SISTEMA EXPERTO EN DEDUCCIÓN DENTRO DE LA LÓGICA NORMAL TRIVALENTE Gabriel Garduño Soto, 1 David René Thierry García,2 Rafael Vidal Uribe,1 Hugo Padilla Chacón3 1. Antecedentes y problemas Las lógi cas mul ti va lua das (n > 2) tie nen an te ce den tes históri cos iden ti fi ca bles en al gu nas dis cu sio nes clási cas, prin ci pal men te en re la ción con los pro ble mas de las lógi cas mo da les. Debe re cor dar se que el pro ble ma del "fu tu ro-con tin gen te" es plan tea do por Aristóte les. Los epicúreos, por su par te, dis cu tie ron y fi nal men te re cha za ron el prin ci pio del ter ce ro ex clu so. En la par te fi nal de la Edad Me dia, Duns Sco to y Gui ller mo de Ockham re fle xio na ron so bre asun tos se me jan tes, en el si glo XV fue muy des ta ca da la dis cu sión que, al res pec to, tuvo lu gar en la Uni ver si dad de Lo vai na, et cé te ra. Pero apar te de las apor ta cio nes pio ne ras de Mac-Coll, Pier ce y Va sil 'ev, no es sino has ta el si glo XX cuan do efec ti va men te se re cu pe ran y ata can es tos pro ble mas des de un pun to de vis ta mo der no, con los tra ba jos de ouka siewcz y de Post. Algu nas lógi cas po li va len tes, en es pe cial las que adop tan un número im par de va lo res de ver dad, pre sen tan ca rac terísti cas muy sin gu la res y dig nas de aten ción: en ellas se ven vio la dos prin ci pios o le yes al ta men te apre cia dos por los ló gi cos clá si cos, ta les como el prin ci pio del ter ce ro ex clu so, el prin ci pio de iden ti dad o la ley de la do ble ne ga ción. Esta si tua ción pro vo ca alar ma, y aún dis gus to, en al gu nos lógi cos, como es el caso de Qui ne (1970); o se le toma como algo ne ce sa rio, y aún im pres cin di ble, para aten der pro ble mas pe cu lia res que es ca pan a la ca pa ci dad de la lógica clásica, como es el caso de Hey ting (1931), o se ofre ce un am plio aba ni co de po si bi li da des de in ter pre ta ción, como es el caso de Res cher (1969). Pero cual quie ra que sea el re sul ta do fi nal, si lo hay, de es tas di ver sas po si cio nes, una cosa es se gu ra; las lógi cas po li va len tes son tan es tric tas, en tan to que cálcu los, como la lógica clásica. El meo llo de la dis cre pan cia no se ubi ca en el as pec to for mal de los cálcu los, sino en la in ter pre ta ción que se pue da dar a éstos. No es un asun to de va li dez for mal, sino de in ter pre ta ción o apli ca bi li dad. En el pre sen te tra ba jo, en don de sólo con si de ra mos una lógica nor mal tri va len te en tan to que cálcu lo, pres cin di mos de pro nun ciar nos en tor no a la dis cu sión, aun que no po de mos de jar de ade lan tar cier ta sim patía por una in ter pre ta ción pro ba bilísti ca. Por otra parte, es digno de mención el fenómeno teórico que observamos actualmente, por cuanto se refiere al retorno de los viejos problemas filosóficos que como se mencionó anteriormente, preocupaban ya a Aristóteles y a los epicúreos; pues bien, el retorno de estos problemas "arqueológicos" se plantea en nuestros días desde una perspectiva perteneciente a otro nivel epistemológico, dados los avances teóricos alcanzados en lógica, en matemática y aún en las técnicas computacionales de que disponemos; éstas nos permiten retomar con seguridad el 1 1 Facultad de Filosofía y Letras, UNAM. Colegio de Filosofía, División SUAFyL. 