GEOMETRlA Y ALTERIDAD EN KANT MARfA INES Cocco y EDUARDO DANIEL DIB UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES ARGENTINA Introducci6n En su juventud, y con anterioridad al desarrollo de la filosofia critica, Kant manifest6 su entusiasmo por una geometria de todos los tipos posibles de espacio, y no s610 del espacio conocido. Como esos tipos de espacio Kant los referia cada uno a un mundo posible, 1 distinto, es razonable perisar que la "geometria suprema'} como Kant la denomin6, en realidad era el nombre generico para un conjunto de geometrias diversas que describen espacios igualmente diversos. Entre ese conjunto generico se encuentra la geometria de Euc1ides, y cabe preguntarse si esta es la tinica especie conocida por nosotros. lAcaso entre las otras geometrias no podrian encontrarse las que hoy conocemos como no euc1fdeas, desarrolladas por Gauss, Bolyai-Lobachevsky y Riemann? Creemos que no es asi, y es 10 que nos proponemos mostrar en este trabajo. Sostendremos, por 10tanto, la distinci6n entre las denominaciones "otras geometrias" y "geometrias no euc1ideas" y desarrollaremos la incompatibilidad entre ambas tal como esta se sigue de los textos de Kant. Intentaremos asimismo una caracterizaci6n de las "otras geometrias" con base en la noci6n de "espacio habitado", por nosotros ... 0 por otros, por los posibles habitantes de otros universos 0 de otras regiones de este mismo. Asi, las "otras geometrias" quiza podrian ser comprendidas mejor si las vieramos como geometrias de los otros (0 de la alteridad), que si las tratamos de confundir con las geometrias no euc1ideas. Finalmente, expondremos la vinculaci6n de la alteridad con la noci6n de "n6umeno". Desarrollaremos nuestro tema en cuatro secciones, comentando los textos siguientes: en la primera secci6n, Pensamientos sobre la verdadera estimaci6n de las Juerzas vivas; en la segunda, Sobre el Jundamento primero de 1 En sentido leibniziano. 2 "Die hochste Geometrie". 138 MARiA INES COCCO Y EDUARDO DANIEL D1B la diferenda entre las regiones del espacio, mas conocido como el Articulo del '68; en la tercera, la Critica de la raz6n pura; yen la cuarta, Historia general de la naturaleza y teoria del cielo. En la secci6n 1veremos que Kant creia en la posibilidad de otros universos con prapiedades espaciales distintas de las del universo actual. Esta posibilidad determina la noci6n de alteridad en el Kant precritico. Las propiedades mencionadas no parecen identificables con las propiedades descritas por las geometrias no euclideas. Tempranamente la alteridad, en 10 referido al espacio, aparece como plenamente posible, aunque tambien como dificilmente cognoscible desde el punto de vista de la situaci6n humana. En la secci6n 2 nos detenemos a considerar el Articulo del '68. Encontramos que nada aporta a la confrontaci6n de las "otras geometrias" de Kant con las geometrias no euclideas, asi como tam poco hace contribuci6n alguna al tema de la alteridad. Esta constataci6n es necesaria dada la importancia del articulo como referente infaltable en la caracterizaci6n de la doctrina precritica del espacio. En la secci6n 3 encontramos que la filosofia critica s610 suministra bases para concebir el espacio segun la geometria de Euclides. Pero tarnbien queda sugerida la posibilidad de otros seres racionales para los cuales las condiciones a priori de la sensibilidad poseerian una estructura diferente, posibilidad que establece el tema de alteridad en la Critica. En la secci6n 4 descubrimos que Kant consideraba la existencia de otros seres racionales mas bien una posibilidad real que una mera posibilidad 16gica,10cual, conociendo la importancia de la distinci6n entre ambos tipos de posibilidad, corrobora la relevancia que tiene el tema de la alteridad en el contexto de la filosofia kantiana. 1. Pensamientos sobre la verdadera estimaci6n de las Juerzas vivas En esta obra, Kant conjetura que las "propiedades de la extension" (0 sea, del espacio) tienen un fundamento, y que este es la ley de gravitaci6n universal, que afirma que la fuerza de atraccion entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente praporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta concepci6n imp liea la prioridad onto16gica y causativa de las cosas sobre el espacio. las sustancias en el universe [... J del cual formamos parte tienen fuerzas esenciales [... J sus acciones se propagan [... J en proporcion inversa al cuadrado de las distancias [... J el todo resultante tiene [... J la propiedad de la tridimensionalidad. [... J esta ley es arbitraria y [... J Dios hubiera podido elegir otra [... J de otra