I processi cognitivi della matematica. Martina Orlandi Che cosa significa contare? Parole chiave: matematica, tesi di Church-Turing, scienze cognitive, psicologia sperimentale, subitizing, neuroscienze. Abstract Gli animali sanno contare? I bambini piccoli hanno capacità matematiche innate? Se sì, come possiamo affermarlo con certezza, e che cosa signifca davvero contare? L'articolo si prefgge l'obiettivo di ripercorrere alcuni degli esperimenti psicologici più signifcativi che hanno mostrato come i bambini e gli animali abbiano sin dalla nascita un'idea preconcetta della matematica, con lo scopo di collegare tali esperimenti al problema della natura vaga dell'aspetto semantico della nozione di 'contare' e il conseguente diffcile compito della sua defnizione, con particolare riferimento alla tesi di Church-Turing.. 1. Introduzione Non è diffcile trovare nel panorama scientifco del passato studiosi che non accettino il fatto che animali e bambini abbiano capacità matematiche. Per esempio Descartes, ritiene che gli animali (o bruti, da lui chiamati) non possiedano un'anima poiché non aventi né pensiero né linguaggio. Dal momento che secondo il matematico solo l'intelligenza può mostrare l'esistenza dell'anima, la prova principale della mancanza di quest'ultima negli animali è l'assenza di linguaggio. Descartes riconosce che gli animali producono grida e versi, ma rifuta che ciò sia linguaggio, cioè capacità di comunicare pensieri. Gli animali rispondono a degli impulsi naturali come la paura o la fame, ma solo nell'uomo la parola esprime un pensiero e non delle passioni. Gli animali quindi non possiedono la ragione e non agiscono per conoscenza, ma solo per una particolare disposizione dei loro organi. Poiché gli animali non possiedono la ragione e le capacità matematiche derivano direttamente dalle competenze linguistiche, per Descartes essi non possiedono tali abilità. Senza tornare troppo indietro nel tempo troviamo anche lo psicologo Jean Piaget che nei vicini anni Cinquanta esclude che bambini molto piccoli possano avere una qualche competenza numerica, ma che la loro mente sia una sorta di tabula rasa e che il concetto di capacità cognitiva, e 1 quindi di intelligenza, sia strettamente legato alla capacità di adattamento all'ambiente sociale e fsico. Secondo Piaget, infatti i due processi che caratterizzano l'adattamento sono l'assimilazione, il processo consistente nell'incorporazione di un evento o di un oggetto in uno schema comportamentale o cognitivo già acquisito, e l'accomodamento, ovvero la modifca della struttura cognitiva o dello schema comportamentale per accogliere nuovi oggetti o eventi fno a quel momento ignoti. Proprio negli anni in cui le teorie di Piaget dominano indiscusse, leggiamo invece le parole di Tobias Dantzig che nel suo Language of Science scrive: «L'uomo fn dai primi passi del suo sviluppo, possiede una facoltà che chiamerei, in mancanza di un termine più adatto, il senso dei numeri. Questa facoltà gli permette di riconoscere i mutamenti in una piccola collezione di oggetti quando, a sua insaputa, a essa se ne aggiunga o se ne tolga uno» (Dantzig 1930, p. 1). Dantzig scriveva queste parole nel 1930, fu necessario attendere fno agli anni Ottanta per vedere confermata la sua intuizione. Proprio negli anni Ottanta, infatti, alcuni ingegnosi esperimenti mostrano come gli animali possiedano fn dalla nascita capacità numeriche. La lunga evoluzione culturale degli oggetti matematici è stata determinata dal cervello, un organo che a sua volta è il risultato di un'evoluzione biologica ancora più lunga, dominata dai principi selettivi darwiniani. Con l'evolversi delle specie si sono sviluppati organi sempre più sofsticati, in grado di sfruttare nel modo più profcuo le informazioni sensoriali ricevute così da utilizzare le reazioni dell'organismo in un ambiente competitivo e anche ostile. Uno di questi organi è costituito da un sistema di calcolo che prefgura gli algoritmi aritmetici che impariamo a scuola. Molti degli animali che consideriamo stupidi o addirittura nocivi, come i ratti o i piccioni, sono in grado di eseguire dei calcoli elementari. Ma è giustifcato concludere da tali esperimenti che gli animali e i bambini sappiano contare? Se dovessimo fornire una risposta soddisfacente a tale domanda molto probabilmente questa dipenderebbe in gran parte dalla defnizione che abbiamo di contare. A seconda della defnizione 2 che abbiamo infatti potremmo rispondere se un individuo è in grado o no di contare. Il problema è che qualunque defnizione tentiamo di attribuire a tale concetto si rivela parziale e incompleta e ciò si verifca perché la nozione di 'contare' in realtà non è mai stata defnita formalmente, ma ne è sempre esistita solo un'idea vaga e intuitiva. La tesi di Church-Turing rappresenta il tentativo più noto del XX secolo per colmare questa lacuna, ma non ne è mai stata fornita una dimostrazione formale, rimanendo così solo un'ipotesi. Prima di esaminare questa questione pero', ripercorriamo qualche esempio degli esperimenti psicologici che ci permettono di affrontare tale aporia. 