AKSJOMATYCZNE SYSTEMY RACHUNKU NAZW Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Pawła II Wydział Filozofii WYDAWNICTWO KUL Piotr Kulicki AKSJOMATYCZNE SYSTEMY RACHUNKU NAZW WYDAWNICTWO KUL LUBLIN 2011 Recenzent dr hab. Marcin Tkaczyk Projekt okładki Marcin Pieczyrak c© Copyright by Wydawnictwo KUL, Lublin 2011 ISBN 978-83-7702-216-0 Wydawnictwo KUL ul. Zbożowa 61, 20-827 Lublin tel. 0-81 740-93-40, fax 0-81 740-93-50 e-mail: wydawnictwo@kul.lublin.pl http://wydawnictwo.kul.lublin.pl Druk i oprawa: elpil ul. Artyleryjska 11 08-110 Siedlce e-mail: info@elpil.com.pl Spis treści Wstęp 9 1 Narzędzia formalne 13 1.1 Jak formalizować rachunek nazw? . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.1 Sylogizmy jako zdania i reguły . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.2 Dopuszczalne rodzaje nazw . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Rozszerzenia języka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Definicja języka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Teorie pierwszego rzędu, systemy aksjomatyczne i rezolucyjne 23 1.4 Implikacje, reguły i wyprowadzenia . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5 Rozstrzygalność definitywnych teorii opartych na KRZ . . . . 39 1.6 Pełność systemu bez formalnych modeli . . . . . . . . . . . . . 42 1.7 Systemy aksjomatycznego odrzucania . . . . . . . . . . . . . . 50 1.8 Struktury modelowe dla rachunku nazw . . . . . . . . . . . . . 53 2 Klasyczne systemy zakresowe 55 2.1 System Łukasiewicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.1 System aksjomatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.2 Aksjomatyczny system odrzucania . . . . . . . . . . . . 58 2.1.3 Model w rachunku zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.4 Niezależność aksjomatów . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2 System sylogistyki dopuszczający nazwy puste . . . . . . . . . 65 2.2.1 System aksjomatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.2 Aksjomatyczny system odrzucania . . . . . . . . . . . . 66 2.2.3 Model w rachunku zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.4 Niezależność aksjomatów . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3 Sylogistyka Brentany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.1 System aksjomatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.2 Model w teorii zbiorów – interpretacja w systemie Stnd . . . . . . . . . . . . . . 73 2.3.3 Hornowski fragment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.4 Aksjomatyka odrzuceniowa dla systemu B . . . . . . . 80 2.3.5 Niezależność aksjomatów . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego 101 3.1 Podstawowa bezkwantyfikatorowa Ontologia Leśniewskiego . . 102 3.1.1 System aksjomatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.1.2 Aksjomatyczny system odrzucania . . . . . . . . . . . . 103 3.1.3 Model w rachunku zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.1.4 Niezależność aksjomatów . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.2 Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktor sol . . . 109 3.2.1 System aksjomatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.2.2 Aksjomatyczny system odrzucania . . . . . . . . . . . . 110 3.2.3 Model w rachunku zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.2.4 Niezależność aksjomatów . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.3 Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.3.1 System aksjomatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.3.2 Aksjomatyczny system odrzucania . . . . . . . . . . . . 121 3.3.3 Model w rachunku zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.3.4 Niezależność aksjomatów . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.5 Definicje dodatkowych stałych Ontologii Leśniewskiego w systemie OntSyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.3.6 Alternatywna aksjomatyzacja systemu . . . . . . . . . 132 3.4 Separacja w odniesieniu do Ontologii Leśniewskiego . . . . . . 134 4 Sylogistyki nieklasyczne 137 4.1 System Słupeckiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.1.1 System aksjomatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.1.2 Aksjomatyczny system odrzucania . . . . . . . . . . . . 139 4.1.3 Niezależność aksjomatów . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.1.4 Specyfika systemu Słupeckiego . . . . . . . . . . . . . . 144 4.2 Sylogistyka dowodowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2.1 Motywacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2.2 System D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2.3 System D2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Spis treści 7 4.2.4 System D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.3 Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp . . . . . . . . . . . . 168 4.3.1 Tezy systemu Łuk stanowiące rozszerzenia Słp . . . . 168 4.3.2 Analiza wybranych systemów . . . . . . . . . . . . . . 176 5 Matrycowe procedury rozstrzygania 185 5.1 Aksjomaty odrzucone i modele dla formuł hornowskich . . . . 185 5.2 Modele dla hornowskich systemów zakresowych . . . . . . . . 187 5.2.1 System Łuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.2.2 System Stnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2.3 System B-horn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.2.4 System OntP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.2.5 System OntSol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.2.6 System OntSyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.3 Matryce dla systemu Słp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.3.1 Matryce pięcioelementowe . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5.3.2 Matryce czteroelementowe . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.3 Matryce trójelementowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.4 Matryce dla systemu Łuk− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.5 Procedura decyzyjna dla systemów hornowskich . . . . . . . . 197 5.6 Rozstrzyganie dla systemu B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.7 Porównanie modeli z innymi podejściami . . . . . . . . . . . . 200 Zakończenie 203 A Zestawienie systemów aksjomatycznych 205 A.1 Systemy sylogistyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 A.2 Systemy Ontologii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 B Program do tworzenia dowodów założeniowych 211 C Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 217 D Dowody niezależności dla formuł z Diagramu 239 Bibliografia 245 Indeks rzeczowy

Wstęp Logika nazw jest teorią badającą związki logiczne pomiędzy nazwami i zarazem badającą poprawność rozumowań kierowanych schematami, które nazwami można uzupełnić. Logika nazw (rachunek nazw) jest najstarszym elmentem znanej nam dzisiaj logiki. Pierwszy system rachunku nazw przedstawił w postaci sylogistyki Arystoteles w IV w. p.n.e. Do połowy XIX w. sylogistyka stanowiła zasadniczy fragment znanej logiki. Badania prowadzone były w starożytności i średniowieczu w ramach tzw. logiki tradycyjnej. Wspomnieć tu warto też prace G.W. Leibniza, który m.in. znalazł dla sylogistyki interpretację arytmetyczną oraz L. Eulera i J. Venna, którzy stworzyli systemy diagramów pozwalające na rozstrzyganie o poprawności schematów sylogistycznych. Rozwój logiki matematycznej, który nastąpił od połowy XIX w., zmarginalizował sylogistykę. Zainteresowanie nią przywrócił w latach trzydziestych XX w. J. Łukasiewicz [30, 32] badając sylogistykę Arystotelesa narzędziami współczesnej logiki matematycznej. Prace nad sylogistyką rozpoczęte przez Łukasiewicza były dalej prowadzone częściowo jako kontynuacja jego podejścia, a częściowo w opozycji do jego sposobu traktowania sylogistyki (np. J. Corcoran [7, 8]). Sylogistyka pozostaje w kręgu zainteresowania logiki do dzisiaj, z nowszych prac można wymienić prace A. Pietruszczaka [40, 41], D. Westerstahla [68], F. Johnsona [18], J.N. Martina [35], W. Suchonia [60] i K. Polickiego [45]. W ostatnich latach sylogistyka wzbudziła zainteresowanie również w kontekście informatyki, np. w pracach C. Rochy i J. Meseguera [50] czy L.S. Mossa i I. Pratt-Hartmanna [39, 46]. Osobny kierunek w rozwoju rachunku nazw stworzony został przez S. Leśniewskiego i jego kontynuatorów, w ramach teorii nazwanej przez jej twórcę Ontologią (podstawowe wiadomości o Ontologii Leśniewskiego można znaleźć np. w [56, 48]). Leśniewski wykorzystuje stworzony przez siebie specjalny formalizm i nie ma na celu jedynie formalizacji rachunku nazw, lecz budowę 10 Wstęp fundamentów nauk formalnych w ogóle. Niemniej jednak jego prace wniosły istotny wkład w rozwój samego rachunku nazw. Badania nad rachunkiem nazw w ramach tego paradygmatu również są kontynuowane m.in. przez autorów takich jak M. Takano [61], A. Pietruszczak [42, 43], T. Waragai [65, 66], R. Urbaniak [64]. Jednym z interesujących kierunków badań zapoczątkowanym przez L. Borkowskiego [5, 6] i kontunuowanym przez E. Wojciechowskiego [71, 72], jest tworzenie systemów złożeniowych dla Ontologii. Ciągłe zainteresowanie rachunkiem nazw związane jest z jego trzema cechami: • rozumowania, które można sformalizować na poziomie nazw są często stosowane w myśleniu zdroworozsądkowym, rachunek nazw jest przedmiotem podstawowego kursu logiki (sylogistyka), • dotyczy rozumowań często występujących w opisach rzeczywistości: metafizyka, ontologia, porządkowanie pojęć w kontekście technologii informatycznej w tzw. inżynierii ontologicznej, • jest interesującym przedmiotem badań metalogicznych, jako prosty a zarazem niebanalny system formalny. W niniejszej pracy staramy się potraktować rachunek nazw jako teorię autonomiczną, niesprowadzalną do rachunku zbiorów czy rachunku predykatów. Staramy się podkreślać specyfikę przedmiotu oraz metod. Nawiązujemy przy tym do Arystotelesa, który budował sylogistykę niezależnie od wspomnianych teorii, bo ich nie znał i obiekty takie jak zbiory były jemu i jego współczesnym obce, w odróżnieniu od nazw, które w świadomości owego czasu były już obecne. W znajdowaniu inspiracji u Arystotelesa korzystamy ze wsparcia Łukasiewicza i wykorzystujemy jego rekonstrukcję sylogistyki jako podstawę dalszych prac. Nie pretendujemy do tego, aby dokonać adekwatnej rekonstrukcji logiki Arystotelesa. Czerpiemy jedynie pewne inspiracje z bogactwa myśli zawartych w tekstach Arystotelesa. Nie staramy się również przedstawić wyczerpującej relacji z dotychczasowych badań nad rachunkiem nazw – potrzebna byłaby do tego osobna, znacznie obszerniejsza książka. Przedstawiamy pewne podejście do rachunku nazw i w ramach tego podejścia analizujemy pewną część możliwych systemów, ze szczególnym uwzględnieniem znanych i intuicyjnie czytelnych systemów obecnych w literaturze. Uwzględniamy też systemy mniej znane, mające interesujące własności. Wstęp 11 Metodykę formalizacji czerpiemy głównie od Łukasiewicza. Wykorzystujemy aksjomatyzację rachunku nazw nadbudowaną nad klasycznym rachunkiem zdań oraz metodę aksjomatycznego odrzucania. Są to techniki mało obecne we współczesnych pracach nad rachunkiem nazw, a użyteczne i skuteczne. W szczególności pozwalają na ocenę jakości formalizacji – poprawności i pełności systemów aksjomatycznych. Jako narzędzia pomocniczego do wskazywania pewnych właściwości wyprowadzalności używać będziemy rezolucyjnego ujęcia logiki klasycznej. Modele w teorii zbiorów będziemy wykorzystywać również pomocniczo, głównie do wykazywania niezależności pewnych formuł, a nie jak w większości prac współczesnych jako podstawowego narzędzia do wykazywania pełności systemu aksjomatycznego, stanowiącej o poprawności formalizacji. Specyfiką proponowanego podejścia jest więc ujęcie w punkcie wyjścia syntaktyczne. Dominująca część prac dotycząca sylogistyki wychodzi od ujęcia stosunków pomiędzy zakresami nazw, czyli ujęcia semantycznego w sensie semantyki formalnej. W pracy zastosowane zostały narzędzia informatyczne służące do automatycznej dedukcji – niektóre dowody, niewymagające szczególnej inwencji, wykonywane są automatycznie, za pomocą programu komputerowego. Tekst programu oraz wyniki jego pracy przedstawione są na końcu monografii (Dodatki B i C). Wykorzystane narzędzia informatyczne działają na poziomie syntaktycznym – stosowany jest system oparty na rezolucji (Prolog) oraz zdefiniowany na jego bazie system założeniowy. Przedstawiamy i analizujemy różne systemy sylogistyki jako systemy dedukcyjne. Pozostają one w relacjach do siebie, tworząc pewną przestrzeń, którą chcemy zbadać. Wśród systemów występują klasyczne, znane z literatury, mające interpretacje zakresowe (system Łukasiewicza, system dopuszczający nazwy puste, system Brentany) oraz nieklasyczne. Te drugie można podzielić na wprowadzające nowe funktory (funktory zaczerpnięte z Ontologii Leśniewskiego, inne funktory pochodzące z języka naturalnego) oraz nadające nową interpretację starym funktorom. Podstawowym celem, który ma zrealizować niniejsza książka, jest zaprezentowanie bogactwa aksjomatycznych systemów rachunku nazw. Przedstawione zostały w tym celu w jednolity sposób znane systemy rachunku nazw oraz kilka nowych systemów skonstruowanych przez Autora niniejszej monografii. Ponieważ kryteria wyboru pomiędzy podobnymi systemami logicznymi mogą być różne, staramy się podać możliwie bogatą charakterystykę omawianych systemów, obejmującą standardową aksjomatykę, aksjomatykę odrzuceniową, formalny model oraz charakterystyczne dla systemów metody rozstrzygania. Przedmiotem rozważań są również relacje pomiędzy poszczególnymi systemami. Wkład niniejszej pracy w rozwój badań nad rachunkiem nazw jest dwojaki. Po pierwsze, w systematyczny sposób prezentujemy bogactwo aksjomatycznych systemów rachunku nazw. Szczególnie interesujące wydaje się przedstawienie systemów nieklasycznych, w większości nieposiadających interpretacji zakresowej. Po drugie, pokazujemy szereg drobnych, nieznanych dotąd, rezultatów dotyczących poszczególnych systemów. Praca jest podzielona na pięć rozdziałów. W pierwszym rozdziale opisane są narzędzia formalne używane do analiz prowadzonych w rozdziałach następnych. W rozdziale drugim zaprezentowane są klasyczne zakresowe systemy sylogistyki. Przedmiotem rozdziału trzeciego są systemy rachunku nazw z funktorem ε Leśniewskiego. W rozdziale czwartym przedstawione są nieklasyczne systemy sylogistyki. Rozdział piąty poświęcony jest procedurom rozstrzygania opartym o matryce. Ze względu na to, że rezultaty przedstawiane w tekście mają różny charakter, na początku każdego rozdziału zaznaczamy, które z nich są zaczerpnięte z literatury, które pochodzą z wcześniejszych prac Autora niniejszej monografii, które zaś pojawiają się tu po raz pierwszy. Taka organizacja tekstu ma na celu zachowanie ciągłości wewnątrz rozdziałów oraz niezakłócanietoku myslowego przez dodatkowe informacje. Rozdział 1 Narzędzia formalne Rozdział niniejszy ma charakter wprowadzający i sprawozdawczy. Rozpoczniemy go od uwag dotyczących sposobu formalizacji teorii nazw, zastosowanego w dalszych częściach pracy. Przedstawimy krótko różne możliwości występujące w literaturze, z zaznaczeniem wyborów dokonanych przez Autora. Część tych ustaleń zebrana jest w postaci formalnej definicji języka przedstawionej w kolejnym podrozdziale. Następnie przytoczymy znane z literatury wyniki badań dotyczące logiki pierwszego rzędu i systemów rezolucyjnych, interesujące w kontekście aksjomatycznych systemów rachunku nazw. Wyniki te zostały zastosowane do systemów zdefiniowanych w języku bez kwantyfikatorów i symboli funkcyjnych. Otrzymane rezultaty nie są zaskakujące, porządkują jednak ogólne własności systemów, takich jak rozważane w pracy formalizacje rachunku nazw i pozwalają na skoncentrowanie się w dalszych rozdziałach pracy na specyfice konkretnych systemów aksjomatycznych. Pewną nowością pojawiającą się w niniejszej pracy jest zaimplementowanie przedstawionej procedury decyzyjnej dla sprawdzania konsekwencji w postaci programu komputerowego w języku Prolog. Na koniec przedstawimy uwagi dotyczące możliwości wykorzystania metody aksjomatycznego odrzucania jako narzędzia badania adekwatności systemów aksjomatycznych w stosunku do leżących u ich podstaw intuicji. Idea ta nie jest nowa, ale pozostaje stosunkowo mało znana i mogłaby być z powodzeniem szerzej stosowana w logice. W niniejszej pracy będzie ona stanowić podstawowe narzędzie oceny adekwatności przedstawianych systemów aksjomatycznych rachunku nazw. 14 Narzędzia formalne 1.1 Jak formalizować rachunek nazw? Zanim zaprezentujemy konkretne systemy rachunku nazw, zwrócimy uwagę na ogólne problemy związane z wyborem narzędzi formalnych, odpowiednich do konstrukcji takich systemów. Współczesna dyskusja nad sposobem formalizacji teorii nazw rozpoczęła się po tym, jak Łukasiewicz podjął próbę analizy sylogistyki Arystotelesa z punktu widzenia współczesnej logiki formalnej. Wątpliwości często podnoszone były w kontekście zgodności formalizmu z intencją Arystotelesa, ale mają one charakter ogólniejszy – niezależnie od tego co miał na myśli Arystoteles, budując rachunek nazw, musimy się zdecydować na jakiś formalizm. Pojawiają się następujące problemy: • jak reprezentować sylogizmy i inne podstawowe konstrukcje występujące w teorii nazw (jako wyrażenia języka, reguły, schematy wnioskowania czy też po prostu wnioskowania bądź wyprowadzenia); • jakie typy nazw dopuszczać w konstruowanym rachunku i czy w jakiś inny sposób ograniczać podstawianie (czy np. zdanie „każde S jest S" jest sensowne); • czy i jak rozszerzać język tradycyjnego rachunku nazw, np. poprzez dodanie operacji boolowskich określonych na nazwach, bądź niestandardowych funktorów. Omówimy te kwestie w kolejnych podrozdziałach. 1.1.1 Sylogizmy jako zdania i reguły Najczęściej stosowane w pracach dotyczących sylogistyki i szerzej rachunku nazw są dwie reprezentacje, spośród których w jednej sylogizmy traktuje się jako zdania, w drugiej – jako reguły. Łukasiewicz ([30, 32]) przedstawia sylogizmy w postaci tez systemu nadbudowanego nad klasycznym rachunkiem zdań (KRZ). Spotkało się to z krytyką, m.in. Corcorana ([7, 8]), który uważa, że bardziej adekwatne jest ujęcie sylogizmów jako reguł bądź schematów wnioskowania. Przyjrzyjmy się podstawowym różnicom pomiędzy tymi podejściami. Klasyczna sylogistyka jest formalną teorią ujmującą rozumowania, w których zarówno przesłankami, jak i wnioskiem są zdania kategoryczne. W raJak formalizować rachunek nazw? 15 mach narzędzi, którymi dysponuje współczesna logika formalna, można takie rozumowania formalizować na kilka sposobów, m.in. jako zdania języka o strukturze implikacji oraz jako reguły lub schematy wnioskowania. Pierwszy sposób zastosował Łukasiewicz, drugi – Corcoran. W pierwszym przypadku przesłanki rozumowania traktować można jako czynniki koniunkcji stanowiącej poprzednik implikacji, a wniosek jako następnik implikacji. Otrzymujemy formuły, które można w naturalny sposób przekształcić w reguły1. Ujęcie sylogizmów jako tego rodzaju implikacji wymaga przyjęcia określonej interpretacji funktora implikacji oraz koniunkcji. Łukasiewicz przyjął najprostsze rozwiązanie, w którym rozumienie tych funktorów czerpie się z klasycznego rachunku zdań. Klasyczna interpretacja funktorów nie jest tu bynajmniej oczywista. Sama definicja sylogizmu, pochodząca z „Analityk pierwszych": „Sylogizm jest to wypowiedź, w której, gdy się coś założy, coś innego niż się założyło, musi wynikać dlatego, że się założyło" (Analityki pierwsze 24b2), sugeruje dwie cechy sylogizmów, które klasyczny rachunek zdań ignoruje – nietautologiczność (coś innego niż się założyło) i relewancję (dlatego, że się założyło)3. Łukasiewicz uczynił coś więcej – przyjął, że sylogistyka jest nadbudowana nad klasycznym rachunkiem zdań i tym samym dopuścił konstrukcje inne niż te o postaci sylogizmu. Sprawia to, że traci się bezpośrednią relację z regułami. Ten element jego ujęcia sylogistyki Arystotelesa wydaje się być szczególnie kontrowersyjny. W związku z tym, dla lepszego zrozumienia istoty ujęcia sylogistyki przez Łukasiewicza można odseparować dwa elementy: (1) formalizację rozumowań poprzez zdania języka o strukturze implikacji z klasycznym rozumieniem funktorów rachunku zdań, 1Fakt wzajemnej przekładalności reguł na implikacje w kontekście sylogistyki zauważa J. Woleński we wstępie do książki Łukasiewicza [32]. Warunkiem takiego przekształcenia jest skończoność zbioru przesłanek w regułach. Reguły, z którymi mamy do czynienia przy faktycznych formalizacjach sylogistyki powstających w tym paradygmacie, są skończone. Zasadnicze rezultaty dotyczące skończoności rozumowań sylogistycznych u Arystotelesa pokazuje J. Lear w pracy [27]. 2Wszystkie cytaty z Arystotelesa przytoczone są w tłumaczeniu K. Leśniaka z [2]. 3Na temat rozumienia implikacji u Arystotelesa na poziomie intuicyjnym można przeczytać w pracy M. Tkaczyka [62]. Formalne ujęcie tego typu implikacji występuje w literaturze pod nazwą implikacji konektywnej (connexive implication) [36, 37]. 16 Narzędzia formalne (2) użycie do budowy wyrażeń funktorów KRZ w dowolnej konfiguracji. W ten sposób można wyodrębnić fragment rachunku zdań, który jest faktycznie potrzebny do budowania rachunku nazw. W kolejnym podrozdziale, po wprowadzeniu formalnych narzędzi umożliwiających taką analizę, zajmiemy się tym problemem dokładniej. Po przeanalizowaniu tych problemów, w zasadniczej części pracy, będziemy posługiwali się, idąc za przykładem Łukasiewicza, ujęciem aksjomatycznym i dla wygody będziemy tworzyli systemy, które są nadbudowane nad pełnym klasycznym rachunkiem zdań. 1.1.2 Dopuszczalne rodzaje nazw W semiotyce logicznej występują dwa podziały nazw interesujące z punktu widzenia formalizacji rachunku nazw. Pierwszy podział dokonywany jest ze względu na sposób odnoszenia się do przedmiotów i rozróżnia nazwy na generalne (zbiorowe) i indywidualne (własne). Nazwy generalne desygnują przedmioty ze względu na spełnianie przez nie warunków treściowych, nazwy indywidualne desygnują konkretne obiekty na mocy konwencji językowej. Drugi podział dokonywany jest ze względu na liczbę desygnatów i rozróżnia nazwy puste, nieposiadające w ogóle desygnatów, nazwy jednostkowe, posiadające dokładnie jeden desygnat i nazwy ogólne, posiadające więcej niż jeden desygnat. W rozważaniach z zakresu teorii nazw pojawiały się postulaty ograniczenia używanych nazw do wybranych kategorii powstałych na gruncie wspomnianych podziałów. Postulaty te mają różną motywację i różnego typu uzasadnienia. W słynnej pracy „Sens i znaczenie"4 G. Frege postuluje wyeliminowanie z języka nauki nazw pustych. W uzasadnieniu Frege posługuje się rozumowaniem, które można streścić w ten sposób, że używanie nazw bez denotacji prowadzi do bezprzedmiotowych dyskusji i manipulacji. Arystoteles dopuszcza nazwy bez denotacji, przyjmując, że zdania atomowe, w których takie nazwy się pojawiają, są fałszywe5. Z kolei Łukasiewicz, formalizując sylogistykę i powołując się na Arystotelesa, eliminuje z języka sylogistyki nazwy indywidualne. 4Polskie wydanie tego tekstu opublikowano jako część książki „Pisma semantyczne" [10]. 5Porównanie tych dwóch podejść znaleźć można w pracy Z. Dywana [9]. Jak formalizować rachunek nazw? 17 „Po pierwsze, przesłanka 'Sokrates jest człowiekiem' jest zdaniem jednostkowym, ponieważ jej podmiot – 'Sokrates' – to termin indywiduowy. A przecież Arystoteles nie wprowadza do swego systemu terminów lub przesłanek jednostkowych"6. Podobne ograniczenie występuje u P. Geacha, który w łączeniu w tradycyjnej sylogistyce nazw indywidualnych i generalnych upatruje źródła zepsucia logiki7. Łukasiewicza formalizacja sylogistyki zakłada jednocześnie, że nazwy, które wstawiać można jako argumenty zdań kategorycznych, są niepuste, na co zwraca uwagę Słupecki, analizując Łukasiewiczowski system sylogistyki8. Odmienne podejście do omawianej kwestii prezentuje Leśniewski, dopuszczając w Ontologii wszelkie rodzaje nazw. W szczególności nie są eleminowane nazwy puste, gdyż Ontologia nie wymaga istnienia żadnego przedmiotu, oraz nazwy indywidualne, co uwidacznia się w przykładach przytaczanych przy omawianiu Ontologii9. W niniejszej pracy przyjmiemy rozwiązanie Leśniewskiego. Głównym motywem jest chęć jak najszerszego ujęcia teorii nazw w jednolitym formalizmie, bez wyłączania z niego jakichkolwiek nazw. Dodatkowo zbliżamy się w ten sposób do języka naturalnego, w którym wymienione kategorie nazw nie są wyraźnie rozgraniczone i ściśle przypisane do specyficznych kontekstów użycia. Innego typu wątpliwości wzbudza dopuszczalność zdań kategorycznych, w których dwa razy występuje ten sam argument. W logice współczesnej tego typu formuły są traktowane jako naturalne i mogą powstać w wyniku podstawienia tej samej wartości (stałej bądź zmiennej) w dowolnym wyrażeniu. Łukasiewicz w swoim systemie formalizującym sylogistykę Arystotelesa używa nawet formuł „każde S jest S" i „pewne S jest S" jako aksjomatów. Takie zdania nie występują jednak w podanym przez Arystotelesa opisie trybów sylogistycznych10. 6Łukasiewicz [32] str. 9-10. 7Zob. wykład „History of corruption in logic", wydany jako część książki [11], str. 44-62. 8Zob. książeczka „Z badań nad sylogistyką Arystotelesa" [55]. 9Dobrze znane są charakterystyczne przykłady pochodzące z książki T. Kotarbińskiego [19]: „Uran jest planetą" i „Jan III Sobieski jest zwycięzcą spod Wiednia". 10Faktycznie Arystoteles posługuje się tego typu zdaniami w innych rozważaniach, np. w „Analitykach pierwszych" II 64b. 18 Narzędzia formalne Fakt ten wiązać można ze wspomnianym już wymogiem, głoszącym że sylogizm ma prowadzić do nowej wiedzy, wyprowadzić na jego podstawie można „coś innego niż się założyło", a z drugiej strony to, co jest wyprowadzone, „musi wynikać dlatego, że się założyło". W tym kontekście zdania „każde S jest S" i „pewne S jest S" nie są przydatne, bo przy normalnym użyciu sylogizmów nic nowego z nich nie wynika ani same nie mogą stanowić nowej wiedzy wynikającej z pewnych założeń. Można, kierując się taką motywacją, podejmować próby tworzenia systemu formalnego w oparciu o język, z którego tego typu zdania są wyeliminowane. Zastosujemy jednak inne podejście, w którym będziemy zgodnie z praktyką logiki współczesnej dopuszczać tego typu wyrażenia jako poprawne syntaktycznie i analizować ich prawdziwość. Konkludując powyższe rozważania dotyczące dopuszczalności nazw w języku, przyjmujemy w niniejszej pracy rozwiązanie w ramach którego dopuszczamy używanie wszelkich nazw, bez ograniczeń nakładanych na podstawianie, a te formuły atomowe, których z różnych powodów nie chcemy uznać za prawidłowe, będziemy traktować jako syntaktycznie poprawne, lecz fałszywe (nie włączamy ich do zbioru tez). 1.1.3 Rozszerzenia języka Od strony językowej podstawą dla naszych rozważań jest język sylogistyki Arystotelesa w ujęciu Łukasiewicza, w którym występują zdania kategoryczne o postaci „każde S jest P" oraz „pewne S są P", połączone spójnikami pochodzącymi z klasycznego rachunku zdań. W różnych współczesnych formalizacjach język ten bywa wzbogacany o dodatkowe elementy. Przyjrzyjmy się krótko niektórym rozszerzeniom występującym w literaturze. Pierwsze z możliwych rozszerzeń języka rachunku nazw polega na dodaniu dodatkowych funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych. Tego typu rozszerzenie występuje w Ontologii Leśniewskiego, w której pierwotnym funktorem tego typu jest funktor ε (odczytywany jako „jest"), a na jego podstawie definiowane są funktory sylogistyki w różnych interpretacjach oraz inne funktory jednoargumentowe wyrażające cechy nazw związane z ich liczbą desygnatów oraz stałe nazwowe11. Cały szereg kolejnych funktorów tej samej kategorii co funktory sylogistyki można zbudować poprzez zestawienie możliwych stosunków pomiędzy zakresami dwóch nazw12. 11Definicje tych funktorów w ramach Ontologii podaje m.in. Słupecki [56]. 12Szerokie omówienie tego typu konstrukcji można znaleźć w pracy Suchonia [60]. Jak formalizować rachunek nazw? 19 Innym źródłem, z którego czerpać można funktory wzbogacające rachunek nazw, jest język naturalny. Tego typu inspirację ma funktor ε Leśniewskiego mający w intencji twórcy Ontologii formalizować użycie w języku polskim słowa „jest" bądź łacińskiego „est". Szczególnie interesujące wydaje się tu wprowadzenie do rachunku nazw formalnych odpowiedników angielskich zwrotów „is a" oraz „is the"13. Funktory, których będziemy używać w niniejszej pracy, zostaną wymienione w kolejnym podrozdziale w ramach formalnej definicji języka rachunku nazw. O wyborze zadecydowało ich osadzenie w tradycji logicznej oraz zbieżność z wypowiedziami z języka naturalnego. Innym znanym z literatury sposobem rozszerzenia rachunku nazw jest wprowadzenie do niego funktorów nazwotwórczych od argumentów nazwowych14. Wśród nich występują odpowiedniki dobrze znanych operacji na zbiorach w postaci negacji przynazwowej (odpowiadającej dopełnieniu zbiorów) oraz iloczynu i sumy nazw (odpowiadających iloczynowi i sumie zbiorów). Tego typu rozszerzeń podstawowego rachunku nazw nie będziemy w niniejszej rozprawie stosować z dwóch powodów. Pierwszy z nich jest merytoryczny. Wydaje się, że takie działania, dobrze funkcjonujące w odniesieniu do zbiorów, nie zawsze w sposób intuicyjnie wiarygodny dają się przenieść na nazwy. Nie każda nazwa ma intuicyjnie czytelne dopełnienie, a nie każda para nazw – sumę i iloczyn. Drugi powód ma charakter pragmatyczno-techniczny. Okazuje się bowiem, że nawet najprostsze środki pozwalają na ukazanie bogactwa systemów, a wprowadzenie dodatkowych elementów zaciemniałoby i tak już skomplikowany obraz możliwych formalizacji rachunku nazw. Ewentualne wzbogacenie rozpatrywanych systemów o odpowiedniki boolowskich operacji na zbiorach, przede wszystkim o negację przynazwową, pozostawimy jako temat przyszłych analiz. Innym bardzo interesującym rozszerzeniem języka rachunku nazw jest wprowadzenie do niego relacji15. Takie rozszerzenie sylogistyki na pewno warto przeanalizować również w ujęciu aksjomatycznym, wykracza to jednak poza zakres niniejszej pracy. Najsilniejszym od strony formalnej rozszerzeniem rachunku nazw jest wprowadzenie do niego standardowych kwantyfikatorów wiążących zmienne nazwowe. Tego typu podejście występuje w Ontologii Leśniewskiego. Takie 13Takie funktory występują m.in. w pracy Mossa [39]. 14Działania na nazwach występują m.in. w formalizacjach sylogistyki, pochodzących od A. Wedberga [67], J.C. Shepherdsona [51] i E.J. Lemmona [28]. 15Rozszerzenie to występuje w pracy Pratt-Hartmanna i Mossa [46]. 20 Narzędzia formalne rozszerzenie z jednej strony wzmacnia możliwości ekspresyjne języka, z drugiej jednak powoduje, że formułowane w nim teorie są znacznie trudniejsze z obliczeniowego punktu widzenia. Pełny rachunek kwantyfikatorów pierwszego rzędu jest bowiem nierozstrzygalny16. Leśniewski, tworząc Ontologię, miał na celu nie aksjomatyzację teorii nazw, lecz budowę fundamentów nauk formalnych w ogóle, jako alternatywę do rachunku zbiorów i systemu podstaw matematyki, przedstawionego przez Whiteheada i Russela w „Principia Matematica". W niniejszej rozprawie do języka rachunku nazw kwantyfikatorów wprowadzać nie będziemy. Podstawowym motywem dla tego wyboru jest formalna prostota systemów bezkwantyfikatorowych oraz ich niska złożoność obliczeniowa. Dodatkowo zauważyć można, że funktory sylogistyki stanowią tzw. kwantyfikatory języka naturalnego (w ich odczytaniu występują słowa „każde" i „pewne") i jednym z motywów budowania teorii nazw jest wykorzystanie jej do analizy wypowiedzi z języka naturalnego bez użycia standardowych kwantyfikatorów. 1.2 Definicja języka Zdefiniujemy teraz formalnie język rachunku nazw, który będzie używany w pracy. Alfabet rachunku składa się z następujących symboli: • zmienne nazwowe: S, P,M, . . . ,M1,M2, . . .; • dwuargumentowe funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych (w notacji infiksowej): – a (funktor tworzący zdania ogólnotwierdzące sylogistyki, np. formułę „SaP" odczytać należy jako „każde S jest P"), – i (funktor tworzący zdania szczegółowotwierdzące sylogistyki – „SiP" odczytać należy jako „pewne S są P"), – e (funktor tworzący zdania ogólnoprzeczące sylogistyki – „SeP" odczytać należy jako „żadne S nie jest P"), – o (funktor tworzący zdania szczegółowoprzeczące sylogistyki – „SoP" odczytać należy jako „pewne S nie są P"), 16Zob. np. w książce A. Grzegorczyka „Zarys logiki matematycznej" [14], Twierdzenie 42, str. 442. Definicja języka 21 – ε (funktor 'jest' Leśniewskiego – „SεP" odczytać neleży jako „S jest P"), – is the (funktor odpowiadający wyrażeniu „is the" z języka angielskiego a jednocześnie '=' z Ontologii Leśniewskiego – „S is the P" odczytać neleży jako „S jest obiektem identycznym z P"), – is a (funktor odpowiadający wyrażeniu „is a" z języka angielskiego – „S is a P" odczytać należy jako „S jest jednym z P"); • jednoargumentowe funktory zdaniotwórcze od argumentu nazwowego pochodzące z Ontologii Leśniewskiego: – sol (tworzący prawdziwe zdania dla nazw jednostkowych i pustych), – ob (tworzący prawdziwe zdania dla nazw jednostkowych – „ob(S)" odczytać można jako „S jest obiektem"), – ex (tworzący prawdziwe zdania dla nazw niepustych); • funktory klasycznego rachunku zdań: ¬ (negacja), ∧ (koniunkcja), ∨ (alternatywa), → (implikacja), ≡ (równoważność); • nawiasy. Dodatkowo używać będziemy następujących symboli metajęzykowych: • zmienne reprezentujące zmienne nazwowe17: X ,Y , . . . ,X1,X2, . . .; • zmienne reprezentujące wyrażenia zdaniowe: α, β, γ, . . . , α1, α2, . . .; • zmienne reprezentujące zbiory takich wyrażeń: Φ,Ψ, . . . ,Φ1,Φ2, . . .; • zmienne przyjęte do oznaczania zbiorów zbiorów wyrażeń zdaniowych: K,K1, K2, . . ., reguł (prowadzących od zbiorów formuł zdaniowych do formuł zdaniowych): r, r1, r2, . . ., zbiorów reguł: R,R1,R2, . . .; • quasi-cudzysłowy; 17Zmienne tego typu wykorzystywane będą do pisania o wyrażeniach, których kształt nie jest do końca określony. Formuły w języku zawierają jako argumenty funktorów specyficznych rachunku nazw zmienne nazwowe. Pisząc ogólnie o tych formułach, w sytuacjach, w których nie wiemy, jakie konkretnie zmienne nazwowe z języka są w nich użyte, będziemy stosowali dla ich nazywania zmienne metajęzykowe. 22 Narzędzia formalne • symbol asercji i wyprowadzalności: ` (` α oznacza, że α jest tezą, a α ` β oznacza, że β jest wyprowadzalne z α); • symbol odrzucania: a (a α oznacza, że α jest odrzucone) • podstawienia wyrażeń nazwowych za zmienne nazwowe w formułach i zbiorach formuł: e, e1, e2, . . .. Jeśli w danym kontekście nie będzie to prowadziło do nieporozumień będziemy opuszczać w tekście quasi-cudzysłowy oraz symbol asercji. Poprawnie zbudowaną formułę rachunku nazw możemy teraz zdefiniować indukcyjnie w następujący sposób. 1. Wyrażenia pXaYq, pX iYq, pX eYq, pX oYq, pX εYq, pX is the Yq, pX is a Yq, psol(X )q, pob(X )q, pex(X )q, gdzie X i Y reprezentują zmienne nazwowe, są poprawnie zbudowanymi formułami. 2. Jeżeli α jest poprawnie zbudowaną formułą, to p¬αq jest dobrze zbudowaną formułą. 