ley se habria derivado una extension de otras propiedades y dimensiones. GEOMETRIA Y ALTERIDAD EN KANT 139 Una ciencia de todas estas posibles clases de espacios seria [... J la mas alta geometria abordable por un entendimiento finite." Se infiere de 10anterior que son posibles otras geometrias, cada una correspondiendo a cada tipo diferente de espacio." Sin embargo, hay motivos para pensar que estas "otras geometrias" no pueden ser las actuales geometnas no euclideas. Si todas las "propiedades de la extensi6n" dependen de la misma ley de atracci6n, entonces no seria posible pensar una ley distinta sin cambiar todas las propiedades simultaneamente, Todas las propiedades del espacio dependen causativamene de la ley de gravitaci6n con exclusividad. Modificando esa causa unica, necesariamente se modificarian todos los efectos (las distintas propiedades del espacio) que depend en de ella simultaneamente. 0 sea, la dimensionalidad y las "otras propiedades" estarian necesariamente coordinadas entre sf y no seria posible mantener constante a una de ellas mientras se varian las otras. Asi, no seria concebible un espacio con tres dimensiones, como el nuestro, pero con otras propiedades metricas, De esto ultimo es precisamente de 10 que tratan las geometrias de Riemann y Lobachevsky. Las propiedades metricas son relaciones entre las medidas que caracterizan a los objetos geometricos. Una metrica determinada define el sistema de relaciones cuantitativas que caracteriza a una geometria dada. Las relaciones se expresan en ecuaciones y el sistema formado por las mismas, 10 que llamamos metrica, constituye un calculo. En la geometria de Euclides, la suma de los angulos internos de un triangulo de lados rectos es siempre igual a 180°. Esta es una relaci6n fija entre objetos geornetricos expresada en forma de ecuaci6n. Es un ejemplo particular de propiedad metrica. En la geometria de Riemann dicha suma es siempre mayor que 180°, yen la de Bolyai-Lobachevsky es siempre menor que 180°. Las tres geometrias admiten modelos de n dimensiones, incluyendo el espacio tridimensional, 0 sea, que Riemann describia un espacio de tres dimensiones donde los angulos internos de un triangulo sumaban mas de 180°, YLobachevsky describia otro espacio tridimensional donde dichos angulos sumaban menos de 180°. Esto pone un ejemplo de 10que significa un espacio de tres dimensiones con propiedades metricas distintas de las del nuestro: un espacio donde la suma de los angulos internos de un triangulo de lados rectos es siempre diferente de 180°. Este argumento, que establece la diferencia entre las "otras geometrias" de Kant y las geometrias no euclideas, quedaria invalidado si fueran conce3 1. Kant, Pensamientos sobre la verdadera estimaci6n de lasfuerzas vivas, no. 10, pp. 35-36. (Las cursivas son nuestras.) 4 R. G6mez, "Kant, 1747lfil6sofo no euC\ideano?", p. 169. 140 MARiA INES COCCO Y EDUARDO DANIEL DlB bibles otros mundos posibles donde la causa de las propiedades espaciales no fuera la ley de atraccion. Pero Kant en 1747 profesaba la fe de Leibniz en la monadologfa.? y concebia los mundos posibles como formados de sustancias simples (0 sea, monadas) y sus enlaces mutuos. La diferencia con Leibniz es que los cambios en las sustancias no se piensan con respecto a una "arrnonia preestablecida", sino con respecto a la "fuerza activa" propia de cada sustancia. No existiria mundo alguno si esta fuerza no fuera operante: no se puede decir que algo sea parte de un todo si no esta enlazado de algun modo con las partes restantes [... J el universo es un ser [... J compuesto, ... 6 Es facil probar que no habria espacio ni extensi6n si las sustancias estuviesen desprovistas de fuerza para actuar fuera de si, Porque sin esta fuerza no hay enlace alguno; sin este tampoco orden y [... J sin este, tampoco espacio.? La fuerza con que actua una sustancia al asociarse a otras no puede concebirse sin una ley que se manifieste en la forma de su accion." Asi, no podemos concebir otros mundos sino como compuestos de rnonadas que interactiian desde una fuerza que es su componente esencial y cuya ley de accion determina el espacio y sus propiedades. Otras veces.? Kant se refiere iinicamente a "otras dimensiones" e ignora las "otras propiedades". Si suponemos que estas permanecen invariables, obtendriamos una serie de espacios euclideanos n dimensionales.l? Esta interpretacion no resultaria congruente con las otras secciones que ya analizamos. Por 10 tanto, conviene desecharla. Ya que esta secci6n particular nada dice acerca de las "otras propiedades", no es necesario suponer las mismas invariables. Aunque Kant no 10 indica explicitamente, podriamos preguntarnos si seria congruente con su doctrina hablar de espacios que compartan la misma dimensionalidad, pero con distintas propiedades metricas. Pensamos que no 10 seria. Kant piensa las "otras geometrias" en terminos de mundos 0 universos radicalmente separados. Lo unico que garantiza esa separacion con fuerza de necesidad es la diferencia en el mimero de 5 Cfr. en particular, I.Kant, Pensamientos sobre la verdadera estimaci6n de lasfuerzas vivas, nos. 1 y 2. Esta concepci6n tarnbien esta desarrollada en su obra de 1756, titulada precisamente la Monadolog{afisica. 