten. .......................................................................................... 152 Theorem 3‐30. VERS, VANS, VER und VAN in Ableitungen .......................................................................... 153 Theorem 4‐1. Non‐redundantes VANS ........................................................................................................ 158 Theorem 4‐2. SE‐Vorbereitungstheorem ..................................................................................................... 159 Theorem 4‐3. Blockierende Annahmen ....................................................................................................... 162 Theorem 4‐4. Verkettung parameterfremder RGS‐Elemente mit eingeschobener blockierender Annahme ........................................................................................................................................................... 162 Theorem 4‐5. Geglückte KB‐Fortsetzung ..................................................................................................... 169 Theorem 4‐6. Verfügbare Aussagen als Konklusionen ................................................................................ 170 Theorem 4‐7. Eliminierbarkeit einer Annahme von α = α ........................................................................ 171 Theorem 4‐8. Einfache Substitution eines neuen Parameters für einen Parameter ist RGS‐treu ............... 173 Theorem 4‐9. Einfache Substitution eines neuen Parameters für eine Individuenkonstante ist RGS‐treu .. 181 Theorem 4‐10. Mehrfache Substitution von neuen und paarweise verschiedenen Parametern für paarweise verschiedene Parameter ist RGS‐treu ................................................................................................. 188 Theorem 4‐11. UE‐Fortsetzung einer Sequenz ............................................................................................ 189 Theoremverzeichnis 277 Theorem 4‐12. UB‐Fortsetzung einer Sequenz ............................................................................................ 190 Theorem 4‐13. Induktionsbasis für Theorem 4‐14 ...................................................................................... 192 Theorem 4‐14. SB‐, KE‐, BE‐, BB‐ und IB‐Vorbereitungstheorem ................................................................ 194 Theorem 4‐15. Erweiterte Reflexivität (AR) ................................................................................................ 196 Theorem 4‐16. Monotonie .......................................................................................................................... 196 Theorem 4‐17. Principium non contradictionis ........................................................................................... 196 Theorem 4‐18. Abgeschlossenheit unter Einführung und Beseitigung ....................................................... 197 Theorem 4‐19. Transitivität ........................................................................................................................ 205 Theorem 4‐20. Cut ...................................................................................................................................... 206 Theorem 4‐21. Deduktionstheorem und Umkehrung ................................................................................. 206 Theorem 4‐22. Inkonsistenz und Ableitbarkeit ........................................................................................... 206 Theorem 4‐23. Eine Aussagenmenge ist genau dann inkonsistent, wenn sich alle Aussagen aus ihr ableiten lassen ................................................................................................................................................. 207 Theorem 4‐24. Generalisierungstheorem ................................................................................................... 207 Theorem 4‐25. Mehrfache IB ...................................................................................................................... 208 Theorem 5‐1. Für jedes Modell (D, I) und Belegung b für D gibt es genau eine Termdenotationsfunktion ........................................................................................................................................................... 213 Theorem 5‐2. Termdenotate für Modelle und Belegungen ......................................................................... 214 Theorem 5‐3. Für jedes Modell (D, I) gibt es genau eine Erfüllungsfunktion ............................................ 215 Theorem 5‐4. Übliche Erfüllungskonzeption ............................................................................................... 215 Theorem 5‐5. Koinzidenzlemma .................................................................................................................. 216 Theorem 5‐6. Substitutionslemma .............................................................................................................. 219 Theorem 5‐7. Koreferenzialität ................................................................................................................... 225 Theorem 5‐8. Invarianz der Erfüllung von Quantorformeln bzgl. Parameterwahl ..................................... 225 Theorem 5‐9. Einfaches Substitutionslemma für Belegungen .................................................................... 226 Theorem 5‐10. Erfüllung überträgt sich auf Untermengen ......................................................................... 228 Theorem 5‐11. Erfüllbarkeit überträgt sich auf Untermengen ................................................................... 229 Theorem 5‐12. Konsequenzschaft und Erfüllbarkeit ................................................................................... 229 Theorem 5‐13. Modelltheoretische Monotonie .......................................................................................... 230 Theorem 5‐14. Modelltheoretische Entsprechung zu AR ............................................................................ 230 Theorem 5‐15. Modelltheoretische Entsprechung zu SE ............................................................................. 230 Theorem 5‐16. Modelltheoretische Entsprechung zu SB ............................................................................ 