3. Jeżeli α i β są poprawnie zbudowanymi formułami, to p(α ∧ β)q, p(α ∨ β)q, p(α → β)q i p(α ≡ β)q są poprawnie zbudowanymi formułami. Jeżeli nie będzie to prowadzić do nieporozumień, będziemy opuszczać nawiasy, przyjmując zwykłą kolejność wiązania funktorów. Wykorzystując łączność koniunkcji i alternatywy, będziemy również zamiast (α ∧ β) ∧ γ oraz α ∧ (β ∧ γ) pisać α ∧ β ∧ γ, a zamiast (α ∨ β) ∨ γ oraz α ∨ (β ∨ γ) – α ∨ β ∨ γ. Przy większej ilości wyrażeń połączonych funktorem koniunkcji (alternatywy) będziemy stosować zapis α1∧. . .∧αn (α1∨. . .∨αn), rozumiejąc go zgodnie z przyjętym zwyczajem. Przy definiowaniu konkretnych systemów rachunku nazw będziemy ograniczali ten język, używając jedynie wprost wymienionych funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych. Funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych pozostaną niezmienione. Dowolne wyrażenie, zbudowane z funktora zdaniotwórczego od argumentów nazwowych oraz jego argumentów, nazywać będziemy formułą atomową lub krótko – atomem. Dowolną koniunkcję formuł atomowych (także jednoelementową, tzn. po prostu formułę atomową) będziemy nazywać formułą elementarną. Niech α będzie formułą elementarną, a β formułą atomową. Teorie pierwszego rzędu, systemy aksjomatyczne i rezolucyjne 23 Każde wyrażenie o postaci α → β, ¬α lub β będziemy nazywać formułą hornowską18. Z kolei każde wyrażenie o postaci α → β lub β będziemy nazywać formułą definitywną. Formuły hornowskie oraz formuły o postaci α→ β1∨ . . .∨βn, n - 2, gdzie α jest formułą elementarną, a βi, (1 ¬ i ¬ n) formułami atomowymi, będziemy nazywać formułami klauzulowymi. Niech teraz α i β będą formułami elementarnymi. Jeżeli wszystkie atomy występujące jako elementy koniunkcji formuły β występują również w formule α, to będziemy pisać, że α zawiera β. Oczywiście, na gruncie klasycznego rachunku zdań w tej sytuacji dowodliwa jest implikacja α→ β. 1.3 Teorie pierwszego rzędu, systemy aksjomatyczne i rezolucyjne Po wprowadzeniu powyższych ustaleń terminologicznych powrócimy do problemu sformułowania rachunku nazw jako teorii aksjomatycznej. Nie chodzi w tym momencie o żaden konkretny system (te będą rozpatrywane w kolejnych rozdziałach), ale o samą zasadę formalizacji. Język, którym się posługujemy, traktować można jako fragment języka logiki pierwszego rzędu, w którym nieobecne są kwantyfikatory19. Każda z formuł może być traktowana jako otwarta formuła języka pierwszego rzędu i interpretowana wtedy jako poprzedzona kwantyfikatorami ogólnymi wiążącymi wszystkie występujące w niej zmienne nazwowe. Przyjmujemy następujące reguły wnioskowania: • reguła odrywania MP o postaci: ` α→ β;` α ` β ; 18Terminologia dotycząca wyrażeń o specyficznej formie pochodzi z teorii programowania w języku logiki, zob. [20, 29]. 19Zwykle wymaga się od teorii pierwszego rzędu, aby zmienne nazwowe w nich występujące miały charakter indywiduowy i reprezentowały nazwy konkretnych obiektów. W rachunku nazw zmienne nazwowe mają inny charakter – reprezentują dowolne nazwy. W związku z tym rachunek nazw nie jest typową teorią pierwszego rzędu. Jeśli nie wnikamy w to, jakiego typu zmienne nazwowe mamy w systemie, to rachunek nazw nie różni się od innych teorii pierwszego rzędu. Możemy do niego zastosować wszystkie formalne rezultaty dotyczące logiki pierwszego rzędu. 24 Narzędzia formalne • reguła podstawiania Sub o postaci: ` α ` e(α) , gdzie e jest dowolnym podstawieniem wyrażeń nazwowych za zmienne nazwowe. Aksjomatami są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku oraz specyficzne aksjomaty konkretnej teorii. Wyprowadzeniem formuły α ze zbioru formuł Φ będziemy nazywać ciąg formuł, którego każdy wyraz jest aksjomatem systemu, należy do zbioru Φ bądź został otrzymany z poprzednich wyrazów ciągu za pomocą jednej z reguł systemu, a ostatnim wyrazem tego ciągu jest formuła α. Niech ⊥ oznacza zdanie kontradyktoryczne (które jest w systemie równoważne α∧¬α), CnI będzie operacją konsekwencji w logice pierwszego rzędu, a Cn operacją konsekwencji określoną przez reguły MP i Sub oraz wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań jako aksjomaty. Obie reguły są dopuszczalne w logice pierwszego rzędu – jeżeli ich przesłanki są tezami, to wniosek też jest tezą, a aksjomaty są jej tezami. Wobec tego możemy zauważyć następującą prawidłowość. Obserwacja 1. Jeżeli ⊥ ∈ Cn(Φ), to ⊥ ∈ CnI(Φ). Układ przedmiotów z dowolnej dziedziny (indywiduów, klas, relacji) jest modelem dla formuły wtedy i tylko wtedy, gdy po przyporządkowaniu przedmiotów tego układu wszystkim stałym i zmiennym symbolom, które występują w danej formule, otrzymujemy zdanie prawdziwe. Układ przedmiotów jest modelem dla zbioru formuł wtedy i tylko wtedy, gdy jest modelem dla wszystkich formuł z tego zbioru przy tym samym dla wszystkich formuł przyporządkowaniu przedmiotów stałym i zmiennym. Formułę oraz zbiór formuł, dla których nie istnieje model, nazywać będziemy niespełnialnymi. W dalszych rozważaniach wykorzystamy twierdzenie Gödla o pełności logiki pierwszego rzędu20. Twierdzenie 1. ⊥ ∈ CnI(Φ) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór Φ jest niespełnialny. 20Zob. np. [14], Twierdzenie 25, str. 271. Teorie pierwszego rzędu, systemy aksjomatyczne i rezolucyjne 25 Przedstawimy teraz podstawowe pojęcia i rezultaty z zakresu rezolucyjnego ujęcia logiki. Dowolny atom oraz negację atomu ustalonego języka nazywać będziemy literałem, przy czym atom nazywać będziemy też literałem pozytywnym, a negację atomu – negatywnym. Dowolny skończony zbiór literałów nazywać będziemy klauzulą. Klauzulę pustą oznaczać będziemy symbolem ¤. Klauzulę stanowiącą sumę zbioru literałów pozytywnych: Φ = {α1, . . . , αm} oraz negatywnych Ψ = {¬β1, . . . ,¬βn}, gdzie m,n - 0, będziemy zapisywać następująco: Φ← Ψ′, gdzie Ψ′ = {β1, . . . , βn}. Zbiory Φ oraz Ψ′ będziemy nazywać odpowiednio lewą i prawą stroną tej klauzuli. Dla uproszczenia, w zapisie klauzul będziemy, zgodnie ze zwyczajem, zapisywać sumę zbiorów przy użyciu przecinka oraz zaniedbywać różnicę pomiędzy jednoelementowymi zbiorami i ich elementami, i tak np. zamiast pisać: {α} ∪ Φ, będziemy pisali: α,Φ. W tej konwencji wspomnianą wyżej klauzulę możemy zapisać również następująco: α1, . . . , αm ← β1, . . . , βn. Intuicyjnie niepusta klauzula reprezentuje alternatywę swoich elementów, a klauzula pusta odpowiada zdaniu kontradyktorycznemu. Układ przedmiotów jest modelem dla klauzuli wtedy i tylko wtedy, gdy jest modelem dla co najmniej jednej formuły należącej do tej klauzuli. Niech będzie dany pewien układ przedmiotów i ustalone przyporządkowanie przedmiotów tego układu do wszystkich stałych i zmiennych symboli, które występują w pewnym zbiorze klauzul. Wybrany układ jest modelem dla zbioru klauzul wtedy i tylko wtedy, gdy przy ustalonym przyporządkowaniu układ ten jest modelem dla wszystkich klauzul z rozpatrywanego zbioru. Zbiór klauzul, dla którego nie istnieje model, nazywać będziemy niespełnialnym. Dla klauzul rozpatruje się regułę rezolucji (Rezk) o schemacie: Φ1 ← Ψ1, α1;α2,Φ2 ← Ψ2 e1(Φ1), e2(Φ2)← e1(Ψ1), e2(Ψ2) , gdzie α1 i α2 są atomami, Φ1, Φ2, Ψ1 oraz Ψ2 są skończonymi zbiorami atomów, natomiast e1 i e2 są podstawieniami, takimi że e1(α1) = e2(α2). Klauzule Φ1 ← Ψ1, α1 oraz α2,Φ2 ← Ψ2 będziemy nazywali odpowiednio lewą i prawą przesłanką reguły rezolucji. Atomy α1 i α2 będziemy określali 26 Narzędzia formalne jako zunifikowane przez podstawienia e1 i e2. W przypadku konkretnego użycia reguły rezolucji odpowiednie atomy występujące w roli α1 i α2 w regule określać będziemy jako wyeliminowane przez to użycie. Wyprowadzenie klauzuli Φ ze zbioru klauzul K rozumiemy, analogicznie do wyprowadzenia formuły ze zbioru formuł, jako ciąg klauzul, zawierający jako swój ostatni element klauzulę Φ, którego każdy wyraz należy do zbioru K lub został otrzymany z poprzednich wyrazów przy użyciu reguły rezolucji (Rezk). W podstawowej dla ujęcia rezolucyjnego pracy [49] J.A. Robinson sformułował następujące twierdzenie21: Twierdzenie 2. Niech CnRez będzie operacją konsekwencji wyznaczoną jedynie przez regułę Rezk, a K skończonym zbiorem klauzul. Zbiór K jest niespełnialny wtedy i tylko wtedy, gdy ¤ ∈ CnRez(K). Intuicyjny związek pomiędzy klauzulą a wyrażeniem języka rachunku nazw będącym alternatywą jej elementów możemy rozszerzyć do dowolnych formuł i sformalizować poprzez zdefiniowanie przekształcenia formuł języka rachunku nazw na zbiór klauzul. Otrzymany zbiór klauzul nazywać będziemy postacią klauzulową formuły. Każda formuła może być przy użyciu praw KRZ przekształcona do formuły równoważnej będącej w koniunkcyjno-alternatywnej postaci normalnej: α1 ∧ . . . ∧ αn, n - 1, (1.1) gdzie αi, 0 ¬ i ¬ n są alternatywami literałów. Do przekształcenia wystarczy wykorzystać schemat ekstensjonalności dla równoważności w klasycznym rachunku zdań: Jeżeli (α ≡ β) to γ ≡ γ(α//β), (1.2) gdzie γ(α//β) jest formułą otrzymaną z γ przez zastąpienie dowolnej ilości wystąpień formuły α przez formułę β; oraz następujące prawa tego rachunku: (α ≡ β) ≡ ((α→ β) ∧ (β → α)), (1.3) (α→ β) ≡ (¬α ∨ β), (1.4) ¬(α ∧ β) ≡ (¬α ∨ ¬β), (1.5) ¬(α ∨ β) ≡ (¬α ∧ ¬β), (1.6) 21Resolution Theorem, str. 30. Teorie pierwszego rzędu, systemy aksjomatyczne i rezolucyjne 27 ((α ∧ β) ∨ γ) ≡ ((α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ)), (1.7) (α ∨ (β ∧ γ)) ≡ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)). (1.8) Postać klauzulową formuły definiujemy następująco: • postacią klauzulową alternatywy literałów jest jednoelementowy zbiór klauzul zawierający jako swój element zbiór literałów tworzących tę alternatywę; • postacią klauzulową koniunkcji alternatyw elementarnych (wyrażenia, które jest w koniunkcyjno-alternatywnej postaci normalnej) jest suma postaci klauzulowych jej czynników; • postacią klauzulową dowolnej formuły jest postać klauzulowa równoważnego jej wyrażenia w koniunkcyjno-alternatywnej postaci normalnej. Przekształcenie możemy rozszerzyć na zbiory formuł. Postacią klauzulową zbioru formuł jest suma postaci klauzulowych jego elementów. Określenie postaci klauzulowej oraz niespełnialności dla zbiorów formuł i zbiorów klauzul gwarantuje słuszność następującej obserwacji: Obserwacja 2. Zbiór formuł jest niespełnialny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór klauzul stanowiący jego postać klauzulową jest niespełnialny. Reguła rezolucji może w systemie aksjomatycznym zostać zastąpiona przez połączenie reguły Sub oraz następującej reguły Rezf 22: α1 → β1 ∨ γ; γ ∧ α2 → β2 α1 ∧ α2 → β1 ∨ β2 , gdzie γ jest formułą atomową, α1, α2 są formułami elementarnymi bądź są równoważne ¬⊥, zaś β1 i β2 są alternatywami formuł atomowych (możliwie jednoelementowymi, tzn. atomami) bądź są równoważne ⊥. Formuły ¬⊥ i ⊥ są odpowiednikami zbiorów pustych, które mogą wystąpić w odpowiednich miejscach w regule rezolucji dla klauzul. Ze względu na to, że formuła: (α1 → β1 ∨ γ) ∧ (γ ∧ α2 → β2)→ (α1 ∧ α2 → β1 ∨ β2) (1.9) 22Taka forma wprowadzenia do systemu reguły rezolucji występuje np. w książce [3]. 28 Narzędzia formalne jest tezą klasycznego rachunku zdań, reguła Rezf jest dopuszczalna w rozpatrywanych przez nas systemach rachunku nazw. Fakt ten prowadzi do następującej obserwacji: Obserwacja 3. Niech Φ będzie dowolnym zbiorem formuł języka rachunku nazw, a K postacią klauzulową tego zbioru. Jeżeli ¤ ∈ CnRez(K), to ⊥ ∈ Cn(Φ). Zestawienie Twierdzenia 1, Twierdzenia 2 oraz Obserwacji 1, Obserwacji 2 i Obserwacji 3 prowadzi do następującego lematu określającego relację między interesującymi nas systemami aksjomatycznymi a systemami rezolucyjnymi. Lemat 1. Niech Φ będzie skończonym zbiorem formuł języka rachunku nazw, a K zbiorem klauzul stanowiącym jego postać klauzulową. Następujące stwierdzenia są równoważne: (i) ¤ ∈ CnRez(K); (ii) ⊥ ∈ Cn(Φ); (iii) ⊥ ∈ CnI(Φ). W dalszym ciągu interesować nas będzie, jak przy pomocy podejścia rezolucyjnego sprawdzić, czy dana formuła α języka rachunku nazw jest tezą systemu aksjomatycznego, którego aksjomaty specyficzne tworzą skończony zbiór Φ, tzn. czy α ∈ Cn(Φ). Na potrzeby tych rozważań, w celach czysto technicznych, rozszerzymy język, którym się posługujemy o stałe nazwowe. Nie będą one występować w formułach języka rachunku nazw, bedą wykorzystywane jedynie w procedurach dowodowych, opartych o regułę rezolucji oraz związanych z nimi dowodach założeniowych. Tego typu stałe nazwowe nie są więc z intuicyjnego punktu widzenia nazwami konkretnych przedmiotów ze świata pozajęzykowego, jak zwykle rozumie się stałe nazwowe, lecz wyrażeniami nazwowymi, mającymi tę własność, że nie można za nie nic podstawić. Zaczniemy od sformułowania i udowodnienia twierdzenia o dedukcji dla operacji Cn23. Twierdzenie 3. Niech Φ będzie skończonym zbiorem formuł, β dowolną formułą, a α formułą nie zawierającą zmiennych. Jeżeli β ∈ Cn(Φ ∪ {α}), to pα→ βq ∈ Cn(Φ). 23Twierdzenie występuje w pracy [22] jako Lemat 1. Teorie pierwszego rzędu, systemy aksjomatyczne i rezolucyjne 29 Dowód. Przeprowadzimy indukcję ze względu na liczbę zastosowań reguł w wyprowadzeniu, tzn. taką liczbę k, że γ ∈ Cnk(Ψ), gdy γ daje się wyprowadzić z Ψ przy k-krotnym użyciu jednej z reguł MP lub Sub. Oczywiście, Cn(Ψ) = ⋃{Cnk(Ψ)}. Udowodnimy indukcyjnie następującą zależność: dla każdego k jeżeli β ∈ Cnk(Φ ∪ {α}), to pα→ βq ∈ Cn(Φ). (1.10) Niech k = 0, co oznacza, że β ∈ (Φ ∪ {α}). Jeżeli β = α, to ponieważ pα → αq ∈ Cn(∅) ⊆ Cn(Φ) mamy również pα → βq ∈ Cn(Φ). Jeżeli zaś β ∈ Φ, to, ponieważ pβ → (α → β)q ∈ Cn(∅) ⊆ Cn(Φ) stosując regułę odrywania MP , otrzymamy pα→ βq ∈ Cn(Φ). Załóżmy teraz indukcyjnie, że (1.10) zachodzi dla każdego k < l oraz, że β ∈ Cnl(Φ ∪ {α}). Jeżeli formuła β została otrzymana przy użyciu reguły odrywania MP , to istnieje formuła γ oraz liczby naturalne m,n < l takie, że γ ∈ Cnm(Φ⋃{α}) oraz pγ → βq ∈ Cnn(Φ⋃{α}). Z założenia indukcyjnego mamy stąd pα → γq, pα → (γ → β)q ∈ Cn(Φ), i dalej, pα→ βq ∈ Cn(Φ). Jeżeli natomiast formuła α została otrzymana przy użyciu reguły podstawiania Sub, to istnieje formuła γ oraz liczba naturalna n < l taka, że γ ∈ Cnn(Φ⋃{α}) i podstawienie e takie, że β = e(γ). Na mocy założenia indukcyjnego pα → γq ∈ Cn(Φ). Stosując regułę podstawiania Sub, otrzymujemy e(α→ γ) ∈ Cn(Φ). Ze względu na to, że α nie zawiera zmiennych e(α) = α, a zatem e(α→ γ) = α→ β. Stąd pα→ βq ∈ Cn(Φ). ¥ Wykorzystamy jeszcze następujący lemat: Lemat 2. Niech Φ będzie skończonym zbiorem formuł, α formułą, a Const = {c1, c2, . . .} przeliczalnym zbiorem stałych nazwowych, które nie występują w Φ ani w α. Niech dalej α∗ będzie formułą otrzymaną z α przez podstawienie za wszystkie zmienne różnych stałych ze zbioru Const. α∗ ∈ Cn(Φ) wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ Cn(Φ) Dowód. Dowód jest taki sam jak analogicznego twierdzenia dla logiki pierwszego rzędu24. Wystarczy zauważyć, że w wyprowadzeniu formuły α∗ z formuł ze zbioru Φ można zastąpić stałe ze zbioru Const zmiennymi, za które te stałe zostały podstawione dla otrzymania z formuły α formuły α∗. Ponieważ stałe ze zbioru Const nie występują w Φ ani w α, otrzymany ciąg będzie wyprowadzeniem wyrażenia α z tych samych formuł ze zbioru Φ. ¥ 24Por. Twierdzenie 14, str. 196 w [14]. 30 Narzędzia formalne Powyższe twierdzenia pozwalają na scharakteryzowanie operacji konsekwencji związanej z aksjomatycznymi systemami rachunku nazw poprzez następujące twierdzenie25: Twierdzenie 4. Niech Φ będzie skończonym zbiorem wyrażeń rachunku nazw, α formułą tego rachunku, Const = {c1, c2, . . .} przeliczalnym zbiorem stałych nazwowych, które nie występują w Φ ani w α, a α∗ formułą otrzymaną z α przez podstawienie za wszystkie zmienne różnych stałych ze zbioru Const. Niech dalej K będzie zbiorem klauzul, stanowiącym postać klauzulową zbioru Φ ∪ {¬α∗}. Następujące warunki są równoważne: (i) ¤ ∈ CnRez(K); (ii) α ∈ Cn(Φ); (iii) α ∈ CnI(Φ). Dowód. (i) → (ii). Załóżmy, że ¤ ∈ CnRez(K). Na mocy Lematu 1 wynika stąd, że ⊥ ∈ Cn(Φ ∪ {¬α∗}). Na mocy Twierdzenia 3, które możemy zastosować, ponieważ ¬α∗ nie zawiera zmiennych, wynika stąd, że ¬α∗ → ⊥ ∈ Cn(Φ), i dalej, α∗ ∈ Cn(Φ). Dzięki Lematowi 2 wynika stąd, że α ∈ Cn(Φ). (ii) → (iii). Zależność zachodzi, ponieważ reguły definiujące operacje Cn są zachowane przez operację CnI . (iii) → (i). Załóżmy, że α ∈ CnI(Φ). Stosując regułę podstawiania obowiązującą w ramach operacji CnI otrzymamy α∗ ∈ CnI(Φ). Ponieważ operacja CnI jest oparta na klasycznym rachunku zdań, ⊥ ∈ CnI(Φ ∪ {¬α∗}). Na mocy Lematu 1 w tej sytuacji ¤ ∈ CnRez(K). ¥ 1.4 Implikacje, reguły i wyprowadzenia Ograniczenie w systemach rezolucyjnych zbioru reguł do jedynej reguły rezolucji pozwala na zaobserwowanie interesujących prawidłowości dotyczących wyprowadzalności, w szczególności dotyczących formuł klauzulowych i hornowskich. Rozpocznijmy od następujących lematów dotyczących przesuwania pewnych elementów wewnątrz wyprowadzenia. 25Twierdzenie 1 w pracy [22]. Implikacje, reguły i wyprowadzenia 31 Lemat 3. W dowolnym wyprowadzeniu w systemie z regułą rezolucji jako jedyną regułą można użycie reguły rezolucji z zastosowaniem jednoelementowej klauzuli jako jednej z przesłanek przesunąć w wyprowadzeniu przed lub za inne zastosowanie reguły rezolucji. Dowód. Rozważmy najpierw sytuację przesuwania użycia interesującego nas przypadku rezolucji przed inne jej użycie. Weźmy pod uwagę przykład, w którym z klauzul: α1,Φ1 ← Ψ1, β1 (1.11) i β2,Φ2 ← Ψ2 (1.12) wyprowadzona jest klauzula: e1(α1), e1(Φ1), e2(Φ2)← e1(Ψ1), e2(Ψ2), (1.13) gdzie e1 i e2 są podstawieniami takimi, że e1(β1) = e2(β2), i dalej, z klauzuli (1.13) oraz ∅ ← α (1.14) wyprowadzona jest klauzula: e3(e1(Φ1)), e3(e2(Φ2))← e3(e1(Ψ1)), e3(e2(Ψ2)), (1.15) gdzie e i e3 są podstawieniami takimi, że e(α) = e3(e1(α1)). W tej sytuacji, ponieważ e(α) = e3(e1(α1)), z klauzul (1.14) i (1.11) można wyprowadzić klauzulę: e3(e1(Φ))← e3(e1(Ψ)), e3(e1(β)). (1.16) Ponieważ e1(β1) = e2(β2), mamy również e3(e1(β1)) = e3(e2(β2)). Zatem z klauzul (1.16) i (1.12) możemy otrzymać klauzulę (1.15). Powyższe przekształcenie można zastosować niezależnie od tego, które z atomów α i α1 oraz β1 i β2, tworzących pary literałów eliminowanych poprzez zastosowanie reguły rezolucji, tworzą literały pozytywne (znajdują się po lewej stronie znaku „←"), a które negatywne (znajdują się po prawej stronie znaku „←"). W związku z tym zastosowanie reguły rezolucji z użyciem klauzuli jednoelementowej zawsze można przesunąć przed jej inne zastosowanie. 32 Narzędzia formalne Rozważmy teraz przykład przesunięcia użycia interesującego nas przypadku rezolucji za inne jej użycie. Niech z klauzul: ∅ ← α (1.17) i α1,Φ1 ← Ψ1, β1 (1.18) wyprowadzona będzie przy użyciu reguły rezolucji Rezk klauzula: e1(Φ1)← e1(Ψ1), e1(β1), (1.19) gdzie e i e1 są podstawieniami takimi, że e(α) = e1(α1), i dalej, z klauzuli (1.19) oraz β2,Φ2 ← Ψ2 (1.20) wyprowadzona jest klauzula: e3(e1(Φ1)), e2(Φ2)← e3(e1(Ψ1)), e2(Ψ2), (1.21) gdzie e3(e1(β1)) = e2(β2). W tej sytuacji, ponieważ e3(e1(β1)) = e2(β2), możemy z klauzul (1.18) i (1.20) wyprowadzić klauzulę: e3(e1(α1)), e3(e1(Φ1)), e2(Φ2)← e3(e1(Ψ1)), e2(Ψ2). (1.22) Ponieważ e1(α1) = α, mamy również e3(e1(α1)) = e3(e(α)). Możemy więc zastosować regułę rezolucji do klauzul (1.17) i (1.22) (stosując do nich odpowiednio podstawienia e3 ◦ e1 oraz e3 ◦ e, otrzymując w rezultacie klauzulę (1.21)). Tak jak w przypadku przesuwania interesującego nas zastosowania reguły rezolucji w przeciwną stronę, powyższe przekształcenie można zastosować niezależnie od tego, które z atomów α i α1 oraz β1 i β2, tworzących pary literałów eliminowanych poprzez zastosowanie reguły rezolucji, tworzą literały pozytywne (znajdują się po lewej stronie znaku „←"), a które negatywne (znajdują się po prawej stronie znaku „←"), a zatem zastosowanie reguły rezolucji z użyciem klauzuli jednoelementowej zawsze można przesunąć za inne zastosowanie. ¥ Implikacje, reguły i wyprowadzenia 33 Lemat 4. Jeżeli klauzulę Φ da się wyprowadzić ze zbioru klauzul K, to istnieje wyprowadzenie Φ z K, w którym wszystkie klauzule jednoelementowe, o ile w wyprowadzeniu występują, wykorzystane są w ostatnich zastosowaniach reguły rezolucji. Dowód. Na mocy Lematu 3 zastosowanie reguły rezolucji z klauzulą jednoelementową jako przesłanką można przesunąć w ramach wyprowadzenia za każde inne zastosowanie rezolucji. Sukcesywnie przesuwając w ten sposób wszystkie zastosowania reguły rezolucji z klauzulą jednoelementową na koniec wyprowadzenia, otrzymamy wyprowadzenie, o którego istnieniu mówi lemat. ¥ Obserwacja 4. Postacią klauzulową negacji formuły klauzulowej jest zbiór jednoelementowych klauzul. Postacią klauzulową negacji formuły definitywnej jest zbiór jednoelementowych klauzul, z których dokładnie jedna zawiera negatywny literał, a wszystkie inne zawierają pozytywne literały. Jeżeli w formule klauzulowej usuniemy z poprzednika lub następnika jakiś jej element, to otrzymamy formułę od niej silniejszą. Prawidłowość tę wyrazimy formalnie z wykorzystaniem funkcji str, przekształcającej formuły klauzulowe w zbiory formuł klauzulowych, zdefiniowanej w następujący sposób: Definicja 1. Niech α będzie formułą klauzulową o postaci: β1 ∧ . . . ∧ βm → γ1 ∨ . . . ∨ γn. str(α) jest zbiorem wszystkich implikacji, których poprzednikiem jest koniunkcja dowolnie wybranych elementów ze zbioru {β1, . . . , βn}, a następnikiem alternatywa dowolnie wybranych elementów ze zbioru {γ1, . . . , γn}. Następujące prawa rachunku zdań: dołączanie alternatywy w następniku i koniunkcji w poprzedniku implikacji: (α→ β)→ (α→ β ∨ γ), (1.23) (α→ β)→ (α ∧ γ → β), (1.24) tautologii dla koniunkcji i implikacji: (α ∧ α) ≡ α, (1.25) 34 Narzędzia formalne (α ∨ α) ≡ α (1.26) oraz symetryczności i łączności dla koniunkcji i alternatywy: α ∧ β ≡ β ∧ α, (1.27) α ∨ β ≡ β ∨ α, (1.28) (α ∧ β) ∧ γ ≡ α ∧ (β ∧ γ), (1.29) (α ∨ β) ∨ γ ≡ α ∨ (β ∨ γ) (1.30) uzasadniają poniższą obserwację. Obserwacja 5. Jeżeli α ∈ str(β), to α→ β. Twierdzenie 5. Niech α będzie formułą klauzulową, a Φ zbiorem formuł klauzulowych. Następujące warunki są równoważne: (i) istnieje formuła β ∈ str(α), która daje się wyprowadzić z Φ przy użyciu reguły rezolucji dla formuł Rezf i reguły podstawiania Sub; (ii) α ∈ Cn(Φ). Dowód. Zachodzenie zależności (i) → (ii) jest oczywiste, zważywszy na dopuszczalność reguły Rezf na gruncie klasycznego rachunku zdań. Dla pokazania zależności (ii) → (i) załóżmy, że α = (α1 ∧ . . . ∧ αm → β1 ∨ . . . ∨ βn) ∈ Cn(Φ), (m,n - 0). Niech α∗ będzie rezultatem podstawienia za wszystkie zmienne w α różnych stałych, które nie występują w α ani w Φ. Ponieważ α i – co za tym idzie – α∗ są formułami klauzulowymi, zgodnie z obserwacją (4) postać klauzulowa ¬α∗ jest zbiorem jednoelementowych klauzul: {α1 ← ∅, . . . , αm ← ∅, ∅ ← β1, . . . , ∅ ← βn}, który oznaczymy L. Niech K będzie postacią klauzulową Φ. Z Twierdzenia 4 mamy wtedy ¤ ∈ CnRez(K ∪L). Z Lematu 4 wynika, że istnieje wyprowadzenie klauzuli ¤ ze zbioru K ∪ L, w którym wszystkie występujące w nim elementy zbioru L są wykorzystane w ostatnich krokach wyprowadzenia. Ponieważ atomy występujące w klauzulach ze zbioru L odpowiadają atomom z formuły α (zbudowane są przy użyciu tych samych funktorów), a w miejsce zmiennych występujących w α występują w tych klauzulach różne stałe niewystępujące w Φ, w wyprowadzeniu bezpośrednio przed atomami z L musi Implikacje, reguły i wyprowadzenia 35 znajdować się klauzula Ψ, która zawiera jako pozytywne literały elementy ze zbioru {β1, . . . , βn}, a jako negatywne – negacje elementów ze zbioru {α1, . . . , αm}. W wyprowadzeniu tym przed klauzulą Ψ nie znajduje się żaden element ze zbioru L, a więc początkowy fragment wyprowadzenia, kończący się na klauzuli Ψ, stanowi wyprowadzenie klauzuli Ψ ze zbioru K. Ponieważ Φ zawiera jedynie formuły klauzulowe, wyprowadzenie klauzuli Ψ ze zbioru klauzul K możemy bezpośrednio przekształcić na wyprowadzenie ze zbioru formuł Φ, w którym stosowana jest jedynie reguła rezolucji dla formuł Rezf i reguła podstawiania Sub wyrażenia klauzulowego, w którego poprzedniku znajduje się koniunkcja pewnych elementów zbioru {α1, . . . , αm}, a w następniku alternatywa pewnych elementów zbioru {β1, . . . , βn}. Wyrażenie to jest elementem zbioru str(α). ¥ Obserwacja 6. W wyniku zastosowania reguły rezolucji dla formuł Rezf do przesłanek, które są formułami definitywnymi, otrzymuje się formułę definitywną. W wyniku zastosowania reguły rezolucji dla formuł Rezf do przesłanek, które są formułami hornowskimi otrzymuje się formułę hornowską. Stosując więc regułę rezolucji w zbiorze klauzul definitywnych (hornowskich) otrzymać można jedynie formuły definitywne (hornowskie). Zestawiając tę obserwację z Twierdzeniem 5, otrzymamy bezpośrednio pokazane przez J.C.C. McKinseya26 twierdzenie dotyczące teorii hornowskich. Twierdzenie 6. Niech α będzie formułą elementarną, a βi (1 ¬ i ¬ n) atomami. Jeżeli wszystkie aksjomaty bezkwantyfikatorowej teorii opartej na klasycznym rachunku zdań są formułami hornowskimi, to formuła α→ β1 ∨ . . . ∨ βn jest tezą tej teorii wtedy i tylko wtedy, gdy tezą jest przynajmniej jedna z formuł α→ β1, . . . , α→ βn. Powyższe rezultaty pozwalają na ponowne przyjrzenie się relacjom pomiędzy formalizacją rachunku nazw w postaci systemu aksjomatycznego nadbudowanego nad klasycznym rachunkiem zdań a formalizacją opartą na regułach. W systemach regułowych rachunku nazw podstawowym elementem 26Zob. [38]. W kontekście systemów rezolucyjnych twierdzenie przedstawione i udowodnione jest również w pracy [22]. 36 Narzędzia formalne formalizacji są reguły. Każda z reguł zbudowana jest ze zbioru przesłanek i z wniosku, a każda z przesłanek i wniosek są formułami atomowymi języka rachunku nazw. Ograniczamy się do reguł, których zbiory przesłanek są skończone. Przedmiotem analizy są dwie kwestie: (1) czy z danego zbioru wyrażeń atomowych języka Φ przy użyciu reguł ze zbioru R da się wyprowadzić jakieś wyrażenie atomowe języka α, (2) czy jakaś reguła wtórna r jest wyprowadzalna ze zbioru reguł R. W pierwszej z poruszonych kwestii mamy do czynienia z sytuacją, w której reguły można stosować wielokrotnie i formuła uzyskana jako rezultat zastosowania reguły może być przesłanką w kolejnym jej użyciu. Zwróćmy uwagę, że nie wszystkie elementy zbioru Φ muszą być użyte w wyprowadzeniu. W ujęciu aksjomatycznym możemy sformułować analogiczny problem. Zamiast dowolnej reguły ze zbioru R możemy użyć implikacji, której poprzednikiem jest koniunkcja przesłanek, a następnikiem wniosek reguły. Implikacje takie są oczywiście formułami definitywnymi. Poniższa prawidłowość wynika wprost z definicji operacji Cn, w której obecne są reguła odrywania MP i podstawiania Sub, oraz z Twierdzenia 5. Obserwacja 7. Niech α będzie formułą atomową języka rachunku nazw, Φ zbiorem formuł atomowych języka rachunku nazw, a R zbiorem reguł. Niech dalej Ψ będzie zbiorem wszystkich formuł definitywnych odpowiadających regułom ze zbioru R. α jest wyprowadzalne ze zbioru Φ przy użyciu reguł za zbioru R wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ Cn(Φ ∪Ψ). W sformułowaniu drugiej kwestii pojawia się pojęcie reguły wtórnej, związane z przekształceniem reguł. Takie przekształcanie może być określane na różne sposoby. W pracy [46] nowe reguły otrzymywane są w sposób następujący: Niech r1 i r2 będą regułami o schematach odpowiednio: {α1, . . . , αm}/α oraz {β1, . . . , βn}/β. Nową regułę możemy otrzymać, o ile dla pewnego i, 1 ¬ i ¬ m αi = β. (Przy różnicach pomiędzy αi oraz β sprowadzających się do kształtu zmiennych, Implikacje, reguły i wyprowadzenia 37 można tak przeformułować którąś z reguł poprzez wymianę zmiennych, aby te różnice zlikwidować.) Nowa reguła przyjmie postać: {β1, . . . , βn, α1, . . . , αi−1, . . . , αi+1, . . . , αm}/α. Łatwo zauważyć, że treściowo sposób ten odpowiada dokładnie regule rezolucji. Fakt ten w połączeniu z Twierdzeniem 5 wyraża następująca obserwacja: Obserwacja 8. Niech r będzie regułą, R zbiorem reguł, α formułą definitywną odpowiadającą regule r, a Ψ zbiorem wszystkich formuł definitywnych odpowiadających regułom ze zbioru R. Reguła r jest wyprowadzalna ze zbioru R wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ Cn(Ψ). Zauważmy, że stosowanie tej procedury nie pozwala na dodanie do zbioru przesłanek dodatkowych elementów, odpowiadające wzmacnianiu poprzednika implikacji dopuszczalnemu w klasycznym rachunku zdań. Podsumowując, możemy stwierdzić, że podejście aksjomatyczne i regułowe różnią się głównie formalnie. Jeżeli skupimy się w podejściu aksjomatycznym na formułach definitywnych, to zauważymy, że można je przełożyć na reguły i odwrotnie, a wszelkie interesujące rozumowania można w obie strony przetłumaczyć. Użycie rachunku zdań ogranicza się w tym wypadku do reguły rezolucji dla formuł Rezf schematu ekstensjonalności dla równoważności (1.2) oraz praw rachunku zdań oznaczonych jako formuły (1.24) – (1.30). Formuła (1.24) ma zastosowanie jedynie w przypadku zagadnienia (1). Dodatkowo, rozszerzenie do pełnego klasycznego rachunku zdań można ograniczyć do praw pozwalających na sprowadzenie dowolnej formuły do postaci normalnej, tzn. formuł (1.3) – (1.8). Odnieśmy teraz powyższe rezultaty do sylogistyki, powracając w ten sposób do kwestii postawionej na początku tego rozdziału. Formułami atomowymi w sylogistyce są zdania kategoryczne (SaP , SiP , SeP oraz SoP ). Język rachunku nazw jest więc tu ograniczony poprzez użycie jedynie tych funktorów sylogistyki. Jak zauważyliśmy, sylogizmom rozpatrywanym przez Arystotelesa i w logice tradycyjnej odpowiadają w ujęciu aksjomatycznym formuły o postaci 38 Narzędzia formalne implikacji, której poprzednikiem jest koniunkcja wyrażeń atomowych będących przesłankami sylogizmu, a następnikiem wyrażenie atomowe będące wnioskiem. Są one więc w naszej terminologii formułami definitywnymi. W związku z tym możemy wprost zastosować powyższe rezultaty. Charakterystyczną cechą systemu sylogistyki, zaproponowanego przez Łukasiewicza, którą posiadają również systemy rozpatrywane w niniejszej pracy, jest to, że w systemie tylko funktory i oraz a, tworzące zdania pozytywne o postaci SaP i SiP , są terminami pierwotnymi, a funktory e oraz i, tworzące zdania negatywne, potraktowane są jako skróty definicyjne, określone według następujących defionicji: SeP =df ¬SiP ; (1.31) SoP =df ¬SaP ; (1.32) W rezultacie negatywne zdania kategoryczne sylogistyki nie są wyrażeniami atomowymi systemu Łukasiewicza, a sylogizm zawierający zdania kategoryczne negatywne przyjmie postać inną niż formuła definitywna (ani czynniki poprzednika, ani następnik implikacji, która reprezentuje sylogizm, nie muszą być atomami). Jednakże przy zastosowaniu praw rachunku zdań: α ∧ ¬β → γ ≡ α→ β ∨ γ (1.33) oraz α→ β ∨ ¬γ ≡ α ∧ γ → β (1.34) lub α→ ¬β ≡ ¬(α ∧ β) (1.35) możemy znaleźć formułę klauzulową odpowiadającą tego typu sylogizmowi27, a więc rezultaty niniejszego podrozdziału mają do nich zastosowanie. 27Stosując prawidła dotyczące sylogizmów znane z logiki tradycyjnej: (i) tylko jedna przesłanka sylogizmu może być negatywna oraz (ii) jeżeli wśród przesłanek jest przesłanka negatywna, to wniosek też musi być negatywny moglibyśmy w tym miejscu ograniczyć się do formuł hornowskich, lecz dotyczy to tylko klasycznej sylogistyki. Rozstrzygalność definitywnych teorii opartych na KRZ 39 1.5 Rozstrzygalność definitywnych teorii opartych na klasycznym rachunku zdań W oparciu o Twierdzenie 4 zbudujemy procedurę decyzyjną dla problemu wyprowadzalności w ramach teorii definitywnych określonych w języku rachunku nazw, tzn. dla odpowiedzi na pytanie czy dana formuła α należy do zbioru Cn(Φ), gdy Φ jest zbiorem formuł definitywnych. Na mocy wspomnianego twierdzenia, dla skończonego zbioru dowolnych formuł Φ zachodzi α ∈ Cn(Φ) wtedy i tylko wtedy, gdy ¤ ∈ CnRez(K), gdzie K jest zbiorem klauzul stanowiącym postać klauzulową zbioru Φ ∪ {¬α∗}, a α∗ formułą otrzymaną z α przez podstawienie za wszystkie zmienne różnych stałych nie występujących w α ani w Φ. W dalszych rozważaniach ograniczymy się do formuł definitywnych, tzn. formuł o postaci: α1 ∧ . . . ∧ αn → β, gdzie n - 0, a αi (0 ¬ i ¬ n) oraz β są formułami atomowymi. Postać klauzulową takiej formuły stanowi jednoelementowy zbiór klauzul zwierający następującą klauzulę: β ← α1, . . . , αn, a postać klauzulowa negacji tego typu formuły przyjmuje postać następującego zbioru jednoelementowych klauzul: {∅ ← β, α1 ← ∅, . . . , αn ← ∅} W rozptrywanej przez nas sytuacji, w której zbiór formuł Φ ∪ {α} zawiera jedynie formuły definitywne, zdefiniowany powyżej zbiór klauzul K, stanowiący postać klauzulową zbioru formuł Φ ∪ {¬α∗}, zawiera więc dokładnie jedną klauzulę z pustą lewą stroną i jednoelementową prawą stroną, tzn. klauzulę o postaci: (A) ∅ ← α, a pozostałe klauzule są klauzulami definitywnymi z niepustą prawą stroną, tzn. przyjmują postać: (B) β ← α1, . . . , αn(n - 1), 40 Narzędzia formalne lub klauzulami definitywnymi z pustą prawą stroną, tzn. przyjmują postać: (C) β ← ∅, gdzie we wszystkich przypadkach α, β oraz αi (1 ¬ i ¬ n) są atomami. Aby w wyprowadzeniu rezolucyjnym mogła zostać na koniec otrzymana klauzula pusta, każdy z atomów występujących w klauzulach użytych w tym wyprowadzeniu musi zostać wyeliminowany przez jakieś użycie reguły rezolucji. Aby to było możliwe, dla każdego z atomów każdej klauzuli musi w wyprowadzeniu pojawić się klauzula, która zawiera po przeciwnej stronie znaku „←" atom, który będzie mu odpowiadał (taka para atomów będzie wspólnie wyeliminowana poprzez jakieś użycie reguły rezolucji28). W szczególności dla każdej występującej w nim klauzuli o postaci (B) musi w tym wyprowadzeniu znaleźć się n klauzul o postaci (C), odpowiadających elementom prawej strony tej klauzuli. Rozpatrzmy sytuację, w której w wyprowadzeniu prowadzącym do klauzuli pustej reguła rezolucji jest użyta do dwóch przesłanek o postaci (B). Niech prawa przesłanka ma postać: δ ← γ1, . . . , γm (m - 1). Jak zauważyliśmy, w naszym wyprowadzeniu dla każdego i (1 - i - m) musi występować klauzula γ′i ← ∅ taka, że atomy γi i γ′i są wspólnie wyeliminowane poprzez jakieś użycie reguły rezolucji. Na mocy Lematu 3 można wtedy tak przesunąć użycie tych klauzul, aby znalazły się przed interesującym nas użyciem reguły rezolucji. W tak przekształconym wyprowadzeniu prawa przesłanka będzie miała postać e(δ)← ∅, dla pewnego podstawienia e. W ten sposób można wyeliminować wszystkie użycia reguły rezolucji, w których obie przesłanki mają postać (B). Z kolei na mocy tego samego Lematu 3 użycie reguły rezolucji z wykorzystaniem jedynej w interesującym nas wyprowadzeniu klauzuli o postaci (A) można przesunąć na sam koniec wyprowadzenia. W przekształconym wyprowadzeniu wszystkie użycia reguły rezolucji mają jako prawą przesłankę formuły o postaci (C), a wszystkie, z wyjątkiem ostatniej, jako lewą przesłankę – klauzulę o postaci (B). W ostatnim użyciu reguły rezolucji jako lewa przesłanka użyta jest klauzula o postaci (A). Takie wyprowadzenie rezolucyjne można przedstawić bez zmiany jego istoty, w postaci dowodu założeniowego formuły definitywnej α w zbiorze formuł definitywnych Φ określonego w poniższej definicji. 28Może się zdarzyć, że w wyprowadzeniu, zanim atomy te zostaną wyeliminowane, na jednym z nich lub obu zostanie dokonane podstawienie. Niezależnie od tego, czy takie podstawienie ma miejsce czy też nie, atomy te da się zunifikować. Rozstrzygalność definitywnych teorii opartych na KRZ 41 Definicja 2. Niech Φ będzie zbiorem formuł definitywnych, a α formułą definitywną. Niech dalej Const = {c1, c2, . . .