2. Animali alle prese con i numeri 2.1 La palla di Elvis Un primo esperimento signifcativo è stato effettuato dal matematico Tim Pennings durante i pomeriggi trascorsi sulla spiaggia col cane Elvis a giocare con la sua palla da tennis preferita. Un giorno Pennings nota che lanciando la palla diagonalmente in acqua, il cane non si tuffa subito per raggiungerla, ma percorre prima un tratto sulla battigia, e solo dopo si tuffa nuotando fno alla palla. Questo avviene perché la velocità con cui il cane nuota è inferiore a quella con cui il cane corre sulla spiaggia e quindi il cane sceglie di tuffarsi in mare nel punto in cui si minimizza il tempo necessario per raggiungere la palla. Pennings ha descritto in un grafco la situazione, elencando le varie opzioni che il cane può avere quando si trova a dover raggiungere la palla lanciatagli dal suo padrone. 3 La strategia di Elvis comprende tre scelte. Una sarebbe quella di provare a minimizzare il tempo riducendo la distanza percorsa. Quindi potrebbe immediatamente tuffarsi in acqua e nuotare fno a coprire la distanza che lo separa dalla palla. Un'altra potrebbe essere quella di minimizzare la distanza di nuoto, dal momento che corre più velocemente di quanto nuota. Quindi potrebbe correre sulla battigia fno al punto più vicino alla palla e solo a quel punto tuffarsi. Infne, la terza opzione è percorrere per un certo tratto la battigia e tuffarsi nel punto D per raggiungere la palla. Quest'ultima opzione di solito permette di minimizzare il tempo, dal momento che dipende dalle velocità relative di corsa e di nuoto. Un tipo di problema come quello appena esposto è presente in ogni testo di analisi e la sua soluzione generale è la seguente. Poniamo r come la velocità di corsa e s la velocità di nuoto. Sia T  y  il tempo impiegato da Elvis per arrivare al punto B partendo dal punto C a y−metri di distanza dal punto A. Poniamo z come l'intera distanza dal punto A al punto C. Dal momento che il tempo = distanza/velocità, abbiamo T  y = z− y r   x 2 y2 s (1) Ora, quello che vogliamo trovare è il valore di y che minimizza T  y  . Questo succede quando la derivata di T nel punto y è uguale a 0, ovvero T '  y=0 . Risolvendo per T '  y=0 abbiamo y= x r / s1 r / s−1 (2) dove T è il minimo, avendo usato il test della derivata seconda. Come possiamo vedere dall'equazione, il tratto ottimale non dipende da z fntantoché z è più grande di y . Quindi, anche se il tratto dal punto A al punto C (cioè z ) fosse più grande o più piccolo, la soluzione ottimale sarebbe comunque quella di percorrerlo e poi tuffarsi nel lago perpendicolarmente alla posizione della palla. Inoltre, se rs non avremmo soluzione perché se la velocità di corsa fosse minore di quella di nuoto, di certo la soluzione ottimale sarebbe quella di 4 tuffarsi subito nel lago e raggiungere la palla. Inoltre, matematicamente r /s−1 darebbe un numero negativo e di conseguenza la sua radice ci darebbe come risultato un numero complesso, il che, parlando noi di grandezze reali, sarebbe un problema. Se invece r≫s , y è piccolo, e per r≈s , y è grande come ci si aspetterebbe. Quindi per un r e s fssati, y è proporzionale a x . Ora, tornando a Elvis, Pennings nota che giocando a palla il cane sceglie la terza strategia, vale a dire di tuffarsi nel lago al punto D. Sembra anche che y sia proporzionale ad x e , supponendo il matematico che il suo cane scelga il tratto ottimale, decide di verifcarlo prima calcolando i valori di r e s e poi controllando quanto la proporzione di y a x coincide con l'esatto valore fornito dal modello matematico. Pennings quindi, dopo aver cronometrato la velocità di corsa e di nuoto del cane, calcola la media delle volte in cui tali velocità raggiungono i risultati più alti e dall'equazione 2 ottiene la relazione di proporzione y=0.144x Per verifcare questo rapporto Pennings porta il suo cane al Lago Michigan in un giorno calmo in cui le onde sono minime. Fissa un nastro di 15 metri sulla spiaggia al punto C dove lui e Elvis si trovano nel momento in cui gli viene lanciata la palla. A questo punto Pennings lancia la palla, Elvis inizia a correre, Pennings lo segue e punta un cacciavite nella spiaggia esattamente nel punto in cui Elvis si tuffa in acqua al punto D. Successivamente prende il metro, lo tiene fermo al punto D e lo trascina laddove si trova la palla in acqua. In questo modo è in grado di misurare la distanza dalla palla alla riva, x , e la distanza y . Nel suo esperimento Pennings omette i casi in cui Elvis non sceglie la terza opzione e da un'analisi statistica dei dati si evince che il cane opta quasi sempre per la strategia ottimale. A Pennings sembra quindi chiaro che nella maggior parte dei casi Elvis sceglie un tratto che si avvicina a quello ottimale. Questo vuol dire forse che i cani conoscono il calcolo? 