231 Theorem 5‐17. Modelltheoretische Entsprechung zu KE ............................................................................ 231 Theorem 5‐18. Modelltheoretische Entsprechung zu KB ............................................................................ 231 Theorem 5‐19. Modelltheoretische Entsprechung zu BE ............................................................................ 231 278 Theoremverzeichnis Theorem 5‐20. Modelltheoretische Entsprechung zu BE*........................................................................... 232 Theorem 5‐21. Modelltheoretische Entsprechung zu BB ............................................................................ 232 Theorem 5‐22. Modelltheoretische Entsprechung zu AE ............................................................................ 233 Theorem 5‐23. Modelltheoretische Entsprechung zu AB ............................................................................ 233 Theorem 5‐24. Modelltheoretische Entsprechung zu AB* .......................................................................... 233 Theorem 5‐25. Modelltheoretische Entsprechung zu NE ............................................................................ 234 Theorem 5‐26. Modelltheoretische Entsprechung zu NB ............................................................................ 234 Theorem 5‐27. Modelltheoretische Entsprechung zu UE ............................................................................ 234 Theorem 5‐28. Modelltheoretische Entsprechung zu UB ............................................................................ 235 Theorem 5‐29. Modelltheoretische Entsprechung zu PE ............................................................................. 235 Theorem 5‐30. Modelltheoretische Entsprechung zu PB ............................................................................ 236 Theorem 5‐31. Modelltheoretische Entsprechung zu IE .............................................................................. 236 Theorem 5‐32. Modelltheoretische Entsprechung zu IB ............................................................................. 237 Theorem 6‐1. Hauptbeweis der Korrektheit ................................................................................................ 240 Theorem 6‐2. Korrektheit des Redehandlungskalküls gegenüber der Modelltheorie ................................. 244 Theorem 6‐3. Beschränkungen von LH‐Modellen auf L sind L‐Modelle ....................................................... 246 Theorem 6‐4. LH‐Modelle verhalten sich im Bezug auf geschlossene L‐Terme, L‐Aussagen und L‐ Aussagenmengen genauso wie ihre Beschränkungen auf L............................................................... 247 Theorem 6‐5. Eine L‐Aussagenmenge ist genau dann LH‐erfüllbar, wenn sie L‐erfüllbar ist ....................... 247 Theorem 6‐6. L‐Sequenzen sind genau dann RGSH‐Elemente, wenn sie RGS‐Elemente sind ...................... 248 Theorem 6‐7. Eine L‐Aussage ist genau dann aus einer L‐Aussagenmenge LH‐ableitbar, wenn sie aus dieser Menge L‐ableitbar ist ......................................................................................................................... 248 Theorem 6‐8. Eine L‐Aussagenmenge ist genau dann LH‐konsistent, wenn sie L‐konsistent ist .................. 249 Theorem 6‐9. Hintikka‐Obermengen für konsistente L‐Aussagenmengen ................................................. 250 Theorem 6‐10. Jede Hintikka‐Menge ist LH‐erfüllbar .................................................................................. 254 Theorem 6‐11. Modelltheoretische Konsequenzschaft impliziert Ableitbarkeit ......................................... 259 Theorem 6‐12. Kompaktheitssatz ............................................................................................................... 259 Regelverzeichnis Handlungsanleitung 3‐1. Annahmeregel (AR) ............................................................................................ 121 Handlungsanleitung 3‐2. Subjunktoreinführungsregel (SE) ........................................................................ 121 Handlungsanleitung 3‐3. Subjunktorbeseitigungsregel (SB) ....................................................................... 122 Handlungsanleitung 3‐4. Konjunktoreinführungsregel (KE) ....................................................................... 122 Handlungsanleitung 3‐5. Konjunktorbeseitigungsregel (KB) ...................................................................... 122 Handlungsanleitung 3‐6. Bisubjunktoreinführungsregel (BE) ..................................................................... 122 Handlungsanleitung 3‐7. Bisubjunktorbeseitigungsregel (BB) .................................................................... 122 Handlungsanleitung 3‐8. Adjunktoreinführungsregel (AE) ......................................................................... 122 Handlungsanleitung 3‐9. Adjunktorbeseitigungsregel (AB) ........................................................................ 123 Handlungsanleitung 3‐10. Negatoreinführungsregel (NE) ......................................................................... 123 Handlungsanleitung 3‐11. Negatorbeseitigungsregel (NB) ........................................................................ 123 Handlungsanleitung 3‐12. Universalquantoreinführungsregel (UE) ........................................................... 124 Handlungsanleitung 3‐13. Universalquantorbeseitigungsregel (UB) ......................................................... 124 Handlungsanleitung 3‐14. Partikularquantoreinführungsregel (PE) .......................................................... 124 Handlungsanleitung 3‐15. Partikularquantorbeseitigungsregel (PB) ......................................................... 124 Handlungsanleitung 3‐16. Identitätseinführungsregel (IE) ......................................................................... 125 Handlungsanleitung 3‐17. Identitätsbeseitigungsregel (IB) ....................................................................... 125 Handlungsanleitung 3‐18. Interdiktionsklausel (IDK) ..................................................................................