ISSN1330{0016 CODENFIZBE7 GEONS { CANDIDATES FOR THE ROLE OF THE INITIAL MICROBLACK HOLES AND THEIR IMPORTANCE FOR THE PLANCK PHYSICS ALEXANDR P. KLIMETS Ul. Kievskaya 97/44, Brest, 224020 Belarus Received 7 September 1998; revised manuscript received 15 March 1999 Accepted 10 May 1999 The article describes exotic objects, the geons, which emerge as the result of gravitational attraction among massless energy quanta. It is shown that the formation of geons occurs at the energy EPl = 10 19 GeV and leads to the rise of microscopic black holes of a Planck dimension, Planck mass and two horizon events. It is shown that the formation of Planck geons is energetically more likely in 3-dimensional space than with \physics" of geons in a space of a dierent number of dimensions, what, as it appears, determined the 4-dimensional space-time at the very rst moments after the \Big Bang". The problem of singularity in the theory of relativity is discussed. It is shown that, from the mathematical point of view, any space of nite dimensions of any extension can be placed in a dimensionless \point" of space of the Planck dimensions without the change of density of matter of the Metagalaxy. That theoretically solves the problem of physical singularities of the general theory of relativity. PACS numbers: 11.15.Tk, 11.30.Qc, 11.30.Rd UDC 530.12 Keywords: gravitationally bound massless quanta, geons, microscopic black holes, singularities of the general theory of relativity 1. Vvedenie V rabote [1] geony opredelts sleduwim obrazom. to metastabil~noe obedinenie nergii lektromagnitnyh ili gravitacionnyh voln, sderivaemyh voedino sobstvennym gravitacionnym priteniem. Pri postroenii geonov ispol~zuts sleduwie soobraeni. Gravitacionnoe uskorenie, neobhodimoe dl uderani izluqeni na krugovo$i orbite radiusa R, po pordku veliqiny sostavlet c2=R. Uskorenie, imewee mesto vsledstvie gravitacionnogo priteni v sgustke luqisto$i nergii s masso$i M , po pordku veliqiny ravno M=R2, gde  ñtonovska konstanta tgoteni. Oba tih uskoreni sovpadat FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 23 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . po pordku veliqiny, kogda radius R  M=c2. Pri sobldenii tih uslovi$i mono poluqit~ sgustok izluqeni, kotoroe uderivaet seb sobstvennym gravitacionnym polem [2]. V dannom sluqae geony predstavlt sobo$i nekvantovannu klassiqesku massu, ne imewu otnoxeni k fizike lementarnyh qastic. V nastowe$i rabote budet rassmotrena sistema, sostowa iz dvuh gravitacionno vzaimode$istvuwih fotonov. Budet pokazano, qto pri nekotoro$i opredelenno$i nergii taka sistema prevrawaets v plankovski$i geon { qasticu s razmerom lPl  10 33 sm, masso$i mPl  10 5 g i slono$i vnutrenne$i strukturo$i, kotora moet byt~ oharakterizovana kak mikroq erna dyra v prostranstve i vremeni. Vpolne verotno, qto takie obekty mogli voznikat v pervye doli sekundy \Bol~xogo Vzryva", potomu teoretiqeski$i analiz obrazovani plankovskih geonov predstavlet sobo$i opredel enny$i interes. 2. Kaqestvenny$i kvantovo-teoretiqeski$i analiz obrazovani geonov Izvestno, qto massa poko slono$i sistemy opredelets soglasno formule M2c2 = E2 c2   ~P 2 ; (1) gde E polna nergi sistemy a ~P ee polny$i impul~s. Poka qasticy ne vzaimode$istvut, nergi sistemy vlets summo$i nergi$i qastic, obrazuwih sistemu, E = X i i ; (2) t.e., vlets additivno$i. Polny$i impul~s sistemy vektorno skladyvaets iz impul~sov otdel~nyh qastic i additiven vsegda, ~P = X i ~pi : (3) Togda (1) mono zapisat~ v vide M2c2 = 1 c2 X i i !2   X i ~pi !2 : (4) V sisteme otsqeta, v kotoro$i polny$i impul~s ~P raven nul, poluqim M = 1 c2 X i i : (5) 24 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . No nergi otdel~no$i qasticy vsegda mono predstavit~ v vide summy nergii poko i kinetiqesko$i nergii i = mic 2 + Ti : (6) Togda iz (6) my poluqim M = X i mi + 1 c2 X i Ti : (7) Otsda sleduet, qto massa poko sistemy prevoshodit summu mass poko sostavlwih qastic (delennu na c2) vyqislennu v sisteme otsqeta, gde polny$i impul~s ~P = 0. Dl sistemy, sostawe$i iz bezmassovyh qastic, kinetiqeska nergi kado$i qasticy ravna Pc, togda iz (7) poluqim M = 1 c2 X i pic = X i pi c ; (8) t.e. v sisteme, gde polny$i impul~s ~P = 0, \massu" kadogo fotona mono opredelit~ kak P=c. Rassmotrim teper~ sistemu vzaimode$istvuwih qastic. Formula (4) ostaets, koneqno, v sile. Odnako, vmesto (2) nuno zapisat~ E = X i i + U ; (9) gde qerez U oboznaqena nergi vzaimode$istvi qastic. Dl usto$iqivo$i sistem$i U < 0, poskol~ku v \ravnovesnom", usto$iqivom sostonii dolen byt~ minimum nergii. Iz (1), v sisteme otsqeta, gde ~P = 0, poluqim M = 1 c2 X i i + U ! ; (10) ili, inaqe