Educaţia matematicii CE ESTE MATEMATICA Ghidul şcolar al înţelegerii conceptuale a matematicii Cătălin Bărboianu INFAROM PhilScience Press Târgu Jiu, 2020 INFAROM – PhilScience Press Educaţia matematicii office@infarom.ro http://www.infarom.ro http://www.press.philscience.org ISBN 978-973-1991-99-3 Editura: INFAROM Imprint: PhilScience Press Autor: Dr. Cătălin Bărboianu Imagine copertă: © Can Stock Photo / ekaart Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României BĂRBOIANU, CĂTĂLIN Ce este matematica : ghidul şcolar al înţelegerii conceptuale a matematicii / Cătălin Bărboianu. Targu Jiu : Infarom, 2020 Conţine bibliografie ISBN 978-973-1991-99-3 Copyright © INFAROM 2020 Această lucrare este supusă copyright-ului. Toate drepturile sunt rezervate editurii INFAROM, atât în ceea ce priveşte întregul material, cât şi părţi ale acestuia, în special drepturile de traducere, retipărire, citare, înregistrare audio, copiere pe microfilm sau pe orice alt suport, precum şi depozitarea în bănci de date. Reproducerea acestei publicaţii sau a părţilor acesteia este permisă numai sub prevederile legilor privind drepturile de autor, cu aprobarea expresă a editurii INFAROM. Oamenii nu cred că matematica este simplă pentru că nu realizează cât de complicată este viaţa. John von Neumann Nu te îngrijora prea tare de dificultăţile tale cu matematica; te asigur că ale mele sunt şi mai mari. Albert Einstein Dedic această carte fiului meu, Alexandru, căruia i-am vorbit despre matematică în perioada în care încă nu luase contact cu formalismul şi simbolismul matematicii. Sunt sigur că, astfel, eventualul "şoc" al acestui contact va fi cel puţin atenuat. Ce este matematica: Ghidul şcolar al înţelegerii conceptuale a matematicii 5 Cuprins Prefaţă ................................................................... 7 Introducere .......................................................... 15 "Matematica este ..." ............................................................. 23 1. Conceptele primare ale matematicii .............................. 27 1.1 Ce este numărul? ........................................................ 33 1.1.1 Numere ordinale şi cardinale ................................... 35 1.1.2 Axiomatizarea numerelor şi aritmeticii ................... 38 1.1.2.1 Axiomatizarea aritmetică ........................... 39 1.1.2.2 Axiomatizarea logică .......................................... 52 1.1.3 Numerele există? ..................................................... 62 1.1.4 De la numere naturale la numere întregi, raţionale, reale şi complexe ...................................................................... 67 1.1.4.1 De la numere naturale la numere întregi ......... 72 1.1.4.2 De la numere întregi la numere raţionale ......... 76 1.1.4.3 De la numere raţionale la numere reale .............. 80 1.1.4.3.1 "Tăieturile" lui Dedekind ....................... 81 1.1.4.4 De la numere reale la numere complexe ............ 86 1.2 Ce este mulţimea? .......................................... 96 1.2.1 Natura logică şi natura matematică a mulţimii ...... 97 1.2.2 Există mulţimi de orice? ................................... 102 1.2.3 Clasă şi mulţime ................................................. 109 1.2.4 Teorii ale mulţimilor, infinitate, paradoxuri ......... 114 1.2.4.1 Teoria Cantoriană a mulţimilor .................... 116 1.2.4.1.1 Paradoxurile Burali-Forti şi Russell ........... 120 1.2.4.2 Teorii axiomatizate ale mulţimilor ................ 126 1.2.4.2.1 Teoria simplă a tipurilor ........................ 126 1.2.4.2.2 Teoria lui Zermelo ................................. 130 1.2.4.2.3 Teoriile Zermelo-Fraenkel ...................... 132 2. Metodele matematicii ............................................. 143 2.1 Metoda auto-referinţei şi auto-aplicării ......................... 143 2.2 Metoda abstractizării, generalizării şi extensiei ............ 146 2.3 Metoda axiomatică ........................................................ 157 2.4 Metoda demonstraţiei .................................................... 159 3. Limbajul matematicii ...................................................... 165 3.1 Definiţia ......................................................................... 169 3.1.1 Criterii de validitate a unei definiţii ......................... 170 Cătălin Bărboianu 6 3.1.2 Rolurile definiţiei ..................................................... 175 3.2 Propoziţiile matematicii – axiomă, lemă, teoremă, corolar, consecinţă, conjectură ................................................. 179 3.2.1 Incompletitudinea matematicii ................................. 187 4. Simbolismul matematicii ................................................ 197 4.1 Citirea conceptuală a expresiilor simbolice .................. 203 5. Structurile matematicii ................................................... 215 5.1 Structură clasică (set-teoretică) ..................................... 215 5.1.1 Structuri echivalente ................................................. 218 5.2 Structuri şi tipuri de structuri matematice ..................... 224 5.2.1 Tipologia Bourbaki .................................................. 226 6. Rolurile matematicii ........................................................ 235 6.1 Rolul reprezentaţional ................................................... 236 6.2 Rolul semantic ............................................................... 238 6.3 Rolul descriptiv ............................................................. 240 6.4 Rolul constitutiv ............................................................ 241 6.5 Rolul inferenţial ............................................................. 242 6.6 Rolul explicativ ............................................................. 243 6.6.1 Insecte, legile evoluţiei şi matematica ............... 246 6.7 Rolul predictiv ............................................................... 249 7. Aplicarea şi aplicabilitatea matematicii ........................ 255 7.1 Ce este un model matematic .......................................... 257 7.2 Caracterul inferenţial al aplicării matematicii ............... 264 7.3 Din "misterele" succesului matematicii aplicate ........... 267 8. Înţelegerea matematicii ................................................... 277 8.1 Probleme rezolvate prin abordare conceptuală ............. 287 Încheiere ................................................................................ 297 Bibliografie .........................................................