EMF 2018 GT2 ENSEIGNEMENT ET APPRENTISSAGE ASPECTS PHILOSOPHIQUES, ÉPISTEMOLOGIQUES ET DIDACTIQUES BOULAIS Pascale*, BROUZET Robert** DURAND-GUERRIER Viviane*** MAJAJ Maha**** MARINO David*****, MONNOYEUR Françoise******, VERGNAC Martine******* Résumé N mathématiques en considérant les différences et les relations entre infini potentiel et infini actuel. Nous présentons les principaux éléments de notre étude philosophique, épistémologique et didactique, ainsi que trois situations visant à conduire un travail explicite avec les élèves sur ces questions en début de lycée. Mots-clefs : Didactique, philosophie, épistémologie, infini potentiel, infini actuel Abstract We are interested in the teaching and learning of infinite in mathematics class, taking into account the relations between potential infinite and actual infinite. We report the main elements of our current philosophical, epistemological and didactical study; we also present three mathematical situations that we consider relevant for this purpose and to be explored with 10 and 11 grade students. Keywords: Didactic, philosophy, epistemology, potential infinite, actual infinite I. INTRODUCTION La ines de la connaissance humaine et a nombreux débats sur la nature de ce concept et sur la possibilité ou non de le définir. Elle est es, ainsi que dans de nombreux aspects ormatique, et de ce fait intervient dans un certain nombre de pensées identifiées dans appel à communication de ce groupe de travail. Dans cette communication, nous oc-Roussillon intitulé « Enseignement » porté par V. Durand-Guerrier (Didactique des Mathématiques) et F. Monnoyeur (Philosophie) et associant chercheurs et enseignants du secondaire et du supérieur. Dans une première partie nous présentons brièvement les analyses philosophiques, épistémologiques et didactiques qui fondent notre projet de recherche. Nous présentons ensuite trois situations que nous avons mises en en 2018 dans nos enseignements, en lien avec un travail conduit dans le groupe IREM de Perpignan. Certains des premiers résultats expérimentaux sont présentés dans la partie II. II. CONCEPTUALISATION DE étude philosophique qui nous conduit à prendre en considération la distinction entre infini potentiel et infini actuel et à actuel. Nous donnerons ensuite, en prenant appui sur une étude écologique en cours, les principaux arguments qui nous conduisent à soutenir que 1/ il est nécessaire de sensibiliser les * Lycée Arago, Perpignan France pascale.boulais@free.fr ** LAMPS, Université Perpignan Via Domitia Francerobert.brouzet@univ-perp.fr *** IMAG, Univ Montpellier, CNRS, Montpellier, France viviane.durand-guerrier@umontpellier.fr **** Université Perpignan Via Domitia France mahamajaj@hotmail.com ***** Lycée Jules Fil, Carcassonne France marino.david81@gmail.com ****** Centre Jean Pépin, CNRS France monnoyf@gmail.com ******* Lycée Jean Lurçat, Perpignan France martine.vergnac@orange.fr EMF 2018 GT2 sans être généralement explicitement identifié dans les activités de classe. 1. Aperçu du questionnement philosophique Aristote a entre un infini potentiel et un infini actuel et montr comment selon lui, seul un infini potentiel fait sens en mathématiques; la distinction et position aristot sous forme de paradoxe ê Nous avons conduit un travail épistémologique à la lumière des questions didactiques r entiers naturels nombre entier vent passé sous silence en classe. Il est remarquable hoisisse explicitement de violer un accepte de considérer un ensemble comme une totalité infinie ou un infini actuel. t de dépasser le paradoxe apparent et de que de considérer l'infini comme objet ou totalité est essentiel à la compréhension des ensembles infinis et à la notion de limite (Sierpinska 1985, Tirosh 1999) tandis que auteurs Monaghan 2001, Monnoyeur 2011). 