M = X i mi + 1 c2 X i Ti + 1 c2 U ; (11) gde my vospol~zovalis~ sootnoxeniem i = mic 2 + Ti, spravedlivym dl kado$i otdel~no$i qasticy. Veliqina U=c2 v (11) vlets tak nazyvaemym defektom mass M . FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 25 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . Dl ul~trareltivistskih qastic (v  c) dl otdel~no$i qasticy imeem  = cp i m = 0. Odnako ue dl dvuh (i bolee) qastic iz (4) poluqim (poskol~ku P i i = c P i pi) M2c2 = X i pi !2   X i ~pi !2 =0 : (12) to znaqit, qto massa poko sistemy, sostowe$i iz qastic s masso$i poko ravno$i nul, vovse ne ravna nul. V tom net niqego udivitel~nogo, poskol~ku massy poko ne skladyvats. Podstavl v (11) dl bezmassovyh qastic P i mi = 0, poluqim M = 1 c2 X i Ti + 1 c2 U ; (13) ili Mc2 = X i Ti + U : (14) VeliqinaMc2 v (14) vlets polno$i nergie$i sistemy vzaimode$istvu- wih bezmassovyh qastic v sisteme otsqeta, gde polny$i impul~s raven nul. Oboznaqa Mc2 = En i Ti = pic, poluqim En = X i cpi + U : (15) Dl dvuh fotonov odinakovo$i nergii imeem En = 2pc+ U : (16) Podqerknem, qto, soglasno (13), sistema iz dvuh vzaimode$istvuwih fotonov obladaet masso$i poko M . Takim obrazom, vsegda mono na$iti inercial~nu sistemu otsqeta, v kotoro$i skorost~ centra inercii sistemy iz dvuh vzaimode$istvuwih fotonov V ravna nul. V reltivistsko$i mehanike radius-vektor centra inercii zamknuto$i sistemy material~nyh toqek nahodits po formule ~R = P E~rP E ; (17) gde E polna nergi sistemy i ~r radius-vektor qasticy. Otnositel~na skorost~ dvuh fotonov dolna byt~ ravna skorosti sveta c. Privedenny$i 26 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . impul~s sistemy iz dvuh fotonov opredelim po analogii s privedenno$i masso$i sistemy iz dvuh massivnyh qastic, s uqetom sootnoxeni (8), (p=c)(p=c) p=c+ p=c = p 2c : (18) Iz (18) privedenny$i impul~s dvuh odinakovyh fotonov raven p0 = p=2 : (19) Toqka s radius-vektorom (17) ravnomerno dviets so skorost~ ~V = c2 P i ~piP E ; (20) kotora vlets skorost~ dvieni sistemy iz dvuh vzaimode$istvuwih fotonov, kak celogo, t.e. skorost~ geona, s masso$i poko ravno$i M = 1 c2 (2Pc) + 1 c2 U : (21) Iz obwe$i teorii otnositel~nosti izvesno, qto lba forma nergii, v tom qisle nergi bezmassovyh kvantov, sposobna generirovat~ gravitacionnoe pole. Otsda sleduet, qto dva odinoqnyh fotona mogut medu sobo$i gravitacionno vzaimode$istvovat~ i takim obrazom, obrazovat~ svzannu sistemu, geon. (Otmetim, qto my vse vrem govorim \foton" tol~ko dl konkretnosti. Imeets v vidu lbo$i bezmassovy$i kvant nergii.) V ramkah klassiqesko$i fiziki Ñtona potencial~na nergi, Epot, sozdavaema gravitacionnymi polmi mass M i m, imeet vid Epot =  Mm R ; (22) gde  postonna tgoteni Ñtona, M i m gravitiruwie massy i R rasstonie medu massami. Vospol~zuems sootnoxeniem (22) primenitel~no k sisteme iz dvuh gravitacionno vzaimode$istvuwih fotonov odinakovo$i nergii. Togda, soglasno (8), v (22) neobhodimo podstavit~ znaqeni impul~sov fotonov, delennyh na skorost~ sveta, t.e. P=c. Sootnoxenie (22) perepixets sleduwim obrazom Epot =    c2 P 2 R : (23) Obrazovavxas sistema predstavlet iz seb geon, opredelenny$i nami v Par. 1. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 27 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . Zadaqu o dvienii dvuh fotonov, vzaimode$istvuwih tol~ko drug s drugom, po analogii s dvum vzaimode$istvuwimi massivnymi qasticami, mono svesti k zadaqe o dvienii odnogo fotona. Privedenny$i impul~s sistemy iz dvuh odinakovyh fotonov, soglasno (19), raven P 0 = p=2, gde P 0 privedenny$i impul~s i P impul~s kadogo iz fotonov. Togda polna nergi geona prinimaet sleduwi$i vid En = Ekin +Epot = cP 0   P 2 c2R = 1 2 cP   P 2 c2R ; (24) gde c v pervom slagaemom otnositel~na skorost~ fotonov i ravna skorosti sveta. Uravnenie (24) mono perepisat~ sleduwim obrazom En = cP 2  1  Rg R  ; (25) gde Rg = (2=c 3)P tak nazyvaemy$i gravitacionny$i radius geona. Otmetim, qto uravneni (24) i (25) spravedlivy ne tol~ko dl bezmassovyh qastic, no i dl massivnyh ul~trareltivistskih obektov. Odnako v nastowe$i rabote my akcentiruem vnimanie tol~ko na svo$istvah bezmassovyh qastic, kak bolee fundamental~no$i (s toqki zreni avtora) formy materii. Nie budet pokazano, qto (24) vlets priblieniem k pravil~nomu vyraeni dl polno$i nergii geona (tak kak ne uqten polny$i moment impul~sa sistemy i ffekty, voznikawie v ramkah obwe$i teorii otnositel~nosti), odnako mono ue se$iqas issledovat~ zavisimost~ E(P ) i E(R) v (24). Uravnnenie (24), opisyvawee polnu nergi geona, analogiqno uravneni dl polno$i nergii atoma vodoroda. No zdes~, v otliqie ot atoma vodoroda. otsutstvuet central~noe dro, uderivawee