e ANNÉE N° 12 30 JUIN 1903 Revue générale des Sciences pures et appliquées D irecteur : L O U IS O L IV IE R , Docteur ès sciences. Adresser tout ce qui conoarne la rédaction à t t l . OLITIEE, 39, rue du Général-Foy, Paris. - Ea reproduction! et la traduction des oeuvres et de* travaur publiée dans la Revue sont complètement interdites eu France et dans tous les pays étrangers, y compris la Suède, la Norvège et la Hollande. CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE § i. - Mathématiques Les principes des Mathématiques et le problème des ensembles. - Nous avons reçu deM. J. Richard, professeur au Lycée de Dijon, la lettre suivante : « Dans son numéro du HO mars 1905, la Revue si- gnale certaines contradictions qu'on rencontre dans la théorie générale des ensembles. « Il mest pas.nécessaire d'aller jusqu'à la théorie des nombres ordinaux pour trouver de telles contradic- tions. En voici une qui s'offre dès l'étude du continu, et à laquelle plusieurs autres se ramèneraient proba- blement : « Je vais définir un certain ensemble de nombres, que je nommerai l'ensemble E, à l'aide des considéra- tions suivantes : « Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de l'alphabet français, en rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, puis, à la suite, tous les arrangements trois à trois, rangés par ordre alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces arrangements peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements avec répétition. « Quel que soit l'entier p, tout arrangement des vingt-six lettres p à p se trouvera dans ce tableau, et comme tout ce qui peut s'écrire avec un nombre fini de mots est un arrangement de lettres, tout ce qui peut s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d'indiquer le mode de formation. « La définition d'un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec des lettres, certains de ces arran- gements seront des définitions de nombres. Biffons de nos arrangements tous ceux qui ne sont pas des défini- tions de nombres. « Soit at le premier nombre défini par un arrange- ment, ut le second, t/a le troisième, etc. « On a ainsi, rangés dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à Faide d'un nombre fini de mots. « Donc : Tous les nombres qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots forment un ensemble dénom- brable. « Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre n'appartenant pas à cet ensemble. « Soit p, laalfeme décimale du uîttmo nombre de l'ensemble E; formons un nombre ayant zéro pour partie entière, et pour décimale p - [l, si p n'est égal ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le cas contraire ». Ce nombre N n'appartient pas à l'ensemble E. S'il était le /iième nom- bre de l'ensemble E, son niÈms chiffre serait le n£ème chif- fre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas. « Je nomme G le groupe de lettres entre guillemets. « Le nombre N est défini par les mots du groupe G, c'est-à-dire par un nombre fini de mots; il devrait donc appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas. <c Telle est la contradiction. « Montrons que cette contradiction n'est qu'appa- rente. Revenons à nos arrangements. Le groupe de lettres G est un de ces arrangements; il existera dans mon tableau. Mais, à la place qu'il occupe, il n'a pas de sens. 11 y est question de l'ensemble E, et celui-ci n'est pas encore défini. Je devrai donc le biffer. Le groupe G n'a de sens que si l'ensemble E est totalement défini, et celui-ci ne l'est que par un nombre infini de mots. I l n'y a done pas contradiction. « On peut encore remarquer ceci : L'ensemble de l'ensemble E et du nombre N forme un autre ensemble. Le second ensemble est dénombrable. Le nombre N peut être intercalé à un certain rang k dans l'ensemble E, en reculant d'un rang tous les autres nombres de rang supérieur à k. Continuons à appeler E l'ensemble ainsi modifié. Alors le groupe de mots G définira un nombre N' diffèrent de N, puisque le nombre N occupe maintenant le rang k, et que le Aième chiffre de Nf n'est pas égal au Aîème chiffre du À7me nombre de l'ensemble E. » JRichard, Professeur au Lycée de Dijon. Les contradictions que nous signalions précédem- ment1 dans la théorie des ensembles, et dont M. J. Ri- chard étudie et éclaircit d'une manière définitive un autre exemple, ont, de nouveau, attiré l'attention rde M. Hilbert. C'est un sujet sur lequel il revient dans^sa Communication présentée en août 190i.au Congrès de 1 Revue du 30 mars dernier. 