5 Sono state le pressioni selettive dell'evoluzione ad incorporare tale capacità nei cani, e in generale le capacità matematiche negli organismi, perché coloro che possiedono maggiori capacità di giudizio hanno maggiori possibilità di sopravvivenza. Perciò il calcolo del punto ottimale da cui tuffarsi non è effettuato dal cane, ma è stato effettuato dalla natura attraverso la selezione naturale. 2.2 Il ratto di Mechner e Guevrekian In un esperimento di Francis Mechner e Laurence Guevrekian sette ratti vengono destinati alla procedura di conteggio chiamata fxed consecutive number (FCN), e quattro alla procedura di coordinazione fxed minimum interval (FMI). Nella seconda procedura un ratto leggermente affamato viene rinchiuso in una gabbia dove si trovano due tasti A e B. Il tasto B è collegato ad un dispositivo meccanico che fornisce una piccola razione di cibo che può essere ottenuta non premendo immediatamente il tasto B bensì un serie di volte il tasto A e solo dopo il tasto B. Al ratto viene richiesto di premere il tasto A e aspettare un minimo di cinque secondi prima di premere il tasto B. Nella procedura FCN invece ad un altro ratto viene richiesto di premere un minimo di quattro volte il tasto A prima di premere il tasto B. Se infatti il ratto preme troppo presto il tasto B, riceve una punizione, come l'assenza di luce per qualche secondo o l'azzeramento del contatore del tasto A, in modo da essere costretto a ricominciare dall'inizio le pressioni sul tasto. I ratti scoprono incidentalmente che il cibo compare dopo aver premuto una serie di volte il tasto A e una volta sola il tasto B. Per quanto riguarda la procedura FMI vengono esaminate la media dell'intervallo di tempo che il ratto effettivamente attende tra la pressione del tasto A e la pressione del tasto B (normalmente molto vicina ai cinque secondi richiesti); la deviazioni standard della distribuzione dei tempi di attesa (di solito circa un decimo della media del tempo d'attesa) e la media del rafforzamento dopo la pausa, misurata dalla fne del rafforzamento del tasto A. Per quanto concerne invece la procedura FCN vengono esaminati il numero delle pressioni consecutive del tasto A effettuate prima della pressione del tasto B; la deviazione standard della 6 deviazione di tale media (circa il 20 per cento); la media della durata delle pressioni, defnita come il tempo intercorso tra la prima pressione del tasto A e e la pressione del successivo tasto B con conseguente misura della deviazione standard di tali durate (solitamente tra il 30 e il 50 per cento della media della durata totale) e infne la media del rafforzamento dopo la pausa, defnita come il tempo dalla fne del rafforzamento del tasto A. L'esperimento mostra come poco a poco la valutazione dei ratti si raffni in modo tale da permettergli di agire razionalmente premendo il tasto A il numero di volte che viene prescelto dallo sperimentatore. I ratti a cui viene chiesto di premerlo quattro volte, lo premono circa quattro volte e via di seguito. L'esperimento ha mostrato che i ratti spesso premono il tasto A più di quanto sia necessario e gli studiosi sostengono che questo può essere ritenuto un comportamento essenzialmente razionale: dal momento che la pressione immediata sul tasto B genera una punizione, il ratto preferisce evitare di correre qualsiasi rischio premendo A più del dovuto. L'aritmetica nel mondo animale è una facoltà molto diffusa perché il vantaggio selettivo che ne consegue è palese: il ratto che ricorda che il suo cunicolo è il quarto a sinistra si aggirerà con più facilità nel labirinto che gli funge da riparo, lo scoiattolo che riconosce che sull'albero di nocciolo ci sono due frutti su un ramo e tre sull'altro avrà più possibilità di sopravvivere all'inverno. Oggi sappiamo che non solo i ratti prestano attenzione a quantità numeriche di qualsiasi tipo, ma anche che i procioni scelgono tra diverse scatole trasparenti quella che contiene tre chicchi d'uva invece di quella che ne contiene solo due, e i piccioni, in determinate circostanze, sono in grado di distinguere quarantacinque loro colpi di becco da cinquanta. 