1 ème notion commune. EMF 2018 GT2 Ceci montre q par exemple dans la construction des nombres réels et dans la notion de limite, et audelà dans la définition des séries. actuel en envers le rejet pour apparaître par les professeurs, élèves et étudiants ; infini actuel implique une nouvelle manière ; nous avons vu plus haut que les mathématiciens ont dû prendre des décisions pour résoudre les paradoxes et en faire un outil du travail mathématique. On voit, par là ique, il ne suffit pas simplement de se laisser porter par la logique de la nonsurmon permet de montrer dépasser des obstacles conceptuels majeurs en procédant à des choix théoriques. Ce qui trois questions de recherche ci-dessous : e écologique Les travaux de recherche en didactique des mathématiques sur la conceptualisation du nombre infini potentiel infini actuel. que la confusion entre infini potentiel et infini actuel est un obstacle ropriation du concept de nombre réel et à la distinction entre le discret, le dense et le continu. Les recherches que deux des auteures ont conduites à la transition lycée-université ont mis en évidence la fragilité des connaissances des élèves de lycée et des étudiants en début sur les différents types de nombres (Vergnac et Durand-Guerrier 2014), venant confirmer les travaux de Bronner (1997). Pourtant les nombres sont travaillés tout au long du curriculum (nombres entiers, nombres entiers relatifs, nombres décimaux, nombres rationnels, mathématique et des applications des mathématiques dans de nombreux domaines. EMF 2018 GT2 Dans ce qui suit, nous présentons trois situations visant à conduire un travail explicite sur III. DES SITUATIONS POUR TRAITER INI EN CLASSE Dans cette partie, nous présentons trois exemples de situations ayant un potentiel pour avec des élèves de seconde en France (élèves 15-16 ans) qui ont été expérimentées - EMF 2018 GT2 fini. Nous donnons également des éléments des analyses a priori et a posteriori de la situation La maison de Ramanujan que nous avons présentés pendant le colloque. Les situations proposées visent à permettre un travail explicite su cohérence avec le infini potentiel et infini actuel 1. La duplication du carré Cette situation est classiquement utilisée en classe pour introduire la nécessité de considérer des irrationnels et pour (Tardy & Durand-Guerrier 2010) qui met en jeu construire par les élèves un carré. On donne aux élèves deux feuilles carrées dont la mesure des côtés en cm est un nombre entier et on leur demande de créer un grand carré en utilisant entièrement ces deux carrés et en réalisant un minimum de coups de ciseaux. Une fois le grand carré obtenu matériellement, on leur demande de prouver que la figure créée est bien un carré, puis de déterminer la mesure du côté en cm de ce nouveau carré. Le travail se déroule en groupe En classe de seconde en France, les élèves ont déjà rencontré la racine carrée en troisième, en particu théorème de Pythagore. Nous donnons ci-dessou a posteriori des expérimentations réalisées précédemment par deux des auteures de ce texte. En seconde, les constructions classiques apparaissent rapidement : 4 triangles isocèles rectangles à s deux carrés initiaux. 4 demi-carrés de sommet commun Nous nous intéressons ici aux résultats obtenus en ce qui concerne la question de la mesure du côté du carré réalisé. Une méthode régu consiste à calculer la longueur de diagonale du carré initial (qui est isométrique au côté du grand carré) en utilisant le théorème de Pythagore. Dans le cas où la mesure du côté du carré initial est 7, les élèves proposent dans ce cas comme mesure du côté du grand carré ou . s élèves mesurent le côté du carré obtenu et donnent comme réponse 10 cm ou 9,9 cm. autre enfin utilisent leur calculatrice et produisent comme mesure le nombre décimal affiché par la calculatrice, comme par exemple 9,89949437. La considération du grand carré valides. Le débat est relancé par le professeur avec la question suivante : « pourrait-on écrire cette réponse avec une écriture décimale ? », elle correspond à la préoccupation forte des élèves qui refusent que les deux réponses validées soient les réponses définitives. La réponse » « oui, mais ce serait trop long » « non, ça ne tombe pas juste ». Les élèves sont invités à pas nulle, ce qui les conduit à exprimer le fait que le nombre obtenu aurait alors 40 décimales, dont la 40ième ne serait pas nulle. On peut alors envisager le passage à un nombre quelconque de décimales et et ne peuvent pas te que ceci vaut pour tout entier et permet d : étant donné un entier naturel n, carré parfait et sa racine carrée est un entier, soit carrée ( un nombre idécimal au sens de Bronner). Au cours EMF 2018 GT2 en augmentant le nombre de décimales. A un niveau plus avancé, on peut prolonger ce travail pour aller vers construire une suite illimitée de nombres décimaux permettant le nombre à près par défaut. On demande aux élèves de proposer des encadrements successifs de entre deux décimaux ayant exactement 1, 2, 3, 4 ou 5 décimales avec des amplitudes respectives égales à 10-1, 10-2, 10-3, 10-4, 10-5 ; on leur propose ensuite une valeur approchée à 10-20 près par défaut et on leur demande déduire une valeur approchée à 10-21 par défaut. Ceci permet intro -n près par défaut une valeur approchée à près par défaut, et donc un processus itératif potentiellement infini. 