12 Richard, Jules. Revue générale des sciences pures et appliquées, vol. 12, t. 16, 1905, « Les Principes des mathématiques et le problème des ensembles », p. 541-543 542 CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE Heidelberg, communication qui vient d'être traduite en français par M. Pierre Boutroux1 2. M. Hilbert fait spécialement allusion au paradoxe qui concerne I' « ensemble de tous les ensembles », et qui, en effet, est, au premier abord, assez troublant, du moins s'il est bien spécifié qu'un ensemble ne doit pas se renfermer lui-même comme élément. Faut-il admettre que l'ensemble E, ayant pour éléments tous les en- sembles possibles, existe, - puisqu'il suffît, pour con- stituer un ensemble, d'avoir défini ce qui en fait partie et ce qui n'en fait pas partie? Faut-il admettre tju'il n'existe pas, puisque, dans le cas contraire, E serait, par définition, un ensemble non contenu dans E ? Nous voilà revenus à Zénon d'Elée. Pour échapper à ce paradoxe, M. Hilbert, dans la nouvelle théorie qu'il propose, juge nécessaire de chan- ger complètement la définition du mot « ensemble » : Il regarde la notion d'un ensemble comme antérieure à celle de ses éléments, au lieu qu'elle en soit le résultat. C'est, au moins en principe, une manière d'opérer assurément légitime, comme toutes les conventions. Ce qui est moins évident, c'est l'utilité d'un pareil chan- gement. Il ne nous parait pas nécessaire, en tout cas, pour éclaircir la contradiction signalée plus haut : celle-ci, à notre avis, relève des remarques de M. Ri- chard, lesquelles ont une portée tout à fait générale et ne doivent pas être perdues de vue dans ces sortes de discussions. Pour former un ensemble avec certains éléments, encore faut-il que ceux-ci existent au préa- lable. Il ne nous paraît pas douteux qu'une solution tout analogue ne s'applique à l 'antinomie de M. Burali Forti * sur l'ensemble W de tous les nombres ordi- naux. Celui-ci, comme l'ensemble E de tout à l'heure, devrait, en conséquence, être considéré comme non existant3. Au reste, il est évident a p rio r i qu'un changement dans les définitions n'est pas nécessaire pour réfuter une antinomie, et même qu'il n'y suffit pas à pro- prement parler. Dans le cas présent, par exemple, la contradiction n'est pas évitée par ce seul fait qu'on a proposé d'étudier des « ensembles hilbertiens » (c'est-àdire des ensembles définis à la façon de M. Hilbert) : il faudrait encore interdire d'étudier des ensembles défi- nis par la voie classique. Du moment que cette der- nière est légitime (ce qui est assurément le cas, puisque c'est une définition nominale), il est clair que, correcte- ment employée, elle ne doit conduire à aucune contra- diction. La solution qui consiste à considérer les nombres ordinaux comme existants, mais l'ensemble complet de ces nombres comme non existant, avait été indiquée par M. Hilbert en 1900 au Congrès de Paris, mais sous une forme différente, qui se rattache d'ailleurs au sujet de sa Communication de 1904. Dans cette dernière, en effet, bien que la question des ensembles tienne, comme nous venons de le voir, une certaine place, l'objet principal est plus général. Il se rattache à un ordre d'idées sur lequel l 'auteur a insisté à maintes reprises dans ces dernières années. Pour fonder une théorie mathématique ou logique, M. Hilbert admet qu'il est nécessaire et suffisant de trouver une liste d'axiomes desquels on puisse