2.3 Il cioccolato di Sarah Guy Woodruff e David Premack, due ricercatori dell'Università della Pennsylvania sostengono che lo studio del ragionamento quantitativo negli animali è stato viziato sia da errori metodologici sia da errori concettuali dovuti al considerare forme di ragionamento quantitativo che non 7 riguardino esclusivamente l'apparato numerico. Un approccio al ragionamento matematico secondo loro può trarre vantaggio sia dallo studio della proporzione, quantità continua, sia da quello del numero, quantità discreta. In un esperimento relativo alle loro ricerche Woodruff e Premack testano la conoscenza della proporzione e del numero di uno scimpanzé adulto e tre giovani, mostrando la loro capacità di addizionare cifre semplici. Mentre gli scimpanzé giovani falliscono nell'impresa, lo scimpanzé adulto riesce con successo. Mediante la procedura di discriminazione condizionale del match-tosample, al soggetto viene richiesto di scegliere da un insieme di due uno stimolo che è identico all'altro per la stessa specifca dimensione. Sarah viene messa davanti a due vassoi sui quali sono sistemati alcuni mucchietti di cioccolato. Sul primo vassoio ci sono due mucchietti, uno di cinque pezzi e uno di un pezzo soltanto, sul secondo ce ne sono uno da tre e uno da quattro pezzi. Lo scimpanzé, senza che sia stato prima addestrato, si impadronisce del vassoio che contiene più pezzi, ovvero il secondo. Sarah quindi, deve aver calcolato il totale dei pezzi del primo vassoio (5 + 1 = 6) e il totale di quelli del secondo (3 + 4 = 7). Se Sarah non avesse eseguito il calcolo, ma avesse scelto il mucchietto più grosso, ovvero quello da cinque pezzi del primo vassoio, si sarebbe ingannata perché avrebbe scelto il vassoio il cui mucchio era apparentemente più ricco, ma in realtà con minor numero di pezzi di cioccolato. A questo punto i due ricercatori si domandano: è possibile che le capacità di Sarah non si basino sui concetti di numero e proporzione, ma semplicemente avendo imparato ad associare semplici particolari e alternative? Per valutare questa possibilità Woodruff e Premack esaminano le sue scelte su 16 tentativi. Sarah ha scelto correttamente in 8/8 tentativi di proporzionalità e in 8/8 tentativi di numerosità. Questi dati escludono che Sarah abbia imparato a scegliere solamente imparando corrette alternative e sulla base del fatto che ha mostrato una signifcativa continuità di risposte corrette si può inferire che Sarah abbia combinato gli stimoli con la base della proporzionalità e numerosità. Ma quali meccanismi usa lo scimpanzé nell'emettere giudizi 8 quantitativi? Si può concludere che questi sono uguali a quelli utilizzati dagli umani? Sebbene i giudizi riguardo piccole numerosità come quelle usate nell'esperimento siano attribuibili al subitizing – ovvero ad un giudizio di numero veloce, esatto e sicuro effettuato per un piccolo numero di articoli – i bambini sanno contare ad un'età precedente a quella supposta. Spesso contano con una serie come 2, 6, 4 che non è ordinata in corrispondenza 1:1 con gli oggetti contati e usati con la regola di cardinalità. Vale a dire che l'uso dei bambini piccoli di, per esempio, '2, 6, 4' può essere corretto come l'uso di '1, 2, 3' dei bambini più grandi. Non c'è prova comparabile per la scimmia, e sebbene si possa concludere che la scimmia sembri contare gli studiosi affermano che inora non è stato ottenuto niente di più. 2.4 Gli animali non contano come noi Un'osservazione interessante relativamente all'esperimento appena citato riguarda il fatto che sebbene lo scimpanzé sia in grado di eseguire calcoli semplici su frazioni concrete, le sue operazioni non sono prive di errori. Quando le grandezze da confrontare sono abbastanza distanti, come due e sei, lo scimpanzé sbaglia raramente e sceglie la più grande. Quando invece le due distanze sono piuttosto vicine, come tre e cinque, le capacità di valutazione dell'animale peggiorano fno a che, a distanza di una sola unità, soltanto due risposte su tre sono esatte. Anche il ratto dopo un lungo addestramento ancora non è capace di premere esattamente quattro volte su un tasto, ma cinque o sei. Questa variazione del tasso di errore in funzione della differenza numerica e della grandezza del numero può fornire forse delle indicazioni sulla rappresentazione mentale utilizzata degli animali. All'aumentare del verifcarsi di errori proporzionalmente alla differenza numerica, ovvero l'«effetto distanza» si aggiunge l'«effetto grandezza», vale a dire il peggioramento dell'abilità numerica in conseguenza dell'aumento della grandezza dei numeri. Questi due effetti mostrano che gli animali non possiedono una rappresentazione discreta dei numeri, ma soltanto di quantità approssimative, vale a dire che «l'inesattezza crescente rende questi animali quasi ciechi davanti a 9 fnezze aritmetiche come la differenza tra 49 e 50» (Dehaene 1999 p. 29). 