6 I. Kant, Pensamientos sabre la verdadera estimaci6n de las fuerzas vivas, no. 8, p. 33. 7 lbid., no.9, p. 34. 8 lbid., no. 10, p. 35. 9 "Si es posible que haya extensiones de otras dimensiones, tambien es muy probable que Dios las haya puesto en alguna parte ... " (Ibid., p. 36 [las cursivas son nuestras].) 10 "Es razonable suponer que la 'geometria suprema' en que Kant piensa no es sino una geometria euclideana de n dimensiones" CR.Torretti, Kant, n. 277, p. 190). GEOMETRIA Y ALTERIDAD EN KANT 141 dimensiones. Por 10 tanto, debe haber un solo universo de n dimensiones, pues si hubiera mas, la separacion entre ellos no seria necesaria. II Tampoco sena posible que se diera la diversidad de propiedades dentro de un mismo universo, porque la ley de atraccion es una caracterlstica esencial, 0 sea universal, de la sustancia. Dicha universalidad garantiza la homogeneidad del espacio. Asimismo, todo espacio de tres dimensiones tend ria las mismas propiedades que el que conocemos, ya que la ley de gravitacion que 10 cause debera ser identica a nuestra ley de Newton, y como de causas iguales se siguen efectos iguales, esta ley de gravitacion causara que las otras propiedades tarnbien sean iguales a las del espacio que conocemos. No hay indicios de que por "otras propiedades" Kant se refiriera espedficamente a propiedades metricas, Probable mente se referia a cualquier propiedad imaginable, y simplemente ni siquiera intento determinarlas, quedando la alusion como una simple sugerencia. Asi vemos que Kant careda de las distinciones necesarias para aludir a la posibilidad de las geometrias no euclideas que hoy conocemos. Pero, adernas, vimos que la rigidez con que deberian ir coordinadas las propiedades espaciales de cada mundo probable elimina directamente dicha posibilidad. Resumiendo: cada mundo esta caracterizado por su ley de atraccion particular que determina sus propiedades especificas, y esta separado de los otros mundos pues todos poseen distinto numero de dimensiones. Las "otras geometrias" de Kant probable mente solo quepa imaginarlas como la radical alteridad de otro universo. 2. Sabre el fundamenta primero de Ia diferencia entre las regianes del espacia Aqui, la cuestion de la prioridad ontologica entre el espacio y las cosas recibe un tratamiento distinto y una respuesta opuesta a la que tuviera en las Fuerzas vivas.12 El espacio precede a las cosas yen el anal isis que Ie permite establecerlo Kant apela ados propiedades topologicas del espacio: la dimensionalidad y 11 "Porque de ser posible solamente el espacio tridimensional, los otros universos situ ados fuera del que habitamos podrian relacionarse en el espacio con el nuestro, dado que son espacios de la misma c1ase. Entonces cab ria preguntarse por que Dios ha separado un universo de los dernas" (I. Kant, Pensamientos sobre la verdadera estimaci6n de las fuerzas vivas, no. 11, p. 36 [las cursivas son nuestrasJ). 12 Mientras en las Fuerzas vivos, como ya se afirmo, las cosas preceden al espacio, en el Articulo del '68 es el espacio el que precede a las cosas, en tanto que "el fundarnento de la determinacion cabal de una figura corporea no depende unicarnente de la mutua relacion y la posicion relativa de sus partes, sino adem as de una relacion con el espacio general absoluto ... " (I.Kant, "Sobre el fundamento primero de la diferencia entre las regiones en el espacio't.p. 143 [las cursivas son nuestras}.) ( 142 MARfA INRS COCCO Y EDUARDO DANIEL DIB la orientabilidad.P Los argumentos con los que pretende establecer ambas propiedades ya han sido superados!" y nada permiten deducir acerca de propiedades metricas, por 10que nada se puede inferir de este articulo acerca de la posibilidad 0 de la imposibilidad de las geometrias no euclideas. Tampoco puede agregarse nada desde aqui al problema de la alteridad, ya sea del espacio 0 de los observadores. 