prouver: 1° Qu'ils sont exempts de contradiction; 2° qu'ils sont indépendants entre eux et suffisent pour raisonner sur la théorie en question. Autrement dit, parmi les divers modes de définition utilisés en Mathématiques, il pré- conise, à l'exclusion de toutes les autres, les définitions « par postulats ». On peut contester la légitimité de ce point de vue, et particulièrement l'opportunité de recourir aux défi- nitions par postulats dans les cas où les définitions « nominales1» sont possibles, c'est-à-dire où les no- tions à définir peuvent être construites de toutes pièces à l'aide de notions plus simples. Notons cependant que, même alors, les définitions par postulats ou par axiomes ont une fécondité à laquelle les définitions nominales ne peuvent prétendre, grâce aux généralisations qu'elles permettent. Pour ce cas de notions « dérivées », l'absence de contradiction entre les axiomes est aisée à vérifier. Il suffit, précisément, d'alléguer la constitution, à l 'aide de notions antérieurement acquises, d'un concept satisfaisant à ces axiomes. C'est ce qui arrive pour la Géométrie, que l'on peut construire à l'aide des nom- bres. Seulement, comme nous venons de le voir, ce cas simple des notions dérivées est aussi, en général, le moins intéressant. Pour les notions premières elles-mêmes, la difficulté est tout autre et paraissait jusqu'ici insoluble. C'est à elle que s'attaque, cette fois, M. Hilbert. Cette difficulté, comme dans toutes les démonstrations négatives, réside dans la multiplicité des raisonnements, des combinaisons logiques que l'on peut former avec les axiomes fondamentaux. C'est prévoir, eh quelque sorte, la série complète des résultats qui pourront être obtenus par ces combinaisons logiques, que d'affirmer à l'avance que ces résultats ne présenteront pas de contradiction. Mais, avant tout, il faut commencer par poser la question. Qu'entendrons-nous par toutes les combi- naisons logiques possibles? C'est, on le sait, un sujet profondément étudié, dans ces dernières années, par toute une école de logiciens, tels que MM. Peano, Rus- sell, etc.Une coordination serait souhaitable, entre les travaux de cette Ecole et les recherches actuelles de M. Hilbert, et l'on peut regretter que, dans la rédaction sommaire qu'il a présentée à Heidelberg, l'auteur n'ait pas eu le temps d'indiquer la concordance entre les deux points de vue. Il est clair, par exemple, qu'il y aurait lieu de savoir si toutes les règles de logique, telles qu'elles ont été posées par les auteurs que nous venons de nommer, sont introduites dans les combi- naisons logiques dont il s'agit. Au premier abord [loe. c i t p. 94), on est tenté de croire que le seul principe du syllogisme est pris en considération; mais la fin du travail (p. 102) semble indiquer que les choses ne doivent pas être entendues ainsi. D'autre part, les principes de logique énoncés jusqu'ici sont-ils les seuls qui existent et qui pourront être utilisés par l'esprit humain? Tout ce que nous pouvons dire, c'est que tous les raisonnements --parti- culièrement tous les raisonnements mathématiques - actuellement construits paraissent reposer sur ces principes seuls. Mais, aussi bien qu'il a pu exister, dans Thistoire de la pensée humaine, une époque où per- sonne n'avait songé à se servir, par exemple, de l'in- duction complète, il n'est pas absolument évident que l'avenir ne fera pas découvrir quelque autre propriété des notions premières, non réductible à celles que nous connaissons. Si l'on considère les principes généraux de la Logique déductive comme préexistant aux Mathématiques, M. Hilbert ne peut, on le voit, affirmer l'absence de contradiction de ses axiomes que moyennant un pos- tulat, à savoir l'inexistence de principes logiques encore inconnus. S'il est vrai que cette inexistence, est assez 1 U Enseignement mathématique, iü mars 1905. 