2. Le dialogue de Galilée sur la possibilité des comparer des infinis Cette deuxième situation vise à avons identifié dans la deuxième partie de ce texte. ctif principal est de faire formuler actuel : « dans un ensemble donné le tout est plus grand que la partie », et de montrer que la construction de nécessite de réfuter cet on peut envisager une première approche de la définition axiomatique des ensembles infinis proposée par Dedekind et Cantor comme ceux qui peuvent être mis en correspondance biunivoque avec une partie propre. Le travail Dialogue sur deux sciences nouvelles de Galilée qui met en scène Simplicio et Salviati (Galilée 1966, pp.255-256). La question de Simplicio et portent sur la possibilité de comparer les infinis. Cette situation a été expérimentée en classe de seconde. Le scénario retenu est le suivant : une première phase e de la lecture silencieuse et individuelle de vail en groupe pour répondre à trois questions. La première porte sur la compréhension du problème soulevé par Simplicio ; la seconde sur question, on demande aux élèves de se positionner sur la question travaillée dans le texte en argumentant cette position. Le travail se déroule en groupes de 3 ou 4 élèves ; les élèves doivent produire une synthèse collective écrite de leurs réponses aux questions ci-dessus. Chaque groupe fait ensuite une présentation orale avec relevé de ses réponses écrites au tableau pour alimenter le débat sur la dernière q institutionnalisation du résultat suivant : « En considérant un ensemble qui contient tous les nombres entiers possibles, appelé ensemble des nombres entiers naturels, on peut mettre en relation cet ensemble infini et le sous ensemble formé des carrés parfaits des éléments de cet ensemble de re entier naturel ». Pour peuvent être invités à explorer la question complémentaire : « Peutdes entiers naturels qui peuvent être mises en correspondance avec lui-même ? Si oui, lesquelles ? Argumentez vos réponses. ». 3. La maison de Ramanujan fractions continues La situation « La maison de Ramanujan 2. : Dans une rue, les maisons sont numérotées de 1 à sur un seul côté de la rue. Le numéro de la maison de Ramanujan vérifie la propriété suivante : la somme des numéros des maisons à gauche est égale à la somme des numéros des maisons à droite. Les expérimentations en classe de 1ère scientifique (16-17 ans) ont été réalisées au 2 https://www.youtube.com/watch?v=T89yGlF-9ro&t=430s EMF 2018 GT2 Le scénario envisagé comporte une première phase exploratoire consistant à déterminer à la main toutes les maisons de Ramanujan pour entier naturel compris entre 1 et 15 ; il y a une seule solution pour et . La deuxième étape consiste à modéliser le problème par des suites, ce qui conduit à la relation . (La preuve est donnée en annexe 1). Une fois cette relation établie, on demande aux élèves interviennent dans le problème, à savoir la suite de terme général ; la suite définie par récurrence par et pour tout entier naturel ; la suite de terme général avec Figure 1 : extrait de la vidéo mis en débat extrait de la vidéo3 pour mettre en débat la distinction entre valeur approchée et valeur exacte, en lien avec un processus potentiellement infini (le développement en fractions continues de Ici le signe égal relie valeur exacte et valeur approchée. On arithmétiques ont été étudiées préalablement et notamment la somme des premiers entiers. La situation permet une première rencontre avec une conjecture de limite de suite numérique, avec usage du tableur pour calculer les premiers termes. Le tableur fournit une représentation sémiotique de la notion de suite, en donnant une liste des valeurs de la suite et le processus de génération qui peut être recopié plus bas permet de percevoir que cette liste est infinie. Il y a dans ce cas, Mais ce affichage obtenu sur le tableur : la suite ; la suite est stationnaire égale à 8 à partir du rang 6 ; la suite tend vers 2,82842712. On note que le travail sur tableur conduit à travailler avec des approximations décimales, qui sont pertinentes pour établir les conjectures sur le comportement de ces suites. 