3. Critica de la raz6n pura La imposibilidad que percibimos en nosotros mismos para figurarnos un espacio de mas de tres dimensiones, me parece estribar en que nuestra alma recibe [, .. ] las impresiones externas segun la ley de la [... ] relacion inversa [al cuadrado] de las distancias, yen que [... ] no solo sufre, sino que acnia fuera de si de esta manera." Podemos ver en esta cita de las Fuerzas vivas que, tanto las condiciones de nuestra percepci6n, como las del espacio que podemos construir y habitar, estan dadas por una ley objetiva. En cambio, en el periodo crftico estas condiciones radican en la estructura trascendental de la subjetividad humana. 13 Ladimensi6n que explicita Kant en este articulo es la tridimensionalidad, se refiere a ella del siguiente modo: "en el espacio corp6reo, debido a sus tres dimensiones, pueden concebirse tres planos, cada uno de los cuales corta perpendicularmente a los otros dos" (op. cit., p. 14I. [las cursivas son nuestras]). La otra propiedad topol6gica mencionada aqui, la orientabilidad, se manifiesta espedficamente en el fen6meno de las contrapartidas incongruentes. Puesto que "la posibilidad de las contrapartidas incongruentes implica que la figura de un cuerpo no depende unicamente de la distancia entre los puntos discernibles en el, de modo que la determinaci6n del espacio que el cuerpo ocupa no puede efectuarse en forma completa si no se conocen mas datos que las posiciones relativas de sus panes" (R. Torretti, Kant, p. 122). Tambien es necesaria la orientaci6n de dichas panes enrelacion con las regiones del espacio; esta orientaci6n consiste en una relaci6n del cuerpo con el "espacio universal como una unidad de la cual cad a extensi6n tiene que ser considerada como pane" (1. Kant, "Sobre el fundamento primero de la diferencia entre las regiones del espacio", p. 140). 14 "Wir sind jetzt in der Lage, relativ klar sagen zu konnen, was man heute i.iber die Geometrie des Rechts und Links mehr weiB als Kant. Erstens wissen wir aufgrund globaler geometrischer Betrachtungen, die die Mtiglichkeit nichtorientierbarer 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten aufzeigen, daB Kants Suche nach inneren geometrischen Eigenschaften, die das Nicht-zur-Deckung-bringen-ktinnen erklaren konnten, verfehlt ist. So1che Eigenschaften gibt es nicht. Und zweitens wissen wir, daB bei einer Beschrankung auf lokale geometrische Betrachtungen das Rechts-Links-Phanomen weniger ein eigentlich geometrisches ist, als vielmehr ein kombinatorisch-arithmetisches: Eshat mit Vertauschungen (Transpositionen) zu tun und mit dem Zahlen von Vertauschungen" (Mi.ilhti!zer,F., "Das Phanornen der inkongruenten Gegensti.icke aus Kantischer und heutiger Sicht' en Kant-Studien, no. 83, 1992, p. 452. Cfr. tambien R. Torretti, Kant, pp. 85-86 y "La geometrla en e! pensamiento de Kant", pp. 61-75). 15 1. Kant, Pensamientos sobre la verdadera estimaci6n de las fuerzas vivas, no. 10, p. 36. GEOMETRiA Y ALTERIDAD EN KANT 143 EI metodo de Euclides, en su formulacion primitiva, no es puramente deductivo, sino constructivo-deductivo, y Kant asi 10 entendio '" en el periodo critico: la intuicion no solo verifica los postulados, sino que participa en la dernostracion de los teoremas. No podemos derivar otras geometnas de un simple cambio en algunos de los postulados. Dicho cambio, aplicado a una axiomatizaci6n de la geornetria euclidea, permite obtener teoremas distintos de los clasicos a partir de la aplicacion de la regia de inferencia. Pero aplicado al metodo de Euclides tal como Kant 10 concebia, 0 sea en su forma original no axiomatica, no permitiria comenzar a trabajar siquiera, ya que dicho trabajo implica dibujar 0 construir los objetos, para luego razonar y deducir sus propiedades. De este modo, las geometrias no euclideas, que desde este punto de vista resultan de una variacion en el sistema de Euclides, no pod ian estar en el horizonte de Kant. Sobre este punto debemos hacer una aclaracion, Hay modelos en la intuicion que ilustran ciertos aspectos de las gcomctrias no euclideas. Sin embargo, el obstaculo para representar dichas geometrias segun el metodo de Kant estriba en el requisito de construir los objetos en el espacio real, no en un modelo ad hoc. Adernas debemos considerar que, si bien es posible visualizar figuras (dos dimensiones) no euclideas proyectandolas, por ejemplo, sobre la superficie de una esfera, cuya curvatura sobre la tercera dimension simula la curvatura gaussiana del plano, no podemos hacer 10 mismo con cuerpos (tres dimensiones), ya que somos seres tridimensionales y no disponemos de una dimension extra para representar la curvatura del espacio y poder apreciar el resultado. Siguiendo eI ejemplo de la esfera, no disponemos de