} będzie przeliczalnym zbiorem stałych nazwowych, które nie występują w Φ ani w α, a α∗ formułą otrzymaną z α przez podstawienie za wszystkie zmienne różnych stałych ze zbioru Const. Dowodem założeniowym α w Φ nazywać będziemy ciąg formuł (wyrazy tego ciągu będziemy nazywać wierszami), zbudowany w następujący sposób: • każdy wiersz dowodu jest uzyskany przy użyciu jednej z poniższych reguł dołączania nowych wierszy do dowodu: – do dowodu można dołączyć jako nowy wiersz każdy element poprzednika formuły α∗; – dla dowolnego β = γ1∧ . . .∧γn → δ (n - 0) należącego do Φ, jeżeli istnieje podstawienie e, takie że wierszami dowodu są wszystkie elementy poprzednika e(β), tzn. każde e(γi) (1 ¬ i ¬ n), to można dołączyć następnik e(β), tzn. formułę e(δ), o ile wierszem w dowodzie nie jest już e(δ) ani żadna formuła δ1, taka że istnieje podstawienie e1, takie że e(δ) = e1(δ1). • ostatnim wierszem dowodu jest następnik formuły α∗ bądź wyrażenie atomowe α1, takie że istnieje podstawienie e1, takie że e1(α1) jest identyczne z tym następnikiem. Twierdzenie 7. Niech Φ będzie zbiorem formuł definitywnych, a α formułą definitywną. α ∈ Cn(Φ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dowód założeniowy formuły α w Φ. Dowód. Powyższe rozważania pokazują, że ¤ ∈ CnRez(K), gdzie K jest zbiorem klauzul stanowiącym postać klauzulową zbioru Φ∪{¬α∗}, a α∗ formułą otrzymaną z α przez podstawienie za wszystkie zmienne różnych stałych, które nie występują w α ani w Φ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dowód założeniowy formuły α w Φ. Zatem na mocy Twierdzenia 4 zachodzi również dowodzona równoważność. ¥ Ponieważ dla ustalonego zbioru formuł definitywnych Φ i ustalonej formuły definitywnej α ilość stałych występujących w α∗ jest skończona, zawsze skończona jest również ilość atomów niesprowadzalnych do siebie przez podstawianie, które mogą być dołączone do dowodu. W związku z tym skończona jest także liczba potencjalnych dowodów, tzn. wszystkich ciągów powstałych zgodnie z regułami dołączania nowych wierszy do dowodu. W tej sytuacji 42 Narzędzia formalne procedura sukcesywnego dołączania wszystkich możliwych wierszy do dowodu jest procedurą decyzyjną. Jeżeli bowiem w takim ciągu pojawi się wyraz identyczny z następnikiem α∗ albo do niego sprowadzalny przez podstawianie, to α ∈ Cn(Φ), a jeżeli takiego wyrazu nie uzyska się, to α 6∈ Cn(Φ). Zdefiniowana powyżej procedura tworzenia dowodu założeniowego została zaimplementowana w postaci programu komputerowego w języku Prolog. Tekst programu znajduje się w Aneksie B. Przykłady użycia programu w zastosowaniu do systemów analizowanych w dalszej części pracy znajdują się w Aneksie C. 1.6 Pełność systemu bez formalnych modeli Przejdziemy teraz do zawartości treściowej formalizacji teorii nazw. Podstawowym kryterium oceny jej jakości jest adekwatność w stosunku do leżących u jej podstaw intuicji. Na adekwatność składają się dwie własności: poprawność29 i pełność. W przypadku systemu aksjomatycznego poprawność oznacza, że wszystkie tezy systemu są zgodne z leżącymi u podstaw systemu intuicjami, a pełność – że tezami systemu są wszystkie formuły, które przyjmowane są intuicyjnie, co jest równoznaczne z tym, że wszystkie wyrażenia, które nie są tezami, są zgodnie z intuicją odrzucane. W literaturze przedmiotu można znaleźć wiele sformułowań tej fundamentalnej intuicji różniących się nieco szczegółami. Przytoczymy poniżej kilka z nich. W pierwszych dwóch pojawia się pełność wprost dotycząca zbiorów formuł, a za kryterium intuicyjnego przyjmowania uznawana jest prawdziwość tych formuł (zdań). K. Ajdukiewicz używa pojęcia pełności, rozumianego w sposób następujący: „Pytanie to należy odróżnić od pytania, czy każde zdanie prawdziwe dające się w języku tej teorii sformułować może być udowodnione (o ile nie jest aksjomatem tej teorii) za pomocą środków dowodowych, jakimi ona dysponuje"30. 29Użyty tu termin poprawność odpowiada angielskiemu soundness. Polska terminologia nie jest tu w pełni ujednolicona, pojęcie to jest zwykle pomijane w podręcznikach i słownikach z dziedziny logiki i łączone z pełnością. W literaturze oprócz terminu poprawność spotkać można również bezbłędność (por. [63]). 30[1] str. 215. Pełność systemu bez formalnych modeli 43 L. Borkowski podaje zaś następującą definicję pełności: „System S jest pełny wtedy i tylko wtedy, gdy każde wyrażenie prawdziwe systemu S jest tezą systemu S"31. W rozważaniach metalogicznych zazwyczaj stosuje się klasyczną, korespondencyjną koncepcję prawdy. W sformułowaniu Ajdukiewicza przedstawia się ona w następujący sposób: „Jakieś zdanie oznajmujące jest prawdą, gdy jest właśnie tak, jak ono głosi; jest zaś fałszem, gdy nie jest tak, jak ono głosi"32. Powyższe określenia mają pewną wadę. Nie wszystkie systemy formalne, którymi zajmuje się logika, odwołują się do prawdziwości. Przykładem może tu być logika intuicjonistyczna, gdzie celem jest ujęcie raczej tego co konstruktywnie dowodliwe niż prawdziwe. W analogiczny sposób można jednak i w odniesieniu do formalnych ujęć tego typu logiki rozważać ich pełność. W ogólności można rozumienie pełności w powyższych określeniach zachować, zamieniając w nich termin prawdziwe na termin np. uznawane lub przyjmowane. Kolejne definicje wiążą pełność ze zbiorami sposobów wnioskowania bądź rozumowań i odwołują się do ich poprawności bądź niezawodności, które odpowiadają prawdziwości zdań. A. Grzegorczyk o pełności pisze tak: „Naturalny, historyczny rozwój logiki rzeczywiście doprowadził do powstania takiego systemu logiki, o którym można dowieść, że zawiera wszelkie sposoby (schematy) logiczne poprawnego wnioskowania na dowolny temat. Tę jego własność zwiemy pełnością"33. W.A. Pogorzelski używa zaś następującego sformułowania: „Problem pełności można sformułować jako pytanie o to czy wszystkie niezawodne sposoby rozumowania oparte są faktycznie na prawach logiki formalnej"34. 31[4] str. 378. 32[1] str. 29. 33[14] str. 121. 34[44] str. 366. 44 Narzędzia formalne Jak zauważyliśmy w poprzednich sekcjach niniejszego rozdziału, pomiędzy prawdziwością (uznawaniem) zdań a poprawnością rozumowań (reguł wnioskowania) istnieje ścisły związek. Prawdziwe zdania mogą bowiem stanowić podstawę dla konstrukcji poprawnych rozumowań, a poprawne rozumowania mogą zostać przekształcone w odpowiadające im prawdziwe zdania. Fakt ten pozwala przyjąć, że wszystkie powyższe definicje wyrażają na swój sposób tę samą intuicję, która nie rodzi kontrowersji35. We wszystkich definicjach pełność ma charakter semantyczny w tym sensie, że odnosi system formalny do czegoś zewnętrznego, rzeczywistości lub przynajmniej pozaformalnego sposobu myślenia o niej. Problemem jednak pozostaje to, jak zweryfikować, które zdania są prawdziwe, a w szczególności, jak uczynić to na tyle precyzyjnie, aby móc wykorzystać to w badaniach logicznych. Najczęściej wykorzystuje się w tym celu formalne modele i prawdziwość określa się jako prawdziwość w modelu, którą rozumie się poprzez formalne warunki nakładane na obiekty w modelu. W rezultacie, w praktyce prawdziwość zdań zazwyczaj utożsamiana jest wręcz z ich prawdziwością w jakimś formalnym modelu lub klasie modeli. Jako prosty przykład może tu służyć charakterystyka funktorów klasycznego rachunku zdań poprzez tabele prawdziwościowe. Zdanie jest prawdziwe, kiedy jako całość przyjmuje wartość 1. W systemach formalnych zazwyczaj występują wyrażenia zawierające zmienne wolne. Takie wyrażenie jest traktowane jako prawdziwe, o ile jest prawdziwe przy każdym podstawieniu obiektów z modelu za zmienne. W przypadku klasycznego rachunku zdań obiektami w modelu są wartości logiczne 1 i 0. Formuła klasycznego rachunku zdań jest więc prawdziwa, jeżeli otrzymujemy wartość 1 przy każdym podstawieniu wartości 1 bądź 0 za zmienne w niej występujące. Modele wprost pojawiają się w definicji pełności, np. w poniższej definicji pochodzącej z Małej encyklopedii logiki pod redakcją W. Marciszewskiego: 35W bardziej szczegółowych rozważaniach rozróżnia się czasem pełność silną (ang. strong completeness) i pełność słabą (ang. weak completeness) – zob. np. [44], str. 318. Ten pierwszy rodzaj pełności odnosi się do systemów logicznych na poziomie relacji konsekwencji, a więc zbioru uznanych za poprawne rozumowań, ten drugi na poziomie zbioru tez, a więc przyjętych formuł. W systemach, z którymi mamy do czynienia w niniejszej pracy, pojęcia te są zbieżne, choć w ogólności nie są. Pełność systemu bez formalnych modeli 45 „System dedukcyjny logiki jest pełny wtedy i tylko wtedy, gdy z jego aksjomatów dadzą się wywieść wszystkie zdania będące zdaniami prawdziwymi w każdym modelu"36. Przyjmując takie stanowisko rezygnujemy jednak z semantycznego charakteru pełności. Rozpatrujemy bowiem wzajemne relacje pomiędzy dwoma systemami formalnymi – systemem aksjomatycznym i systemem definiującym formalny model. Podwójne ujęcie formalne daje niewątpliwie pełniejszy obraz systemu, ale nie łączy tego systemu z pozaformalną rzeczywistością. Zagadnienie pełności systemu aksjomatycznego w stosunku do leżących u jego podstaw intuicji nie jest rozwiązane przez wykazanie pełności w stosunku do modelu, a jedynie odsunięte. Pojawia się bowiem kolejny problem – adekwatności formalnego modelu w stosunku do rzeczywistości bądź sposobu myślenia, który rozpatrywany system formalny ma ujmować. W związku z tym, w analizie trafności ujęć aksjomatycznych nie będziemy traktować pełności w modelu jako ostatecznego kryterium. Kolejne problemy z wykorzystaniem modeli do badania rachunku nazw związane są z faktem, że modele takie budowane są w oparciu o zbiory oraz relacje pomiędzy zbiorami i operacje na zbiorach. Jeden z nich, mniej ważny z punktu widzenia niniejszej rozprawy, jest natury historycznej, drugi ma charakter merytoryczny. Chociaż pewne intuicje leżące u podstaw teorii zbiorów występowały w filozofii i matematyce znacznie wcześniej, uporządkowana teoria pojawiła się dopiero w XIX wieku37. Wyłaniające się z niej pojęcie zbioru, skądinąd współcześnie odbierane jako naturalne, a wręcz oczywiste, w czasach powstawania i rozwoju teorii nazw było nieznane. W związku z tym interpretowanie starożytnego czy średniowiecznego ujęcia nazw przy użyciu współczesnego pojęcia zbioru może być nieadekwatne. Zastrzeżenia merytoryczne związane są z problemami występującymi wewnątrz teorii zbiorów. O ich skali niech świadczy poniższy fragment tekstu E. Zermela: „Obecnie, samo istnienie tej dyscypliny wydaje się być zagrożone przez pewne sprzeczności lub 'antynomie' wyprowadzone z jej zasad, wydawałoby się 36W. Marciszewski, hasło zupełność systemu, w pracy [34], str. 236. 37Informacje o historii pojęć występujących w teorii zbiorów można znaleźć m.in. w pracy [13]. 46 Narzędzia formalne w sposób konieczny rządzących naszym myśleniem. [...] W szczególności, mając na uwadze 'antynomię Russella' [...] zbioru wszystkich zbiorów, które nie są własnymi elementami, nie wydaje się dłużej możliwe przypisywanie dowolnemu logicznie definiowalnemu pojęciu jakiegoś zbioru lub klasy jako zakresu"38. Współcześnie znane są różne sposoby usuwania wspomnianych antynomii, prowadzące jednakże do różniących się nieco między sobą formalnych teorii precyzujących znaczenie terminów zbiór i element. Na poziomie podstawowych operacji na zbiorach teorie te pokrywają się, a różnice nie powodują praktycznych problemów na poziomie interpretacji systemów rachunku nazw. Niemniej jednak przy rozumieniu teorii nazw poprzez jej interpretację w teorii zbiorów wskazana jest pewna doza ostrożności. Dodatkowym motywem skłaniającym ku tej ostrożności jest fakt, iż Leśniewski budował swoją Ontologię, w ramach której przedstawił teorię nazw, w opozycji do teorii zbiorów, chcąc uniknąć problemów, pojawiających sie na jej gruncie. Teoria nazw, przynajmniej w ujęciu Leśniewskiego, może być więc postrzegana jako element jednego ze sposobów unikania wspomnianych antynomii, alternatywnego w stosunku do teorii zbiorów. Powyższe uwagi dotyczące wykorzystania formalnych modeli w dowodach pełności oraz teorii zbiorów w żadnym razie nie mają na celu podważania ich wartości poznawczej ani formalnej poprawności. Nie rezygnujemy również z używania modeli wykorzystujących zbiory i analizy relacji pomiędzy teorią aksjomatyczną a modelem. Szukamy jedynie innych, niezależnych od nich, sposobów na ocenę formalnych systemów rachunku nazw pod względem ich zgodności z intuicją. Podążymy śladem Arystotelesa i odwołującego się doń Łukasiewicza. W „Analitykach pierwszych" Arystoteles wykazuje, że schematy sylogistyczne różne od uznanych przez niego sylogizmów nie powinny być uznawane. Dowodzi w ten sposób pełności swojego systemu sylogistyki. Rozważa wszystkie możliwe schematy o dwóch przesłankach należące do każdej z trzech figur. W większości przypadków odrzucenie schematu uzasadnia, podając kontrprzykład, jak w poniższym fragmencie: „Również w żadnym przypadku nie powstanie sylogizm, gdy obydwa zdania są szczegółowe, w tym albo obydwa przeczące, albo jedno twierdzące a drugie 38[15], s. 200, cytat za: [13], s. 258. Pełność systemu bez formalnych modeli 47 przeczące, albo jedno nieokreślone, a drugie określone, bądź też obydwa nieokreślone. Terminy wspólne dla wszystkich: 'zwierzę', 'białe', 'koń'; 'zwierzę', 'białe', 'kamień'." (Analityki pierwsze, Księga I 26b). Mamy tu do czynienia z kilkoma schematami sylogistycznymi. Ograniczając się do zdań ogólnych i szczegółowych występujących w wykorzystywanym w niniejszej rozprawie języku rachunku nazw, a pomijając zdania nieokreślone, możemy przedstawić je w postaci następujących implikacji: MoP ∧ SoM → SaP ; (1.36) MoP ∧ SoM → SiP ; (1.37) MoP ∧ SoM → SeP ; (1.38) MoP ∧ SoM → SoP ; (1.39) MoP ∧ SiM → SaP ; (1.40) MoP ∧ SiM → SiP ; (1.41) MoP ∧ SiM → SeP ; (1.42) MoP ∧ SiM → SoP ; (1.43) MiP ∧ SoM → SaP ; (1.44) MiP ∧ SoM → SiP ; (1.45) MiP ∧ SoM → SeP ; (1.46) MiP ∧ SoM → SoP. (1.47) Zapisując przedstawione kontrprzykłady, podstawiamy za P – nazwę zwierzę, za M – rzecz biała, a za S – koń lub kamień, w zależności od następnika. Analizując podstawienia elementów poprzednika (przesłanek), widzimy, że w przypadku pierwszego z nich rzeczywiście niektóre rzeczy białe są zwierzętami, a niektóre nie są. W przypadku drugiego otrzymujemy również prawdziwe stwierdzenia: niektóre kamienie są białe, inne nie są, niektóre konie są białe, a inne nie. Z kolei następnik implikacji (wniosek) w przypadku formuł z twierdzącym następnikiem (1.36), (1.37), (1.40), (1.41), (1.44), (1.45) jest fałszywy, gdy przyjmuje postać zdania: Każdy kamień jest zwierzęciem/Pewien kamień jest zwierzęciem, a w przypadku formuł z przeczącym następnikiem (1.38), (1.39), (1.42), (1.43), (1.46), (1.47) – zdania Żaden koń nie jest zwierzęciem/Pewien koń nie jest zwierzęciem. 48 Narzędzia formalne Pokazanie przykładów falsyfikujących wszystkie nieakceptowane formuły jest pracochłonne, a w wielu przypadkach niemożliwe ze względu na ich nieograniczoną liczbę, np. gdyby rozpatrywać rozumowania o dowolnej liczbie przesłanek (czynników w poprzedniku implikacji). Już u Arystotelesa znaleźć można jednak wskazówkę, dotyczącą innego sposobu odrzucania takich formuł, którą wyłuskuje i rozbudowuje Łukasiewicz. U Arystotelesa występuje tekst następujący: „Bo jeżeli można zgodnie z prawdą powiedzieć, że M nie przysługuje niektórym O, skoro nie przysługuje żadnemu i widzieliśmy, że sylogizm jest wtedy niemożliwy, jasne, że również i w tym wypadku nie będzie możliwy." (Analityki pierwsze, Księga I 27b) Przekładając to rozumowanie na wykorzystywany przez nas język symboliczny, otrzymujemy jako jego przesłanki ` MeO → MoO i a α → MoO, a jako wniosek a α→MeO. Łukasiewicz rozumowanie to uogólnia, przechodząc od przesłanek a β i ` α→ β do wniosku a α, formułując w ten sposób regułę odrzucania przez podstawianie39. Wykorzystanie reguł, takich jak sformułowana powyżej reguła odrzucania przez odrywanie, pozwala na odrzucenie nieskończonej ilości formuł, które nie są tezami. Powstaje w rezultacie system formalny, definiujący zbiór formuł odrzuconych, uzupełniający zwykły system aksjomatyczny. System skonstruowany jest za pomocą zbioru aksjomatów odrzuconych oraz zbioru reguł odrzucania40. Aby system taki był zgodny z intuicją (poprawny), aksjomaty odrzucone muszą być fałszywe (nieakceptowane), a reguły muszą prowadzić od wyrażeń fałszywych (nieakceptowanych) do wyrażeń, które są również fałszywe (nieakceptowane)41. W przypadku aksjomatów odrzuconych wystarczającym 39[32], str. 98: „Jeżeli została uznana implikacja 'Jeśli α, to β', ale odrzucony został jej następnik β, to jej poprzednik α także musi być odrzucony." Dodaje również dodatkową regułę odrzucania przez podstawianie: „Jeżeli α jest podstawieniem β, i α zostało odrzucone, to β także musi być odrzucone."([32], str. 99). 40Wprowadzone przez Łukasiewicza systemy odrzuceniowe stały się przedmiotem dalszych analiz. Do ważniejszych osiągnięć od strony metodologicznej należy zaliczyć sformułowanie systemów odrzucania w postaci operacji konsekwencji [58, 59, 70]. Z kolei w praktyce logicznej warto zwrócić uwagę na skonstruowanie systemów odrzuceniowych dla wielu zdaniowych logik nieklasycznych [57, 52, 12, 53]. Systemy te okazały się przydatne m.in. w dowodach rozstrzygalności. 41W regule odrzucania przez odrywanie występują dwie przesłanki, z których jedna Pełność systemu bez formalnych modeli 49 argumentem za ich fałszywością może być podanie kontrprzykładu, tak jak czyni to Arystoteles w stosunku do większości nieakceptowanych sylogizmów. Mając do dyspozycji poprawny system odrzuceniowy, stanowiący uzupełnienie systemu aksjomatycznego, możemy wykorzystać go do wykazania pełności formalizacji. Wystarczy pokazać, że każde wyrażenie języka, w którym budowany jest system formalny, jest albo tezą, albo wyrażeniem odrzuconym42. W praktyce wykorzystanie systemu odrzuceniowego może przebiegać w odmiennej kolejności: najpierw skonstruowany może być system odrzuceniowy uzupełniający system aksjomatyczny w taki sposób, aby zbiór wyrażeń języka został rozłącznie i wyczerpująco podzielony na tezy i wyrażenia odrzucone, a następnie można badać, czy wyrażenia odrzucone faktycznie nie powinny być uznane. Jeśli tak jest, to system aksjomatyczny jest pełny w omówionym na wstępie tego podrozdziału fundamentalnym sensie. Adekwatność (zarówno poprawność, jak i pełność) systemu formalnego w stosunku do intuicji weryfikowana jest na poziomie formuł oraz reguł. Reguły – zarówno uznawania, jak i odrzucania – są zazwyczaj standardowe i ich prawidłowość nie wzbudza wątpliwości. Pozostaje więc jedynie sprawdzenie, czy aksjomaty są przyjęte zgodnie z intuicją, a aksjomaty odrzucone nie powinny być akceptowane. W przypadku tych ostatnich wystarczy wskazanie kontrprzykładu. Wydaje się, że w przypadku przynajmniej niektórych systemów formalnych ten rodzaj analizy okazuje się wygodniejszy i pewniejszy niż rozważania nad adekwatnością formalnego modelu w stosunku do fragmentu rzeczywistości, który ma on reprezentować. Analizując metodę aksjomatycznego odrzucania z nieco innej perspektystwierdza, że implikacja jest tezą, a druga, że jej następnik jest wyrażeniem odrzuconym. Oczywiście, fałszywe powinno być wyrażenie odrzucone, a teza powinna być prawdziwa. Dla uniknięcia nieporozumienia możemy za T. Skurą sformułować regułę w sposób następujący: a β a α , o ile ` α→ β. Warto zauważyć, że w obecności reguły odrzucania przez odrywanie, w której jedna z przesłanek jest asercją, system odrzuceniowy jest nierozerwalnie związany z pozytywnym systemem aksjomatycznym. 42Słupecki własność taką nazywał Ł-rozstrzygalnością. W niniejszych rozważaniach nie używamy tego terminu ze względu na to, że ich przedmiotem jest pełność systemu, a nie rozstrzygalność. Problem rozstrzygania poruszony będzie w dalszej części niniejszej rozprawy. 50 Narzędzia formalne wy, można zauważyć, że system odrzucania dopełniający system aksjomatyczny określać musi wszystkie możliwe rozszerzenia tego systemu w tym sensie, że wszystkie formuły, o które można rozszerzyć system, są odrzucone. W przeciwnym bowiem przypadku podział na tezy i formuły odrzucone nie byłby rozłączny. Jeżeli każde z tych rozszerzeń uznajemy za zbyt mocne, rozważany system jest pełny43. 1.7 Systemy aksjomatycznego odrzucania Rozważania z poprzedniego podrozdziału prowadzą do definiowania systemów aksjomatycznego odrzucania uzupełniających systemy aksjomatyczne rachunku nazw, które będziemy definiować w kolejnych rozdziałach. W ich określaniu posługiwać się będziemy następującymi regułami odrzucania: • reguła odrzucania przez odrywanie MP−1 o postaci: ` α→ β;a β a α , • reguła odrzucania przez podstawianie Sub−1 o postaci: a e(α) a α , gdzie e jest podstawieniem zmiennych lub stałych nazwowych za zmienne nazwowe, • reguła dekompozycji Comp−1 o postaci: a α→ β1; . . . ;a α→ βn a α→ β1 ∨ . . . ∨ βn , n - 1, gdzie α jest formułą elementarną, a βi(1 ¬ i ¬ n) są atomami. Reguły MP−1 i Sub−1 odpowiadają regułom MP i Sub ze standardowych systemów aksjomatycznych i przyjęcie ich nie wydaje się być z jakichkolwiek powodów kontrowersyjne. W pracy [55] Słupecki pokazuje, że nie da 43Formalnie takie określenie pełności przypomina zupełność. Różnica polega na tym, że każde rozszerzenie systemu zupełnego prowadzi do sprzeczności, a pełnego – jedynie do uznania jakiegoś zdania fałszywego lub z innych powodów nieakceptowanego. Systemy aksjomatycznego odrzucania 51 się przedstawić aksjomatyki odrzuceniowej dla systemu sylogistyki Łukasiewicza z użyciem jedynie tych dwóch reguł i skończonej liczby aksjomatów odrzuconych. Rezultat ten odnosi się także do innych systemów omawianych w niniejszej rozprawie. W związku z tym używana będzie dodatkowa reguła Comp−1. Reguła ta jest w systemie aksjomatycznego odrzucania formalnym wyrazem Twierdzenia 6, obowiązującego we wszystkich teoriach, których aksjomatami są jedynie formuły hornowskie. Pokażemy teraz kilka ogólnych własności systemów aksjomatycznych, uzupełnionych o system aksjomatycznego odrzucania wykorzystujący powyższe reguły. Definicja 3. Teorią hornowską nazywać będziemy zbiór formuł zawierający zbiór podstawień tez klasycznego rachunku zdań oraz zbiór formuł hornowskich jako zbiór aksjomatów specyficznych, domknięty na reguły MP i Subst. Twierdzenie 8. Niech T będzie teorią hornowską zbudowaną w języku rachunku nazw, tzn. zbiorem formuł Cn(Φ), gdzie Φ jest ustalonym zbiorem formuł hornowskich, a Cn operacją konsekwencji wyznaczoną przez reguły MP i Sub. Niech dalej T będzie uzupełniona o system aksjomatycznego odrzucania, określony poprzez reguły MP−1, Sub−1 i Comp−1 oraz zbiór formuł hornowskich Ψ, jako zbiór aksjomatów odrzuconych. Jeżeli formuła hornowska α jest wyrażeniem odrzuconym, to dla pewnego β ∈ Ψ mamy β ∈ Cn(Φ ∪ {α}). Dowód. Zauważmy najpierw, że reguły MP−1 i Sub−1 stanowią odwrócenie odpowiednio reguł MP i Sub. W związku z tym, jeżeli a γ1 jest otrzymane z a γ2 przy użyciu reguły Sub−1, to ` γ2 można otrzymać z ` γ1 przy użyciu reguły Sub, a jeżeli a δ1 jest otrzymane z ` δ2 i a δ3, to ` δ3 można otrzymać z ` δ2 i ` δ1. W związku z tym, jeżeli w odrzuceniu formuły α w systemie T nie jest wykorzystana reguła Comp−1, to dla pewnego aksjomatu odrzuconego β mamy β ∈ Cn(Φ ∪ {α}). Pozostaje więc do pokazania, że fakt ten ma miejsce również w przypadku, gdy do odrzucenia formuły α została użyta reguła Comp−1. Wykorzystamy w tym celu fakt, że aksjomaty teorii T oraz formuła α są formułami hornowskimi i w związku z tym można zastosować w tej sytuacji Twierdzenie 6. Załóżmy teraz indukcyjnie, że interesująca nas prawidłowość zachodzi, gdy reguła Comp−1 użyta jest nie więcej niż k razy. Niech teraz do odrzuce52 Narzędzia formalne nia α reguła Comp−1 będzie użyta k+ 1 razy i niech ostatnie jej użycie prowadzi od przesłanek a γ1, . . ., a γn do wniosku a γ, gdzie γ = (γ1∨ . . .∨γn). Ponieważ mamy do czynienia z ostatnim użyciem reguły Comp−1, w pozostałej części odrzucenia wykorzystane są jedynie reguły MP−1 i Sub−1, a więc γ ∈ Cn(Φ ∪ {α}). Zgodnie z Twierdzeniem 6 w tej sytuacji dla pewnego i takiego, że 1 ¬ i ¬ n mamy też γi ∈ Cn(Φ ∪ {α}). Reguła Comp−1 użyta jest do odrzucenia formuły γi nie więcej niż k razy, a więc z założenia indukcyjnego wynika, że istnieje β ∈ Ψ, takie że β ∈ Cn(Φ ∪ {γi}). Wobec tego również β ∈ Cn(Φ ∪ {α}). ¥ Jeżeli w systemie T , określonym jak w Twierdzeniu 8, w którym Φ jest zbiorem aksjomatów, a Ψ – zbiorem aksjomatów odrzuconych, żaden z elementów Ψ nie jest tezą systemu, to dla dowolnej formuły α z faktu, iż Cn(Φ∪{α})∩Ψ 6= ∅ w oczywisty sposób wynika, że α nie jest tezą systemu T , tzn. α 6∈ Cn(Φ). Weźmy teraz pod uwagę systemy, dla których uzupełnienie odrzuceniowe jest adekwatne, tzn. każda formuła języka jest w nich tezą bądź wyrażeniem odrzuconym i żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. W systemach takich, jeżeli z formuły α da się wyprowadzić przynajmniej jeden aksjomat odrzucony, to formuła α jest również odrzucona. Z tego faktu oraz z Twierdzenia 8 wynika następujący wniosek: Wniosek 1. Niech T będzie teorią hornowską, określoną jak w Twierdzeniu 8, dla której zdefiniowany jest adekwatny system aksjomatycznego odrzucania. Formuła hornowska α jest odrzucona wtedy i tylko wtedy, gdy w systemie T da się wyprowadzić z α któryś z aksjomatów odrzuconych. W ogólności fakt, iż z jakiejś formuły α da się wyprowadzić w dowolnym systemie T aksjomat odrzucony, nie gwarantuje, że formuła α jest odrzucona. Reguła MP , wykorzystana w wyprowadzeniu aksjomatu odrzuconego z formuły α, nie zawsze bowiem daje się odwrócić. Reguła MP−1 wymaga bowiem, aby użyta w niej przesłanka uznawana była tezą teorii T , natomiast w wyprowadzeniu aksjomatu odrzuconego z formuły α wystarczy, aby analogiczna przesłanka była wyprowadzalna w T z α. Autor nie posiada również dowodu potwierdzającego intuicyjnie naturalną hipotezę, że w dowolnym systemie aksjomatycznego odrzucania dla teorii hornowskich, określonym z użyciem reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1, w którym aksjomatami odrzuconymi są formuły hornowskie, do odrzucenia dowolnej odrzuconej formuły hornowskiej nie jest potrzebna reguła Comp−1. Struktury modelowe dla rachunku nazw 53 1.8 Struktury modelowe dla rachunku nazw Jak zaznaczyliśmy w poprzednim podrozdziale, struktury teoriomodelowe nie będą dla nas podstawowym narzędziem analizy poprawności prezentowanych formalizmów. Niemniej jednak pozostają one ważne z trzech powodów. Po pierwsze, poznanie struktury teoriomodelowej, w stosunku do której system aksjomatyczny jest adekwatny, dostarcza cennych informacji na temat tego systemu. Po drugie, podejście teoriomodelowe wykorzystywane jest w większości prac na temat rachunku nazw i musimy się nim posłużyć choćby dla porównania przedstawionych tu rezultatów z wynikami zaprezentowanymi we wcześniejszych pracach. Po trzecie, struktury teoriomodelowe będą stosowane jako narzędzie techniczne do wykazywania niezależności formuł. Wykorzystywać będziemy dwa sposoby opisu klasy modeli. Pierwszy z nich odpowiada najczęściej występującej w literaturze interpretacji, w której zmiennym z rachunku nazw odpowiadają w modelu zbiory przedmiotów z jakiejś dziedziny, a stałe rachunku nazw określone są poprzez odpowiadające im relacje pomiędzy zbiorami. W różnych klasach modeli, odpowiadających różnym systemom aksjomatycznym, interpretacja stałych może się różnić. Drugi sposób określenia klasy modeli polega na przyporządkowaniu zmiennym nazwowym stałych z pewnego zbioru i zdefiniowaniu interpretacji funktorów specyficznych rachunku nazw poprzez wskazanie dla każdego funktora i każdego doboru jego argumentów, które zdania atomowe są w takim modelu prawdziwe. Takimi strukturami będziemy posługiwali się w celach technicznych. Niech zm będzie zbiorem zmiennych nazwowych, form zbiorem formuł, a {0, 1} zbiorem wartości logicznych, gdzie 1 oznacza prawdę, a 0 – fałsz. Pierwszy z wymienionych sposobów określania struktury teoriomodelowej wprowadzimy formalnie poprzez klasę modeli MI = (D, I, v), gdzie D jest zbiorem stanowiącym dziedzinę modelu, v : zm −→ 2D wartościowaniem przypisującym zmiennym podzbiory zbioru D (funkcja v jest rozszerzona na dowolne formuły w ten sposób, że stałe pozostają niezmienione), a I : form′ −→ {0, 1}, gdzie form′ = {v(α) : α ∈ form}, jest ustaloną funkcją interpretacji specyficznych stałych rachunku nazw. W razie potrzeby na dziedziny D i wartościowania v będziemy nakładali dodatkowe warunki. Poszczególne modele w ramach jednej klasy modeli różnią się między sobą dziedziną oraz funkcją wartościowania. Z kolei różne klasy modeli różną się między so54 Narzędzia formalne bą funkcją I44. Funkcja I w przypadku rozpatrywanych dalej modeli będzie określana poprzez wskazanie odpowiedniej relacji na zbiorach, która musi zachodzić, aby atomowe zdanie było prawdziwe, oraz odpowiedniej interpretacji dla funktorów rachunku zdań. Symbolem MI będziemy również oznaczać klasę modeli MI (modeli MI dla wszystkich dopuszczalnych zbiorów i wartościowań). Do konkretnych modeli będziemy odwoływać się poprzez wskazanie dziedziny D i wartościowania v. W drugim ze sposobów klasę modeli określamy jako klasę modeli MI = (N, I, v), gdzie N jest ustalonym niepustym zbiorem dowolnych obiektów, v : zm −→ N wartościowaniem (funkcja v jest rozszerzona na dowolne formuły w ten sposób, że stałe pozostają niezmienione), a I : form′ −→ {0, 1}, gdzie form′ = {v(α) : α ∈ form}, jest ustaloną interpretacją wskazującą, które zdania atomowe po wartościowaniu są prawdziwe, a które fałszywe, oraz jak interpretowane są funktory rachunku zdań. Poszczególne modele w ramach jednej klasy modeli różnią się jedynie funkcją wartościowania. Z kolei różne klasy modeli rozpatrywane w pracy różnią się zbiorem N oraz funkcją I. Funkacja I będzie najczęściej definiowana poprzez podanie matryc dla jej wartości w odniesieniu do poszczególnych funktorów rachunku nazw. Symbolem MI będziemy również oznaczać klasę modeli MI . Do konkretnych modeli będziemy odwoływać się poprzez wskazanie wartościowania v. Na bazie modelu MI = (D, I, v) można zawsze zdefiniować modelMI′ = (N, I ′, v′) w ten sposób, że obiekty ze zbioru N odpowiadają podzbiorom zbioru D i odpowiednio do tego określone są funkcje I ′ i v′. Przejście między klasami modeli w przeciwną stronę nie jest tak naturalne, gdyż zbiór N nie musi odpowiadać podzbiorom żadnego zbioru, a relacja określona na jego elementach nie musi być wyrażalna w postaci czytelnej relacji pomiędzy zbiorami. Formułę α będziemy określać jako spełnioną w modelu MI określonym w dziedzinie D i wykorzystującym ustalone wartościowanie v wtedy i tylko wtedy, gdy I(v(α)) = 1. Formułę będziemy określać jako tautologię w klasie modeli MI wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona spełniona w każdym modelu z MI . Analogicznie formułę α będziemy określać jako spełnioną w modelu MI wykorzystującym ustalone wartościowanie v wtedy i tylko wtedy, gdy I(v(α)) = 1. Formułę będziemy określać jako tautologię w klasie modeliMI wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona spełniona w każdym modelu z MI . 44Dla odróżnienia poszczególnych interpretacji będziemy stosować indeksy, otrzymamy więc interpretacje: I1, I2 itd. Rozdział 2 Klasyczne systemy zakresowe Właściwą część pracy rozpoczniemy od analizy znanych z literatury systemów rachunku nazw, które wykorzystują funktory sylogistyki i mają intuicyjną interpretację w rachunku zbiorów. Jako pierwszy zaprezentujemy system pochodzący od Łukasiewicza, dla którego system aksjomatycznego odrzucania opracował J. Słupecki [30, 55, 32]. W ramach tej prezentacji referować będziemy rezultaty przedstawione przez Łukasiewicza i Słupeckiego. Charakterystyczną cechą systemu jest to, że przy przejściu do interpretacji w teorii zbiorów nazwom mogą odpowiadać jedynie zbiory niepuste. Następnie przejdziemy do systemu, który również można zinterpretować w teorii zbiorów i w którym nazwy puste są dopuszczalne. Ideę taką zaproponował Słupecki w pracy [54], ale przedstawiony przez niego system nie w pełni realizuje założenie1. Pewną aksjomatyzację tego systemu podał E.J. Lemmon [28], zastosował on jednak w niej dodatkowe operacje na nazwach – negację oraz iloczyn nazwowy. Aksjomatyzację zawierającą tylko funktory używanego przez nas języka przedstawił A. Pietruszczak [40]. Tu wykorzystamy równoważną aksjomatyzację przedstawioną wcześniej w pracy [23]. Nowym, niepublikowanym wcześniej elementem jest przedstawienie aksjomatycznego odrzucania dla tego systemu z pełnym dowodem jego adekwatności. Ostatnim w tym rozdziale systemem jest system zwany systemem Brentany2. Podobnie jak w poprzednim systemie, w jego interpretacji w teorii zbiorów można posługiwać się zbiorami pustymi. Różnica polega na interpretacji zdań ogólnotwierdzących, w których pierwszemu z terminów odpo1System Słupeckiego będzie przedmiotem rozważań w dalszej części pracy. 2System jest nazwany „Brentano style syllogistic" w podręczniku A.N. Priora Formal Logic [47], str. 311. 56 Klasyczne systemy zakresowe wiada zbiór pusty. W poprzednim systemie takie zdanie interpretowane jest jako fałszywe, w systemie Brentany uznawane jest ono za prawdziwe. Sprawia to, że w systemie nie jest tezą przyjmowana u Arystotelesa i w logice tradycyjnej implikacja SaP → SiP . Podejście to bliższe jest współczesnym intuicjom związanym ze zbiorami, wedłóg których nazwa pusta jest częścią każdej innej nazwy, a inaczej rzecz ujmując, zawieranie się nazwy w jakiejś innej nazwie nie implikuje istnienia jej desygnatów. Podobne podejście przyjmują Pietruszczak w pracy [42] oraz Pratt-Hartmann i Moss [46]. Dla systemu Brentany podajemy również aksjomatykę odrzuceniową, która dotąd nie pojawiła się w literaturze. System aksjomatycznego odrzucania jest tu nieco bardziej skomplikowany niż w innych systemach, które rozpatrujemy w niniejszej pracy, gdyż w odróżnieniu od nich system Brentany nie jest teorią hornowską. System aksjomatycznego odrzucania dla sylogistyki Brentany nie był wcześniej opublikowany. 