SISTEMA EXPERTO EN DEDUCCIÓN NATURAL Ga briel Gar du ño Soto, 1 Da vid René Thierry García,2 Ra fael Vi dal Uri be,1 Hugo Pa di lla Chacón3 1. Pa no ra ma ac tual del pro ble ma de la de duc ción na tu ral El pro ble ma de la de duc ción na tu ral ha sido abor da do des de dis tin tas pers pec ti vas. En la ma yor par te de las in ves ti ga cio nes rea li za das has ta la fe cha se han in ten ta do so lu cio nes que, con base en un en fo que sintácti co, tra tan de pro bar la va li dez de las con clu sio nes pro pues tas a los di ver sos gru pos de pre mi sas ob je to de in ves ti ga ción. En di chos en fo ques sin tác ti cos, se uti li zan téc ni cas de re co rri do li neal, o ar bo res cen te, tal como el back trac king, o bien, búsque das heurísti cas cuya ma yor di fi cul tad es el enor me gas to en tiem po y me mo ria de máqui na em plea do. Todo usua rio del len gua je Pro log co no ce el cons tan te ries go de sa tu ra ción de la me mo ria RAM, a me nos de que se con tro len es tric ta men te la emi sión de re glas de pro duc ción (o trans for ma cio nes sintácti cas) y el re co rri do glo bal so bre cada una de las pre mi sas de cla ra das, me dian te los co man dos de cor te in cor po ra dos en Pro log. De este modo, se han pu bli ca do tra ba jos con re sul ta dos alen ta do res, pero in com ple tos, para la in ves ti ga ción del pro ble ma de la de duc ción na tu ral; sir van a ma ne ra de ejem plo los en fo ques si guien tes: • Méto dos gráfi cos de dis tri bu ción hi pergeométri ca (Urquhart 1987). • Méto dos al gorítmi cos de re co rri do li neal so bre to das las cláusu las de Horn que se pue den pro du cir a par tir del con jun to de pre mi sas pro pues to (Arvind 1987) y méto dos de che queo clau su lar con fuer za bru ta, a través de en fo ques en paralelo (Chen 1987). • Méto dos de búsque da ar bo res cen te (Amir 1987). • Méto dos de in ves ti ga ción ma temática so bre ani llos boo lea nos (Na kao 1986). • Méto dos de in ves ti ga ción so bre el tiem po de máqui na re que ri do para di lu ci dar la va li dez de la con clu sión pro pues ta (Walton 1987). En el tra ba jo aquí pre sen ta do, se ha im ple men ta do una arit me ti za ción com ple ta de la lógica bi va len te que bien podría de no mi nar se lógi ca arit me ti za da sin ras treo (back trac king), pues los al go rit mos pro pues tos per mi ten un acer ca mien to di rec to y prácti ca men te sin gas to de tiem po de máqui na en la búsque da heurísti ca, ya que en su in da ga ción acer ca de la va li dez de una con clu sión, el sis te ma se di ri ge in fa li ble men te al lu gar ma temático en don de se pro du ce di cha con clu sión, en caso de ser válida; en el caso con tra rio, el sistema informa acerca de su no-validez. En la ma yor par te de los in ten tos que se han rea li za do para re sol ver el pro ble ma de la de duc ción na tu ral se ha for ma li za do a la ló gi ca des de dis tin tas pers pec ti vas, pero for ma li zar no es lo mis mo que arit me ti zar. Toda arit me ti za ción de la ló gi ca es, eo ipso, una for ma li za ción; la in ver sa no siem pre es vá li da. La relación no es necesariamente simétrica. 