una "hiperesfera" cuyo volumen se curve en la cuarta dimension. Finalmente, debemos decir que aunque no suministra el fundamento para desarrollar las geometrias no euclideas, la filosofia trascendental tam poco niega de manera absoluta la posibilidad de las mismas. Sobrevive la posibilidad logica,"" aunque no intuitiva, de dichas geometrias. Si estas fueran 16 "Kant [... J opina que las fases que Proclo llama [ectesis y catasgene], al exhibir los datos y cornpletarlos segun las posibilidades que esa misma exhibici6n hace presentes, constituyen el aspecto distintivo del rnetodo rnatematico, sin el cual este no puede procurarnos conocimientos realmente nuevos. La 'construccion' en el sentido kantiano (que comprende la [ectesis], mas la [catasgene] [... J) exhibe intuitivarnente los datos en que ha de apoyarse la dernostracion" CR. Torretti, "La geometria en el pensarniento de Kant", p. 99). 17 Para Kant, es 16gicamente posible todo 10que no vaya contra el principio de contradicci6n. Este principio por si solo no basta para caracterizar a las "otras geomerrlas". "Logical possibility, the wider notion, is characterized in terms of the law of contradiction, real possibility in terms of the principles of possible experience, viz. the Categories" (G. Brittan, Kant's Philosophy of Science, p. 21). 'Alles Wirkliche isr moglich: hieraus folgt: einiges Mogliches ist wirklich, was zu bedeuten scheint: es ist vieles rnoglich, was nicht wirklich ist, d.h. das Feld der 144 MARIA INES COCCO Y EDUARDO DANIEL DIB posibles real, ademas de l6gicamente, 10 sedan s6lo para otros, para seres racionales distintos de los humanos y con otras capacidades sensibles." pues el metodo geometrico es un hibrido de deducci6n l6gica y construcci6n sensible, y tiene un sentido holistico que no permite prescindir de ninguno de esos dos aspectos. Estos otros "seres racionales" con su peculiar intuici6n del espacio caracterizan la noci6n de alteridad en la Critica. 4. Historia general de la naturaleza y teoria del cielo19 AI comienzo del apendice titulado "Sobre los habitantes de los astros" se lee 10 siguiente: Aunque parezca [... J que en el juicio sobre la condici6n de los habitantes de mundos lejanos esta permitido dar rienda suelta a la imaginaci6n [... J debo confesar, sin embargo, que las distancias de los cuerpos siderales del sol traen consigo determinadas relaciones que implican una influencia esencial sobre las diversas propiedades de los seres racionales que en ellos se hallan, puesto que su manera de actuar y de sufrir esta ligada a la calidad de la materia con la que estan vinculados y depende del grado de las impresiones que el mundo despierta en ellos segun las caracterfsticas de la relaci6n de su lugar de residencia al centro de atracci6n y del calor. M. ist grosser a/s das der Wirklichkeit" (R. Eisler, Kant-Lexikon, p. 369. (Articulo: Moglichkeit) [las cursivas son nuestras]. Cfr., 1. Kant, Cntica de la raz6n pure, A 220-221 = B 268). 18 "S610podemos [... ] hablar del espacio [... ] desde el punto de vista humano. La forma constante de esa receptividad que llamamos sensibilidad es una condici6n necesaria de todas las relaciones en las que intuimos objetos como exteriores a nosostros [... ] podemos decir que el espacio abarca todas las cosas que se nos pueden manifestar exteriormente, pero no todas las cosas en S1 mismas, sean intuidas 0 no y sea quien sea el que las intuya. En efecto, no podemos juzgar si las intuiciones de otros seres pensantes estan sometidas a las mismas condiciones que lirnitan nuestra intuici6n y que tienen para nosotros validez universal. Si afiadimos al concepto del sujeto la limitaci6n de unjuicio, este posee entonces validez absoluta. La proposici6n: 'Todas las cosas se hallan yuxtapuestas en el espacio' es valida [en A: 's610 es valida'] si la limitamos de forma que esas cosas sean entendidas como objetos de nuestra intuici6n sensible" (op. cit., A 27= B 43, p. 72). 