LÓGICA POSITIVA: PLENITUDE, POTENCIALIDADE E PROBLEMAS (DO PENSAR SEM NEGAÇÃO) Tomás Andrés Barrero Guzmán Dissertação apresentada ao Departamento de Filosofia do Instituto de Filosofia e Ciências Humanas da Universidade Estadual de Campinas para obtenção do grau de Mestre em Filosofia (Lógica) Orientador: Prof. Dr. Walter Alexandre Carnielli Durante a elaboração deste trabalho, o autor recebeu apoio financeiro do CNPq 30 de agosto de 2004 À minha mãe, Clemencia Guzmán Martınez Agradecimentos Este trabalho (que, curiosamente, teve ińıcio na Colômbia como um projeto para estudar a filosofia de Leibniz) não é unicamente o produto do trabalho de uma única pessoa, mas sim o resultado de discussões, opiniões contrárias e sugestões variadas de colegas, professores e amigos durante estes dois anos de pesquisa na UNICAMP. Contudo, houve participações mais influentes que outras na elaboração final, e acho justo mencionar com nome próprio àqueles que participaram em maior grau desta aventura. Devo agradecer a meu orientador pela motivação e pelo interesse no meu enriquecimento inteletual, que tanto modificaram algumas das minhas visões do mundo. Ao Paulo e à Eleonoura (in absentia) pelas horas de estudo, pela permanente curiosidade e pelo interesse nas coisas que digo e faço. Aos colegas Peter, Juliana, Douglas, Victor, Luis e a todos os outros que compartilharam comigo seu tempo e suas idéias, por me permitir conhecêlos. Ao Victor, Juliana e Luis, em particular, pela ajuda com este quebracabeça que é o LateX, e ao Peter pela tradução de alguns trechos dos artigos de Wilhelm Ackermann. Sempre vou ter as melhores lembranças de todos vocês. Quero exprimir minha gratidão aos membros da banca por terem se importado tanto com meu trabalho, com meus erros e com meus acertos, e por terem levado a sério sua função com a maior competência e seriedade. Resumo O trabalho estuda o papel da negação na lógica, abordando os fragmentos positivos da lógica proposicional, de forma a atender a dois problemas: a obtenção de teoremas de completude independentes da negação e o problema de paradoxos positivos, como o Paradoxo de Curry. Para o fragmento clássico, estuda-se o método construtivo de completude proposto por Leon Henkin. Investigam-se as razões pelas quais este método não pode ser estendido para fragmentos não-clássicos que conseguem evitar a ocorrência da objeção de Haskel Curry como, por exemplo, os das lógicas n-valentes de Jan ÃLukasiewicz e os (por nós denominados) intuicionistas de Wilhelm Ackermann, quer pelas caracteŕısticas da implicação, quer pela presença de um tipo de argumento infinito. O estudo conjunto do método de Henkin e do fenômeno da trivialidade positiva permite estabelecer um processo de decidibilidade da lógica positiva clássica através de um sistema de tablôs que utiliza somente recursos metalingúısticos positivos, e propor uma rediscussão a respeito do papel da negação em lógica através do conceito de paratrivialidade. Nesse contexto discutimos, do ponto de vista conceitual, a relação da lógica positiva com o infinito, as possibilidades de se obter uma lógica de primeira ordem completa sem negação e o vınculo filosófico entre verdade e significado. Palavras-chave: lógica positiva, completude construtiva, paradoxos positivos, trivialidade positiva, tablôs positivos, paratrivialidade. Abstract This work studies some problems connected to the role of negation in logic, treating the positive fragments of propositional calculus in order to deal with two main questions: the proof of the completeness theorems in systems lacking negation, and the puzzle raised by positive paradoxes like the well-known argument of Haskel Curry. We study the constructive completeness method proposed by Leon Henkin for classical fragments endowed with implication, and advance some reasons explaining what makes difficult to extend this constructive method to non-classical fragments equipped with weaker implications (that avoid Curry's objection). This is the case, for example, of Jan ÃLukasiewicz's n-valued logics and Wilhelm Ackermann's logic of restricted implication. Besides such problems, both Henkin's method and the triviality phenomenon enable us to propose a new positive tableau proof system which uses only positive meta-linguistic resources, and to motivate a new discussion concerning the role of negation in logic proposing the concept of paratriviality. In this way, some relations between positive reasoning and infinity, the possibilities to obtain a first-order positive logic as well as the philosophical connection between truth and meaning are discussed from a conceptual point of view. Key-words: positive logic, constructive completeness, positive paradoxes, positive triviality, positive tableaux, paratriviality. Sumário Introdução 3 1 A lógica proposicional positiva clássica L+ 8 1.1 Os elementos de L+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Linguagem e semântica de L+ . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Axiomática e o Metateorema da Dedução . . . . . . . 11 1.2 O método de Henkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 A completude de L+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Completude dos fragmentos positivos L∧, L∨ e LY . . 20 1.2.3 A independência dos axiomas de Henkin . . . . . . . . 28 1.3 Outras demonstrações de completude . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 A prova de Rose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.2 As provas de Lopes dos Santos e de Pollock . . . . . . 32 1.3.3 A prova de Schumm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 O Paradoxo de Curry e sua derivação em L+ . . . . . . . . . 38 1.5 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 A perspectiva não-clássica 42 2.1 Ln e L + n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.1 Linguagem de L+n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.2 L+3 : Axiomas, Metateorema da Dedução . . . . . . . . 45 2.1.3 O problema da completude de L+3 . . . . . . . . . . . 49 2.2 Outros sistemas n-valentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.1 O caso das lógicas paraconsistentes: LFI1 . . . . . . . 51 2.3 A proposta de Whilhelm Ackermann . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.1 Motivações conceituais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.2 Restrições à implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.3 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.4 O sistema A+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1 2.3.5 O Sistema Σ+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.6 Uma hierarquia de sistemas dedutivos . . . . . . . . . 66 2.3.7 O conceito de necessidade . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4 O Problema da Completude para A+ . . . . . . . . . . . . . . 70 2.5 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3 Tablôs puramente positivos e a questão da paratrivialidade 74 3.1 Trivialidade: o conceito fundamental . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1.1 Linguagem, Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.1.2 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Completude do sistema de Tablôs positivos . . . . . . . . . . 79 3.3 Considerações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Da negação impĺıcita à verdade sem sinais 86 4.1 Negação impĺıcita e o infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.1 Negação espúria e genúına: Smullyan, o infinito e o absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.2 Completude para lógica positiva de primeira ordem . . 88 4.2 Algumas questões filosóficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.1 Aristóteles, De refutatione . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2 Verdade sem sinais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 A Apêndice A: Axiomatizações da Lógica Positiva Clássica 94 A.1 Axiomáticas com três elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 A.2 O caso do Axioma A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 A.3 Axiomáticas com um único elemento . . . . . . . . . . . . . . 100 B Apêndice B: A independência dos axiomas de Henkin 101 B.1 H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 B.2 H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 B.3 H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Referências Bibliográficas 103 2 Introdução Num artigo de 1930 (vide [48]), considerado hoje um clássico no tema, Jan ÃLukasiewicz e Alfred Tarski apresentaram alguns resultados do grupo de pesquisa em lógica matemática de Varsóvia (principalmente devidos a ÃLukasiewicz) na época dirigido pelo primeiro, versando, principalmente, sobre a questão da axiomatização e interpretação das lógicas n-valentes e infinito-valentes. O artigo não se reduz a esses tópicos, mas pretende estabelecer uma metodologia geral para o estudo do cálculo proposicional e, com esse intuito, no §4 de [48] é introduzido o "cálculo proposicional restrito", assim chamado pelo fato de não conter nenhum śımbolo de negação. Os axiomas, a semântica e alguns teoremas desse cálculo (incluindo o da completude, enunciado sem prova) são aĺı discutidos. A problemática a respeito do papel da negação na lógica, contudo, tem ráızes muito mais profundas. Paul Bernays, o mais asśıduo colaborador de David Hilbert em Göttingen, também pensava de forma independente de ÃLukasiewicz e Post nas questões hoje vistas como fundamentais em Lógica desde sua Habilitationsschrift:1 de acordo com [54], Bernays já tinha resultados sobre semânticas tabulares antes da invenção vagamente atribúıda a Ludwig Wittgenstein, sobre completude e decidibilidade antes da demonstração da completude do cálculo proposicional clássico atribúıda a Emil Post (cf. [35]), e (embora isso seja de interesse menos imediato aqui) mesmo sobre semânticas gerais trivalentes e quadrivalentes independentemente de Jan ÃLukasiewicz. No que concerne particularmente à lógica positiva, a ênfase em separar o conectivo da negação dos demais conectivos estava já essencialmente ligada às preocupações de Hilbert acerca do finitismo. Em uma conferência em 1923 perante a Sociedade Matemática de Göttingen, Bernays recomenda explici1Sua tese pós-doutoral, equivalente à Tese de Livre-Docência no Brasil, intitulada Beiträge zur axiomatischen Behandlung des Logik-Kalküls, Universidade de Göttingen, 1918. 3 tamente que "seria de interesse investigar o papel da negação". Apesar de, anos mais tarde e independentemente, László Kalmár ter publicado uma elegantıssima demonstração construtiva da completude do cálculo proposicional clássico [28], a questão estava longe de ser vista como conclúıda. Tanto que mais uma demonstração veio à luz por Willard Van Orman Quine [36] 2. Se existe, então, um interesse notável e justificado por demonstrações de completude do cálculo proposicional, não é menor o interesse intŕınseco que oferece uma prova de completude do cálculo proposicional clássico positivo e de seus fragmentos. Um estudo mais detalhado do cálculo proposicional positivo (em particular, positivo-implicativo) pode servir como instrumento para se esclarecer as condições mınimas que fazem com que um fragmento do cálculo proposicional seja completo e para refletir sobre os mecanismos para se obter uma tal demonstração de completude, em particular sobre o papel da negação no patamar metamatemático. Como parte fundamental desse estudo, incluimos um apêndice onde distintas axiomáticas da lógica positiva clássica são consideradas com mais detalhe. Ainda mais, a existência de paradoxos positivos, como o de Curry, proposto em [15], oferece uma oportunidade única para se aprofundar no significado e dificuldades da lógica puramente implicativa, e fazer uma releitura de conceitos como os de trivialidade e derivabilidade. O estudo deste paradoxo e das posśıveis sáıdas nos leva naturalmente a nos aprofundar em pelo menos dois tipos de sistemas: os não-clássicos n-valentes e os não-clássicos intuicionistas. Essa variedade de aproximações ao tema revela-se também na literatura especializada, onde podemos distinguir pelo menos duas abordagens que nos conduzem à lógica positiva: a perspectiva clássica e a perspectiva não-clássica . Tal divisão é extremamente oportuna para salientar um aspecto da lógica positiva também presente em [48] e resumido na seguinte pergunta: Qual é a relação entre os fragmentos da lógica positiva clássica e os das lógicas n-valentes, das infinito-valentes e da intuicionista? No que diz respeito à trivialidade implicativa, podemos obter uma resposta à objeção de Curry tentando enfraquecer a implicação que gera a situação paradoxal. Existem pelo menos duas formas de se obter um tal enfraquecimento: introduzindo-se mais valores de verdade (com o intuito de se evitar um uma propriedade da implicação clássica conhecida como Lei da Absorção (vide Lema 1.2.1)) ou controlando-se a regra de Modus Ponens; ambas pos2Ainda alguns anos antes que Quine visitasse a Universidade de São Paulo como Professor Visitante a partir de 1942, onde publica um de seus primeiros livros (cf. [37], nunca traduzido do original em português.) 4 sibilidades serão avaliadas no momento oportuno. Este panorama inclui-se no que podemos chamar de problemática do racioćınio positivo. Contudo, a lógica positiva continua a oferecer novas perspectivas, em particular no que diz respeito às possibilidades de se pensar a metamatemática de forma mais restrita, isto é, sem negações. Dentro deste quadro, podemos considerar a situação de "trivialidade positiva" imanente ao Paradoxo de Curry para construir sistemas de prova. Uma contribuição original deste trabalho é a proposta de um sistema de refutação via tablôs que utiliza somente recursos metalingúısticos positivos, aporta uma visão particularmente rica e sugestiva dos limites e do significado da implicação, apresentando de uma outra maneira as condições que fazem com que uma lógica seja trivial, independentemente da negação. Além disso, a proposta dos novos tablôs favorece uma perspectiva completamente inovadora no que diz respeito à aplicação de métodos de prova automáticos ou semi-automáticos (isto é, pasśıveis de serem mecanizados). As implicações de tal abordagem quanto à questão de mecanização porém permanecem aqui na forma apenas especulativa, esperando que possa interessar a uma vindoura investigação. É claro que propor sistemas de prova baseados no racioćınio positivo em nada ajuda a ressolver os dilemas a que nos referimos acima. Nesse caso, porém, nossa atitude é outra: ao invés de nos deter pelos difıceis problemas da lógica positiva, queremos realçar suas potencialidades. Todas estas abordagens técnicas, contudo, contornam as principais preocupações filosóficas genuinas que motivaram esta pesquisa, tais como por exemplo: a existência de mecanismos para se reconhecer uma negação impĺıcita, escondida nos meandros da linguagem. Nesse sentido, existem negações expĺıcitas e outras ocultas? Mais ainda, quais são os limites expressivos de uma lógica positiva? Será que a ausência de negação leva inevitavelmente a introduzir algum tipo de infinitude no nosso sistema?3 Seriam essas as razões da preocupação de Hilbert e sua escola em separar a negação dos demais conectivos, ou acreditaria Hilbert precisamente no contrário, isto é, que a negação envolve algum tipo de regresso ao infinito? De fato, é muito importante salientar a relação entre a redução ao absurdo (que precisa de negação na meta-linguagem) e um tipo de regressão ao infinito (que em teoria não dependeria de negação alguma), questão esta levantada por Smullyan 3Na seção 1.2.1 apresentamos evidências positivas para ambas as perguntas: de fato, usamos um tipo de negação impĺıcita ao demonstrarmos o Teorema de Completude para lógica positiva (a letra proposicional c ou a fórmula atômica γ ) e o conceito de infinito é imanente à propria definição da configuração para as fórmulas falsas (pois precisamos de um conjunto infinito de novas variáveis proposicionais). 5 em [45]. Por último, como pode um sistema lógico lidar com o fato de não haver um śımbolo definido para os argumentos falsos, ou que deixam de ser verdadeiros? Não enfraquecemos demais o nosso conceito de verdade com tal procedimento? Será que a exclusão da negação é apenas um artifıcio sintático que diminui de forma aceitável a capacidade de expressão do nosso sistema? Será que não estaŕıamos reproduzindo formalmente uma discussão (clássica na filosofia anaĺıtica, vide [16] e [46]) sobre a relação entre significado e verdade? Advertimos o leitor de que não é nossa intenção tentar responder diretamente a nenhuma dessas questões. Se alguma coisa se aprende ao se estudar lógica simbólica ou formal é que tais questões são demasiado difıceis para serem atacadas em conjunto, e que apenas uma delas consumiria muito mais do que os recursos de uma dissertação de mestrado. Contudo, na medida em que nosso estudo nos aproxima de tais questões, tampouco fugimos tomados de algum tipo de pânico filosófico, mas tomamos consciência de quão (perigosamente?) nos aproximamos delas. Confessadas nossas reais intenções, podemos então com mais aĺıvio notar que, no escopo da filosofia tradicional, deve-se chamar a atenção sobre o interesse que uma abordagem positiva pode produzir, por exemplo, numa leitura do argumento de Aristóteles no livro IV da Metafısica contra aqueles que duvidam do prinćıpio de não contradição, chamando a atenção sobre a seguinte questão: não seria logicamente mais acertada uma leitura positiva da refutação aristotélica? No que segue, como afirmamos, a lógica positiva será estudada a partir das três perspectivas mencionadas: a clássica, a nãoclássica e a partir da abordagem metamatemática dos métodos de prova. No Caṕıtulo 1 estudamos a lógica proposicional positiva L+ em detalhes, analisando suas propriedades básicas e a completude. Avaliamos também outras demonstrações de completude, e esclarecemos o papel do paradoxo de Curry e sua derivação em L+. No Caṕıtulo 2 estudamos, por um lado, as possibilidades de se obter uma resposta a essa objeção, quer introduzindo sistemas de lógica positiva não-clássica usando sistemas n-valentes (como por exemplo a hierarquia Ln de ÃLukasiewicz ou algumas lógicas paraconsistentes) quer estudando os sistemas introduzidos por Wilhelm Ackermann. Por outro lado, examinamos o problema da completude de tais sistemas, tentando esclarecer as principais dificuldades ao trabalhar com uma implicação diferente da padrão. O Caṕıtulo 3 é devotado a um sistema de tablôs puramente positivos e à definição do conceito de paratrivialidade, central ao abordarmos objeções do tipo da de Curry, e útil no estudo geral do fenômeno da trivialidade. 6 Demonstramos, ainda, a correção e completude desses tablôs com relação a uma semântica diádica. No Caṕıtulo 4 conectamos os resultados técnicos com questões conceituais de dois tipos: de um lado, problemas da lógica matemática, como, por exemplo a pergunta pela negação impĺıcita e o infinito e a (posśıvel) prova de completude para lógica positiva de primeira ordem; de outro, problemas filosóficos tradicionais como o da refutação aristotélica e o da relação entre significado e verdade. Dessa forma, tentaremos colocar em sua devida perspectiva algumas questões que surgem da lógica matemática, mas que colocam indagações conceituais de seu próprio interesse, como esperamos deixar claro no decorrer do trabalho. Ao mesmo tempo manteremos o esforço de tentar abrir caminho a alguns temas e a certas questões que poderão resultar em proveitoso trabalho futuro, na direção da plenitude do pensar sem negação. 7 Caṕıtulo 1 A lógica proposicional positiva clássica L+ Neste caṕıtulo estudaremos a lógica proposicional positiva (lógica positiva clássica) tal como apresentada por Alfred Tarski e Jan ÃLukasiewicz em seu artigo de 1930. Demonstraremos os teoremas da correção e da completude da lógica proposicional positiva, seguindo os parâmetros gerais estabelecidos por Leon Henkin [26] e avaliaremos outras provas conhecidas [40], [34], [43] e [17]. Examinaremos, na mesma direção de Henkin, as condições mınimas envolvidas em uma prova de completude. Estenderemos o método de Henkin para outros fragmentos positivos com conectivos diferentes da implicação, e examinaremos a prova da completude de um sistema puramente implicativo diferente da de [43]. Como uma pequena contribuição original, propomos uma demonstração da independência dos axiomas de [26], comprovando uma conjectura de Henkin a esse respeito. Seguindo um uso informal, usamos os verbos "provar"e "demonstrar"(e seus derivados) como sinônimos. Alem disso, discutiremos alguns problemas dos sistemas positivos, em particular dos sistemas implicativos, como expostos em [15], e apontaremos algumas respostas posśıveis a argumentos desse tipo, respostas estas que serão examinadas detalhadamente no caṕıtulo seguinte. 1.1 Os elementos de L+ Na metodologia geral estabelecida por Tarski e ÃLukasiewicz para o estudo do cálculo proposicional, os subsistemas (ou fragmentos) do sistema clássico desempenham um papel fundamental, desde que as lógicas finito e infinitovalentes introduzidas por ÃLukasiewicz são subsistemas da lógica proposi8 cional clássica. Em particular, são examinadas numa seção desse trabalho (segundo suas próprias palavras) aquelas "sentenças onde não ocorre śımbolo de negação algum" 1 [48]. Chamaremos a este conjunto de sentenças de fragmento positivo da lógica proposicional clássica, e o sistema que ele gera de L+. Estabeleceremos as propriedades do cálculo proposicional positivo, segundo a ordem do artigo de Tarski e ÃLukasiewicz de 1930, apresentando as definições, os axiomas e a semântica de tal sistema lógico. Além do mais, adicionamos uma demonstração do Metateorema da Dedução. Apesar de este resultado ser de importância capital na metodologia da lógica, e de se tratar de um teorema a respeito da derivabilidade lógica (e não de um teorema dos sistemas lógicos) seguiremos um uso generalizado referindo-se a ele como "Teorema da Dedução"simplesmente. 