3. Contare a pochi mesi 3.1 Il palco di Topolino Non solo gli animali hanno capacità matematiche innate, ma anche gli esseri umani. Karen Wynn, psicologa docente all'Università di Yale, sostiene che i bambini sono in grado di distinguere tra differenti insiemi di pochi oggetti e che questo può indicare il possesso di veri concetti numerici. Alternativamente, è proprio la discriminazione percettiva che può sottolineare il possesso di tali abilità. Questo discorso ovviamente porta la discussione sulla natura del processo della subitization, l'abilità di quantifcare piccoli numeri di oggetti senza un consapevole processo del contare. Il processo di subitization può riguardare identifcazioni olistiche di modelli percettivi canonici oppure può invece essere un processo iterativo del contare che specifca queste relazioni numeriche. Nel suo esperimento Karen Wynn mostra come un neonato di cinque mesi, dato un calcolo 1+1, si aspetti un risultato numerico preciso come 2. Questo risultato secondo Wynn può indicare che i neonati possiedono veri concetti matematici e suggerisce che gli esseri umani possiedono abilità aritmetiche innate. Inoltre suggerisce anche che la subitization è un processo che codifca informazioni ordinali e non processi di riconoscimento di modelli che producono percezioni non numeriche. Durante l'esperimento, trentadue bambini con un'età media di cinque mesi vengono divisi casualmente per formare due gruppi, il gruppo '1 + 1' e il gruppo '2 – 1'. I bambini facenti parte del primo gruppo vengono introdotti in un laboratorio in cui è stato sistemato un teatrino di marionette dotato di uno schermo mobile. La mano di uno degli sperimentatori pone al centro della scena un pupazzo che ha le sembianze di Topolino. A questo punto lo schermo si alza fno a coprire Topolino e la mano dello sperimentatore pone dietro lo schermo un secondo Topolino identico al primo per poi ritirarsi, vuota. Questa scena rappresenta, in gesti concreti, l'addizione 1 + 1. All'inizio viene introdotto un Topolino e poi ne viene inserito un altro. Il bambino tuttavia 10 non ha mai visto i due Topolini insieme, ma sempre uno per volta, e può chiaramente vedere la natura delle operazioni aritmetiche eseguite senza tuttavia vedere il risultato di queste ultime. Avrà intuito che dietro lo schermo ci sono due pupazzi? Ai bambini del secondo gruppo viene mostrata una sequenza simile che rappresenta una sottrazione di un oggetto da un insieme di due. Ad entrambi i gruppi dopo la sequenza di eventi lo schermo viene abbassato rivelando il risultato. Per quanto riguarda i bambini del gruppo '1 + 1', quando questo accade, ai loro occhi si presenta un risultato inatteso: sulla scena c'è un solo Topolino. Senza che il bambino se ne accorgesse un Topolino è stato tolto utilizzando una botola nascosta. Per misurare il grado di sorpresa viene misurato il tempo trascorso a fssare una scena come quella appena descritta e confrontando questo tempo con quello impiegato dal bambino ad osservare il risultato atteso (cioè 1 + 1 = 2) si è constatato che il bambino osserva più a lungo l'addizione errata (1 + 1 = 1) rispetto a quella corretta (1 + 1 = 2 ). I bambini osservano più a lungo eventi inaspettati piuttosto che risultati attesi quindi, se fossero capaci di calcolare i risultati numerici di queste operazioni, dovrebbero osservare più a lungo i risultati scorretti rispetto a quelli corretti. I due gruppi dovrebbero rispondere differentemente ai risultati che implicano 1 e 2 oggetti: il gruppo '2 – 1' dovrebbe guardare più a lungo rispetto al gruppo '1 + 1' quando il risultato sia 2 invece che 1, che è proprio quello che è stato mostrato nell'esperimento. Nel gruppo '1 + 1' i bambini osservano più a lungo il risultato scorretto, (1), e il gruppo '2 – 1' osserva più a lungo il risultato sbagliato, (2). L'esperimento viene successivamente ripetuto con altri 16 soggetti con un'età che varia dai 4 mesi e 18 giorni ai 5 mesi e 5 giorni ed è stato ottenuto lo stesso risultato. Wynn sostiene che questi dati mostrano che i neonati sanno calcolare il risultato di un'addizione e una sottrazione in base al numero di oggetti. Ma i risultati sono anche compatibili con due diverse ipotesi: i) che i neonati sono capaci di calcolare risultati da semplici addizioni e sottrazioni, ii) e che hanno delle aspettative rispetto al risultato delle operazioni aritmetiche rispetto 11 ai loro cambiamenti, ma non riguardo alla grandezza o direzione di tale cambiamento. I neonati potrebbero aspettarsi che addizionando un oggetto ad un altro il risultato non sia 