19 LaHistoria general de la naturalezay teona del delo es un texto del afio 1755, por tanto, pertenece al periodo precritico de Kant. Es mas, se puede afirmar una estrecha conexi6n entre el tema de esta obra y el de las Fuerzas vivas. En la Historia general de la naturaleza y teoria del cielo, Kant pretendia explicar mecanicamente el origen de la estructura del universo, y a partir de aquf hacer 10propio con los fen6menos compuestos de la naturaleza. Para ello debia rectificar el concepto leibniziano y cartesiano de fuerza en el sentido de la filosofia natural de Newton. Esto fue realizado en las Fuerzas vivas. (Cfr. Boehm, P., Die vorkritischen Schnften Kants, pp. 15-16.) Es necesario aclarar que la ubicaci6n que damos, en el presente articulo, ala Historia general de la naturalezay teona del cielo despuis de la Critica obedece a nuestro prop6sito: enfatizar el tema de la alteridad en el pensamiento de Kant. GEOMETRIA Y ALTERIDAD EN KANT 145 Creo, por cierto, que no es necesario afirmar que todos los planetas deben estar habitados, aun cuando serfa una incongruencia negarlo respecto de todos o la mayoria de ellos.i? Como vemos, Kant funda la posibilidad de los otros seres racionales, no en el hecho de que no exista contradicci6n interna en el concepto de los mismos (10que constituiria su posibilidad 16gica), sino en la experiencia posible.P es decir, en 10que sabemos 0 podemos llegar a conocer acerca de los otros planetas (lo que constituye su posibilidad real). Se podria objetar en este punto que el concepto de experiencia posible fue desarrollado por Kant recien en la Critica de la raz6n pura. Sin embargo, vimos que en esta ultima obra Kant vuelve a mencionar, esta vez sin especificarla, la posibilidad de los otroS.22Por 10tanto, es congruente pensar que los conceptos de experiencia posible y posibilidad real de otros seres racionales fueron sostenidos conjuntamente por Kant durante el periodo critico, La creencia en la existencia de otros seres racionales es una convicci6n metafisica fundamental de Kant, presente tanto en el periodo precritico como en el periodo critico.P Geornetrfa y alteridad Saber que el espacio al que Kant se referia es el espacio real, el espacio en que se dan los cuerpos fisicos y sus desplazamientos, el espacio habitado y conocido por nosotros mismos.P' nos sugiere una interpretaci6n que no trata de interpolar la concepci6n de Kant con la 16gica y la matematica modernas. La filosofia de Kant (ademas de conte star por que la geometria es adecuada para describir el mundo objetivo) explica por que los seres humanos coinciden en sus juicios geometricos. La pregunta acerca de la intersubjetividad no se da explicitamente en Kant, pero es un tema que podria abordarse. Consideremos que para Kant hay ciertos seres (los humanos) que comparten ciertas estructuras cognitivas en las que se basan sus coincidencias. Las 20 I. Kant, Historia general de la naturaleza y teona del cielo, pp. 187-188. 21 Cfr. n. 17 (cita de Brittan). 22 Cfr. n. 18 (cita de la Critica de la raz6n pura). 23 Es por esta raz6n que Alois Riehl, al examinar el desarrollo filos6fico de Kant, afirma que "Gedanken dieser Art gehoren zu dem urspriinglichen Besitze einer Philosophen, sie werden bei aller ihrer ferneren Abwandlung und Entwicklung nicht eigentlich vermehrt. .. " (A. Riehl, Der philosophische Kritizismus, p. 275.) 24 "El tema de la filosofia del espacio de Kant es 10 que hemos llamado el espacio fisico, el espacio en que se mueven los cuerpos [... J en [el] que nos movemos en nuestra vida diaria, vemos salir y ponerse el sol y acontecer las acciones grandes y pequefias de la historia es el mismo espacio en que la ciencia fisica sinia los movimientos cuyas leyes estudia" CR.Torretti, Kant, pp. 70-71). 146 MARfA INES COCCO Y EDUARDO DANIEL DIB condiciones para estas coincidencias no se dan por supuestas, sino que se elaboran en la Critica de la raz6n pura. En el momenta de las Fuerzas vivas, en que Kant sostenia una concepci6n objetiva del espacio, llamativamente tampoco daba por supuesto el fundamento de la estructura del mismo. Este fundamento era especulativamente identificado con la ley de gravitaci6n universal y resultaba inmediatamente inferible la posibilidad de seres que no compartieran dicho fundarnento.P Asi, quedaba claro que la coincidencia en la apreciaci6n del espacio no se daba por supuesta tampoco en este periodo, sino que adquiria un caracter problernatico. lLas personas coinciden solamente porque aplican el mismo metodo? Si fuera asi, bastaria can la geometria y no seria necesario filosofar sobre ella. Sin embargo, Kant estima necesario explicar por que todos interpretamos el metodo y seguimos sus reglas de identica manera. Asi, el metodo constructivo-deductivo de Euclides constituye un aspecto heuristico del trabajo geometrico, que se complementa con un aspecto sensible, dado en la forma de nuestra intuici6n. lC6mo reaccionarian distintas personas a las que se dieran los principios para construir una figural lHay algo que garantice la coincidencia de sus dibujos? Kant encabeza las Fuerzas vivas con la siguiente frase de Senecar'" "Nada, pues, mas import ante que no seguir, a la manera de los rebafios, a los que van adelante, caminando no adonde se debe ir, sino por donde de ordinario se va." Kant, de