2. Bre ves con si de ra cio nes so bre tres arit me ti za cio nes de la lógica Es bien co no ci do el re cur so fun da men tal de que se sir ve Gödel para de sa rro llar su teo re ma de in com ple tud (1931): arit me ti za el ni vel de la lógica. A cada sig no ele men tal, a cada fórmu la y a cada se cuen cia de fórmu las de la lógica les asig na un número único (número de Gödel) de ma ne ra que la lógica que da "ma pea da" en la aritmética. Este ma peo en Gödel no es un fin en sí mis mo: es sólo un re cur so, en tre otros, de que se vale para al can zar el propósito de pro bar el teo re ma. Quizá por ello no fue óbice que el ma peo no re sul ta ra biunívoco, es de cir, que mien tras a cada ex pre sión o se cuen cia de ex pre sio nes lógi cas les co rres pon de un único número (de Gödel), no todo número es un número de Gödel y, por lo tan to, no todo número re pre sen ta una ex pre sión o se cuen cia de ex pre sio nes lógi cas. Por esto la arit me ti za ción de Gödel no per mi te ir más allá, des de un pun to de vis ta ope ra ti vo. 1 1 Facultad de Filosofía y Letras, UNAM. Colegio de Filosofía, División SUAFyL. 2 Facultad de Economía, UNAM. División SUAE. 3 Facultad de Filosofía y Letras, UNAM. División de Estudios de Posgrado. En di ver sos tra ba jos, ouka sie wicz em pleó re cur sos de arit me ti za ción para tra tar pro ble mas de ló gi ca. Sin em bar go, la arit me ti za ción mis ma tam po co la tuvo como fin en sus in ves ti ga cio nes. A di fe ren cia de Gödel que es ta ble ció un me ca nis mo es tric to para ga ran ti zar la uni vo ci dad (aun que no la biu ni vo ci dad, como se dijo an tes), ouka sie wicz siem pre es ta ble ció con ven cio nes la xas y co yun tu ra les, de ma ne ra que los nú me ros em plea dos, aun que re fle jan cier tas es truc tu ras pro fun das de la ló gi ca, tam po co per mi ten una ope ra ti vi dad sis te má ti ca. En el mé to do de Qui ne-Mcklusky para mi ni mi zar fun cio nes boo lea nas ca nó ni cas, tam bién pue de en con trar se una in ci pien te arit me ti za ción. Tam po co es un ob je ti vo en sí mis ma y sólo auxilia, den tro del pro pó si to del mé to do, al fin de agru par los su man dos ló gi cos po ten cial men te mi ni mi za bles. No he mos en con tra do una arit me ti za ción igual a la que aho ra se ex po ne en sus ras gos ge ne ra les. 3. Arit me ti za ción del cálcu lo pro po si cio nal 3.1 La arit me ti za ción que he mos de sa rro lla do está cons ti tui da por un gru po de al go rit mos que re suel ven como pro ble mas es tric ta men te aritméti cos los pro ble mas del cálcu lo pro po si cio nal. 3.2 Las re glas de co rres pon den cia per mi ten ga ran ti zar una biu ni vo ci dad, en el si guien te sen ti do: a toda y a cada fórmu la del cálcu lo pro po si cio nal le co rres pon de uno y sólo un número; a todo y a cada número le co rres pon de una y sólo una fórmu la del cálcu lo proposicional. 3.3 Los núme ros cons ti tu yen los va lo res que pue den ser sus ti tui dos por las va ria bles, parámetros y cons tan tes en los al go rit mos. Los núme ros que re sul tan de rea li zar las ope ra cio nes aritméti cas seZala das en los al go rit mos re pre sen tan la so lu ción par cial o to tal de un pro ble ma lógico par cial o to tal. 3.4 Una vez re suel to un pro ble ma ló gi co por me dio de los al go rit mos, en vir tud de 3.2 (biu ni vo ci dad) la so lu ción arit mé ti ca se rein ter pre ta en no ta ción ló gi ca. 3.5 La va li dez de los al go rit mos fue pro ba da por me dio de la in duc ción ma temática com ple ta. Como con se cuen cia de la arit me ti za ción lo gra da, pue de es ta ble cer se una co ne xión con el co no ci do teo re ma de Shan non (1938). El teo re ma de Shan non es ta ble ce una biu ni vo ci dad en tre las fórmu las del álge bra boo lea na y los cir cui tos en se rie-pa ra le lo: cada fórmu la del álge bra boo lea na es rea li za ble como un cir cui to en se rie-pa ra le lo; a la in ver sa, cada cir cui to en se rie-pa ra le lo es re pre sen ta ble como una fórmu la del álge bra boo lea na. Aho ra pue de pos tu lar se