1; e che sottraendo un oggetto da un insieme di 2 il risultato non sia 2. Per determinare se i neonati hanno l'abilità di calcolare precisi risultati da semplici operazioni aritmetiche, Wynn conduce un terzo esperimento. Quest'ultimo viene eseguito su 16 neonati con un'età che varia dai 4 mesi e 4 giorni ai 5 mesi, ai quali viene fatto mostrare un'addizione '1 + 1' come nell'esperimento precedente, eccetto per il fatto che il risultato fnale rivelato dall'abbassamento dello schermo è 2 oppure 3. In entrambi i casi il risultato è numericamente differente dal numero iniziale di oggetti. Ora, se i neonati sono in grado di calcolare il risultato esatto dell'addizione, ci si deve aspettare che essi guardino più a lungo il risultato di 3 oggetti piuttosto che di 2, ed è proprio quello che è stato osservato nell'esperimento. I risultati dei tre esperimenti quindi mostrano che i neonati sono in grado di calcolare risultati precisi da semplici operazioni aritmetiche. Wynn osserva però che c'è un'altra spiegazione alternativa al successo dei neonati negli esperimenti. I neonati infatti potrebbero star calcolando i risultati delle addizioni o sottrazioni non da un numero discreto di oggetti, bensì da da un insieme continuo di sostanze fsiche; i neonati potrebbero possedere un'abilità di misurare e operare su quantità continue. Tuttavia ci sono delle ragioni per cui si tende a preferire la prima ipotesi. In studi precedenti è stato mostrato che i neonati sono sensibili a piccoli cambiamenti numerici, mentre non ci sono prove di una sensibilità di cambiamenti numerici rispetto ad insieme di sostanze fsiche.I neonati hanno una predisposizione nell'interpretare il mondo fsico come composto da entità discrete e individuali quando percepiscono schemi fsici e rappresentano precisi luoghi spaziali e traiettorie di oggetti individuali in relazione agli altri. Quindi la nozione di entità individuale ricopre un ruolo chiave nella concettualizzazione e rappresentazione dei neonati del mondo fsico. Questo, unita alla sensibilità a piccoli cambiamenti numerici di collezioni di oggetti, suffraga l'ipotesi secondo cui i neonati possiedono un meccanismo per quantifcare collezioni di entità discrete. La spiegazione più plausibile per i risultati conseguiti in 12 questi esperimenti è, secondo Wynn, ancora una volta il fatto che i neonati sappiano calcolare risultati di semplici operazioni aritmetiche. La conclusione di Wynn è quindi che «i neonati possiedono veri concetti numerici – essi hanno accesso a relazioni numeriche tra piccoli numeri – e possono manipolare tali concetti in modo numericamente signifcativo. Questo indica che i processi mentali che danno origine a questi concetti sottendono ad output che codifcano relazioni numeriche e non percezioni olistiche derivate da processi di riconoscimento di modelli. L'esistenza di tali abilità numeriche così precoci nei neonati suggerisce inoltre che gli esseri umani possiedono innatamente capacità di eseguire semplici calcoli aritmetici che possono fornire le fondamenta per uno sviluppo di conoscenze matematiche successive» (Wynn 1992. p. 750). 4. Conclusioni: la nozione di 'contare' 4.1 Una possibile obiezione La nostra visione del mondo si basa su una rappresentazione che abbiamo di esso. Ciò che noi asseriamo come risultato di un esperimento condotto su alcune specie di animali non è altro che una nostra interpretazione di ciò che vediamo. Prendendo come esempio il caso dello scimpanzé che preferisce il mucchietto di cioccolato più numeroso rispetto all'altro, si potrebbe pensare che non possiamo affermare con sicurezza la capacità dello scimpanzé di saper contare né che la ragione per cui quest'ultimo sceglie il mucchietto di cioccolato sia perché è consapevole del fatto che è più cospicuo. La sua decisione potrebbe essere motivata dal fatto che il mucchietto più grande di cioccolato emana un particolare odore che è più intenso rispetto a quello emanato dal mucchietto meno numeroso. Potrebbe essere per tale ragione che lo scimpanzé sceglie di impossessarsi di più cioccolato e non perché egli riesce effettivamente a contare. La scelta potrebbe essere determinata anche da una motivazione di cui non siamo a conoscenza, motivazione che potrebbe non corrispondere a quella che gli psicologi sostengono. 13 Si potrebbe quindi credere che non avendo la controprova diretta delle ragioni per cui il cervello dello scimpanzé agisce, le nostre conclusioni tratte dai risultati degli esperimenti si riducono a mere supposizioni. Si potrebbe quindi concludere che non possiamo sostenere alcuna affermazione che abbia un certo grado di certezza e di corrispondenza con quella che chiamiamo realtà riguardo agli animali, perché qualunque fosse l'ipotesi che sosteniamo sulla motivazione delle loro azioni, essa rientrerebbe sempre nello schema di rappresentazione che abbiamo del nostro mondo, che potrebbe non solo non corrispondere a quello degli animali, in questo caso dello scimpanzé, ma anche non aderire a ciò che il nostro mondo è realmente. 