2.1 System Łukasiewicza 2.1.1 System aksjomatyczny Terminami pierwotnymi systemu Łukasiewicza (Łuk) są a oraz i. Przyjmujemy w systemie reguły wnioskowania MP i Sub. Aksjomatami są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku oraz formuły: SaS, (2.1) SiS, (2.2) MaP ∧ SaM → SaP, (2.3) MaP ∧MiS → SiP. (2.4) Łatwo sprawdzić, że tezami systemu są następujące wyrażenia: PiS → SiP, (2.5) otrzymane z (2.4) i (2.1); SaP → SiP, (2.6) otrzymane z (2.4) i (2.2); PaS → SiP, (2.7) System Łukasiewicza 57 otrzymane z (2.5) i (2.6); MaS ∧MaP → SiP, (2.8) otrzymane z (2.4) i (2.6) oraz M1iM2 ∧M1aS ∧M1aP → SiP, (2.9) otrzymane z (2.4). Definicja 4. Niech dla dowolnych zmiennych X i Y aL(X ,Y) będzie najmniejszym zbiorem formuł, takim że: • XaY ∈ aL(X ,Y) oraz • jeżeli α ∈ aL(X ,Z), to α ∧ ZaY ∈ aL(X ,Y). Elementy zbioru aL(X ,Y) nazywać będziemy łańcuchami łączącymi zmienną X ze zmienną Y . Mniej formalnie dowolny łańcuch łączący zmienne X1 i X2 można zapisać następująco: X1aX2 ∧ . . . ∧ Xn−1aXn, gdzie n - 2. Lemat 5. Niech α będzie formułą elementarną. Jeżeli α zawiera dowolny łańcuch łączący zmienną X ze zmienną Y, to formuła α→ XaY jest tezą systemu Łuk. Dowód. Przez prostą indukcję z wykorzystaniem aksjomatu (2.3) otrzymamy fakt, że dla dowolnego β ∈ aL(X ,Y), β → XaY jest tezą systemu Łuk. Skoro α zawiera takie β, tezą klasycznego rachunku zdań jest formuła α → β, a więc również α→ XaY jest tezą Łuk. ¥ Lemat 6. Niech α będzie formułą elementarną, a X i Y różnymi zmiennymi. (i) Jeżeli dla pewnej zmiennej Z spełnione są równocześnie dwa warunki: (1) Z jest tą samą zmienną co X lub α zawiera β, takie że β ∈ aL(Z,X ), oraz (2) Z jest tą samą zmienną co Y lub α zawiera γ, takie że γ ∈ aL(Z,Y), to α→ X iY jest tezą Łuk. 58 Klasyczne systemy zakresowe (ii) Jeżeli dla pewnych zmiennych Z oraz V α zawiera atom ZiV i spełnione są równocześnie dwa warunki: (1) Z jest tą samą zmienną co X lub α zawiera β, takie że β ∈ aL(Z,X ) i (2) V jest tą samą zmienną co Y lub α zawiera γ, takie że γ ∈ aL(V ,Y), to α → X iY oraz α → YiX są tezami Łuk. Dowód. (i) W zależności od tego które z członów alternatyw występujących w warunkach (1) i (2) są spełnione, jest bezpośrednią konsekwencją Lematu 5 w zestawieniu z tezą (2.6), (2.7) lub (2.8). (ii) W zależności od tego które z członów alternatyw występujących w warunkach (1) i (2) są spełnione, jest bezpośrednią konsekwencją prawa tautologii rachunku zdań lub tezy (2.5), Lematu 5 w zestawieniu z aksjomatem (2.4) lub tezą (2.9) (z ewentualnym wykorzystaniem tezy (2.5)). ¥ 2.1.2 Aksjomatyczny system odrzucania W systemie przyjęte są reguły odrzucania: MP−1, Sub−1 oraz Comp−1 zdefiniowane w poprzednim rozdziale. Jedynym aksjomatem odrzuconym jest następująca formuła: PaM ∧ SaM → SiP. (2.10) Definicja 5. Wyrażeniem odrzuconym systemu Łuk jest aksjomat odrzucony (2.10) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 7. W systemie Łuk wyrażeniami odrzuconymi są: ¬SaS, (2.11) PaS → SaP, (2.12) SaP (2.13) oraz SiP. (2.14) System Łukasiewicza 59 Dowód. Odrzucenie formuły (2.11): 1. ` SaS → (¬SaS → (SaM ∧ PaM → SiP )) KRZ 2. ` SaS aksjomat (2.1) 3. ` SaS → (¬SaS → (SaM ∧ PaM → SiP )) MP : 1, 2 4. a PaM ∧ SaM → SiP aks. odrzucony (2.10) a ¬SaS MP−1: 3, 4 Odrzucenie formuły (2.12): 1. `MaP ∧ SaM → SaP aksjomat (2.3) 2. ` SaP → SiP teza (2.6) 3. `MaP ∧ SaM → SiP KRZ, 1, 2 4. ` (MaP ∧ SaM → SiP )→ ((PaM →MaP )→ (SaM ∧ PaM → SiP )) KRZ 5. ` (PaM →MaP )→ (SaM ∧ PaM → SiP ) MP : 4, 3 6. a PaM ∧ SaM → SiP aks. odrzucony (2.10) 7. a PaM →MaP MP−1: 5, 6 a PaS → SaP Sub−1: 7 Odrzucenie formuły (2.13): 1. a PaS → SaP odrzucenie (2.12) 2. ` SaP → (PaS → SaP ) KRZ a SaP MP−1: 2, 1 Odrzucenie formuły (2.14): 1. a SaM ∧ PaM → SiP aksjomat odrzucony (2.10) 2. ` SiP → (SaM ∧ PaM → SiP ) KRZ a SiP MP−1: 2, 1 ¥ Lemat 8. Każda formuła atomowa języka systemu Łuk jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Formuły atomowe o postaci XaX oraz X iX są tezami ze względu na aksjomaty (2.1) i (2.2). Wszystkie formuły atomowe z różnymi zmiennymi jako argumentami można odrzucić, korzystając z reguły Sub−1 zastosowanej do formuł (2.13) i (2.14), odrzuconych na mocy Lematu 7. ¥ Lemat 9. Każda formuła hornowska języka systemu Łuk jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. 60 Klasyczne systemy zakresowe Dowód. Ze względu na Lemat 8 wystarczy rozważyć formuły hornowskie języka systemu o następujących postaciach: (i) ¬α, (ii) α → XaX , (iii) α → X iX , (iv) α → XaY , (v) α → X iY , gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. Przypadek (i). Każde wyrażenie tej postaci jest wyrażeniem odrzuconym. Niech e1 będzie podstawieniem, w którym S podstawione jest za wszystkie zmienne z α. e1(α) jest więc koniunkcją atomów ze zbioru {SaS, SiS}. Ponieważ tezą systemu Łuk jest formuła (2.6), mamy również ` SaS → e1(α) oraz dzięki transpozycji ` ¬e1(α) → ¬SaS. Na mocy Lematu 7 mamy a ¬SaS, a zatem przy użyciu reguły MP−1 możemy otrzymać a ¬e1(α) i dalej, na mocy reguły Sub−1, a ¬α. Przypadki (ii) i (iii). W obecności odpowiednio aksjomatów (2.1) i (2.2) wyrażenia α→ XaX oraz α→ X iX są tezami systemu Łuk. Przypadek (iv). Jeżeli α zawiera łańcuch łączący X z Y , to na podstawie Lematu 5 formuła α → XaY jest tezą systemu Łuk. W przeciwnym przypadku zastosujemy podstawienie e2, w którym P podstawia się za Y oraz każdą zmienną Z, taką że α zawiera łańcuch łączący Z z Y , a S podstawia się za wszystkie inne zmienne występujące w rozważanym wyrażeniu (w tym X ). Wtedy e2(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaS, PaS, SiS, PiP , SiP , PiS}. Ze względu na aksjomaty (2.1) i (2.2) i tezy (2.6) i (2.7) mamy w tej sytuacji ` PaS → e2(α). Ponieważ e2(XaY) = SaP , zachodzi również jako podstawienie prawa KRZ ` (PaS → e2(α)) → (e2(α → XaY) → (PaS → SaP )), a zatem także ` e2(α→ XaY)→ (PaS → SaP ). Na mocy Lematu 7 mamy a PaS → SaP , a zatem przy użyciu reguły MP−1 możemy otrzymać a e2(α → XaY) i dalej, na mocy reguły Sub−1, a α→ XaY . Przypadek (v). Jeżeli α spełnia jeden z warunków Lematu 6, to na jego mocy jest tezą systemu Łuk. W przeciwnym wypadku zastosujemy podstawienie e3, w którym S podstawiamy za X oraz każdą zmienną V , dla której α zawiera łańcuch łączący V z X ; P podstawiamy za Y oraz każdą zmienną Z, dla której α zawiera łańcuch łączący Z z Y ; M podstawiamy za wszystkie inne zmienne. Wtedy e3(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaS, MaM , PaM , SaM , PiP , SiS, MiM , PiM , MiP , SiM , MiS}. Ze wzglęSystem Łukasiewicza 61 du na aksjomaty (2.1) i (2.2) oraz tezy (2.6) i (2.7) mamy w tej sytuacji ` (PaM ∧ SaM) → e3(α). Ponieważ e3(X iY) = SiP zachodzi również jako podstawienie prawa KRZ ` (PaM ∧ SaM → e3(α)) → (e3(α → X iY) → (PaM ∧ SaM → SiP )), a zatem także ` e3(α→ X iY)→ (PaM ∧ SaM → SiP ). Przy użyciu aksjomatu odrzuconego i reguły MP−1 można stąd wyprowadzić a e3(α→ X iY) i dalej, przy użyciu reguły Sub−1, a α→ X iY . ¥ Lemat 10. Aksjomat odrzucony (2.10) nie jest tezą systemu Łuk. Dowód. Przedstawimy klasę modeli, taką że z jednej strony aksjomaty systemu Łuk są jej tautologiami, a reguły MP i Sub zachowują tautologiczność, a z drugiej strony aksjomat odrzucony nie jest tautologią. Klasa ta określona jest następująco: MI1 = (N1, I1, v), gdzie N1 = {n1, n2, n3}, I1 dla funktorów rachunku zdań jest określona klasycznie, a dla formuł atomowych – przez następujące matryce: a n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 1 1 1 Reguła MP zachowuje tautologiczność, bo interpretacja implikacji jest klasyczna. Reguła Sub nie wpływa na tautologiczność, bo formuła jest tautologią, gdy jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu, a podstawienie nie może tego zmienić. Sprawdzenie, że aksjomaty systemu Łuk są tautologiami, jest rutynowe. Aksjomat odrzucony (2.10) jest fałszywy w modelu przy następującym wartościowaniu v: P – n1, S – n2 i M – n33. ¥ Twierdzenie 9. Każda formuła języka systemu Łuk jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. 3Ponieważ kwestię wyprowadzalności aksjomatu odrzuconego w systemie Łuk można rozstrzygnąć w oparciu o procedurę przedstawioną w Podrozdziale 1.5, wystarczyłoby jako dowód pokazać użycie programu implementującego tę procedurę z negatywnym wynikiem próby znalezienia dowodu. Tego typu komputerowe dowody wzbudzają jednak pewne kontrowersje. Problematyka ta szeroko dyskutowana była w kontekście komputerowego dowodu twierdzenia o czterech barwach, zob. np. [69]. 62 Klasyczne systemy zakresowe Dowód. Ponieważ system Łuk jest nadbudowany nad klasycznym rachunkiem zdań, w którym każda formuła może być sprowadzona do koniunkcyjnoalternatywnej postaci normalnej, wystarczy rozpatrzyć formuły o postaci: α→ β1 ∨ . . . ∨ βn (n - 0), (2.15) gdzie α jest formułą elementarną, a βi (1 ¬ i ¬ n) są atomami (jeśli n = 0, interpretujemy formułę ze schematu (2.15) jako ¬α). Na podstawie Lematu 9 każda formuła hornowska jest tezą bądź wyrażeniem odrzuconym systemu Łuk. Na mocy praw klasycznego rachunku zdań, jeżeli dla dowolnego i (1 ¬ i ¬ n) tezą jest α→ βi, to α→ β1∨ . . .∨βn również jest tezą. Z drugiej strony, w związku z obecnością reguły Comp−1, jeżeli dla każdego i (1 ¬ i ¬ n) α → βi jest odrzucone, to α → β1 ∨ . . . ∨ βn jest również odrzucone. Tak więc każda formuła języka jest tezą lub wyrażeniem odrzuconym systemu Łuk. Aby zakończyć dowód musimy wykazać, że żadna formuła odrzucona nie jest tezą. Lemat 10 pokazuje, że aksjomat odrzucony nie jest tezą. Ponieważ reguły odrzucania MP−1 i Sub−1 stanowią odpowiednio odwrócenie reguł MP i Sub, ich użycie prowadzi od formuł odrzuconych (w przypadku reguły MP−1 chodzi o przesłankę odrzuconą), które nie są tezami, do innych formuł, które tezami też nie są. Z kolei ponieważ system Łuk jest teorią hornowską odnosi się do niej Twierdzenie 6. W związku z tym również reguła Comp−1, o ile jej przesłanki nie są tezami, prowadzi do wniosku, który tezą nie jest. W rezultacie żadna formuła odrzucona nie jest tezą. ¥ 2.1.3 Model w rachunku zbiorów W rachunku zbiorów interpretuje się system Łukasiewicza, przypisując nazwom niepuste zbiory, a zdania ogólnoi szczegółowotwierdzące interpretuje się odpowiednio jako zawieranie się zbiorów oraz posiadanie niepustego przecięcia. Formalnie klasę modeli dla systemu Łukasiewicza określa struktura: MI2 = (D, I2, v), gdzieD jest niepustym zbiorem, wartościowanie v przypisuje zmiennym niepuste podzbiory D, a interpretacja I2 dla formuł atomowych jest określona następująco: I2(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y); I2(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅, a dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna. System Łukasiewicza 63 Twierdzenie 10. System Łuk jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy MI2. Dowód. W obecności Twierdzenia 9 wystarczy pokazać, że tezy systemu są tautologiami w klasie modeli MI2 , a wyrażenia odrzucone nie są. Podstawowe własności zawierania się zbiorów gwarantują, że aksjomaty Łuk są tautologiami. Aksjomat odrzucony jest niespełniony na przykład w modelu określonym w zbiorze D = {1, 2} przez następujące wartościowanie: v(S) = {1}, v(P ) = {2}, v(M) = {1, 2}. Reguły MP i MP−1 zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność, ponieważ interpretacja implikacji jest standardowa. Z kolei reguły Sub i Sub−1 zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność, ponieważ jeżeli formuła jest prawdziwa w każdym modelu, to podstawienie za zmienne zdaniowe nie może tego zmienić. Pozostaje więc udowodnić, że reguła Comp−1 prowadzi od niespełnionych przesłanek do niespełnionej konkluzji. Pokażemy, jak skonstruować odpowiedni model dla n = 2. Dla rozszerzenia tego rezultatu na przypadek ogólny wystarczy zastosować prostą indukcję. Rozpatrzmy dwie niespełnione formuły, mogące stanowić przesłanki reguły Comp−1 o postaciach odpowiednio: α→ β1 i α→ β2, gdzie α = α1∧. . .∧αn (n - 0, a dla każdego i, takiego że 0 ¬ i ¬ n αi są atomami), a β1 i β2 są atomami. W tej sytuacji istnieją w MI2 modele w dziedzinach odpowiednio D1 i D2 określone przez wartościowania odpowiednio v1 i v2, takie że I2(v1(α→ β1)) = I2(v2(α→ β2)) = 0. W związku z tym I2(v1(β1)) = I2(v2(β2)) = 0 oraz dla każdego i, takiego że 0 ¬ i ¬ n: I2(v1(αi)) = I2(v2(αi)) = 1. Zdefiniujmy kolejny model z MI2 w dziedzinie D1×D2 z wartościowaniem v3 określonym dla dowolnej zmiennej X następująco: v3(X ) = v1(X )×v2(X ). Ponieważ dla dowolnych zbiorów x1, x2, y1 i y2 zachodzą następujące prawidłowości: (x1 ⊆ y1 ∧ x2 ⊆ y2) ≡ (x1 × x2) ⊆ (y1 × y2), (2.16) (x1 ∩ y1 6= ∅ ∧ x2 ∩ y2 6= ∅) ≡ (x1 × x2) ∩ (y1 × y2) 6= ∅, (2.17) I2(v3(αi)) = 1 dla każdego i, takiego że 0 ¬ i ¬ n oraz I2(v3(β1)) = I2(v3(β2)) = 0, a więc również I2(v3(α → β1 ∨ β2)) = 0, co oznacza, że konkluzja reguły Comp−1 nie jest tautologią. ¥ 64 Klasyczne systemy zakresowe 2.1.4 Niezależność aksjomatów Twierdzenie 11. Aksjomaty systemu Łuk są niezależne. Dowód. Posłużymy się rozumowaniem analogicznym do wykorzystanego w dowodzie Lematu 10. Dla każdego z aksjomatów przedstawimy więc klasę modeli MI , taką że pozostałe aksjomaty są w niej tautologiami, a rozpatrywany aksjomat nie jest. Ograniczymy się do przedstawienia interpretacji I, odpowiedniej dla wykazania niezależności każdego z aksjomatów oraz wartościowania pokazującego, że aksjomat nie jest tautologią. We wszystkich przypadkach interpretacja funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Aksjomat (2.1) – dziedzina {n1}, interpretacja I3: I3(n1an1) = 0; I3(n1in1) = 1. Aksjomat (2.2) – dziedzina {n1}, interpretacja I4: I4(n1an1) = 1; I4(n1in1) = 0. Aksjomat (2.3) – dziedzina {n1, n2, n3}, interpretacja I5: I5(v(X iY)) = 1 dla dowolnych argumentów; I5(v(XaY)) przyjmuje wartości zgodnie z matrycą: a n1 n2 n3 n1 1 1 0 n2 1 1 1 n3 1 1 1 Aksjomat (2.3) jest fałszywy przy wartościowaniu v: S – n1, P – n3, M – n2. Aksjomat (2.4) – dziedzina {n1, n2}, interpretacja I6: I6(v(XaY)) oraz I6(v(X iY)) przyjmuje wartości zgodnie z poniższą matrycą: System sylogistyki dopuszczający nazwy puste 65 a/i n1 n2 n1 1 1 n2 0 1 Aksjomat (2.4) jest fałszywy przy wartościowaniu v: S – n2, P – n1, M – n1. ¥ 2.2 System sylogistyki dopuszczający nazwy puste 2.2.1 System aksjomatyczny W systemie sylogistyki dopuszczającym nazwy puste (system standardowy sylogistyki – Stnd) język jest ten sam, co w systemie Łuk, a więc terminami pierwotnymi są a oraz i. Aksjomatami są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku, formuły (2.3), (2.4), (2.6) oraz: PiS → SaS. (2.18) Aksjomat (2.18) jest w oczywisty sposób wyprowadzalny z formuły (2.1), a więc wszystkie aksjomaty systemu Stnd są aksjomatami lub tezami systemu Łuk, co oznacza, że system Stnd jest zawarty w systemie Łuk. W oparciu o aksjomaty (2.18) i (2.6) możemy otrzymać: SiS ≡ SaS. (2.19) Na podstawie aksjomatów (2.18) i (2.4) można w systemie Stnd udowodnić formułę (2.5), a formuły (2.4) i (2.6) są aksjomatami systemu Stnd. Zatem można również udowodnić w systemie formuły (2.7), (2.8) i (2.9) oraz, co za tym idzie, obowiązują w nim odpowiedniki Lematów 5 i 6. Tezami systemu Stnd są również następujące formuły: PaS → PaP, (2.20) otrzymane z (2.18) i (2.7); PaS → SaS, (2.21) 66 Klasyczne systemy zakresowe otrzymane z (2.18) i (2.6); PaS → PiP, (2.22) otrzymane z (2.20) i (2.5); PaS → SiS, (2.23) otrzymane z (2.21) i (2.5). Lemat 11. Niech α będzie dowolną koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaS, SaP , SiS, PiP , SiP , PiS}. Formuła PaS → α jest tezą systemu Stnd. Dowód. Własność określona w twierdzeniu jest prostą konsekwencją faktu, że tezami systemu Stnd są formuły (2.20), (2.21), (2.6), (2.7), (2.22) i (2.23). ¥ 2.2.2 Aksjomatyczny system odrzucania Charakterystyka systemu Stnd z powyższej sekcji pozwala na przeprowadzenie rozważań dotyczących systemu aksjomatycznego odrzucania, analogicznego do systemu Łuk. Określony on będzie przy użyciu reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1. Aksjomatami odrzuconymi dla systemy Stnd są formuły (2.10) oraz PaP → SiS. (2.24) Definicja 6. Wyrażeniem odrzuconym systemu Stnd jest każdy z aksjomatów odrzuconych (2.10) i (2.24) a także każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. W systemie Stnd obowiązuje własność analogiczna do Lematu 7. Lemat 12. Formuły (2.11), (2.12) oraz (2.2) są formułami odrzuconymi systemu Stnd. Dowód. W przypadku formuły (2.12) dowód jest identyczny jak w Lemacie 74. Odrzucenie formuły (2.11) w systemie Stnd jest następujące: 4Wykorzystane w dowodzie formuły przyjęte i odrzucone w systemie Łuk są również odpowiednio przyjęte i odrzucone w systemie Stnd. Inaczej jest z odrzuceniem formuły (2.11), gdyż został tu wykorzystany aksjomat (2.1), który nie jest tezą systemu Stnd. System sylogistyki dopuszczający nazwy puste 67 1. ` ¬PaP → (PaP → SiS)) KRZ 2. a PaP → SiS aksjomat odrzucony (2.24) 3. a ¬PaP MP−1: 1, 2 a ¬SaS Sub−1: 3 Odrzucenie formuły (2.2) w systemie Stnd jest następujące: 1. ` SiS → (PaP → SiS)) KRZ 2. a PaP → SiS aksjomat odrzucony (2.24) a SiS MP−1: 1, 2 ¥ Lemat 13. Każda formuła atomowa języka systemu Stnd jest wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Z a SiS oraz aksjomatu (2.6) uzyskać można a SaS. Odrzucenie każdego innego wyrażenia atomowego można uzyskać przy użyciu reguły Sub−1. ¥ Lemat 14. Każda formuła hornowska języka systemu Stnd jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Jak w dowodzie Lematu 9 pokażemy zachodzenie lematu dla formuł hornowskich o następujących postaciach: (i) ¬α, (ii) α → XaX , (iii) α→ X iX , (iv) α→ XaY , (v) α→ X iY , gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. W związku z tym, że w systemie Stnd obowiązują własności analogiczne do tych, które dla systemu Łuk określone są w Lematach 5 i 6 oraz odrzucone są formuły wymienione w Lemacie 12 dla przypadków (i), (iv) i (v), dowód pokrywa się z analogicznymi przypadkami dla systemu Łuk (w przypadku (iv) i (v) uwzględniony musi zostać Lemat 11). Przypadek (ii). Ze względu na tezę (2.19) każda formuła o tej postaci jest równoważna formule o postaci (iii), a więc jest tezą lub formułą odrzuconą. Przypadek (iii). Jeżeli w wyrażeniu α, stanowiącym poprzednik rozpatrywanej formuły, występuje zmienna X , to na mocy aksjomatów (2.18) i (2.6) oraz tezy (2.5) formuła ta jest tezą systemu Stnd. W przeciwnym przypadku stosujemy do niej podstawienie e, w którym za X podstawiamy S, a za wszystkie inne zmienne podstawiamy P . e(α) 68 Klasyczne systemy zakresowe jest wtedy koniunkcją wyrażeń ze zbioru {PaP, P iP}, równoważną PaP , a e(α → X iX ) jest równoważna aksjomatowi odrzuconemu (2.24). Stosując regułę MP−1, otrzymamy więc a e(α→ X iX ), a dalej stosując regułę Sub−1, a α→ X iX . ¥ Lemat 15. Aksjomaty odrzucone (2.10) i (2.24) nie są tezami systemu Stnd. Dowód. Możemy zastosować rozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie Lematu 10. W przypadku aksjomatu (2.10) można zastosować wprost klasę modeli MI1 z tego dowodu. W przypadku aksjomatu odrzuconego (2.24) odpowiednia klasa modeli może być określona następująco: MI7 = (N7, v, I7), gdzie dziedzina N7 = {n1, n2}, a interpretacja I7 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest przez matrycę: a/i n1 n2 n1 0 0 n2 0 1 Aksjomat odrzucony (2.24) jest fałszywy przy wartościowaniu v, takim że v(P ) = n2, a za v(S) = n1. ¥ Twierdzenie 12. Każda formuła języka systemu Stnd jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9, przy czym wykorzystać trzeba Lematy 14 oraz 15. ¥ 2.2.3 Model w rachunku zbiorów Modele dla systemu Stnd różnią się od modeli dla systemu Łuk tym, że funkcja wartościowania może przyporządkować zmiennej również zbiór pusty. Jednocześnie, aby zdanie ogólnotwierdzące było prawdziwe, wymagane jest, aby obu nazwom w nim występującym odpowiadały niepuste zbiory. Klasę modeli dla systemu Stnd określa struktura MI8 = (D, I8, v), gdzie D jest niepustym zbiorem, wartościowanie v przypisuje zmiennym dowolne podzbiory D, a interpretacja I8 dla formuł atomowych jest określona następująco: System sylogistyki dopuszczający nazwy puste 69 I8(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y) i v(X ) 6= ∅; I8(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅, a dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Twierdzenie 13. System Stnd jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy MI8. Dowód. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 wystarczy pokazać, że tezy systemu są tautologiami w klasie modeli MI8 , a wyrażenia odrzucone nie są. Sprawdzenie, że aksjomaty Stnd są tautologiami, jest rutynowe. Aksjomaty odrzucone są fałszywe odpowiednio przy następujących interpretacjach występujących w nim zmiennych: v(S) = {1}, v(P ) = {2}, v(M) = {1, 2} (D = {1, 2}) – dla (2.10) oraz v(S) = ∅, v(P ) = {1} (D = {1}) – dla (2.24). Reguły MP , Sub, MP−1 i Sub−1 zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność. Pozostaje do udowodnienia, że reguła Comp−1 prowadzi od przesłanek, które nie są tautologiami, do konkluzji, która tautologią też nie jest. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 ograniczymy się do wykazania tego faktu dla n = 2. Wykorzystamy prawo rachunku zbiorów (2.17) z dowodu Twierdzenia 10 oraz fakt, że dla dowolnych zbiorów x1, x2, y1 i y2 zachodzi (x1 ⊆ y1 ∧x1 6= ∅∧x2 ⊆ y2 ∧x2 6= ∅) ≡ (x1×x2) ⊆ (y1× y2)∧ (x1×x2) 6= ∅. (2.25) Niech α → β1 i α → β2 (dla α będącej formułą elementarną, a β1 i β2 formułami atomowymi) będą formułami, które nie są tautologiami. W tej sytuacji istnieją w MI8 modele w dziedzinach odpowiednio D1 i D2, określone przez wartościowania odpowiednio v1 i v2, takie że I8(v1(α → β1)) = I8(v2(α → β2)) = 0. W związku z tym I8(v1(β1)) = I8(v2(β2)) = 0 oraz I8(v1(α)) = I8(v2(α)) = 1. Analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia 10 zdefiniujmy kolejny model z MI8 w dziedzinie D1 ×D2, z wartościowaniem v3 określonym dla dowolnej zmiennej X następująco: v3(X ) = v1(X ) × v2(X ). W modelu tym formuła α→ β1 ∨ β2 jest niespełniona, co pozwala zakończyć dowód. ¥ 2.2.4 Niezależność aksjomatów Twierdzenie 14. Aksjomaty systemu Stnd są niezależne. 70 Klasyczne systemy zakresowe Dowód. Dowód będzie przebiegał w sposób analogiczny do dowodu Twierdzenia 11. Wykorzystamy również klasy modeli użyte w tamtym dowodzie. Dla wykazania niezależności aksjomatów (2.18) i (2.6) można zastosować dziedzinę {n1} i odpowiednio interpretacje I3 oraz I4, dla aksjomatu (2.8) – dziedzinę {n1, n2, n3} i interpretację I5, a dla aksjomatu (2.9) – dziedzinę {n1, n2} i interpretację I6. Wartościowania, dla których formuły nie są spełnione w modelach, są takie same jak w dowodzie Twierdzenia 11. ¥ Analogicznie do dobrze znanego pojęcia niezależności aksjomatów można postawić problem niezależności aksjomatów odrzuconych. Definicja 7. Zbiór aksjomatów odrzuconych Φ w systemie opartym o aksjomaty uznane Ψ jest niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje formuła α ∈ Φ, którą daje się odrzucić w systemie określonym poprzez zbiór aksjomatów uznanych Ψ i odrzuconych Φ − {α} przy zachowaniu tych samych reguł uznawania i odrzucania. Twierdzenie 15. Zbiór aksjomatów odrzuconych systemu Stnd jest niezależny. Dowód. Dowód rozpoczniemy od pokazania, że aksjomaty odrzucone nie są na gruncie systemu Stnd wzajemnie z siebie wyprowadzalne. Aby udowodnić, że aksjomat odrzucony (2.10) nie jest wyprowadzalny w systemie Stnd z aksjomatu odrzuconego (2.24), wystarczy zauważyć, że aksjomaty systemu Stnd oraz aksjomat (2.24) są tezami systemu Łuk, natomiast aksjomat (2.10) nie jest. Z kolei fakt, że aksjomat odrzucony (2.24) nie jest wyprowadzalny z aksjomatu odrzuconego (2.10) w systemie Stnd, wynika z tego, iż aksjomaty systemu Stnd oraz aksjomat (2.10) są tautologiami, a aksjomat (2.24) nie jest, w klasie modeli MI9 = (N9, I9, v), gdzie N9 = {n1, n2}. Interpretacja I9 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla atomów jest wyznaczona przez matrycę: a/i n1 n2 n1 0 0 n2 0 1 Aksjomat (2.24) nie jest spełniony w modelu z wartościowaniem v, w którym v(S) = n1, a v(P ) = n2. Sylogistyka Brentany 71 Ponieważ aksjomaty odrzucone są formułami hornowskimi, na mocy Twierdzenia 8 możemy stwierdzić, że żadnego z aksjomatów odrzuconych nie da się odrzucić przy użyciu drugiego. ¥ 2.3 Sylogistyka Brentany 2.3.1 System aksjomatyczny W systemie sylogistyki Brentany (system B) język jest ten sam, co w systemie Łuk, a więc terminami pierwotnymi są a oraz i. Aksjomatami są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku, formuły (2.1), (2.3), (2.4) oraz SiP → SiS, (2.26) SaP ∨ SiS. (2.27) Dzięki aksjomatowi (2.3) w systemie B obowiązuje odpowiednik Lematu 5. Tezami systemu są formuły (2.5) otrzymane z (2.4) i (2.1) i (2.9) otrzymane z (2.4) oraz SiS ∧ SaP → SiP, (2.28) otrzymane z (2.4); SiS ∧ SaP → PiS, (2.29) otrzymane z (2.28), (2.5); SiS ∧ SaP → PiP, (2.30) otrzymane z (2.29) oraz (2.26); MiM ∧MaS ∧MaP → SiP, (2.31) otrzymane z (2.9); MiN ∧MaS ∧MaP → SiP, (2.32) otrzymane z (2.31) i (2.26); NiM ∧MaS ∧MaP → SiP, (2.33) 72 Klasyczne systemy zakresowe otrzymane z (2.32) i (2.5); SaM → SaP ∨MiM, (2.34) otrzymane z (2.3) oraz (2.27); MaS ∧MaP → SiP ∨MaN, (2.35) otrzymane z (2.31) i (2.27); SaM ∧ SiS ∧MaS ∧MaP → SiP, (2.36) otrzymane z (2.31) i (2.28); MaP ∧ SiS ∧ SaM → SiP, (2.37) otrzymane z (2.28), (2.3); MaP ∧ SiS ∧ SaM → PiS, (2.38) otrzymane z (2.37), (2.5); MaN ∧MiP ∧NaS → SiP, (2.39) otrzymane z (2.3), (2.4); SiM ∧MaP → SiP, (2.40) otrzymane z (2.4), (2.5); MaS ∧MiM ∧ SaP → SiP, (2.41) otrzymane z (2.28) i (2.30); MaS ∧MiM ∧ SaP → PiS, (2.42) otrzymane z (2.41) i (2.5); MaS ∧MiM ∧ SaP → PiP, (2.43) otrzymane z (2.42) i (2.26). Sylogistyka Brentany 73 2.3.2 Model w teorii zbiorów – interpretacja w systemie Stnd Model dla systemu B jest podobny do modelu systemu Stnd z tą różnicą, że przy zdaniach ogólnotwierdzących (zbudowanych przy użyciu funktora a) nie wymaga się, aby zbiory odpowiadające argumentom były niepuste. Formalnie klasę modeli dla systemu B określa następująca struktura: MI10 = (D, I10, v), gdzie D jest niepustym zbiorem, wartościowanie v przypisuje zmiennym dowolne podzbiory D, a interpretacja I10 dla formuł atomowych jest określona następująco: I10(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y); I10(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅, a dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Definicja 8. Niech funkcja gb dla dowolnej formuły języka będzie określona w następujący sposób: gb(XaY) = XaY ∨ ¬(X iX ); gb(X iY) = X iY; gb(¬α) = ¬(gb(α)); gb(α ∧ β) = gb(α) ∧ gb(β); gb(α ∨ β) = gb(α) ∨ gb(β); gb(α→ β) = gb(α)→ gb(β); gb(α ≡ β) = gb(α) ≡ gb(β). Definicja 9. Niech funkcja gs dla dowolnej formuły języka będzie określona w następujący sposób: gs(XaY) = XaY ∧ X iX ; gs(X iY) = X iY; gs(¬α) = ¬(gs(α)); gs(α ∧ β) = gs(α) ∧ gs(β); gs(α ∨ β) = gs(α) ∨ gs(β); gs(α→ β) = gs(α)→ gs(β); gs(α ≡ β) = gs(α) ≡ gs(β). Lemat 16. Jeżeli α jest tezą systemu B, to gb(α) jest tezą systemu Stnd. Dowód. Ponieważ oba systemy nadbudowane są nad klasycznym rachunkiem zdań, wystarczy pokazać, że tezami systemu Stnd są wyrażenia będące war74 Klasyczne systemy zakresowe tościami funkcji gb zastosowanej do aksjomatów specyficznych systemu B, (2.1) – (2.27). Przyjmują one postać: SaS ∨ ¬SiS, (2.44) SiP → SiS, (2.45) (MaP ∨ ¬MiM) ∧ (SaM ∨ ¬SiS)→ (SaP ∨ ¬SiS), (2.46) (MaP ∨ ¬MiM) ∧MiS → SiP, (2.47) SaP ∨ ¬SiS ∨ SiS. (2.48) Formuła (2.44) jest równoważna w KRZ formule SiS → SaS będącej podstawieniem aksjomatu (2.18). Formuła (2.45) jest bezpośrednią konsekwencją aksjomatów (2.18) i (2.6). Formuła (2.46) jest w KRZ równoważna: (MaP ∧ SaM) ∨ (MaP ∧ ¬SiS) ∨ (¬MiM ∧ SaM) ∨ (¬MiM ∧ ¬SiS)→ (SaP ∨ ¬SiS) oraz ((MaP ∧ SaM)→ (SaP ∨ ¬SiS)) ∧ ((MaP ∧ ¬SiS)→ (SaP ∨ ¬SiS)) ∧ ((¬MiM ∧ SaM)→ (SaP ∨¬SiS))∧ ((¬MiM ∧¬SiS)→ (SaP ∨¬SiS)). Każdy z członów powyższej koniunkcji jest tezą systemu Stnd na mocy odpowiednio: pierwszy – aksjomatu (2.3), drugi i czwarty – praw KRZ, trzeci, który z kolei jest równoważny (SaM ∧ SiS) → (SaP ∨MiM) – aksjomatu (2.6) oraz tezy (2.45). Formuła (2.47) jest w KRZ równoważna: (MaP ∧MiS) ∨ (¬MiM ∧MiS)→ SiP oraz (MaP ∧MiS → SiP ) ∧ (¬MiM ∧MiS → SiP ) i (MaP ∧MiS → SiP ) ∧ (MiS → SiP ∨MiM). Pierwszy człon koniunkcji jest identyczny z aksjomatem (2.4), a drugi jest wyprowadzalny w Stnd z tezy (2.45). Formuła (2.48) jest podstawieniem tezy KRZ. ¥ Lemat 17. Jeżeli α jest tezą systemu Stnd, to gs(α) jest tezą systemu B. Sylogistyka Brentany 75 Dowód. Jak w dowodzie Lematu 16 ograniczymy się do pokazania, że formuły otrzymane przez zastosowanie funkcji gs do aksjomatów specyficznych systemu Stnd są tezami B. Przyjmują one następującą postać: SiP → SaS ∧ SiS, (2.49) SaP ∧ SiS → SiP, (2.50) MaP ∧MiM ∧ SaM ∧ SiS → SaP ∧ SiS, (2.51) MaP ∧MiM ∧MiS → SiP. (2.52) Formuła (2.49) jest bezpośrednią konsekwencją aksjomatów (2.1) i (2.26). Formuła (2.50) jest równoważna tezie systemu B (2.28). Formuły (2.51) i (2.52) są konsekwencją odpowiednio (2.3) i (2.4) w klasycznym rachunku zdań. ¥ Lemat 18. W systemie B dla dowolnej formuły α zachodzi równoważność gs(gb(α)) ≡ α. Dowód. Wystarczy pokazać równoważność dla wyrażeń o postaci XaY – indukcyjne rozszerzenie jej na dowolne formuły jest rutynowe. Z zastosowania rozważanej funkcji otrzymamy: gs(gb(XaY)) = gs(XaY ∨ ¬X iX ) = (XaY ∧ X iX ) ∨ ¬X iX . Na mocy praw KRZ zachodzą następujące równoważności: (XaY ∧X iX )∨¬X iX ≡ (XaY ∨¬X iX )∧ (X iX ∨¬X iX ) ≡ XaY ∨¬X iX . Ponieważ w B mamy ¬X iX → XaY (przekształcony w KRZ aksjomat (2.27)), otrzymamy również: XaY ∨ ¬X iX ≡ XaY . ¥ Lemat 19. Formuła gb(α) jest tautologią w klasie modeli MI8 wtedy i tylko wtedy, gdy α jest tautologią w klasie modeli MI10. 76 Klasyczne systemy zakresowe Dowód. Wystarczy pokazać, że przy ustalonej dziedzinie D i wartościowaniu v dowolna formuła atomowa β jest spełniona w modelu MI10 wtedy i tylko wtedy, gdy gb(β) jest spełniona w modelu MI8 . W przypadku atomu o postaci X iY funkcja gb prowadzi do identycznej formuły, a warunki interpretacji I8 oraz I10 są identyczne. Dla XaY z definicji funkcji gb mamy gb(XaY) = XaY ∨¬X iX , a w interpretacji I8 oznacza to, że (v(X ) ⊆ v(Y)∧ v(X ) 6= ∅) lub v(X )∩v(X ) = ∅, co z kolei jest równoważne f(X ) ⊆ f(Y). W interpretacji I10 formuła v(XaY) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy f(X ) ⊆ f(Y). ¥ Twierdzenie 16. System B jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy MI10. Dowód. Poprawność. Niech α będzie dowolną tezą systemu B. Na mocy Lematu 16 gb(α) jest tezą Stnd. Na mocy Twierdzenia 13 gb(α) jest spełniona w każdym modelu z klasy MI8 . W tej sytuacji, na mocy Lematu 19, α jest spełniona w każdym modelu z klasy MI10 . Pełność. Niech teraz α będzie formułą spełnioną w każdym modelu należącym do klasy MI10 . Na mocy Lematu 19 gb(α) jest spełniona w każdym modelu z klasy MI8 . Na mocy Twierdzenia 13 gb(α) jest tezą Stnd. Na mocy Lematu 17 gs(gb(α)) jest tezą B. Lemat 18 gwarantuje, że w systemie B gs(gb(α)) ≡ α, a więc α jest tezą B. ¥ 2.3.3 Hornowski fragment Hornowski fragment systemu B, który oznaczać będziemy B-horn, używa tego samego języka, a jako aksjomaty, oprócz podstawień tez klasycznego rachunku zdań, wykorzystuje formuły (2.1), (2.26), (2.3) i (2.4). Ze względu na to, że w dowodach tez (2.5), (2.28), (2.9) oraz (2.31) nie korzysta się z aksjomatu (2.4), są one tezami systemu B-horn. Dzięki aksjomatowi (2.3) w systemie B-horn, tak jak i w systemie B, obowiązuje odpowiednik Lematu 5. Dla systemu B-horn można określić system aksjomatycznego odrzucania jak w pozostałych systemach będących teoriami hornowskimi. Regułami odrzucania są MP−1, Sub−1 oraz Comp−1. Aksjomatami odrzuconymi dla systemu są formuły: SiS ∧ PiP ∧ SaM ∧ PaM → SiP ; (2.53) PiP ∧ SaP → SiS. (2.54) Sylogistyka Brentany 77 Definicja 10. Wyrażeniem odrzuconym systemu B-horn jest każdy z aksjomatów odrzuconych (2.53) i (2.54) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 20. Formuły (2.10), (2.2), (2.11), (2.13) oraz PaS ∧ PiP → SaP (2.55) są formułami odrzuconymi systemu B-horn. Dowód. Dla odrzucenia formuły (2.10) wystarczy zauważyć, że implikacja, w której poprzedniku znajduje się formuła (2.10), a w następniku aksjomat odrzucony (2.53), jest podstawieniem tezy KRZ, a zatem formułę (2.10) można odrzucić, wykorzystując regułę MP−1. Analogicznie dla odrzucenia formuły (2.2) można wykorzystać fakt, że implikacja z formułą (2.2) jako poprzednikiem i aksjomatem odrzuconym (2.54) jako następnikiem jest podstawieniem tezy KRZ. Ponieważ formuła (2.1) jest aksjomatem systemu B-horn, a formuła (2.10) jest odrzucona w systemie B-horn, dla odrzucenia formuły (2.11) w tym systemie można zastosować dowód z Lematu 7. Odrzucenie formuły (2.55) w systemie B-horn jest następujące: 1. `MaP ∧ SiS ∧ SaM → SiP teza (2.37) 2. ` (MaP ∧ SiS ∧ SaM → SiP )→ ((PaM ∧ PiP →MaP )→ (SiS ∧ PiP ∧ SaM ∧ PaM → SiP )) KRZ 3. ` (PaM ∧ PiP →MaP )→ (SiS ∧ PiP ∧ SaM ∧ PaM → SiP ) MP : 2, 1 4. a SiS ∧ PiP ∧ SaM ∧ PaM → SiP a. odrz. (2.54) 5. a PaM ∧ PiP →MaP MP−1: 3, 4 a PaS ∧ PiP → SaP Sub−1: 5 Odrzucenie formuły (2.13) w systemie B-horn jest następujące: 1. a PaS ∧ PiP → SaP odrzucenie formuły (2.55) 2. ` SaP → (PaS ∧ PiP → SaP ) KRZ a SaP MP−1: 2, 1 ¥ Lemat 21. Każda formuła atomowa języka systemu B-horn jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. 