1.1.1 Linguagem e semântica de L+ Na presente seção apresentamos as principais definições do sistema de lógica proposicional positiva L+ tal como introduzidas por Tarski e ÃLukasiewicz em [48]. Definição 1.1.1. Definimos a linguagem de L+ da seguinte maneira2: 1. Śımbolos Primitivos: Um conjunto infinito enumerável de variáveis proposicionais: {p1, p2, ...pn, ...} 2. Conectivos: Um conjunto unitário de conectivos binários, {→} 3. Śımbolos Auxiliares:  ( ,  ) . Definição 1.1.2. Fórmulas: Caso 1.1.2.1. Qualquer variável proposicional é uma fórmula atômica. Caso 1.1.2.2. Toda fórmula atômica é uma fórmula. Caso 1.1.2.3. Se α e β são fórmulas, então (α → β) é uma fórmula. Quando não houver risco de confusão, omitiremos os parênteses externos das fórmulas. Doravante denotaremos o conjunto das fórmulas da linguagem L+ por For L+. Definição 1.1.3. Regras de Inferência: 1Salientamos a equivalência entre o significado do termo 'sentença' nesse artigo e o de 'fórmula'. Doravante, serão considerados como sinônimos neste trabalho para evitar confusões. 2Respeitamos as definições originais de Tarski e ÃLukasiewicz. 9 • Modus Ponens: Dadas α,β fórmulas α, α→ β β • Substituição de uma variável por uma fórmula: se α é fórmula, p uma variável proposicional e β uma fórmula, então definimos por indução na complexidade da fórmula3: Caso 1.1.3.1. Se α for atómica α[p \ β] = α se α 6= p α[p \ β] = β se α = p Caso 1.1.3.2. Se α = δ → γ, então: α[p \ β] = δ[p \ β]→ γ[p \ β] Definição 1.1.4. Umamatriz para L+ é uma tripla ordenada M = [A,B, f ], que contém dois conjuntos disjuntos não-vazios A,B (com elementos de qualquer natureza), e uma função f de duas variáveis, definida em A ∪ B. A matriz M[A,B, f ] é dita normal se x ∈B e y ∈A sempre implicarem f(x, y) ∈ A. Definição 1.1.5. A função h é dita uma função que atribui valores na matriz M para L+, M = [A,B, f ], se satisfizer às seguintes condições: 1. A função h é definida para cada α ∈For L+. 2. Se p é uma variável proposicional, então h(p) ∈ A ∪B. 3. Se α, β ∈For L+, então h(α→ β) = f(h(α), h(β)). Dizemos que uma fórmula α é satisfeita pela matriz M = [A,B, f ], denotado por M |= α, se h(α) ∈ B para cada função h que atribui valores nesta matriz. 3A noção de complexidade de uma fórmula é a usual. Salientamos, ainda, que usaremos a substituição como regra dedutiva somente na demonstração do Teorema de Completude, como será oportunamente mencionado. 10 Em termos intuitivos, os conjuntos A e B agem como conjuntos arbitrários de valores-verdade, onde o primeiro representa os valores nãodistinguidos e o segundo representa os valores distinguidos. A noção de matriz normal exige apenas que a implicação produza valores não-distinguidos, quando o antecedente da implicação é distinguido e o consequente é nãodistinguido. Nos demais caso a interpretação da implicação é totalmente livre. Na verdade, podemos nos restringir aqui (e também no caso dos demais fragmentos da lógica clássica positiva) a matrizes com conjuntos unitários A = {} e B = {}. O interesse de ÃLukasiewicz e Tarski era também estudar as relações entre lógica positiva e lógicas n-valentes, por tanto usavan matrizes arbitrárias. Optamos contudo por matrizes da forma acima, por fidelidade aos textos originais. Definição 1.1.6. O sistema L+ do cálculo proposicional é o conjunto das fórmulas satisfeitas por todas as funções h definidas sobre a matriz M = [A,B, f ], onde A = {}, B = {} e a função f é definida pelas fórmulas f(, ) = f(, ) = f(, ) =  e f(, ) = . Notamos que, desta forma, os valores da função h (que atribui valores na matriz) ficam totalmente determinados. 1.1.2 Axiomática e o Metateorema da Dedução Definição 1.1.7. O seguinte conjunto constitui uma base axiomática para L+: Ax1. `L+ α→ (β → α) Ax2. `L+ (α→ β)→ ((β → γ)→ (α→ γ)) Ax3. `L+ ((α→ β)→ α)→ α A seguir, provamos dois lemas proposicionais que usaremos na demonstração do Teorema da Dedução para L+ (que depois será usado na demonstração construtiva de sua completude). Lema 1.1.8. `L+ α→ α Dem.: 1. `L+ α→ ((α→ α) → α)) → [(((α→ α) → α) → α) → (α→ α)] [Ax2] 2. `L+ α→ ((α→ α) → α) [Ax1] 3. `L+ (((α→ α) → α) → α) → (α→ α) [MP 1 e 2 ] 4. `L+ ((α→ α) → α) → α [Ax3] 5. `L+ α→ α [MP 3 e 4 ] 11 Lema 1.1.9. α→ (α→ β) `L+ α→ β Dem.: 1. α→ (α→ β) [Hip] 2. (((α→ β) → α) → α) → [(α→ (α→ β)) → (((α→ β) → α) → (α→ β))] [Ax2] 3. ((α→ β) → α) → α [Ax3] 4. (α→ (α→ β)) → (((α→ β) → α) → (α→ β)) [MP 2, 3] 5. ((α→ β) → α) → (α→ β) [MP 1 e 4] 6. [((α→ β) → α) → (α→ β)] → (α→ β) [Ax3] 7. α→ β [MP 5,6] Teorema 1.1.10. Teorema da Dedução para L+: Se Γ é um conjunto de fórmulas, α e β são fórmulas e Γ, α `L+ β, então Γ `L+ α→ β. Dem.: Seja β1, β2 . . . , βn uma prova de β a partir de Γ ∪ {α}, onde β = βn. Vamos provar, por indução sobre  ≤ i ≤ n que Γ `L+ α→ βi para cada i. Para n =  temos os seguintes subcasos β é um axioma, ou β ∈ Γ, ou α = β Nos dois primeiros subcasos a prova é estritamente análoga: Γ, α `L+ β (por hip). Mas se β é axioma ou β ∈ Γ, pelo Ax1 temos `L+ β → (α→ β). Dáı, por MP, temos Γ `L+ α→ β. Se α = β, então `L+ α→ α pelo Lema 1.1.8 e, portanto, Γ `L+ α→ β. Isto esgota o caso n = 1. Se n 6= 1, assumimos que Γ `L+ α → βk para k < i e vamos demonstrar para n = i. Então, ou β é um axioma, ou β ∈ Γ, ou α = β, ou β é o resultado de aplicar MP em βj e βm, com j < i,m < i. Nos tres casos iniciais, a demonstração é estritamente análoga à do caso n = 1. Vamos demonstrar, portanto, o subcaso restante. Por hipótese, temos Γ `L+ α → βj e Γ `L+ α → βm, isto é Γ `L+ α → (βj → βi). Mas, pelo Ax2 Γ `L+ (α → βj) → ((βj → βi) → (α→ βi)), e, então por MP obtemos Γ `L+ (βj → βi)→ (α→ βi). Por mais um uso do Ax2, temos Γ `L+ α → (βj → βi) → [((βj → βi) → (α → βi)) → (α → (α → βi))]. Então, por MP com a hipótese de indução Γ `L+ ((βj → βi) → (α → βi)) → (α → (α → βi)). Usando de novo MP concluimos Γ `L+ α → (α → βi), mas pelo Lema 1.1.9 α→ (α→ βi) `L+ α→ βi e, portanto, Γ `L+ α→ βi ¥. 12 1.2 O método de Henkin Na presente seção, demonstraremos construtivamente o teorema de completude para L+ com relação à semântica da Definição 1.1.6 e também para outros fragmentos do cálculo proposicional que não contêm śımbolos de negação, como para as extensões de L+ que formam as lógicas positivadisjuntiva L∨ e positiva-conjuntiva L∧. Exploramos o método de Henkin como proposto em [26], por considerá-lo o mais simples e conceitualmente claro dos métodos dispońıveis e por não ter sido ainda muito (nem razoavelmente bem) explorado: muito mais que uma técnica para completude construtiva, o método de Henkin permite ainda obter de forma imediata os axiomas de fragmentos que estendem L+. Ressaltamos, contudo, que o nosso enfoque é diferente do de outras provas de completude para estes fragmentos (como as de [40], [34], [43] e [17]), examinadas detalhadamente na próxima seção em dois aspectos fundamentais: vamos tomar L+ como o fragmento mais simples da lógica positiva e, a partir dele, vamos construir a prova para os outros casos (quer dizer, nossa demonstração pretende ser minimal); na verdade, vamos dar uma demonstração detalhada e construtiva, sem recorrer a demonstrações, definições ou teoremas alem dos dispońıveis em cada um dos sistemas examinados. Para tanto, vamos demonstrar alguns lemas proposicionais que nos permitirão aplicar sem restrições o método de Henkin a L+. O formato de apresentação de tais demonstrações é, basicamente, o mesmo de Mendelson em [33], representando as premisas e derivações como uma tabela numerada e assinalando as aplicações do Teorema da Dedução. Lema 1.2.1. `L+ (α→ (α→ β))→ (α→ β) Dem. : Basta aplicar o Teorema da Dedução no Lema 1.1.9 Lema 1.2.2. `L+ ((α→ β)→ β)→ [(α→ γ)→ ((γ → β)→ β)] Dem.: 1. (α→ β) → β [Hip] 2. α→ γ [Hip] 3. γ → β [Hip] 4. (α→ γ) → [(γ → β) → (α→ β)] [Ax2] 5. (γ → β) → (α→ β) [MP 2 e 4] 6. α→ β [MP 3 e 5] 7. β [MP 6 e 1] 8. (α→ β) → β, α→ γ, γ → β `L+ β [De 1, 2, 3 e 7] 9. (α→ β) → β, α→ γ `L+ (γ → β) → β [Teorema 1.1.10 em 8] 10. (α→ β) → β `L+ (α→ γ) → [(γ → β) → β] [Teorema 1.1.10 em 9] 11. `L+ ((α→ β) → β) → [(α→ γ) → ((γ → β) → β)] [Teorema 1.1.10 em 10] 13 Lema 1.2.3. 4 `L+ (α→ γ)→ [(β → γ)→ (((α→ β)→ β)→ γ)] Dem.: 1. α→ γ [Hip] 2. β → γ [Hip] 3. (α→ β) → β [Hip] 4. ((α→ β) → β) → [(α→ γ) → ((γ → β) → β)] [Lema1.2.2] 5. (α→ γ) → ((γ → β) → β) [MP 3 e 4] 6. (γ → β) → β [MP 1 e 5] 7. ((γ → β) → β) → [(β → γ) → ((γ → β) → γ)] [Ax2] 8. (β → γ) → ((γ → β) → γ) [MP 6 e 7] 9. (γ → β) → γ [MP 2 e 8] 10. ((γ → β) → γ) → γ [Ax3] 11. γ [MP 9 e 10] 12. α→ γ, β → γ, (α→ β) → β `L+ γ [De 1, 2, 3 e 11] 13. α→ γ, β → γ `L+ ((α→ β) → β) → γ [Teorema 1.1.10 em 12] 14. α→ γ `L+ (β → γ) → [((α→ β) → β) → γ] [Teorema 1.1.10 em 13] 15. `L+ (α→ γ) → [(β → γ) → (((α→ β) → β) → γ)] [Teorema 1.1.10 em 14] Lema 1.2.4. `L+ (α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ] Dem.: 1. α→ γ [Hip] 2. (α→ β) → γ [Hip] 3. ((α→ β) → γ) → [(α→ γ) → ((((α→ β) → α) → α) → γ)] [Lema1.2.3] 4. (α→ γ) → ((((α→ β) → α) → α) → γ) [MP 2 e 3] 5. (((α→ β) → α) → α) → γ [MP 1 e 4] 6. ((α→ β) → α) → α [Ax3] 7. γ [MP 5 e 6] 8. α→ γ, (α→ β) → γ `L+ γ [De 1, 2 e 7] 9. α→ γ `L+ ((α→ β) → γ) → γ [Teorema 1.1.10 em 8] 10. `L+ (α→ γ) → [((α→ β) → γ) → γ] [Teorema 1.1.10 em 9] Lema 1.2.5. `L+ (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] Dem.: 1. α→ (β → γ) [Hip] 2. α→ β [Hip] 3. (α→ β) → ((β → γ) → (α→ γ)) [Ax2] 4. (β → γ) → (α→ γ) [MP 2 e 3] 5. (α→ (β → γ)) → [((β → γ) → (α→ γ)) → (α→ (α→ γ))] [Ax2] 6. ((β → γ) → (α→ γ)) → (α→ (α→ γ))] [MP 1 e 4] 7. α→ (α→ γ) [MP 4 e 6] 8. (α→ (α→ γ)) → (α→ γ) [Lema1.2.1] 9. α→ γ [MP 6 e 8] 10. α→ (β → γ), α→ β `L+ α→ γ [De 1, 2 e 9] 11. α→ (β → γ) `L+ (α→ β) → (α→ γ) [Teorema 1.1.10 em 10] 12. `L+ (α→ (β → γ)) → [(α→ β) → (α→ γ)] [Teorema 1.1.10 em 11] 4Esta demonstração faz parte de [17]. 14 Lema 1.2.6. `L+ (α→ β)→ [(α→ (β → γ))→ (α→ γ)] Dem.: 1. (α→ β) [Hip] 2. (α→ (β → γ)) [Hip] 3. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] [Lema1.2.5] 4. (α→ β)→ (α→ γ) [MP 2,3] 5. (α→ γ) [MP 1,4] 6. α→ β, α→ (β → γ) `L+ α→ γ [De 1, 2 e 5] 7. α→ β `L+ (α→ (β → γ))→ (α→ γ) [Teorema 1.1.10 em 6] 8. `L+ (α→ β)→ [(α→ (β → γ))→ (α→ γ)] [Teorema 1.1.10 em 7] 1.2.1 A completude de L+ Para estabelecer se um fragmento implicativo do cálculo proposicional clássico é ou não completo, segundo Henkin [26], precisamos garantir algumas condições mınimas: 1. Um conjunto não-vazio de conectivos binários, pelo menos contendo →. 2. Śımbolos auxiliares5. 3. Modus Ponens como regra de inferência. 4. O Teorema de Dedução (que, na demonstração padrão, depende de H1 e H2). 5. No mınimo o seguinte conjunto de fórmulas deriváveis (como axiomas ou teoremas)6: H1. α→ (β → α) H2. (α→ β)→ [(α→ (β → γ))→ (α→ γ)] H3. (α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ] 5Para simplificar a escrita, Henkin introduz a convenção de associar à esquerda logo depois de  . ; contudo, por coerência com nossa linguagem inicial, vamos manter os parênteses como śımbolos auxiliares. 6A rigor, Henkin explica como novos axiomas, por exemplo para a conjunção, podem ser estabelecidos observando-se as tabelas-verdade. Adiamos essa explicação para a próxima seção, onde será de fato relevante. 15 Por 1.1.1, 1.1.3 e 1.1.10, L+ satisfaz às condições (1-4). É importante observar que H1=Ax1, H2=Lema 1.2.6 e H3=Lema 1.2.4. Então, de fato, o próprio L+ satisfaz aos critérios de Henkin. Uma vez estabelecidas estas condições, vamos entrar na demonstração do Teorema da Completude para L+, lembrando que vamos reproduzir (esclarecendo detalhes) os argumentos de Henkin. Para tanto, é preciso demonstrar o seguinte lema: Lema 1.2.7. Seja h(p), . . . , h(pn) uma função que atribui valores para L+ às diferentes variáveis p1, . . . , pn. Seja α uma fórmula que contém somente estas variáveis p1, . . . , pn e h(α) o valor associado a α pela mesma atribuição. Seja γ uma fórmula qualquer, definamos α∗ como (α→ γ)→ γ ou α → γ, se h(α) =  ou h(α) =  respectivamente. Então, p∗1, ..., p ∗ n `L+ α∗. Dem.: Por indução no comprimento de α. Caso 1.2.7.1. Seja α = pi. Então (pela definição de demonstração a partir de um conjunto de fórmulas) (pi → γ) `L+ (pi → γ) e (pi → γ) → γ `L+ (pi → γ) → γ e, portanto, em qualquer caso p∗i `L+ p ∗ i = α ∗. Suponha α = β → δ e suponha, como hipótese da indução, que o lema vale para β, δ. Caso 1.2.7.2. h(β) = . Dáı, β∗ = (β → γ), h(α) = h(β → δ) =  e α∗ = ((α → γ) → γ). Por hipótese da indução, p∗i , ..., p ∗ n `L+ β → γ, mas, pelo Lema 1.2.4 `L+ (β → γ)→ [((β → δ)→ γ)→ γ] e MP, temos p ∗ 1, ..., p ∗ n `L+ (((β → δ)→ γ)→ γ) = α∗ Caso 1.2.7.3. h(δ) = . Dáı, δ∗ = ((δ → γ)→ γ), h(α) = h(β → δ) = , e α∗ = ((α → γ)→ γ). Por hipótese, temos p∗1, ..., p ∗ n `L+ (δ → γ) → γ. Pelo Ax1, temos δ `L+ β → δ, e usando MP obtemos δ, (β → δ) → γ `L+ γ. Portanto, usando o Teorema 1.1.10, concluimos (β → δ)→ γ `L+ δ → γ, e, dáı, por MP temos (β → δ)→ γ, (δ → γ)→ γ `L+ γ. Logo, pelo Teorema 1.1.10 (δ → γ) → γ `L+ ((β → δ) → γ) → γ e, então, p ∗ 1, ..., p ∗ n `L+ (((β → δ)→ γ)→ γ) = α∗. Caso 1.2.7.4. Suponha h(β) = , h(δ) = . 16 Dáı, β∗ = (β → γ) → γ, δ∗ = δ → γ, h(α) =  e α∗ = (α → γ). Por hipótese, p∗1, ..., p ∗ n `L+ (β → γ)→ γ e p ∗ 1, ..., p ∗ n `L+ δ → γ. Então, por MP β, β → δ `L+ δ. Por MP de novo temos β, β → δ, δ → γ `L+ γ e, então, usando o Teorema 1.1.10 β → δ, δ → γ `L+ β → γ. Dáı, por MP temos (β → γ)→ γ, β → δ, δ → γ `L+ γ. Portanto, usando o Teorema 1.1.10 δ → γ, (β → γ) → γ `L+ (β → δ) → γ. e, então, p ∗ 1, ..., p ∗ n `L+ ((β → δ)→ γ) = α∗, o que da conta do último caso a demonstrar ¥. Teorema 1.2.8. Teorema de correção para L+: `L+ α ⇒ M |= α Dem.: Por indução no comprimento da derivação formal de α, isto é de α1, . . . , αn Caso 1.2.8.1. Suponha n = 1. Nesse caso, α é um axioma. Mas podemos verificar através das seguintes tabelas verdade que Ax1-3 são tautologias α β β → α α→ (β → α) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 α β α→ β (α→ β)→ α ((α→ β)→ α)→ α 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 α β γ α→ β β → γ = η α→ γ = θ η → θ = % (α→ β)→ % 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 Então M |= α. Caso 1.2.8.2. Seja n 6= 1. Se α é um axioma, então a prova decorre como no caso 1.2.8.1. Se existem 1 ≤ i, j < n tais que αj = αi → α supomos (por hipótese de indução) que h(αi) =  e h(αi → α) = , mas, pela definição de f , h(α) = , isto é M |= α, e a indução se conclui ¥. Teorema 1.2.9. Teorema de completude para L+: M |= α ⇒ `L+ α Dem.: Sejam p1, ..., pn as diferentes variáveis que aparecem em α. Pela Definição 1.1.5 temos para cada uma das 2n atribuições posśıveis h(p), ..., h(pn), o valor calculado h(α). Dáı, pelo Lema 1.2.7, se γ é uma fórmula bem formada arbitrária e p∗i , α ∗ são definidos como antes, temos para cada um dos 2n conjuntos posśıveis Γn = {p ∗ 1, ..., p ∗ n}, Γn `L+ (α→ γ)→ γ Isto implica que para cada um dos 2n−1 conjuntos Γn−1 = {p ∗ 1, ..., p ∗ n−1} temos pn → γ, Γn−1 `L+ (α→ γ)→ γ, e (pn → γ)→ γ, Γn−1 `L+ (α→ γ)→ γ Usando o Teorema 1.1.10, obtemos Γn−1 `L+ (pn → γ)→ ((α→ γ)→ γ) Γn−1 `L+ ((pn → γ)→ γ)→ ((α→ γ)→ γ) Mas, pelo Lema 1.2.4 e a regra de substituição, temos `L+ [(pn → γ) → ((α→ γ) → γ)] → [(((pn → γ) → γ) → ((α→ γ) → γ)) → ((α→ γ) → γ)] e MP duas vezes, temos Γn−1 `L+ (α→ γ)→ γ Se continuarmos assim, vemos que para cada i = n− , n− , .., , , obtemos, para cada um dos 2i posśıveis Γi = {p ∗ 1, ..., p ∗ i } Γi `L+ (α→ γ)→ γ 18 Se i = , temos p1 → γ `L+ (α→ γ)→ γ, ((p1 → γ)→ γ) `L+ (α→ γ)→ γ e, pelo Teorema 1.1.10 e oLema 1.2.4, temos `L+ (α→ γ)→ γ Como γ é uma fórmula qualquer, em particular é verdade `L+ (α→ α)→ α Mas, temos `L+ (α→ α) (Lema 1.1.8) e, dáı, por MP, temos `L+ α ¥. O teorema da completude que obtivemos é totalmente construtivo, baseiase somente nas propriedades da implicação e, além do mais, explora uma relação entre a implicação e a negação, tirando partido do fato de que a negação pode ser vista como um mero caso particular da negação: intuitivamente, α → γ torna-se ¬α e (α → γ) → γ torna-se ¬¬α se γ coincidir com uma partıcula minimal ("bottom" ou "falsum"). Em especial, Henkin em uma nota a rodapé em [26]7, esclarece que Alonzo Church, seu orientador de doutorado, chamou-lhe a atenção para a similaridade de seu procedimento como o hoje conhecido (mas, segundo todas as evidências, pelo próprio Henkin desconhecido) método de Lázló Kálmar em [28]. O método de Kálmár consiste sucintamente em internalizar o efeito semântico das variáveis de uma fórmula por meios sintáticos, de tal forma que se p1, . . . , pn são as variáveis de α e h é uma valoração binária clássica, então p∗1, ..., p ∗ n ` α ∗, onde p∗i = { pi se h(pi) = 1 ¬pi se h(pi) = 0 para 1 ≤ i ≤ n (análogo para α). Dessa forma, renomeando as variáveis podemos ter h(p1) = . . . = h(pm) = 1, e h(pm+1) = . . . = h(pn) = 0 e obteremos: p1, . . . , pm,¬pm+1, . . . ,¬pn ` α ∗ e, dai, p1 ∨ c, . . . , pm ∨ c,¬pm+1 ∨ c, . . . ,¬pn ∨ c ` α ∗ ∨ c para uma nova variável c que não ocorre na prova. 7página 44, nota. 19 Fazendo uso das equivalências p→ c⇔ ¬p∨c e (p→ c)→ c⇔ p∨c obtemos ((p1 → c)→ c), . . . , ((pm → c)→ c), (pm+1 → c), . . . , (pn → c) ` α ∗, onde α∗ = { α→ c se α∗ é ¬α (α→ c)→ c se α∗ é α Isso nos leva, então, diretamente ao método de Henkin partindo do método de Kálmar mas sem introduzir nenhum tipo de negação expĺıcita em L+. Além do mais, este método usa uma idéia de infinito potencial ao definir ¬α como o conjunto de fórmulas {α→ γ | γ é fórmula} Na seguinte seção vamos estender o método para fragmentos que têm outros conectivos além da implicação (seguindo uma sugestão de Henkin), em particular em nossos exemplos para os fragmentos que contêm conjunção e disjunção e disjunção exclusiva. 1.2.2 Completude dos fragmentos positivos L∧, L∨ e LY Para começar, é preciso ajustar as definições sintáticas e semânticas 1.1.2, 1.1.4 e 1.1.5 respectivamente para as extensões da lógica implicativa positiva por acréscimo da conjunção (L∧), da disjunção (L∨) e da disjunção exclusiva (LY). A noção de matriz normal deverá, agora, refletir as propriedades mınimas que assegurem a interpretação do respectivo conectivo adicional. Definição 1.2.10. Fórmulas L∧: O caso das fórmulas atômicas permanece igual. Caso 1.2.10.1. Se α e β são fórmulas, então α→ β é uma fórmula. Caso 1.2.10.2. Se α e β são fórmulas, então α ∧ β é uma fórmula. Definição 1.2.11. Amatriz de L∧ é uma quádrupla ordenada N = [A,B, f, g], que contém dois conjuntos disjuntos A,B (com elementos de qualquer tipo), e duas funções f, g de duas variáveis, definidas em A∪B. A definição de matriz normal é analoga à Definição 1.1.4, onde agora acrescentamos a função g que interpreta o novo conectivo ∧. Definição 1.2.12. A função h′ é dita uma função que atribui valores à matriz N = [A,B, f, g] para L∧ se satisfizer as seguintes condições: 1. A função h′ é definida para cada α ∈ For L∧. 2. Se p é uma variável proposicional,então h′(p) ∈ A ∪B. 20 3. Se α, β ∈For L∧, então h′(α→ β) = f(h′(α), h′(β)). 4. Se α, β ∈For L∧, então h′(α ∧ β) = g(h′(α), h′(β)) Dizemos que uma fórmula α é satisfeita pela matriz N = [A,B, f, g], denotado por N |= α, se h′(α) ∈ B para cada função h′ que atribui valores a esta matriz. Definição 1.2.13. O sistema L∧ do cálculo proposicional é o conjunto de todas as sentenças (vide 1.2.10) que são satisfeitas pela matriz N = [A,B, f, g], onde A = {}, B = {} sendo a função f definida pelas fórmulas f(, ) = f(, ) = f(, ) =  e f(, ) = ; enquanto a função g é definida pelas fórmulas g(, ) =  e g(, ) = g(, ) = g(, ) = . Definição 1.2.14. Fórmulas L∨: O caso das fórmulas atômicas permanece igual. Caso 1.2.14.1. Se α e β são fórmulas, então α→ β é uma fórmula. Caso 1.2.14.2. Se α e β são fórmulas, então α ∨ β é uma fórmula. Definição 1.2.15. Amatriz de L∨ é uma quádrupla ordenada J = [A,B, f, j], que contém dois conjuntos disjuntos A,B (com elementos de qualquer tipo), e duas funções f, j de duas variáveis, definidas em A∪B. A definição de matriz normal é analoga à Definição1.1.4, onde agora acrescentamos a função j que interpreta o novo conectivo ∨. Definição 1.2.16. A função h′′ é dita uma função que atribui valores à matriz J = [A,B, f, j] para L∨ se satisfizer às seguintes condições: 1. A função h′′ é definida para cada α ∈For L∨. 2. Se p é uma variável proposicional,então h′′(p) ∈ A ∪B. 21 3. Se α, β ∈For L∨, então h′′(α→ β) = f(h′′(α), h′′(β)). 4. Se α, β ∈For L∨, então h′′(α ∨ β) = j(h′′(α), h′′(β)) Dizemos que uma fórmula α é satisfeita pela matriz J = [A,B, f, j], isto é J |= α, se h′′(α) ∈ B para cada função h′′ que atribui valores a esta matriz. Definição 1.2.17. O sistema L∨ do cálculo proposicional é o conjunto de todas as sentenças que são satisfeitas pela matriz J[A,B, f, j], onde A = {}, B = {} sendo a função f definida pelas fórmulas f(, ) = f(, ) = f(, ) =  e f(, ) = ; enquanto a função j é definida pelas fórmulas j(, ) = j(, ) = j(, ) =  e j(, ) = . Definição 1.2.18. Fórmulas LY: O caso das fórmulas atômicas permanece igual. Caso 1.2.18.1. Se α e β são fórmulas, então α→ β é uma fórmula. Caso 1.2.18.2. Se α e β são fórmulas, então α Y β é uma fórmula. Definição 1.2.19. Amatriz de LY é uma quádrupla ordenada K = [A,B, f, k], que contém dois conjuntos disjuntos A,B (com elementos de qualquer tipo), e duas funções f, k de duas variáveis, definidas em A ∪ B. A definição de matriz normal é a mesma para K, onde agora acrescentamos a função k que interpreta o novo conectivo Y. Definição 1.2.20. A função h′′′ é dita uma função que atribui valores à matriz K = [A,B, f, k] para LY se satisfizer às seguintes condições: 1. A função h′′′ é definida para cada α ∈For LY. 2. Se p é uma variável proposicional, então h′′′(p) ∈ A ∪B. 22 3. Se α, β ∈For LY, então h′′′(α→ β)f(h′′′(α), h′′′(β)). 4. Se α, β ∈For LY, então h′′′(α Y β) = k(h′′′(α), h′′′(β)) Dizemos que uma fórmula α é satisfeita pela matriz K = [A,B, f, k], isto é K |= α, se h′′′(α) ∈ B para cada função h′′′ que atribui valores a esta matriz. Definição 1.2.21. O sistema LY do cálculo proposicional é o conjunto de todas as sentenças (vide Definição 1.2.18) que são satisfeitas pela matriz K = [A,B, f, k], onde A = {}, B = {} sendo a função f definida pelas fórmulas f(, ) = f(, ) = f(, ) =  e f(, ) = ; enquanto a função k é definida pelas fórmulas k(, ) = k(, ) =  e k(, ) = k(, ) = . Para estes casos, Henkin estabelece o seguinte procedimento: além dos três axiomas da implicação, podemos estabelecer diretamente quatro axiomas para L∧, L∨ e LY respectivamente, pois ∧, ∨ e Y são funções binárias e geram 22 atribuições. Vamos começar com L∧, onde Axiomas de L∧= Axiomas de L++Ax1∧-4∧ com Ax1∧. ((δ → γ)→ γ)→ [((β → γ)→ γ)→ (((δ ∧ β)→ γ)→ γ)] Ax2∧. ((δ → γ)→ γ)→ [(β → γ)→ ((δ ∧ β)→ γ)] Ax3∧. (δ → γ)→ [((β → γ)→ γ)→ ((δ ∧ β)→ γ)] Ax4∧. (δ → γ)→ [(β → γ)→ ((δ ∧ β)→ γ)] O método heuŕıstico para se estabelecer estes axiomas consiste em determinar as valorações das fórmulas em cada linha da tabela-verdade ou em cada argumento da função que atribui valores ao respectivo sistema, e usar a convenção α→ γ quando a atribuição para α for 0 e (α→ γ)→ γ quando for 1. Se α = Φ(β, δ), isto é, se α introduz um novo conectivo, a convenção é a mesma mutatis mutandis. 