fotony na \krugovo$i orbite". Tem ne menee mono print~, qto vs gravitiruwa massa geona sosredotoqena v centre inercii dvuh fotonov. Iz kvantovo$i mehaniki izvestno, qto ocenit~ nergi osnovnogo sostoni atoma vodoroda mono s pomow~ sootnoxeni neopredelennoste$i Ge$izenberga. Analogiqnym obrazom my postupim i v dannom sluqae. Qtoby ispol~zovat~ uravnenie (24) v kvantovo$i teorii (v kaqestvennom priblienii), budem rassmatrivat~ veliqiny P i R, vhodwie v nego, kak neopredelennosti impul~sa i koordinaty. Otmetim, qto R v (24) harakterizuet razmer oblasti, zanimaemo$i geonom. S drugo$i storony, R mono traktovat~ kak radius krivizny traektorii fotonov. Kogda impul~s kadogo iz fotonov mal, radius R stremits k beskoneqnosti, t.e. vzaimode$istvie fotonov praktiqeski otsutstvuet. Soglasno sootnoxeni neopredelennoste$i, veliqiny P i R svzany 28 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . drug s drugom. Poloim PR = h, gde h postonna Planka. Poluqim E(P ) = cP 2   P 3 hc2 = cP 2  1  2P 2 P 2Pl  : (26) Funkci E(P ) imeet maksimum pri nekotorom znaqenii P = P1. Oboznaqim ee qerez E1. Veliqinu E1 mono rassmatrivat~ kak ocenku nergii osnovnogo sostoni geona, a veliqinu R1 = h=P1 kak ocenku line$inyh razmerov geona. Priravniva nul proizvodnu dE(P )=dP , nahodim, qto P1 =  hc3 6 1=2 ; R1 = h P1 =  6h c3 1=2  lPl = 10 33 cm E1 =  hc5 54 1=2  1019GeV : Risunok 1 pokazyvaet grafik zavisimosti E(P ). P E E1 PPL P1 Ris. 1. Zavisimost~ E(P ) ot P . Parametri P1 i E1 udovletvort dE(P )=dP = 0. tot grafik netrudno interpretirovat~. Poka impul~sy fotonov maly, sozdavaemoe imi gravitacionnoe pole vlets slabym i vzaimode$istvie fotonov praktiqeski otsutstvuet. Kogda e impul~sy fotonov dostigat znaqeni P1 (a to ue oblast~ plankovskih masxtabov), proishodit izmenenie situacii. nergi svzi fotonov okazyvaets dovol~no znaqitel~no$i. Pri dostienii fotonami impul~sa PPl =p hc3=, polna nergi geona stanovits ravno$i nul, defekt massy geona \sedaet" vs kinetiqesku nergi fotonov. Iz Ris. 1 vidno, qto svobodnyh fotonov s nergie$i bol~xe 1019 GV v prirode byt~ ne moet. Na tom nergetiqeskom rubee bezmassovye kvanty nergii vzaimode$istvut drug s drugom, prevrawas~ v plankovskie geony, faktiqeski e plankovski$i geon prevrawaets v mikroskopiqesku qernu dyru s razmerom lPl  10 33 sm, qto budet pokazano nie. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 29 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . Ispol~zu sootnoxenie neopredelennoste$i, na$idem iz (24) zavisimost~ E(R). Imeem E(R) = hc 2R   h 2 c2 1 R3 = hc 2R  1  2l 2 Pl R2  ; (27) gde lPl fundamental~na plankovska dlina. E(R) v (27) imeet maksimum pri R1 = p 6h=c3. Risunok 2 pokazyvaet grafik zavisimosti E(R). E R E1   / 3/ R1 Ris. 2. Zavisimost~ E(R) ot R. Toqka pereseqeni grafika funkcii E(R) s os~ R v dannom priblienii sootvetstvuet gorizontu sobyti$i, otstowem ot singulrnogo sostoni geona (R = 0) na rasstonii p 2 lPl. Otmetim, qto dl vnexnego nabldatel umeñxenie polno$i nergii geona s rostom impul~sov fotonov vygldit, kak umeñxenie ih qastoty \pokrasnenie"), qto neposredstvenno svzano s zamedleniem vremennyh processov vblizi gorizonta sobyti$i. Polnoe rexenie zadaqi o dvienii qasticy v central~nom pole mono poluqit~, ishod ne tol~ko iz zakonov sohraneni nergii, no i momenta. V klassiqesko$i mehanike dl polno$i nergii dvuh gravitacionno vzaimode$istvuwih massivnyh tel my imeli by sleduwee vyraenie E = ( _r)2 2 + N2 2r2 + U(r) ; (28) gde  privedenna massa, N orbital~ny$i moment impul~sa privedenno$i massy i U(r) potencial~na nergi vzaimode$istvi qastic. Dl geona v printom nami priblienii uravnenie (28) perepixets sleduwim obrazom E = cP 0 1  Rg R + P 2 (2P 0)2 ! ; (29) gde P 0 privedenny$i impul~s fotonov, Rg gravitacionny$i radius geona i P = N=R orbital~ny$i impul~s \privedennogo fotona". 30 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . Naliqie centrobeno$i nergii, obrawawe$is pri R! 0 v beskoneqnost~ kak 1=R2 privodit obyqno k nevozmonosti proniknoveni dviuwihs qastic k centru pol (R = 0), dae esli poslednee samo po sebe imeet harakter priteni. Takim obrazom, naliqie centrobeno$i nergii dolno snt~ problemu singulrnogo sostoni geona pri uveliqenii impul~sov kadogo iz fotonov. V sleduwem paragrafe my uvidim, qto to de$istvitel~no tak. Neobhodimost~ rassmotreni v dannom paragrafe vzaimode$istvi fotonov v ramkah ñtonovsko$i fiziki obuslovleno tem, qto pri takom podhode estestvennym obrazom povlets veliqina Rg = (2=c 3)P , kotoru mono traktovat~ kak gravitacionny$i radius geona. V ramkah e obwe$i teorii otnositel~nosti srazu obosnovat~ povlenie to$i veliqiny neskol~ko slonee. Tem ne menee sno, qto