78 Klasyczne systemy zakresowe Dowód. Formuły atomowe o postaci XaX są tezami ze względu na aksjomat (2.1). a SiS oraz a SaP zachodzi na mocy Lematu 20. Pozostałe formuły atomowe z wyjątkiem tych o postaci XaX można odrzucić przy użyciu reguły Sub−1. ¥ Lemat 22. Każda formuła hornowska języka systemu B-horn jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Rozpatrzymy osobno następujące przypadki formuł hornowskich: (i) ¬α, (ii) α→ XaX , (iii) α→ X iX , (iv) α→ XaY , (v) α→ X iY , gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. Dla przypadków (i) i (ii) dowód jest identyczny jak w analogicznych przypadkach Twierdzenia 9 (w przypadku (i) wszystkie formuły są odrzucone, a w przypadku (ii) są tezami). W przypadku (iii), jeżeli dla pewnych Y , Z oraz β ∈ aL(Z,X ) α zawiera X iY , YiX , ZiY ∧ β lub YiZ ∧ β, to na mocy aksjomatów (2.26) i (2.4), tezy (2.5) oraz Lematu 5, α jest tezą. W przeciwnym przypadku zastosujemy podstawienie e1, określone następująco: S podstawione jest za X i każdą zmienną Y , taką że α zawiera element zbioru aL(Y ,X ), a P za wszystkie inne zmienne. e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {SaS, SaP , PaP , PiP}. Ponieważ formuła (2.1) jest aksjomatem systemu B-horn, zachodzi ` SaP ∧ PiP → e1(α), a więc również ` e1(α→ X iX )→ (SaP ∧ PiP → SiS). Wykorzystując regułę MP−1 i aksjomat odrzucony (2.54), otrzymujemy stąd a e1(α→ X iX ) i dalej przy użyciu reguły Sub−1: a α→ X iX . Przypadek (iv). Jeżeli α zawiera łańcuch łączący X z Y , to na podstawie Lematu 5, formuła α → XaY jest tezą systemu Łuk. W przeciwnym przypadku zastosujemy podstawienie e2, określone następująco: P podstawia się za Y oraz każdą zmienną Z, taką że α zawiera łańcuch łączący Z z Y , a S podstawia się za wszystkie inne zmienne występujące w rozważanym wyrażeniu (w tym X ). Wtedy e2(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaS, PaS, SiS, PiP , SiP , PiS}. Ze względu na aksjomat (2.1) oraz tezy (2.28), (2.29) i (2.30) mamy w tej sytuacji ` PaS ∧ PiP → e2(α). Ponieważ e2(XaY) = SaP zachodzi również jako podstawienie prawa KRZ ` (PaS ∧ PiP → e2(α)) → (e2(α → XaY) → (PaS ∧ PiP → SaP )), a zatem także ` e2(α→ XaY)→ (PaS ∧ PiP → SaP ). Sylogistyka Brentany 79 Na mocy Lematu 20 mamy a PaS ∧ PiP → SaP , a więc przy użyciu reguły MP−1 możemy otrzymać a e2(α → XaY), i dalej, na mocy reguły Sub−1, a α→ XaY . W ramach przypadku (v) rozważymy trzy możliwości: (a) α zawiera elementy zbiorów aL(X ,Y) oraz aL(Y ,X ) (b) nie zachodzi poprzedni przypadek, ale α zawiera element zbioru aL(X ,Y) ∪ aL(Y ,X ) i (c) nie zachodzi żaden z wymienionych przypadków. W przypadku (a) jeżeli α zawiera dowolny atom zbudowany przy użyciu funktora i z X bądź Y użytym jako argument lub dla pewnych Z i V oraz β ∈ aL(Z,X ) ZiV ∧ β lub ViZ ∧ β, to rozpatrywana formuła jest tezą. W przeciwnym wypadku zastosujemy podstawienie e3, określone następująco: S podstawiamy za X , Y oraz każdą zmienną Z, taką że α zawiera element zbioru aL(Z,X )∪aL(Z,Y), P – za pozostałe zmienne. Analogicznie jak w przypadku (iv), formuła e3(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {SaS, SaP , PaP , PiP}, a więc zachodzi ` e3(α→ X iY)→ (PaS ∧ PiP → SiS). Przy użyciu reguły MP−1 i aksjomatu odrzuconego (2.54) otrzymamy stąd a e3(α→ X iY), i dalej, przy użyciu reguły Sub−1, a α→ X iY . Przy rozpatrywaniu przypadku (b) przyjmiemy, że α zawiera łańcuch łączący zmienną X ze zmienną Y , przy łańcuchu odwrotnym sytuacja jest analogiczna. Jeżeli zatem α zawiera X iY , YiX lub dla pewnych Z i V oraz β ∈ aL(Z,X ), ZiV ∧ β lub ViZ ∧ β, to rozpatrywana formuła jest tezą. W przeciwnym wypadku użyjemy podstawienia e4, określonego następująco: S podstawiamy za X oraz każdą zmienną Z, taką że α zawiera łańcuch łączący Z z X ; P – za pozostałe zmienne, w tym Y . e4(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {SaS, SaP , PaP , PiP}. Mamy więc ` e4(α→ X iY)→ (SaP ∧ PiP → SiP ). Ze względu na aksjomat (2.26) wynika stąd ` e4(α→ X iY)→ (SaP ∧ PiP → SiS). Tak jak w przypadku (a) możemy stąd otrzymać a α→ X iY . W przypadku (c), jeżeli α zawiera X iY , YiX lub dla pewnego Z łańcuch łączący Z z X oraz jeden z atomów ZiY lub YiZ, lub łańcuch łączący Z z Y oraz jeden z atomów ZiX lub X iZ, lub dla pewnych Z i V oraz β ∈ aL(Z,X ) i γ ∈ aL(V ,Y), ZiV ∧ β ∧ γ lub ViZ ∧ β ∧ γ, to rozpatrywana formuła jest tezą na mocy aksjomatu (2.4), tezy (2.9) oraz Lematu 80 Klasyczne systemy zakresowe 5. W przeciwnym wypadku skorzystamy z podstawienia e5, określonego następująco: S podstawiamy za X oraz każdą zmienną Z, taką że α zawiera łańcuch łączący Z z X , P – za Y oraz każdą zmienną V , taką że α zawiera łańcuch łączący Z z Y , M – za wszystkie inne zmienne. e5(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {SaS, PaP , MaM , SaM , PaM , SiS, PiP , MiM , SiM , MiS, PiM , MiP}. W związku z tym ` SiS ∧PiP ∧ SaM ∧PaM → e5(α), a co za tym idzie ` e5(α → X iY) → (SiS ∧ PiP ∧ SaM ∧ PaM → SiP ). Przy użyciu reguły MP−1 i aksjomatu odrzuconego (2.53) otrzymamy stąd a e5(α→ X iY) i dalej, przy użyciu reguły Sub−1, a α→ X iY . ¥ Lemat 23. Aksjomaty odrzucone (2.53) i (2.54) nie są tezami systemu B-horn. Dowód. Możemy zastosować rozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie Lematu 10. W przypadku aksjomatu (2.53) można zastosować wprost klasę modeli MI1 z tego dowodu. W przypadku aksjomatu odrzuconego (2.54), odpowiednia klasa modeli może być określona następująco: MI11 = (N11, v, I11), gdzie dziedzina N11 = {n1, n2}, a interpretacja I11 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest przez matryce: a n1 n2 n1 1 1 n2 0 1 i n1 n2 n1 0 0 n2 0 1 Aksjomat odrzucony (2.54) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że v(P ) = n2, a v(S) = n1. ¥ Twierdzenie 17. Każda formuła języka systemu B-horn jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9 z wykorzystaniem Lematu 22 i Lematu 23. ¥ 2.3.4 Aksjomatyka odrzuceniowa dla systemu B Do określenia aksjomatycznego odrzucania w systemie B wykorzystamy słabą regułę dekompozycji SC−1 o schemacie: a α→ βi ∨ βj, dla każdych i, j, takich że: 1 ¬ i < j ¬ n a α→ β1 ∨ . . . ∨ βn , n - 2, (2.56) Sylogistyka Brentany 81 gdzie α jest formułą elementarną, a βi (1 ¬ i ¬ n) są atomami. Jedyny aksjomat odrzucony przyjmuje postać: MaS∧MaP∧MaQ∧SaR∧PaR∧RaN∧QaN∧SiS∧PiP∧QiQ→ SiP∨RiQ. (2.57) Definicja 11. Wyrażeniem odrzuconym systemu B nazywamy aksjomat odrzucony (2.57) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub SC−1. Lemat 24. Formuły (2.53) oraz (2.54) są odrzucone w systemie B. Dowód. W dowodzie będziemy aksjomat odrzucony (2.57) oznaczać jako α. Odrzucenie formuły (2.53): 1. ` (SiS ∧ PiP ∧ SaR ∧ PaR→ SiP )→ α KRZ 2. a α aks. odrzucony (2.57) 3. a SiS ∧ PiP ∧ SaR ∧ PaR→ SiP MP : 2, 1 a SiS ∧ PiP ∧ SaM ∧ PaM → SiP Sub−1: 3 Odrzucenie formuły (2.54): 1. ` (MiM ∧MaS ∧MaP → SiP )→ ((SiS ∧MaS →MiM)→ α) KRZ 2. `MiM ∧MaS ∧MaP → SiP teza (2.31) 3. ` (SiS ∧MaS →MiM)→ α MP : 1, 2 4. a α aks. odrzucony (2.57) 5. a SiS ∧MaS →MiM MP−1: 3, 4 a PiP ∧ SaP → SiS Sub−1: 5 ¥ Konsekwencją Lematu 24 jest to, że wszystkie hornowskie formuły odrzucone w systemie B-horn są odrzucone w systemie B. Pozostałe formuły hornowskie są tezami systemu B-horn, a więc i B, a zatem każda formuła hornowska systemu B jest jego tezą lub wyrażeniem odrzuconym. 82 Klasyczne systemy zakresowe W dalszych rozważaniach posłużymy się następującą formułą: MaM ∧MaS ∧MaP ∧MaR ∧MaQ ∧MaN ∧ SaS ∧ SaR ∧ SaN∧ PaP ∧ PaR ∧ PaN ∧RaR ∧RaN ∧QaQ ∧QaN ∧NaN∧ SiS ∧ SiR ∧RiS ∧ SiN ∧NiS ∧ PiP ∧ PiR ∧RiP ∧ PiN ∧NiP∧ RiR ∧RiN ∧NiR ∧QiQ ∧QiN ∧NiQ ∧NiN → (2.58) SaM ∨ SaP ∨ SaQ ∨ PaM ∨ PaS ∨ PaQ ∨RaM ∨RaS ∨RaP ∨RaQ∨ QaM ∨QaS ∨QaP ∨QaR ∨NaM ∨NaS ∨NaP ∨NaR ∨NaQ∨ MiM ∨MiS ∨ SiM ∨MiP ∨ PiM ∨MiR ∨RiM ∨MiQ ∨QiM∨ MiN ∨NiM ∨ SiP ∨ PiS ∨ SiQ ∨QiS ∨ PiQ ∨QiP ∨RiQ ∨QiR. Lemat 25. Formuła (2.58) jest wyrażeniem odrzuconym w systemie B. Dowód. Pokażemy najpierw, że tezami systemu B są implikacje, których poprzednikami są atomy występujące w następniku (2.58), niewystępujące w następniku (2.57), w koniunkcji z atomami występującymi w poprzedniku (2.58), a następnikami – jeden z elementów następnika (2.57), wskazując odpowiednie tezy systemu B: • SaM : SaM ∧ SiS ∧MaS ∧MaP → SiP (2.36); • SaP : SaP ∧ SiS → SiP (2.28); • SaQ : SaQ ∧ SiS ∧ SaR→ RiQ (2.31); • PaM : PaM ∧ PiP ∧MaS ∧MaP → SiP (2.36); • PaS : PaS ∧ PiP → SiP (2.29); • PaQ : PaQ ∧ PiP ∧ PaR→ RiQ (2.31); • RaM : RaM ∧RiR ∧MaR ∧MaQ→ RiQ (2.36); • RaS : RaS ∧ PiP ∧ PaR→ SiP (2.38); • RaP : RaP ∧ SiS ∧ SaR→ SiP (2.37); • RaQ : RaQ ∧RiR→ RiQ (2.28); • QaM : QaM ∧QiQ ∧MaR ∧MaQ→ RiQ (2.36); Sylogistyka Brentany 83 • QaS : QaS ∧QiQ ∧ SaR→ RiQ (2.38); • QaP : QaP ∧QiQ ∧ PaR→ RiQ (2.38); • QaR : QaR ∧QiQ→ RiQ (2.29); • NaM : NaM ∧NiN ∧MaS ∧MaP → SiP (2.36); • NaS : NaS ∧NiQ ∧ SaR→ RiQ (3.32); • NaP : NaP ∧NiQ ∧ PaR→ RiQ (2.39); • NaR : NaR ∧NiQ→ RiQ (2.4); • NaQ : NaQ ∧NiR→ RiQ (2.4); • MiM : MiM ∧MaS ∧MaP → SiP (2.31); • MiS : MiS ∧MaP → SiP (2.4); • SiM : SiM ∧MaP → SiP (2.40); • MiP : MiP ∧MaS → SiP (2.40); • PiM : PiM ∧MaS → SiP (2.4); • MiR : MiR ∧MaQ→ RiQ (2.4); • RiM : RiM ∧MaQ→ RiQ (2.40); • MiQ : MiQ ∧MaR→ RiQ (2.40); • QiM : QiM ∧MaR→ RiQ (2.4); • MiN : MiN ∧MaS ∧MaP → SiP (2.32); • NiM : NiM ∧MaS ∧MaP → SiP (2.33); • PiS : PiS → SiP (2.5); • SiQ : SiQ ∧ SaR→ RiQ (2.40); • QiS : QiS ∧ SaR→ RiQ (2.4); • PiQ : PiQ ∧ PaR→ RiQ (2.40); 84 Klasyczne systemy zakresowe • QiP : QiP ∧ PaR→ RiQ (2.4); • QiR : QiR→ RiQ (2.5). Wystarczy teraz pokazać, że tezami B są implikacje, których poprzednikami są elementy poprzednika (2.57), a następnikami elementy poprzednika (2.58): • MaM,SaS, PaP,RaR,QaQ,NaN są tezami systemu B (podstawieniami (2.1)); • MaR : MaS ∧ SaR→MaR (2.3); • MaN : MaQ ∧QaN →MaN (2.3); • SaN : SaR ∧RaN → SaN (2.3); • PaN : PaR ∧RaN → PaN (2.3); • SiR : SaR ∧ SiS → SiR (2.28); • RiS : SaR ∧ SiS → RiS (2.29); • SiN : SaR ∧RaN ∧ SiS → SiN (2.37); • NiS : SaR ∧RaN ∧ SiS → NiS (2.38); • PiR : PaR ∧ PiP → PiR (2.28); • RiP : PaR ∧ PiP → RiP (2.29); • PiN : PaR ∧RaN ∧ PiP → PiN (2.37); • NiP : PaR ∧RaN ∧ PiP → NiP (2.38); • RiN : PaR ∧ PiP ∧RaN → RiN (2.41); • NiR : PaR ∧ PiP ∧RaN → NiR (2.42); • QiN : QaN ∧QiQ→ QiN (2.28); • NiQ : QaN ∧QiQ→ NiQ (2.29); • RiR : SiS ∧ SaR→ RiR (2.30); Sylogistyka Brentany 85 • NiN : SaR ∧ SiS ∧RaN → NiN (2.43). ¥ Lemat 26. Każde wyrażenie języka systemu B o postaci α→ β1 ∨ β2, gdzie α jest wyrażeniem elementarnym, a β1 oraz β2 atomami, jest tezą lub wyrażeniem odrzuconym systemu. Dowód. Rozpatrzymy następujące przypadki interesujących nas formuł, różniące się kształtem następnika: (i) α → X iY ∨ ZaV , (ii) α → X iY ∨ ZiV , (iii) α→ XaY ∨ ZaV . W przypadku (i) rozpatrywana formuła jest tezą systemu, gdy spełniony jest przynajmniej jeden z poniższych warunków: • tezą jest α → X iY , tzn. zachodzi jedna z następujących sytuacji: (I) α zawiera atom X iY lub YiX , (II) α zawiera ZiV lub ViZ oraz elementy zbiorów aL(Z,X ) i aL(V ,Y), (III) α zawiera atom zbudowany przy użyciu funktora i oraz zmiennej U oraz elementy zbiorów aL(U ,X ) i aL(U ,Y) bądź (IV) X oraz Y są tą samą zmienną i α zawiera atom zbudowany przy użyciu funktora i oraz X jako przynajmniej jednego z argumentów; • tezą jest α → ZaV , tzn. Z jest tą samą zmienną co V lub α zawiera łańcuch łączący zmienną Z ze zmienną V ; • spełnione są jednocześnie dwa warunki: (I) X jest tą samą zmienną co Z lub α zawiera łańcuch łączący Z z X oraz (II) Y jest tą samą zmienną co Z lub α zawiera łańcuch łączący Z z Y . Pokażemy teraz, że gdy żaden z powyższych warunków nie zachodzi, rozpatrywana formuła jest wyrażeniem odrzuconym. Rozważymy dwie możliwości: (a) zmienna Z jest różna od X i od Y oraz α nie zawiera łańcucha łączącego Z ani z X ani z Y oraz (b) zmienna Z jest identyczna z jedną ze zmiennych X albo Y lub α zawiera łańcuch łączący Z z X albo Y (α nie zawiera obu takich łańcuchów równocześnie, bo formuła byłaby tezą). W przypadku (a) podstawiamy: • M za wszystkie zmienne U , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący U z X oraz łączący U z Y , oraz za X i Y , o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio X z Y lub Y z X ; 86 Klasyczne systemy zakresowe • S za X oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z X , gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • P za Y oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y , gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • R za V oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z V , za które nie zostały podstawione M , S ani P ; • N za wszystkie inne zmienne łącznie z Z. W zależności od zawartości formuły α możemy otrzymać w rezultacie implikację o jednej z następujących postaci: 1. następnik MiM ∨NaM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, NaN, MaN, NiN}; 2. następnik MiMlorNaR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, RaR, NaN, MaR, MaN, RaN, RiR, NiN, RiN, NiR}; 3. następnik SiM ∨ NaM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, NaN, MaS, MaN, SaN, SiS, NiN, SiN, NiS}; 4. następnik SiM∨NaS, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, NaN, MaS, MaN, SaN, SiS, NiN, SiN, NiS}; 5. następnik SiM∨NaR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, RaR, NaN, MaS, MaR, MaN, SaR, SaN, RaN, SiS, RiR, NiN, SiR, RiS, SiN, NiS, RiN, NiR}; 6. następnik MiP ∨NaM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, NaN, MaP, MaN, PaN, P iP, NiN, P iN, NiP}; 7. następnikMiP∨NaP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, NaN, MaP, MaN, PaN, P iP, NiN, P iN, NiP}; 8. następnikMiP∨NaR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, RaR, NaN, MaP, MaR, MaN, PaR, PaN, RaN, P iP, RiR, NiN, P iR, RiP, P iN, NiP, RiN, NiR}; 9. następnik SiP∨NaM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, P iR PiN, NiP}; Sylogistyka Brentany 87 10. następnik SiP ∨NaS, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, P iR, P iN, NiP}; 11. następnik SiP∨NaP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, P iR, P iN, NiP}; 12. następnik SiP∨NaR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, RaR, NaN, MaS, MaP, MaR, MaN, SaR, SaN, PaR, PaN, RaN, SiS, P iP, RiR, NiN, SiR, RiS, SiN, NiS, P iR, RiP, P iN, NiP, RiN, NiR}. Można zauważyć, że dla każdej z wymienionych formuł (oznaczmy je β) implikacja, której poprzednikiem jest β, a następnikiem – formuła (2.58), jest podstawieniem prawa KRZ. Zatem przy użyciu reguły MP−1 można odrzucić β, a przy użyciu Sub−1 – rozpatrywaną w tym punkcie formułę. W przypadku (b) przyjmijmy, że zmienną, która jest identyczna z Z lub połączona z Z łańcuchem zawartym w α jest X (ponieważ w systemie B mamy równoważność SiP ≡ PiS wystarczy to dla dowolnej formuły rozpatrywanej w tym przypadku). Przy takim założeniu, aby rozpatrywana formuła nie była tezą, zmienne X oraz Z muszą być różne od zmiennych Y oraz V , jak również α nie może zawierać łańcucha łączącego X lub Z ani z Y , ani z V . Podstawimy: • M za wszystkie zmienne U , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący U z X oraz łączący U z Y , oraz za Y , o ile α zawiera łańcuch łączący Y z X ; • P za V oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z V , za które nie zostało podstawione M ; • R za Y oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y , za które nie zostały podstawione M ani P ; • Q za X oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z X (łącznie z Z), • N za wszystkie inne zmienne. 88 Klasyczne systemy zakresowe W rezultacie, w zależności od zawartości formuły α możemy otrzymać implikację o jednej z następujących postaci: 1. następnik QiM ∨ QaM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, QaQ, NaN, MaQ, MaN, QaN, QiQ, NiN, QiN, NiQ}; 2. następnikRiM∨RaP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, QaQ, NaN, MaP, MaQ, MaN, PaN, QaN, P iP, QiQ, NiN, P iN, NiP, QiN, NiQ}; 3. następnikQiP∨QaM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, QaQ, NaN, MaP, MaQ, MaN, PaN, QaN, P iP, QiQ, NiN, P iN, NiP, QiN, NiQ}; 4. następnik QiP∨QaP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, QaQ, NaN, MaP, MaQ, MaN, PaN, QaN, P iP, QiQ, NiN, P iN, NiP, QiN, NiQ}; 5. następnikQiR∨QaM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, RaR, QaQ, NaN, MaR, MaQ, MaN, RaN, QaN, RiR, QiQ, NiN, RiN, NiR, QiN, NiQ}; 6. następnik QiR∨QaP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, RaR, QaQ, NaN, MaP, MaR, MaQ, MaN, PaR, PaN, RaN, QaN, P iP, RiR, QiQ, NiN, P iR, RiP, P iN, NiP, RiN, NiR, QiN, NiQ}. Tak jak w przypadku (a) rozpatrywana formuła jest odrzucona. W przypadku (ii) rozpatrywana formuła o postaci α → X iY ∨ ZiV jest tezą systemu, gdy α→ X iY lub α→ ZiV . W przeciwnym wypadku rozważymy osobno różne możliwości związane z powiązaniami pomiędzy zmiennymi występującymi w następniku. Dla ich określenia przyjmijmy, że następnik naszej formuły jest alternatywą ustawionych w dowolnej kolejności atomów: XiiXj, gdzie i 6= j ∈ {1, 2} oraz YkiYl, gdzie k 6= l ∈ {1, 2}. W tej sytuacji rozważymy przypadki, w których tak można dobrać wartość indeksów i, j, k, l, że spełnione są warunki: (a) X1 jest tą samą zmienną co Y1 lub α zawiera łańcuch łączący X1 z Y1 oraz X2 jest tą samą zmienną co Y2 lub α zawiera łańcuch łączący X2 z Y2; Sylogistyka Brentany 89 (b) nie zachodzi (a) i dodatkowo X1 jest tą samą zmienną co Y1 lub α zawiera łańcuch łączący X1 z Y1 oraz X2 jest tą samą zmienną co Y2 lub α zawiera łańcuch łączący Y2 z X2; (c) nie zachodzą (a) i (b), ale X1 jest tą samą zmienną co Y1 lub α zawiera łańcuch łączący X1 z Y1; (d) nie zachodzą (a), (b) ani (c), tzn. zmienne X1 i X2 są różne od zmiennych Y1 i Y2 i α nie zawiera żadnego łańcucha łączącego Xi z Yk ani Yk z Xi przy dowolnych i, k ∈ {1, 2}. Dla uproszczenia dalszych rozważań przyjmijmy, bez utraty ogólności dzięki symetryczności alternatywy oraz funktora i, że następnik naszej formuły ma postać X1iX2 ∨ Y1iY2. W przypadku (a) podstawiamy: • M za wszystkie zmienne U , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący U z Y1 oraz łączący U z Y2, oraz za Y1 i Y2, o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio Y1 z Y2 lub Y2 z Y1; • S za Y1 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y1, łącznie z X1, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • P za Y2 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y2, łącznie z X2, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • N za wszystkie inne zmienne. W rezultacie, w zależności od zawartości formuły α możemy otrzymać implikację o jednej z następujących postaci: 1. następnik MiM ∨MiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, NaN, MaN, NiN}; 2. następnik MiM ∨MiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, NaN, MaP, MaN, PaN, P iP, NiN, P iN, NiP}; 3. następnik MiM ∨ SiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, NaN, MaS, MaN, SaN, SiS, NiN, SiN, NiS}; 4. następnikMiM∨SiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; 90 Klasyczne systemy zakresowe 5. następnikMiP∨MiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, NaN, MaP, MaN, PaN, P iP, NiN, P iN, NiP}; 6. następnik MiP∨SiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; 7. następnik SiM∨SiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, NaN, MaS, MaN, SaN, SiS, NiN, SiN, NiS}; 8. następnik SiM∨SiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; 9. następnik SiP ∨SiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; Tak jak w poprzednich przypadkach wynika stąd, że rozpatrywana formuła jest odrzucona w systemie B. W przypadku (b) podstawiamy: • M za wszystkie zmienne U , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący U z X1 oraz łączący U z X2, oraz za X1 i X2, o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio X1 z X2 lub X2 z X1, jak również wszystkie zmienne V , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący V z Y1 oraz łączący V z Y2, oraz za Y1 i Y2, o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio Y1 z Y2 lub Y2 z Y1; • S za Y1 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y1, łącznie z X1, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • P za X2 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z X2, łącznie z Y2, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • N za wszystkie inne zmienne. W rezultacie, w zależności od zawartości formuły α możemy otrzymać implikację o jednej z następujących postaci: 1. następnik MiM ∨MiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, NaN, MaN, NiN}; Sylogistyka Brentany 91 2. następnik MiP ∨MiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, NaN, MaP, MaN, PaN, P iP, NiN, P iN, NiP}; 3. następnik MiM ∨ SiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, NaN, MaS, MaN, SaN, SiS, NiN, SiN, NiS}; 4. następnikMiP∨SiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; 5. następnikMiP∨MiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, NaN, MaP, MaN, PaN, P iP, NiN, P iN, NiP}; 6. następnik MiP∨SiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; 7. następnik SiM∨SiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, NaN, MaS, MaN, SaN, SiS, NiN, SiN, NiS}; 8. następnik SiP ∨SiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; 9. następnik SiP ∨SiP , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, NaN, MaS, MaP, MaN, SaN, PaN, SiS, P iP, NiN, SiN, NiS PiN, NiP}; Znowu, tak jak w poprzednich przypadkach, wynika stąd, że rozpatrywana formuła jest odrzucona w systemie B. W przypadku (c) podstawiamy: • M za wszystkie zmienne U , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący U z X1 oraz łączący U z X2, oraz za X1 i X2, o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio X1 z X2 lub X2 z X1, jak również wszystkie zmienne V , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący V z Y1 oraz łączący V z Y2, oraz za Y1 i Y2, o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio Y1 z Y2 lub Y2 z Y1; • Q za Y1 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y1, łącznie z X1, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; 92 Klasyczne systemy zakresowe • P za X2 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z X2, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • R za Y2 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y2, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • N za wszystkie inne zmienne. W rezultacie, w zależności od zawartości formuły α możemy otrzymać implikację o jednej z następujących postaci: 1. następnik MiM ∨MiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, NaN, MaN, NiN}; 2. następnik MiM ∨MiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, RaR, NaN, MaR, MaN, RaN, RiR, NiN, RiN, NiR}; 3. następnik MiP ∨MiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, NaN, MaP, MaN, PaN, P iP, NiN, P iN, NiP}; 4. następnikMiP∨MiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, RaR, PaP, NaN, MaP, MaR, MaN, PaR, RaN, PaN, RaN, P iP, RiR, NiN, P iR, RiP PiN, NiP RiN, NiR}; 5. następnik MiM ∨ QiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, QaQ, NaN, MaQ, MaN, QaN, QiQ, NiN, QiN, NiQ}; 6. następnikMiM∨QiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, RaR, QaQ, NaN, MaQ, MaR, MaN, RaN, QaN, QiQ, RiR, NiN, RiN, NiR, QiN, NiQ}; 7. następnikMiP∨QiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, QaQ, NaN, MaQ, MaP, MaN, PaN, QaN, QiQ, P iP, NiN, P iN, NiP, QiN, NiQ}; 8. następnik MiP∨QiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, RaR, QaQ, NaN, MaP, MaR, MaQ, MaN, PaR, PaN, RaN, QaN, P iP, RiR, QiQ, NiN, P iR, RiP, P iN, NiP, RiN, NiR, QiN, NiQ}; 9. następnikQiM∨QiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, QaQ, NaN, MaQ, MaN, QaN, QiQ, NiN, QiN, NiQ}; Sylogistyka Brentany 93 10. następnik QiM∨QiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, RaR, QaQ, NaN, MaQ, MaR, MaN, RaN, QaN, QiQ, RiR, NiN, RiN, NiR, QiN, NiQ}; 11. następnik QiP∨QiM , poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, QaQ, NaN, MaQ, MaP, MaN, PaN, QaN, QiQ, P iP, NiN, P iN, NiP, QiN, NiQ}; 12. następnik QiP ∨QiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, PaP, RaR, QaQ, NaN, MaP, MaR, MaQ, MaN, PaR, PaN, RaN, QaN, P iP, RiR, QiQ, NiN, P iR, RiP, P iN, NiP, RiN, NiR, QiN, NiQ}; Znowu, tak jak w poprzednich przypadkach, wynika stąd, że rozpatrywana formuła jest odrzucona w systemie B. W przypadku (d) podstawiamy: • M za wszystkie zmienne U , takie że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący U z X1 oraz łączący U z X2, oraz za X1 i X2, o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio X1 z X2 lub X2 z X1, jak również wszystkie zmienne V takie, że α zawiera jednocześnie łańcuch łączący V z Y1 oraz łączący V z Y2 oraz za Y1 i Y2, o ile α zawiera łańcuch łączący odpowiednio Y1 z Y2 lub Y2 z Y1; • S za X1 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z X1, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • P za X2 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z X2, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • Q za Y1 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y1, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • R za Y2 oraz wszystkie zmienne U , takie że α zawiera łańcuch łączący U z Y2, gdy nie została za nie podstawiona zmienna M ; • N za wszystkie inne zmienne. W wyrażeniu otrzymanym przez podstawienie z α nie może być atomów QaS, QaP, RaS ani QaP oraz par atomów SaQ i SaR oraz PaQ i PaR. W związku z tym zmienne P,Q,R, S mogą w tym wyrażeniu wystąpić jedynie 94 Klasyczne systemy zakresowe w następujących kombinacjach atomów zbudowanych przy użyciu funktora a: 1. brak atomu z tymi zmiennymi; 2. SaQ oraz PaR; 3. SaQ; 4. PaR; 5. SaR oraz PaQ; 6. SaR; 7. PaQ; 8. SaR oraz PaR; 9. SaQ oraz PaQ. W przypadkach 1 – 4 podstawimy dalej S za Q oraz P za R, a w przypadkach 5 – 7 S za R oraz P za Q. W rezultacie tych podstawień otrzymamy jedną z formuł wymienionych w punkcie (a), a więc wyjściowa formuła jest odrzucona. Pozostaje więc do rozpatrzenia przypadek 8, gdyż przypadek 9 różni się od niego tylko kształtem zmiennych. W przypadku tym, w zależności od zawartości formuły α, możemy otrzymać implikację o jednej z następujących postaci: • następnik SiP∨MiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, SaS, PaP, RaR, NaN, MaS, MaP, MaR, MaN, SaR SaN, PaR, PaN, RaN, SiS, P iP, RiR, NiN, SiR, RiS, SiN, NiS, P iR, RiP, P iN, NiP, RiN, NiR}; • następnik SiP ∨QiR, poprzednik zawierający elementy zbioru {MaM, MaS, MaP, MaR, MaQ, MaN, SaS, SaR, SaN, PaP, PaR, PaN, RaR, RaN, QaQ, QaN, NaN, SiS, SiR, RiS, SiN, NiS, P iP, P iR, RiP, P iN, NiP, RiR, RiN, NiR, QiQ, QiN, NiQ} Po raz kolejny – tak jak w poprzednich przypadkach – wynika stąd, że wyjściowa formuła jest odrzucona w systemie B. Sylogistyka Brentany 95 W przypadku (iii) rozpatrywana formuła o postaci α → XaY ∨ ZaV jest tezą systemu gdy α → XaY lub α → ZaV . W przeciwnym przypadku rozważymy dwie możliwości: (a) Y oraz V są tą samą zmienną lub α zawiera łańcuchy łączące Y z V i V z Y , oraz (b) Y jest różne od V oraz α nie zawiera łańcucha łączącego Y z V . W przypadku (a) podstawiamy: • S za Y , V oraz każdą zmienną U , taką że α zawiera łańcuch łączący U z Y ; • N za wszystkie inne zmienne. W rezultacie zastosowania podstawienia do rozpatrywanej formuły otrzymamy implikację, której poprzednikiem jest koniunkcja atomów ze zbioru {NaN, SaS, SaN, NiN, SiS, NiS, SiN}, a następnikiem wyrażenie NaS ∨NaS. Implikacja z taką formułą jako poprzednikiem i formułą (2.58) jako następnikiem jest podstawieniem prawa KRZ, a więc wyjściowa formuła jest odrzucona. W przypadku (b) podstawiamy: • P za Y oraz każdą zmienną U , taką że α zawiera łańcuch łączący U z Y ; • Q za V oraz każdą zmienną U , taką że α zawiera łańcuch łączący U z V ; • N za wszystkie inne zmienne. W rezultacie podstawienia w poprzedniku implikacji nie wystąpią atomy NaP, NaQ, PaQ ani QaP. W zależności od zawartości formuły α możemy otrzymać implikację o jednej z następujących postaci: 1. następnik NaP ∨NaP , poprzednik zawierający elementy zbioru {PaP, NaN, PaN, P iP, NiN PiN, NiP}; 2. następnik NaP ∨NaQ, poprzednik zawierający elementy zbioru {PaP, QaQ, NaN, PaN, QaN, P iP, QiQ, NiN, QiP, P iQ, QiN, NiQ, RiN, NiR}; 3. następnik NaP ∨PaQ, poprzednik zawierający elementy zbioru {PaP, QaQ, NaN, PaN, QaN, P iP, QiQ, NiN, QiP, P iQ, QiN, NiQ, RiN, NiR}; 96 Klasyczne systemy zakresowe 4. następnik QaP ∨NaQ, poprzednik zawierający elementy zbioru {PaP, QaQ, NaN, PaN, QaN, P iP, QiQ, NiN, QiP, P iQ, QiN, NiQ, RiN, NiR}; 5. następnik QaP ∨PaQ, poprzednik zawierający elementy zbioru {PaP, QaQ, NaN, PaN, QaN, P iP, QiQ, NiN, QiP, P iQ, QiN, NiQ, RiN, NiR}. Także w tym wypadku – tak jak w poprzednich przypadkach – wynika stąd, że rozpatrywana formuła jest odrzucona w systemie B. ¥ Lemat 27. Jeżeli wyrażenie o postaci α → β1 ∨ β2 ∨ β3, gdzie α jest wyrażeniem elementarnym, a β1, β2 oraz β3 są atomami, jest tezą systemu B, to tezą jest przynajmniej jedno z wyrażeń α→ βi ∨ βj, gdzie i, j ∈ 1, 2, 3. Dowód. Stosując Twierdzenie 5 do systemu B, możemy stwierdzić, że każda teza systemu daje się wyprowadzić z aksjomatów przy użyciu reguły podstawiania za zmienne nazwowe, reguły Rezf , dodawania elementów do poprzednika i następnika oraz eliminację tautologicznej koniunkcji i alternatywy. Jeżeli formuła byłaby otrzymana w ten ostatni sposób, tzn. poprzez eliminację podwójnego elementu w następniku, to jakaś inna formuła, która znalazłaby się w wyprowadzeniu, wcześniej musiałaby spełniać warunki naszego lematu i w związku z tym możemy tę ewentualność pominąć, zajmując się pierwszą w wyprowadzeniu formułą spełniającą te warunki. Załóżmy, że wyrażenie α → β1 ∨ β2 ∨ β3 jest tezą B. W tej sytuacji daje się je otrzymać bądź przez dodanie elementu do następnika do innej tezy B i w tym wypadku oczywiście tezą jest przynajmniej jedno z wyrażeń α→ βi ∨ βj, gdzie i, j ∈ 1, 2, 3, bądź przy użyciu reguły Rezf z przesłanek: (1) α1 → γ1 ∨ γ2 oraz (2) α2 → δ1 ∨ δ2, gdzie α1 i α2 są wyrażeniami elementarnymi, a γ1, γ2, δ1 oraz δ2 atomami, przy czym α1 może być 'puste' i wtedy przesłanka (1) przyjmuje postać γ1 ∨ γ2. Jeżeli przy tym tezą jest jedno z wyrażeń: α1 → γ1, α1 → γ2, α2 → δ1 lub α2 → δ2, to tezą jest również jedno z wyrażeń α → βi ∨ βj, gdzie i, j ∈ 1, 2, 3. W przeciwnym wypadku, jak pokazaliśmy w dowodzie Lematu 26, przesłanki reguły Rezf muszą przyjąć postać odpowiednio: (1) α1 → X1iY1 ∨ Z1aV1 oraz (2) α2 → X2iY2 ∨ Z2aV2, przy czym dla każdego i ∈ {1, 2} zachodzi jeden z warunków: (i) Xi = Yi = Sylogistyka Brentany 97 Zi, (ii) Xi = Yi oraz α zawiera łańcuch łączący Zi z Xi, (iii) Yi = Zi oraz α zawiera łańcuch łączący Zi z Xi (ze względu na równoważność SiP ≡ PiS zmienne Xi i Yi mogą być zamienione miejscami), (iv) α zawiera łańcuch łączący Zi z Xi oraz łańcuch łączący Zi z Yi. Aby reguła Rezf mogła zostać zastosowana α2, musi zawierać jeden z atomów: X1iY1 lub Z1aV1, który nie pojawi się w poprzedniku formuły otrzymanej przy użyciu reguły. Jeżeli ten atom nie jest częścią łańcucha łączącego Z2 z X2 (ani w przypadku (iv) łańcucha łączącego Z2 z Y2), to jako rezultat wykorzystania reguły otrzymamy formułę α→ X2iY2 ∨ Z2aV2 ∨ γi, i ∈ {1, 2}, w której α zawiera łańcuch łączący Z2 z X2 (a w przypadku (iv) również łańcuch łączący Z2 z Y2). Wtedy tezą jest również formuła α→ X2iY2 ∨ Z2aV2. Rozpatrzmy teraz sytuację, w której atomem łączącym następnik (1) z poprzednikiem (2) jest Z1aV1 i jest on częścią łańcucha łączącego Z2 z X2 (lub w przypadku (iv) łańcucha łączącego Z2 z Y2). Zachodzić może jedna z możliwości: (a) Z1 jest tą samą zmienną co Z2 – oznaczymy ją Z – lub (b) Z1 jest różne od Z2. W przypadku (a) z zastosowania reguły otrzymamy wyrażenie α→ X1iY1 ∨ X2iY2 ∨ ZaV2, gdzie α zawiera α1, a więc tezą jest α→ X1iY1 ∨ ZaV2. W przypadku (b) otrzymamy α→ X1iY1 ∨ X2iY2 ∨ Z2aV2, gdzie α zawiera łańcuch łączący Z2 z Z1 oraz α1 (która zawiera odpowiednie łańcuchy łączące Z1 z X1 i/lub Y1). W związku z tym tezą musi być α→ X1iY1 ∨ Z2aV2. Zatem we wszystkich możliwych przypadkach z przyjętego założenia wynika, że tezą jest jedno z wyrażeń α→ βi ∨ βj, gdzie i, j ∈ 1, 2, 3. ¥ 98 Klasyczne systemy zakresowe Lemat 28. Aksjomat odrzucony (2.57) nie jest tezą systemu B. Dowód. Odpowiednia klasa modeli MI12 określona jest przez interpretację, która dla funktorów zdaniowych jest klasyczna, a dla atomów zdefiniowana jest przez matryce: a n1 n2 n3 n4 n5 n6 n1 1 1 1 1 1 1 n2 0 1 0 1 0 1 n3 0 0 1 1 0 1 n4 0 0 0 1 0 1 n5 0 0 0 0 1 1 n6 0 0 0 0 0 1 i n1 n2 n3 n4 n5 n6 n1 0 0 0 0 0 0 n2 0 1 0 1 0 1 n3 0 0 1 1 0 1 n4 0 1 1 1 0 1 n5 0 0 0 0 1 1 n6 0 1 1 1 1 1 Sprawdzenie, że aksjomaty B są tautologiami w klasie modeli MI12 , jest rutynowe. Aksjomat odrzucony (2.57) jest fałszywy w modelu przy wartościowaniu v, takim że: v(M) = n1, v(S) = n2, v(P ) = n4, v(R) = n3, v(Q) = n5 a v(N) = n6. ¥ Twierdzenie 18. Każda formuła języka systemu B jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 9, wykorzystać trzeba Lematy 26, 27 oraz 28. ¥ 2.3.5 Niezależność aksjomatów Twierdzenie 19. Aksjomaty systemu B są niezależne. Dowód. Tak jak w dotychczasowych dowodach twierdzeń o niezależności aksjomatyzacji dla każdego aksjomatu, pokażemy klasę modeli, w której pozostałe aksjomaty są tautologiami, a rozpatrywany aksjomat nie jest. We wszystkich przypadkach interpretacja funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Dla aksjomatów (2.1), (2.3) i (2.4) można zastosować odpowiednio klasy modeli MI3 , MI5 i MI6 z dowodu Twierdzenia 11, z wykorzystaniem dla wykazania nietautologiczności wartościowań takich samych jak w tamtym dowodzie. Sylogistyka Brentany 99 Aksjomat (2.26). Interpretacja I13: a n1 n2 n1 1 1 n2 0 1 i n1 n2 n1 0 1 n2 1 1 Aksjomat (2.26) jest fałszywy przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2. Aksjomat (2.27). Interpretacja I14: a n1 n2 n1 1 0 n2 0 1 i n1 n2 n1 0 0 n2 0 1 Aksjomat (2.27) jest fałszywy przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2. ¥