23 Lema 1.2.22. Seja h′(p), ..., h ′(pn) uma função que atribui valores para L ∧ às diferentes variáveis p1, ..., pn. Seja α uma fórmula que contem só estas variáveis p1, ..., pn e h ′(α) o valor associado a α pela mesma atribuição. Seja γ uma fórmula qualquer e defina α∗ como no Lema 1.2.7. Então, p∗1, ..., p ∗ n `L∧ α ∗. Dem.: Por indução na complexidade de α. Para o caso atômico a demonstração é análoga a do caso atômico no Lema 1.2.7. Se α = (β → δ), a demonstração é estritamente análoga à do Lema 1.2.7. Seja α = δ ∧ β. Mas, como ∧ é binária, temos 22 casos diferentes, dependendo dos diferentes valores posśıveis para δ e β e usamos g, como definida em 1.2.13. Supomos por hipótese da indução que o lema vale para δ, β . Caso 1.2.22.1. g(δ) = g(β) = . Então δ∗ = (δ → γ) → γ e β∗ = (β → γ) → γ e (δ ∧ β)∗ = ((α ∧ β) → γ) → γ. Por hipótese de indução p∗1, ..., p ∗ n `L∧ (δ → γ) → γ e p∗1, ..., p ∗ n `L∧ (β → γ) → γ, mas, pelo Ax1 ∧, temos `L∧ ((δ → γ) → γ) → [((β → γ)→ γ)→ (((δ ∧ β)→ γ)→ γ)] e, dáı, por MP p∗1, ..., p ∗ n `L∧ ((β → γ) → γ) → (((δ ∧ β) → γ) → γ) e por MP de novo, temos p∗1, ..., p ∗ n `L∧ ((δ ∧ β)→ γ)→ γ = (δ ∧ β)∗ Caso 1.2.22.2. g(δ) = , g(β) = . Então δ∗ = (δ → γ) → γ e β∗ = (β → γ) e (δ ∧ β)∗ = ((δ ∧ β) → γ). Por hipótese de indução p∗1, ..., p ∗ n `L∧ (δ → γ)→ γ e p ∗ 1, ..., p ∗ n `L∧ (β → γ), mas, pelo Ax2∧, temos `L∧ ((δ → γ) → γ) → [(β → γ) → ((δ ∧ β) → γ)] e, dáı, por MP, temos p∗1, ..., p ∗ n `L∧ (β → γ)→ ((δ ∧ β)→ γ) e por MP de novo, p∗1, ..., p ∗ n `L∧ (δ ∧ β)→ γ = (δ ∧ β) ∗ Caso 1.2.22.3. g(δ) = , g(β) = . Análogo, usando Ax3∧ Caso 1.2.22.4. g(δ) = g(β) = . Análogo, usando Ax4∧ ¥. Teorema 1.2.23. Teorema de Correção para L∧ `L∧ α ⇒ N |= α 24 Dem.: Por indução no comprimento da derivação formal de α, isto é, de α1, ..., αn. Caso 1.2.23.1. Seja n = 1 Logo α é um dos axiomas Ax1-Ax3 ou Ax1∧-4∧. Verificamos Ax∧4 através da seguinte tabela-verdade e salientamos que os outros casos são análogos δ β γ δ → γ η θ (δ ∧ β) λ θ → λ η → (θ → λ) 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Com (δ → γ)→ γ = η, β → γ = θ, (δ ∧ β)→ γ = λ Então N |= α Caso 1.2.23.2. Seja n 6= 1. Se α é um axioma, a demonstração é como acima. Caso contrário, existem 1 ≤ i, j < n tais que αj = αi → α e αn = α. Supomos (por hipótese de indução) que h′(αi) =  e h ′(αi → α) = , mas, pela definição de f , h′(α) = , isto é N |= α, e acaba a indução ¥. Teorema 1.2.24. Teorema de Completude para L∧ N |= α ⇒ `L∧ α Dem.: A prova é análoga a 1.2.9, onde agora utilizamos o resultado de 1.2.22¥. Vamos demonstrar agora o Teorema de Completude para L∨, tomando como axiomas de L∨ os axiomas de L+ mais os Axiomas de L∨, Ax1∨-4∨, com Ax1∨. ((δ → γ)→ γ)→ [((β → γ)→ γ)→ (((δ ∨ β)→ γ)→ γ)] Ax2∨. ((δ → γ)→ γ)→ [(β → γ)→ (((δ ∨ β)→ γ)→ γ)] 25 Ax3∨. (δ → γ)→ [((β → γ)→ γ)→ ((((δ ∨ β)→ γ)→ γ)] Ax4∨. (δ → γ)→ [(β → γ)→ ((δ ∨ β)→ γ)]. Os axiomas são heuristicamente determinados de forma análoga aos de L∧, isto é, a partir das linhas da tabela verdade de ∨. Lema 1.2.25. Seja h′′(p), ..., h ′′(pn) uma função que atribui valores para L∨ às diferentes variáveis p1, ..., pn. Seja α uma fórmula que contém só estas variáveis p1, ..., pn e f ′′(α) o valor associado à α pela mesma atribuição. Seja γ uma fórmula qualquer e defina α∗ como em 1.2.7. Então, p∗1, ..., p ∗ n `L∨ α ∗. Dem.: Por indução na complexidade de α. Para o caso atômico a demonstração é análoga a do caso atômico no Lema 1.2.7. Se α = (β → δ), a demonstração é estritamente análoga à do Lema 1.2.7. Seja α = δ∨β. Temos, então, 22 casos diferentes, dependendo dos diferentes valores posśıveis para δ e β e usamos j como definida em 1.2.17. Supomos que o lema vale para δ, β como hipótese da indução. Temos 4 casos: Caso 1.2.25.1. j(δ) =  = j(β) = . Então δ∗ = (δ → γ) → γ e β∗ = (β → γ) → γ e (δ ∨ β)∗ = ((δ ∨ β) → γ) → γ. Por hipótese de indução p∗1, ..., p ∗ n `L∨ (δ → γ) → γ e p∗1, ..., p ∗ n `L∨ (β → γ) → γ, mas, pelo Ax1 ∨, temos `L∨ ((δ → γ) → γ) → [((β → γ) → γ) → ((δ ∨ β) → γ) → γ)] e, dáı, por MP temos p∗1, ..., p ∗ n `L∨ ((β → γ) → γ) → ((δ ∨ β) → γ) → γ) e, por MP de novo p∗1, ..., p ∗ n `L∨ (δ ∨ β)→ γ)→ γ = (δ ∨ β) ∗ Caso 1.2.25.2. j(δ) = , j(β) = . Análogo, usando Ax2∨. Caso 1.2.25.3. j(δ) = , j(β) = . Análogo, usando Ax3∨. Caso 1.2.25.4. j(δ) = j(β) = . Então δ∗ = δ → γ e β∗ = β → γ e (δ ∨ β)∗ = ((δ ∨ β) → γ). Por hipótese p∗1, ..., p ∗ n `L∨ (δ → γ) e p ∗ 1, ..., p ∗ n `L∨ (β → γ), mas, pelo Ax4 ∨, temos (δ → γ)→ [(β → γ)→ ((δ ∨ β)→ γ)] e, dáı, por MP com a hipótese da indução, temos p∗1, ..., p ∗ n `L∨ (β → γ)→ ((δ ∨ β)→ γ) e por MP com a hipótese da indução p∗1, ..., p ∗ n `L∨ (δ ∨ β)→ γ = (δ ∨ β) ∗ 26 Teorema 1.2.26. Teorema de correção para L∨ `L∨ α ⇒ J |= α Dem.: : Por indução no comprimento da derivação formal de α, α1, ..., αn De novo, para o fragmento puramente implicativo de L∨, ver Teorema 1.2.8. Caso 1.2.26.1. Seja n = 1 Então α é qualquer elemento do conjunto Ax1∨-4∨ e devemos verificar através da tabela-verdade que é válida. Escolhemos Ax∨2 (os outros casos são provados analogamente). δ β γ θ η (δ ∨ β) λ η → λ θ → (η → λ) 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Com δ → γ = θ, β → γ = η, (δ ∨ β)→ γ = λ. Então J |= α Caso 1.2.26.2. Seja n 6= 1 Se α é um axioma, a demonstração é como acima. Caso contrário, existem 1 ≤ i, j < n tais que αj = αi → α e αn = α. Supomos (por hipótese de indução) que h′′(αi) =  e h ′′(αi → α) = , mas, pela definição de f , h′′(α) = , isto é J |= α, e acaba a indução ¥. Teorema 1.2.27. Teorema de Completude para L∨ J |= α ⇒ `L∨ α. Dem.: : A prova é análoga a 1.2.9, onde agora utilizamos o resultado de 1.2.25¥. Para LY, basta estabelecer os axiomas que introduzem o novo conectivo, desde que as demonstrações dos teoremas de correção e completude são 27 quase idênticas às de L∨.8 A seguinte é uma base axiomática para LY: H1H3+Ax1Y − 4Y com Ax1Y. ((δ → γ)→ γ)→ [((β → γ)→ γ)→ ((δ Y β)→ γ)] Ax2Y. ((δ → γ)→ γ)→ [(β → γ)→ (((δ Y β)→ γ)→ γ)] Ax3Y. (δ → γ)→ [((β → γ)→ γ)→ (((δ Y β)→ γ)→ γ)] Ax4Y. (δ → γ)→ [(β → γ)→ ((δ Y β)→ γ)] 1.2.3 A independência dos axiomas de Henkin Respondendo a uma conjectura de Henkin9 e a uma sugestão de Walter Carnielli10 demonstramos nesta seção a independência de H1, H2 e H3 os quais, como estabelecido em 1.2.1, podem ser derivados dos axiomas de L+. A demonstração de independência deve satisfazer a uma condição: preservar Modus Ponens (MP), que é a única regra de derivação em [26]. Em geral, afirmamos que uma matriz M′ preserva MP se concorda com M nos valores , (sendo este último o único valor distinguido), isto é se M ⊆M′. Além do mais, sabemos que `L+ α → α e, portanto, M ′ |= α → α, o que quer dizer que a diagonal sempre tem valor distinguido. Por outro lado, vamos tentar modificar a tabela minimamente, para simplificar a prova (por exemplo, introduzimos somente um valor de verdade a mais e preservamos a primeira coluna e a última linha, ou seja, o comportamento clássico da implicação quando 1 é o valor do consequente e 0 o valor do antecedente e, além do mais, fixamos 12 → 1 2 = 1 e estabelecemos a seguinte convenção: se f(α) ≤ f(β), então α → β = 1 ). Portanto, o conjunto das matrizes trivalentes posśıveis M′ pode ser representado pela seguinte tabela → 1 12 0 1 1 ? 0 1 2 1 1 ? 0 1 1 1 Levando isto em consideração, obtemos H1, representada pela seguinte tabela (sendo 1 o único valor distinguido) 8Somente muda o caso que envolve o Ax1Y. 9[26], p 47. 10Quem propôs o contra-modelo para H3. 28 → 1 12 0 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 Tomando h∗(α) =   , h∗(β) =  e h∗(γ) = , então H1 |= H2, H1 |= H3, mas H1 2 H1. Como H1 preserva MP, então concluimos que H2, H3 0 H1. Para o caso de H2, seja H2 (com 1 como único valor distinguido) → 1 12 0 1 1 12 0 1 2 1 1 1 2 0 1 1 1 Tome h′(α) =   , h′(β) =   e h′(γ) = , então H2 |= H1, H2 |= H3, mas H2 2 H2. Como H2 preserva MP, então H1, H3 0 H2. Para o caso de H3, seja H3 (com 1 como único valor distinguido) → 1 12 0 1 1 12 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 Tome h′′(α) =   , h′′(β) =  e h′′(γ) =   , então H3 |= H1, H3 |= H2, mas H3 2 H3. Como H3 também preserva MP, então H1, H2 0 H3. Dessa forma, os três axiomas H1, H2 e H3 são independentes, como a intuição de Henkin havia previsto. 1.3 Outras demonstrações de completude As demonstrações do teorema de completude para L+ e suas extensões L∧ e L∨ apresentadas até aqui não são, obviamente, as únicas existentes na literatura especializada. Nosso levantamento bibliográfico revelou pelo menos quatro demonstrações alternativas de completude para L+, uma para L∧ e duas para L∨. É importante, porém, avaliar essas provas para compreender a natureza do problema envolvido, e para que se possa obter algum grau de sucesso nessa avaliação devemos estabelecer alguns critérios. Um deles esta diretamente relacionado com a motivação filosófica deste trabalho, a saber, a 29 preocupação pelo minimalismo conceitual: como podemos obter um sistema correto e completo usando a menor quantidade de pressupostos? Do ponto de vista minimalista, um sistema que atinge o objetivo com economia de meios é, por si mesmo, interessante pois determina um roteiro metodológico, resultando em maior expressabilidade ou poder dedutivo com a menor quantidade de definições e pressupostos envolvidos, ou seja, o maior impacto com a estratégia mais simples. Eis nosso primeiro critério e a sua justificativa. De outra parte, um aprofundamento no estudo da implicação deveria estar acompanhado por uma tentativa real de afastar métodos alheios à própria implicação, ou seja, esta, pelo menos do ponto de vista sintático, deveria ser estudada implicativamente. Esta escolha envolve uma questão que será abordada no Caṕıtulo 3: um sistema sem negação tem uma semântica que inclui um tipo de negação (o 0 na nossa matriz) e, dáı, o grande problema da negação é simplesmente deslocado para o ńıvel metamatemático de nosso sistema. Minimalismo e abordagem implicativa são, portanto, nossos critérios de adequação ao examinar uma prova de completude para L+. 1.3.1 A prova de Rose Logo depois da publicação de [26] e seguindo de perto o que chamamos de método de Henkin, Alan Rose [40], numa comunicação muito curta, apresenta uma demonstração de completude que resulta particularmente interessante para nosso trabalho. Ali, Rose completa uma prova que Tarski e ÃLukasiewicz só enunciaram em [48]: tendo um fragmento do cálculo proposicional onde a implicação é definida como primitiva, podemos demonstrar que se esse fragmento é fracamente completo, então também é fortemente completo. Denotamos com o conceito de 'fracamente completo' a propriedade de um sistema ter como teoremas somente suas tautologias, ou seja, de haver um sistema que não sabe lidar com fórmulas que não são tautologias. Com o conceito de 'fortemente completo' denotamos o fato de um sistema poder derivar uma fórmula a partir de outra que não é tautologia. Portanto, neste segundo caso pode acontecer que a derivação seja falsa (pois a fórmula a ser derivada não precisa ser tautologia). A intuição da prova é fazer depender o valor de verdade da fórmula total do valor de verdade da fórmula que estamos tentando derivar. Trabalhando com a implicação como único conectivo temos a seguinte solução: fixar o valor do antecedente da fórmula na qual o consequente é a fórmula que desejamos derivar. Esta demonstração de completude forte tem, portanto, o mesmo objetivo da nossa, mas ela começa supondo que o sistema é fracamente completo e usa a regra de substituição. O teorema que temos que demonstrar é o seguinte: 30 1. Teorema: Se num fragmento do cálculo proposicional a implicação material é definida em termos das funções primitivas, então qualquer formalização fracamente completa do sistema fragmentário que tenha por regras de dedução a de substituição e Modus Ponens, é também fortemente completa. Para tanto, Rose introduz um novo axioma à la Henkin: Φ(p1, ..., pn) que recebe o valor 0 (ou F) quando, para todo i, pi recebe o valor de verdade ti. Levando isto em conta, vamos aplicar a regra de substituição da seguinte maneira: (i) Se ti = 1, então substituimos xi por x→ x. (ii) Se ti = 0, então substituimos xi por (x→ x)→ y. Vamos chamar de Ψ(x, y) a fórmula resultante da substituição. Mas f(xi → xi) =  sempre (denotaremos este fato por>), e dáı, quando f(y) = , então f((xi → xi)→ y) = , ou, equivalentemente, f(> → y) =  se f(y) = . Dáı, o valor de Ψ(x, y) só depende do valor de y. Levando isto em conta, podemos examinar a seguinte fórmula: Ψ(x, y)→ y. Pela análise anterior, se f(y) = , então f(Ψf(x, y)→ y) = , pois f((> → y)→ y) só depende de y e, analogamente, quando f(y) =  f(Ψf(x, y) =  e f(Ψf(x, y)→ y) = . Portanto, Ψ(x, y) → y é uma tautologia, e, pelo teorema da completude fraca, ` (Ψ(x, y) → y). Mas, por hipótese temos ` Ψ(x, y) e, dáı, por MP, temos ` y, obtendo o Teorema de Completude forte. Assim, aplicando a regra de substituição de certa maneira, obtemos a completude desejada para um sistema puramente implicativo. É preciso observar, porém, que foi necessário introduzir um novo axioma e, assim, a demonstração foge do critério de minimalismo estabelecido. Além do mais, o novo axioma produzido partindo da atribuição de valores para Φ, faz sentido intuitivamente quando pensarmos nele como uma disjunção de fórmulas verdadeiras e de fórmulas falsas; como um tipo de forma normal não expĺıcita. É justamente este detalhe o que, a nosso ver, não é preciso para obter a completude, incorporar uma forma normal na prova indicaria que a implicação não é suficiente, ou seja, que de algum modo precisamos mais regras além do Modus Ponens e isso se reflete no forte uso da regra de substituição na prova de Rose. O que é importante neste artigo é a conexão que se estabelece entre a prova de completude para um fragmento implicativo e a introdução da disjunção, em particular de uma forma normal impĺıcita. 31 1.3.2 As provas de Lopes dos Santos e de Pollock Na seção anterior observamos como Rose introduz um tipo de forma normal para obter o teorema da completude forte nos fragmentos implicativos do cálculo proposicional. Reunimos aqui duas demonstrações que exploram explicitamente a disjunção com o intuito de obter o teorema da completude para o fragmento implicativo. Contudo, essas provas usam roteiros diferentes para aproveitar as propriedades da disjunção, [17] faz uso do método de Kálmar11, [34] usa o método geral de Henkin, obtendo a completude por contraposição dos conceitos de teoria consistente e de existência de modelos, como de hábito. Vamos examinar, esquematicamente, ambas as provas, começando pela de Lopes dos Santos. O seguinte conjunto de fórmulas constitui a base axiomática usada nesse artigo: Ax1L. α→ (β → α) Ax2L. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] Ax3L. ((α→ β)→ α)→ α Ax4L. α→ (β ∨ α) Ax5L. α→ (α ∨ β) Ax6L. (α→ γ)→ [(β → γ)→ ((α ∨ β)→ γ)] Ax7L. (α ∧ β)→ α Ax8L. (α ∧ β)→ β Ax9L. α→ (β → (α ∧ β)) Além disso temos Modus Ponens como única regra, e assumimos os teoremas da dedução e da equivalência como já demonstrados. A idéia desta demonstração é usar um tipo de forma normal que garanta a eliminação das premissas usando a seguinte convenção: para um conjunto de fórmulas K = {β1, ..., βn} denotamos por (K) α a fórmula α se K for vazio e a fórmula β1 ∨ ...∨ βn ∨α caso contrário. Analogamente, denotamos (K)−α = α se K for vazio e a fórmula α→ β1 ∨ ... ∨ βn, caso contrário. 11Como ele mesmo reconhece em op. cit, página 199, mas sem fazer qualquer menção do artigo de Henkin. 32 Por ∆θ;α denotamos o conjunto das partes atômicas γ de α tal que θ(γ) = V , onde V é valoração. Munidos com os axiomas, as regras e estas convenções, conseguimos provar um lema análogo a 1.2.22. Depois, usando o conceito de conjuntos exclusivos (intuitivamente, o das premissas verdadeiras e o das premissas falsas) e ajustando este conceito a cada uma das premissas, demonstramos por indução o Teorema de Completude. Com esse teorema e explorando a seguinte equivalência proposicional, estabelecemos uma tradução12 do cálculo implicativo-disjuntivo para o cálculo implicativo: α ∨ β ⇔ (α→ β)→ β A seguir, apresentamos uma demonstração dessa equivalência usando os axiomas acima referidos13 por considerá-la fundamental na compreensão do método de completude de Henkin. Dem.: ⇒ 1. α ∨ β [Hip] 2. α→ β [Hip] 3. (α→ β)→ [(β → β)→ ((α ∨ β)→ β)] [Ax6L] 4. (β → β)→ ((α ∨ β)→ β) [MP 2 e 3] 5. (α ∨ β)→ β [MP 4, 1.1.8] 6. β [MP 1 e 5] 7. α ∨ β, α→ β `L β [De 1, 2 e 6] 8. α ∨ β `L (α→ β)→ β [Teorema da Dedução 7] 9. `L (α ∨ β)→ ((α→ β)→ β) [Teorema da Dedução 8] Para ⇐, precisamos de dois lemas auxiliares14: (a)((α ∨ (α→ β))→ β)→ (α ∨ (α→ β)) 12Com o termo "tradução" denotamos simplesmente o resultado da substituição de fórmulas logicamente equivalentes. 13Observe que para demonstrar nosso Lema 1.1.8 neste sistema (que justifica a passagem ⇒ 3, 4) basta usar Ax1 e Ax3L = Lema 1.2.4, vide a primeira seção do Apêndice. 14As seguintes demonstrações fazem parte de [6]. 33 Dem.: 1. (α ∨ (α→ β))→ β [Hip] 2. α [Hip] 3. α→ α ∨ (α→ β) [Ax5L] 4. α ∨ (α→ β) [MP 2 e 3] 5. β [MP 1 e 4] 6. (α ∨ (α→ β))→ β, α `L β [De 1, 2 e 5] 7. (α ∨ (α→ β))→ β `L (α→ β) [Teorema da Dedução 6] 8. (α→ β)→ α ∨ (α→ β) [Ax4L] 9. (α ∨ (α→ β))→ β `L α ∨ (α→ β) [MP 7 e 8] 10. `L (α ∨ (α→ β)→ β)→ (α ∨ (α→ β)) [Teorema da Dedução 9] (b)α ∨ (α→ β) Dem.: 1. [(α ∨ (α→ β))→ β)→ (α ∨ (α→ β))]→ (α ∨ (α→ β)) [Ax3L] 2. (α ∨ (α→ β)→ β)→ (α ∨ (α→ β)) [(a)] 3. α ∨ (α→ β) [MP 1 e 2] Podemos demonstrar agora ⇐ Dem.: 1. (α→ β)→ β [Hip] 2. α→ β [Hip] 3. β [MP 1 e 2] 4. β → α ∨ β [Ax4L] 5. α ∨ β [MP 3 e 4] 6. (α→ β)→ β, (α→ β) `L α ∨ β [De 1, 2 e 5] 7. (α→ β)→ β `L (α→ β)→ (α ∨ β) [Teorema da Dedução 6] 8. α→ α ∨ β [Ax5L] 34 9. (α→ (α ∨ β))→ [((α→ β)→ (α ∨ β))→ ((α ∨ (α→ β))→ (α ∨ β)] [Ax6L] 10. ((α→ β)→ (α ∨ β))→ [((α ∨ (α→ β))→ (α ∨ β)] [MP 8 e 9] 11. (α→ β)→ β `L ((α ∨ (α→ β))→ (α ∨ β) [MP 7 e 10] 12. (α→ β)→ β `L (α ∨ β) [MP (b) e 11] 14. `L ((α→ β)→ β)→ (α ∨ β) [Teorema da Dedução 12] Assim, trocando cada ocorrência de α∨β por (α→ β)→ β e traduzindo os lemas respectivos, obtemos a completude para o fragmento implicativo. Finalmente, usando os axiomas e teoremas adequados, estendemos a prova do fragmento implicativo para o fragmento implicativo-conjuntivo. A demostração de Lopes dos Santos compartilha com a nossa a equivalência entre  ∨ e  → , explorada por nós em 1.1.9 e 1.2.1. Metodologicamente, porém, a prova de Lopes dos Santos difere da nossa: obtém um teorema da completude para o fragmento implicativo-disjuntivo e, quase como corolário, traslada essa demonstração para o fragmento implicativo. Achamos que não é necessária tal digressão; podemos, de fato, provar a completude de L+ e, depois, estender essa completude para L∨, partindo, assim, do menor fragmento posśıvel e acrescentando alguns detalhes na demonstração para obtermos a completude de fragmentos maiores. Em outras palavras, acreditamos que nossa prova consegue o mesmo objetivo de uma maneira mais simples e construtiva. No caso de Pollock [34], usamos a construção geral de Henkin: construimos duas cadéias de teorias usando somente  ∨ , uma contendo as fórmulas verdadeiras e a outra as falsas e mostramos, usando indução, que elas são, de fato, disjuntas. Para tanto, usamos P. Se α ∈ Γ, então Γ ` α Trans. Se Γ ⊆ Λ e Γ ` α, então Λ ` α AE. Se Γ ` α ∨ β, Λ ∪ {α} ` γ e Φ ∪ {β} ` γ, então Γ ∪ Λ ∪ Φ ` γ AI. Se Γ ` α, então Γ ` α ∨ β e Γ ` β ∨ α I. Se Γ ` α ∨ β e Γ ∪ {α} ` γ, então Γ ` γ ∨ β II. Se Γ ` (α1 ∨ ... ∨ αn), então Γ ` αi ∨ (α1 ∨ ... ∨ αi−1 ∨ αi+1 ∨ ... ∨ αn) 35 II. Se Γ ` (α1∨ ...∨αn)∨ (β1∨ ...∨βn), então Γ ` α1∨ ...∨αn∨β1∨ ...∨βn A intuição da prova consiste em demonstrar que para todo Γ, P se Γ |= P, então Γ ` P usando um racioćınio por contraposição, ou seja, supondo que Γ 0 P. Para tanto consideramos a enumeração Pn das fórmulas dessa linguagem e definimos Γ ` ΣΛ denotando o fato de existirem R1, . . . , Rk ∈ Λ tal que Γ ` R1 ∨ . . . ∨Rk. Logo, definimos indutivamente: A0 = Γ An+1 = { An ∪ {Pn} se An ∪ {Pn} 0 ΣBn An caso contrário A = ⋃ n∈ω An B0 = {P} Bn+1 = { Bn se Pn ∈ An+1 Bn ∪ {Pn} caso contrário B = ⋃ n∈ω Bn Onde A, intuitivamente, denota a cadéia das fórmulas verdadeiras, enquanto B denota a cadéia das fórmulas falsas. O seguinte passo consiste em mostrar que existe uma atribuição de valores que contém exatamente estes conjuntos de fórmulas e, dáı, satisfaz Γ, enquanto falsifica P. Esta valoração substitui o conjunto maximal consistente da construção padrão e, por exemplo, podemos verificar que α ∨ β pertence a ela sse α ou β pertencem a ela. Pollock observa aqui que poderiamos introduzir novos conectivos, fixando mais condições para este conjunto maximal consistente não-construtivo (por exemplo, α→ β pertence a ele sse α não pertence a ele ou β pertence a ele) e estabelecendo as regras de introdução e eliminação adequadas. Pollock fecha seu artigo observando que  ∨  e  →  são interdefińıveis, fato que temos explorado na nossa demonstração e ressaltado na prova de completude anterior. O método de Pollock identifica-se com o nosso num aspecto importante: toma um conectivo  ∨  (no nosso caso → ), demonstra a completude do sistema usando somente esse conectivo e estende essa prova para outros conectivos, ou seja, o intuito das demonstrações é igual. Mesmo assim, a prova de Pollock não usa o método de Kálmar, diferentemente da nossa e da prova anterior: o método de Henkin que Pollock usa é um método geral. Sua prova é, portanto, minimal mas não construtiva. 