2 Facultad de Economía, UNAM. División SUAE. 3 Facultad de Filosofía y Letras, UNAM. División de Estudios de Posgrado. tratamiento de algunos de estos viejos problemas. Del mismo modo, vemos cómo los intentos por superar las viejas incógnitas producen resultados que pertenecen por derecho propio al campo de la utilidad práctica. En este último aspecto, la lógica trivalente ha servido de base para el desarrollo de productos aplicables al diseZo de circuitos electrónicos Kusano (1988), Chew (1987), Serra (1987), utilerías de diagnóstico operativo para fallas en sistemas computacionales en paralelo Xu (1988) y asimismo, herramientas lógicas extendidas en forma trivalente para la optimización de programas elaborados dentro de la lógica bivalente Huang (1988). Así pues, vemos que en nuestros días, la lógica trivalente ha cobrado relevancia significativa en diversas áreas, especialmente en el terreno computacional. 2. Algunas características de una lógica normal trivalente En una lógica tri va len te se in tro du ce un va lor in ter me dio en tre los va lo res clási cos de "ver dad" y "fal se dad". El sig ni fi ca do de este ter cer va lor for ma par te de la dis cu sión a que an tes se ha he cho re fe ren cia. No lo dis cu ti re mos. En mu chas de las pre sen ta cio nes de las lógi cas po li va len tes se uti li za el 1 para re pre sen tar el va lor máximo, y el 0 para re pre sen tar el va lor mínimo; es cos tum bre re pre sen tar los va lo res in ter me dios ya sea con núme ros frac cio na rios, ya sea con otros núme ros en te ros dis tin tos de 0 y de 1. En el si guien te pun to, No ta ción, es ta ble ce re mos la con ven ción que se adop ta en este tra ba jo. Pero apar te de las dis cu sio nes semánti cas y de in ter pre ta ción que pue den apa re cer con la in tro duc ción de este ter cer va lor es éste, y sólo éste, el cul pa ble fi nal de que en una lógica tri va len te re sul ten pro duc tos du bi ta bles – o in de sea bles – des de el pun to de vis ta clásico. Des de una pers pec ti va pu ra men te for mal, no es difícil de en ten der la razón de que esto acon tez ca. Es bien co no ci do el he cho de que en la cons truc ción de una ma triz glo bal, den tro de la lógica bi va len te, la com bi na to ria de va lo res para los ren glo nes está dada por 2N y la com bi na to ria de va lo res para las co lum nas está dada por 2 2 N , en don de N es el número de va ria bles. Esto hace que para cada co lum na y cada renglón haya otra co lum na y otro renglón di fe ren tes de los pri me ros que re pre sen tan sus ne ga cio nes. En cam bio, en una lógica tri va len te las com bi na to rias co rres pon dien tes están da das por 3N y por 3 3 N , y en vir tud de que es tas com bi na to rias son im pa res siem pre habrá una co lum na y un renglón que no tendrán otra co lum na y otro renglón dis tin tos que re pre sen ten sus ne ga cio nes. Por ello, esa co lum na y ese renglón re pre sen tarán, al mis mo tiem po, una com bi na to ria y su pro pia ne ga ción. Y esto irre me dia ble men te acon te cerá en toda lógica nor mal polivante con un número impar de valores. A una lógica po li va len te se le de no mi na "nor mal" cuan do la de fi ni ción de los ope ra do res es la mis ma que la em plea da en una lógica bi va len te. La lógica tri va len te de que nos ocu pa mos es una lógica "nor mal" en el sen ti do an tes men cio na do. Para esta lógica nor mal se adop tan las si guien tes de fi ni cio nes de los ope ra do res, las cua les coin ci den con las de la lógica bivalente: 2.1. –P = Mx P 2.2. P & Q = Min (P, Q ) 2.3. P v Q = Mx (P, Q ) 2.4. P ® Q = Min (Mx, Mx + Q P ) 2.5. P << -- >> Q= Mx - | P Q | 2 En lo an te rior, Mx: va lor máximo; Min: va lor mínimo. El su je tar se a las an te rio res de fi ni cio nes sig ni fi ca que la lógica nor mal tri va len te de que nos ocu pa mos coin ci diría con la lógica clásica si se pres cin die ra del ter cer va lor. Esta lógica, cuan do toma en cuen ta el ter cer va lor, coin ci de con las lógi cas tri va len tes de Lu ka sie wicz y de Rei chen bach. En cam bio, di fie re de otras lógi cas tri va len tes, como las de Klee ne, Boch var, Hey ting, etc., cu yos ope ra do res no atien den a las de fi ni cio nes seZaladas. 