Rozdział 3 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego W niniejszym rozdziale zajmiemy się przedstawieniem systemów skonstruowanych w stylu Łukasiewicza, obejmujących wyłącznie funktory spoza sylogistyki lub łączących funktory sylogistyki z innymi funktorami. Większość rozpatrywanych funktorów pochodzi z Ontologii Leśniewskiego, pozostałe są funktorami obecnymi w języku naturalnym. Zostały one włączone do rachunku nazw w pracach zmierzających ku ujęciu w ramach sylogistyki jak największej części rozumowań zdroworozsądkowych (zob. np. [39]). W pierwszym podrozdziale zajmiemy się systemem, w którym jedynym funktorem jest ε Leśniewskiego. System ten został zaprezentowany przez A. Ishimoto [16]. Tu uzupełniamy go o część odrzuceniową. W ujęciu Leśniewskiego dodatkowe funktory mogą być dołączane do systemu poprzez definicje. Jednakże w większości definicji w Ontologii występują kwantyfikatory. W systemach bezkwantyfikatorowych funktory te muszą być więc wprowadzone poprzez dodatkowe aksjomaty. W kolejnych podrozdziałach wzbogacamy system o funktor sol oraz o funktory sylogistyki a i i. System rozszerzony o funktor sol jest interesujący, gdyż mimo iż dodany jest tylko jeden funktor, który może się wydawać mało ekspresyjny, system różni się od systemu Ishimoty pod względem klasy modeli potrzebnych do ustalenia procedury rozstrzygania określonej w dalszej części pracy. W przypadku rozszerzenia o funktory sylogistyki otrzymujemy system, w którym można zdefiniować funktor sol oraz większość innych funktorów Ontologii, jak również funktory is the i is a . Część rezultatów dotycząca tego systemu została zaprezentowana w artykule [25]. W ostatnim podroz102 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego dziale pokazujemy relację pomiędzy przedstawionymi systemami a oryginalnym systemem Ontologii Leśniewskiego. Podobne podejście – konstrukcję aksjomatycznego systemu bezkwantyfikatorowego dla funktorów rachunku nazw prezentuje Pietruszczak w pracy [42]. Podejście prezentowane w niniejszej pracy różni się tym, że dla przedstawionych systemów pokazujemy również aksjomatykę odrzuceniową i na niej opieramy argumentację dotyczącą adekwatności aksjomatyzacji oraz dowody pełności w stosunku do odpowiednich klas modeli. Inne są też szczegóły techniczne (dobór reguł i symboli pierwotnych). W pracy [42] przedstawiony jest cały szereg aksjomatyzacji różniących się doborem symboli pierwotnych. W naszych rozważaniach ograniczamy się do analizy kilku wybranych przykładów. 3.1 Podstawowa bezkwantyfikatorowa Ontologia Leśniewskiego 3.1.1 System aksjomatyczny W systemie podstawowym bezkwantyfikatorowej Ontologii Leśniewskiego (OntP) jedynym terminem pierwotnym jest ε. Aksjomatami są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku oraz formuły: SεP → SεS, (3.1) SεM ∧MεP → SεP, (3.2) SεP ∧ PεM → PεS. (3.3) Definicja 12. Niech dla dowolnych zmiennych X i Y εL1(X ,Y) będzie najmniejszym zbiorem formuł, takim że: 1. X εY ∈ εL1(X ,Y); 2. jeżeli dla pewnego Z α ∈ εL1(X ,Z) i β ∈ εL1(Z,Y), to α ∧ β ∈ εL1(X ,Y); 3. jeżeli α ∈ εL1(Y ,X ), to dla dowolnego V α ∧ X εV ∈ εL1(X ,Y). Podstawowa bezkwantyfikatorowa Ontologia Leśniewskiego 103 Elementy zbioru εL1(X ,Y) w rozważaniach dotyczących systemu OntP nazywać będziemy ε-łańcuchami łączącymi zmienną X ze zmienną Y . ε-łańcuchem łączącym zmienną X1 ze zmienną Xn jest więc każda formuła o postaci: X1εX2 ∧ . . . ∧ Xn−1εXn, gdzie n - 2, ale również np. X2εX1 ∧ X1εY ∧ X1εXn. Definicja zbioru łańcuchów jest dobrana tak, aby zagwarantować zachodzenie następującego lematu i aby wymieniony w nim warunek był warunkiem koniecznym. Lemat 29. Jeżeli α zawiera element zbioru εL1(X ,Y), to α → X εY jest tezą systemu OntP. Dowód. Dowód przez indukcję ze względu na konstrukcję ε-łańcucha zawartego w α. Wystarczy zauważyć, że punkty 2 i 3 definicji odpowiadają aksjomatom (3.2) i (3.3). ¥ 3.1.2 Aksjomatyczny system odrzucania Aksjomatyczny system odrzucania dla systemu OntP określony jest przy użyciu reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1. Aksjomatem odrzuconym dla systemu OntP jest następująca formuła: PεM ∧ SεM → SεP (3.4) Definicja 13. Wyrażeniem odrzuconym systemu OntP jest aksjomat odrzucony oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 30. W systemie OntP odrzucone są formuły: SεP → PεS, (3.5) ¬SεS, (3.6) SεP → PεP (3.7) oraz PεP (3.8) 104 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Dowód. Odrzucenie formuły (3.5): 1. ` (SεM ∧MεP → SεP )→ ((MεP → PεM)→ (SεM ∧ PεM → SεP )) KRZ 2 ` SεM ∧MεP → SεP aksjomat (3.2) 3. ` (MεP → PεM)→ (SεM ∧ PεM → SεP ) MP 1, 2 4. a SεM ∧ PεM → SεP aks. odrzucony (3.4) 5. aMεP → PεM MP−1: 3, 4 a SεP → PεS Sub−1: 5 Odrzucenie formuły (3.6): 1. ` (SεP → SεS)→ ((SεS → PεS)→ (SεP → PεS)) KRZ 2 ` SεP → SεS aksjomat (3.1) 3. ` (SεS → PεS)→ (SεP → PεS) MP : 1, 2 4. a SεP → PεS formuła odrzucona (3.5) 5. a SεS → PεS MP−1: 3, 4 6. ` ¬SεS → (SεS → PεS) KRZ a ¬SεS MP−1: 6, 5 Odrzucenie formuły (3.7): 1. ` (SεP ∧ PεP → PεS)→ ((SεP → PεP )→ (SεP → PεS)) KRZ 2 ` SεP ∧ PεP → PεS podst. aksjomatu (3.3) 3. ` (SεP → PεP )→ (SεP → PεS) MP 1, 2 4. a SεP → PεS formuła odrzucona (3.5) a SεP → PεP MP−1: 3, 4 Odrzucenie formuły (3.8): 1. a SεP → PεP odrzucenie formuły (3.7) 2. ` PεP → (SεP → PεP ) KRZ a PεP MP−1: 2, 1 ¥ Lemat 31. Każda formuła atomowa języka systemu OntP jest wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Na mocy Lematu 30 mamy a PεP . Użycie reguły Sub−1 pozwala odrzucić każde inne wyrażenie atomowe. ¥ Lemat 32. Każda formuła hornowska języka systemu OntP jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Podstawowa bezkwantyfikatorowa Ontologia Leśniewskiego 105 Dowód. Rozważymy osobno każdą z możliwych postaci formuły hornowskiej języka systemu, różną od formuł atomowych, które są odrzucone na mocy Lematu 31: (i) ¬α, (ii) α → X εX , (iii) α → X εY , gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. W przypadku (i) po podstawieniu zmiennej P za wszystkie zmienne otrzymamy formułę równoważną ¬PεP . Na mocy Lematu 30 formuła ta jest odrzucona, a więc wykorzystując regułę Sub−1, możemy również odrzucić wyjściową formułę ¬α. W przypadku (ii) jeżeli dla pewnej zmiennej Y α zawiera atom X εY , to na mocy (3.1) rozpatrywana formuła jest tezą systemu OntP. W przeciwnym przypadku możemy zastosować podstawienie e1, takie że S podstawione jest za X , a P za wszystkie inne zmienne. e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PεS, PεP}. Zachodzi więc na mocy aksjomatu (3.1) ` PεS → e1(α). Ponieważ e1(X εX ) = SεS, mamy również ` e1(α → X εX ) → (PεS → SεS). Wykorzystując regułę MP−1 oraz a PεS → SεS z Lematu 30, otrzymamy a e1(α→ X εX ), i dalej, z użyciem reguły Sub−1, a α→ X εX . W przypadku (iii) jeżeli α zawiera ε-łańcuch łączący X z Y , to na mocy Lematu 29 rozpatrywana formuła jest tezą. W przeciwnym wypadku rozpatrzymy dwie możliwości: (a) α nie zawiera atomu X εZ dla żadnego Z i (b) α zawiera atom X εZ dla pewnego Z. W przypadku (a) wykorzystamy podstawienie e1 określone dla przypadku (ii). e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PεS, PεP}, a e1(X εY) = SεP . Mamy zatem ` e1(α → X εX ) → (PεS → SεP ) i w konsekwencji a α→ X εY (PεS → SεP jest bowiem formułą (3.5) odrzuconą na mocy Lematu 30). W przypadku (b) zastosujemy podstawienie e2, w którym podstawiamy S za X oraz każdą zmienną Z, taką że α zawiera εL1(Z,X ); M za zmienne Z, takie że α zawiera element zbioru εL1(X ,Z), za które nie zostało podstawione S; P za wszystkie pozostałe zmienne. Ponieważ α nie zawiera ε-łańcucha łączącego X z Y ani Y z X , e2(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {SεM,PεM, SεS, PεP}, zatem ` (SεM ∧ PεM)→ e2(α). Ponieważ e2(X εY) = SεP , mamy także ` e2(αX εY)→ (SεM ∧ PεM→ SεP ). Używając reguły MP−1 i aksjomatu odrzuconego otrzymamy a e2(α → X εY), a dalej, przy użyciu reguły Sub−1, a α→ X εY . ¥ 106 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Lemat 33. Aksjomat odrzucony (3.4) nie jest tezą systemu OntP. Dowód. Tezy systemu OntP są tautologiami, a aksjomat odrzucony nie jest tautologią w klasie modeliMI15 = ({n1, n2, n3}, I15, v), gdzie interpretacja I15 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych wyznaczona jest przez matrycę: ε n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 0 0 0 Sprawdzenie, że aksjomaty OntP są prawdziwe w modelu, jest rutynowe. Aksjomat odrzucony (3.4) jest fałszywy w modelu przy wartościowaniu v, takim że: v(P ) = n1, v(S) = n2, a v(M) = n3. ¥ Twierdzenie 20. Każda formuła języka systemu OntP jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 9 z wykorzystaniem Lematów 32 i 33. ¥ 3.1.3 Model w rachunku zbiorów Model w rachunku zbiorów dla systemu OntP jest zgodny ze standardową interpretacją Ontologii Leśniewskiego, w której zdanie SεP jest prawdziwe, o ile S jest nazwą jednostkową, której zakres jest zawarty w zakresie nazwy P 1. Formalnie klasę modeli dla systemu OntP określa następująca struktura: MI16 = (D, I16, v), gdzie D jest dowolnym zbiorem, wartościowanie v przypisuje zmiennym dowolne podzbiory D, a interpretacja I16 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych jest określona następująco: I16(v(X εY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y) i |v(X )| = 1. 1Zakresowe ujęcie Ontologii Leśniewskiego przedstawione zostało przez C. Lejewskiego przy użyciu diagramów, tzw. tablicy ontologicznej. Ujęcie wprost odwołujące się do zakresów nazw zostało szczegółowo opracowane przez Pietruszczaka w pracy [42]. Podstawowa bezkwantyfikatorowa Ontologia Leśniewskiego 107 Twierdzenie 21. System OntP jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli MI16. Dowód. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 wystarczy pokazać, że tezy systemu są tautologiami, a wyrażenia odrzucone nie są. Sprawdzenie, że aksjomaty OntP są tautologiami w modelu, jest rutynowe. Aksjomat odrzucony jest niespełniony przy wartościowaniu v, w którym v(S) = {1}, v(P ) = {2}, v(M) = {1, 2}. Reguły MP , Sub, MP−1 i Sub−1 zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność. Pozostaje do udowodnienia, że reguła Comp−1 prowadzi od przesłanek, które nie są tautologiami, do konkluzji, która tautologią nie jest. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 ograniczymy się do wykazania tego faktu dla n = 2. Zwróćmy uwagę, że dla dowolnych zbiorów x1, x2, y1 i y2 zachodzi (x1 ⊆ y1∧|x1| = 1∧x2 ⊆ y2∧|x2| = 1) ≡ (x1×x2) ⊆ (y1×y2)∧|x1×x2| = 1. (3.9) Niech α → β1 i α → β2 (dla α będącej formułą elementarną, a β1 i β2 formułami atomowymi) będą formułami, które nie są tautologiami. W tej sytuacji istnieją w MI16 modele w dziedzinach odpowiednio D1 i D2, określone przez wartościowania odpowiednio v1 i v2, takie że I16(v1(α → β1)) = I16(v2(α→ β2)) = 0. Analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia 10 zdefiniujmy kolejny model z MI16 w dziedzinie D1×D2, z wartościowaniem v3, określonym dla dowolnej zmiennej X następująco: v3(X ) = v1(X ) × v2(X ). W modelu tym formuła α→ β1 ∨ β2 jest niespełniona, co pozwala zakończyć dowód. ¥ 3.1.4 Niezależność aksjomatów Twierdzenie 22. Aksjomaty systemu OntP są niezależne. Dowód. Tak jak w dotychczasowych dowodach twierdzeń o niezależności aksjomatyzacji dla każdego aksjomatu pokażemy klasę modeli, w której pozostałe aksjomaty są tautologiami, a rozpatrywany aksjomat nie jest. We wszystkich przypadkach interpretacja funktorów rachunku zdań jest klasyczna. 108 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Aksjomat (3.1). Interpretacja I17: ε n1 n2 n1 0 1 n2 0 0 Aksjomat (3.1) nie jest spełniony w modelu o wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1 a v(P ) = n2. Aksjomat (3.2). Interpretacja I18: ε n1 n2 n3 n1 1 1 0 n2 1 1 1 n3 1 1 1 Aksjomat (3.2) nie jest spełniony w modelu o wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n3, v(M) = n2. Aksjomat (3.3). Interpretacja I19: ε n1 n2 n1 1 1 n2 0 1 Aksjomat (3.3) nie jest spełniony w modelu o wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2, v(M) = n1. ¥ Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktor sol 109 3.2 Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktor sol 3.2.1 System aksjomatyczny Przeanalizujemy teraz rozszerzenie systemu OntP polegające na dodaniu do jego języka jednoargumentowego funktora sol i odpowiednim rozszerzeniu zbioru tez. Terminami pierwotnymi otrzymanego w ten sposób systemu OntSol są ε i sol. Aksjomatami są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku, aksjomaty systemu OntP (3.1), (3.2) i (3.3) oraz dodatkowo aksjomaty: sol(S) ∧ PεS → SεS, (3.10) SεS → sol(S). (3.11) Tezą OntSol jest następująca formuła (otrzymana z aksjomatów (3.3) i (3.10)): PεS ∧ sol(S)→ SεP. (3.12) Definicja 14. Niech dla dowolnych zmiennych X i Y εL2(X ,Y) będzie najmniejszym zbiorem formuł, takim że: 1. X εY ∈ εL2(X ,Y); 2. jeżeli dla pewnego Z α ∈ εL2(X ,Z) i β ∈ εL2(Z,Y), to α ∧ β ∈ εL2(X ,Y); 3. jeżeli α ∈ εL2(Y ,X ), to dla dowolnego V α ∧ X εV ∈ εL2(X ,Y); 4. jeżeli α ∈ εL2(Y ,X ), to α ∧ sol(X) ∈ εL2(X ,Y). Elementy zbioru εL2(X ,Y) w rozważaniach dotyczących systemu OntSol nazywać będziemy ε-łańcuchami łączącymi zmienną X ze zmienną Y . Oczywiście, zbiór εL2(X ,Y) zawiera zbiór εL1(X ,Y). Dodatkowo należą do niego formuły zawierające atomy zbudowane za pomocą funktora sol, np: sol(X ) ∧ YεX . Jak w przypadku systemu OntP zbiór ε-łańcuchów służy do sformułowania poniższego lematu. Lemat 34. Jeżeli α zawiera element zbioru εL2(X ,Y), to α → X εY jest tezą systemu OntSol. 110 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Dowód. Dowód przez indukcję ze względu na konstrukcję ε-łańcucha zawartego w α. Tak jak w przypadku systemu OntP, punkty 2 i 3 definicji odpowiadają aksjomatom (3.2) i (3.3). Jednocześnie punkt 4 definicji odpowiada tezie (3.12). ¥ 3.2.2 Aksjomatyczny system odrzucania Aksjomatyczny system odrzucania dla systemu OntSol określony jest przy użyciu reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1. Aksjomatami odrzuconymi są (3.4) oraz sol(S) ∧ PεP → SεS. (3.13) Definicja 15. Wyrażeniem odrzuconym systemu OntSol jest każdy z aksjomatów odrzuconych oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 35. W systemie OntSol odrzucone są następujące formuły (3.5), (3.6), (3.7), (3.8) oraz PεS → sol(S) (3.14) i sol(S) (3.15) Dowód. W przypadku formuł (3.5), (3.6), (3.7) oraz (3.8) dowód jest identyczny w stosunku do dowodu Lematu 30. Odrzucenie formuły (3.14) jest następujące: 1. ` (sol(S) ∧ PεS → SεS)→ ((PεS → sol(S))→ (PεS → SεS)) KRZ 2 ` sol(S) ∧ PεS → SεS aksjomat (3.10) 3. ` (PεS → sol(S))→ (PεS → SεS) MP 1, 2 4. a PεS → SεS Sub−1: formuła odrzucona (3.7) a PεS → sol(S) MP−1: 3, 4 Odrzucenie formuły (3.15) jest konsekwencją tego, że formuła sol(S) → (PεS → sol(S)) jest podstawieniem tezy KRZ, a formuła (3.14) jest wyrażeniem odrzuconym. ¥ Lemat 36. Każda formuła atomowa języka systemu OntSol jest wyrażeniem odrzuconym. Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktor sol 111 Dowód. Na mocy Lematu 35 mamy a PεP i a sol(P ). Użycie reguły Sub−1 pozwala odrzucić każde inne wyrażenie atomowe. ¥ Lemat 37. Każda formuła hornowska języka systemu OntSol jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Rozważymy osobno każdą z możliwych postaci formuły hornowskiej języka systemu, różną od formuł atomowych, które są odrzucone na mocy Lematu 36: (i) ¬α, (ii) α → X εX , (iii) α → X εY , (iv) α → sol(X ), gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. W przypadku (i), po podstawieniu zmiennej S za wszystkie zmienne otrzymamy formułę ¬(SεS∧sol(S)), równoważną na mocy aksjomatu (3.11) ¬SεS. Formuła ta jest w myśl Lematu 35 odrzucona, a więc wyjściowa formuła ¬α również jest odrzucona. W przypadku (ii), jeżeli dla pewnej zmiennej Y α zawiera atom X εY , to na mocy (3.1) rozpatrywana formuła jest tezą systemu OntSol. Jeżeli zaś α zawiera atom sol(X ) oraz dla pewnego Y atom YεX , to rozpatrywana formuła jest tezą na mocy aksjomatu (3.13). W przeciwnym wypadku stosujemy podstawienie e1, w którym S podstawiamy za X , a P za wszystkie inne zmienne. Rozważymy dwie możliwości: (a) α zawiera sol(X ) i (b) α nie zawiera sol(X ). W przypadku (a) e1(α) stanowi koniunkcję atomów ze zbioru {sol(S), PεP , sol(P )}, a e1(X εX ) = SεS. W obecności aksjomatu (3.11) zachodzi ` PεP ∧ sol(S)→ e1(α). Mamy więc: ` e1(α→ X εX )→ PεP ∧ sol(S)→ SεS. Stąd i z aksjomatu odrzuconego (3.13) możemy otrzymać a α→ X εX . W przypadku (b) e1(α) stanowi koniunkcję atomów ze zbioru {PεS, PεP , sol(P )}. W obecności aksjomatów (3.1) i (3.11) zachodzi ` PεS → e1(α). Mamy więc ` e1(α → X εX ) → PεS → SεS. W myśl Lematu (35) a PεS → SεS. Stąd możemy otrzymać a α→ X εX . W przypadku (iii) jeżeli α zawiera element zbioru εL2(X ,Y), to na mocy Lematu 34 rozpatrywana formuła jest tezą. W przeciwnym wypadku rozpatrzymy dwie możliwości: (a) α nie zawiera atomu X εZ dla żadnego Z ani atomu sol(X ) i (b) α zawiera atom X εZ dla pewnego Z lub atom sol(X ). 112 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego W przypadku (a) skorzystamy z podstawienia e1 określanego w punkcie (ii). e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PεS, PεP , sol(P )}. Tak jak w przypdaku (ii) wyjściowa formuła jest więc odrzucona. W przypadku (b) zastosujemy podstawienie e2, w którym podstawiamy M za wszystkie zmienne Z, takie że α zawiera element zbioru εL2(X ,Z) i element zbioru εL2(Y ,Z) (nie może byc wśród nich X ani Y , bo α zawierałaby ε-łańcuch łączący X z Y); S za X oraz każdą zmienną V , za którą nie została podstawiona zmienna M , taką że α zawiera element εL2(X ,V) (wśród nich nie ma Y); P za wszystkie pozostałe zmienne (w tym Y). Ponieważ α nie zawiera ε-łańcucha łączącego X z Y ani Y z X , e2(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {SεM , PεM , SεS, PεP , sol(S), sol(P )}, a e2(X εY) = SεP . W obecności aksjomatów (3.1) oraz (3.11) mamy ` SεM ∧ PεM → e2(α), a stąd: ` e2(α→ X εY)→ (SεM ∧ PεM → SεP ). W związku z tym, że następnik tej implikacji jest identyczny z aksjomatem odrzuconym, mamy a e2(α→ X εY) i a α→ X εY . W przypadku (iv), jeżeli α zawiera atom X εY dla dowolnego Y lub atom sol(X ), to formuła jest tezą. W przeciwnym wypadku stosujemy do rozpatrywanej formuły podstawienie e1. e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {sol(P ), PεP, PεP}, a e1(sol(X )) = sol(S). W obecności aksjomatów (3.1) oraz (3.11) mamy ` PεS → e1(α), a stąd ` e1(α→ sol(X ))→ (PεS → sol(S). Następnik tej implikacji jest identyczny z wyrażeniem odrzuconym (3.14), a więc odrzucone jest również e1(α→ sol(X )) oraz α→ sol(X ). ¥ Lemat 38. Aksjomaty odrzucone (3.4) i (3.13) nie są tezami OntSol. Dowód. Możemy zastosować rozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie Lematu 10. W przypadku aksjomatu odrzuconego (3.4) odpowiednia klasa modeli może być określona następująco: MI20 = (N20, v, I20), gdzie dziedzina N20 = {n1, n2, n3}, a interpretacja I20 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest przez matrycę: ε n1 n2 n3 sol n1 1 0 1 1 n2 0 1 1 1 n3 0 0 0 0 Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktor sol 113 Sprawdzenie, że aksjomaty OntSol są tautologiami w tej klasie modeli, jest rutynowe. Aksjomat odrzucony (3.4) nie jest spełniony w modelu przy wartościowaniu v, takim że: v(P ) = n1, v(S) = n2 i v(M) = n3. Z kolei dla aksjomatu odrzuconego (3.13) odpowiednia klasa modeli może być określona następująco: MI21 = (N21, v, I21), gdzie dziedzina N21 = {n1, n2, n3}, a interpretacja I21 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest przez matrycę: ε n1 n2 sol n1 1 0 1 n2 0 0 1 Sprawdzenie, że aksjomaty OntSol są prawdziwe w modelu jest rutynowe. Aksjomat odrzucony (3.13) nie jest spełniony w modelu przy wartościowaniu v, takim że: v(P ) = n1, v(S) = n2 ¥ Twierdzenie 23. Każda formuła języka systemu OntSol jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 9, z wykorzystaniem Lematów 37 i 38. ¥ 3.2.3 Model w rachunku zbiorów Model w rachunku zbiorów dla systemu OntSol stanowi rozszerzenie modelu dla systemu OntP o funktor sol, który jest prawdziwy dla nazw, którym w modelu odpowiada zbiór jednoelementowy lub pusty. Klasę modeli dla systemu OntSol określa struktura: MI22 = (D, I22, v), gdzie D jest dowolnym zbiorem, wartościowanie v przypisuje zmiennym dowolne podzbiory D, a interpretacja I22 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych jest określona następująco: I22(v(X εY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y) i |v(X )| = 1; I22(v(sol(X ))) = 1 wtw |v(X )| ¬ 1. Lemat 39. Niech α→ β będzie formułą hornowską języka systemu OntSol, która nie jest tautologią w klasie modeli MI22. Jeżeli α nie zawiera atomu sol(X ), to istnieje model z MI22 z wartościowaniem v, takim że v(X ) 6= ∅. 114 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Dowód. Niech v1 będzie wartościowaniem, takim że formuła α → β (α nie zawiera sol(X )) nie jest spełniona w modelu MI22 = (D, v1, I22) oraz v1(X ) = ∅. W tej sytuacji dla dowolnego Y mamy I22(v1(X εY)) = I22(v1(YεX )) = 0. Ponieważ I22(v1(α → β)) = 0, mamy też I22(v1(α)) = 1, co oznacza, że zmienna X nie może wystąpić w α. Z kolei, ponieważ I22(v1(β)) = 0, β nie może być równe sol(X ) i może (i) nie zawierać zmiennej X bądź przyjmować jedną z postaci: (ii) X εX , (iii) X εY bądź (iv) YεX . W każdym z wymienionych przypadków można wskazać wartościowanie v, takie że v(X ) 6= ∅ i I22(v(α → β)) = 0. We wszystkich przypadkach v(Y) = v1(Y), o ile Y jest różne od X . W przypadkach (i), (ii) oraz (iii) v(X ) może być równy dowolnemu zbiorowi dwuelementowemu, a w przypadku (iv) – dowolnemu zbiorowi dwuelementowemu niezawierającemu v(Y). ¥ Twierdzenie 24. System OntSol jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli MI22. Dowód. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 wystarczy pokazać, że tezy systemu są tautologiami w klasie modeli, a wyrażenia odrzucone nie są. Sprawdzenie, że aksjomaty OntSol są tautologiami, jest rutynowe. Aksjomaty odrzucone nie są spełnione odpowiednio przy wartościowaniach v1 i v2: dla (3.4) – v1(S) = {1}, v1(P ) = {2}, v1(M) = {1, 2}, dla (3.13) – v2(S) = ∅, v2(P ) = {1}. Reguły MP , Sub, MP−1 i Sub−1 zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność. Pozostaje do udowodnienia, że reguła Comp−1 prowadzi od fałszywych przesłanek, do fałszywej konkluzji. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 ograniczymy się do wykazania tego faktu dla n = 2. Wykorzystamy fakt, że dla dowolnych zbiorów x1, x2, y1 i y2 zachodzi prawidłowość (3.9) z dowodu pełności w modelu systemu OntP oraz fakt, że (| x1 |¬ 1∧ | x2 |¬ 1)→| x1 × x2 |¬ 1. (3.16) Niech α → β1 i α → β2 (dla α będącej formułą elementarną, a β1 i β2 formułami atomowymi) będą formułami, które nie są tautologiami. W tej sytuacji istnieją w MI22 modele w dziedzinach odpowiednio D1 i D2, określone przez wartościowania odpowiednio v1 i v2, takie że I22(v1(α → β1)) = I22(v2(α→ β2)) = 0. Analogicznie jak w dowodzie Twierdzenia 10 zdefiniujmy kolejny model z MI22 w dziedzinie D1 ×D2 z wartościowaniem v3 określonym dla dowolnej zmiennej X następująco: v3(X ) = v1(X ) × v2(X ). Na mocy (3.9) i (3.16) Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktor sol 115 I22(v3(α)) = 1. Jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) ma postać X εY , to na mocy (3.9) I22(v3(α → βi) = 0. Jeżeli natomiast βi (i ∈ {1, 2}) ma postać sol(X ), to przyjmujemy, że wartościowanie vj (j ∈ {1, 2}), j 6= i) jest dobrane tak, że vj(X ) 6= ∅. Model taki istnieje na mocy Lematu 39, ponieważ α nie może zawierać sol(X ). W tej sytuacji, ponieważ |fi(X )| > 1, również |vi(X )| > 1, a więc I22(v3(α→ βi) = 0. ¥ 3.2.4 Niezależność aksjomatów Twierdzenie 25. Aksjomaty systemu OntSol są niezależne. Dowód. Tak jak w dotychczasowych dowodach twierdzeń o niezależności aksjomatyzacji dla każdego aksjomatu pokażemy klasę modeli, w której pozostałe aksjomaty są tautologiami, a rozpatrywany aksjomat nie jest. We wszystkich przypadkach interpretacja funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Aksjomat (3.1). Interpretacja I23: ε n1 n2 sol n1 0 1 0 n2 0 0 0 Aksjomat (3.1) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2. Aksjomat (3.2). Interpretacja I24: ε n1 n2 n3 sol n1 1 1 0 1 n2 1 1 1 1 n3 1 1 1 1 Aksjomat (3.2) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n3, v(M) = n2. 116 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Aksjomat (3.3). Interpretacja I25: ε n1 n2 sol n1 1 1 1 n2 0 1 1 Aksjomat (3.3) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2, v(M) = n2. Aksjomat (3.10). Interpretacja I26: ε n1 n2 sol n1 0 0 1 n2 1 1 1 Aksjomat (3.10) jest niespełniony przy wartościowaniu v, przy którym: v(S) = n1, v(P ) = n2. Aksjomat (3.11). Interpretacja I27 w dziedzinie {n1}: I27(n1εn1) = 1, I27(sol(n1)) = 0. ¥ Twierdzenie 26. Aksjomaty odrzucone systemu OntSol są w OntSol niezależne. Dowód. Tak samo jak w dowodzie Twierdzenia 15 wystarczy pokazać, że żadnego z dwóch aksjomatów nie da się w systemie wyprowadzić z drugiego. Pokażemy to przez wskazanie interpretacji wyznaczających klasy modeli, dla których aksjomaty systemu oraz jeden z aksjomatów odrzuconych są tautologiami, a drugi z aksjomatów odrzuconych nie jest tautologią. Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 117 Niezależność aksjomatu (3.4). Interpretacja I28: ε n1 n2 n3 sol n1 1 0 1 1 n2 0 1 1 1 n3 0 0 0 0 Aksjomat (3.4) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że v(S) = n1, v(P ) = n2, a v(M) = n3. Niezależność aksjomatu (3.13). Interpretacja I29: ε n1 n2 sol n1 0 0 1 n2 0 1 1 Aksjomat (3.13) jest niespełniony przy interpretacji v, takiej że v(S) = n1, a v(P ) = n2. ¥ 3.3 Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 3.3.1 System aksjomatyczny W oryginalnym ujęciu Ontologii Leśniewskiego wszelkie inne funktory poza funktorem ε są definiowane. W definicjach wykorzystywane są jednak kwantyfikatory. Aby zbudować bezkwantyfikatorowy system zawierający funktory występujące w Ontologii inne niż ε w systemie OntSyl wprowadzimy je aksjomatycznie. Terminami pierwotnymi systemu OntSyl są funktory ε, a oraz i. Aksjomatami systemu OntSyl są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań oraz następujące formuły: SεP → SεS, (3.17) 118 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego SεP → SaP, (3.18) SaM ∧MεP → SεP, (3.19) SiP ∧ PεP → PεS, (3.20) PiS → SaS, (3.21) SaP → SiP, (3.22) SaM ∧MaP → SaP, (3.23) SiM ∧MaP → PiS. (3.24) Aksjomaty (3.21) – (3.24) pokrywają się z aksjomatami systemu Stnd. W związku z tym w systemie OntSyl obowiązuje odpowiednik Lematu 5, tzn. jeżeli formuła elementarna α zawiera łańcuch łączący zmienną X ze zmienną Y , to formuła α → XaY jest tezą systemu OntSyl. Łatwo sprawdzić, że następujące formuły są tezami systemu. Z (3.18) i (3.19) otrzymujemy: SεM ∧MεP → SεP ; (3.25) z (3.18) i (3.22): SεP → SiP ; (3.26) z (3.20) i (3.26): SεP ∧ PεM → PεS; (3.27) z (3.23) i (3.21): SiP → PiS; (3.28) z (3.20) i (3.22): SaP ∧ PεP → PεS; (3.29) z (3.20), (3.22) i (3.28): SaP ∧ SεS → SεP ; (3.30) z (3.24) i (3.18): SiM ∧MεP → PiS; (3.31) z (3.18), (3.23), (3.22) i (3.20): SεM ∧MaP → SεP ; (3.32) Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 119 z (3.22), (3.20) i (3.19): SaP ∧ PεP → SεS; (3.33) z (3.17) i (3.33): SaM ∧MεP → SεS; (3.34) z (3.24): M1iM2 ∧M1aS ∧M2aP → SiP ; (3.35) z (3.24), (3.22) i (3.28): MaS ∧MaP → SiP ; (3.36) z (3.21) i (3.22): SaS ≡ SiS; (3.37) z (3.26) i (3.21): SεP → PaP ; (3.38) z (3.17) i (3.18): SεP → SaS; (3.39) z (3.38) i (3.22): SεP → PiP ; (3.40) z (3.26) i (3.28): SεP → PiS; (3.41) z (3.39) i (3.22): SεP → SiS. (3.42) Warto zauważyć, że formuły (3.17), (3.25) i (3.27) są aksjomatami systemu OntP. Definicja 16. Niech dla dowolnej zmiennej X ind(X ) będzie najmniejszym zbiorem zawierającym formuły: X εY, α ∧ ZεV, dla pewnych zmiennych Y, Z, V oraz α ∈ aL(X ,Z). Gdy α zawiera element ze zbioru ind(X ) będziemy pisać, że zmienna X jest zindywidualizowana w α. Definicja zmiennej zindywidualizowanej jest dobrana tak, aby zachodził następujący lemat: 120 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Lemat 40. Jeżeli X jest zindywidualizowane w α, to α → X εX jest tezą systemu OntSyl. Dowód. Zachodzenie lematu wynika z Definicji 16 ze względu na tezy (3.33) i (3.34) oraz obowiązywanie w systemie Lematu 5. ¥ Definicja 17. Niech dla dowolnych zmiennych X i Y εL3(X ,Y) będzie najmniejszym zbiorem formuł, takim że: 1. X εY ∈ εL3(X ,Y); 2. jeżeli α ∈ (aL(X ,Y) ∪ aL(Y ,X )) i β ∈ ind(X ), to α ∧ β ∈ εL3(X ,Y); 3. jeżeli α ∈ ind(X ), to α ∧ X iY , α ∧ YiX ∈ εL3(X ,Y); 4. jeżeli α ∈ εL3(Y ,X ) i β ∈ ind(X ), to α ∧ β ∈ εL3(X ,Y); 5. jeżeli α ∈ εL3(X ,Z) i β ∈ εL3(Z,Y), to α ∧ β ∈ εL3(X ,Y); 6. jeżeli α ∈ εL3(X ,Z) i β ∈ aL(Z,Y), to α ∧ β ∈ εL3(X ,Y). Elementy zbioru εL3(X ,Y) nazywać będziemy w kontekście rozważań o systemie OntSyl ε-łańcuchami łączącymi zmienną X ze zmienną Y . Lemat 41. Jeżeli α zawiera element zbioru εL3(X ,Y), to α → X εY jest tezą systemu OntSyl. Dowód. Dowód przez indukcję ze względu na liczbę zastosowań operacji zdefiniowanych przez punkty 4, 5, lub 6 z Definicji 17 w konstrukcji ε-łańcucha zawartego w α. Pokażemy najpierw, że lemat obowiązuje dla formuły α zawierającej ε-łańcuch skonstruowany zgodnie z punktami 1, 2 lub 3 Definicji 17. Jeżeli α zawiera X εY , to oczywiście α → X εY jest tezą. Jeżeli α zawiera łańcuch łączący X z Y bądź Y z X , a zmienna X jest zindywidualizowana w α, to α → X εY jest tezą na mocy Lematu 5, Lematu 40 oraz tez (3.30) i (3.29). Jeżeli zmienna X jest zindywidualizowana w α i α zawiera jeden z atomów X iY lub YiX , to α → X εY jest tezą na mocy Lematu 40 oraz aksjomatu (3.20) i tezy (3.28). Załóżmy teraz, że lemat obowiązuje dla ε-łańcuchów, przy konstrukcji których zastosowano mniej niż n razy operacje wykorzystane w punktach 4, 5, lub 6 z Definicji 17. Pokażemy, że obowiązuje również, gdy wymienione Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 121 operacje zastosowano n razy, co zakończy dowód. Jeżeli z α wyprowadzić można YεX i X jest zindywidualizowane w α, to α → X εY jest tezą na mocy tezy (3.20). Jeżeli z α wyprowadzić można X εZ i ZεY , to na mocy tezy (3.25) tezą jest α → X εY . Jeżeli natomiast z α wyprowadzić można X εZ i ZaY , to α→ X εY jest tezą na mocy tezy (3.32). ¥ Lemat 42. Jeżeli α jest koniunkcją atomów ze zbioru {YεX , YεY, XaX , YaX , YaY, X iX , X iY, YiX , YiY}, to formuła YεX → α jest tezą systemu OntSyl. Dowód. Lemat jest prostą konsekwencją faktu, że formuły (3.17), (3.38), (3.18), (3.39), (3.40), (3.41), (3.26) i (3.42) są aksjomatami lub tezami systemu OntSyl. ¥ 3.3.2 Aksjomatyczny system odrzucania Aksjomatyczny system odrzucania dla systemu OntSyl określony jest przy użyciu reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1. Aksjomatami odrzuconymi dla systemu są następujące formuły: SεM ∧ PεM → SiP, (3.43) PεP → SiS. (3.44) Definicja 18. Wyrażeniem odrzuconym systemu OntSyl jest każdy z aksjomatów odrzuconych oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 43. Następujące formuły są formułami odrzuconymi systemu OntSyl: PεS → SεP, (3.45) PεS → SεS, (3.46) SεM ∧ PεM → SεP, (3.47) PεP → SaS, (3.48) 122 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego PεS → SaP, (3.49) SεM ∧ PεM → SaP, (3.50) SiS, (3.51) ¬SεP. (3.52) Dowód. Formuła (3.45): 1. ` SεM ∧MεP → SiP KRZ, tezy (3.25), (3.26) 2. ` (PεM →MεP )→ (SεM ∧ PεM → SiP ) KRZ, 1 3. a SεM ∧ PεM → SiP aks. odrzucony (3.43) 4. a PεM →MεP MP−1: 2, 3 a PεS → SεP Sub−1: 4 Formuła (3.46): 1. ` PεS ∧ SεS → SεP teza (3.27) 2. ` (PεS → SεS)→ (PεS → SεP ) KRZ, 1 3. a PεS → SεP formuła odrzucona (3.45) a PεS → SεS MP−1: 2, 3 Formuła (3.47): 1. ` SεP → SiP teza (3.26) 2. ` (SεM ∧ PεM → SεP )→ (SεM ∧ PεM → SiP ) KRZ, 1 3. a SεM ∧ PεM → SiP aks. odrzucony (3.43) a SεM ∧ PεM → SεP MP−1: 2, 3 Formuła (3.48): 1. ` SaS → SiS aksjomat (3.22) 2. ` (PεP → SaS)→ (PεP → SiS) KRZ, 1 3. a PεP → SiS aks. odrzucony (3.44) a PεP → SaS MP−1: 2, 3 Formuła (3.49): 1. ` SεM ∧MaP → SεP teza (3.32) 2. ` (PεM →MaP )→ (SεM ∧ PεM → SεP ) KRZ, 1 3. a SεM ∧ PεM → SεP formuła odrzucona (3.45) 4. a PεM →MaP MP−1: 2, 3 a PεS → SaP Sub−1: 4 Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 123 Formuła (3.50): 1. ` SaP → SiP aksjomat (3.22) 2. ` (SεM ∧ PεM → SaP )→ (SεM ∧ PεM → SiP ) KRZ, 1 3. a SεM ∧ PεM → SiP aks. odrzucony (3.43) a SεM ∧ PεM → SaP MP−1: 2, 3 Formuła (3.51): 1. ` SiS → (PεP → SiS) KRZ 2. a PεP → SiS aks. odrzucony (3.44) a SiS MP−1: 1, 2 Formuła (3.52): 1. ` ¬PεP → (PεP → SiS) KRZ 2. a PεP → SiS aks. odrzucony (3.44) 3. a ¬PεP MP−1: 1, 2 a ¬SεP Sub−1: 3 ¥ Lemat 44. Każda formuła atomowa jest formułą odrzuconą systemu OntSyl. Dowód. Na mocy Lematu 43 odrzucona jest formuła SiS. Przy użyciu reguły MP−1 z a SiS oraz (3.26) i (3.22) możemy otrzymać odpowiednio a SεS oraz a SaS. Przy użyciu reguły Sub−1 możemy odrzucić każdy inny atom. ¥ Lemat 45. Każde wyrażenie o postaci ¬α, gdzie α jest koniunkcją atomów, jest formułą odrzuconą. Dowód. Niech β będzie koniunkcją atomów ze zbioru {SεS, SaS, SiS}. Przy użyciu praw KRZ aksjomatu (3.17) i tez (3.39) oraz (3.42), otrzymujemy ` SεP → β, i dalej, przez transpozycję ` ¬β → ¬SεP . Ponieważ na podstawie Lematu 43 mamy a ¬SεP , przy użyciu reguły MP−1 otrzymujemy a ¬β. Korzystając z reguły Sub−1 uzyskujemy a ¬α. ¥ Lemat 46. Każda formuła hornowska języka systemu OntSyl jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Lematy 44 i 45 pozwalają ograniczyć dowód do formuł o postaci: (i) α→ X εX , (ii) α→ X εY , (iii) α→ XaX , (iv) α→ XaY , (v) α→ X iX , (vi) α→ X iY , gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. 124 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego W przypadku (i), jeżeli X jest zindywidualizowane w α, to rozpatrywana formuła jest tezą systemu OntSyl na mocy Lematu 40. W przeciwnym wypadku zastosujemy podstawienie e1, w którym podstawiamy S za X i każdą zmienną Y , taką że α zawiera element zbioru aL(X ,Y) i P za wszystkie inne zmienne. e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PεS, PεP , SaS, PaS, PaP , SiS, SiP , PiS, PiP}, a e1(X εX ) = SεS. Na mocy Lematu 42 mamy ` PεS → e1(α). Wynika stąd, że ` e1(α→ X εX )→ (PεS → SεS). Następnik tej implikacji jest identyczny z formułą odrzuconą (3.46), a więc wykorzystując regułęMP−1 , i dalej, regułę Sub−1 możemy otrzymać a α→ X εX . W przypadku (ii), jeżeli α zawiera jakiś element zbioru εL3(X ,Y), to α → X εY jest tezą OntSyl na mocy Lematu 41. W przeciwnym wypadku rozpatrzymy dwie możliwości (a) zmienna X nie jest zindywidualizowana w α i (b) zmienna X jest zindywidualizowana w α. W przypadku (a) wykorzystamy podstawienie e1 z punktu (i). Ponieważ X nie jest zindywidualizowane, e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PεS, PεP , PaS, PaP , SaS, PiS, PiP , SiS, SiP}, a e1(X εY) ma postać SεS lub SεP . Stosując rozumowanie analogiczne do zastosowanego w punkcie (i), z uwzględnieniem odrzucenia formuły (3.46) bądź (3.45), otrzymamy a α→ X εY . W przypadku (b) stosujemy podstawienie e2, w którym podstawiamy S za X i każde Z, takie że α zawiera element εL3(X ,Z) oraz εL3(Z,X ); M za każde Z, takie że α zawiera element εL3(X ,Z), za które nie zostało podstawione S; P za wszystkie inne zmienne. Przy tak określonym podstawieniu M nie jest zindywidualizowane w e2(α), e2(X εY) = SεP , a S i P nie występują razem w żadnym atomie z e2(α). W związku z tym e2(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {SεM , PεM , SεS, PεP , SaM , PaM , SaS, PaP , MaM , SiM , PiM , MiS, MiP , SiS, PiP , MiM}. Na mocy Lematu 42 mamy ` SεM ∧ PεM → e2(α), a stąd na mocy praw KRZ ` e2(α → X εY) → (SεM ∧ PεM → SεP ). Ponieważ na mocy Lematu 43 odrzucona jest formuła (3.47), odrzucona jest również rozpatrywana formuła α→ X εY . W przypadku (iii), jeżeli α zawiera atom, w którym występuje zmienna X , to na mocy tez (3.38), (3.39) oraz aksjomatu (3.21) wraz z aksjomatem (3.22) i tezą (3.28) α→ XaX jest tezą. W przeciwnym przypadku zastosujemy podstawienie e3, w którym podstawiamy S za X , a P za wszystkie inne zmienne. e3(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PεP , PaP , PiP}. W związku Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 125 z tym tezą systemu OntSyl jest formuła e3(α → XaX ) → (PεP → SaS). Ponieważ odrzucona jest formuła (3.48), odrzucona jest również rozpatrywana formuła α→ XaX . W przypadku (iv), jeżeli α zawiera element aL(X ,Y) lub εL3(X ,Y), to na mocy Lematu (5) lub Lematu 41 oraz aksjomatu (3.18) α → XaY jest tezą. W przeciwnym wypadku rozważymy dwa przypadki: (a) X nie jest zindywidualizowane w α i (b) X jest zindywidualizowane w α. W przypadku (a) zastosujemy podstawienie e1 określone dla przypadku (i). Ponieważ X nie jest zindywidualizowane w α, e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PεP, PεS, SaS, PaS, PaP , SiS, SiP , PiS, PiP}. Z kolei e1(XaY) = SaP . Na mocy Lematu 42 mamy ` PεS → e1(α), a na mocy praw KRZ również ` e1(α → XaY) → (PεS → SaP ). Ponieważ na mocy Lematu 43 odrzucona jest formuła 3.49 (PεS → SaP ), odrzucona jest również rozpatrywana formuła α→ XaY . W przypadku (b) wykorzystamy podstawienie e2 określone dla przypadku (ii) (b). Stosując rozumowanie analogiczne do zastosowanego w przypadku (ii) (b) z wykorzystaniem faktu, że na mocy Lematu 43 odrzucona jest formuła (3.50), uzyskamy odrzucenie formuły α→ XaY . Przypadek (v), ze względu na tezę (3.37), redukuje się do przypadku (iii). W przypadku (vi) mamy do czynienia z formułą α → X iY , która jest tezą, gdy spełniony jest jeden z poniższych warunków: • α zawiera X iY , YiX , element εL3(X ,Y), aL(X ,Y), εL3(Y ,X ) lub aL(Y ,X ); • dla pewnej zmiennej Z, α zawiera element zbioru εL3(Z,X )∪aL(Z,X ) i element zbioru εL3(Z,Y) ∪ aL(Z,Y); • dla pewnych zmiennych Z i V , α zawiera ZiV lub ViZ oraz elementy zbiorów εL3(Z,X ) ∪ aL(Z,X ) i εL3(V ,Y) ∪ aL(V ,Y); Powyższy fakt jest konsekwencją aksjomatu (3.22), tez (3.26), (3.35) i (5), oraz Lematu 41. Jeżeli rozpatrywana formuła nie spełnia żadnego z wyżej wymienionych warunków stosujemy podstawienie e4, w którym podstawiamy S za X oraz każde Z, takie że α zawiera element zbioru eL(Z,X ) ∪ aL(Z,X ), P za Y , 126 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego każde Z, takie że α zawiera element zbioru eL(Z,Y) ∪ aL(Z,Y) oraz każdą inną zmienną zindywidualizowaną w α, za którą nie zostało wcześniej podstawione S, M za wszystkie inne zmienne. e4(X iY) jest równe SiP . Ponieważ α nie zawiera żadnego elementu zbioru εL3(X ,Y)∪ aL(X ,Y)∪ εL3(Y ,X )∪ aL(Y ,X ), e4(α) nie zawiera żadnego atomu, w którym występuje jednocześnie S i P . Z kolei zmienna M nie może być zindywidualizowana w e4(α). Formuła e4(α) jest więc koniunkcją elementów zbioru {SεM , PεM , SεS, P estP , SaM , PaM , SaS, PaP , MaM , SiM , PiM , MiS, MiP , SiS, PiP , MiM}. Na podstawie Lematu 42 mamy więc ` (SεM ∧ PεM) → e4(α) i na podstawie praw KRZ ` e4(α → X iY) → SεM ∧ PεM → SiP . W obecności aksjomatu odrzuconego (3.43) możemy stąd wyprowadzić stosując reguły MP−1 i Sub−1: a α→ X iY . ¥ Lemat 47. Aksjomaty odrzucone nie są tezami systemu OntSyl. Dowód. Możemy zastosować rozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie Lematu 10. W przypadku aksjomatu odrzuconego (3.43), odpowiednia klasa modeli może być określona następująco: MI30 = (N30, v, I30), gdzie dziedzina N30 = {n1, n2, n3}, a interpretacja I30 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest przez matryce: ε n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 0 0 0 a n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 1 1 1 Aksjomat jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że v(S) = n1, v(P ) = n2, a v(M) = n3. W przypadku aksjomatu odrzuconego (3.44) odpowiednia klasa modeli może być określona następująco: MI31 = (N31, v, I31), gdzie dziedzina N31 = {n1, n2}, a interpretacja I31 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest przez matrycę: ε/a/i n1 n2 n1 0 0 n2 0 1 Aksjomat jest niespełniony przy wartościowaniu v, dla którego v(S) = n1 i v(P ) = n2. ¥ Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 127 Twierdzenie 27. Każda formuła języka systemu OntSyl jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9. ¥ 3.3.3 Model w rachunku zbiorów Model dla rozszerzonego systemu Ontologii stanowi połączenie modelu dla systemu OntP z modelem standardowej sylogistyki dopuszczającej używanie nazw pustych Stnd. Klasę modeli dla systemu OntSyl określa struktura: MI32 = (D, I32, v), gdzie D jest dowolnym zbiorem, wartościowanie v przypisuje zmiennym dowolne podzbiory D, interpretacja I32 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych jest określona następująco: I32(v(X εY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y) i |v(X )| = 1; I32(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y) i v(X ) 6= ∅; I32(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅. Twierdzenie 28. System OntSyl jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy MI32. Dowód. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 wystarczy pokazać, że tezy systemu są tautologiami w klasie modeli, a wyrażenia odrzucone nie są. Sprawdzenie, że aksjomaty OntSyl są tautologiami jest rutynowe. Aksjomaty odrzucone są niespełnione odpowiednio przy następujących wartościowaniach v1 i v2: v1(S) = {1}, v1(P ) = {2}, v1(M) = {1, 2} dla aksjomatu odrzuconego (3.43) oraz v2(S) = ∅, v2(P ) = {1} dla – (3.44). Reguły MP , Sub, MP−1 i Sub−1 zachowują, tak jak w przypadku wcześniej rozpatrywanych systemów, odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność. Pozostaje do udowodnienia, że reguła Comp−1 prowadzi od fałszywych przesłanek do fałszywej konkluzji. Tak jak w przypadku Twierdzenia 10 ograniczymy się do wykazania tego faktu dla n = 2. Wykorzystamy prawa rachunku zbiorów (2.17), (2.25) i (3.9) z dowodu Twierdzeń 10, 13 i 21. Podobnie jak w poprzednich twierdzeniach o pełności niech formuły α → β1 i α → β2 będą niespełnione w modelach określonych przez dziedziny odpowiednio D1 i D2 oraz wartościowania odpowiednio 128 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego v1 i v2. Rozpatrzymy model określony w dziedzinie D1 × D2 z wartościowaniem v3, takim że dla każdej zmiennej X , v3(X ) = v1(X ) × v2(X ). Na podstawie wymienionych praw rachunku zbiorów otrzymujemy: I32(v3(α→ β1 ∨ β2)) = 0. ¥ 3.3.4 Niezależność aksjomatów Twierdzenie 29. Aksjomaty systemu OntSyl są niezależne. Dowód. Tak jak w dotychczasowych dowodach twierdzeń o niezależności aksjomatyzacji dla każdego aksjomatu pokażemy klasę modeli, w której pozostałe aksjomaty są tautologiami, a rozpatrywany aksjomat nie jest. We wszystkich przypadkach interpretacja funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Aksjomat (3.17). Interpretacja I33: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora i i dowolnego wartościowania v I33(v(α)) = 1, dla pozostałych zdań atomowych interpretacja określona jest poprzez matryce: ε n1 n2 n1 0 1 n2 0 0 a n1 n2 n1 1 1 n2 0 1 Aksjomat (3.17) jest niespełniony przy wartościowaniu v, dla którego: v(S) = n1 a v(P ) = n2. Aksjomat (3.18). Interpretacja I34: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora ε i dowolnego wartościowania v I34(v(α)) = 1, dla pozostałych zdań atomowych interpretacja daje zawsze wartość 0. Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 129 Aksjomat (3.19). Interpretacja I35: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora a lub i i dowolnego wartościowania v I35(v(α)) = 1, dla pozostałych zdań atomowych interpretacja określona jest poprzez matrycę: ε n1 n2 n1 0 0 n2 1 1 Aksjomat (3.19) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2, v(M) = n2. Aksjomat (3.20). Interpretacja I36: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora i i dowolnego wartościowania v I36(v(α)) = 1, dla pozostałych zdań atomowych interpretacja określona jest poprzez matryce: ε/a n1 n2 n1 0 0 n2 1 1 Aksjomat (3.20) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2. Aksjomat (3.21). Interpretacja I37: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora i oraz dowolnego wartościowania v I37(v(α)) = 1, dla pozostałych zdań atomowych interpretacja daje zawsze wartość 0. Aksjomat (3.22). Interpretacja I38: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora i oraz dowolnego 130 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego wartościowania v I38(v(α)) = 0, dla pozostałych zdań atomowych interpretacja daje zawsze wartość 1. Aksjomat (3.23). Interpretacja I39: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora i oraz dowolnego wartościowania v I39(v(α)) = 1, dla dowolnego atomu β zbudowanego z użyciem funktora ε oraz dowolnego wartościowania v I39(v(β)) = 0, dla pozostałych atomów interpretację I39 określa matryca: a n1 n2 n3 n1 1 1 0 n2 1 1 1 n3 1 1 1 Aksjomat (3.23) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n3, a v(M) = n2. Aksjomat (3.24). Interpretacja I40: dla dowolnego atomu α zbudowanego z użyciem funktora ε oraz dowolnego wartościowania v I40(v(α)) = 0, dla pozostałych atomów interpretację I40 określa matryca: a/i n1 n2 n1 1 1 n2 0 1 Aksjomat (3.24) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że: v(S) = n1, v(P ) = n2, v(M) = n2. ¥ Twierdzenie 30. Aksjomaty odrzucone systemu OntSyl są niezależne. Dowód. Tak samo jak w dowodzie Twierdzenia 15 wystarczy pokazać, że żadnego z dwóch aksjomatów nie da się w systemie wyprowadzić z drugiego. Pokażemy to przez wskazanie interpretacji wyznaczających klasy modeli, dla których aksjomaty systemu oraz jeden z aksjomatów odrzuconych są tautologiami, a drugi z aksjomatów odrzuconych nie jest tautologią. Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 131 Niezależność aksjomatu (3.43) pokazuje interpretacja I41 określona przez matryce: ε n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 0 0 0 a n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 1 1 n3 1 1 1 Aksjomat (3.4) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że v(S) = n1, v(P ) = n2, a v(M) = n3. Niezależność aksjomatu (3.44) pokazuje interpretacja I42 określona przez matrycę: ε/a/i n1 n2 n1 0 0 n2 0 1 Aksjomat (3.13) jest niespełniony przy wartościowaniu v, dla którego v(S) = n1, a v(P ) = n2. ¥ 3.3.5 Definicje dodatkowych stałych Ontologii Leśniewskiego w systemie OntSyl System OntSyl można wzbogacić poprzez wprowadzenie przy pomocy metajęzykowych skrótów definicyjnych kolejne funktory rachunku nazw (funktory e oraz o określone są w Rozdziale 1.1 przy użyciu definicji (1.31) oraz (1.32)): ex1(S) =df SεS, (3.53) ex(S) =df SiS, (3.54) sol(S) =df ex1(S) ∨ ¬ex(S), (3.55) S is the P =df SεP ∧ PεS, (3.56) S is a P =df SεP ∧ ¬PεP. (3.57) 132 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego Wszystkie powyższe skróty definicyjne są wolne od kwantyfikatorów. Rozpatrywany system zawiera wszystkie funktory rachunku nazw, które zostały określone na początku niniejszej pracy2. Wykorzystując powyższe definicje możemy rozszerzyć interpretację I32, konstytuującą klasę modeli względem której system OntSyl jest pełny, o interpretację zdefiniowanych funktorów. Interpretacja zdefiniowanych funktorów jest następująca: I32(v(X eY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) = ∅; I32(v(X oY)) = 1 wtw v(X ) 6⊆ v(Y) lub v(X ) = ∅; I32(v(ex1(X ))) = 1 wtw |v(X )| = 1; I32(v(ex(X ))) = 1 wtw |v(X )| - 1; I32(v(sol(X ))) = 1 wtw |v(X )| ¬ 1; I32(v(X is the Y)) = 1 wtw v(X ) = v(Y) i |v(X )| = 1; I32(v(X εY)) = 1 wtw v(X ) ⊆ v(Y) i |v(X )| = 1 i |v(Y)| > 1. 3.3.6 Alternatywna aksjomatyzacja systemu Alternatywną w stosunku do systemu OntSyl aksjomatyzację opartą na innych terminach pierwotnych oznaczymy OntSyl?. Terminami pierwotnymi są a, i oraz ex1. Aksjomatami są podstawienia wszystkich tez klasycznego rachunku zdań w języku systemu, aksjomaty systemu Stnd: (2.18), (2.6), (2.3) i (2.4) oraz następujące formuły: ex1(S)→ SiS, (3.58) ex1(S) ∧ SiP → SaP, (3.59) ex1(P ) ∧ SaP → ex1(S). (3.60) W systemie OntSyl? można zdefiniować funktor ε przy użyciu następującej formuły: SεP ≡ SaP ∧ ex1(S). (3.61) 2Do systemu można dołączyć również inne funktory, które dadzą się zdefiniować w oparciu o stosunki zakresowe między nazwami. Przykładem niech będzie funktor tworzący zdania ogólnotwierdzące w tzw. słabej interpretacji (odpowiadającej zwykłemu zawieraniu się odpowiednich zbiorów i rozumieniu funktora a w systemie B) występujący m. in. w pracach [56, 42]. Funktor ten, dla którego przyjmiemy tu oznaczenie a? możemy zdefiniować następująco: Aa?B =df AaB ∨ ¬AiA . Bezkwantyfikatorowa Ontologia wzbogacona o funktory sylogistyki 133 Twierdzenie 31. System OntSyl z definicją (3.53) jest równoważny systemowi OntSyl? z definicją (3.61). Dowód. Po zastąpieniu w aksjomatach (3.17), (3.18), (3.19) i (3.20) systemu OntSyl atomów zawierających funktor ε odpowiednimi wyrażeniami zgodnie z definicją (3.61), otrzymamy następujące formuły: SaP ∧ ex1(S)→ SaS ∧ ex1(S), (3.62) SaP ∧ ex1(S)→ SaP, (3.63) SaM ∧MaP ∧ ex1(M)→ SaP ∧ ex1(S), (3.64) SiP ∧ PaP ∧ ex1(P )→ PaS ∧ ex1(P ). (3.65) Są one tezami systemu OntSyl? na mocy odpowiednio: • (2.18) i (2.19) dla (3.62); • prawa tautologii klasycznego rachunku zdań dla (3.63); • (2.3) i (3.60) dla (3.64); • (3.59) dla (3.65). Z kolei aksjomaty (3.58), (3.59), (3.60) po zastąpieniu atomów, w których występuje funktor ex1 zgodnie z definicją (3.53), przyjmują postać: SεS → SiS, (3.66) SεS ∧ SiP → SaP, (3.67) PεP ∧ SaP → SεS. (3.68) Są one tezami systemu OntSyl na mocy odpowiednio: • (3.26) dla (3.66); • (3.18) i (3.20) dla (3.67); • (3.33) dla (3.68). ¥ 134 Systemy z funktorem ε Leśniewskiego 3.4 Separacja w odniesieniu do Ontologii Leśniewskiego Ontologia Leśniewskiego zbudowana jest w języku, który stanowi rozszerzenie języka rachunku nazw o kwantyfikatory. Ograniczymy się do podstawowej Ontologii3 – tej części Ontologii, która odpowiada teorii nazw w naszym rozumieniu. Poprawnie zbudowaną formułę rachunku podstawowej Ontologii można zdefiniować indukcyjnie w następujący sposób. 1. Wyrażenia pXaYq, pX iYq, pX εYq, gdzie X i Y reprezentują zmienne nazwowe, są poprawnie zbudowanymi formułami. 2. Jeżeli α jest poprawnie zbudowaną formułą, to p¬αq jest poprawnie zbudowaną formułą. 3. Jeżeli α i β są poprawnie zbudowanymi formułami, to p(α ∧ β)q, p(α ∨ β)q, p(α → β)q i p(α ≡ β)q są poprawnie zbudowanymi formułami. 4. Jeżeli α jest poprawnie zbudowaną formułą, a X zmienną, to p∀Xαq oraz p∃Xαq są poprawnie zbudowanymi formułami. Język określony jest w bardzo podobny sposób do języka logiki pierwszego rzędu i w odniesieniu do rachunku nazw tu rozpatrywanego w zasadzie nie ma różnicy między tymi formalizmami. Podstawowy system Ontologii oparty jest na regułach odrywania i podstawiania oraz regułach dla kwantyfikatorów. Jedyny aksjomat Ontologii przyjmuje postać (w wersji z pracy Słupeckiego [56]): SεP ≡ ∃M(MεS)∧∀M,N(MεS∧NεS →MεN)∧∀M(MεS →MεP ) (3.69) 3W Ontologii używa się pojęcia Ontologia elementarna, które nie pokrywa się jednak z podstawową Ontologią, o której mowa w niniejszej pracy. Separacja w odniesieniu do Ontologii Leśniewskiego 135 Formalizacji podsatwowej Ontologii dopełniają definicje4: SaP ≡ ∃M(MεS) ∧ ∀M(MεS →MεP ); (3.70) SiP ≡ ∃M(MεS ∧MεP ). (3.71) Twierdzenie 32. Każda teza podstawowej Ontologii należąca do języka rachuku nazw jest tezą systemu OntSyl. Dowód. Można sprawdzić, że zarówno aksjomat Ontologii, jak i powyższe definicje (3.70) i (3.71) są prawdziwe w każdym modelu należącym do klasy MI32 . W związku z tym każda teza podstawowej Ontologii jest w tej klasie tautologią. Na mocy Twierdzenia 28 jest wtedy tezą systemu OntSyl. ¥ Stosunek pomiędzy systemem podstawowej Ontologii a systemami bezkwantyfikatorowego rachunku nazw jest wyraźnie widoczny w świetle następującego faktu przedstawionego przez M. Takano w pracy [61]. Autor ten podaje, że aksjomat Ontologii (3.69) można uzyskać z formuł (3.1), (3.2) i (3.3) oraz następującej formuły: ∀S∀P∀M((∀N(NεS ≡ NεP ) ∧ SεM)→ PεM). (3.72) Formuła (3.72) jest pewną formą zasady ekstensjonalności5. Można więc fakt, że pełna oryginalna Ontologia Leśniewskiego może zostać właśnie tak otrzymana z systemu bezkwantyfikatorowego rozumieć w ten sposób, że system bezkwantyfikatorowy wyraża specyficzna treść logiczną Ontologii, a dodatkowy aksjomat wyraża w istocie prawidłowość ogólniejszą dotyczącą sposobu traktowania identycznych nazw w teorii kwantyfikatorów. 4Poniższe definicje mają, zgodnie z praktyką Leśniewskiego, charakter zdań języka, można więc rozumieć je jako aksjomaty charakteryzujące wprowadzane przez definicje stałe. Definicje w systemach Leśniewskiego mogą mieć charakter twórczy umożliwiać udowodnienie tez, w których nie występują terminy definiowane, a które nie dadzą się udowodnić bez tych definicji. Rozpatrywane tu dwie definicje nie mają charakteru twórczego. 5Szerzej o różnych formach zasady ekstensjonalności i ich roli w Ontologii pisze Waragai w pracy [65].

Rozdział 4 Sylogistyki nieklasyczne Punktem wyjścia dla rozważań niniejszego rozdziału jest system sylogistyki zaprezentowany przez Słupeckiego w pracy [54]. Pokazuje on, że można skonstruować sensowny system sylogistyki, który nie ma interpretacji zakresowej. Zauważenie tego faktu odkrywa całą przestrzeń aksjomatycznych systemów sylogistyki. Część tej przestrzeni rozpościera się między systemem Słupeckiego a systemem Łukasiewicza. Jeszcze inne systemy są rozszerzeniami systemu Słupeckiego i krzyżują się z systemem Łukasiewicza. Rozpoczniemy ten rozdział od przedstawienia i analizy systemu Słupeckiego. Zaprezentujemy jego aksjomatykę za artykułem [54] oraz system aksjomatycznego odrzucania, który pojawił się w pracy B. Iwanusia [17]. Przedstawimy również strukturę teoriomodelową dla tego systemu, która opisana została w artykule [26] Autora niniejszej rozprawy. Kolejne systemy zostały określone jako sylogistyka dowodowa. Przedstawimy uzasadnienie intuicyjne dla konstruowania takich systemów oraz ich formalną prezentację wraz z uzupełnieniem w postaci aksjomatycznego odrzucania. Z punktu widzenia systemu aksjomatycznego i modelu zmiana jest bardzo prosta. Dodany jest aksjomat antyzwrotności dla zdań ogólnotwierdzących, a w modelu odpowiada temu zmiana relacji zawierania się na relację właściwego zawierania się. Zmiana ta powoduje jednak większe różnice na poziomie aksjomatyki odrzuceniowej. Nie da się zbudować systemów aksjomatycznego odrzucania dla tych teorii z użyciem skończonej liczby aksjomatów, tak jak w systemach Łuk, Stnd, czy też w systemie Słupeckiego, ale wykorzystane są schematy aksjomatów odrzuconych. 138 Sylogistyki nieklasyczne Podstawy sylogistyki dowodowej zostały zaprezentowane w pracy [24]. Rozważania o sylogistyce dowodowej zostały w niniejszej rozprawie poszerzone o semantykę systemu, który oznaczać będziemy D1 oraz o wykazanie niezależności wszystkich systemów aksjomatycznych. Następnie przedstawimy szereg tez systemu Łukasiewicza, które nie są tezami systemu Słupeckiego, oraz ich wzajemne relacje. W ten sposób zapoznamy się z przestrzenią możliwych do zdefiniowania systemów znajdujących się pomiędzy systemem Słupeckiego a systemem Łukasiewicza. Analizy te nie były wcześniej publikowane. Podrozdział dotyczący systemów, które umieścić można pomiędzy systemem Słupeckiego a systemem Łukasiewicza, ma charakter szkicowy, gdyż liczba systemów, które można tu zbudować jest znaczna, a przestrzeń ta nie była dotąd badana. Przedstawione zostaną zatem jedynie wybrane systemy i wstępna ich analiza. Dla niektórych z nich zaprezentujemy pewne intuicje semantyczne. Kwestia charakteru struktury, którą tworzą omawiane systemy oraz ich semantyki, pozostaje więc w zasadzie problemem otwartym. 4.1 System Słupeckiego 4.1.1 System aksjomatyczny W systemie Słupeckiego (Słp) język jest ten sam, co w systemie Łuk, a więc terminami pierwotnymi są a oraz i. Wykorzystywane są reguły odrywania MP i podstawiania Sub. Aksjomatami są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku oraz formuły (2.3), (2.4), (2.5) i (2.6). Wszystkie aksjomaty systemu Słp są aksjomatami bądź tezami systemu Stnd, a więc system Słp jest podsystemem systemu Stnd oraz systemu Łuk. Tak jak w systemie Łuk, tezami systemu Słp są formuły (2.7), (2.8), (2.9) i (2.22). W związku z tym w systemie Słp obowiązują odpowiedniki Lematów 5 oraz 6. Lemat 48. Niech α będzie formułą o postaci β → XaY lub β → X iY, gdzie β jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. α jest tezą systemu Słp wtedy i tylko wtedy, gdy α jest tezą systemu Łuk. Dowód. (→) Zachodzi, ponieważ system Słp jest podsystemem systemu Łuk. System Słupeckiego 139 (←) Niech α będzie tezą systemu Łuk. Jak wynika z dowodu Lematu 9 (przypadek (iv) i (v)), wyrażenie o postaci β → XaY jest tezą systemu wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki Lematu 5, a wyrażenie o postaci β → X iY jest tezą systemu Łuk wtedy i tylko wtedy, gdy β spełnia warunki Lematu 6. Ponieważ odpowiedniki Lematów 5 i 6 zachodzą dla systemu Słp, α jest tezą Słp. ¥ Tezami systemu Słp są następujące formuły: SaM ∧MaS →MaM, (4.1) stanowiąca podstawienie aksjomatu (2.3) i SaP → PiP, (4.2) otrzymana z aksjomatów (2.4) i (2.5). 4.1.2 Aksjomatyczny system odrzucania Aksjomatyczny system odrzucania dla systemu Słp określony jest przy użyciu reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1. Aksjomatami odrzuconymi dla systemu Słp są następujące formuły: MaP ∧ PaP →MiM, (4.3) SaS ∧ SaM ∧MaP ∧ PaP →MaM, (4.4) SaS ∧ SaM ∧ PaP ∧ PaM ∧MaM → SiP. (4.5) Definicja 19. Wyrażeniem odrzuconym systemu Słp jest każdy z aksjomatów odrzuconych (4.3), (4.4) i (4.5) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1 . Lemat 49. W systemie Słp wyrażeniami odrzuconymi są formuły: (2.11), (2.1), (2.2), oraz SaS ∧ PaP ∧ PaS → SaP. (4.6) 140 Sylogistyki nieklasyczne Dowód. Odrzucenie formuł (2.1), (2.2) uzyskać można poprzez zastosowanie reguły MP−1 do aksjomatów odrzuconych (4.4) i (4.3) i odpowiednich podstawień praw KRZ. Odrzucenie formuły (2.11) jest następujące: 1. ` ¬PaP → (MaP ∧ PaP →MiM)) KRZ 2. aMaP ∧ PaP →MiM aksjomat odrzucony (4.3) 3. a ¬PaP MP−1: 1, 2 a ¬SaS Sub−1: 3 Odrzucenie formuły (4.6) jest następujące (α reprezentować będzie formułę (4.5): 1. ` (SaM ∧MaP → SiP )→ ((PaP ∧MaM ∧ PaM →MaP )→ α) KRZ 2. ` SaM ∧MaP → SiP KRZ, aks. (2.3), aks.(2.6) 3. ` (PaP ∧MaM ∧ PaM →MaP )→ α MP : 1, 2 4. a α aks. odrzucony (4.5) 5. a PaP ∧MaM ∧ PaM →MaP MP−1: 3, 4 a PaP ∧ SaS ∧ PaS → SaP Sub−1: 5 ¥ Lemat 50. Każda formuła atomowa języka systemu Słp jest wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Wszystkie formuły atomowe można odrzucić korzystając z reguły Sub−1 zastosowanej do formuł (2.1) i (2.2) odrzuconych na mocy Lematu 49. ¥ Lemat 51. Każda formuła hornowska języka systemu Słp jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Jak w dowodzie Lematu 9, rozważymy osobno każdą z możliwych postaci formuły hornowskiej języka systemu (pomijając formuły atomowe, które są odrzucone na mocy Lematu 50): (i) ¬α, (ii) α → XaX , (iii) α → X iX , (iv) α→ XaY , (v) α→ X iY , gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. Ponieważ odrzucona jest formuła (2.11) wymieniona w Lemacie 49, dla przypadku (i) dowód pokrywa się z analogicznymi przypadkami dla systemu Łuk. Przypadek (ii). Formuła o tej postaci jest tezą systemu Słp, gdy α zawiera łańcuch łączący X z X . W przeciwnym przypadku stosujemy podstawienie System Słupeckiego 141 e1, w którym podstawiamy: M za X ; S za każdą zmienną Y , taką że α zawiera łańcuch łączący Y z X ; P za wszystkie inne zmienne. e1(X ) = M , a e1(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaS, SaM , MaP , SaP , SiS, PiP , MiM , MiS, SiM , MiP , PiM , SiP , PiS}. Przy użyciu aksjomatów (2.5), (2.6) i (2.3) uzyskamy w tej sytuacji ` PaP ∧ SaS ∧ SaM ∧MaP → e1(α), i dalej, ` e1(α→ XaX )→ (PaP ∧SaS∧SaM∧MaP →MaM). W obecności aksjomatu odrzuconego (4.4) otrzymamy stąd przy użyciu reguły MP−1 a e1(α→ XaX ), i dalej, przy użyciu reguły Sub−1, a α→ XaX . Przypadek (iii). Formuła o postaci α → X iX jest tezą systemu Słp, gdy α zawiera atom X iX lub dla pewnego Y atom YaX . W przeciwnym przypadku wykorzystamy podstawienie e2, w którym podstawiamy: S za X ; P za wszystkie inne zmienne. e2(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaP , PiP , SiP , PiS}. Przy użyciu aksjomatów (2.5) i (2.6) otrzymamy ` SaP ∧ PaP → e2(α). Stąd na mocy praw KRZ mamy: ` e2(α→ X iX )→ (SaP ∧ PaP → SiS). Następnik tej implikacji jest odrzucony przez zastosowanie reguły Sub−1 do aksjomatu (4.3), a więc odrzucona jest również formuła α→ X iX . W kolejnych przypadkach zastosujemy Lemat 48. Przypadek (iv). Jeżeli α zawiera łańcuch łączący X z Y , to formuła α → XaY jest tezą systemu Łuk, a więc również tezą Słp. W przeciwnym przypadku stosujemy podstawienie e3, w którym podstawiamy: P za Y oraz każdą zmienną Z, taką że α zawiera łańcuch łączący Z z Y oraz S za wszystkie inne zmienne występujące w rozważanym wyrażeniu (w tym X ). e3(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaS, PaS, SiS, PiP , SiP , PiS}. Ze względu na aksjomat (2.6) i tezę (2.7) mamy ` PaP∧SaS∧PaS → e3(α), i dalej, na podstawie praw KRZ: ` e3(α→ XaY)→ (PaP ∧ SaS ∧ PaS → SaP ). Następnik tej implikacji jest identyczny z formułą odrzuconą (4.6), a zatem odrzucona jest również wyjściowa formuła α→ XaY . Przypadek (v). Jeżeli α spełnia jeden z warunków Lematu 6, to na jego mocy jest tezą systemu Łuk, a więc jest również tezą Słp . W przeciwnym wypadku stosujemy podstawienie e4, w którym podstawiamy: S za X oraz każdą zmienną V , dla której α zawiera łańcuch łączący 142 Sylogistyki nieklasyczne V z X ; P za Y oraz każdą zmienną Z, dla której α zawiera łańcuch łączący Z z Y ; M za wszystkie inne zmienne. e4(α) jest koniunkcją atomów ze zbioru {PaP , SaS, MaM , PaM , SaM , PiP , SiS, MiM , PiM , MiP , SiM , MiS}. Ponieważ tezami systemu są wyrażenia SaP → SiP i SaP → PiS, mamy ` PaP ∧ SaS ∧MaM ∧ PaM ∧ SaM → e4(α) i stąd na mocy praw KRZ ` e4(α→ X iY)→ (PaP ∧ SaS ∧MaM ∧ PaM ∧ SaM → SiP ). Następnik ostatniej implikacji jest identyczny z aksjomatem odrzuconym (4.5), a więc wyjściowa formuła α→ X iY jest odrzucona. ¥ Lemat 52. Aksjomaty odrzucone (4.3), (4.4) i (4.5) nie są tezami systemu Słp. Dowód. Możemy zastosować rozumowanie analogiczne do użytego w dowodzie Lematu 10. We wszystkich interpretacjach w dowodzie funktory rachunku zdań interpretowane są klasycznie. W przypadku aksjomatu odrzuconego (4.3) odpowiednia klasa modeli może być określona przez interpretację I43, która dla formuł atomowych określona jest przez matryce: a n1 n2 n1 0 1 n2 0 1 i n1 n2 n1 0 1 n2 1 1 Aksjomat odrzucony (4.3) jest niespełniony w modelu przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, a v(M) = n2. W przypadku aksjomatu odrzuconego (4.4) odpowiednia klasa modeli może być określona przez interpretację I44, która dla formuł atomowych zbudowanych przy użyciu funktora i daje zawsze wartość 1, a dla pozostałych formuł atomowych określona jest przez matrycę: a n1 n2 n3 n1 1 1 1 n2 0 0 1 n3 0 0 1 Aksjomat odrzucony (4.4) jest niespełniony przy wartościowaniu v, w którym v(P ) = n1, v(S) = n3 i v(M) = n2. W przypadku aksjomatu odrzuconego (4.5) odpowiednia klasa modeli może być określona przez interpretację I1 z dowodu Twierdzenia 10, dotyczącego systemu Łuk. System Słupeckiego 143 Aksjomat odrzucony (4.5) jest niespełniony w modelu przy wartościowaniu v, w którym v(P ) = n1, v(S) = n2, a v(M) = n3. ¥ Twierdzenie 33. Każda formuła języka systemu Słp jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9, z wykorzystaniem Lematu 51 oraz Lematu 52. ¥ 4.1.3 Niezależność aksjomatów Zarówno aksjomaty, jak i aksjomaty odrzucone są w systemie Słp niezależne. Twierdzenie 34. Aksjomaty systemu Słp są niezależne. Dowód. W dowodzie posłużymy się rozumowaniem analogicznym do wykorzystanego w dowodzie Lematu 10. We wszystkich przypadkach interpretacja funktorów rachunku zdań jest klasyczna Aksjomat (2.5). Interpretacja I3 z dowodu Twierdzenia 11. Aksjomat (2.6). Interpretacja I45, która dla atomów zbudowanych z użyciem funktora a przyjmuje zawsze wartość 0, a dla pozostałych wartości zgodnie z matrycą: i n1 n2 n1 1 0 n2 1 1 Aksjomat (2.6) jest niespełniony przy wartościowaniu v, takim że v(S) = n2, a v(P ) = n1. Aksjomat (2.3). Interpretacja I5 z dowodu Twierdzenia 11 z tym samym wartościowaniem pokazującym nietautologiczność aksjomatu. 144 Sylogistyki nieklasyczne Aksjomat (2.4). Interpretacja I46 określona poprzez matryce: a n1 n2 n1 0 1 n2 0 0 i n1 n2 n1 1 1 n2 1 0 Aksjomat (2.4) jest fałszywy przy wartościowaniu v, dla którego: v(S) = n2, v(P ) = n2, v(M) = n1. ¥ Twierdzenie 35. Aksjomaty odrzucone systemu Słp są w systemie Słp niezależne. Dowód. Wystarczy zauważyć, że w każdej klasie modeli wykorzystanej w dowodzie Lematu 52 do wykazania, że poszczególne aksjomaty odrzucone nie są tezami Słp, pozostałe aksjomaty odrzucone są tautologiami. ¥ 4.1.4 Specyfika systemu Słupeckiego System Słupeckiego charakteryzuje się tym, że z jednej strony wszystkie jego aksjomaty odpowiadają formom wnioskowania występującym u Arystotelesa, a z drugiej strony da się w nim udowodnić wszystkie formuły odpowiadające znanym z pism Arystotelesa formom rozumowań, wyrażalne w jego języku – tezami systemu są wszystkie sylogizmy oraz prawa kwadratu logicznego i konwersji. W tym sensie jest to system najbardziej zbliżony do oryginalnej sylogistyki wyłaniającej się z „Analityk pierwszych" Arystotelesa1. Problemem z nim związanym jest brak bezpośredniej interpretacji w teorii zbiorów. Okazało się bowiem, że wbrew pierwotnym intuicjom Słupeckiego nie odpowiada on dokładnie interpretacji związanej z systemem Stnd, będąc systemem od niego słabszym. Jednocześnie nie daje się wskazać innej naturalnej interpretacji dla tego systemu w rachunku zbiorów2. Wskazuje to na pewną rozbieżność pomiędzy wiernością systemowi klasycznej sylogistyki na poziomie syntaktycznym, a powszechnie przyjmowaną intuicją łączenia nazw ze zbiorami we współczesnym rozumieniu. 1Oczywiście nie możemy mieć pewności, że formalizacja sylogistyki, którą odnajdujemy w „Analitykach pierwszych" jest w pełni zgodna z intencją Arystotelesa. 2Obecność formuły (4.4) jako aksjomatu odrzuconego sprawia, że prawdziwość zdania typu XaX nie może być wyznaczona przez zakres nazwy odpowiadającej zmiennej X . System Słupeckiego 145 Dla lepszego zrozumienia semantycznej strony systemu Słupeckiego przedstawimy dla niego interpretację teoriomodelową. Jak już wspomnieliśmy, nie daje się jej zbudować w zwykły sposób, poprzez przypisanie nazwom zbiorów i określenie interpretacji funktorów w oparciu o relacje pomiędzy tymi zbiorami. Zbudujemy więc interpretację korzystającą z dodatkowych własności przypisywanych zmiennym nazwowym w ramach funkcji wartościowania. Funkcja ta przyporządkowywać będzie zmiennej nazwowej nie zbiór, ale parę: zbiór i etykietę pochodzącą ze zbioru {0, 1}. Interpretacja funktorów będzie zdefiniowana w oparciu o tę parę. Klasę modeli dla systemu Słp określa struktura: MI47 = (D, I47, v), gdzie D jest niepustym zbiorem, a wartościowanie v przypisuje zmiennym uporządkowaną parę (Z,E) (Z ∈ (2D−∅), E ∈ {0, 1}). Wartościowanie v można w tej sytuacji rozłożyć na dwie funkcje przypisujące zmiennym odpowiednio pierwszy i drugi element uporządkowanej pary będącej wartością funcji v. Oznaczymy te składowe funkcje literami f i g (f : var −→ (2D − ∅); g : var −→ {0, 1}). Przy tych oznaczeniach dla dowolnego X wartościowanie v można zapisać następująco v(X ) = (f(X ), g(X )). Interpretacja I47 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych jest określona następująco: I47(v(XaY)) = 1 wtw f(X ) ⊂ f(Y) lub f(X ) = f(Y) i g(X ) = g(Y) = 1; f(X ) ∩ f(Y) 6= ∅ lub I47(v(X iY)) = 1 wtw f(X ) = f(Y) i g(X ) = g(Y) = 1 lub f(X ) = f(Y) i |f(X )| - 2. W określeniu interpretacji dla funktora a mamy do czynienia z właściwym zawieraniem się zbiorów. Zauważmy, że definicja modeli MI47 jest taka, że dla formuł atomowych z różnymi zmiennymi3 otrzymujemy te same wartości co w interpretacji I2, określonej dla systemu Łuk. Różnica dotyczy atomów, w których zmienne są takie same. W tej sytuacji brana jest pod uwagę etykieta przypisana zmiennej przez funkcję g, która określa dla których nazw spełniona jest formuła XaX 3Formalnie rozróżnione są co prawda zbiory w interpretacji, a nie zmienne, ale pozwala to w rezultacie na rozróżnienie zmiennych, gdyż w przypadku dwóch różnych zmiennych pojawić się muszą w ramach klasy modeli wartościowania przypisujące zmiennym różne zbiory. 146 Sylogistyki nieklasyczne (i w konsekwencji w związku z tezą SaP → SiP również formuła X iX ). Dodatkowo ostatni z członów alternatywy w warunku dla zdań o postaci X iY odpowiada tezie SaP → PiP 4. Do udowodnienia pełności potrzebne będą następujące dwa lematy: Lemat 53. Niech α będzie formułą o postaci β → XaY lub β → X iY, gdzie β jest formułą elementarną, a X i Y różnymi zmiennymi. Jeżeli α nie jest tezą systemu Słp, to istnieje model z klasy MI47, w którym formuła α nie jest spełniona, taki że f(X ) 6= f(Y). Dowód. Na mocy Lematu 48, jeżeli α nie jest tezą Słp, to nie jest również tezą Łuk. Zgodnie z Twierdzeniem 10 istnieje więc model w klasie modeli MI2 , w którym formuła α nie jest spełniona. Aby to było możliwe, musi istnieć w ramach tego modelu dziedzina D i wartościowanie v, takie że v(X ) 6= v(Y). Wobec tego możemy użyć tego wartościowania v jako funkcji f oraz dziedziny D, tworząc model z klasy MI47 , w którym formuła α jest niespełniona. ¥ Lemat 54. Niech dziedziny D1 i D2 oraz wartościowania v1 i v2 (dla dowolnego i ∈ {1, 2} oraz X , vi(X ) = (fi(X ), gi(X ))) wyznaczają modele z klasy MI47. W tej sytuacji dziedzina D3 = D1 × D2 i wartościowanie v3, takie że dla dowolnego X , v3(X ) = (f1(X )× f2(X ),min(g1(X ), g2(X ))) również wyznacza model z klasy v3, dla którego zachodzą następujące prawidłowości: (i) Jeżeli I47(v1(XaY)) = I47(v2(XaY)) = 1, to I47(v3(XaY)) = 1. (ii) Jeżeli I47(v1(X iY)) = I47(v2(X iY)) = 1, to I47(v3(X iY)) = 1. Dowód. Rozważymy dwa przypadki: (a) f1(X ) 6= f1(Y) lub f2(X ) 6= f2(Y) i (b) f1(X ) = f1(Y) oraz f2(X ) = f2(Y). 4W pracy [26] pokazano, że klasa modeli MI47 może być równoważnie zastąpiona klasą modeli MI48 , w której dopuszcza się jako wartości funkcji f zbiór pusty. Odpowiednia interpretacja I48 jest wtedy definiowana następująco: I48(v(XaY)) = 1 wtw ∅ 6= f(X ) ⊂ f(Y) lub f(X ) = f(Y) i g(X ) = g(Y) = 1; f(X ) ∩ f(Y) 6= ∅ lub I48(v(X iY)) = 1 wtw f(X ) = f(Y) i g(X ) = g(Y) = 1 lub f(X ) = f(Y) i |f(X )| - 2 W tej interpretacji dla formuł z różnymi zmiennymi otrzymujemy wartości takie same jak w interpretacji I8 określonej dla systemu Stnd. System Słupeckiego 147 (i) W przypadku (a) f3(X ) = (f1(X )×f2(X )) 6= f3(Y) = (f1(Y)×f2(Y)) i f3(X ) ⊂ f3(Y). W związku z tym I47(v3(XaY)) = 1. W przypadku (b) f3(X ) = (f1(X )×f2(X )) = f3(Y) = (f1(Y)×f2(Y)). Skoro I47(v1(XaY )) = 1 oraz I47(v2(XaY )) = 1, mamy również g1(X ) = g1(Y) = g2(X ) = g2(Y) = 1. W związku z tym g3(X ) = g3(Y) = 1, i dalej, I47(v3(XaY)) = 1. (ii) W przypadku (a), skoro f1(X ) ∩ f1(Y) 6= ∅ i f2(X ) ∩ f2(Y) 6= ∅, mamy też f3(X ) ∩ f3(Y) 6= ∅, i dalej, I47(v3(X iY)) = 1. W przypadku (b) f3(X ) = f3(Y). Jeżeli teraz |f1(X )| - 2 lub |f2(X )| - 2, to również |f3(X )| - 2 i I47(v3(X iY)) = 1. W przeciwnym wypadku g1(X ) = g1(Y) = g2(X ) = g2(Y) = 1. W związku z tym g3(X ) = g3(Y) = 1, i dalej, I47(v3(X iY)) = 1. ¥ Twierdzenie 36. System Słp jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli MI47. Dowód. Na mocy Twierdzenia 33 wystarczy pokazać, że wszystkie tezy są tautologiami, a żadne wyrażenie odrzucone nie jest tautologą w klasie modeli MI47 . Sprawdzenie, że aksjomaty są tautologiami, jest rutynowe. Aksjomaty odrzucone są niespełnione w modelach wyznaczonych przez następujące dziedziny i funkcje tworzące wartościowania: • aksjomat (4.3) – D = {1, 2}, f(S) = {1}, f(M) = {1, 2}, g(S) = 0, g(M) = 1; • aksjomat (4.4) – D = {1, 2, 3}, f(S) = {1}, f(M) = {1, 2}, f(P ) = {1, 2, 3}, g(S) = g(P ) = 1, g(M) = 0; • aksjomat (4.5) – D = {1, 2}, f(S) = {1}, f(P ) = {2}, f(M) = {1, 2}, g(S) = g(P ) = g(M) = 1. Reguły MP , Sub, MP−1 i Sub−1 zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność. Aby zakończyć dowód, musimy wykazać, że reguła Comp−1 prowadzi od przesłanek, które nie są tautologiami, do wniosku, który też tautologią nie jest. Pokażemy w tym celu, że jeżeli dwie formuły hornowskie α → β1 i α → β2 nie są tautologiami, to tautologią nie jest formuła α → β1 ∨ β2. Rozszerzenie tej prawidłowości na dowolną ilość przesłanek reguły Comp−1 można przeprowadzić przez prostą indukcję. 148 Sylogistyki nieklasyczne Niech D1 i D2 będą dziedzinami, a v1 określone przez f1, g1 i v2 określone przez f2 i g2 wartościowaniami wyznaczającymi odpowiednio modele, w których niespełnione są wyrażenia α → β1 i α → β2, tzn. I47(v1(α → β1)) = I47(v2(α→ β2)) = 0. Na mocy Lematu 53, jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) jest zbudowana przy użyciu dwóch różnych zmiennych X i Y , to funkcja fi może być dobrana tak, aby fi(X ) 6= fi(Y). Jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) przyjmuje postać X iX , to funkcje f1 i f2 muszą być dobrane tak, aby |f1(X )| = |f2(X )| = 1, w przeciwnym przypadku I47(vi(α→ βi)) przyjmowałoby wartość 1. Pokażemy teraz, że dla modelu określonego przez dziedzinę D3 = D1 ×D2 i wartościowanie v3(X ) = (f1(X ) × f2(X ),min(g1(X ), g2(X ))) zachodzi I47(v3(α→ β1 ∨ β2)) = 0. Na mocy Lematu 54 I47(v3(α)) = 1. Musimy pokazać, że I47(v3(β1)) = I47(v3(β2)) = 0. Jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) przyjmuje postać XaY lub X iY , gdzie X i Y są różnymi zmiennymi, to f3(X ) 6= f3(Y). Co więcej, w przypadku XaY mamy f3(X ) 6⊂ f3(Y), a w przypadku X iY mamy f3(X )∩ f3(Y) = ∅. W obu przypadkach I47(v3(βi)) = 0. Jeżeli zaś βi = XaX lub βi = X iX , to g3(X ) = 0. Ponadto, w przypadku X iX f3(X) = f1 × f2 jest zbiorem jednoelementowym. W rezultacie I47(v3(βi)) = 0. ¥ 4.2 Sylogistyka dowodowa 4.2.1 Motywacja Przy formalizacji sylogistyki jako materiał źródłowy brane są zazwyczaj pod uwagę jedynie rozważania Arystotelesa, dotyczące poprawnych trybów trzech figur sylogistycznych, zapisane w „Analitykach pierwszych". Do tego dołącza się późniejsze osiągnięcia logiki tradycyjnej oraz intuicje związane z interpretacją terminów sylogistycznych w teorii zbiorów. Przy konstrukcji systemu analizowanego w niniejszym rozdziale uwzględnimy w aksjomatyzacji również uwagi Arystotelesa, związane z jego koncepcją dowodu, znajdujące się w „Analitykach wtórych". Dowód jest dla Arystotelesa elementem budowania wiedzy naukowej (episteme) i dla zrozumienia jego koncepcji dowodu niezbędne jest odwołanie się do koncepcji wiedzy. Wiedza naukowa, w odróżnieniu od mniemania czy przekonania, ma walor konieczności, bo oparta jest na poznaniu istotnych własności przedmiotów poznawanych, ich rzeczywistych przyczyn. Sylogistyka dowodowa 149 „Jasne więc, że poznanie naukowe jest czymś tego rodzaju; bo jeżeli wziąć pod uwagę ludzi nie mających wiedzy naukowej i takich, którzy ją posiedli, to pierwsi sądzą, iż rzecz tak się przedstawia, a ci drudzy wiedzą, że tak się przedstawia i rzeczywiście tak jest; a zatem to, co stanowi przedmiot wiedzy bezwarunkowej, nie może być inne niż jest." (Analityki wtóre, 71 b) W związku z tym, jako elementy dowodu mogą wystąpić sylogizmy w szczególnym kontekście: „... sylogizm jest bardziej ogólny; dowód natomiast jest pewnym sylogizmem, ale nie każdy sylogizm jest dowodem." Przesłanki sylogizmów występujących w dowodach muszą być prawdziwe. Ponadto, muszą odwoływać się do istotnych własności przedmiotów, o których coś stwierdzają. „Przez dowód rozumiem sylogizm tworzący wiedzę naukową, czyli taki, dzięki któremu, jeżeli tylko jesteśmy w jego posiadaniu, mamy tę wiedzę. Jeżeli przeto wiedza jest taka, jak ustaliliśmy, to i przesłanki wiedzy demonstratywnej muszą być prawdziwe, pierwotne, bezpośrednie, lepiej znane wcześniejsze [od wniosku] i muszą być jego przyczyną." (Analityki wtóre, 71 b) W rezultacie pojawiają się pewne prawidłowości, dotyczące użycia sylogizmów w dowodach, wykraczające poza rozważania z „Analityk pierwszych", które mogą zostać uwzględnione w aksjomatyzacji sylogistyki. W Księdze I „Analityk wtórych" czytamy: „Co więcej, jeżeli A jest własnością B, B nie może być własnością A, tzn. własnością własności. Dlatego A i B nie mogą być nawzajem orzekane o sobie; można coś prawdziwego o nich powiedzieć, ale jednego o drugim prawdziwie orzekać nie można." (Analityki wtóre 83 a) Dalej następuje obszerna argumentacja za tym stwierdzeniem odwołująca się z jednej strony do powodów związanych z techniką budowania dowodów, a z drugiej do metafizycznych własności substancji, jakości, rodzajów oraz ich wzajemnych powiązań. Nie będziemy tu wchodzili w dyskusję na temat tej argumentacji, przyjmując jedynie postawioną tezę i interpretując ją jako zdanie: (*) „Nieprawda, że zarazem każde S jest P i każde P jest S" zgodnie ze wskazówkami dotyczącymi sposobu czytania i rozumienia zdań 150 Sylogistyki nieklasyczne ogólnotwierdzących z „Analityk pierwszych". Zdanie to zostanie uwzględnione w tworzeniu przedstawionych dalej aksjomatyzacji sylogistyki. Ponieważ w Księdze II „Analityk pierwszych" Arystoteles powołuje się na zdania ogólnotwierdzące odwracalne, w rozważaniach dotyczących dowodu błędnego koła przyjmujemy, że zdanie (*) jest związane jedynie z dowodami i dlatego przedstawione systemy nazywamy sylogistyką dowodową. 