todas maneras, pensaba que cierta uniformidad en las respuestas era necesaria. Conocer el fundamento de las propias acciones es 10 que diferencia a los seres racionales del rebafio, En las Fuerzas vivas el fundamento para la geometria .es la ley de gravedad de Newton, en el periodo critico es la intuici6n pura y el esquematismo. Siempre es fundamental confrontar al ge6metra con el desafio de la construcci6n, no s610a su entendimiento sino al individuo completo, con sus ojos y su raz6n, su regla y su imaginaci6n, su dibujo y su esquema mental. Asi, no importa tanto especificar de una manera 16gicamente rigurosa condiciones (tales como la continuidad) que deben cumplir los objetos geornetricos como quiere por ejemplo Priedman.F sino mas bien fundamentar por que determinados procedimientos de construcci6n y deducci6n, seguidos por diferentes personas, deberian llevar siempre a identicos resultados. Las reglas 25 Gomez, en su articulo "Kant, 1747 Uilosofo no eucJideano?", concJuye que: si hubiesernos nacido en cualquiera de esos otros mundos, seriamos cap aces de representarnos (inruirivamente) las tesis no eucJideanas de las geometrias de esos espacios. 26 La traduccion de esta frase es de J. Arana Canedo-Arguelles en su cornentario a las Fuerzas vivas, en I. Kant, Pensamientos sabre la verdadera estimaci6n de las fuerzas vivas, p. 314. 27 Cfr. la interpretacion que hace de este tema en M. Friedman, Kant and the Exact Sciences, cap. 1 de la Parte I, titulado "Geometry". GEOMETRiA Y ALTERIDAD EN KANT 147 del procedimiento consideradas formalmente no garantizan la homogeneidad de los resultados.F' Esta homogeneidad esta necesariamente limitada a un entorno particular. Como vimos en la seccion 1, en las Fuerzas vivas ese entorno es "este mundo" por oposicion a otros "mundos posibles". Cada mundo esta caracterizado por su ley de atraccion particular que determina sus propiedades especfficas y esta separado de los otros mundos, pues todos poseen distinto mimero de dimensiones. Asi, la alteridad de esos otros mundos es radical. Segtin vimos en la seccion 3, en el periodo critico el entorno es nuestra "intuicion pura", por oposicion a la intuicion presumiblemente alterna de otros posibles seres racionales.j? Como vimos en la seccion 4, Kant creta en la posibilidad real de estos seres. Nuestro entorno solo es un fragmento de la realidad. Esta realidad siempre desborda nuestra comprension y 10 hace de una manera indescriptible. "No podemos considerar las especiales condiciones de la sensibilidad como condiciones de posibilidad de las cosas [la realidad completa], sino solo de 28 lQue pasaria si formulasernos otro procedimiento de construcci6n, como el de las trivariedades, que con base en la intuici6n del espacio real permita representar objetos no euc1ideanos? Esta construcci6n no pod ria ser terminada ernpfricamente (en un modelo de cart6n plegado, por ejemplo) pero conduce a la imaginaci6n hacia una representaci6n en la que concurren imagen e intelecci6n. "Una de las dificultades del estudio de las trivariedades es que la visualizaci6n directa debe, en parte, dejar su puesto a la representaci6n abstracta [ ... J Considerese la trivariedad generada a partir de un bloque rectangular de espacio; v.g., el espacio interior de una habitaci6n. Peguese, en abstracto, la pared delantera de la habitaci6n con la trasera, la pared de la derecha con la de la izquierda, y el suelo con el techo. Si los pegamientos se hicieran realmente, tendria uno que imaginarse a la habitaci6n doblandose [... J en una cuarta dimensi6n. Sin embargo, todo cuanto necesitamos para describir la varied ad esta dado por el procedimiento [descripto]. Si un objeto [... J se mueve hacia la pared delantera, desaparece en esa pared para reaparecer en la trasera; analogarnente, el objeto desaparece por la pared de la derecha al mismo tiempo que reaparece por la de la izquierda y reaparece por el suelo conforme desaparece por el techo" (W Thurston, y J. Weeks, "Maternatica de las variedades tridimensionales", pp. 86-87). Probable mente Kant no aceptaria este tipo de representaci6n, ya que el requiere la posibilidad empirica de la construcci6n. Una vez construido un triangulo, el entendimiento nos dice que se trata s610de un ejemplo y que debemos ver en el propiedades comunes a todos los triangulos. Pero es necesario para la validez de la prueba poder trazar yver la figura. "Und nati.irlich bestehtja die mathematische Praxis des sich an Euklid anlehnenden Geometers gewohnlich in der Konstruktion geometrischer Begriffe in der empirischen Anschauung, in der Herstellung raumlicher Figuren auf dem Papier mit Zirkel und Lineal. Die einzelnen gezeichneten Figuren sind empirische Gegenstande, sollen aber nach Kant den konstruirten Begriff in seiner Allgemeinheit anschaulich exemplifizieren" (M. Schiro, "Kants Theorie der geometrischen Erkenntnis und die nichteuklidische Geometrie", p. 9 [las cursivas son nuestras]). 