4.2 Gli errori di Piaget Un esempio storico di ciò che è appena stato detto si può ritrovare nel caso degli esperimenti di Jean Piaget secondo cui al momento della nascita il cervello sarebbe una pagina bianca, priva di qualsiasi conoscenza astratta e il bambino piccolo non avrebbe alcuna cognizione dell'aritmetica. Nei primi anni di vita il bambino sperimenta una relazione detta 'senso motoria' con l'ambiente circostante in cui vive, e che esplora fno a non poter non notare alcune regolarità, come per esempio il fatto che due oggetti quando si scontrano non si compenetrano mai. È essendo guidato da queste scoperte che il bambino si costruisce delle rappresentazioni mentali astratte del mondo in cui si muove. Secondo Piaget e i suoi colleghi quindi, la nozione di numero si costruisce sulla base di interazioni senso-motorie con l'ambiente prima della quale il bambino non ha alcuna idea aritmetica preconcetta. A suffragare queste tesi Piaget e i suoi collaboratori architettano numerosi esperimenti. Se si nasconde un giocattolo sotto un panno, il bambino che ha meno di dieci mesi sembra ignorare che il giocattolo esiste ancora. Questa «non permanenza dell'oggetto», per citare Piaget, dimostra che il bambino non sa molto del mondo in cui si trova. Non sa che gli oggetti non cessano di esistere se nascosti sotto un panno, cosa mai potrebbe sapere del loro numero? 14 Un altro esperimento è quello che consiste nel disporre un certo numero di bottiglie in fla, separate l'una dall'altra, e appena sotto tale fla disporre lo stesso numero di bicchieri con uguale distanza tra loro. Se si chiede ad un bambino se ci siano più bottiglie o più bicchieri risponderà che «ce ne sono lo stesso», ma se si dispone la fla delle bottiglie in modo che queste siano più distanziate tra loro e che la loro fla oltrepassi quella dei bicchieri, lasciandone il numero invariato, e gli si ripete la domanda, risponderà che ci sono più bottiglie che bicchieri. Secondo Piaget questo indica che il parere del bambino si basa unicamente sulla corrispondenza tra le due fle e non si rendono conto che il numero degli oggetti non cambia al variare della loro disposizione. Oggi, grazie ai due scienziati J. Mehler e T. Bever sappiamo che gli esperimenti di Piaget sono viziati dal fatto che la prova consiste in un dialogo. Nel 1967 Mehler e Bever mostrano che i risultati dell'esperimento delle bottiglie muta a seconda del contesto e della motivazione dei bambini. I due scienziati riproducono lo stesso esperimento di Piaget disponendo due fle di biglie: la prima con sei biglie, e la seconda con quattro biglie distanziate in modo tale che la loro fla sembri più lunga della precedente. Il fattore che fa la differenza è che i due studiosi invece che utilizzare bottiglie e biglie, le sostituiscono con delle caramelle, e invece di porre domande ai bambini, permettono semplicemente loro di scegliere una delle due fle e mangiarne le caramelle. Eliminando così le diffcoltà risultanti dall'utilizzo del linguaggio si nota che un numero sempre maggiore di bambini sceglie e si impossessa della fla contenente più caramelle. Le teorie di Piaget hanno dominato a lungo sulla scena della psicologia cognitiva eppure sono bastati pochi anni per far sì che venissero radicalmente rivoluzionate e confutate. Considerando quindi gli studi di Francis Mechner, G. Woodruff e David Premack potrebbe venire naturale pensare che anche per quanto riguarda tali esperimenti potrebbero sorgere delle contraddizioni per cui dovranno essere abbandonati e rimpiazzati con altri più plausibili. Sebbene però si possa sostenere che non si può affermare con certezza che questi risultati sperimentali dimostrino la capacità 15 matematiche di bambini e animali dal momento che le conclusioni sono suscettibili di revisione, sembra tuttavia ingiustifcata un'obiezione del genere. Tale obiezione infatti se sostenuta coerentemente potrebbe essere anche applicata agli esseri umani che ci circondano e porterebbe alla paradossale conclusione che neanche di questi ultimi possiamo affermare con certezza che sappiano contare, dal momento che non siamo nella loro mente. 