36 1.3.3 A prova de Schumm A prova de Schumm [43] é a única que compartilha com a nossa e com a de Henkin o fato de ter  →  como único conectivo. Os Axiomas 1 e 2 de seu sistema coincidem com os nossos e o Axioma 3 coincide com 1.2.4. Usando os seguintes conceitos e os de teoria consistente e maximal consistente15: T1. Se α ∈ Γ, ou α é um axioma, então Γ ` α T2. Se Γ ` α→ β e Γ ` α, então Γ ` β T3. Se Γ ∪ {α} ` β então Γ ` α→ β T4. Se Γ ` α, então Γ ∪∆ ` α T5. Se Γ ` α então ∆ ` α para algum subconjunto finito ∆ de Γ. T6. Se Γ é maximal consistente, então: α→ β ∈ Γ, sse α /∈ Γ ou β ∈ Γ T7. Se Γ é maximal consistente, então existe uma valoração ω, tal que para cada fórmula α, ω(α) = V sse α ∈ Γ. provamos por indução T8. Se Γ 0 α, então existe uma extensão maximal consistente Θ de Γ tal que α /∈ Γ. Dáı, supondo que Γ 0 α, obtemos pelos teoremas 7 e 8, que existe uma valoração ω′ tal que ω(γ) = V para todo γ ∈ Γ e ω(α) = F , isto é Γ 2 α e, por contraposição, obtemos o teorema da completude. Esta demonstração tem a vantagem de recorrer somente à implicação, como a nossa. Contudo, a nossa demonstração, pelo fato de estar em estreita relação com a de Kálmar, é construtiva, pois não apela para propriedades metamatemáticas especiais; somente usa recursos do sistema e indução. Não queremos dizer com isto que seja mais correta ou necessariamente melhor; simplesmente é mais adequada para nossos objetivos (vide pp 9,23). A prova de Schumm é minimal, mas não é construtiva e, por isso, achamos que faz sentido optar pela nossa, devido aos critérios conceituais e metodológicos acima referidos. Além disso, nossa prova (seguindo Henkin) pode-se adaptar a outras situações. Portanto, a prova de Schumm é mais geral, embora perca o caráter construtivo da nossa (caráter herdado do método de Kálmar) 15A definição de teoria consistente e maximal consistente é a usual. 37 1.4 O Paradoxo de Curry e sua derivação em L+ Uma prova da trivialidade de alguns sistemas formais, apresentada originalmente por Kleene e Rosser e um trabalho de Carnap motivaram o artigo [15], onde Curry ataca a questão das condições básicas para se obter inconsistência16 no interior de qualquer lógica implicativa que satisfaça certos critérios. O paradoxo equivale ao seguinte teorema17: Teorema: "Se G é um sistema combinatoriamente completo18 em que existe uma operação de implicação → tal que para termos α, β arbitrários 1. 19` α→ α 2. ` α→ (α→ β)/ ` α→ β 3. ` α,` α→ β/ ` β então cada termo de G é uma asserção. " Em termos de nosso trabalho, isto quer dizer que, dado um sistema de lógica de combinadores tendo → como conectivo e 1,2 e 3 como acima, então cada fórmula de G é um teorema, ou seja, G é trivial. Note, porém que um sistema de lógica combinatória envolve condições em que se aplica a lógica proposicional junto com a própria lógica 20. A condição 2 equivale ao Lema 1.2.1 e a 3 a MP. Feitas estas observações iniciais, voltamos à demonstração da trivialidade de G, através da demonstração do seguinte: Lema 1: Se G satisfaz às condições do Teorema e se β ′ é um termo qualquer tal que existe um termo α para o qual α ≡ α→ β ′, então ` β′. Dem.: Por 1, ` α→ α (i) Mas, pela hipótese do Lema e a regra de substituição isto equivale a ` α→ (α→ β′) (ii) Dáı (por 2 e 3) ` α→ β′ (iii) 16Em palavras de Curry. Nós preferimos usar o termo 'trivialidade'. 17Usamos a versão original de Curry adaptando-a a nossa linguagem. 18Isto é, temos à nossa disposição uma regra de substituição sem restrições. 19Na versão original por um erro de impressão lê-se ` α → β. Vide a resenha cŕıtica [22]. 20Não pretendemos nos aprofundar nesse ponto; ver a introdução de [15]. 38 Mas, pela hipótese do lema como α equivale a α→ β ′ temos: ` α′ (iv) Dáı (por (iii), (iv) e 3) ` β′ Obtemos ` β′ para β′ qualquer e, portanto, G é trivial. Em que sentido podemos afirmar que uma lógica é trivial segundo este argumento? Precisamos mostrar que para cada termo β podemos obter um α tal que α ` α → β e α → β ` α. A inconsistência depende da descoberta de um α com tais caracteŕısticas e para tanto devemos construir um exemplo onde a derivação anterior possa ser reproduzida, ou seja, precisamos de alguns conceitos adicionais para obtermos a trivialidade positiva (por exemplo, a noção de pertinência ou algumas noções de aritmética que são produto de uma interpretação da teoria21). Portanto, L+ é a lógica sujacente de uma posśıvel objeção do tipo da de Curry, mas nem sempre que trabalharmos com L+ teremos trivialização22. Ela acontece quando representamos um racioćınio matemático que envolve um universo semântico espećıfico (por exemplo, conjuntista); L+ pode ser a base da trivialidade, mas a causa depende de uma construção adicional (neste caso, da construção de α). O problema agora é encontrar uma situação onde o argumento de Curry possa ser aplicado. Ele mesmo apresenta dois tipos de situações onde, de fato, o argumento acontece, em ambos os casos usando auto-referência: uma reconstrução do paradoxo de Russell23 e uma reconstrução do paradoxo de Epimênides (a rigor, uma construção análoga à que Kurt Gödel faz do paradoxo do mentiroso). A primeira situação (que basta para nossos objetivos) pode ser reformulada da maneira abaixo. Seja, para β arbitrário: α = {x : (x ∈ x)→ β} (i) Por uma aplicação de AIA (ver nota) obtemos: (α ∈ α)↔ ((α ∈ α)→ β)(ii) 21O próprio Curry reproduz o paradoxo usando o conceito de número de Gödel, por exemplo. 22Vide a Seção 2 do Apêndice para uma versão da trivialidade positiva que não depende de uma construção auxiliar, mas é direta. 23Observamos que é preciso aceitar mais uma condição para se derivar o paradoxo: toda propriedade define um conjunto; isto é, x ∈ {y : A(y)} ⇔ A(x). Chamaremos esta condição de Axioma Irrestrito de Abstração e a denotaremos por AIA. 39 e a partir dai: (α ∈ α)→ ((α ∈ α)→ β)(iii) e ((α ∈ α)→ β)→ (α ∈ α)(iv) Usando a Lei da Absorção (ıtem 2 no argumento de Curry) obtemos, a partir de (iii): (α ∈ α)→ β(v) e de (v), usando (iv) obtemos: (α ∈ α)(vi) e imediatamente, a partir de (v) e (vi), obtemos o elemento arbitrário β, e portanto demonstramos o que quer que seja. A partir dáı, como será mostrado em seções posteriores, uma solução para objeções desse tipo pode ser fundamentalmente semântica (impedindo a construção de α) ou fundamentalmente sintática (revisando as caracteŕısticas da implicação usada no Lema). Por outro lado, é importante observar que esta versão do paradoxo de Russell não faz qualquer menção à negação ou contradição via negação, mas sim à trivialidade através da implicação. Na nossa leitura, é a implicação o conceito-base para se obter trivialidade, enquanto, como explicamos na Seção 1.2, a negação vem a ser um conceito limite, o caso extremo da implicação (quando β é, de fato algo falso, isto é ⊥). Portanto, podemos buscar a causa da trivialização positiva nas caracteŕısticas da implicação em L+, pois em L+ valem 2, MP e substituição; em outras palavras, podemos tentar uma resposta ao argumento de Curry com o intuito de evitar a trivialização de qualquer lógica positiva modificando o comportamento da implicação clássica. Esses meios, porém, podem visar dois objetivos: ou excluir a cláusula 2 como teorema, ou controlar MP (o que pode levar até ao abandono do Teorema da Dedução clássico, como é o caso de [39]). Optamos pela primeira alternativa, tentando a construção de um sistema positivo não clássico (não bivalente) onde, de fato, a condição 2, conhecida como Lei da Absorção não é teorema e, portanto, não podemos trivializar usando o argumento de Curry. No próximo caṕıtulo examinamos os detalhes desse posśıvel sistema, e no caṕıtulo 3 exploraremos o fenômeno de trivialidade implicativa. Também no próximo caṕıtulo examinamos outra via para evitar o paradoxo de Curry através das restrições da implicação que estabelece Wilhelm Ackermann como apresentadas em [39] e relacionamos-as com nossa proposta. 40 1.5 Considerações Partindo da proposta de Tarski-ÃLukasiewicz e usando o método estabelecido em [26], pudemos, como vimos, demonstrar que o sistema L+ e suas extensões L∧ e L∨ são corretos e completos. Examinamos a literatura existente e concluimos que a prova satisfaz aos critérios metodológicos de minimalismo conceitual e construtividade, particularmente valiosos para uma caracterização adequada da lógica positiva. Munidos desses resultados, abordamos no próximo caṕıtulo o problema da relação de L+ com alguns sistemas não clássicos, em particular com as lógicas n-valentes e com a lógica intuicionista. A abordagem não-clássica da lógica positiva aponta uma saida para evitar posśıveis situações como as detectadas por Curry e esclarece a relação sintática entre implicação e trivialidade, que será explorada com proveito no Caṕıtulo 3. 41 Caṕıtulo 2 A perspectiva não-clássica Seria posśıvel evitar o argumento de Curry, mas conservando a possibilidade de se ter uma demonstração construtiva da completude? Neste caṕıtulo vamos mostrar como, de fato, a lógica positiva não se reduz à lógica bivalente clássica, mas pode ser devidamente modificada para representar o fragmento implicativo de algumas lógicas n-valentes (onde possamos evitar o paradoxo de Curry) e que tem uma estreita relação com uma certa noção de infinito. Examinamos, ainda, a relação de L+ com o fragmento positivo de uma lógica intuicionista (de Wilhem Ackermann) e tentamos precisar em que sentido ela satisfaz critérios construtivos, além dos referidos no Caṕıtulo 1. Os resultados do caṕıtulo são essencialmente pessimistas: tudo leva a conjecturar que qualquer das tentativas de se controlar ou restringir a implicação leva à perda da possibilidade de se manter uma demonstração construtiva da completude. Esta pode ser uma propriedade bastante profunda da implicação, que contudo, para ser demonstrada, exigirá métodos muito mais sofisticados. Nosos intuito é investigar esse fato em vários casos especiais e discutir os pontos positivos e negativos em cada um deles. 2.1 Ln e L + n Em [48], Tarski e ÃLukasiewicz estabelecem uma relação entre L+ e as lógicas n-valentes, indicando como deveriam ser adequadas algumas definições para estudar estes fragmentos. Essa vai ser nossa primeira tarefa nesta seção. Além do mais, vamos tomar L3 (a lógica trivalente de ÃLukasiewicz) e investigar, usando a axiomatização de Wajsberg [52], a questão de se o método de Henkin usado no Caṕıtulo 1, poderia também ser usado aqui para demonstrar o Teorema de Completude do fragmento puramente implicativo da 42 lógica referida. Esclareceremos até que ponto tal método pode ser estendido para uma implicação muito semelhante à clássica. 2.1.1 Linguagem de L+n Definição 2.1.1. Linguagem L+n : Definimos a linguagem de L + n da seguinte maneira: 1. Śımbolos Primitivos: Um conjunto infinito enumerável de variáveis proposicionais: {p1, p2, ...pn, ...} 2. Conectivos: Um conjunto unitário de conectivos, {→n} 3. Śımbolos Auxiliares:  ( ,  ) . Definição 2.1.2. Fórmulas L+n : Caso 2.1.2.1. Qualquer variável proposicional é uma fórmula atômica. Caso 2.1.2.2. Toda fórmula atômica é uma fórmula. Caso 2.1.2.3. Se α e β são fórmulas, então (α→n β) é uma fórmula. Definição 2.1.3. Regras de Inferência: • Modus Ponens: Dadas α,β fórmulas α, α→n β β • Substituição de uma variável por uma fórmula: se α é fórmula, p uma variável proposicional e β uma fórmula, então definimos por indução na complexidade da fórmula: Caso 2.1.3.1. Se α for atômica α[p \ β] = α se α 6= p α[p \ β] = β se α = p Caso 2.1.3.2. Se α = δ →n γ, então: α[p \ β] = δ[p \ β]→n γ[p \ β] 43 Definição 2.1.4. Uma matriz para L+n é uma tripla ordenada M = [A,B, f ], que contém dois conjuntos disjuntos A,B (com elementos de qualquer tipo), e uma função f de duas variáveis, definida em A∪B. A matriz M = [A,B, f ] é dita normal se x ∈B e y ∈A sempre implicarem f(x, y) ∈ A. Definição 2.1.5. A função h é dita uma função que atribui valores na matriz M = [A,B, f ] para L+n se satisfizer às seguintes condições: 1. A função h é definida para cada α ∈For L+n . 2. Se p é uma variável proposicional,então h(p) ∈ A ∪B. 3. Se α, β ∈For L+n , então h(α→n β) = f(h(α), h(β)). Dizemos que uma fórmula α é satisfeita pela matriz M = [A,B, f ], isto é M |= α, se h(α) ∈ B para cada função h que atribui valores à esta matriz. Definição 2.1.6. O sistema proposicional L+n (onde n é um número natural ou n = א0) é o conjunto de todas as sentenças que são satisfeitas pela matriz Mn = [A,B, f ], onde, no caso n = 1 tem-se A = ∅. No caso 1 < n <א0 A = { k n−1 | 0 ≤ k < n− 1}. No caso n = א0, A = { k l | 0 ≤ k < l k, l ∈ N}, B = {} e a função f é definida pela fórmula f(x, y) = min{, − x+ y}. Vamos tomar como exemplo o sistema L+3 , isto é, o cálculo positivo trivalente. Nesse caso, segundo a definição geral, teremos A = {   ,   } , A = {} e f(x, y) =  se x ≤ y, caso contrário f(x, y) < . Usamos a matriz M3 tal como foi apresentada por Wajsberg [52] (denotando por 2 o terceiro valor de verdade e por 1 o único valor distinguido1 seguindo Wajsberg, onde muitos autores contemporâneos usam ,  n ,  n . . . ,  para Ln): →3 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 1 Vamos levar em conta a tabela da negação para demonstrar a equivalência entre axiomas α ¬α 0 1 1 0 2 2 1Usamos valores , , . . . , n. 44 2.1.2 L+3 : Axiomas, Metateorema da Dedução Definição 2.1.7. A seguir temos a base axiomática para L3, introduzida por ÃLukasiewicz e mostrada completa por Wajsberg : 1. `L3 α→ (β →3 α) 2. `L3 (α→3 β)→3 ((β →3 γ)→3 (α→3 γ)) 3. `L3 ((α→3 ¬α)→3 α)→3 α 4. `L3 (¬β →3 ¬α)→3 (α→3 β) No capitulo anterior, demonstramos o teorema da completude para um fragmento que tinha Ax1, Ax2 e um terceiro axioma com uma estrutura similar a Ax3, mas sem negação, o que sugere que devemos encontrar uma forma equivalente do Ax3 que evite a ocorrência da negação. Usando a intuição original de Henkin em 1.2.8, podemos atribuir a ¬α o sentido de α→3 β, procedimento justificado semânticamente assim: α ¬α α→3 ¬α (α→3 ¬α)→3 α ((α→3 ¬α)→3 α)→3 α 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 2 1 2 1 α β α→3 β α→3 (α→3 β) (α→3 (α→3 β)) →3 α [(α→3 (α→3 β)) →3 α] →3 α 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 0 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 Ambas as fórmulas são válidas para qualquer valoração posśıvel, e, além do mais, com as mesmas entradas obtêm-se as mesmas sáıdas2 (observe a 2Esta axiomática alternativa foi considerada e justificada pelo próprio Wajsberg em [52], p 284. 45 quarta coluna da primeira tabela e a quinta da segunda): o valor é 0, quando f(α) = ; é , quando f(α) =  e , quando f(α) = . Dáı, A3((α→3 ¬α)→3 α)→3 α⇔ A3'[(α→3 (α→3 β))→3 α]→3 α. Observamos que em L+3 não vale a Lei da Absorção, isto é M3 2 (α →3 (α →3 β)) →3 (α →3 β), pois basta tomar f(α) =  e f(β) =  e o resultado sera f((α→ (α→ β))→ (α→ β)) = , o que faz de L + 3 um bom candidato para contestar à objeção de Curry. Levando em conta os critérios do método de Henkin, devemos demonstrar o Teorema da Dedução para L+3 . Para tanto, temos de usar (como em 1.1.10) Ax1 e Ax2 e os seguintes lemas: Lema 2.1.8. `L+ 3 α→3 α Dem.: 1. ` L + 3 (α→3 ((α→3 (α→3 α)) →3 α)) →3 [(((α→3 (α→3 α)) →3 α) →3 α) →3 (α→3 α)] [ Ax2 ] 2. ` L + 3 α→3 ((α→3 (α→3 α)) →3 α) [ Ax1 ] 3. ` L + 3 (((α→3 (α→3 α)) →3 α) →3 α) →3 (α→3 α) [ MP 1 e 2 ] 4. ` L + 3 ((α→3 (α→3 α)) →3 α) →3 α [ Ax3' ] 5. ` L + 3 α→3 α [ MP 3 e 4 ] Lema 2.1.9. `L+ 3 (α→3 (β →3 γ))→3 [(δ →3 β)→3 (α→3 (δ →3 γ))] Dem.: Vide [52], p 267, Tese 6. Lema 2.1.10. `L+ 3 (α→3 (α→3 (α→3 β)))→3 (α→3 (α→3 β)) Dem.: Vide [52], p 269, Tese 41. Teorema 2.1.11. Teorema da Dedução para L+3 : Se Γ é um conjunto de fórmulas, α e β são fórmulas e Γ, α `L+ 3 β, então Γ `L+ 3 α→3 (α→3 β). Dem.: Conservando a definição de prova (Teorema 1.1.10) e mutatis mutandis, temos três casos a demonstrar, (por indução no comprimento da prova): Quando n =  β é um axioma,ou β ∈ Γ, ou α = β 46 Nos dois primeiros subcasos a prova é estritamente análoga: Γ, α `L+ 3 β (por hip). Mas se β é axioma ou β ∈ Γ,e, então Γ `L+ 3 β. Pelo Ax1 temos Γ `L+ 3 β →3 (α→3 β). Dáı, por MP, temos Γ `L+ 3 α→3 β e, pelo Ax1 e MP Γ `L+ 3 α →3 (α →3 β). No último subcaso temos Γ, α `L+ 3 β e α = β(por hip), mas, pelo Lema 2.1.8, temos Γ `L+ 3 α→3 α e, portanto,Γ `L+ 3 α→3 β, e pelo AX1 e MP, Γ `L+ 3 α→3 (α→3 β). Isto esgota o caso n = 1. Se n 6= 1, assumimos que ou β é um axioma, ou β ∈ Γ, ou α = β, ou β é o resultado de aplicar MP em βj e βm, com j < i,m < i e vamos demonstrar para n = i. Nos três casos iniciais, a demonstração é estritamente análoga à do caso n = 1. Vamos demonstrar, portanto, o último subcaso. Por hipótese de indução, temos Γ `L+ 3 α→3 (α→3 βj) e Γ `L+ 3 α→3 (α→3 (βj →3 βi)). Pelo Ax2 temos Γ `L+ 3 (α→3 βj)→3 [(βj →3 βi)→3 (α→3 βi)] e pelo Ax2 de novo Γ `L+ 3 (α →3 (α →3 βj)) →3 [((α →3 βj) →3 ((βj →3 βi)→3 (α→3 βi)))→3 (α→3 ((βj →3 βi)→3 (α→3 βi))] e por MP com a hipótese da indução, obtemos Γ `L+ 3 ((α →3 βj) →3 ((βj →3 βi) →3 (α →3 βi))) →3 [α →3 ((βj →3 βi)→3 (α→3 βi))] mas por MP com o Ax2 temos Γ `L+ 3 α →3 ((βj →3 βi) →3 (α →3 βi)). Dáı, pelo Lema 2.1.9, temos Γ `L+ 3 α→3 ((βj →3 βi)→3 (α→3 βi))→3 [(α→3 (βj →3 βi))→3 (α→3 (α→3 (α→3 βi)))] e por MP obtemos Γ `L+ 3 (α→3 (βj →3 βi))→3 (α→3 (α→3 (α→3 βi))). Pelo Ax1 temos Γ `L+ 3 (α →3 (βj →3 βi))→3 (α →3 (α →3 (α →3 βi))→3 [α→3 ((α→3 (βj →3 βi))→3 (α→3 (α→3 (α→3 βi))))] e por MP obtemos Γ `L+ 3 α →3 ((α →3 (βj →3 βi)) →3 (α →3 (α→3 (α→3 βi)))). Dáı, pelo Lema 2.1.9 temos Γ `L+ 3 α→3 ((α→3 (βj →3 βi))→3 (α→3 (α→3 (α→3 βi))))→3 [(α →3 (α →3 (βj →3 βi))) →3 (α →3 (α →3 (α →3 (α →3 (α →3 βi)))))]. Mas por MP obtemos Γ `L+ 3 (α →3 (α →3 (βj →3 βi))) →3 (α →3 (α →3 (α →3 (α →3 (α→3 βi))))). Dáı, por MP com a hipótese da indução, obtemos Γ `L+ 3 α →3 (α →3 (α →3 (α →3 (α →3 βi))))). Pelo Lema 2.1.10, 47 temos Γ `L+ 3 α →3 (α →3 (α →3 (α →3 (α →3 βi))))) →3 [α →3 (α →3 (α →3 (α →3 βi)))] e por MP obtemos Γ `L+ 3 α →3 (α →3 (α →3 (α→3 βi))). Dáı, pelo Lema 2.1.10, temos Γ `L+ 3 α →3 (α →3 (α →3 (α →3 βi)))→3 (α→3 (α→3 (α→3 βi))) e por MP obtemos Γ `L+ 3 α→3 (α→3 (α→3 βi))) mas por um último uso do Lema 2.1.10 e Modus Ponens obtemos Γ `L+ 3 (α→3 (α→3 βi))) ¥. Salientamos que o Teorema da Dedução para L+ depende de uma forma da Lei de Absorção que não é válida em L+3 . Contudo, em L + 3 vale uma Lei da Absorção fraca (vide 2.1.10) que usamos na demonstração do Teorema 2.1.11. Por outro lado, é natural levantarmos a seguinte questão: por que devemos modificar a nossa demonstração de 1.1.10 para o caso de L+3 ? Porque em L+3 existem contra-exemplos para o Teorema da Dedução de L +. Considere o seguinte: Γ, α → (β → γ), α → β `L+ α → γ. Segundo o Teorema 1.1.10, podemos concluir (vide Lema 1.2.4) Γ `L+ (α → (β → γ)) → [(α → β) → (α → γ)], mas em L+3 , tomando f(α) = , f(β) =  e f(γ) = , teremos f((α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)]) =  e, então, pela Definição 2.1.5 M3 2 ((α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] Mas, de fato, em L3 vale o Teorema da Correção (vide [52], Teorema 24), então Γ 0L+ 3 (α→3 (β →3 γ))→3 [(α→3 β)→3 (α→3 γ)]. Este fato muitas vezes passa despercebido ou, pelo menos, não é apresentado com a clareza que deveria, mesmo na literatura especializada: Por exemplo, Robering em [39](página 5, nota) afirma que L3 'possui um Teorema da Dedução sem restrições' e se baseia em [30]. Já nesse livro, Malinowski apresenta o Teorema da Dedução (denotado por (Ded)) para a lógica clássica em termos do operador de conseqüência tarskiano (p 34): (Ded) β ∈ C(X,α)sse α→ β ∈ C(X). 48 Mais para a frente (pp 63-64), estudando as propriedades padrão das construções polivalentes, ele descreve uma 'matriz standard de conseqüência', denotando por CMn um operador de conseqüência para a matriz M (em particular, para M polivalente) e afirma que 'apresenta uma semelhança muito grande com o operador de conseqüência da lógica clássica'. Em particular, dados α, β ∈ For e X ⊆ For: (→) β ∈ CMn (α,X)sse α→ β ∈ C M n (X). Contudo, Malinowski está simplesmente estabelelecendo uma semelhança estrutural (algébrica) entre operadores de consequência, o que não quer dizer que '(→)' valha nas mesmas condições que '(Ded)', ou, equivalentemente, que o Teorema da Dedução da lógica clássica coincida com, pelo menos, o Teorema da Dedução de algumas lógicas polivalentes. O que temos, então, é um operador de consequência com propriedades gerais semelhantes às clássicas (é finito, estrutural, etc.) e outro de dedutibilidade, que, no caso da lógica clássica é denotado por α → β e no caso da trivalente por α→3 (α→3 β) 3. Provavelmente o problema ao ler essa passagem do livro de Malinowski provenha do fato de ele usar o mesmo śımbolo ("→") para operadores de dedutibilidade diferentes e por isso acreditamos que seria desejável usar "→ n" ao invés de "→" para evitar confusões como, por exemplo, a que leva Robering a afirmar que o Teorema da Dedução vale sem restrições para L3 e, em particular, para seu fragmento implicativo L+3 , pois, como vimos acima, podemos construir contra-exemplos que demonstram o contrário. 2.1.3 O problema da completude de L+3 Encarando as dificuldades de se encontrar uma demonstração construtiva de completude para L+3 , devemos reconhecer dois fatos que representam uma forte evidência negativa para nossa tentativa. Fato 1: O método de Henkin usado para L+ depende da validade de alguns axiomas, do Modus Ponens e do teorema da dedução (na versão clássica do caṕıtulo 1). Esta versão, porém, não é válida em L3, nem, portanto, em L+3 . Logo, é virtualmente imposśıvel obter lemas proposicionais que ajudem na demonstração dos teoremas de correção e completude (como demonstrados no Caṕıtulo 1). Poderiamos propor demonstrações usando o Teorema 2.1.11 MP e substituição, mas, mesmo assim, ficariamos numa 3Vide [14], página 125 para uma explicação mais detalhada deste aspecto. 