dl bolee polnogo analiza neobhodimo obratit~s k obwe$i teorii otnositel~nosti, opisyvawe$i sil~nye gravitacionnye pol. 3. Geony v obwe$i teorii otnositel~nosti Rassmotrim dvienie \privedennogo fotona" v central~no-simmetriqnom gravitacionnom pole. Kak i vo vskom central~nom pole, dvienie budet proishodit~ v odno$i ploskosti, prohodwe$i qerez naqalo koordinat. Vyberem tu ploskost~ v kaqestve ploskosti  = =2. Vospol~zuems uravneniem Gamil~tona-kobi, s uqetom togo, qto massa poko qasticy ravna nul, gik @S @xi @S @xk = 0 ; gde S de$istvie. Kofficienty gik voz~mem iz rexeni Xvarcxil~da. Togda poluqim uravnenie dvieni \privedennogo fotona" v central~nosimmetriqnom gravitacionnom pole e E2   e(P 0R)2c2   N2 R2 c2 = 0 ; (30) gde e = 1   Rg=R, Rg = (2=c3)PR gravitacionny$i radius geona, PR impul~s kadogo iz fotonov v radial~nom napravlenii, N orbital~ny$i moment impul~sa \privedennogo fotona" i Nc=R centrobena nergi \privedennogo fotona" [3]. Vzaimode$istvie fotonov uqteno v (30) s pomow~ opredelennogo v Par. 2 gravitacionnogo radiusa geona Rg = (2=c 3)PR. Razloim (30) v rd po stepenm 1=R. Poluqim E = cP 0 1  Rg R + P 2 (2P 0)2 . . . ! ; (31) FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 31 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . Kak mono videt~ iz togo razloeni, v tret~em priblienii ono sovpadaet s uravnenniem (29). Moment impul~sa N suwestvennym obrazom vliet na grafik zavisimosti polno$i nergii geona ot R vblizi singulrno$i toqki R = 0. De$istvitel~no perepixem (30) sleduwim obrazom E2 =  1  2 c3 P 2R 2 c2P 2R 4 +  1  2 c3 P 2R  P 2c 2 : (32) Polny$i moment impul~sa \privedennogo fotona" sostoit iz orbital~nogo momenta ~l i spinovogo momenta ~S, kotorye skladyvats vektorno. V kvantovo$i mehanike polny$i moment impul~sa moet prinimat~ znaqeni, kratnye h J2 = h2j(j + 1) ; gde j kvantovoe qislo polnogo momenta impul~sa qasticy. Iz skazannogo sleduet, qto vyraenie dl centrobeno$i nergii \privedennogo fotona" budet~ imet~ vid P 2c 2 = h2c2 R2 j(j + 1) : S drugo$i storony, vmesto znaqeni impul~sa PR v (32) mono podstavit~ veliqinu h=R. Takim obrazom, uravnenie (32) dl polno$i nergii geona neobhodimo zapisat~ sleduwim obrazom E2 = h2c2 4R2  1  2l 2 Pl R2 2 + h2c2 R2  1  2l 2 Pl R2  [j(j + 1)] ; (33) gde lPl = p h=c3 fundamental~na plankovska dlina. Otmetim, qto esli dl odinoqnogo fotona polny$i moment impul~sa j probegaet znaqeni 1, 2, 3, . . . (j = 0), to dl sistemy iz dvuh fotonov polny$i moment impul~sa j probegaet znaqeni 0, 2, 4, . . . . Znaqeni j = 1 nevozmono [4]. Pri j = 0 grafik funkcii E(R), soglasno (33), budet analogiqen grafiku na Ris. 2. Pust~ j = 2. Togda iz (33) budem imet~ E2 = h2c2 4R2  1  2l 2 Pl R2 2 + 6h2c2 R2  1  2l 2 Pl R2  : (34) V sootvetstvii s (34), grafiki funkcii E2(R) i E(R), pokazany na Ris. 3. 32 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . E1=EPl 12 E R Ris. 3. Zavisimost~ E2(R) i E(R) ot R. Na Ris. 3 izobraeny tol~ko pravye qasti grafikov E2(R) i E(R) pri R > 0. Pri R < 0 leva qast~ grafika simmetriqna ego pravo$i qasti. Take vidno, qto naliqie centrobeno$i nergii v korne menet povedenie geona vblizi singulrnosti R = 0. Geon v tom sluqae imeet ne odin, a dva gorizonta sobyti$i, vnexni$i i vnutreni$i (toqki 1 i 2), razdelennye promeutkom 0:5lPl (krome sluqa j = 0). Singulrnoe sostonie dostigaets geonom pri R = 0. Odnako iz Ris. 3 vidno, qto pri priblienii geona k singulrnomu sostoni ego polna nergi rastet, qto sootvetstvuet ottalkivani ot singulrnosti. Takim obrazom oblast~ R, meñxa 0.9 lPl, sootvetstvuet antigravitacii. Rost polno$i nergii geona i, sootvetstvenno, ottalkivanie ot singulrno$i toqki obuslovlen centrobeno$i nergie$i geona. Kak vidno iz Ris. 3, rexenie Xvarcxil~da dl dvuh vzaimode$istvu- wih fotonov pri j  2 harakterizuets naliqiem dvuh gorizontov sobyti$i, qto otliqno ot rexeni Xvarcxil~da dl massivyh tel s odnim gorizontom sobyti$i. to i neudivitel~no. \Padenie" fotonov na gravitiruwi$i \centr" pri roste ih impul~sa harakterizuets ne tol~ko radial~nym impul~som PR, no i tangencial~no$i sostavlwe$i ih dvieni, impul~som P. Oblast~ medu toqkami 1 i 2 na Ris. 3b vlets mnimo$i (t.e. nenabldaemo$i ) polno$i nergie$i geona, qto prisuwe lbo$i qerno$i dyre v OTO. Otmetim take, qto v geone pri j  2 vypolnets tak nazyvaemoe pravilo kosmiqesko$i tiki: \nel~z obnaruit~ singulrnost~", sformulirovannoe Penrouzom [8]. De$istvitel~no, singulrnost~ , otkryta vo vnexni$i mir i dostupna nabldatel, na grafike E2(R) imela by vid pokazan na Ris. 4a. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 33 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . E (2 ) R 1=2 E (2 ) R Ric. 4. Zavisimost~ E2 ot R. Risunok 4b otraaet situaci tak nazyvaemogo kstremal~nogo kerrovskogo otona (vrawawe$is qerno$i dyry), kogda oba gorizonta sobyti$i (toqki 1 i 2) slivats. Nakonec Ris. 4v otraaet situaci s dvuma razdelennymi gorizontami sobyti$i. V sluqae vrawawe$is massivno$i qerno$i dyry rasstonie medu gorizontami sobyti$i zavisit ot skorosti vraweni. Odnako v geone skorost~ fotonov na \krugovo$i orbite" maksimal~na i ravna c, tem ne menee zdes~ oba gorizonta sobyti$i razdeleny promeutkom 0:5 lPl, qto i podtverdaet pravilo sformulirovannoe Penrouzom. Uravnenie (32) dl polno$i nergii geona mono issledovat~ ne tol~ko kaqestvenno, kak v dannom sluqae, no i podvergnut~ strogomu kvantovoteoretiqeskomu analizu. Tem ne menee izloennoe vyxe kaqestvennoe rassmotrenie vzaimode$istvi fotonov v plankovskih masxtabah pozvolet pont~ mnogie suwestvennye storony povedeni materii na naibolee glubokom urovne fiziqesko$i real~nosti. Otmetim take sleduwi$i moment. Izloennye vyxe rassudeni po gravitacionnomu vzaimode$istvi dvuh fotonov v principe mono perenesti i na odinoqny$i bezmassovy$i kvant nergii, vzaimode$istvuwi$i s sobstvennym gravitacionnym polem. Polna nergi takogo samode$istvu- wego fotona budet analogiqna sootnoxenim (32) i (33). V dannom sluqae neobhodimo tol~ko na$iti pravil~nu interpretaci veliqiny R (naprimer, mono sopostavit~R s dlinoi volny  svetovogo kvanta). Togda, pri nergii svetovogo kvanta EPl = 10 19 GV, on dolen prevratit~s v mikroskopiqesku qernu dyru (kollapsirovat~). Pri tom polny$i moment impul~sa fotona j ne moet prinimat~ znaqeni ravnye 0 v silu popereqnogo haraktera volnovo$i funkcii fotona. to avtomatiqeski isklqaet vozmonost~ dostieni kollapsiruwim fotonom singulrnogo sostoni iz-za ottalkivawego haraktera centrobeno$i nergii Pc. Potomu odinoqny$i foton, vzaimode$istvuwi$i s sobstvennym gravitacionnym polem, s fiziqesko$i toqki zreni, bolee predpoqtitelen, qem sistema iz dvuh fotonov, v kotoro$i vozmono sostonie j = 0. Odnako podobna vozmonost~ gravitacionnogo kollapsa 34 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . odinoqnogo fotona, vidimo, predpolagaet naliqie u fotona vnutrenne$i struktury i, sledovatel~no, ego massy poko, qto ne sootvetstvuet de$istvitel~nosti. Potomu my zdes~ ne rassmatrivali podrobno tot variant, hot, ishod iz obwih soobraeni$i (naliqie u fotona sobstvenno$i gravitacionno$i nergii) on vpolne dopustim. 4. Geony i razmernost~ fiziqeskogo prostranstva-vremeni Se$iqas, po vseobwemu ubedeni specialistov, pri plankovskih parametrah l  lPl, t  tPl, m  mPl formiruets istinna fizika v tom smysle, qto ponimanie proishodwih processov v to$i oblasti privedet k postroeni edino$i teorii pol, kvantovo$i teorii gravitacii, sozdani teorii proishodeni metagalaktiki i koliqestvennomu predstavleni fiziqesko$i geometrii. to otnosits i k tako$i fundamental~no$i harakteristike prostranstva, kak ego razmernost~. Iz topologiqesko$i teorii razmernosti sleduet, qto razmernost~ prostranstva zadaets razmernost~ porodawego ego lementa. To est~ svo$istvo prostranstva byt~ n-mernym v toqke R topologiqeski invariantno [5]. Potomu my dolny print~ k svedeni 4-merny$i harakter lementarnogo fiziqeskogo sobyti v mikromire v kaqestve istoqnika razmernosti real~nogo prostranstva-vremeni. Suwestvuet take parametriqeskoe pontie razmernosti prostranstvavremeni, harakterizuemoe qislom nezavisimyh parametrov, neobhodimyh dl zadani toqki (lementarnogo sobyti). V fizike v osnovnom ispol~zuets imenno to pontie. Podqerknem, qto nikakogo prostranstva samogo po sebe (kak i vremeni), kak osobo$i fiziqesko$i suwnosti, net. S reltivistsko$i toqki zreni pontie \prostranstvo" vyraaet tol~ko sovokupnost~ otnoxeni$i, skladyvawihs v dvienii i vzaimode$istvii real~nyh fiziqeskih ob~ektov. Vakuum nel~z opredelit~ kak prostranstvo, tak kak v n em net otnoxeni$i. Potomu vakuum ne obladaet opredelenno$i mernost~, no qislo nezavisimyh vzaimootnoxeni$i medu qasticami v vakuume moet byt~ raznym. to qislo i opredelet parametriqesku razmernost~. Razmernost~ prostranstva provlets vo vzaimode$istvih obektov, v ih otnoxenih. Togda oqevidno, qto vzaimode$istvi v treh nezavisimyh napravlenih qem-to predpoqitel~nee, qem vzaimode$istvi v n-nezavisimyh napravlenih. Pokaem, qto v ramkah modeli geona mono otvetit~ na vopros: \Poqemu u nabldaemogo prostranstva imenno tri izmereni?" Pri rassmotrenii togo voprosa my vospol~zuems rezul~tatami, poluqennymi v svoe vrem P. renfestom [6]. renfest rassmatrivaet \fiziku" v n-mernom prostranstve U (n). Pri tom zakon vzaimode$istvi s toqeqnym centrom on vyvodit (analogiqno trehmernomu sluqa) iz differenFIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 