una ex ten sión de este teo re ma: a cada número le co rres pon de una fórmu la boo lea na canónica y, pues to que (por el teo re ma de Shan non) a cada fórmu la boo lea na le co rres pon de un cir cui to en se rie-pa ra le lo, en ton ces a cada número le co rres pon de un cir cui to en se rie-pa ra le lo. La in ver sa es válida tam bién. 4. Sis te ma para re sol ver pro ble mas de de duc ción Los al go rit mos men cio na dos con for man un sis te ma en el sen ti do en que gru pos y sub gru pos de los mis mos están des ti na dos a re sol ver pro ble mas es pecífi cos, pero to dos ellos son in te rre la cio na bles y, por esto, per mi ten re sol ver pro ble mas con ma yor gra do de com ple ji dad. De esta ma ne ra, el sis te ma, al que de no mi na re mos, SD, puede ser definido como: SD = < {A1, A2 , ... , An}, {0, 1, 2, ... , n }, R > en don de {A1, A2 , ... , An} es el con jun to de los algorit mos; {0, 1, 2, ... , n} es el con jun to de los va lo res que pue den co brar las va ria bles y cons tan tes de los al go rit mos, y R es una re la ción que per mi te la in ter co ne xión en tre los al go rit mos. El sis te ma que con for man los al go rit mos es ex per to en el sen ti do en que pue de "si mu lar" la con duc ta de un lógico es pe cia li za do en pro ble mas de de duc ción den tro del cálcu lo pro po si cio nal, aun que tam bién den tro del cálcu lo cuan ti fi ca cio nal bajo cier tas res tric cio nes. La si logísti ca aris totélica, por ejem plo, aun que per te ne cien te por tra di ción a una lógica de "térmi nos", es ma ne ja ble den tro del sis te ma. El sis te ma es ex per to aún en el sen ti do psi cológico en que el sis te ma pue de dar "sor pre sas", in clu si ve a sus pro pios crea do res. A ma ne ra de ilus tra ción: cuan do es ta ba sien do so me ti do a en sa yos y pro vis to de in for ma ción con cer nien te a la si logísti ca clásica, "re por ta ba" como inváli dos va rios si lo gis mos in clui dos como váli dos en al gu nos lis ta dos estándar: Ba ma lip, Da rap ti, etc. Se pensó, en pri me ra y más gra ve ins tan cia, en un error en los al go rit mos; lue go, en un error en la in ter co ne xión; lue go, en un error en la in for ma ción, etc. No había tal: el sis te ma es ta ba bien. Los si lo gis mos que re cha za ba son du bi ta bles en tan to que 2 si lo gis mos ge nui nos, pues to que im pli can una pre sun ción de exis ten cia no con te ni da en las pre mi sas uni ver sa les. Para per ca tar se de esto, hubo ne ce si dad de re vi sar las dis cu sio nes so bre la si logísti ca clásica. Los crea do res del sis te ma, su pues tos ex per tos, habían ol vi da do es tas cues tio nes. No es po si ble ofre cer, en la re du ci da ex ten sión a que están cons tre ñi dos los tra ba jos que se pre sen tan en una con fe ren cia, los al go rit mos que con for man el sis te ma. Su ex po si ción y ex pli ca ción con su mirían un tiem po equi va len te, por lo me nos, al de un cur so con du ra ción de dos se mes tres académi cos. No son muy nu me ro sos, son apro xi ma da men te cien. Tam po co son difíci les de com pren der, sólo se re quie re el ma ne jo de dos teorías ele men ta les, la de la lógica y la de los núme ros. Pero al gu nos de ellos son ex ten sos y apa ren te men te com ple jos. No obs tan te, se des ta carán en se gui da al gu nas de sus ca rac terísti cas fun da men ta les: 4.1. Per mi ten dis tin guir en tre las fórmu las bien for ma das (wffs) y las sim ples ex pre sio nes. 4.2. Per mi ten sa ber si en un con jun to de wffs con sis ten tes, sintácti ca men te di fe ren tes, una o más fórmu las son re dun dan tes, esto es, si son semánti ca men te equi va len tes; o bien, si la últi ma de las wffs es re dun dan te por de duc ti bi li dad res pec to de las wffs anteriores. 