49 situação difıcil quando tentássemos demonstrar o análogo do Lema 1.2.6 em L+3 e, portanto, não conseguiriamos as ferramentas necessárias para obtermos o resultado desejado. Fato 2: Supondo que o Teorema da Dedução na forma clássica coincidisse com o de L+3 , restaria outro problema sério na aplicação do método de Henkin: Qual é a 'configuração' do valor de verdade 2? Para 0 e 1 temos α →3 γ e (α →3 γ) →3 γ como no caṕıtulo 1. Depois de muitas tentativas para L+3 , não foi posśıvel isolarmos uma configuração para 2, pois sempre obtivemos mais que o necessário. Tomemos, por exemplo, α →3 (α →3 γ) como configuração de 2 e observemos a seguinte tabela verdade: α γ α→3 γ α→3 (α→3 γ) 0 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 O problema é que α →3 (α →3 γ) não consegue isolar aqueles casos onde, se f(α) = , então f(α→ (α→ γ)) = , pois coincide com os casos onde f(α→ γ) = , isto é, α →3 (α →3 γ) poderia representar também o caso f(α) = . Esta particularidade faz com que não seja posśıvel generalizar o método de Henkin para qualquer lógica polivalente, em particular, para a hierarquia Ln de ÃLukasiewicz. Resta procurar outro sistema polivalente que satisfaça às seguintes condições: (1). Deve ter uma implicação com um comportamento clássico o suficiente para se obter um Teorema da Dedução irrestrito. (2). Não pode validar a Lei de Absorção, para evitar o paradoxo de Curry. 2.2 Outros sistemas n-valentes Os problemas de conseguir um sistema não-clássico com condições adequadas para se obter o teorema da completude no estilo de Henkin, e evitar o paradoxo de Curry, embora elementares, não têm uma solução nem trivial nem 50 imediata. A teoria das lógicas multivalentes tal como desenvolvida em [38] e [30], por exemplo, não sugere muito sucesso no que diz respeito aos dois problemas referidos, o que indicaria que, segundo nossa colocação anterior teriamos duas opções (possivelmente exclusivas)no que concerne a isitemas de lógica positiva implicativa: Ou obtemos uma prova construtiva de completude, ou adotamos uma implicação suficientemente restrita de tal forma a invalidar a objeção de Curry. Em outras palavras: (i) Algumas lógicas polivalentes finitárias controlam o paradoxo de Curry (como é o caso da lógica trivalente L3 de ÃL ukasiewicz), mas possuem uma estrutura que foge dos requisitos de Henkin, que garantem condições suficientes para completude construtiva. ou (ii) Podemos abrir mão de nossa preocupação para com o paradoxo e obter fragmentos completos, embora pasśıveis de trivialização positiva via Lei da Absorção. Vamos adiar a discussão sobre a (aparente) incompatibilidade de (i) com (ii) para outra seção e, a seguir, estudamos o caso das lógicas da inconsistência formal intoduzidas em [12] através de um caso especial, o sistema LFI1 que pareceria particularmente apto para uma resposta afirmativa pelo menos ao caso (ii). 2.2.1 O caso das lógicas paraconsistentes: LFI1 Desde que os sistemas polivalentes de ÃLukasiewicz não são apropriados para satisfazer (i) e (ii), examinamos o caso das lógicas paraconsistentes que estendem a base positiva (as lógicas da inconsistência formal intoduzidas em [12]) tomando uma delas (o sistema LFI1) como exemplo paradigmático. Concluimos que estas lógicas também não são adequadas para tratar com a trivialidade positiva. Para tanto, apresentamos o fragmento implicativo do sistema LFI1, como introduzido em [13], lembrando as definições de linguagem para L+, adotando Modus Ponens como única regra de inferência e introduzindo as seguintes definições de matriz e base axiomática: Definição 2.2.1. O sistema proposicional LFI1+ é o conjunto de todas as sentenças que são satisfeitas pela matriz LFI1+=[A,B, g], onde A = {}, B = {,   } e a função g é definida pelas fórmulas g(, ) = g(, ) = g(,   ) = g(   , ) = g(, ) = ; 51 g(   ,   ) = g(,   ) =   e g(   , ) = g(, ) =  Podemos representar esta matriz usando a seguinte tabela-verdade, onde 1 e 12 são os valores distinguidos → 1 12 0 1 1 12 0 1 2 1 1 2 0 0 1 1 1 Definição 2.2.2. O seguinte conjunto constitui uma posśıvel base axiomática para LFI1+: 1. α→ (β → α) 2. (α→ β)→ ((α→ (β → γ))→ (α→ γ)) Observamos que a partir desses axiomas já podemos obter o Teorema da Dedução clássico (irrestrito). Entretanto, precisamos de mais um axioma para se conseguir o Teorema da Completude. Desde que a lógica paraconsistente foi originalmente concebida como conservando uma base clássica (estendendo o fragmento positivo, pelo menos na maioria delas, vide [12], em particular página 32), os axiomas restantes com as condições requeridas podem ser somente (α → γ) → [((α → β) → γ) → γ] (seguindo a intuição de Henkin) ou ((α → β)→ α)→ α (seguindo a intuição de Tarski e ÃLukasiewicz). Mas em ambos os casos, a demonstração de completude é a clássica. Dáı, o fragmento positivo de LFI1 e outras lógicas paraconsistentes (por exemplo P1 ou J3 como introduzidos em [44] e [18] respectivamente) coincide com o da lógica clássica e, portanto aquelas resultam inócuas para resolver o problema da trivialidade positiva. Apontamos, ainda, que a separabilidade dos valores de verdade através de configurações de fórmulas (como proposta em [11]) faz sentido nas lógicas paraconsistentes no caso de haver negação, operador de consistência ou qualquer operador diferente da simples implicação. Com os recursos que temos, podemos afirmar que a implicação material só consegue lidar com o argumento de Curry pagando o preço de enfraquecer o Teorema da Dedução (como no caso de L+3 ). A rigor, L + 3 seria um bom candidato para refutar positiva e minimalmente (sem introduzir novos 52 conectivos) a Lei da Absorção e controlar a trivialidade implicativa. O fato de L+3 aparentemente não ser completo usando o método construtivo de Henkin esclarece um ponto na compreensão daquele problema: parece que não temos um sistema minimal e completo à la Henkin que invalide o paradoxo em questão. Uma resposta alternativa é construir um sistema onde a implicação pode ser observada em ńıveis diferentes ou, inclusive, onde possamos falar em duas implicações. Observamos, entretanto, que uma posśıvel resposta paraconsistente-relevante é discutida em [19], usando uma semântica da pertinência no sentido em que não somente o valor de verdade das proposições, mas também o conteúdo (pertinência) deve ser levado em conta. Esta semântica, contudo, exige que uma noção de pertinência seja dada como primitiva e, ainda, inclui negação e, dessa forma, foge a nossos propósitos.. Examinamos a seguir outra proposta nesta direção, a de Ackermann, e observamos as semelhanças e divergências em relação à nossa. 2.3 A proposta de Whilhelm Ackermann Como uma alternativa aos paradoxos que envolvem o prinćıpio de compreensão ou abstração, Whilhelm Ackermann, um estudante de David Hilbert, famoso por seus trabalhos em funções recursivas (as conhecidas funções de Ackermann de crescimento rápido), desenvolveu alguns sistemas lógicos onde tal prinćıpio pode ser aplicado sem restrições, e não valem argumentos como o de Russell.4 Esta proposta estava estreitamente vinculada com o programa formalista de fundamentação da matemática de seu mestre David Hilbert, e, portanto, pode ser considerada como uma tentativa de se evitar paradoxos (como o de Russell) usando meios formais. Como os teoremas da incompletude de Gödel já eram amplamente conhecidos na época, Ackermann mudou a idéia original de Hilbert: só queria evitar o paradoxo de Curry (não qualquer paradoxo) e, além do mais, não usou a lógica clássica, mas uma lógica intuicionista (construtiva e, portanto, mais confiável segundo o propósito do Programa de Hilbert, embora Hilbert não endossasse o intuicionismo). A proposta de Ackermann pode ser considerada, então, como uma parte dos restos do programa formalista. Desde que a solução de Russell e Whitehead para este problema foi estabelecer uma teoria dos tipos lógicos (restringindo a extensão de cada conceito a um ńıvel espećıfico) e a solução de Ackermann não produz uma tal estra4A proposta de Ackermann está contida numa série de artigos [1] e [2]. Complementamos a proposta original com a apresentação que dela faz Robering em [39]. 53 tificação, ele chamou a lógica subjacente à sua proposta de lógica sem tipos (typefreien Logik). A intuição de Ackermann foi, então, mudar a lógica subjacente e não a matemática, no caso, a teoria de conjuntos. Nosso roteiro nas seguintes seções consistirá em discutir algumas generalidades nas motivações conceituais nessa intuição, para, logo depois, discutir os seguintes pontos espećıficos: (i) as restrições à implicação, (ii) o conceito de modalidade, (iii) o exame formal de tais sistemas (introduzindo sua linguagem, definições e demonstrando os principais fatos em relação a eles) e (iv) a idéia de hierarquia de lógicas de Ackermann. 2.3.1 Motivações conceituais A proposta de Ackermann, como todo projeto sistemático, é complexa e extensa. Ela não se reduz a uma discussão a respeito de sistemas intuicionistas ou sem tipos5, mas visa uma reestruturação de conceitos tais como os de implicação e dedução. Como ele estabelece diferentes tipos de implicação (a material, denotada em seus artigos por ⊃ e a estrita, denotada por →), precisa aprimorar sua noção de necessidade, o que, de fato, é levado a cabo em [3] e que, depois das melhoras introduzidas por Anderson e Belnap, dá origem à uma nova linha de pesquisa, a lógica relevante, (vide [4], cujos conceitos e resultados utilizaremos com o intuito de estudar a abordagem de Ackermann à modalidade). Salientamos que com o exame dos conceitos moDáıs pretendemos complementar a apresentação de Robering em alguns pontos que julgamos incompletos. Com efeito, a proposta de [1] não é muito clara em relação ao caráter do operador Γ (que denotaremos por g), mas, o uso que dele se faz e a intuição que o sustenta estão conectados com o conceito de necessidade, e, portanto, devemos esclarecer o tratamento modal de tal operador. Depois destas considerações iniciais examinamos a seguir a solução do paradoxo de Curry usando os sistemas de Ackermann, tal como analisado em [39]. Definição 2.3.1. Dada uma fórmula A6 e um termo x chamamos {x|A} um termo de classe se x e A estiverem conectados pelos seguintes prinćıpios de conversão: t ∈ {x|A} → [t\x]A (abs1) 5O que caracteriza explicitamente seu interesse inicial em relação ao tema. 6Mudamos a convenção das letras gregas para denotar fórmulas, pois no sistema de Ackermann usaremos o operador g que pode ser facilmente confundido com a letra grega γ. 54 [t\x]A→ t ∈ {x|A} (abs2) Estas expressões denotam o fato de podermos trocar emA toda ocorrência de x por t, desde que x esteja numa certa relação com A (num certo ńıvel referencial ou conceitual) e por outro lado, o fato de afirmarmos que, desde que a troca é posśıvel, x e A estão numa certa relação de pertinência. Definição 2.3.2. Chamamos de combinatoriamente completo um sistema onde valem (abs1) e (abs2). Visando evitar paradoxos como o de Russell, Ackermann aceita predicados parciais que produzem fórmulas em que um dos valores de verdade (clássico) não ocorre e, portanto, não vale o prinćıpio do terceiro excluido. A justificativa para a ausência desse prinćıpio encontra-se em [1]7. Ao estudarmos a derivabilidade não estamos estudando, a rigor, o conectivo que representa a implicação, mas as condições de possibilidade da dedução de uma fórmula a partir de outra. Nesse contexto, introduzimos uma constante lógica para exprimirmos uma fórmula que é sempre derivável e cuja negação, portanto, seria uma fórmula que nunca é derivável, ou seja, uma fórmula absurda. Ora, o prinćıpio do terceiro excluido aplica-se a fórmulas com sentido pasśıveis de ser verdadeiras ou falsas, ao passo que uma fórmula absurda, pelo fato de não possuir sentido, foge dessa condição. Dáı, o estudo da derivabilidade é anterior, por assim dizer, ao estudo do prinćıpio do terceiro excluido pois não estabelece pontualmente as condições de verdade de uma fórmula, mas as condições nas quais podemos afirmar que uma fórmula faz sentido. É evidente, então, que a lógica de Ackermann tem pelo menos duas caracteŕısticas próprias das lógicas intuicionistas (a ausência do prinćıpio do terceiro excluido e a preocupação com o racioćınio construtivo, neste caso envolvendo a implicação), mas devemos notar que tem sido interpretada na literatura especializada como um sistema n-valente8. Apesar de todas essas ressalvas, outro tipo de paradoxo pode atingir os sistemas de Ackermann, por exemplo o paradoxo de Curry9, supondo que tenhamos uma lógica que possua um śımbolo f para denotar o falso ou a falsidade, que vale o Teorema da Dedução e MP como regra de inferência, teriamos o seguinte argumento: Seja c = {x|(x ∈ x)→ f}, então (1)(c ∈ c)→ ((c ∈ c)→ f) (abs1) 7Págs 38-39. 8Esta possibilidade será considerada mais adiante. 9Embora o próprio Curry reduza o paradoxo de Russell a seu próprio argumento (cfr 1.4), aqui somente o primeiro é considerado. 55 (2)c ∈ c (hip) (3)(c ∈ c)→ f (2,1 MP) (4)f (2, 3 MP) (5)(c ∈ c)→ f (TD 2, 4) (6)((c ∈ c)→ f)→ (c ∈ c) (abs2) (7)c ∈ c (MP 5,6) (8)f (7,1 MP duas vezes) Observamos que esta demonstração explora o Teorema da Dedução (em (5)) e as duas regras de substituição (em (1) e (6)) para derivar f e além do mais, que a passagem de (2) a (4) depende da Lei da Absorção. Sabemos que uma forma posśıvel de se controlar este argumento é restringir (abs1) e (abs2) (o que nos conduz à teoria dos tipos), ou controlar MP ou o Teorema da Dedução (como no caso de L+3 ). Ackermann considera esta última como a melhor opção. Levando em conta que, segundo ele, se representarmos a dedutibilidade de B a partir de A por A→ B, podemos estabelecer que um sistema é dedutivamente completo, o argumento de Curry pode ser interpretado como mostrando que um sistema não é, ao mesmo tempo, dedutiva e combinatoriamente completo. 2.3.2 Restrições à implicação O nosso problema aqui é distinguir duas intepretações da implicação: uma (a material, que até agora temos explorado) onde qualquer prova de B partindo de A basta (na presença de algo como o Teorema da Dedução) para estabelecer a demonstrabilidade de A → B; outra (a estrita) onde existe um tipo de prova que garante alguma conexão entre A e B. A idéia, segundo Robering, é intepretar dedutivamente a implicação, tentando esclarecer por quê A pode ser derivado de B, o que nos leva a introduzir conceitos a respeito da implicação. Nas suas próprias palavras10: Suponhamos que S seja o sistema da lógica proposicional tal que A→ B é um teorema sse A `S B. A definição da relação de derivabilidade `S vai depender das regras de inferência de S. Desde que → pertence à linguagem de S, existirão regras de inferência para este conectivo, como (MP). Mas, dáı, a caracterização de → por meio de `S seria circular. 10[39] p 6. 56 Devemos ter, portanto, axiomas ou prinćıpios para esclarecer a interpretação dedutiva da implicação, mas os novos axiomas, naturalmente, não podem coincidir com os axiomas que não levam em conta as particularidades da nova implicação. Por exemplo11: (vq) A→ (B → A), exprime o fato de que se A é derivável, então B → A é derivável, mas a noção de derivabilidade é metalingúıstica e, portanto, não podemos incorporá-la à nossa linguagem. Dáı, (vq) não pode ser um axioma com a intepretação dedutiva da implicação. Outro exemplo notável é (sd) A→ (B → C)→ [(A→ B)→ (A→ C)] que expressa o fato de que se B → C é derivável de A, também o são B e C, mas, de novo, estamos confundindo a noção metalingúıstica de derivabilidade com a noção lingúıstica de implicação. Desde que, por um lado, não valem (vq) nem (sd), e por outro, estamos impondo condições adicionais à implicação, não podemos concluir que vale o Teorema da Dedução para a lógica positiva. Em outras palavras, vamos ter que demonstrar uma versão do Teorema da Dedução que leve em conta essas condições particulares. As referidas restrições têm o intuito de fixar ńıveis implicativos (não tipos lógicos) onde possamos descrever as caracteŕısticas da derivabilidade de um sistema apenas fora dele, ou seja, as relações implicativas entre objetos de um sistema podem ser esclarecidas unicamente usando uma implicação de segundo ńıvel. No caso clássico, entretanto, existe uma confusão ou identificação de ńıveis: o Teorema da Dedução é derivável no interior do sistema, mas é um meta-teorema (um teorema a respeito de teoremas). Adiando a apresentação da hierarquia dos sistemas dedutivos até a próxima seção, salientamos alguns pontos interessantes na resposta de Ackermann a argumentos como o de Curry: (1) Não podemos resolver, segundo ele, o paradoxo se não relativizarmos profundamente a noção de implicação, chegando mesmo a abandonar os axiomas clássicos e, portanto, o Teorema da Dedução na versão padrão. Ackermann explicita dessa maneira uma questão colocada por nós na discussão do paradoxo: temos de esquecer o caráter clássico da implicação para evitarmos argumentos que trivializem positivamente nosso sistema. Podemos tentar uma solução aceitando alguns axiomas clássicos, mas enfraquecendo 11Usamos os nomes (vq) e (sd) para denotar oa Axioma 1 do caṕıtulo 1 (por verum ex quodlibet) e o Lema 1.2.5 do mesmo caṕıtulo (por self-distribution) 57 o Teorema da Dedução (por exemplo como em L+3 ) ou podemos reconstruir o argumento desde o ińıcio, erigindo todo um sistema novo (como ele faz). Provavelmente a principal virtude da proposta de Ackermann seja a sua radicalidade: enquanto nós procuramos adaptar um sistema para resolver nosso problema, ele resolve o problema, esclarecendo onde (no Teorema da Dedução) e por quê (confusão entre ńıveis implicativos) aquele acontece, e depois constrói o sistema. (2) O Teorema da Dedução válido nas lógicas de Ackermann somente inclui os casos onde, de premissas verdadeiras que derivam a conclusão, derivamos efetivamente a conclusão, isto é, do ponto de vista desta lógica positiva intuicionista poderiamos conectar as premissas com a conclusão se tivermos uma derivação que garante ao mesmo tempo a validade de cada uma delas e da conclusão. O paradoxo de Curry aconteceria devido ao caráter arbitrário do teorema da dedução clássico: segundo Ackermann, não poderiamos aceitar premissas não deriváveis e obter uma conclusão derivável; no caso da objeção de Curry as premissas não podem ser deriváveis. 2.3.3 Conceitos preliminares Nesta seção apresentamos o conteúdo técnico do trabalho de Ackermann, visando esclarecer a relação entre ńıveis implicativos, mencionada na seção anterior. Definição 2.3.3. Definimos a linguagem L+ contendo as operações g (oária), ∧,∨ e→(binárias). A definição de fórmula se estabelece por aplicação recursiva de tais operações no conjunto S (infinito enumerável) de variáveis proposicionais S = {p, q, r . . .}. L+ também pode ser pensada como a álgebra livre L+ = 〈FormL+ ,g,∧,∨,→〉 Definição 2.3.4. Uma substituição s é um homomorfismo de L+ em L+, s ∈ HOM(L+,L+). Denotamos por sA o resultado de se aplicar s à fórmula A e, para M ⊆ FormL+ , sM é o conjunto {sA|A ∈ M}. Caso tenhamos s ∈ HOM(L+,L+), pi ∈ S (1 ≤ i ≤ m), spi = Bi e sq = q para todo q ∈ S diferente de pi, escrevemos A[B1/p1 . . . Bm/pm] ao invés de sA. Definição 2.3.5. Definimos indutivamente a operação gmA (m ∈ N) da seguinte maneira12 g0A = A 12o Sentido intuitivo dessa operação é basicamente igual ao de um regra de necessidade, como veremos na seção 2.3.7. 58 gm+1A = g→ (gmA) Intuitivamente, o śımbolo g poderia ser compreendido como "a conjunção de todas as verdades'construtıveis ou verdades deriváveis", e gn simplesmente como uma iteração. Dessa forma, g→ A significa algo como "A é infalsificável". Discutimos esta questão em mais detalhes na seção 2.3.7. Temos duas abordagens posśıveis para estudar as principais propriedades do fragmento positivo das lógicas de Ackermann: A+(a axiomática) e Σ+ (usando dedução natural). A seguir, apresentamos as duas versões e algumas demonstrações importantes a respeito de A+ e Σ+. 2.3.4 O sistema A+ Definição 2.3.6. A seguinte é uma base axiomática para o sistema A+ A1 A→ A A2 (g→ A)→ (B → A ∧B) A3a A ∧B → A A3b A ∧B → B A4a A→ A ∨B A4b B → A ∨B A5 A ∧ (B ∨ C)→ B ∨ (A ∧ C) A6 (A→ B) ∧ (A→ C)→ (A→ B ∧ C) A7 (A→ C) ∧ (B → C)→ (A ∨B → C) A8 (A→ B) ∧ (B → C)→ (A→ C) A9 (g→ A)→ (B → A) A10 (g→ A ∨B)→ ((g→ A) ∨ (g→ B)) A11 (g→ A)→ A Definição 2.3.7. As seguintes são as regras de inferência para A+ A A→ B B (mp) 59 e13 A g→ A (up) Seja M ⊆ FormL+ e A ∈ FormL+ . Então escrevemos 'M °A+ A' para denotarmos que A é derivável em A+ a partir de M. Podemos, a partir desta definição, demonstrar alguns fatos importantes14 a respeito de °A+ . Teorema 2.3.8. Caso 2.3.8.1. °A+ g Dem.: 1. g→ g [A1] 2. (g→ g)→ g [A11] 3. g [MP 1,2] Caso 2.3.8.2. A,B °A+ A ∧B Dem.: 1. A [Hip] 2. B [Hip] 3. g→ A [(up)em 1] 4. (g→ A)→ (B → A ∧B) [A2] 5. B → A ∧B [MP 3, 4] 6. A ∧B [MP 2, 5] Caso 2.3.8.3. A °A+ B → A Caso 2.3.8.4. °A+ A→ g Caso 2.3.8.5. A→ B,B → C °A+ A→ C Caso 2.3.8.6. C → A,C → B °A+ C → A ∧B Caso 2.3.8.7. A→ C,B → C °A+ A ∨B → C Como consequência destes fatos, obtemos o seguinte lema e o seguinte corolário Lema 2.3.9. Se 'A↔ B' abrevia a fórmula '(A→ B) ∧ (B → A)'. Então: A1 ↔ A2, B1 ↔ B2 °A+ A1 ⊕B1 ↔ A2 ⊕B2 para ⊕ ∈ {∧,∨,→} 13Na seção seguinte introduziremos as restrições para esta regra, desde que os sistemas de dedução natural permitem observar mais claramente suas dificuldades. 14Demonstramos somente dois, os outros provêm dos axiomas e de casos anteriores. 