35 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . cial~nogo uravneni Puassona v U (n) dl potenciala, opredelwee to vzaimode$istvie. Fundamental~nye fiziqeskie zakony vzaimode$istvi$i zadats v variaciono$i forme. Lagranian dl proste$ixego sluqa skalrnogo bezmassovogo pol (t; x1; x2; . . . ; xn) imeet vid =  @ @t 2   nX k=1  @ @x 2 : (35) tot Lagranian privodit k uravneni Puassona i, sledovatel~no, k pol toqeqnogo centra  Rn 2 (  lnR pri n = 2). Razmernost~ prostranstva uqityvaets v (35) tol~ko v vide uslovi na mnoestvo znaqen$i, kotorye moet prinimat~ indeks K. V (3+1)-mernom sluqae K = 0; 1; 2; 3. Takim obrazom, (35) pozvolet poluqit~ sootvetstvuwu qast~ fiziki v prostranstve lbo$i razmernosti. Uravnenie Puassona kak raz matematiqeski kvivalentno ukazannomu Lagranianu (s estestvennym obobweniem na drugie pol). V sferiqeski simmetriqnom sluqae v U (n) iz uravneni Puassona ili iz zakona Gaussa dl naprennosti pol sledut vyraeni dl potencial~no$i nergii E (n) pot =   Mm (n  2)Rn 2 ; n  3 ; (36) E (2) pot = Mm lnR; n = 2 ; (37) E (1) pot = MmR; n = 1 ; (38) gde M i m massy tel i  konstanta vzaimode$istvi. Dl gravitacionno vzaimode$istvuwih fotonov vyraeni (36), (37) i (38) primut sleduwi$i vid E (n) pot =   P 2R c2(n  2)Rn 2 =   h2 c2(n  2)R2Rn 2 ; (36 0) E (2) pot =  c2 P 2R lnR = h2 c2 lnR R2 ; (370) E (1) pot =  c2 P 2RR = h2 c2 1 R : (380) V polnu potencial~nu nergi sistemy vhodit i centrobena nergi geona Pc = (N=R)c, forma kotoro$i, odnako, ne zavisit ot razmernosti prostranstva, toqno take, kak ne zavisit ot razmernosti prostranstva forma dl nergii \privedennogo fotona" e = P 0c. S drugo$i 36 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . storony, centrobena nergi igraet rol~ tol~ko v tret~em priblienii, potomu dalee v vyraenih dl polno$i nergii geona v prostranstvah U (n) my ne budem ee uqityvat~ (v celh uproweni grafikov). Togda uravneni dl polno$i nergii geona v prostranstvah U (n) budut imet~ vid (pri uslovii, qto  = c = h = 1) E(n)(R) = 1 2R  1  2 (n  2)Rn 1  ; n  3 ; (39) E(2)(R) = 1 2R  1 + 2 R lnR  ; n = 2 ; (40) E(1)(R) = 1 R ; n = 1 : (41) Obratim vnimanie na to, qto na grafikah zavisimosti nergii geona ot R toqka maksimuma vlets harakterno$i toqko$i, leawe$i v oblasti nergi$i EPl = 10 19 GeV. Imenno v ne$i naqinaets \padenie" fotonov na gravitiruwi$i \centr" i obrazovanie plankovskogo geona. Postroim grafiki zavisimosti polno$i nergii geona E(R) v prostranstvah s razmernostmi 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n v sootvetstvii s sootnoxenimi (39), (40) i (41) (smotri Ris. 5). 3 4 5 10 n=2 n=1 E (n ) R Ris. 5. Zavisimost~ polno$i nergii geona E(R) ot R v prostranstvah U (1), U (2), U (3), U (4), U (5) i U (10). Iz Ris. 5 vidno, qto maksimumy krivyh E(R) v prostranstvah U (1), U (2), U (4), U (5). . .U (n) leat vyxe maksimuma krivo$i E(R) v U (3). to oznaqaet, qto obrazovanie plankovskih geonov. s nergetiqesko$i toqki zreni, naibolee vygodno v U (3). Iz Ris. 5 vidno. qto geony mogut obrazovyvat~s i v prostranstvah drugih razmernoste$i (krome U (1)), no minimal~na nergi fotonov, neobhodima dl obrazovani geonov, prisuwa imenno 3-mernomu prostranstvu. Oqevidno, to spravedlivo i dl polno$i nergii lbyh drugih vzaimode$istvi$i v pole central~nyh sil. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 37 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . Esli ishodit~ iz principa, qto lba fiziqeska sistema stremits realizovat~s v sostonii s naimeñxe$i nergie$i,to vpolne oqevidno, qto vybor 3-mernogo prostranstva iz sveh drugih vozmonoste$i pri formirovanii nabldaemo$i Metagalaktiki byl zaranee predrexen. Takim obrazom, v modeli geona vysnets priqina predpoqteni vzaimode$istvi$i v treh nezavisimyh napravlenih po otnoxeni k vzaimode$istvim v n-nezavisimyh napravlenih. Otmetim, qto urovni nergii s n = 1; 2; 3; 4; . . .k na Ris. 5 napominat diskretnu qast~ spektra atoma vodoroda, potomu voznikaet interesny$i vopros: vozmony li kvantovye perehody geona iz osnovnogo sostoni s n = 3 v prostranstva drugo$i mernosti (perestro$ika prostranstvennyh otnoxeni$i v vozbudennyh sostonih geona)? Vpolne verotno, qto v plankovskih masxtabah ukazannye perehody de$istvitel~no proishodt. 