4.3. Per mi ten trans for mar cual quier fórmu la bien for ma da, con cual quier número y com bi na ción de los ope ra do res lógi cos clási cos, en una fórmu la canónica (nor mal dis yun ti va). 4.4. Per mi ten de ci dir si una fórmu la de ter mi na da cual quie ra, con cual quier número y com bi na ción de los ope ra do res lógi cos clási cos, es o no un teo re ma de un cálcu lo pro po si cio nal axiomatizado. 4.5. Per mi ten de ci dir, en de duc ción na tu ral, si una fórmu la de ter mi na da se de du ce o no de un con jun to de pre mi sas dado. 4.6. Per mi ten ob te ner, en de duc ción na tu ral, todas las con clu sio nes semánti ca men te dis tin tas que se de du cen de un con jun to de pre mi sas dado. 4.7. Re suel ven un pro ble ma inu sual den tro de la lógica. A sa ber: per mi ten ob te ner, en de duc ción na tu ral, to dos los con jun tos semánti ca men te dis tin tos de pre mi sas de los cua les se de du ce –una vez de ter mi na do el número de va ria bles en que se quie ra en cua drar el pro ble ma– una fórmu la cual quie ra pro pues ta a ma ne ra de con clu sión. 4.8. Los pro ble mas se pue den plan tear con cual quier número y com bi na ción de los ope ra do res lógi cos tra di cio na les; las so lu cio nes, en los ca sos 4.6 y 4.7, se ob tie nen en for ma nor mal disyuntiva. Con la adi ción de dos sub sis te mas más, cu yos al go rit mos están en un avan za do pro ce so de ela bo ra ción, en un fu tu ro cer ca no será po si ble: a) ob te ner las fórmu las canóni cas en for ma mi ni mi za da y b) me dian te una pro gra ma ción de gráfi cas, ob te ner di rec ta men te el diseño del cir cui to en se rie-pa ra le lo mi ni mi za do, que co rres pon da a un de ter mi na do pro ble ma lógico plan tea do. 5. Sis te ma y Pro gra ma ción Los al go rit mos con te ni dos en el sis te ma per mi ten tra ba jar, en prin ci pio, con cual quier número fi ni to de va ria bles pro po si cio na les, tan gran de como se quie ra. Sin em bar go, las li mi ta cio nes pro pias de los equi pos de cómpu to per so na les (PC), res trin gen su efec ti vi dad, por aho ra, a un máximo de cua tro va ria bles. No obs tan te esto, se pro du cen re sul ta dos in te re san tes: hay plan tea mien tos, en el caso 4.6, en que se lle gan a ob te ner más de 30,000 con clu sio nes semánti ca men te dis tin tas, a par tir de un con jun to de pre mi sas con cua tro va ria bles. 6. Aco ta ción teórica La fi lo sofía sub ya cen te en el de sa rro llo de los al go rit mos es emi nen te men te cons truc ti vis ta. Por esto, la línea de in ves ti ga ción se en cuen tra cer ca na a los en fo ques del in tui cio nis mo: Krönec ker, Poin caré, Bo rel, Bro wer, Weyl, Hey ting, etc., aun que esto no sig ni fi ca que se asu man to das las te sis de esta co rrien te. Mayo de 1990 3 Re fe ren cias: • Amir A.: "Ex pres sive Com plete ness Fail ure in Branch ing Time Struc tures". Jour nal of Com puter and Sys tem Sci ences 34, (1), 27-42, 1987. • Arvind V., Bis was S.: "An O(n2) Algo rithm for the Sa tis fia bi lity Pro blem of a Sub set of Pro po si tio nal Sen ten ces in CNF that Inclu des all Horn Sen ten ces". 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Una ver sión pre li mi nar de este do cu men to fue pu bli ca da en: Va. Con fer en cia Inter na cio nal: Las Com pu ta do ras en Insti tu cio nes de Edu ca ción y de Inves ti ga ción. Cómpu to Aca dé mi co UNAM, UNISYS, Mé xi co. No viem bre 14 a No viem bre 16 de 1989.