29 En estas consideraciones finales no retomamos la secci6n 2, puesto que su funci6n era asegurar la no relevancia del Articulo del '68 en 10que respecta a nuestro tema. Asimismo, tam poco volvemos sobre la secci6n 4, cuya funci6n era establecer la relevancia del problema de la alteridad. 148 MARiA INES COCCO Y EDUARDO DANIEL DIB sus fen6menos [10aprehensiblepara nosotros] ."30 La realidad completa de la que hablamos equivale ala noci6n kantiana de "n6umeno", a la que cons ideramos no meramente como un concepto limite del conocimiento (sentido negativo del termino), sino como aquella realidad que trasciende al sujeto. Esta realidad no se constrifie a unas condiciones dadas a priori (salvo la del principio de contradicci6n). Sus otros espacios, de existir realmente, s6lo serfan dados a seres cuya sensibilidad les permitiera ir dando sentido paso a paso a un procedimiento de construcci6n y deducci6n adecuado y obteniendo asi un panorama que desafia nuestra imaginaci6n. Consideraciones finales Uno podria preguntar finalmente por que dedicarse a una exegesis tan exhaustiva de las especulaciones de Kant acerca de la estructura del espacio, cuando es sabido que en geometria han ocurrido desarrollos espectaculares que superan ampliamente los lfrnites que Kant supuso. La raz6n es que nuestra pregunta por la alteridad geometries se refiere a la posibilidad real de la misma, no s610a su posibilidad formal. Si existieran los espacios alternos, i.que podriamos saber de ellos? Si hubiera seres inteligentes alternos, i.que comprensi6n del espaciotendrianr: i.construirfan una geometria?; si 10hicieran i.cual seria su naturaleza? Todavfa podria preguntarse por que no echar mana de las geometrias no euclfdeas como gufa para esta tarea, Hay dos buenas razones para esto: 1) Gracias a Einstein sabemos que la geometria no euclidea describe nuestro espacio tridimensional y podemos esperar que haga el mismo trabajo para n di1ensiones. 2) Seria razonable pensar que si otros seres racionales se lanzaran a investigar la naturaleza del espacio mas alla de sus limitaciones perceptivas de forma puramente abstracta, llegarian a construir una geometria general similar a la nuestra. Estas razones, efectivamente, son buenas si aceptamos los dos supuestos siguientes: 1) Los eventuales espacios alternos cumplen con cierta condicion de monotonia, es decir, el rango de las variantes que pueden presentar estos espacios no supera el rango de las variantes que podria presentar nuestro propio espacio. Kant, lejos deaceptar este supuesto, nos llama la atenci6n ace rca de las posibilidades radicalmente alternas que abren un cambio en el fundamento 30 I. Kant, Cdtica de la raz6n pura, A 27 = B 43, p. 72_ GEOMETRiA Y ALTERlDAD EN KANT 149 fisico (ley de gravedad) de la estructura del espacio. En este sentido su meditaci6n es mas radical. 2) Todo ser racional razona igual, en el sentido geornetrico porlo menos. Lejos de estar de acuerdo con este supuesto, Kant nos advierte cuan altemos pueden resultarnos otros seres, sus razones y su eventual geometrfa, Por consiguiente, las geornetrias no euclideas pueden ayudar a la especulaci6n, pero no nos sirven de guia en su nivel mas radical. La ambiguedad de las respuestas que pueda recibir la pregunta por la alteridad es del mismo grado que la ambigiiedad que afecta a la noci6n de n6umeno. Sin embargo, en el presente articulo hemos logrado precisar dicha cuesti6n planteandola validamente a partir de la obra de Kant y mostrando que su importancia supera el marco de dicha obra. BIBLIOGRAFiA ESCRITOS DE KANT Kant, I., Pensamientos sobre la verdadera estimaci6n de las Juerzas vivas, trad. y comentario de Juan Arana-Canedo-Arguelles, Peter Lang, Berna-Francfort am Main-Nueva York-Paris, 1988. --, Historia general de la riaturalezay teoria de/ cielo, Juarez Editor, Buenos Aires, 1969. --, "Sobre el fundamento primero de la diferencia entre las regiones del espacio" en Dicilogos,afio VIII, no. 22, abril de 1972, pp. 139-146. ' --, Critica de la raz6n pura, trad. Pedro Ribas, Ediciones Alfaguara, Madrid, 1978. TEXTOS SOBRE KANT Boehm, P., Die vorkritischen Schriften Kants, Verlag von K.J. Triibner; Estrasburgo, 1906. Brittan, G., Kant's Philosophy of Science, Princeton, 1978. 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