3. Notación Los tres va lo res ve ri ta ti vos que se ma ne jarán, serán sim bo li za dos por 2 (para el va lor máximo); por 1 (para el va lor in ter me dio), y por 0 (para el va lor mínimo). La tra duc ción de es tos va lo res a una no ta ción en la que se pre fie ra re pre sen tar el va lor máximo con 1, el va lor in ter me dio con una frac ción, y el va lor mínimo con 0, no tie ne di fi cul tad: bas tará con di vi dir los va lo res pro pues tos en tre el va lor máximo para ob te ner los va lo res 1, 12, 0, como es usual en otras no ta cio nes. Por ra zo nes de ope ra ti vi dad, en este tra ba jo se em plea la sim bo li za ción pri me ra men te seZala da. Por su par te, cuan do una va ria ble, di ga mos P, ad quie re el va lor máximo, será sim bo li za da por P mis ma; cuan do ad quie ra el va lor in ter me dio, sera sim bo li za da por ~P (P ba rra da), y cuan do co bre el va lor mínimo, sera sim bo li za da por -P (no P) . En vir tud de que los re sul ta dos del sis te ma se ofre cen en for ma nor mal dis yun ti va, se ad vier te que los su man dos lógi cos irán an te ce di dos por la va lua ción co rres pon dien te: a) cuan do la va lua ción del su man do sea el va lor máximo, el número 2 an te ce derá al su man do; b) cuan do la va lua ción del su man do sea va lor in ter me dio, apa re cerá el su man do como tal, y c) cuan do la va lua ción del su man do sea la mínima, el su man do no apa re cerá. Este modo de re pre sen tar ls fórmu las nor ma les dis yun ti vas en una lógica tri va len te ha sido de sa rro lla do de ma ne ra es pecífica para el presente sistema. Es totalmente eficaz y, creemos, suficiente claro. 4. Observaciones sobre el enfoque teórico del sistema La lógica nor mal tri va len te que se es tu dió en el ni vel teórico, o ni vel T, fue pos te rior men te ma pea da en un se gun do ni vel me ta teórico, MT. Se logró que cada si tua ción y pro ble ma del ni vel T que da ra re fle ja do en un co rres pon dien te si tua ción y pro ble ma del ni vel MT. se pro curó, y ob tu vo, que el ni vel MT no sólo asu mie ra un pa pel des crip ti vo con res pec to del ni vel T, como por lo ge ne ral acon te ce, sino que fue ra tan ope ra ti vo como este últi mo. De esta ma ne ra, se con si guió una in te rac ción que, en prin ci pio, per mi te re sol ver pro ble mas tan gran des y tan com ple jos como se quie ra del ni vel T. Esta in te rac ción per mi te lo si guien te: a) plan tear las si tua cio nes y los pro ble mas en el ni vel T; b) ana li zar las si tua cio nes y re sol ver los pro ble mas en el ni vel MT, y c) ofre cer el re sul ta do del análi sis de las si tua cio nes o la so lu ción de los pro ble mas en el pro pio ni vel T. 5. Productos del sistema Has ta aho ra, el sis te ma es ca paz de: 5.1. De ter mi nar si una fórmu la plan tea da con cual quier número y com bi na ción de los ope ra do res lógi cos tra di cio na les, y con va ria bles afir ma das, ba rra das o ne ga das, es una fórmu la bien for ma da (wff) o no. 3 5.2. De ter mi nar en de duc ción axiomática si una wff es o no un teo re ma de la lógica axio ma ti za da nor mal tri va len te. 5.3. De ter mi nar en de duc ción na tu ral (se em plea el térmi no "de duc ción na tu ral" en con tra po si ción a "de duc ción axiomática") si en un con jun to de pre mi sas al gu na o al gu nas de ellas son re dun dan tes en re la ción con los demás, ya sea por equi va len cia semánti ca o por deducibilidad. 