4.3 Il diffcile compito della defnizione della nozione di 'contare': la tesi di ChurchTuring Che cosa vuol dire allora, contare? Stanislas Dehaene sostiene che «gli animali sanno contare» e defnisce tale concetto come la capacita' di «aumentare un un contatore interno ogniqualvolta si verifca un evento esterno» (Dehaene 1999, p. 36). Questa defnizione però è insoddisfacente perché di natura troppo interna e soggettiva. Occorrerebbe trovarne un'altra non così introspettiva, ma empiricamente valutabile. Occorrerebbe trovare una defnizione, in sostanza, che fosse operativa. Si potrebbe defnire il contare come "enumerare in successione", nel qual caso non si potrebbe affermare che gli animali sappiano contare dal momento che non enunciano consapevolmente e esplicitamente una successione di numeri. Ma è davvero l'enumerazione in successione che defnisce l'azione del contare? Che dire dei bambini che non contano esplicitamente, me sembrano tuttavia distinguere l'ordine di un insieme di oggetti? È la defnizione del concetto di 'contare' che deve essere rivista, oppure sono i bambini a non possedere tale abilità? Lo stesso discorso potrebbe valere per un'altra defnizione che vede il 'contare' come "l'azione che consiste nel trovare il numero di elementi di un insieme fnito di oggetti." Gli animali, come anche i bambini, non contano mai esplicitamente, e se adottiamo tale defnizione non possiamo sostenere che lo facciano. 16 Come possiamo vedere, la ricerca di una defnizione operativa e obiettiva della nozione di 'contare' non è affatto facile come potrebbe sembrare inizialmente perché qualunque defnizione diamo sembra poco calzante, parziale oppure incompleta. Questa inadeguatezza non è solo un'impressione, ma una reale mancanza dovuta al fatto che abbiamo un'idea vaga, intuitiva della nozione di contare che in passato non è mai stata defnita rigorosamente e formalmente. Un esempio storico di questo, che suffraga l'affermazione precedente, è costituito dalla tesi di Church-Turing. Quest'ultima rappresenta il tentativo più noto del XX secolo per colmare tale lacuna ed è un'ipotesi riguardo la natura delle funzioni effettivamente calcolabili che afferma che tutto ciò che è computabile è computabile da una macchina di Turing. La vera questione in sostanza, consiste nel tentativo di riuscire a capire se una macchina di Turing codifca in concetto intuitivo di algoritmo come metodo effettivo. A questo proposito nel 1936 il matematico americano Alonzo Church e il matematico inglese Stephen Kleene provano indipendentemente a costruire un predicato che formalizzi il concetto intuitivo di una funzione che possa essere calcolata mediante un metodo effettivo. L'intento di Church è quello di generare un metodo per defnire funzioni chiamatoλ-calcolo, ed insieme a Kleene e al logico J. B. Rosser formulare una defnizione formale di una classe di funzioni i cui valori possano essere calcolati mediante la ricorsione. Proprio nello stesso periodo Turing sviluppa un modello teorico per una macchina, ora chiamata 'macchina di Turing', che è in grado effettuare calcoli da input. La tesi di Church-Turing è relata all'Entscheidungsproblem del matematico David Hilbert che investiga l'esistenza di una procedura meccanica per distinguere le verità dalle falsità matematiche. Durante lo studio del problema, Church e Kleene introducono la nozione diλ-defnibile per dimostrare che numerose classi di funzioni incontrate di frequente nella teoria dei numeri sono λ-defnibili. 17 Insieme al λ-calcolo e la ricorsione generale, Kleene, con l'aiuto di Church e di Rosser. produce dimostrazioni dal 1933 al 1935 per provare che i due calcoli sono equivalenti e risolvere il problema, ma sfortunatamente nel 1936 Church dimostra che l'Entscheidungsproblem è irrisolvibile, vale a dire che non esiste un generale algoritmo effettivo che determini se una formula è valida sia nel λ-calcolo sia nella ricorsione. La tesi di Church-Turing non può quindi essere dimostrata perché le sue premesse , la nozione di effettiva calcolabilità di una funzione o effettiva decidibilità di un predicato, «è qualcosa di vago e intuitivo» (Kleene 1952, p. 317) e rimane dunque solo un'ipotesi. Non si può quindi affermare con rigore che dagli esperimenti mostrati precedentemente i bambini piccoli e gli animali sanno contare proprio perché una defnizione formale ed esaustiva di tale nozione non è stata mai fornita, e risulterebbe diffcile affermare che i bambini e gli animali sappiano contare senza avere prima a disposizione una defnizione solida del concetto. In questo caso assistiamo sfortunatamente ad un problema squisitamente concettuale che investe l'ambito operativo di qualunque tipo di conclusione si possa inferire sulle capacità degli animali e i bambini di saper contare. BIBLIOGRAFIA Cellucci, C. (2008). Perché ancora la flosofa. Roma-Bari: Laterza. Cellucci, C. (2009). 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