2 semble indiquer que On prévoit de laisser les élèves traduire librement leurs observations : la suite est égale à 8 à partir d stagne, la suite est constante. En jouant sur le nombre de décimales affichées on peut faire percevoir que, à un rang donné, la valeur 8 est probablement une valeur approchée. la tâche « écrire un algorithme simple de recherche un seuil » favorise la construction en acte on obtient un écart entre à pour Nous donnons ci-dessous quelques-uns situation en classe de Première Scientifique française au printemps 2018. Lors du travail avec le tableur les conjectures attendues sont apparues. Le débat a permis de reconnaître que 3 Il s EMF 2018 GT2 2,82842712 est une valeur décimale approchée de avec deux arguments : 1/la référence à ; 2/le fait que le carré de ce nombre est un nombre décimal non entier dont le chiffre de droite est égal à 4. Le travail à partir du tableau issu de la et la suite illimitée des fractions continues (travail mobilisée par les élèves (cf. annexe). Certains élèves = » est abusive Quelques élèves néanmoins sem uel. Suite au débat, le professeur a institutionnalisé le résultat suivant : « est un nombre irrationnel est abusive. Si ce processus (ce est infini) on atteindrait On traduit ceci en disant que la suite tend vers .4 de nombres rationnels peut être un nombre irrationnel. Cette situation a donc permis par la suite des réduites de sa fraction continue qui fournit un exemple de processus itératif produisant une suite illimitée de fractions le nombre à près par défaut infini potentiel pour déterminer des solutions entières à un problème posé dans le domaine de la théorie élémentaire des nombres. questions et des réflexions de nature épistémologique qui permettent (cf. annexe 3) aux élèves de prendre conscience de certains aspects de la pensée scientifique : « mathématique » se construit sur des connaissances familières, ici notamment sur la grande familiarité de Ramanujan avec les équations de Pell-Fermat ; les changements de cadres sont des pratiques ordinaires dans la résolution de problèmes mathématiques. IV. CONCLUSION Dans cette communication, nous avons présenté un argumentaire soutenant de infini potentiel infini actuel en classe de mathématiques. potentiel, mais plutôt que les de et leurs relations vivent dans la classe de mathématiques. présentée dans ce texte. Les trois situations proposées dans la deuxième partie sont des exemples de ce que français. a posteriori La maison de Ramanujan » montre la pertinence de ce type de situation pour conduire un travail explicite dans les études secondaires. Ce groupe de travail sur les pensées mathématiques (intuitif versus conceptuel ou formel ; théorique versus empirique ; algorithmique versus analytique). Ce qui est présenté ici est une s domaines mathématiques ainsi que les interactions mathématiques informatique. 4 suite un EMF 2018 GT2 RÉFÉRENCES Artaud M. (1997). La problématique écologique -un style d'approche du didactique, Actes de l'école d'été de didactique des mathématiques, Houlgate, 19-27 août 97, 101-139. Belna, J.P. (2009). 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La première réduite est soit Ceci correspond au premier couple de solutions : 8 maisons dans la rue, la maison de Ramanujan est la maison numéro 6. De la même manière, chacune des réduites de la fraction continue fournit un couple (2n+1, m) ou n est le nombre de maison dans la rue, et m le numéro de la maison de Ramanujan. C mentionnée ci-dessus. ANNEXE 2 : C , c signe « = » est abusive au processus itératif infini E1 : j . E2 : cet égal devrait être remplacé par écriture exacte. ns E3 : Il démontre le résultat de . Le signe permet de prouver que équivaut à une infinité de fractions (nombres). Il ne devrait pas mettre de car le signe pour désigner une valeur approchée ( Quelques élèves néanmoins semblent mobi ns la réponse cidessous. E4 : Le signe A un nombre la suite sera égale à mettre à une très grande décimale, elle ne sera jamais égale. ANNEXE 3 - Comment est-il possible que Ramanujan ait eu une telle intuition ? 5 Cette relation montre que les couples de Pell : 6 Les réduites de cette fraction continue fournissent les meilleures approximations rationnelles de View publication stats