5. Problema singulrnoste$i v obwe$i teorii otnositel~nosti Odno$i iz trudnoste$i OTO vlets problema singulrnoste$i, kotora faktiqeski voznikla s momenta poluqeni Fridmanom [7] nestacionarnyh kosmologiqeskih rexeni$i uravneni$i OTO i ewe bolee obostrilas~ v svzi s zadaqe$i o reltivistskom gravitacionnom kollapse [8]. Singulrnost~ oboznaqaet sostonie beskoneqno$i plotnosti materii, qto svidetel~stvuet o nedostatoqnosti OTO. Qto e moet ravnocennym i universal~nym obrazom protivostot~ gravitacionnomu priteni i v qem fiziqeska suwnost~ ottalkivatel~nyh dvieni$i? Protivostot~ priteni moet dvienie po inercii i naliqie centrobeno$i nergii. Ue v modeli geona my vidim, qto na plankovskom urovne singulrnoe sostonie materii nedostiimo iz-za naliqi u bezmassovyh kvantov nergii centrobeno$i nergii Pc. Na tom urovne dvienie qastic proishodit so skorost~ sveta, priqem na rasstonih lPl = 10  33 sm centrobena nergi stanovits preobladawe$i nad nergie$i priteni qasticy k singulrno$i toqke, qto v koneqnom sqete ne pozvolet fiziqesko$i materii pri$iti v sostonie ee beskoneqno$i plotnosti (pri j  2). S qisto matematiqesko$i toqki zreni est~ ewe odna vozmonost~ izbeat~ singulrnogo sostoni materii [9]. Zadadims voprosom, kakim obrazom my mogli by razmestit~ prostranstvo lbo$i protennosti v \toqke" s line$inym razmerom lPl = 10  33 sm? Rassmotrim prosto$i primer. Voz~mem obyqnu knigu, 3-merny$i obekt. Koliqestvo informacii v vide bukv v knige zanimaet obem V. Pust~ to e koliqestvo informacii neobhodimo razmestit~ v 2-mernom prostranstve, t.e. na ploskosti. V vide strok informaci za$imet plowad~ S so storono$i kvadrata a(2). sno, qto a(2) > a(3) gde a(3) storona 3-mernogo kuba, 38 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . izobraawego knigu. to e koliqestvo informacii, pomewennoe v odnomernoe prostranstvo, v vide stroki rastnets v dlinu veliqino$i a(1), priqem a(1) > a(2) > a(3) : Intuitivno sno, qto pri uveliqenii qisla izmereni$i prostranstva dl odnogo i togo e koliqestva informacii nam potrebuets n-merny$i obem so vse meñxe$i storono$i a(n) sootvetstvuwego n-mernogo \kuba", to est~ a(1) > a(2) > . . . a(k) > . . . a(n) : Netrudno pokazat~, qto a(n) i a(k) svzany sleduwim sootnoxeniem a(n) = a(k)k=n : (42) De$istvitel~no, (42) sleduet iz ravenstva obemov informacii (vewestva) v tom ili inom n-mernom prostranstve. V(1) = V(2) = . . . = V(k) = . . . = V(n) : (43) I tak kak V(1) = a(1)1, V(2) = a(2)2, . . .V(k) = a(k)k, . . .V(n) = a(n)n, to otsda i sleduet (42). Dl 3-mernogo prostranstva iz (42) poluqim sleduwee sootnoxenie a(n) = a(3)3=n : (44) Iz sootnoxeni (44) sleduet interesny$i vyvod. Predpoloim, nam neobhodimo razmestit~ vs nabldaemu Vselennu vmeste s vewestvom v lementarnom n-mernom \kubike" so storono$i, ravno$i veliqine plankovsko$i edinice dliny lPl = 10  33 sm. Skol~ko izmereni$i prostranstva nam dl togo potrebuets? Razmer nabldaemo$i Metagalaktiki raven 1028 sm, ili, v edinicah plankovsko$i dliny, 1061lPl. Iz sootnoxeni (44) imeem 101lPl = (10 61lPl) 3=n : (45) Iz (45) vidno, qto ue pri 183 izmerenih prostranstva vs nabldaemu Metagalaktiku mono razmestit~ v 183-mernom \kubike" so storono$i ravno$i 10 lPl, t.e. faktiqeski v toqke (183-merno$i). Priqem plotnost~ vewestva v takom \kubike" ostanets ravno$i plotnosti vewestva, nahodwegos v 3-mernom prostranstve nabldaemo$i Metagalaktiki. De$istvitel~no, plotnost~ vewestva v n-mernom prostranstve opredelets sleduwim obrazom: (n) = M=V(n), gde M massa vewestva FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 39 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . nabldaemo$i Metagalaktiki, V(n) obem n-mernogo prostranstva i (n) plotnost~ v n-mernom prostranstve. I tak kak, po uslovi, V(3) = V(183), to i (3) = (183). Netrudno take videt~, qto v beskoneqnomerno$i \toqke" (s razmerom lPl) mono razmestit~ lboe koneqnomernoe prostranstvo lbo$i protennosti. Otsda mono predpoloit~, qto singulrna \toqka", iz kotoro$i, soglasno OTO, voznikla naxa Vselenna, byla mnogomerno$i i ta \toqka" pervonaqal~no mogla byt~ vsem \mirom", vakuumnym sostoniem bez vsko$i makroskopiqesko$i protennosti. Mono take predpoloit~, qto pri kollapse qernyh dyr pri dostienii vewestvom qerno$i dyry opredelenno$i plotnosti vewestvo v singulrnosti qerno$i dyry \vydavlivaets" v inye izmereni prostranstva na rasstoni po kra$ine$i mere pordka plankovsko$i dliny. V sovremenno$i fizike de$istvitel~no imet mesto teorii, gde inye izmereni prostranstva skompaktificirovany do plankovskih razmerov. ti teorii pravdopodobno obsnt nabldaemy$i spektr lementarnyh qastic i ih vzaimode$istvi [10]. Takim obrazom, my vidim, qto singulrnoe sostonie materii mono izbeat~ dvum sposobami: 1) fiziqeski { uqityva centrobenu nergi ul~trareltivistskih qastic v plankovskih masxtabah i 2) matematiqeski-priznav mnogomerny$i harakter prostranstva v teh e masxtabah. 