60 Corolário 2.3.10. Seja p qualquer letra proposicional de S. Então, A ↔ B °A+ [A/p]C → [B/p]C. Lema 2.3.11. A→ (B → C), C → D °A+ A→ (B → D) Dem.: 1. A→ (B → C) [Hip] 2. C → D [Hip] 3. g → (C → D) [(up) em 2] 4. g → (C → D) → [A→ (C → D)] [A9] 5. A→ (C → D) [(mp) 3, 4] 6. (A→ (B → C)) ∧ (A→ (C → D)) [Caso 2.3.8.2 1, 5] 7. (A→ (B → C)) ∧ (A→ (C → D)) → [A→ ((B → C) ∧ (C → D))] [A6] 8. A→ ((B → C) ∧ (C → D)) [(mp) 6, 7] 9. (B → C) ∧ (C → D) → (B → D) [A8] 10. A→ (B → D) [Caso 2.3.8.5 8, 9] Lema 2.3.12. A ∧B → C °A+ (g→ A)→ (B → C) Dem.: 1. A ∧B → C [Hip] 2. (g→ A)→ (B → A ∧B) [A2] 3. (g→ A)→ (B → C) [Lema 2.3.11 1, 2] Lema 2.3.13. A ∧B → B ∧A Dem.: 1. A ∧B → B [A3b] 2. A ∧B → A [A3a] 3. A ∧B → B ∧A [Caso 2.3.8.6 1, 2] Lema 2.3.14. A→ B °A+ (C → A)→ (C → B) Dem.: 1. A→ B [Hip] 2. g→ (A→ B) [(up) em 1] 3. (A→ B) ∧ (C → A)→ (C → A) ∧ (A→ B) [Lema2.3.13] 4. (C → A) ∧ (A→ B)→ (C → B) [A8] 5. (A→ B) ∧ (C → A)→ (C → B) [Caso 2.3.8.5 3, 4] 6. g→ (A→ B)→ [(C → A)→ (C → B)] [Lema 2.3.12 em 5] 7. (C → A)→ (C → B) [(mp) 2, 6] Lema 2.3.15. Se °A+ A→ B, então °A+ (A∧C)→ B e °A+ (C∧A)→ B Dem.: 61 1. A→ B [Hip] 2. A ∧ C → A [A3a] 3. C ∧A→ A [A3b] 4. A ∧ C → B [Caso 2.3.8.5 1, 2] 5. C ∧A→ B [Caso 2.3.8.5 1, 3] Lema 2.3.16. A→ (B → C), A→ (C → D) °A+ A→ (B → D) Dem.: 1. A→ (B → C) [Hip] 2. A→ (C → D) [Hip] 3. A→ (B → C) ∧A→ (C → D) [Caso 2.3.8.2 1, 2] 4. A→ ((B → C) ∧ (C → D)) [(mp) A6 e 3] 5. (B → C) ∧ (C → D)→ (B → D) [A8] 6. A→ (B → D) [Caso 2.3.8.5 4, 5] Lema 2.3.17. A→ B °A+ A ∧ C → B ∧ C Dem.: 1. A→ B [Hip] 2. A ∧ C → B [Lema 2.3.15 1] 3. A ∧ C → C [A3b] 4. A ∧ C → B ∧ C [Caso 2.3.8.6 2, 3] Lema 2.3.18. °A+ ((A→ A1) ∧ . . . ∧ (A→ An))→ (A→ (A1 ∧ . . . ∧An)) Dem.: Por indução sobre o número m de conjunções. Caso m = 1 : Pelo A6 temos °A+ ((A→ A1) ∧ (A→ A2))→ (A→ (A1 ∧A2)). Caso m 6= 1 : Por hipótese de indução temos °A+ ∧m+1 i=1 (A→ Ai)→ (A→ ∧m+1 i=1 (Ai)), e pelo Lema 2.3.17 temos °A+ ∧m+2 i=1 (A→ Ai)→ ((A→ ∧m+1 i=1 (Ai)) ∧ (A→ Am+2)), mas pelo A6 temos °A+ ((A→ ∧m+1 i=1 (Ai))∧ (A→ Am+2))→ (A→ ∧m+2 i=1 (Ai)) e pelo Caso 2.3.8.5 obtemos °A+ ∧m+2 i=1 (A→ Ai)→ (A→ ∧m+2 i=1 (Ai)). Lema 2.3.19. Se °A+ g iA1 ∧ . . . ∧ g iAm → A0, então °A+ g jA1 ∧ . . . ∧ gjAm → A0 para todo j ≥ i Dem.: Por hipótese temos °A+ g iA1 ∧ . . . ∧ g iAm → A0. Pela Definição 2.3.5 gj+1A1 ∧ . . . ∧ g j+1Am = (g → (g jA1)) ∧ . . . ∧ (g → (g jAm)) e pelo 62 Lema 2.3.18 temos °A+ ((g → (g jA1)) ∧ . . . ∧ (g → (g jAm))) → (g → (gjA1 ∧ . . . ∧ g jAm)), mas pelo A11 °A+ (g → (g jA1 ∧ . . . ∧ g jAm)) → (gjA1 ∧ . . . ∧ g jAm), e pelo Caso 2.3.8.5, temos °A+ ((g → (g jA1)) ∧ . . . ∧ (g → (gjAm))) → (g jA1 ∧ . . . ∧ g jAm), dáı pelo Caso 2.3.8.5 com a hipótese, obtemos °A+ ((g→ (g jA1)) ∧ . . . ∧ (g→ (g jAm)))→ A0. Teorema 2.3.20. Teorema da Dedução para A+ : se A1, . . . , Am °A+ A0, então existe um número i(efetivamente determinável) tal que °A+ g iA1 ∧ . . . ∧giAm → A0. Dem.: Seja15 B1, B2 . . . Bh uma prova de A0 a partir de A1, A2 . . . Am, onde A0 = Bh. Vamos provar, por indução sobre  ≤ j ≤ h que para cada j existe um i efetivamente construido tal que °A+ g iA→ Bj . Para h =  Ackermann distingue os seguintes subcasos: A0 é um axioma, ou A0 = Ak para algum  ≤ k ≤ m No primeiro subcaso temos °A+ A0 (por hip). Mas, por (up), temos °A+ g→ A0 e pelo A9, °A+ (g→ A0)→ ((A1 ∧ . . . ∧ Am)→ A0) e (mp), temos °A+ (A1 ∧ . . . ∧Am)→ A0 e, então, i = 0. No segundo subcaso pelo A1, °A+ (Ak → A0) e,pelo Lema 2.3.15 temos °A+ (A1 ∧ . . . ∧Am)→ A0 e, de novo, i = 0, o que esgota o caso m = . Para h 6= , supomos que a hipótese vale para k < j, ou seja para cada k existe um i efetivamente construtıvel tal que °A+ g iA1 ∧ . . . ∧ giAm → Bk, e vamos demonstrar para n = j. Então, ou Bj é um axioma ou Bj = Au para Au com  ≤ u ≤ m ou Bj é obtido por (mp) em Bk e Bl com k, l < j ou é obtida por (up) em Bl com l < j. Nos dois primeros casos, a prova é análoga à do caso m = . Se Al é obtida por (up), temos por hipótese de indução °A+ g sA1∧ . . . ∧ gsAm → Bl e pelo Lema 2.3.14 temos °A+ (g → (g sA1 ∧ . . . ∧ gsAm)) → (g → Bl). Mas, pela Definição 2.3.5, temos que gs+1A1∧. . .∧g s+1Am = (g→ (g sA1))∧. . .∧(g→ (g sAm)) e pelo Lema 2.3.18 e o Caso 2.3.8.5 temos °A+ g s+1A1 ∧ . . .∧g s+1Am → (g→ Bl). Se Bj é obtida por (mp) temos por hipótese de indução °A+ g sA1∧ . . . ∧ gsAm → Bk e °A+ g rA1 ∧ . . . ∧ g rAm → (Bk → Bj) com (Bk → Bj) = Bl. Mas podemos tomar t = max {s+ 1, r} e, Dáı,pela demonstração do caso anterior obtemos °A+ g tA1 ∧ 15Esta prova é adpatação direta da prova de Ackermann em [1], p 45. 63 . . . ∧ gtAm → (g → Bk) e pelo Lema 2.3.19 podemos concluir °A+ g tA1 ∧ . . . ∧ g tAm → (Bk → Bj). Pelo Lema 2.3.16, temos °A+ g tA1 ∧ . . . ∧ g tAm → (g → Bj), mas, pelo A11 °A+ (g → Bj)→ Bj e pelo Caso 2.3.8.5, temos °A+ g tA1∧ . . .∧g tAm → Bj , e isso conclui a demonstração ¥. 2.3.5 O Sistema Σ+ Introduzimos o sistema Σ+ de dedução natural por ser uma versão muito útil na construção da hierarquia das lógicas de Ackermann que nos ajudará a esclarecer o sentido do conceito de derivabilidade e, áında, o papel que ao considerar esse conceito cabe a um posśıvel Teorema da Dedução com restrições. Σ+ inclui as seguintes regras: g (gint) A B A ∧B (∧int) A ∧B A (∧elr) A ∧B B (∧ell) C → A C → B C → A ∧B (→ ∧int) A A ∨B (∨intr) A B ∨A (∨intl) A ∨B A(i) B(i) ... ... C C C ((i) ∨ el) A→ B A→ C A ∨B → C (∨ → int) 64 A(i) ... B A→ B ((i)→ int) A g→ A (up) g→ A A (down) A→ B B → C A→ C (trans) g→ A ∨B (g→ A) ∨ (g→ B) (→ ∨dist) Temos as seguintes restrições: (a) (∨el) e (→int) somente podem ser usadas se todas as hipóteses livres nas demonstrações das premissas (B e C, respectivamente) são exatamente ocorrências das fórmulas indicadas (A e B no primeiro caso; A no segundo) e não há aplicações de (up) nas demonstrações que dependem das hipóteses. (b) A regra (→int) não admite que B provenha de uma uma hipótese diferente de A (para evitar a validade de (vq)). Agora podemos colocar nosso problema entre ńıveis de implicação pontualmente. Às voltas com o paradoxo de Curry, excluimos o Teorema da Dedução de nosso sistema de dedução natural Σ+ e, desde que (MP) é a regra que envolve a implicação, a proposta de Ackermann deve atingi-la. De fato, (MP) não é regra primitiva em Σ+, o que quer dizer que podemos usála depois de ter aplicado as outras regras ou, equivalentemente, restringimos a aplicação de (MP) a teoremas: se já temos mostrado que ` A e ` A→ B, então podemos concluir ` B. Logo, precisamos de uma derivação de A e A → B para provar B a partir delas. Nossa regra de (MP) para A+, pelo contrário, deriva B de A e A → B sem restrições, o que quer dizer que a implicação de A+ é mais abrangente. Esse fato se reflete em Σ+ da seguinte maneira: podemos detectar duas relações de derivabilidade neste sistema, °Σ+ e `Σ+ , denotando com a primeira a derivação sem restrições e com a segunda a derivação estrita. Pode-se demonstrar (usando um argumento 65 indutivo16) que, de fato, °A+ e °Σ+ coincidem (podemos derivar em Σ + todos os axiomas de A+ e, com base neles, todos os teoremas posśıveis para °A+) e, portanto, que (MP) pode ser introduzida como regra adicional ou derivada em Σ+, desde que a relação irrestrita de consequência de Σ+ coincide com a de A+ e (MP) é regra em A+. Por outro lado, `Σ+ é um caso especial de °Σ+ , onde todas as hipóteses são produto de uma sequência de prova finita (no caso, de uma árvore finita) e onde (MP) pode ser usada unicamente quando tivermos mostrado tal sequência. Como °A+ e °Σ+ coincidem e °A+ determina uma relação de equivalência ↔ que abrange os outros conectivos, podemos estabelecer o seguinte resultado a respeito de `Σ+ . Definição 2.3.21. A ≡ B sse A `Σ+ B e B `Σ+ A. Lema 2.3.22. 1. ≡ é uma relação de equivalência em FormL+ 2. Se A1 ≡ A2 e B1 ≡ B2 então A1 ⊕B1 ≡ A2 ⊕B2 para ⊕ ∈ {∧,∨,→} 2.3.6 Uma hierarquia de sistemas dedutivos O sistema Σ+, com duas relações de derivabilidade °Σ+ e `Σ+ , consegue representar com exatidão a intuição de uma hierarquia de sistemas dedutivos: suponhamos que temos um cálculo onde não ocorre śımbolo de implicação algum, isto é, o cálculo k0, contendo (gint), (∧int), (∧elr), (∧ell), (∨intr), (∨intl), mais a seguinte regra de conclusão múltipla: A ∨B A B (∨mel) Doravante a idéia é a seguinte, todos os teoremas que conseguirmos demonstrar a respeito de k0 podem ser traduzidos em termos de → no cálculo k1. Por exemplo, se C `k0 B e B`k0 A∨B, então C `k0 A∨B. Mas B`k0 A∨B por (∨intr) e `k0 é transitiva (pois é um operador de consequência). Dáı, obtemos C `k0 B C `k0 A ∨B e podemos traduzir este fato a respeito de teoremas de k0. Usando nossa convenção escrevemos `k1 C → B `k1 C → A ∨B , 16Vide [39],pp 11-12 . 66 uma dedução de ńıvel superior. Explorando este método de tradução17, construimos o sistema k1, com as seguintes regras: A→ B (mdt0) Se A `k0 B C → A C → B C → A ∧B (→ ∧int) C → A ∧B C → A (→ ∧elr) C → A ∧B C → B (→ ∧ell) C → A C → A ∨B (→ ∨intr) C → B C → A ∨B (→ ∨intl) g→ A ∨B g→ A g→ B (→ ∨el) g→ A A (down) A→ C B → C A ∨B → C (∨ → int) A→ B B → C A→ C (trans) Como consequência destas regras, obtemos o seguinte conjunto de teoremas18 Teorema 2.3.23. Caso 2.3.23.1. `k1 A→ A Caso 2.3.23.2. g→ A `k1 B → A ∧B 17Esta "tradução" simplesmente transforma os fatos relativos ao operador de conseqüência em um ńıvel em fatos relativos à implicação no seguinte ńıvel. 18Demonstramos 2.3.23.2; a prova dos outros casos é semelhante. 67 Caso 2.3.23.3. (A→ B) ∧ (A→ C) `k1 (A→ B ∧ C) Caso 2.3.23.4. (A→ C) ∧ (B → C) `k1 (A ∨B → C) Caso 2.3.23.5. g→ A `k1 B → A Caso 2.3.23.6. g→ A ∨B `k1 (g→ A) ∨ (g→ B) Caso 2.3.23.7. g→ A `k1 A Para 2.3.23.2, precisamos de 2.3.23.5, que demonstramos a seguir Dem.: 1. g→ A [Hip] 2. B `k0 g [gint] 3. `k1 B → g [(mtd0)em 1] 4. B → A [(trans) 1 e 3] Demonstramos agora 2.3.23.2 Dem.: 1. g→ A [Hip] 2. B → B [2.3.23.1] 3. B → A [2.3.23.5 em 1] 4. B → A ∧B [(→ ∧int) 2 e 3] Observamos que k2 consegue demonstrar as traduções implicativas de todos os itens do teorema anterior e que são equivalentes a A1, A2, A6, A7, A9 e A10. Dáı, com a nossa idéia de ńıveis implicativos conseguimos nos aproximar do sistema A+, usando uma relação de consequência mais fraca que °A+ (que faz uso de derivações a partir de teoremas, denotada por `Σ+) e podemos introduzir o seguinte Teorema da Dedução. Se A ` kmB ` km+1A→ B(mtdm). Usando esta idéia para uma sequência arbitrária de fragmentos dedutivos, obtemos o sistema k∞ 19 caracterizado pelas seguintes propriedades: 1. Todas as instâncias dos esquemas axiomáticos de A+ são teoremas de k∞ 2. Se ` k∞A e ` k∞A→ B então ` k∞B 3. Se ` k∞A então ` k∞g→ A 19Uma dedução em k∞ é uma derivação em algum ńıvel kn para algum n. 68 Estamos agora em condições de responder ao paradoxo de Curry: não podemos, no caso das lógicas de Ackermann, aplicar o teorema da dedução, a menos de termos uma derivação de um ńıvel inferior, mas esta derivação controla alguns tipos de argumentos, em particular os argumentos que não usam teoremas como hipóteses. Como no caso do paradoxo de Curry, temos uma hipótese que não conseguimos demonstrar como teorema (c ∈ c → f na versão de Ackermann), não podemos derivar o que resta a partir dela. Esta restrição ao Teorema da Dedução garante que, se nossas regras são aceitáveis, nossas conclusões obtidas delas também o são. Outro ponto central na resposta de Ackermann é que não podemos obter auto-referência implicativa no interior da hierarquia, um sistema é incompleto dedutivamente (a menos de k∞) e o poder da derivabilidade nele é exprimıvel somente no sistema imediatamente superior. Argumentos que se referem à implicação (no paradoxo de Curry o conjunto c) não podem ser aceitos como demonstrando alguma coisa nesse ńıvel implicativo. Observamos, ainda, que o sistema limite k∞ possui um Teorema da Dedução com infinitas instâncias e que, portanto, esclarece um ponto central deste caṕıtulo, no que diz respeito à ausência da negação e ao infinito, ou seja os sistemas de Ackermann envolvem efetivamente um Teorema da Dedução infinito. A negação parece introduzir um limite, uma cota para sistemas fortemente vinculados com a noção de infinito. Uma questão relevante que surge das considerações anteriores é a relação entre o Teorema da Dedução de Ackermann (com infinitas instâncias) e a regra ω20. 2.3.7 O conceito de necessidade No decorrer das seções anteriores não examinamos o conceito de necessidade (denotado pelo operador g). A rigor, Ackermann não trata detalhadamente das modalidades até [3], mas esse artigo contém o sistema axiomático Π, diferente e essencialmente mais forte do que A+21. De fato, Anderson e Belnap[4] conseguiram demonstrar que o conceito de necessidade de Π' (o sistema Π mais os axiomas e regras moDáıs) coincide com o do sistema S4 de Lewis, desde que em Π' conseguimos derivar o axioma caracteŕıstico de S4, isto é `Π′ NA→ NNA, onde NA (por notwending, necessário em alemão) denota 'necessariamente A'. Além do mais, introduzem uma definição implicativa da necessidade da seguinte maneira: NA = (A → A)→ A, o que, de fato, resulta interessante pois não faz uso da negação, diferentemente da 20Para uma explicação mais completa deste tópico, vide [21] 21Por exemplo, em A+ não vale a contraposição (vide [1],p 44) que é um axioma em Π. 69 proposta original de Ackermann em [3]22. Contudo, nós não temos todas essas ferramentas para esclarecer o conceito de necessidade para A+. Em [1] Ackermann só diz que o operador Γ (que temos denotado por g) é 'uma fórmula derivável sem variáveis livres23' mas, mesmo assim, podemos argumentar no seguinte sentido: se g é derivável, então ao afirmarmos que g→ A, estamos afirmando que A não pode deixar de ser derivável; caso contrário, para o condicional ser válido, teŕıamos uma fórmula não derivável (a negação de g) implicando uma fórmula falsa, mas uma fórmula não derivável seria absurda e derivaria qualquer coisa, tornando o sistema trivial. Desse ponto de vista, se g → A, então A é necessário. A nossa proposta consiste em ler esta derivabilidade como necessidade, assumindo que uma fórmula que sempre pode consistentemente ser derivada tem de ser verdadeira. Logo, é posśıvel pensar uma semântica para os axiomas modais de A+ construida usando um conceito padrão de necessidade (ou seja, é necessário aquilo que é válido em todos os mundos posśıveis) e propondo um tipo espećıfico de relação de visibilidade entre esses mundos. 2.4 O Problema da Completude para A+ Até este ponto não temos aprofundado na questão de uma semântica adequada para A+, aspecto central ao tentarmos estabelecer o Teorema de Completude para tal sistema. Em [39] existem alguns traços de uma semântica algébrica para A+, mas o autor reconhece que não está tentando demonstrar a completude de A+ com relação a essa semântica (vide [39], p 20 nota 9), mas obter alguns resultados prévios que possam ser úteis em uma futura prova de completude. Em [25] encontramos uma abordagem muito diferente ao mesmo problema, que envolve dados significativos para tal prova. Nesse artigo Harrop concentrase no sistema A (cujo fragmento positivo é A+) e mostra que esse sistema não possui um Teorema de Equivalência irrestrito, a menos da introdução de algumas regras derivadas e de um axioma auxiliar. O sistema resultante, denotado por A", é uma extensão própria do sistema A', considerado por Ackermann em [2], possui um Teorema da Equivalência irrestrito e, além do mais, um Teorema da Dedução com a mesma estrutura do Teorema 2.3.20. Outro resultado relevante é que ¬, ∨, ∧ e → são independentes em A e, 22Onde tınhamos, na página 126, as seguintes definições: a impossibilidade UA = A→ f (por unmöglich), a necessidade NA = ¬A → f e a possibilidade MA = ¬(A → f), (por möglich). 23Detalhe importante, pois ele também introduz um cáculo de predicados nesse artigo. 70 consequentemente, uma prova de completude de A+ não pode explorar nenhum tipo de equivalência clássica entre ¬, ∨ e → (diferentemente de L+), mas pode usar somente das propriedades 'positivas' de ∨, ∧ e →. Por último, Harrop mostra que, por causa das caracteŕısticas da disjunção em A, esse sistema não pode ser interpretado através de um modelo com um número finito de valores de verdade, ou seja, qualquer modelo de A é infinito-valente. A prova dessa asserção, segundo Harrop, decorre de uma adaptação da prova de Gödel para o cálculo proposicional intuicionista (proposta em [24]) e faz parte de outro trabalho do primeiro autor. Diante de tais argumentos, vamos fixar três elementos que consideramos fundamentais para uma futura prova de completude de A+. (i) Desde que ¬ e ∨ são independentes em A, qualquer resultado que envolva unicamente a disjunção pode ser aplicado a A+. Dáı, um modelo completo de A+ deve ter um número infinito de valores de verdade. (ii) Seguindo nossas considerações da seção anterior, pode-se pensar em uma intepretação modal de A+, lendo g → A como ¤A e construindo modelos de Kripke que, segundo todas todas as evidências apontadas em seções anteriores, devem ser intuicionistas. (iii) Tais modelos existem desde que o próprio Ackermann demonstrou que A (e portanto A+) não é uma teoria contraditória. A dificuldade principal é determinar o tipo de relação de acesibilidade ou visibilidade entre esses modelos. Por enquanto, podemos afirmar que essa relação é reflexiva desde que em A+ temos A11 (equivalente na nossa leitura ao axioma ¤A → A que determina uma acessibilidade com tais caracteŕısticas) e não é transitiva pois em A+ não conseguimos derivar (g→ A)→ (g→ (g→ A)) como teorema (vide seção anterior). Contudo, reconhecemos que tal descrição é ainda insuficiente e vaga, mas constitui a base de uma proposta de pesquisa que o presente trabalho não pretende desenvolver por causa de restrições de tempo e espaço. Entretanto, mesmo sem dar resposta definitiva a tais problemas, podemos atender a duas questões que estão no centro de nossa abordagem à lógica positiva: o infinito e o critério de construtividade. (a) A+, segundo todas as evidências, é uma lógica infinito-valente, provavelmente modal e esse fato esclarece uma questão que abre este caṕıtulo: existe uma estrita relação entre a ausência de negação e o infinito, quer seja do ponto de vista de k∞ com um Teorema da Dedução infinito, quer seja do ponto de vista de A+ com um modelo de infinitos valores de verdade.24. 24Outro tipo de infinito seria a equivalência ¬α ⇔ para todo β, α → β, usada amplamente na demonstração de completude para L+. 71 (b) A+ é uma lógica positiva intuicionista, entretanto, não é construtiva no mesmo sentido de L+, já que o método construtivo de completude de Henkin usado no caso de L+ é recursivamente decidıvel e por essa razão denominado construtivo. A+ é construtiva no sentido rigoroso do termo, ou seja, no sentido atribuido à lógica intuicionista de Heyting25, pois o prinćıpio do terceiro excluido não vale e existe um compromisso com a construtividade dos condicionais (como já foi discutido anteriormente). 2.5 Considerações Procurando uma extensão para o método construtivo de Henkin, por um lado, e uma resposta ao paradoxo de Curry, por outro, examinamos alguns sistemas positivos não-clássicos, em particular finito-valentes e intuicionistas. No que diz respeito ao primeiro problema, obtivemos evidências para uma resposta negativa, quer nas lógicas finito-valentes de ÃLukasiewicz, quer nas lógicas paraconsistentes. Mesmo assim, isto não exclui outras abordagens às lógicas finito-valentes (por exemplo a algébrica26), mas esse ponto foge do escopo da nossa perspectiva neste trabalho. A prova construtiva de completude depende, no caso da lógica paraconsistente, da introdução de um novo conectivo (que na literatura especializada está vinculado em geral com a negação ou com a noção de consistência, em estreita relação com a negação). No que diz respeito ao segundo problema, acreditamos ter mostrado (com a ajuda do trabalho de Ackermann) estarmos frente a uma escolha muito radical: o abandono do Teorema da Dedução e, portanto, do método de completude construtiva de Henkin, que daquele depende. O argumento de Curry coloca uma espécie de nó górdio para sistemas com uma implicação que incorpore certos aspectos do comportamento clássico; a melhor sáıda parece ser o enfraquecimento do conceito de derivabilidade e, portanto, controlar Modus Ponens como regra de inferência (é a sáıda que, usando dedução natural, examinamos com atenção em 2.3). Outra posibilidade é controlar a regra de substituição no interior de nosso sistema, ou seja, oferecer uma alternativa na direção da teoria dos tipos que não admita certas relações entre termos (por exemplo, x ∈ x), mas isto nos levaria a 25Onde, por exemplo, não valem nem a Lei de Peirce nem H3, vide [6]. 26Vide [27], onde são estudados os fragmentos positivos-conjuntivos das lógicas finitovalentes de ÃLukasiewicz complementados com alguns esquemas axiomáticos adicionais. A existência de uma contraparte algébrica desses cálculos, conhecida como a classe de BCK-álgebras com ınfimo, mostra que tais fragmentos são completos, no sentido em que uma fórmula é teorema semântico se somente se recebe o valor designado em qualquer atribuição posśıvel. Vide [14] para uma introdução detalhada ao tema das BCK-álgebras. 72 compromissos conceituais com a matemática e com a teoria de conjuntos clássicas. Parece, portanto, frente à questão da adoção da lógica positiva mais adequada concluir o seguinte: Primeiro, o que se entende por "lógica positiva" não é unicamente determinado e há diversas gradações e nuences nas posições que se pode tomar a respeito (clássica, intuicionista, multivalente, relevante, etc.). Segundo, tais escolhas não podem ser feitas de forma inocente sem refletir na estrutura de boa parte do construto matemático, através da noção de conjunto. 73 Caṕıtulo 3 Tablôs puramente positivos e a questão da paratrivialidade Neste caṕıtulo apresentamos uma proposta para um sistema de tablôs que funciona usando a idéia de trivialidade implicativa e que resulta particularmente apto para se obter um processo de decidibilidade e dedutibilidade alternativo para L+. Ao inves de usar o conceito de contradição inerente à noção de "ramo fechado" e "tablô fechado" (vide [10]), os (chamados por nós) tablôs puramente positivos, utilizam o conceito de ramo trivial e tablô trivial : o critério de parada não é agora uma contradição, mas diretamente a obtenção de uma trivialidade potencial. Dessa forma, os tablôs puramente positivos se contentam com uma meta-linguagem muito mais frugal (sem negação), com interessantes consequências para os fundamentos da teoria da prova. A idéia geral de mostrar como a negação pode ser um caso particular da implicação e, dai, como a implicação consegue se aproximar mais precisamente ao conceito de trivialidade tem sido amplamente explorado do ponto de vista da Teoria da Prova em [42]. Este caṕıtulo apresenta, contudo, uma abordagem completamente diferente a uma "teoria da prova positiva", que leva ainda mais a novas propostas quanto às possibilidades de se escapar à objeção de Curry. Introduzimos as regras e o critério de fecho, salientando de novo que neste sistema não temos negação na linguagem, e, o que é mais interessante, não temos sinais na metalinguagem, isto é, não se trata de tablôs assinalados. Obtemos, portanto, um sistema estritamente positivo implicativo completo segundo as condições gerais estabelecidas por Walter Carnielli, Marcelo Coniglio e João Marcos em [10]. 