2 Circolo Mat. di Palermo, 1897.3 C'est par cette voie, que le paradoxe de Burali Forti nous paraît devoir être éclairci, et non par celle que propose M. Félix Bernstein (M ath. Annalen, t. LX, 2e cahier), laquelle consiste à admettre qu'on ne peut pas ajouter 1 au nombre ordinal W. Cette hypothèse n'est pas défendable; à notre avis, l'opération W*+ 1 est définie par G. Cantor d'une manière tout à fait générale, et cette définition ne souffre aucune difficulté, quel que soit W. - Seulement, l'ensemble W, qui, par hypothèse, était jusque-là le plus général que l'on pût former avec les objetsde pensée d'ores et déjà existants, cesse de posséder cette propriété après l'introduction du W -jl îèma objet. 1 Voir Goutcrat : Définitions et démonstrations mathéma tiques, Enseignement mathématique, 15 mars 1905. CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 543 probable, on ne peut la regarder, cependant, comme une vérité démontrée. Mais, en face de l'objection précédente, une autre attitude est possible, et c'est celle-là qu'adopte visible- ment l'auteur. Elle consiste à considérer la Logique et la Mathématique commeformant un seul tout, une seule théorie, fondée sur une série d'axiomes dont il reste à établir la non-contradiction. Dès lors, mis en présence d'un principe nouveau quelconque, on devra, sans distinguer s'il appartient au domaine de la Logique ou de la Mathématique, exa- miner s'il ne conduit à aucune contradiction lorsqu'on le combine avec les autres propositions antérieurement connues (de Logique ou de Mathématique indistincte- ment}. A ce point de vue, les raisonnements de M. Hilbert doivent être considérés comme établissant d'une ma- nière complète l'absence de contradiction entre les axiomes de l'Arithmétique. 11 en est ainsi, du moins, si, comme il y a lieu de le supposer, il a pu tenir compte de toutes les règles logiques connues, règles que nous sommes convenus, nous venons de le dire, de regarder comme les seules existantes. Maintenant, que faut-il penser d'un tel point de départ ? Qu'il n'y ait pas de séparation bien tranchée entre la Logique et les Mathématiques, c'est ce qu'on pourra admettre sans difficulté. Mais l 'identification qui se trouve établie entre les mots « vrai » et « non contra- dictoire », ces deux locutions étant en somme consi- dérées comme synonymes, soulèvera peut-être plus d'objections. En même temps que la communication de M. Hilbert, le compte rendu général des travaux du Congrès de Heidelberg nous apporte le texte définitif de celle de M. Konig. Celle-ci, concluant (comme nous l'avons dit précédemment) à l'impossibilité de mettre le continu sous forme d'un ensemble bien ordonné, invoquait un théorème de M. Bernstein sur les nombres ordinaux. Dans son texte actuel, l'auteur ne donne plus son résultat que sous forme dubitative, parce qu'il ne con- sidère pas comme démontré, sans contestation possible, le théorème de M. Bernstein. Il reste donc à considérer comme fondée la con- clusion opposée de M. Zermelo, si, du moins, comme nous le ferions pour notre part, on estime que la démonstration de ce dernier n'est pas entamée par les objections dont nous avons parlé dans la Revue du 30 mars. § 2. - Météorologie Concours International de prévision du temps (Septembre 1903). - Conformément à son pro- gramme, qui se propose non seulement le développe- ment de l'Astronomie et de la Météorologie, mais encore de provoquer et de faciliter les recherches de tous ceux qui désirent entreprendre des études dans cet ordre d'idées, et se préoccupant aussi des lacunes de la prévision actuelle du temps, la Société belge d'Astronomie et de Météorologie prend l'initiative d'un Concours international dé prévision du temps. Elle fait appel à tous les savants et chercheurs, à quelque nationalité qu'ils appartiennent, et les convie à venir appliquer, sous sa direction, leurs méthodes et procédés quelconques de prévision. L'organisation de ce concours est assurée par le Bureau de la Société. Le jury d'examen sera interna- tional et sera composé de MM. : B. Brunhes, directeur de l'Observatoire