6. Zaklqenie V ramkah OTO rassmotrena model~ geona { obekta s line$inym razmerom lPl = 10  33 sm i masso$i mPl = 10  5 g (plankovska dlina i massa). Zdes~ my vplotnu priblizilis~ k oblasti, gde de$istvut zakony plankovsko$i fiziki. Kakie mono sdelat~ vyvody? Fundamental~na plankovska dlina i massa vidimo, mogut povit~s tol~ko v modeli geona. Imenno zdes~ konstanty h; c i  obedints estestvennym obrazom. V protivoves fenomenologiqeskim koncepcim teori$i, gde plankovskie veliqiny nasil~no vvodts v 4-merny$i kontinuum, v ramkah modeli geona lPl i mPl povlts avtomatiqeski, kak sledstvie gravitacionnogo vzaimode$istvi bezmassovyh kvantov nergii. Plankovskie geony mogut pretendovat~ na rol~ \istinno lementarnyh qastic". Pri tom, kak vstvuet iz stat~i, \istinno lementarnye qasticy" v itoge okazyvats mikroskopiqeskimi qernymi dyrami, qto, verotnee vsego, rexaet problemu ul~trafioletovyh rashodimoste$i v kvantovo$i teorii pol. De$istvitel~no, kak otmeqalos~ v [11], mnogoqislennye popytki vvesti v ramkah STO fundamental~nu dlinu, qtoby postroit~ svobodnu ot rashodimoste$i teori, neizbeno privodit k naruxeni principa priqinnosti. Odnako v [11] bylo pokazano, qto v ramkah OTO dlina lPl lixala by pontie prostranstva vnutri sfery Xvarcxil~da ego fiziqeskogo smysla, a Rg ot40 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . dello by tu oblast~ ot real~nogo mira fiziqeskih vleni$i, sohran v nem priqinnye svzi v ih pervonaqal~nom vide. Plankovskie geony kak raz i vlts obektami s ukazannymi svo$istvami. V nastowee vrem v kvantovo$i teorii pol rashodwies integraly berut po vse$i oblasti kvantovo$i nergii vplot~ do beskoneqnyh znaqeni$i, prenebrega gravitacionnymi ffektami, v to vrem kak v plankovskih geonah problema graniqnogo impul~sa rexaets poloitel~no. Bol~xinstvo sovremennyh modele$i Vselenno$i opiraets na dopuwenie, qto v teqenie vremeni ot plankovskogo tPl = 10  43 s do tu = 10  35 s (vrem, harakternoe dl bol~xogo obedineni) Vselenna razvivalas~ po de Sitteru i uveliqila svoi razmery ot plankovskogo (10 33 sm) do giganskogo razmera, suwestvenno prevyxawego razmery Metagalaktiki. V nekotoryh modelh razmer \puzyr" dostigaet 1010 6 sm. Esli to de$istvitel~no tak, to sno, qto plankovskie geony, voznikawie pri EPl = 10 19 GV, okazyvats razbrosannymi na ogromnye rasstoni i potomu ih ksperimental~noe obnaruenie vrd li vozmono. Odnako suwestvut i drugie scenarii obrazovani Metagalaktiki, naprimer, koncepci otonnyh mirov [12], take rexawa mnogie kosmologiqeskie problemy (pereproizvodstvo monopole$i, naqal~na singulrnost~, problema gorizonta i odnorodnosti Vselenno$i, problema ploskostnosti), no bez privleqeni inflcionno$i stadii. References [1] C. Misner and J. Wheeler, Ann. Phys. 2 (1957) 525. [2] D. Uiler, Gravitaci, ne$itrino, Vselenna, Mir, Moskva (1970) 64. [3] L. D. Landau i E. M. Lifxic, Teori pol, Nauka, Moskva (1967) s. 371. [4] V. B. Berestecki$i, E. M. Lifxic i L. P. Pitaevski$i, Reltivistska kvantova teori, qast~ 1, Nauka, Moskva (1968) s. 33 i 47. [5] V. Gureviq i G. Volmen, Teori razmernosti, Gostehizdat, Moskva (1948) s. 31. [6] P. Ehrenfest, Proc. Dutch Acad. (Amsterdam) 20 (1917) 200. [7] A. A. Fridman, Izabrannye trudy, Nauka, Moskva (1966) s. 229. [8] R. Penrose, Phys. Rev. Lett. 14 (1965) 57. [9] A. P. Klimec, Fizika i filosofi, Poisk istiny, Izdatel~stvo \Fort", Brest (1997) s. 93. [10] . S. Vladimirov, Razmernost~ fiziqeskogo prostranstva-vremeni i obedinenie vzaimode$istvi$i, Nauka, Moskva (1987). [11] M. A. Markov, Moet li gravitacionnoe pole okazats suwestvennym v teorii lementarnyh qastic?, v sb. Al~bert $inxte$in i teori gravitacii, Mir, Moskva (1979) s. 467. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{42 41 klimets: geons { candidates for the role of the initial microblack . . . [12] A. P. Trofimenko, Teori otnositel~nosti i astrofiziqeska real~nost~, Nauka i tehnika, Minsk, (1992) 107. GEONI { KANDIDATI ZA ULOGU POCETNIH MIKROCRNIH RUPA I NJIHOVA VAZNOST U PLANCKOVOJ FIZICI Razmatraju se eqzoticni objekti, geoni, koji su posljedica gravitacijskog privlacenja medu bezmasenim kvantima energije. Pokazuje se da se geoni javljaju na energiji EPl = 10 19 GeV, sto vodi na stvaranje mikroskopskih crnih rupa Planckove velicine. Pokazuje se da je stvaranje Planckovih geona vjerojatnije u 3-dimenzijskom prostoru nego \zika" geona u prostoru s drugim brojem dimenzija, sto je, kako se cini, odredilo 4-dimenzijski prostor-vrijeme u prvi trenucima nakon \Velikog praska". Raspravlja se problem singularnosti u teoriji relativnosti. Pokazuje se, polazei s matematickog stajalista, da se bilo koji prostor konacne velicine moze smjestiti u bezdimenzijski \tockast" prostor Planckove velicine bez promjene gustoe Metagalaksije. Ovo teorijski rjesava problem zickih singularnosti ope teorije relativnosti. 42 FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23{