74 3.1 Trivialidade: o conceito fundamental O conceito central da proposta é explorar a idéia de trivialidade, no sentido de obter, a partir de uma fórmula, uma nova fórmula qualquer, esboçando uma situação semelhante à descrita por Curry, onde a trivialidade não depende de um śımbolo diferente da implicação, mas de uma situação puramente implicativa. A seguir, apresentamos a linguagem e as regras desse sistema. 3.1.1 Linguagem, Definições Iniciamos esta seção considerando algumas questões preliminares referentes à aplicabilidade ou adequação dos métodos de [10] para se demonstrar completude no caso de L+. Para tanto, é preciso esclarecer um ponto fundamental: qualquer proposta de tablôs que pretenda ser completa segundo os referidos critérios deve possuir uma semântica diádica. Em [11] encontramos a definição de tais semânticas, no contexto da semânticas de Gentzen. Para tanto, reproduzimos e comentamos ambas as Definições 3.1 e 3.2 do artigo referido. Definição 3.1.1. Uma semântica de Gentzen para uma lógica L é um conjunto adequado (ou seja, correto e completo) de valorações bi-valentes b : N −→ {V, F} dado por cláusulas condicionais (Φ→ Ψ) onde Φ e Ψ são (meta)fórmulas da forma > e ⊥ ou b(φ11) = w 1 1, . . . , b(φ n1 1 ) = w n1 1 | . . . | b(φ 1 m) = w 1 m, . . . , b(φ nm m ) = w nm m (G) onde wji ∈ {V, F} , cada φ j i é uma fórmula de L, as vırgulas "," representam conjunções e os traços verticais "|" representam disjunções. Por melhor legibilidade em relação aos textos citados usamos aqui V e F como valores de verdade ao invés de 0 e 1. Definição 3.1.2. Dizemos que uma semântica de Gentzen B para uma lógica L constitui uma semântica diádica para L se a relação de conseqüência 2B (dada pelas valorações em B) é recursiva. Observamos que uma semântica diádica deve incluir > e ⊥ como constantes lógicas (representando, respectivamente, a verdade e a falsidade). Contudo, na semântica de L+ como introduzida no Caṕıtulo 1 não temos nenhum desses śımbolos definidos, então nossas valorações (denotadas por ν) não contêm esses śımbolos, logo >, ⊥ /∈ V AL(L+). Por outro lado, uma 75 semântica é diádica se a operação de consequência que ela define é recursiva (o que acontece, de fato, com L+, pois a definição de f é recursiva). Então, vamos tentar uma demonstração de completude para um fragmento de uma semântica diádica que é expressivo o suficiente para se obter o resultado desejado. Introduzimos as definições necessárias para construir o sistema de tablôs puramente positivos F+. Definição 3.1.3. Seja P={pn | n ∈ ω} um conjunto infinito enumerável de variáveis proposicionais, Σ uma assinatura e Ξ = {Cn | n ∈ ω} um conjunto enumerável de comjuntos de śımbolos1 disjuntos de Σn para todo n ∈ ω, e disjuntos de P. O conjunto de esquema de fórmulas é a álgebra livremente gerada por Ξ sobre Σn. Definição 3.1.4. Dados Σ, Ξ como acima, uma substituição por esquemas é uma função ρ : Ξ −→ For. Como usual, a substituição por esquemas ρ pode ser estendida a um Σ-morfismo % : For(Σ, Ξ) −→ For, doravante escrevemos φρ ao invés de %(φ). Se Φ ⊆ For(Σ, Ξ), então Φρ denotará {φρ | φ ∈ Φ}. Definição 3.1.5. Seja B um ramo de uma árvore F de fórmulas. Dizemos que B é um ramo fechado se existir uma fórmula α tal que (α → c) → c, α → c ∈ B onde c é uma letra proposicional que não ocorre em B. Caso contrário, dizemos que B é um ramo aberto. Definição 3.1.6. Uma regra de tablô é um par R = 〈Prem(R),Con(R)〉 tal que Prem(R) é um conjunto finito de For(Σ, Ξ) e Con(R) é um subconjunto finito não vaźıo de subconjuntos finitos não vaźıos de For(Σ, Ξ). Um sistema de tablôs é um conjunto finito não vaźıo T de regras de tablô. Definição 3.1.7. Seja F uma árvore de fórmulas. Dizemos que F é fechado se todo ramo B de F é fechado. Caso contrário, dizemos que F é aberto. Definição 3.1.8. Seja T um sistema de tablôs, e F e F ′ árvores de fórmulas. Dizemos que F ′ é uma T-extensão de F se F ′ é obtida de F por uma extensão de um ramo aberto B de F pela aplicação de uma regra de tablô de T usando alguma substituição ρ. Isto é, F é obtido substituindo um ramo aberto B de T pelo ramo B; (φ1ρ); . . . ; (φrρ) por alguma substituição ρ e alguma regra 〈Υ, {Υ1, . . . ,Υk}〉 de T tal que Υρ ⊆ B e Υi = {φ1, ; . . . , ;φr} para algum i com 1 ≤ i ≤ k. 1Que, intuitivamente, denotam conectivos n-ários. 76 Definição 3.1.9. Seja T um sistema de tablôs. Um T-tablô é uma sequência F = {Fn}n∈ω de árvores cujos nós são fórmulas, tal que: 1. F0 tem só um ramo (ou seja, é uma sequência não vazia de fórmulas); 2. Fn+1 é uma T-extensão de Fn, para cada n ≥ 0 Se Υ é o conjunto de fórmulas de F0, então dizemos que F é um T-tablô para Υ Definição 3.1.10. Seja F = {Fn}n∈ω um T-tablô. Dizemos que F está concluido em um dos seguintes casos: 1. F é uma sequência finita tal que cada ramo da última árvore de F fechou; ou 2. para cada n ≥ 0, para cada ramo aberto B de Fn, para cada regra 〈Υ, {Υ1, . . . ,Υk}〉 de T e cada substituição por esquemas ρ : Υρ ⊆ B, então existe um ramo B′ em Fm (para algum m > n) que contém B e Υiρ para algum i com 1 ≤ i ≤ k. 3.1.2 Regras Com as definições de seção anterior e levando em conta que L+ possui uma valoração diádica, podemos definir um sistema de tablôs para L+ através das seguintes regras: (β → δ)→ c (β → c)→ c, (δ → c) (r1) ((β → δ)→ c)→ c β → c | (δ → c)→ c (r2) (β → c)→ c | β → c (bi) β, β → δ δ (mp) 3.1.3 Exemplos A seguir demonstramos o Ax3 e três fórmulas de L+ através do método dos Tablôs acima definidos 77 Ax3 ((β → δ) → β) → β [((β → δ) → β) → β] → c (r1) (((β → δ) → β) → c) → c, β → c (r2) gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg (r2) VV VV VV VV VV VV VV VV VV (β → δ) → c, β → c (r1) (β → c) → c, β → c (mp) (β → c) → c, δ → c, β → c (mp) c * c * Verificamos que Ax3 é uma fórmula válida (i) Lema1.1.8 β → β (β → β)→ c (r1) (β → c)→ c, β → c (mp) c * Então, β → β é uma fórmula válida 78 (ii)(β → ((β → δ)) → (β → δ) Lema 1.2.1 [(β → (β → δ)) → (β → δ)] → c (r1) ((β → (β → δ)) → c) → c , (β → δ) → c (r1) (β → (β → δ)) → c) → c , (β → c) → c , δ → c (r2) kk kk kk kk kk kk kk kk k (r2) (β → c) → c, β → c, δ → c (mp) ((β → δ) → c) → c, (β → c) → c, δ → c (r2) (r2) QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ c * (β → c) → c, β → c, δ → c (mp) (δ → c) → c, δ → c, (β → c) → c (mp) c * c * Conseqüentemente, (β → ((β → δ))→ (β → δ) é uma fórmula válida. 3.2 Completude do sistema de Tablôs positivos Nesta seção demonstramos que nosso sistema de Tablôs é correto e completo. Apoiamos nossa idéia no fato de termos (bi) como regra, o que segundo [10], é uma 'condição cŕıtica' para se obter completude. Este fato pode ser expresso através da seguinte proposição, necessária para se demonstrar o Teorema de Completude para qualquer sistema de Tablôs construido a partir de uma semântica diádica. Proposição 3.2.1. Seja Γ um conjunto não vazio de fórmulas e T um sistema de Tablôs. Então existe um tablô concluido aberto para Γ, ou existe um T-tablô fechado para Γ. 79 Dem.: Adaptação direta da proposição 181, p 94 de [10]¥. Uma vez verificada a proposição, continuamos com as demostrações e definições necessárias para obtermos o Teorema referido. Com efeito: Definição 3.2.2. Seja {p1 . . . pn} o conjunto das variáveis proposicionais de α e c uma variável proposicional tal que c /∈ {p1 . . . pn} . Definimos SFor da seguinte maneira: SFor(p1 . . . pn) = { α→ c | α ∈ ForL+ e V AR(α) ⊆ {p1 . . . pn} } ∪ { (α→ c)→ c | α ∈ ForL+ e V AR(α) ⊆ {p1 . . . pn} } . Definição 3.2.3. Seja v ∈ V al, Γ = {p1 . . . pn} om conjunto das variáveis proposicionais de α e c uma variável proposicional tal que c /∈ V AR(α), definimos v(pi) tal que v(pi) = { v(pi) se pi 6= c 0 se pi = c Logo: se pi ∈ V AR(α), então v(pi) = v(pi). Definição 3.2.4. Seja v ∈ V AL(L+) e c uma variável proposicional tal que c /∈ V AR(α). A extensão de v a SFor é a função v : SFor −→ 2 definida da seguinte maneira para cada α ∈ ForL+: v((α→ c)→ c) = { 1 se v(α) = 1 v(c) se v(α) = 0 v(α→ c) = { 1 se v(α) = 0 v(c) se v(α) = 1 Então v(α) = v(α). Definimos, ainda, Γ = {(α→ c)→ c | α ∈ Γ} A seguir, verificamos que (r1), (r2), (bi) e (mp) estão bem definidas com relação às valorações (ou seja, que o valor atribuido a uma fórmula ou conjunto de fórmulas depende somente das variáveis examinadas ao aplicar tais regras). Em outras palavras, vamos verificar a seguinte asserção: 80 Seja Γ = {p1 . . . pn} um conjunto de variáveis proposicionais. Seja v uma valoração dessas variáveis. Então, o valor de Γ segundo v depende de v(pi), 1 ≤ i ≤ n. Para começar, tomemos (r1): Suponhamos v((p → q) → c) = 1, isto é verdade se v(p → q) = 0 ou v(c) = 1 (o que não pode acontecer, por construção) mas isto é verdade se v(p) = 1, v(q) = 0. Tomemos agora (r2): Suponhamos v(((p → q) → c) → c) = 1, mas isto é verdade se v(c) = 1 (de novo excluido por construção) ou se v(c) = 0 e v(p→ q) = 1, e, dai, ou v(p) = 0 e v(p → c) = 1 ou v(q) = 1 e v((q → c) → c) = 1. Portanto, ou v(p→ c) = 1 ou v((q → c)→ c) = 1. Para (bi), basta observar a restrição: esta regra pode ser utilizada com variáveis que estão no ramo (e c não está nesse ramo, por construção). Para (mp), basta levar em conta o Teorema 1.2.8: o valor de uma aplicação de (mp) depende do valor das variáveis ou fórmulas envolvidas. Lema 3.2.5. Seja Γ um conjunto finito de variáveis proposicionais tal que c /∈ V ar(Γ). Então v(α) = v((α → c) → c) para toda α ∈ Γ (sendo v a extensão de v tal que v(c) = 0). Dem.: Suponha v(α) = 1; logo v(α → c) = 0, portanto v((α → c) → c) = 1 = v(α). Se v(α) = 0, então v(α→ c) = 1, portanto v((α→ c)→ c) = 0 = v(α) ¥. Proposição 3.2.6. Dada uma regra R com R = α1 . . . αn β11 . . . β n 1n ... . . . ... β1k1 . . . β n kn Se v(α1) = . . . = v(αn) = 1, então existe j com 1 ≤ j ≤ n tal que v(β1 j) = . . . = v(βjk j) = 1. Dem.: Suponha, por absurdo, que existe uma regra R e v ∈ V al(L+) tal que v(α1) = . . . = v(αn) = 1, mas para todo j como definido acima temos v(β1 j) = . . . = v(βkj j) = 0. 81 Caso 3.2.6.1. n = 0. Então, a única regra à considerar é (bi). Por hipótese v(α → c) = 0 e v((α→ c)→ c) = 0. Dai, v(α) = 1 e v(c) = 0 e, portanto v((α→ c)→ c) = 1, absurdo. Caso 3.2.6.2. n 6= 0. Devemos considerar (r1), (r2) e (mp) e demonstrar a Proposição por indução na complexidade de α. Se R=(r1), então temos por hipótese v((β → δ) → c) = 1 e v((β → c) → c) = 0 ou v(δ → c) = 0. (i) Se v((β → c) → c) = 0, desde que, pela Definição 3.2.3 v(c) = 0, temos v(β) = 0. Mas, dáı v((β → δ)→ c) = 0, absurdo. (ii) Se v(δ → c) = 0, por um racioćınio análogo ao de (i), obtemos v(δ) = 1. Dáı, v((β → δ)→ c) = 0, absurdo. Se R=(r2), então temos por hipótese v(((β → δ) → c) → c) = 1, mas v(β → c) = 0 e v((δ → c) → c) = 0. Então, pela Definição 3.2.3 temos v(c) = 0, e, consequentemente, v(β) = 1 e v(δ) = 0, mas, dáı, v(((β → δ)→ c)→ c) = 0, absurdo. Se R=(mp) então temos por hipótese v(β) = 1, v(β → δ) = 1,mas v(δ) = 0. Mas, se v(β) = 1 e v(β → δ) = 1, então v(δ) = 1, absurdo, e com este caso conclui a demonstração da Proposição ¥. Definição 3.2.7. Seja v uma valoração e F uma árvore de fórmulas dizemos que v satisfaz F , denotado por v |= F se existe uma ramo B de F tal que v |= B. Corolário 3.2.8. Dada uma árvore F e uma valoração v, se F ′ estende F pela aplicação de uma regra e v |= F, então v |= F ′. Dem.: Suponha, por absurdo, que existe uma árvore F e uma valoração v tal que F ′ estende F pela aplicação de uma regra e v |= F, mas v 2 F ′. Então, existe uma regra R tal que v[Prem(R)ρ] ⊆ {1} , mas v[Υρ] = {0} , para Υ ∈ Con(R), absurdo, pela Proposição 3.2.6¥. Teorema 3.2.9. Teorema de correção para Tablôs: Seja Γ um conjunto de fórmulas. Se existir um tablô fechado F para Γ, então Γ é insatisfatıvel. Dem.: Seja Γ como definido acima com c uma variável proposicional tal que c /∈ V ar(Γ). Suponha que existe um tablô fechado F para Γ e uma valoração v tal que v(Γ) = {1}. Então, pelo Lema 3.2.5 temos v(Γ) = {1} . 82 Mas F = {Fn}n∈ω é uma sequência de árvores começando por F0 = Γ e v é uma valoração tal que v(Γ) = {1} , isto é, v |= F0. Pelo corólário 3.2.8 e, por indução sobre n, v |= Fn para todo n, em particular v |= F , mas F é fechado (por hipótese), então (p→ c)→ c, p→ c ocorrem em cada ramo e, dáı (por (mp)) c ocorre em cada ramo, absurdo, pois v(c) = 0 ¥. Definição 3.2.10. Seja T um sistema de Tablôs, e seja Γ ⊆ SFor(p1 . . . pn). Dizemos que Γ é um conjunto saturado se: Sat1 é aberto, ou seja: para cada fórmula α ∈ For(p1 . . . pn), {(α→ c)→ c, α→ c} * Γ. Sat2 para toda regra R de T e para cada substituição por esquemas ρ: Prem(R)ρ ⊆ Γ implica Υρ ⊆ Γ, para alguma Υ ∈ Con(R). Proposição 3.2.11. Seja Γ um conjunto de SFor de um ramo aberto de um tablô concluido. Então Γ é saturado. Dem.: Direta, usando 3.2.10 ¥. Proposição 3.2.12. Se Γ ⊆ SFor(p1 . . . pn), então todo tablô construido a partir de Γ consiste em fórmulas de SFor(p1 . . . pn). Dem.: Direta, aplicando as definições de (mp), (bi), (r1) e (r2)¥. Teorema 3.2.13. Teorema de Existência de Modelos para Tablôs: Se ∆ ⊆ SFor(p1 . . . pn) é saturado, então existe uma valoração v tal que: v(α) = { 1 se (α→ c)→ c ∈ ∆ 0 se α→ c ∈ ∆ Dem.: Definimos v(pi) = { 1 se (pi → c)→ c ∈ ∆ 0 se pi → c ∈ ∆ Observe que o Item 1 da Definição 3.2.10 garante que v atribui um valor de verdade determinado a cada fórmula atômica de ∆ e o Item 2 da mesma definição e a regra (bi) garantem que v atribui um valor de verdade determinado a cada fórmula de ∆ de complexidade maior. Verificamos, então que v está bem definida. Estendemos v a uma valoração v : For(p1 . . . pn) −→ 2 (ou seja v(β → δ) = 1 sse v(β) = 0 ou v(δ) = 1.) Por indução na complexidade de α, demonstraremos v(α) = { 1 se (α→ c)→ c ∈ ∆ 0 se α→ c ∈ ∆ 83 Caso 3.2.13.1. α é atômica, então vale pela Definição de v. Caso 3.2.13.2. Se α = β → δ vamos demonstrar v(α) = v(β)→ v(δ). Caso 3.2.13.3. v(α) = 1 Subcaso 3.2.14. v(β) = 0. Por hipótese de indução β → c ∈ ∆. Suponha por absurdo (β → δ) → c ∈ ∆. Por (r1) temos (β → c)→ c ∈ ∆, absurdo, pois ∆ é saturado. Subcaso 3.2.15. v(δ) = 1. Por hipótese de indução (δ → c) → c ∈ ∆. Suponha por absurdo que (β → δ) → c ∈ ∆. Por (r1) temos δ → c ∈ ∆, absurdo, pois ∆ é saturado. Portanto se v(α) = 1, então (α→ c)→ c ∈ ∆. Caso 3.2.15.1. v(α) = 0. Logo v(β) = 1, v(δ) = 0. Por hipótese de indução (β → c) → c, δ → c ∈ ∆. Suponha, por absurdo, ((β → δ) → c) → c, logo, por (r2) temos β → c ∈ ∆ ou (δ → c)→ c ∈ ∆. Subcaso 3.2.16. Seja β → c ∈ ∆. Como, por hipótese de indução, (β → c) → c ∈ ∆, então ∆ não é saturado (absurdo). Subcaso 3.2.17. Seja (δ → c)→ c ∈ ∆. Como, por hipótese de indução, δ → c ∈ ∆, então ∆ não é saturado (absurdo). Portanto, se v(α) = 0, então α→ c ∈ ∆ ¥. Teorema 3.2.18. Teorema de completude para Tablôs: Seja Γ ∪ {α} ⊆ For(p1 . . . pn) um conjunto finito de fórmulas tal que Γ |= α. Então existe um tablô fechado para Γ∪{α→ c} , onde c é uma variável proposicional que não ocorre em {p1 . . . pn} . Dem.: Suponha que todo tablô concluido para Γ∪{α→ c} é aberto. Seja F um tablô concluido aberto para Γ∪{α→ c} , seja ∆ o conjunto de fórmulas de um ramo aberto de F. Logo, Γ ∪ {α→ c} ⊆ ∆ e ∆ ⊆ SFor(p1 . . . pn) é saturado pela Proposição 3.2.11. Pelo Teorema 3.2.13, existe uma valoração v : For(p1 . . . pn) −→ 2 tal que v(α) = { 1 se (α→ c)→ c ∈ ∆ 0 se α→ c ∈ ∆ Dado que Γ ⊆ ∆, então v(γ) = 1 para todo γ ∈ Γ. Desde que α → c ∈ ∆, então v(α) = 0 e, portanto,Γ 2 α absurdo. Então se Γ |= α, existe tablô fechado para Γ ∪ {α→ c} ¥. 84 3.3 Considerações Salientamos que o conceito fundamental no sistema de provas e dedutibilidade descrito até aqui é o de trivialidade, isto é, o fato de uma fórmula produzir outra qualquer (denotada pela letra proposicional c), o que nos leva a esclarecer um ponto que, em geral, é relegado: a noção de trivialidade nem sempre está vinculada com a noção de negação. Em particular, podemos obter trivialidades (como na objeção de Curry) sem ter definido sequer o śımbolo de negação. Para dar conta, de maneira abstrata, de um arcabouço lógico que pudesse lidar com a trivialidade positiva de forma análoga à que o programa paraconsistentista trata da trivialidade ligada à negação, teŕıamos de controlar não necessariamente a ocorrência de uma fórmula e a sua negação, mas o fato de uma fórmula implicar em qualquer outra, o que nos levaria a introduzir o conceito de paratrivialidade, significando o fato de existirem sistemas que só são trivializáveis com alguma condição adicional. Nesse sentido, a paratrivialidade seria um conceito mais geral que a paraconsistência pois nem sequer depende de termos à disposição um śımbolo definido para a negação (fato indispensável na lógica paraconsistente). Um projeto de trabalho ambicioso que não pretendemos levar a cabo nesta dissertação, mas apenas defender sua relevância, seria reescrever o tratamento dado à consistência em [12] em termos de um novo operador de trivialização. Nesse sentido, podeŕıamos pensar em adicionar à lógica positiva novas regras do tipo α∅, α, α→ c ` c, ou axiomas como (α∅ → (α→ (α→ c)))→ c reproduzindo2 desta forma todo o desenvolvimento proposto para as LFI's. 2Onde ∅ denotaria o operador de trivialidade positiva. 85 Caṕıtulo 4 Da negação impĺıcita à verdade sem sinais Duas ênfases têm norteado este trabalho: de um lado, problemas fundamentalmente técnicos (por exemplo, a completude de sistemas de lógica positiva) e de outro indagações conceituais (por exemplo, o interesse pelo caráter construtivo desses sistemas). Remetemos às conclusões parciais de cada caṕıtulo com relação a esses dois tipos de problemas. Conservando a divisão original entre os pontos de vista técnico e conceitual, reunimos a seguir certas idéias que consideramos relevantes quer como fecho de algumas colocações anteriores, quer como perspectivas de trabalho, ou ainda como conexões de nosso trabalho com questôes da filosofia tradicional. 4.1 Negação impĺıcita e o infinito 4.1.1 Negação espúria e genúına: Smullyan, o infinito e o absurdo Em [45], o conhecido lógico (e também mágico amador, além de pianista) Raymond Smullyan introduz o paradoxo do hiperjogo (um jogo que começa, mas não termina), com o intuito de apresentar uma prova alternativa de um teorema de Cantor (a respeito de que não existe bijeção entre um conjunto e seu conjunto potência)1. Ao invés disso Smullyan usa um argumento positivo que deriva um absurdo através do infinito. Esse absurdo decorre do 1É sobradamente conhecido que o argumento de Cantor utiliza o método diagonal (devido a ele próprio). 86 fato de aceitarmos uma certa parcela de autoreferência2 (x pertence a seu próprio conjunto-sequência) e, portanto, resulta extremamente interessante para discutir a noção de regresso ao infinito no interior da lógica positiva e a sua relação com o absurdo derivado através do paradoxo de Curry. Nesta seção vamos expor o argumento de Smullyan discutindo seu pretenso caráter positivo e vinculando-o com a questão do infinito, discutida no Caṕıtulo 2. O primeiro passo é lembrar brevemente o argumento de Cantor para perceber as diferenças com relação ao argumento usado por Smullyan: Temos que demonstrar que para qualquer conjunto X, | X |<| ℘(X) |, onde | X | denota o cardinal do conjunto X. Para tanto, devemos mostrar que toda função injetora f : X −→ ℘(X) não pode ser sobrejetora. Definimos agora o conjunto C = {x ∈ X | x /∈ f(x)}. De fato C ⊆ X e, dáı, C ∈ ℘(X). Vamos demonstrar C /∈ f [X]. Supomos, na procura de um absurdo, C = f(z) para z ∈ X. Dáı, temos z ∈ C ↔ z ∈ f(z) (por hipótese) mas z ∈ C ↔ z /∈ f(z) (pela definição de C), absurdo. Smullyan observa que o argumento de Cantor depende necessariamente da negação, pois ela faz parte da própria definição do conjunto diagonal C e expõe a versão de Zwicker para obter o conjunto Z que desempenha o mesmo papel usando o conceito de finitude ao invés do conceito de negação. Tendo obtido uma f ′ injetora qualquer que leva x ∈ X no conjunto Sx, definimos o conceito de caminho: um caminho é uma seqüência finita ou infinita de elementos de X tal que para cada termo z da seqüência, z é o último termo da seqüência ou o seguinte termo é elemento de Sx. Por exemplo, tomamos x ∈ X. Se Sx é vazio, o caminho acaba, caso contrário, tomamos y ∈ Sx diferente de x e teŕıamos o caminho 〈x, y〉; se Sy é vazio, o caminho acaba, caso contrário, tomamos z ∈ Sy e obtemos o caminho 〈x, y, z〉. Se Sz é vazio acaba o caminho; se não, continuamos com a mesma construção. Resumindo, o caminho continua até acharmos um v ∈ X tal que Sv é vazio; caso não achemos tal v, o caminho será infinito. Introduzimos agora a definição de elemento normal de X como aquele que gera caminhos finitos e denotamos o conjunto de elementos normais de X como Z. Usando esse conceito, vamos demonstrar a seguinte asserção3: O conjunto Z é diferente de Sx para todo x. 2O que estabelece uma relação com o paradoxo de Curry. 3Equivalente ao Teorema de Cantor, onde usamos o conjunto Z ao invés do conjunto C como exemplo de um elemento de ℘(X) que não pertence à imagem de X por f ′. 87 Vamos supor, então, que existe x ∈ X tal que Sx coincide com Z e que esse conjunto não é vazio4. Tomamos y de entre os elementos de Sx, ou seja, um elemento normal. Como y é normal, todo caminho que começa com y deve terminar e, portanto, o caminho 〈x, y〉 deve terminar, quer dizer x deve ser normal. De outro lado, desde que x é normal e Sx é o conjunto dos elementos normais, x ∈ Sx e, dáı, existe o caminho infinito 〈x, x, x . . .〉 e x não é normal, absurdo. De fato, o argumento não usa de qualquer negação na definição do conjunto Z, ou seja, não se baseia na negação expĺıcita. Vamos mostrar, porém, que se baseia em dois tipos de negação impĺıcita. Por um lado, o argumento precisa da distinção finito-infinito para definir o conjunto dos elementos normais e para obter o absurdo. Tal distinção não pode evitar a negação pois, mesmo tendo várias definições estritamente positivas de conjunto infinito5, fatalmente devemos usar da negação na definição de conjunto finito e vice-versa. A única sáıda para tal problema seria evitar os conceitos de finito e infinito na prova, mas isso é imposśıvel pelo menos nesta prova. Tal dificuldade está no centro de nossa discussão sobre o infinito no Caṕıtulo 2: a negação é uma cota em um sistema que, de outro modo, conteria algum tipo de infinito. Por outro lado, a redução ao absurdo de Smullyan depende, obviamente, da ocorrência da negação e, por exemplo, é fundamentalmente distinta e independente de objeções estritamente positivas que podem ser expressas através da implicação. Também aqui encontramos uma negação impĺıcita e inevitável na meta-linguagem. Dessa maneira, a negação aparece mais sutilmente em dois pontos cruciais da argumentação de Smullyan e, portanto, ela não poder ser considerada como uma demonstração positiva no mesmo sentido, por exemplo, da argumentação de Curry. 