5.4. De ter mi nar en de duc ción na tu ral si de un con jun to dado de pre mi sas se de du ce o no una de ter mi na da wff pro pues ta como con clu sión. 5.5. Obte ner en de duc ción na tu ral to das las con clu sio nes semáti ca men te dis tin tas que pue den de ri var se de un con jun to de premisas dado. 5.6. Obte ner, en un en fo que de de duc ción na tu ral, to dos los con jun tos de pre mi sas semánti ca men te dis tin tos de los cua les pue de de du cir se una wff pro pues ta como con clu sión. 5.7. Trans for mar una wff con cual quier número y com bi na ción de los ope ra do res lógi cos tra di cio na les, y con cual quier mo da li dad en sus va ria bles –afir ma das, ba rra das o ne ga das–, en una fórmu la nor mal disyuntiva. Los re sul ta dos en los ca sos 5.5 y 5.6 –y ob via men te, 5.7– se ex pre san en for ma nor mal dis yun ti va con las ca rac terísti cas seZala das en el punto 3. 6. Sistema y programación En el ni vel MT se em plean en gran des núme ros, cuya re pre sen ta ción debe ser com ple ta. En este ni vel no re sul tan úti les ni en fo ques de re don deo, ni re pre sen ta cio nes en no ta ción científica ni sis te mas lo garítmi cos. Des de un pun to de vis ta teórico, no exis ten li mi tan tes. Sin em bar go, por el em pleo y ca rac terísti cas de los gran des núme ros en el ni vel MT, la ex hi bi ción ope ra ti va del sis te ma en cuen tra di fi cul ta des cuan do se usan equi pos de cómpu to del tipo PC. Este obstáculo quizá se lo gre ven cer con la uti li za ción de al gu na uti lería es pe cial men te de sa rro lla da para rea li zar ope ra cio nes aritméti cas con núme ros gran des en pro ce sa do res con 16 o 32 bits, como el Pa que te Mi ra cle, que uti li za el len gua je C y se anun cia co mer cial men te (Byte, Sep tiem bre,1990.) que no he mos ex pe ri men ta do. Por aho ra, el sis te ma se ha de sa rro lla do en un main fra me –el equi po IBM 4381– uti li zan do la uti lería de apli ca ción lla ma da REDUCE 3.1, im ple men ta do en el len gua je LISP de The Rand Cor po ra tion, ©1984. A fal ta de con di cio nes ade cua das para su pre sen ta ción ope ra ti va en equi pos de cómpu to, el sis te ma pue de mos trar se en vi deo gra ba ción, dia po si ti vas o en pre sen ta ción demo, sin proceso real. Septiembre de 1990. Referencias • "A Portable C Library for Number-Theory and Cryptography Applications", en Byte, Sep., 1990, p. 64IS-8. • Chew B.P. et al.: "On the Design of CMOS Ternary Logic Circuits Using T-Gates." Int. J. Electron. 63, (2), 229-239, Aug. 1987. 4 • Kusano C. et al.: "Multiple-Valued Logic Application of a Triple Well Resonant Tunneling Diode." IEEE Trans. Electron. Devices 35, (12), 2453, Dec. 1988. • Heyting, A.: "Die intuitionistische Grundlegung der Mathematik", en Erkennthis, 2, 1931. • Huang Zhihai et al.: "B-Ternary Logic and Evaluation of Binary Logic Programs." Proc. VIII Int. Symp. Multivalued Logic. Palma de Mallorca, EspaZa, Mayo 24-26, 1988. pp. 376-380. • Nepeyvoda N.N.: "Constructive Logical Tools. I. 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