météorologique du Puy-de-Dôme; Prof. L. Grossman, météorologiste à la Deutsche Seewarte, à Hambourg; D1' Polis,"directeur de l'Obser- vatoire météorologique d'Aix-la-Chapelle; Lawrence Rotch, directeur du Bitte H ili Meteorological Qbservatory ; L. Teisserenc de Borf, directeur de l'Observa- toire de Météorologie dynamique de Trappes; J. Vincent, météorologiste à l'Observatoire royal de Belgique, qui ont bien voulu accepter d'en faire partie. Ce jury aura à sa disposition un p rix de 5,000 francs destiné â récompenser l'auteur des prévisions les mieux réussies d'après le programme suivant : Le concours ne s'applique qu'à la prévision du temps à courte échéance, c'est-à-dire vingt-quatre heures à l'avance. Les prévisions seront établies d'après les cartes synoptiques que tout bureau central météorologique publie chaque jour; mais, cependant, il sera loisible à chaque concurrent de se servir de toute autre méthode. L'objectif principal des concurrents sera de déter- miner pour le lendemain, c'est-à-dire dans les vingtquatre heures : 1° Les variations barométriques, en hausse ou en baisse, qui devront se produire à la surface entière de l'Europe ; 2° La trajectoire approximative des centres de dépres- sion ; 3° L'arrivée ou la disparition des bourrasques et des anticyclones. Les oscillations barométriques ayant une influence capitale sur l'état de l'atmosphère, leur prévision doit être le but de tout concurrent et l'objectif principal de ce concours. Le prix sera donc attribué au météorologiste qui aura obtenu dans ce genre de prévisions les meilleurs résultats. Les concurrents devront s'inscrire au secrétariat de la Société belge d'Astronomie, 13, rue Philomène, à Bruxelles, avant le 1er juillet 1903, où tous renseigne- ments complémentaires leur sei'ont donnés. § 3. - Physique Effets de radiation sur les plaques au géla - tino-bromure d'argent. - Les recherches relati- ves aux effets de radiation des corps organiques et inorganiques sur les plaques photographiques au géla- tino-bromure d'argent se multiplient dans ces derniers temps, et des opinions fort divex*gentes ont été énoncées à ce sujet. Ce qu'il y a de bien établi, c'est qu'une série de bois et de substances ligneuses, ainsi que des corps inoi'ganiques (plusieurs métaux, le peroxyde d'hydro- gène, le chlore, le sulfure d'hydrogène, l 'ozone, etc. a exercent, sur la couche sensible, un elfet analogue à celui des ondes lumineuses, y produisant des impres- sions susceptibles d'être révélées. Dans un Mémoire publié dans les Annaien der Pbysik (n° k, 1903), M. W. Merckens se pose la tâche d'examiner si les réactions en question sont de vrais effets de rayonnement (c'est-à-dire étant dus aux vibra- tions de l'éther) ou bien des actions purement^ chimi- ques. C'est à cette dernière opinion que s'arrête Fauteur, qui les attribue à l'oxygène à l'état naissant, produit par le peroxyde d'hydrogène. Une étude très soigneuse des métaux à l'état de pureté rnaxima et à surface bien polie a fait voir que l'intensité des effets dépend du caractère électropositif du métal : plus-ce caractère est accentué et plus ces effets sont intenses. C'est dire que l'ordre dans lequel les métaux se placent est iden- tique à celui de la série de tensions de Voila; Fauteur* explique cette coïncidence par la capacité de former du peroxyde d'hydrogène à Fair, capacité que déter- mine la position *de l'élément dans la série de Volta. § i. - Chimie physique Détermination de la masse atomique de Tazote. --L'auditoire de choix qui assistait,le 10 juin, à la réunion annuelle que la Société chimique de Paris a coutume d'oi'ganiser à l'occasion des congés de lu Pentecôte, a écouté avec un très, grand intérêt la com- munication de notre collaborateur, M. Pli.-A. Guye, sur les travaux que le très distingué professeur vient d'achever au Laboratoire de Physico-Chimie qu'il dirige à l'Université de Genève. La Revue donnera prochai- nement le texte détaillé de cette belle conférence, dont