4.1.2 Completude para lógica positiva de primeira ordem Neste trabalho consideramos métodos de completude para o cálculo proposicional positivo, adiando a questão de uma posśıvel demonstração de completude para lógica positiva clássica de primeira ordem. A seguir apresentamos algumas considerações úteis para uma futura pesquisa nessa direção. Seguindo a intuição de Henkin para L+ e o esquema de prova apresentado 4Se Z for vazio, então, de fato, não coincide com Sx para algum x, pois todo x é não normal e, dáı Sx não pode ser vazio para qualquer que seja o x. 5Por exemplo, um conjunto que possui uma bijeção com os naturais. 88 em [7] 6, podemos propor a seguinte axiomática para L+, a lógica positiva clássica de primeira ordem: I. Axiomas proposicionais 1. α→ (β → α) 2. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] 3. ((α → γ) → (β → γ)) → [(α → γ) → ((β → γ) → γ) → ((α → γ) → γ)] II. Axiomas de primeira ordem 1. ∀x(α→ β)→ (α→ ∀xβ) se x não ocorre livre em α.7 2. ∀x(α)→ α(t) se t é um termo livre para x em α. Como regras de inferência temos: 1. Modus Ponens: α, α→β β (MP) 2. Generalização: α ∀x(α)(GEN) Existe, porém, uma limitação séria nessa axiomática para aplicarmos o método não construtivo que o próprio Henkin tornou célebre para o caso da lógica de predicados: quando usarmos racioćınios que envolvem testemunhas (constantes), deveremos fixar um significado para fórmulas do tipo ∃xα(x), mas, desde que ∀ e ∃ são interdefińıveis usando a negação e somente temos uma definição expĺıcita de ∀ na axiomática de L+, ∃ não possui significado nessa linguagem. Podeŕıamos tratar o quantificador existencial ∃ definido como ∃xα(x) ≡ [∀x(α(x)→ c)]→ c onde c é uma variável proposicional que não ocorre em α(x). Nos resta investigar se este tipo de "existência" é compatıvel com a lógica de predicados padrão. Por outro lado, se superarmos a dificuldade acima apontada, ainda não conseguiremos usar o método de completude não construtiva de Henkin. Para 6O leitor pode consultar esse trabalho para conferir a definição de prova e os axiomas da identidade. 7A definição de variável livre é a usual. 89 tanto precisamos refletir sobre uma das apresentações do conceito tradicional (não-positivo) de teoria consistente. Dizemos que uma teoria T é consistente se existe uma fórmula α tal que T 0 α e essa definição, como evidenciam as provas de completude não-construtivas examinadas no Caṕıtulo 1, não envolve negação na linguagem. Entretanto, o método de completude usado nos Caṕıtulos 1 e 3 não pode ser usado aqui, desde que não temos uma construção envolvendo variáveis proposicionais e, portanto, é necessário 'simular' sintaticamente a negação de outra maneira. Essa simulação, obviamente, deve estar aconpanhada de uma interpretação no modelo de L+, interpretação essa que não parece ser muito evidente nem intuitiva. É posśıvel que ainda seja cedo para tentarmos uma construção desse tipo, desde que é muito difıcil pensar uma metamatemática estritamente positiva e esse parece ser um desafio para a lógica positiva clássica de primeira ordem8. 4.2 Algumas questões filosóficas 4.2.1 Aristóteles, De refutatione No livro IV da Metafısica[41], Aristóteles refuta a posição de quem aceita contradições, apoiado na divisão linguagem significativa/linguagem assertiva, segundo a qual corresponde à segunda trabalhar com a noção de verdade ou mentira. Quem se contradiz não afirma alguma coisa falsa, afirma algo sem significado. Baseados em nosso tratamento de negações impĺıcitas (a triviliade implicativa do Caṕıtulo 3), levantamos a seguinte questão: não poderiamos tratar o argumento de Aristóteles mais adequadamente em termos positivos? Poderia acontecer que o absurdo que se deriva decorra de um tipo de negação impĺıcita, o que esclareceŕıa os limites e a correção da sua demonstração. Em Metafisica IV, 4 Aristóteles apresenta vários argumentos que evidenciam a importância do prinćıpio de não contradição. O primeiro deles, que basta para exemplificar o uso impĺıcito da negação, começa esclarecendo que tipo de demonstração pode-se desenvolver para esse prinćıpio, desde que ele próprio é a base de qualquer demonstração. A rigor, não demonstraremos que tal prinćıpio é verdadeiro (pois esse procedimento seria circular), mas mostraremos que não é posśıvel supor que ele seja falso (1006 a16-18). Ou seja, a hipótese depende da pessoa que desconfia da va8Contudo, pelo menos conhecemos que tipo de complexidade teria essa construção: [29] consegue mostrar que a lógica positiva de primeira ordem é NP-completa. 90 lidade do prinćıpio, mas não podemos pedir para ela realizar uma asserção verdadeira ou falsa9, mas uma asserção significativa, comunicável (1006 a 18-23). Portanto, Aristóteles constrói uma demonstração refutativa que depende do objetor proferir alguma coisa com significado. Desde que as palavras têm um número finito de significados (caso contrário qualquer comunicação através da linguagem seria imposśıvel), então ao afirmarmos o predicado 'ser homem' escolhemos um significado definido que garante a identificação do objeto designado (1006 a 26 1006 b 17). Mas se 'ser homem' significa a mesma coisa que 'não ser homem', então não temos um significado definido para esse predicado e, dai, ele não tem significado em absoluto e, segundo a particular teoria aristotélica do significado segundo a qual o significado de um termo corresponde a alguma caracteŕıstica de alguma coisa real, não teriamos nenhum objeto no mundo que pudesse ser designado com essa expressão, pois um objeto com propriedades necessárias contraditórias não pode existir (1006 b 18-34). Logo, o prinćıpio de não contradição garante a própria estrutura significativa da linguagem e, consequentemente, a estrutura de qualquer demonstração. Fora a referência à teoria essencialista do significado, o esquema formal da prova de Aristóteles distingue claramente entre a negação na linguagem e a negação na meta-linguagem. Com efeito, suponhamos que estamos trabalhando com uma lógica positiva com uma meta-linguagem não-positiva. Sem afirmar ou negar nada na linguagem, examinamos na meta-linguagem os predicados que podem ser considerados significativos. O ponto de Aristóteles pode ser expresso da seguinte maneira: se a função que interpreta os predicados na estrutura respectiva não consegue isolar os termos que satisfazem a um predicado daqueles que não, então o predicado está mal definido, o que informalmente quer dizer que não tem significado e, portanto, não pode ser verificado. A analogia com o argumento de Ackermann examinado na seção 2.3.1 é estreita: as condições de verdade de uma proposição somente podem ser fixadas depois de ter atribuido a ela um sentido ou significado. Desse ponto de vista, a demonstração aristotélica pode ser compreendida adequadamente como evidência de uma condição básica da comunicação, não unicamente como a prova da validade de um pŕıncipio lógico. O absurdo de quem duvida do prinćıpio de não contradição não é exatamente considerar uma proposição como ao mesmo tempo sendo verdadeira e falsa, mas tentar falar com sentido esvaziando de sentido suas próprias palavras. O śımbolo de negação, então, pode ser desconsiderado como parte fundamental desse racioćınio e, portanto, um estudo detalhado do argumento aristotélico 9Pois as asserçãoes verdadeiras e as falsas são governadas pelo prinćıpio. 91 a partir de uma lógica positiva não é nem imposśıvel nem insensato. 4.2.2 Verdade sem sinais? Levando em conta nossa formalização da verdade sem sinais (nem na linguagem, nem na metalinguagem), abordamos o problema, sugerido na seção anterior, da relação do significado e a verdade, exemplificado nos trabalhos clássicos [46] e [16]: a ausência da negação coloca uma questão profunda: como distinguir argumento verdadeiros de argumentos falsos? A verdade de um enunciado é produto de algum tipo de teste, mas nosso teste abre mão do śımbolo para abreviar o fato de o argumento ter falhado. Qual seria o critério para aceitarmos um enunciado? Poderiamos supor que é seu significado (por exemplo, o fato de não identificar nenhum objeto ou situação, seria uma prova da sua falsidade) e, então, o significado dependeria das condições de verdade (como argumenta [16]), ou poderiamos rejeitar esta visão e supor que, de alguma maneira, a teoria da verdade não dá conta de aspectos fundamentais da teoria do significado (como acontece em [46]). Em termos deste trabalho, a ocorrência da trivialidade seria o sinal de o argumento ser falso e, portanto, o significado do argumento dependeria de uma condição impĺıcita: a sua verdade, e esse fato apoiaria a posição de [16]. Contudo, precisamos distinguir, de novo, dois pontos de vista dos quais tal problema pode ser abordado. De um lado, tecnicamente a teoria positiva da verdade não representa mais do que uma aplicação do método semântico de Tarski, como apontado no ińıcio do Caṕıtulo 1. Na visão com nuances algébricos que ele propunha, a diferença entre as lógicas clássica e clássicapositiva consiste na ausência de uma função unária na matriz que intepreta o segundo sistema. De outro lado, a construção do sistema de tablôs no Caṕıtulo 3 a partir da trivialidade implicativa e a possibilidade de se atribuir uma configuração positiva às premissas falsas através da implicação são elementos instigantes do ponto de vista conceitual desde que estamos lidando com uma teoria que representa a verdade sem usar sinal algum. O racioćınio que desenvolvimos recorre à sintaxe para preencher essa lacuna: a verdade de uma proposição depende de sua 'forma implicativa'. Assim, mesmo sem representação expĺıcita da falsidade na linguagem, a implicação é rica o suficiente para contornarmos a dificuldade de tratar com premissas falsas10. Nesse sentido, o estudo das expressões condicionais na linguagem natural através 10De fato, é a implicação o único conectivo clássico que consege dar uma solução completa para esse problema, como evidencia a prova de completude proposta por Henkin e estudada no Caṕıtulo 1. 92 de uma lógica implicativa poderia satisfazer aos critérios de Davidson em [16], em particular com relação ao caráter recursivo que ele deseja para uma teoria do significado aceitável, ou seja com relação ao fato do significado da sentença depender dos elementos constituintes. Entretanto, o maior problema de tal teoria do significado seria a impossibilidade de estudar outro fator importante na linguagem cotidiana: a intenção de comunicar coisas diferentes usando estruturas formalmente equivalentes11. Uma posśıvel linha de trabalho para atender essas questões consistiria em tentar codificar expressões cotidianas condicionais onde não usamos a negação e observar até que ponto tais expressões são afetadas pelo fenômeno da trivialidade potencial, agora no contexto de palavras que não identificam nenhum objeto ou conteúdo, pois referem-se a qualquer coisa. O estudo que propomos poderia pensar-se como uma lógica do significado, onde examinamos o poder expressivo da linguagem natural sem negação, determinando se tal lógica consegue captar pelo menos em parte a idéia da paratrivialidade no contexto da filosofia da linguagem ou se simplesmente é imposśıvel trabalhar com ela fora do contexto da lógica matemática. 11Como aponta Strawson em [46], página 105. 93 Apêndice A Apêndice A: Axiomatizações da Lógica Positiva Clássica Apresentamos aqui um estudo mais detalhado das axiomatizações da lógica positiva clássica corretas e completas com relação à matriz M do Caṕıtulo 1. Podemos estabelecer dois tipos de axiomáticas com as propriedades requeridas das apresentadas na literatura especializada (em particular [48], [49], [50], [26],[17], [20] e [6]), as de três axiomas (por exemplo a de [26]) ou as de um único axioma (consideradas em [48] e [50]). Vamos acolher essa ordem de exposição no que segue. A.1 Axiomáticas com três elementos A primeira axiomática considerada na literatura especializada é a do Caṕıtulo 1 que, apesar de ser apresentada por Tarski e ÃLukasiewicz é conhecida como Tarski-Bernays por serem estes os que a introduziram originalmente (vide [48] página 52 e [49], página 296): A1. α→ (β → α) A2. (α→ β)→ ((β → γ)→ (α→ γ)) A3. ((α→ β)→ α)→ α Outra axiomática bastante explorada por nós é a introduzida por Henkin em [26], que consta das seguintes fórmulas: 94 H1. α→ (β → α) H2. (α→ β)→ [(α→ (β → γ))→ (α→ γ)] H3. (α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ] Também estudamos no Caṕıtulo 1 a axiomática considerada em [17], cujo fragmento puramente implicativo consta dos seguintes elementos: Ax1L. α→ (β → α) Ax2L. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] Ax3L. ((α→ β)→ α)→ α Existe outra opção em [20]: E1. α→ (β → α) E2. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] E3. (α→ γ)→ [(β → γ)→ (((α→ β)→ β)→ γ)] Por último, em [6] são consideradas pelo menos quatro axiomáticas partindo de 1. α→ (β → α) 2. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] e establecendo equivalências entre os seguintes axiomas1 3. ((α→ β)→ α)→ α (Lei de Peirce)) 4. (α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ] (Prinćıpio Campinas) 5. α ∨ (α→ β) (Lei de Dummett) 6. ((β → α)→ α)→ (α ∨ β) (o Prinćıpio Ghent) O primeiro passo ao examinar essas axiomáticas todas consiste em estabelecer a função de cada um dos elementos que as constituem, para, depois, demonstrar a equivalência entre axiomas. No que diz respeito ao primeiro item podemos observar que, em geral, temos dois axiomas que garantem a demonstração do Teorema da Dedução e outro usado na demonstração do Teorema de Completude. O primeiro grupo consta das seguintes fórmulas 1O nome de "Prinćıpio Campinas" e "Prinćıpio Ghent" são introduzidos nesse artigo com o intuito de gerar uma discussão dos axiomas da lógica positiva clássica. 95 A1. α→ (β → α) e H2. (α→ β)→ [(α→ (β → γ))→ (α→ γ)] ou Ax2L. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] No caso de [48], porém, a situação é um pouco diferente pois para provar o Teorema da Dedução precisamos dos três axiomas (vide Lema 1.1.9 e Teorema 1.1.10). Para obtermos o Teorema de Completude temos as seguintes opções A3. ((α→ β)→ α)→ α H3. (α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ] E3. (α→ γ)→ [(β → γ)→ (((α→ β)→ β)→ γ)] LD. α ∨ (α→ β) PG. ((β → α)→ α)→ (α ∨ β) Supondo que já demonstramos o Teorema da Dedução (TD), provamos a seguir as equivalências entre axiomas, começando por A2↔ Ax2L A2→ Ax2L Dem.: Vide Lema 1.2.5 Ax2L → A2 Dem.: 1. α→ β [Hip] 2. β → γ [Hip] 3. β → γ → (α→ (β → γ)) [Ax1L] 4. α→ (β → γ) [MP 2 e 3] 5. (α→ (β → γ))→ [(α→ β)→ (α→ γ)] [Ax2L] 6. (α→ β)→ (α→ γ) [MP 4 e 5] 7. α→ γ [MP 1 e 6] 8. α→ β, β → γ ` α→ γ [De 1, 2 e 7] 9. α→ β ` (β → γ)→ (α→ γ) [TD 8] 10. (α→ β)→ ((β → γ)→ (α→ γ)) [TD 9] Vamos demonstrar A2↔ H2 A2→ H2 Dem.: Vide Lema 1.2.6 96 Demonstramos H2→ A2 Dem.: Análoga à da equivalência anterior, mudando únicamente a ordem na aplicação de MP, ou seja, os passos 5 a 7. A equivalência Ax2L ↔ H2 é trivial, desde que vale o Teorema da Dedução e a prova depende da ordem na aplicação de MP. Provamos agora A3↔ H3 A3→ H3 Dem.: Vide Lema 1.2.4 H3→ A32 Neste caso, precisamos demonstrar antes (id) = α→ α usando H1 e H2. 1. (α→ ((α→ α)→ α))→ [(α→ (α→ α))→ (α→ α)] [Ax2L] 2. α→ ((α→ α)→ α) [A1] 3. (α→ (α→ α))→ (α→ α) [MP 1 e 2] 4. α→ (α→ α) [A1] 5. α→ α [MP 3 e 4] Usando este resultado 1. (α→ α)→ [((α→ β)→ α)→ α] [H3] 2. ((α→ β)→ α)→ α [MP (id) e 1] Estabelecemos agora A3↔ E3 A3→ E3 Dem.: Vide Lema 1.2.5 E3 → A3 Para demonstrar este fato precisamos da Lei da Absorção (abs) = (α → (α→ β))→ (α→ β), uma prova alternativa da qual apresentamos a seguir 1. α→ (α→ β) [Hip] 2. α [Hip] 3. α→ β [MP 1 e 2] 4. β [MP 2 e 3] 5. α→ (α→ β), α ` β [De 1, 2 e 4] 6. α→ (α→ β) ` α→ β [TD 5] 7. (α→ (α→ β))→ (α→ β) [TD 6] Usando este resultado 2Esta prova faz parte de [6]. 97 1. (α→ β) → α [Hip] 2. (α→ α) → [((α→ β) → α) → (((α→ (α→ β)) → (α→ β)) → α)] [E3] 3. ((α→ β) → α) → [((α→ (α→ β)) → (α→ β)) → α] [Mp 2 e (id)] 4. ((α→ (α→ β)) → (α→ β)) → α [Mp 3 e 1] 5. α [Mp 4 e (abs)] 6. (α→ β) → α ` α [De 1 e 5] 7. ((α→ β) → α) → α [TD 6] Demonstramos agora E3 ↔ H33 H3→ E3 Dem.: 4 1. α→ γ [Hip] 2. β → γ [Hip] 3. (α→ β)→ β [Hip] 4. (α→ β)→ γ [Mp 2, 3 e A2] 5. (α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ] [H3] 6. ((α→ β)→ γ)→ γ [Mp 1 e 5] 7. γ [Mp 4 e 6] 8. α→ γ, β → γ, (α→ β)→ β ` γ [De 1, 2, 3 e 7] 9. α→ γ, β → γ ` ((α→ β)→ β)→ γ [TD 8] 10. α→ γ ` (β → γ)→ [((α→ β)→ β)→ γ] [TD 9] 11. (α→ γ)→ [(β → γ)→ (((α→ β)→ β)→ γ)] [TD 10] E3 → H3 Dem.: Desde que E3 → A3, podemos inserir aqui a prova do Lema 1.2.4 Restam por examinar dois axiomas posśıveis (LD e PG) que usam da disjunção e por essa razão precisamos introduzir três axiomas não estritamente implicativos que envolvem a disjunção: Ax4L. α→ (β ∨ α) Ax5L. α→ (α ∨ β) Ax6L. (α→ γ)→ [(β → γ)→ ((α ∨ β)→ γ)] Com essas novas ferramentas, vamos demonstrar A3↔ LD A3→ LD Dem.: Vide Caṕıtulo 1, seção 1.3.2, página 31. LD→ A35 Dem.: 3Esta demonstração faz parte de [6]. 4Idem. 5Idem. 98 1. (α→ β)→ α [Hip] 2. α→ β [Hip] 3. α [MP 1 e 2] 4. (α→ β)→ α, α→ β ` α [De 1, 2 e 3] 5. α→ β ` ((α→ β)→ α)→ α [TD 4] 6. (α→ β)→ [((α→ β)→ α)→ α] [TD 5] 7. α→ [((α→ β)→ α)→ α] [A1] 8. (α ∨ (α→ β))→ (((α→ β)→ α)→ α) [Ax6le MP 6 e 7] 9. ((α→ β)→ α)→ α [MP LD e 8] As equivalências LD ↔ H3 e LD ↔ E3 são resultado das equivalências anteriores. A.2 O caso do Axioma A1 Em [50], ÃLukasiewicz examina o axioma A1 (que faz parte de todas as axiomáticas estudadas na seção anterior) e, generalizando uma idéia de Wajsberg, conclui que esta fórmula é um caso particular do esquema6 α→ (φ→ ψ) ao demonstrar A1 a partir de A2, A3 e do referido esquema. Este esquema, porém, tem de ser usado com a ressalva de que o resultado da substituição de φ e ψ deve produzir uma fórmula com valor distinguido, ou seja, a substituição deve gerar uma tautologia. As colocações de ÃLukasiewicz são importantes para nosso trabalho por duas razões. Por um lado, aplicando o esquema proposto obtemos outras axiomáticas completas da lógica proposicional positiva clássica trocando A1 por A1'. α→ [(α→ β)→ β] ou A1". α→ [β → ((α→ γ)→ (β → γ))], por exemplo. Por outro lado, o autor examina o caso onde a substituição gera uma fórmula contingente (não-tautológica) através de considerações a respeito do que, em nosso jargão, seria uma teoria trivial positiva. Por exemplo, se tomarmos φ = α e ψ = β, teŕıamos como axioma a fórmula α→ (α→ β) que não é tautologia e dai gera qualquer fórmula, em particular A1. O ponto instigante aqui é a proposta de prova da trivialidade que 6Onde α é variável e φ e ψ denotam, respectivamente, o antecedente e o consequente de um condicional. 99 ÃLukasiewicz apresenta a partir desse 'axioma': Suponhamos que α → (α → β) seja o caso. Então, se tomarmos α como sendo α→ (α→ β), teremos por substituição α→ (α→ β)→ [(α→ (α→ β)) → β] e por MP com a hipótese, obteremos (α → (α → β)) → β e, repetindo o processo, deduzimos β para β qualquer, ou seja, chegamos em uma teoria trivial. Observamos que Curry necessita de α ⇔ (α → β) que, por definição é α → (α → β) ∧ (α → β) → α para obter a trivialização e ÃLukasiewicz somente precisa α → (α → β), ou seja, ainda menos que Curry. Podemos propor, então, que a objeção de Curry (de 1942) foi revista por ÃLukasiewicz em 1948, apesar de que aparentemente não há menção de ÃLukasiewicz sobre isso. Salientamos, ainda, que essa abordagem à trivialidade positiva não precisa assumir como hipótese nem ` α → α nem a Lei da Absorção, mas mostra por que não podemos assumir certas fórmulas como axiomas. Para ÃLukasiewicz o problema encontra-se não exatamente na Lei da Absorção, mas na escolha de α → (α → β) como axioma. Nesse caso, o problema é da própria lógica, não da teoria matemática que ela visa representar, diferentemente do argumento de Curry. A.3 Axiomáticas com um único elemento Em [50] são consideradas 5 axiomáticas de um único elemento e é demonstrada a equivalência de I com A1, A2 e A37. As axiomáticas estudadas são: I. ((α→ β)→ γ)→ [(γ → α)→ (δ → α)] II. [(θ → (ι→ θ)) → (((((α→ β) → γ) → δ) → ((β → δ) → (α→ δ)) → η)] → η III. ((α→ β) → ((γ → δ) → η)) → [(ι→ ((γ → δ) → η)) → ((α→ ι) → (δ → η))] IV. ((α→ β)→ (γ → δ))→ [η → ((δ → α)→ (γ → α))] V. ((α→ β)→ (γ → δ))→ [(δ → α)→ (η → (γ → α))] 7Os axiomas I e II já tinham sido introduzidos por Tarski e ÃLukasiewicz em [48] e Wajsberg em [53], respectivamente. Wajsberg demonstra, ainda, a equivalência de II com A1, A2 e A3. 100 Apêndice B Apêndice B: A independência dos axiomas de Henkin Como complemento das tabelas introduzidas na Seção 1.2.3, apresentamos aqui a justificativa das provas de independência de H1, H2 e H3. B.1 H1 Temos, pela atribuição h∗: H1. h∗(α) = 12 e h ∗((β → α)) = 0 e, dáı h∗(α→ (β → α)) = 0 H2. h∗(α → β) = 1, h∗(α → (β → γ)) = 0 e h∗(α → γ) = 0. Logo, h∗((α→ (β → γ))→ (α→ γ)) = 1 e, dáı, h∗((α→ β)→ [(α→ (β → γ))→ (α→ γ)]) = 1 H3. h∗(α → γ) = 0 e, então, em qualquer caso, h∗((α → γ) → [((α → β)→ γ)→ γ]) = 1 B.2 H2 Temos, pela atribuição h′: H2. h′(α → β) = 1, h′(α → (β → γ)) = 1 e h′(α → γ) = 12 . Logo h′((α → (β → γ))→ (α → γ)) = 12 e, dáı, h ′((α → β)→ [(α → (β → γ))→ (α→ γ)]) = 12 . 101 H1. h′(β → α) = 1 e, dáı, h′(α→ (β → α)) = 1. H3. h′(α → γ) = 12 , h ′(α → β) = 1 e h′((α → β)→ γ) = 0, logo h′(((α → β)→ γ)→ γ) = 1 e, dáı, h′((α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ]) = 1. B.3 H3 Temos, pela atribuição h′′: H3. h′′(α → γ) = 1, h′′(α → β) = 0 e h′′((α → β) → γ) = 1. Logo h′′(((α→ β)→ γ)→ γ) = frac12 e, dáı, h′′((α→ γ)→ [((α→ β)→ γ)→ γ]) = 12 . H1. h′′(β → α) = 1 e, dáı, h′′(α→ (β → α)) = 1. H3. h′′(α → β) = 0 e, dáı, h′′((α → β) → [(α → (β → γ)) → (α → γ)]) = 1. 102 Referências Bibliográficas [1] Whilhelm Ackermann. Widerspruchsfreier Aufbau der Logik I. Typenfreies System ohne Tertium non datur. 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