4.2.2 System D1 System aksjomatyczny Terminami pierwotnymi systemu D1 są a oraz i. Przyjmujemy w systemie reguły wnioskowania MP i Sub. Aksjomatami D1 są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku, aksjomaty systemu Słp: (2.5), (2.6), (2.3) i (2.4) oraz formuła ¬SaS. (4.7) Ponieważ system D1 jest rozszerzeniem systemu Słp, obowiązują w nim odpowiedniki Lematów 5 i 6. Na podstawie prawa transpozycji rachunku zdań i aksjomatu (2.3) otrzymać możemy jako tezę następujące wyrażenie reprezentujące w zapisie formalnym zdanie (*): ¬(SaP ∧ PaS). (4.8) W systemach sylogistyki dowodowej istotne jest powtarzanie się tych samych zmiennych w łańcuchach. W związku z tym przyjmiemy poniższą definicję zbioru łańcuchów prostych wykorzystywaną w analizie tych systemów: Definicja 20. Niech dla dowolnych zmiennych X i Y dL(X ,Y) będzie najmniejszym zbiorem formuł, takim że: • XaY ∈ dL(X ,Y), gdzie X i Y są różnymi zmiennymi oraz • jeżeli α ∈ dL(X ,Z) i zmienna Y nie występuje w α, to α ∧ ZaY ∈ dL(X ,Y). Elementy zbioru dL(X ,Y) nazywać będziemy łańcuchami prostymi łączącymi zmienną X ze zmienną Y . Łańcuchem prostym jest więc każdy łańcuch, w którym żadna zmienna się nie powtarza. Sylogistyka dowodowa 151 Lemat 55. Niech α będzie formułą elementarną należącą do zbioru dL(X ,Y), a β dowolnym atomem. Tezami systemu D1 są wszystkie wyrażenia podpadające pod następujące schematy: ¬(α ∧ YaX ), (4.9) XaX → β, (4.10) α ∧ YaX → β. (4.11) Dowód. Formuły podpadające pod schemat (4.9) są konsekwencją formuły (4.8) i Lematu 5. Formuły podpadające pod schemat (4.10) są konsekwencją aksjomatu (4.7) i Lematu 5. Formuły podpadające pod schemat (4.11) są konsekwencją formuł podpadających pod schemat (4.9). ¥ System aksjomatycznego odrzucania Następujące schematy będą wykorzystane do określenia systemu aksjomatycznego odrzucania dla systemu D1: S1iS1 ∧ α ∧ SmaM1 ∧ P1iP1 ∧ β ∧ PnaM1 ∧ γ → SmiPn, (4.12) gdzie α ∈ dL(S1, Sm), β ∈ dL(P1, Pn), γ ∈ dL(M1,Mk) oraz α, β i γ nie zawierają wspólnych zmiennych; α→ SiS, (4.13) gdzie α ∈ dL(S, P ). Definicja 21. Wyrażeniem odrzuconym systemu D1 jest każda formuła podpadająca pod któryś ze schematów (4.12) lub (4.13) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 56. Każda formuła o postaci ¬(S1iS1 ∧ S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn). (4.14) jest odrzucona w systemie D1. 152 Sylogistyki nieklasyczne Dowód. Każda z rozpatrywanych formuł jest identyczna z negacją pewnej formuły podpadającej pod schemat (4.12) i może być w związku z tym odrzucona przy użyciu reguły MP−1. ¥ Lemat 57. Każda formuła atomowa języka systemu D1 jest wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Ponieważ odrzucona jest każda formuła podpadająca pod schemat (4.13), odrzucona jest również formuła SiS. W obecności aksjomatu (2.6) odrzucone jest również SaS. W związku z tym, przy użyciu reguły Sub−1 można odrzucić każde wyrażenie atomowe języka systemu. ¥ Lemat 58. Każda formuła hornowska języka systemu D1 jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Rozważymy osobno każdą z możliwych postaci formuły hornowskiej języka systemu (poza odrzuconymi formułami atomowymi): (i) ¬α, (ii) α → XaX , (iii) α → X iX , (iv) α → XaY , (v) α → X iY , gdzie α jest formułą elementarną, a X i Y są różnymi zmiennymi. Przypadek (i). Jeżeli α zawiera atom o postaci XaX bądź atom XaY i łańcuch prosty łączący zmienną Y ze zmienną X , to na mocy aksjomatu (4.7) bądź Lematu 55 (i) ¬α jest tezą systemu D1. W przeciwnym wypadku możemy wszystkie zmienne występujące w atomach zbudowanych przy użyciu funktora a formuły α uporządkować liniowo w taki sposób, że pierwszy argument każdego z takich atomów jest w tym porządku ściśle wcześniejszy od drugiego. Możemy więc skonstruować podstawienie e1, w którym za te zmienne podstawiać będziemy zmienne ze zbioru {S1, S2, . . . , Sn}, n - 2, w taki sposób, że każde zdanie zbudowane z użyciem funktora a w formule α przyjmie postać SiaSj, gdzie i < j. Za wszystkie inne zmienne podstawmy S1. Na mocy aksjomatów (2.5) i (2.6), (2.3), tezy (2.21) oraz praw klasycznego rachunku zdań mamy: ` e1(¬α)→ ¬(S1iS1 ∧ S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn). Następnik tej implikacji jest identyczny z wyrażeniem (4.14) odrzuconym na mocy Lematu 56, a zatem przy użyciu reguły MP−1 otrzymujemy a e1(¬α), a dalej, przy użyciu reguły Sub−1, a ¬α. Sylogistyka dowodowa 153 Przypadek (ii). W obecności aksjomatu (4.7) formuła taka jest równoważna ¬α i tym samym zastosować do niej można rezultat dotyczący przypadku (i). Przypadek (iii). Jeżeli α zawiera atom o postaci YaY bądź atom YaZ i łańcuch prosty łączący zmienną Z ze zmienną Y , to na mocy aksjomatu (4.7) bądź Obserwacji 55 (i) α → X iX jest tezą systemu D1. Z kolei, gdy α zawiera atom X iX lub dla pewnego Y atom YaX , to α → X iX jest tezą systemu D1 na mocy prawa tautologii dla klasycznego rachunku zdań lub tezy (2.21). W przeciwnym wypadku, tak jak w przypadku (i) możemy uporządkować liniowo zmienne występujące w α w atomach zbudowanych z użyciem funktora a i skonstruować podstawienie e2 w następujący sposób: za X podstawić zmienną S1, za zmienne pojawiające się w atomach zbudowanych z użyciem funktora a, różnych od X , kolejno elementy zbioru {S2, . . . , Sn}, n - 2, a za wszystkie pozostałe zmienne – Sn. Na mocy praw KRZ oraz formuł (2.6), (2.7) i (2.23) otrzymujemy: ` e3(α→ X iX )→ (S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn → S1iS1). Ponieważ następnik tej implikacji podpada pod schemat aksjomatu odrzuconego (4.13), odrzucona jest również formuła α→ X iX . Przypadek (iv). Jak w poprzednich przypadkach rozpatrywana formuła jest tezą jeżeli α zawiera atom ZaZ bądź atom ZaV i łańcuch prosty łączący zmienną V ze zmienną Z. Dodatkowo, formuła ta jest tezą, gdy α zawiera łańcuch prosty łączący zmienną X ze zmienną Y . W przeciwnym wypadku, wykorzystując zbiór zmiennych {S1, . . . , Sn} (n - 2) i podstawienie e1 określone jak w przypadku (i), otrzymamy e1(X ) = Si i e1(Y) = Sj, takie że (1 ¬ j < i ¬ n). W tej sytuacji na mocy praw KRZ oraz formuł (2.6), (2.7) i (2.23) otrzymujemy: ` e1(α→ XaY)→ (S1iS1 ∧ S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn → SiaSj). Jednocześnie na mocy Lematu 5 mamy również: ` S1iS1 ∧ S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn → SjaSi oraz jako podstawienie tezy (4.8) ¬(SiaSj ∧ SjaSi). Przekształcając te tezy systemu D1 przy użyciu praw KRZ, otrzymujemy: ` e1(α→ XaY)→ ¬(S1iS1 ∧ S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn). 154 Sylogistyki nieklasyczne Następnik ostatniej implikacji jest identyczny z pewną formułą odrzuconą podpadającą pod schemat (4.14), a zatem odrzucona jest również formuła α→ XaY . Przypadek (v). Jak w poprzednich przypadkach rozpatrywana formuła jest tezą, jeżeli α zawiera atom ZaZ bądź atom ZaV i łańcuch prosty łączący zmienną V ze zmienną Z. Dodatkowo, na mocy Lematu 6 jest tezą, jeżeli α zawiera: • atom X iY lub YiX lub • łańcuch prosty łączący X z Y lub Y z X lub • dla pewnej zmiennej Z łańcuchy proste łączące Z z X oraz Z z Y lub • atom ZiV lub ViZ oraz łańcuch prosty łączący Z z X i V z Y . W przeciwnym wypadku, wykorzystując fakt, że wszystkie zmienne występujące w atomach zbudowanych za pomocą funktora a da się ustawić w ciągi, które nie zawierają pętli, definiujemy podstawienie e3, w którym podstawiamy: • Sm za X ; • Pn za Y ; • elementy zbioru {S1, . . . , Sm} za zmienne połączone łańcuchem prostym z X ; • elementy zbioru {P1, . . . , Pn} za zmienne połączone łańcuchem prostym z Y ; • elementy zbioru {M1, . . . , Mk} za wszystkie inne zmienne występujące w atomach zbudowanych za pomocą funktora a; • M1 za wszystkie pozostałe zmienne. W tej sytuacji na mocy praw KRZ oraz formuł (2.6), (2.7) i (2.23) otrzymujemy jako tezę systemu D1 implikację, której poprzednikiem jest e1(α→ XaY), a następnikiem formuła: S1iS1 ∧ S1aS2 ∧ . . . ∧ Sm−1aSm ∧ SmaM1 ∧ P1iP1 ∧ P1aP2 ∧ . . . ∧ Pn−1aPn ∧ PnaM1 ∧ M1aM2 ∧ . . . ∧Mk−1aMk → SmiPn Sylogistyka dowodowa 155 podpadająca pod schemat (4.12). W związku z tym formuła α → XaY jest odrzucona. ¥ Lemat 59. Żadna z formuł podpadających pod schematy (4.12) i (4.13) nie jest tezą systemu D1. Dowód. Przedstawimy klasę modeli MI49 , w której wszystkie aksjomaty i tezy systemu D1 są tautologiami, a aksjomaty odrzucone nie są. Każdy z modeli przyjmuje postać (D, I49, v), gdzie D jest niepustym zbiorem stanowiącym dziedzinę modelu, v wartościowaniem przypisującym zmiennym niepuste podzbiory dziedziny D, a I49 interpretacją, która dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest następująco: I49(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊂ v(Y); I49(v(XaY) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅ i min(|v(X )|, |v(Y)|) - 2 Łatwo sprawdzić, że wszystkie aksjomaty systemu D1 są prawdziwe w tak określonym modelu. Rozważmy teraz dowolną formułę podpadającą pod schemat (4.12), tzn. formułę S1iS1 ∧ α ∧ SmaM1 ∧ P1iP1 ∧ β ∧ PnaM1 ∧ γ → S2iP2, gdzie α, β i γ przyjmują odpowiednio postać: • S1aS2 ∧ . . . ∧ Sm−1aSm, • P1aP2 ∧ . . . ∧ Pn−1aPn oraz • M1aM2 ∧ . . . ∧Mk−1aMk. Przy funkcji f określonej w następujący sposób: v(S1) = {1, 3}; v(Si) = v(Si−1) ∪ {2i+ 1}, dla 1 < i ¬ m; v(P1) = {2, 4}; v(Pi) = v(Pi−1) ∪ {2i+ 2}, dla 1 < i ¬ n; v(M1) = v(Sm) ∪ f(Pm); v(Mi) = v(Mi−1) ∪ {−i}, dla 1 < i ¬ k, otrzymamy w schemacie zawsze zdanie fałszywe. Z kolei formuły podpadające pod schemat (4.13), przyjmują postać S1aS2 ∧ . . . ∧ Sm−1aSm → S1iS1. 156 Sylogistyki nieklasyczne Są one fałszywe przy funkcji f określonej w następujący sposób: v(S1) = {1}; v(Si) = v(Si−1) ∪ {i}, dla 1 < i ¬ m. ¥ Twierdzenie 37. Każda formuła języka systemu D1 jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9, z wykorzystaniem Lematu 58 oraz Lematu 59. ¥ Model dla systemu D1 System D1, tak samo jak system Słp, nie posiada naturalnego modelu w teorii zbiorów. Można jednak zdefiniować strukturę teoriomodelową dla systemu D1 w sposób analogiczny do modelu dla systemu Słp. Klasę modeli dla systemu Słp określa struktura: MI50 = (D, I50, v), gdzie D jest niepustym zbiorem, v wartościowaniem, które złożone jest z funkcji f i g (f : var −→ (2D − ∅); g : var −→ {0, 1}) w taki sposób, że dla dowolnego X , v(X ) = (f(X ), g(X )). Interpretacja I50 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych jest określona następująco: I50(v(XaY)) = 1 wtw f(X ) ⊂ f(Y); f(X ) ∩ f(Y) 6= ∅ lub I50(v(X iY)) = 1 wtw f(X ) = f(Y) i g(X ) = g(Y) = 1 lub f(X ) = f(Y) i |f(X )| - 2. Tak jak w przypadku modelu dla systemu Słp zawieranie się, występujące w warunku dla XaY , jest właściwe. Do udowodnienia pełności potrzebne będą poniższe dwa lematy. Lemat 60. Niech α będzie formułą o postaci β → XaY lub β → X iY, gdzie β jest formułą elementarną, a X i Y różnymi zmiennymi. Jeżeli α nie jest tezą systemu D1, to istnieje model z klasy MI50, w którym formuła α nie jest spełniona, taki że f(X ) 6= f(Y). Dowód. W przypadku fałszywej formuły α o następniku o postaci XaY w jej poprzedniku nie może być łańcucha prostego łączącego zmienną X ze zmienną Y . Zatem istnieje model z MI50 , w którym poprzednik formuły α jest prawdziwy, a f(X) nie zawiera się w f(Y ). Sylogistyka dowodowa 157 W przypadku fałszywej formuły α o następniku o postaci X iY jej poprzednik nie zawiera • ani atomu X iY lub YiX , • ani łańcucha prostego łączącego X z Y ani Y z X , • ani dla żadnej zmiennej Z łańcuchów prostych łączących Z z X ani Z z Y , • ani też atomu ZiV lub ViZ oraz łańcuchów prostych łączących Z z X i V z Y . Można zatem znaleźć taką funkcję f , że poprzednik będzie prawdziwy, a f(X ) i f(Y) będą rozłącznymi zbiorami. ¥ Lemat 61. Niech dziedziny D1 i D2 oraz wartościowania v1 i v2 (dla dowolnego i ∈ {1, 2} oraz X , v1(X ) = (fi(X ), gi(X ))) wyznaczają modele z klasy MI50. W tej sytuacji dziedzina D3 = D1 × D2 i wartościowanie v3, takie że dla dowolnego X , v3(X ) = (f1(X )× f2(X ),min(g1(X ), g2(X ))) również wyznacza model z klasy v3, dla którego zachodzą następujące prawidłowości. (i) Jeżeli I50(v1(XaY)) = I50(v2(XaY)) = 1, to I50(v3(XaY)) = 1. (ii) Jeżeli I50(v1(X iY)) = I50(v2(X iY)) = 1, to I50(v3(X iY)) = 1. Dowód. (i) Zachodzi, ponieważ wartościowania v1 i v2 są tak określone, że f1(X ) ⊂ f1(Y) oraz f2(X ) ⊂ f2(Y), a więc również f3(X ) ⊂ f3(Y). (ii) Dowód jest identyczny jak przypadku (ii) Lematu 54. ¥ Twierdzenie 38. System D1 jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli MI50. Dowód. Na mocy Twierdzenia 37 wystarczy pokazać, że wszystkie tezy są tautologiami, a żadne wyrażenie odrzucone nie jest tautologą w modelach z klasy MI50 . Sprawdzenie, że aksjomaty są prawdziwe jest zwykłą rutyną. Formuły podpadające pod schemat (4.12) są niespełnione w modelu przy zastosowaniu funkcji f , zdefiniowanej w dowodzie Lematu 59 dla pokazania, że formuły te nie są tezami, i dowolnej funkcji g. Z kolei dla wykazania, że formuły podpadające pod schemat (4.13) są niespełnione, można zastosować funkcję f określoną dla nich w tym samym dowodzie oraz funkcję g, taką że g(S1) = 0. 158 Sylogistyki nieklasyczne Reguły MP , Sub, MP−1 i Sub−1 zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność. Aby zakończyć dowód, musimy wykazać, że reguła Comp−1 prowadzi od niespełnionych przesłanek do wniosku, który też nie jest spełniony. Pokażemy w tym celu, że jeżeli dwie formuły hornowskie α → β1 i α → β2 nie są tautologiami, to tautologią nie jest formuła α → β1 ∨ β2. Rozszerzenie tej prawidłowości na dowolną ilość przesłanek reguły Comp−1 można przeprowadzić przez prostą indukcję. Niech D1 i D2 będą dziedzinami, a v1 określone przez f1, g1 i v2 określone przez f2 i g2 wartościowaniami wyznaczającymi odpowiednio modele, w których niespełnione są wyrażenia α → β1 i α → β2, tzn. I50(v1(α → β1)) = I47(v2(α→ β2)) = 0. Na mocy Lematu 60, jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) jest zbudowana przy użyciu dwóch różnych zmiennych X i Y , to funkcja fi może być dobrana tak, aby fi(X ) 6= fi(Y). Jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) przyjmuje postać X iX , to funkcje f1 i f2 muszą być dobrane tak, aby |f1(X )| = |f2(X )| = 1, w przeciwnym wypadku I50(vi(α→ βi)) przyjmowałoby wartość 1. Pokażemy teraz, że dla modelu określonego przez dziedzinę D3 = D1 ×D2 i wartościowanie v3(X ) = (f1(X ) × f2(X ),min(g1(X ), g2(X ))) zachodzi I50(v3(α→ β1∨β2)) = 0. Na mocy Lematu 61 I50(v3(α)) = 1. Musimy pokazać, że I50(v3(β1)) = I50(v3(β2)) = 0. Jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) przyjmuje postać XaY lub X iY , gdzie X i Y są różnymi zmiennymi, to f3(X ) 6= f3(Y). Co więcej, w przypadku XaY mamy f3(X ) 6⊂ f3(Y), a w przypadku X iY mamy f3(X )∩f3(Y) = ∅. W obu przypadkach I50(v3(βi)) = 0. βi = XaX jest fałszywe w każdym modelu z MI50 . Jeżeli zaś βi = X iX , to g3(X ) = 0, a f3(X) = f1 × f2 jest zbiorem jednoelementowym. W rezultacie I47(v3(βi)) = 0. ¥ Niezależność aksjomatów Zarówno aksjomaty, jak i aksjomaty odrzucone są w systemie D1 niezależne. Twierdzenie 39. Aksjomaty systemu D1 są niezależne. Dowód. Dla wykazania niezależności aksjomatów (2.5), (2.6), i (2.4) można zastosować modele z dowodu Twierdzenia 34 – interpretacje odpowiednio I3, I4 oraz I6 z zachowaniem wartościowań. Niezależność aksjomatu (4.7) pokazuje model, w którym wszystkie atomy są prawdziwe. Aksjomat (2.3) – dziedzina {n1, n2, n3}, interpretacja I51: I51(v(X iY)) = 1 dla dowolnych argumentów; Sylogistyka dowodowa 159 I51(v(XaY)) przyjmuje wartości zgodnie z poniższą matrycą: a n1 n2 n3 n1 0 1 0 n2 1 0 1 n3 1 1 0 Aksjomat (2.3) jest niespełniony przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(P ) = n3, a v(M) = n2. ¥ Twierdzenie 40. Schematów aksjomatów (4.12) i (4.13) nie można zastąpić w systemie D1 pojedynczymi formułami, zachowując zbiór wyrażeń odrzuconych. Dowód. Zauważmy najpierw, że wszystkie formuły podpadające pod schematy wyrażeń odrzuconych nie są tezami, a więc aby system odrzucania był adekwatny muszą one być formułami odrzuconymi. Zwróćmy dalej uwagę na fakt, że w poprzednikach obu schematów występują nieokreślonej długości łańcuchy proste, tzn. formuły o postaci: X1aX2 ∧ . . . ∧ Xn−1aXn, dla dowolnego n. Załóżmy teraz nie wprost, że istnieje pojedyncza formuła α pozwalająca na odrzucenie wszystkich formuł podpadających pod któryś ze schematów. Ze względu na sprowadzalność wszystkich formuł do koniunkcyjnoalternatywnej postaci normalnej, bez utraty ogólności możemy przyjąć, że α jest formułą klauzulową, tzn. przyjmuje postać: β → γ1 ∨ . . .∨ γn (n - 0). Formuła α nie może być tezą systemu, bo wtedy zbiór wyrażeń odrzuconych byłby inny. Z praw KRZ wynika, że tezą nie może być formuła ¬β. Istnieje więc model z klasy modeli MI49 , w którym ¬β jest niespełnione. Niech D będzie dziedziną tego modelu i niech |D| = k. Rozpatrzmy teraz klasę modeli MIk49 , do której należą modele z klasy MI49 , których dziedzina ma co najwyżej k elementów. Oczywiście formuła α nie jest tautologią w tej klasie modeli. Jednocześnie, ustalając w schemacie X1aX2 ∧ . . . ∧ Xn−1aXn n = k + 1, otrzymamy formułę, która nie jest spełniona w żadnym modelu z klasy MIk49 , a więc odpowiednie realizacje schematów aksjomatów odrzuceniowych (oznaczmy je δ1 i δ2) będą w tej klasie modeli tautologiami. Formuła α nie jest więc wyprowadzalna z δ1 ani δ2. Wobec faktu, iż system D1 jest teorią hornowską, a aksjomaty odrzucone δ1 i δ2 są formułami hornowskimi, reguła Comp−1 zachowuje własność niebycia tezą w systemach będących rozszerzeniami D1 o odpowiednio δ1 i δ2, 160 Sylogistyki nieklasyczne tak jak reguły MP−1 i Sub−1. Wobec tego odrzucenie formuły α nie może doprowadzić do odrzucenia δ1 ani δ2, a więc założenie dowodu nie wprost jest fałszywe. ¥ Niezależność schematów aksjomatów odrzuconych będziemy rozumieli w ten sposób, że formuł podpadających pod jeden ze schematów nie można odrzucić korzystając z formuł podpadających pod drugi schemat. Twierdzenie 41. Schematy aksjomatów odrzuconych systemu D1 są w systemie D1 niezależne. Dowód. Schemat (4.12). Wszystkie formuły podpadające pod schemat (4.13) są tautologiami, a żadna formuła podpadająca pod schemat (4.12) nie jest tautologią w klasie modeli MI52 = (D, I52, v), gdzie D jest niepustą dziedziną, wartościowanie v przypisuje zmiennym niepuste podzbiory D, a I52 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla atomów określona jest następująco: I52(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊂ v(Y); I52(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅. Każda formuła podpadająca pod schemat (4.12) jest niespełniona przy wartościowaniu v określonym jak w dowodzie Lematu 59 dla tej formuły. Schemat (4.13). Wszystkie formuły podpadające pod schemat (4.12) są tautologiami, a żadna formuła podpadająca pod schemat (4.13) nie jest tautologią w klasie modeli MI53) = (D, I53, v), gdzie D jest niepustą dziedziną, wartościowanie v przypisuje zmiennym niepuste podzbiory D, a I53 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla atomów określona jest następująco: I52(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊂ v(Y); I52(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) 6= ∅ lub v(Y) 6= ∅. Każda formuła podpadająca pod schemat (4.13), przyjmująca postać S1aS2 ∧ . . . ∧ Sm−1aSm → S1iS1 jest niespełniona przy wartościowaniu v określonym w następujący sposób: v(S1) = ∅; v(Si) = v(Si−1) ∪ {i}, dla 1 < i ¬ m. ¥ System D1 można rozszerzyć o formuły dotyczące zdań o postaci X iX występujące w roli aksjomatów w systemach Stnd i Łuk. Otrzymane w ten sposób systemy przedstawione zostaną w kolejnych podrozdziałach. Sylogistyka dowodowa 161 4.2.3 System D2 System aksjomatyczny Terminami pierwotnymi systemu D2 są a oraz i. Przyjmujemy w systemie reguły wnioskowania MP i Sub. Aksjomatami D2 są wszystkie podstawienia tez klasycznego rachunku zdań w języku, aksjomaty systemu D1 – (2.5), (2.6), (2.3), (2.4) i (4.7) oraz formuła (2.26). W obecności aksjomatów (2.5) i (2.26) tezą systemu jest formuła SaP → SiS. (4.15) System aksjomatycznego odrzucania Następujące schematy będą wykorzystane do określenia systemu aksjomatycznego odrzucania dla systemu D2: α ∧ SmaM1 ∧ β ∧ PnaM1 ∧ γ → SmiPn, (4.16) gdzie α ∈ dL(S1, Sm), β ∈ dL(P1, Pn), γ ∈ dL(M1,Mk) oraz α, β i γ nie zawierają wspólnych zmiennych; α→MiM, (4.17) gdzie α ∈ dL(S, P ) i M nie występuje w α. Definicja 22. Wyrażeniem odrzuconym systemu D2 jest każda formuła podpadająca pod któryś ze schematów (4.16) lub (4.17) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 62. Na gruncie systemu D2 tezą jest równoważność formuł podpadających pod schematy (4.12) i (4.16) z tymi samymi wyrażeniami α, β i γ. Dowód. Wystarczy do poprzednika zastosować tezę (4.15). ¥ Lemat 63. W systemie D2 formuły (4.14) są wyrażeniami odrzuconymi. Dowód. Ze względu na Lemat 62 w systemie D2 odrzucona jest każda z formuł (4.12). W związku z tym odrzucone są również formuły (4.14). ¥ Lemat 64. Każda formuła atomowa języka systemu D2 jest wyrażeniem odrzuconym. 162 Sylogistyki nieklasyczne Dowód. Dowód jest taki sam jak Lematu 57. ¥ Lemat 65. Każda formuła hornowska języka systemu D2 jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Tak jak w przypadku Lematu 58 rozpatrzymy wszystkie możliwe typy formuł hornowskich języka, wyłączając formuły atomowe odrzucone w myśl Lematu 64, tzn. przypadki (i) - (v) z dowodu Lematu 58. Ponieważ z jednej strony system D2 jest rozszerzeniem systemu D1, a z drugiej na mocy Lematów 62 i 63 formuły podpadające pod schematy (4.12) oraz (4.14) są odrzucone, w systemie D2 w przypadkach (i), (ii), (iv) i (v) możemy wykorzystać dowód Lematu 58. Pozostaje więc do rozpatrzenia jedynie przypadek (iii). Tak jak w systemie D1, jeżeli α zawiera atom o postaci YaY bądź atom YaZ i łańcuch prosty łączący zmienną Z ze zmienną Y , to na mocy aksjomatu (4.7) bądź Lematu 55 (i) α→ X iX jest tezą systemu D2. Dodatkowo, dzięki aksjomatowi (2.26) i tezom (4.15) i (2.21) α → X iX jest tezą, jeżeli α zawiera jakikolwiek atom, w którym występuje zmienna X . W przeciwnym wypadku można tak uporządkować zmienne w α, aby podstawić za nie zmienne ze zbioru {S1, . . . , Sn}, a za X – M . Implikacja, której poprzednikiem jest rezultat takiego podstawienia, a następnikiem odpowiednia formuła podpadająca pod schemat (4.17), jest tezą D2. W związku z tym wyjściowa formuła jest odrzucona. ¥ Lemat 66. Żadna z formuł podpadających pod schematy (4.16) i (4.17) nie jest tezą systemu D2. Dowód. Przedstawimy klasę modeli MI53 , w której wszystkie aksjomaty i tezy systemu D2 są tautologiami, a aksjomaty odrzucone nie są. Każdy z modeli przyjmuje postać (D, I53, v), gdzie D jest niepustym zbiorem stanowiącym dziedzinę modelu, v wartościowaniem przypisującym zmiennym dowolne podzbiory dziedziny D, a I53 interpretacją, która dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest następująco: I53(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊂ v(Y) i v(X ) 6= ∅; I53(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅. Dla pokazania nietautologiczności formuł podpadających pod schemat (4.16) można zastosować podstawienie wykorzystane dla (4.12) w dowodzie Lematu 59. Sylogistyka dowodowa 163 Z kolei formuły podpadające pod schemat (4.17), tzn. formuły o postaci S1aS2 ∧ . . . ∧ Sm−1aSm →MiM nie są spełnione przy następującym wartościowaniu v: v(S1) = {1}; v(Si) = v(Si−1) ∪ {i}, dla 1 < i ¬ m; v(M) = ∅. ¥ Twierdzenie 42. Każda formuła języka systemu D2 jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9 z wykorzystaniem Lematu 65 oraz Lematu 66. ¥ Pełność w modelu Do wykazania pełności systemu D2 w stosunku do odpowiedniej klasy modeli udowodnimy następujący lemat. Lemat 67. Niech α będzie formułą o postaci β → XaY, gdzie β jest formułą elementarną, a X i Y różnymi zmiennymi. Jeżeli α nie jest tezą systemu D2, to istnieje model z klasy modeli MI53 taki, że α nie jest spełniona w modelu i v(X ) 6= v(Y). Dowód. W przypadku niespełnionej formuły α o następniku o postaci XaY w jej poprzedniku nie może być łańcucha prostego łączącego zmienną X ze zmienną Y . Zatem istnieje model z MI53 , w którym poprzednik formuły α jest prawdziwy, a v(X ) nie zawiera się w v(Y), a zatem również v(X ) 6= v(Y). ¥ Twierdzenie 43. System D2 jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli MI53. Dowód. Sprawdzenie, że aksjomaty są tautologiami w modelu, jest rutynowe. Aksjomaty odrzucone nie są tautologiami w klasie modeli MI53 , co pokazuje Lemat 66. Wystarczy teraz pokazać, tak jak w przypadku analogicznych twierdzeń formułowanych dla wcześniej rozpatrywanych systemów, że jeżeli α → β1 i α→ β2 nie są tautologiami, to nie jest tautologią formuła α→ β1 ∨ β2 (dla α będącej formułą elementarną, a β1 i β2 formułami atomowymi). 164 Sylogistyki nieklasyczne Niech α→ β1 i α→ β2 będą formułami, które nie są tautologiami. W tej sytuacji istnieją w MI53 modele w dziedzinach odpowiednio D1 i D2 określone przez wartościowania odpowiednio v1 i v2 takie, że I53(v1(α→ β1)) = I53(v2(α→ β2)) = 0. Na mocy Lematu 67, jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) jest o postaci XaY , gdy X i Y są różnymi zmiennymi, to wartościowanie vi może być dobrane tak, aby vi(X ) 6= vi(Y). Rozpatrzmy teraz model z klasy MI53 określony za pomocą dziedziny D3 = D1×D2 oraz wartościowania v3 takiego, że dla dowolnego X , v3(X ) = v1(X )× v2(X ). Na mocy praw rachunku zbiorów (2.17) oraz (x1 ⊂ y1 ∧ x2 ⊂ y2)→ (x1 × x2) ⊂ (y1 × y2), (4.18) ponieważ I53(v1(α)) = I53(v2(α)) = 1, również I53(v3(α)) = 1. Rozpatrzmy teraz spełnianie formuł β1 i β2 w modelu z wartościowaniem v3. Mogą one przyjąć jedną z trzech postaci: (i) XaX , (ii) XaY , gdy X jest różne od Y oraz (iii) X iY . W przypadku (i) każda formuła o tej postaci jest niespełniona w każdym modelu z klasy MI53 . W przypadku (ii) na mocy Lematu 67 dla βi o tej postaci vi(X) 6= vi(Y ), i ∈ {1, 2}. Jednocześnie, ponieważ I53(vi(βi)) = 0, mamy vi(X) 6⊂ vi(Y ). W tej sytuacji niezależnie od funkcji vj, j ∈ {1, 2}, j 6= i v3(X) 6⊂ v3(Y ). W przypadku (iii) dla odpowiedniego βi, i ∈ {1, 2} o postaci X iY mamy vi(X ) ∩ vi(Y) = ∅. W tej sytuacji również v3(X ) ∩ v3(Y) = ∅. Dla wszystkich możliwych β1 i β2 mamy więc I53(v3(β1)) = I53(v3(β2)) = 0, a zatem również I53(v3(α→ β1 ∨ β2) = 0. ¥ Niezależność aksjomatów Twierdzenie 44. Aksjomaty systemu D2 są niezależne. Dowód. Dla wykazania niezależności aksjomatów (2.5) i (2.6) wystarczy zastosować interpretacje funktorów jak w dowodzie Twierdzenia 34, aksjomatów (4.7) i (2.3) – jak w dowodzie Twierdzenia 39. Aksjomat (2.4) – dziedzina {n1, n2, n3}, interpretacja I54, klasyczna dla funktorów rachunku zdań, a dla formuł atomowych zgodna z matrycami: a n1 n2 n3 n1 0 0 1 n2 0 0 0 n3 0 0 0 i n1 n2 n3 n1 1 1 1 n2 1 1 0 n3 1 0 1 Sylogistyka dowodowa 165 Aksjomat (2.4) jest niespełniony przy wartościowaniu v takim, że: v(M) = n1, v(S) = n2, a v(P ) = n3. Aksjomat (2.26). Dziedzina {n1, n2}, interpretacja I55, klasyczna dla funktorów rachunku zdań, I55(α) = 0, dla każdego α zbudowanego za pomocą funktora a, a dla pozostałych formuł atomowych zgodna z poniższymi matrycami: i n1 n2 n1 0 1 n2 1 1 Aksjomat (2.26) jest niespełniony przy wartościowaniu v takim, że: v(S) = n1, v(P ) = n2. ¥ Twierdzenie 45. Schematów aksjomatów (4.16) i (4.17) nie można zastąpić w systemie D2 pojedynczymi formułami, zachowując zbiór wyrażeń odrzuconych. Dowód. Identyczny jak Twierdzenia 40. ¥ Twierdzenie 46. Schematy aksjomatów odrzuconych systemu D2 są w systemie D2 niezależne. Dowód. Niezależność schematu (4.16) można wykazać, stosując ten sam model, który został wykorzystany do wykazania niezależności schematu (4.12) w systemie D1 w dowodzie Twierdzenia 41. Wszystkie formuły podpadające pod schemat (4.16) są tautologiami, a żadna formuła podpadająca pod schemat (4.17) nie jest tautologią w klasie modeli MI56 = (D, I56, v), gdzie D jest niepustą dziedziną, wartościowanie v przypisuje zmiennym dowolne podzbiory D, a interpretacja I56 dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla atomów określona jest następująco: I56(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊂ v(Y) i v(X ) 6= ∅; I56(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) 6= ∅ i v(Y) 6= ∅. Każda formuła podpadająca pod schemat (4.17), tzn. przyjmująca postać S1aS2 ∧ . . . ∧ Sm−1aSm →MiM jest niespełniona przy wartościowaniu v określonym w następujący sposób: v(S1) = {1}; v(Si) = v(Si−1) ∪ {i}, dla 1 < i ¬ m; v(M) = ∅. ¥ 166 Sylogistyki nieklasyczne 4.2.4 System D3 System aksjomatyczny Terminami pierwotnymi systemu D3 są a oraz i. Przyjmujemy w systemie reguły wnioskowania MP i Sub oraz aksjomaty systemu D1 (bez formuły (2.5)) – (2.6), (2.3), (2.4) i (4.7) oraz (2.2). Formuła (2.5) jest w tym systemie wyprowadzalna. System aksjomatycznego odrzucania Definicja 23. Wyrażeniem odrzuconym systemu D3 jest każda formuła podpadająca pod schemat (4.16) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 68. Każda formuła atomowa języka systemu D3 jest tezą bądź wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Formuły o postaci X iX są tezami systemu D3. W przypadku pozostałych atomów, które są odrzucone, dowód jest taki sam jak Lematu 57. ¥ Lemat 69. Każda formuła hornowska języka systemu D3 jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Tak jak w przypadku Lematu 58 rozpatrzymy wszystkie możliwe typy formuł hornowskich języka, tzn. przypadki (i) - (v) z dowodu tamtego Lematu. Tak jak w przypadku Lematu 65 do przypadków (i), (ii), (iv) i (v) możemy zastosować rozumowanie z dowodu Lematu 58. W przypadku (iii) mamy do czynienia z formułami o postaci α→ X iX , które są tezami D3 na mocy aksjomatu (2.2). ¥ Lemat 70. Żadna z formuł podpadających pod schemat (4.16) nie jest tezą systemu D3. Dowód. Przedstawimy klasę modeli MI58 , w której wszystkie aksjomaty i tezy systemu D3 są tautologiami, a aksjomaty odrzucone nie są. Każdy z modeli przyjmuje postać (D, I58, v), gdzie D jest niepustym zbiorem stanowiącym dziedzinę modelu, v wartościowaniem przypisującym zmiennym niepuste podzbiory dziedziny D, a I58 interpretacją, która dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna, a dla formuł atomowych określona jest następująco: Sylogistyka dowodowa 167 I58(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊂ v(Y); I58(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅. Dla pokazania nietautologiczności formuł podpadających pod schemat (4.16) można zastosować podstawienie wykorzystane dla (4.12) w dowodzie Lematu 59. ¥ Twierdzenie 47. Każda formuła języka systemu D3 jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9 z wykorzystaniem Lematu 69 oraz Lematu 70. ¥ Pełność w modelu Do wykazania pełności systemu D3 w stosunku do odpowiedniej klasy modeli udowodnimy następujący lemat analogiczny do Lematu 67 dla systemu D2. Lemat 71. Niech α będzie formułą o postaci β → XaY, gdzie β jest formułą elementarną, a X jest różne od Y. Jeżeli α nie jest tezą systemu D3, to istnieje model z klasy modeli MI58 taki, że α nie jest spełniona w modelu i v(X ) 6= v(Y). Dowód. Taki sam jak Lematu 67. ¥ Twierdzenie 48. System D3 jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli MI58. Dowód. Sprawdzenie, że aksjomaty są tautologiami w modelu, jest rutynowe. Aksjomaty nie są tautologiami w klasie modeli MI58 , co pokazuje dowód Lematu 70. Tak jak w przypadku analogicznych twierdzeń formułowanych dla wcześniej rozpatrywanych systemów, wystarczy teraz pokazać, że reguła Comp−1 prowadzi od dwóch przesłanek, które nie są tautologiami, do wniosku, który nie jest tautologią. Niech α → β1 i α → β2 będą formułami, które nie są tautologiami. W tej sytuacji istnieją w MI58 modele w dziedzinach odpowiednio D1 i D2 określone przez wartościowania odpowiednio v1 i v2 takie, że I58(v1(α→ β1)) = I58(v2(α→ β2)) = 0. 168 Sylogistyki nieklasyczne Na mocy Lematu 71, jeżeli βi (i ∈ {1, 2}) jest o postaci XaY , gdy X i Y są różnymi zmiennymi, to wartościowanie vi może być dobrane tak, aby vi(X ) 6= vi(Y). Rozpatrzmy teraz model z klasy MI58 określony za pomocą dziedziny D3 = D1×D2 oraz wartościowania v3 takiego, że dla dowolnego X , v3(X ) = v1(X )× v2(X ). Na mocy praw rachunku zbiorów (2.17), (4.18) oraz (x1 6= ∅ ∧ x2 6= ∅)→ (x1 × x2) 6= ∅, (4.19) ponieważ I58(v1(α)) = I58(v2(α)) = 1, również I58(v3(α)) = 1. Dalej możemy zastosować to samo rozumowanie, które wystąpiło w dowodzie Twierdzenia 48 i otrzymamy I58(v3(α→ β1 ∨ β2)) = 0. ¥ Niezależność aksjomatów Twierdzenie 49. Aksjomaty systemu D3 są niezależne. Dowód. Dla wykazania niezależności aksjomatu (2.6) można zastosować klasę modeliMI45 z dowodu Twierdzenia 34, aksjomatów (2.3) i (4.7) – modele określone dla nich w dowodzie Twierdzenia 39, a aksjomatów (2.4) i (2.2) odpowiednio klasy modeli MI54 oraz MI55 z dowodu Twierdzenia 44, z zastosowanymi w tamtych dowodach wartościowaniami. ¥ Twierdzenie 50. Schematu aksjomatu (4.16) nie można zastąpić w systemie D3 pojedynczą formułą, zachowując zbiór wyrażeń odrzuconych. Dowód. Identyczny jak Twierdzenia 40. ¥ 4.3 Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 4.3.1 Tezy systemu Łuk stanowiące rozszerzenia Słp Przestrzeń systemów pomiędzy systemem Słp a Łuk można opisać poprzez wskazanie formuł będących tezami Łuk, które nie są tezami Słp. Zbiór tych formuł jest nieskończony, a wzajemne relacje cechuje duży stopień skomplikowania. Nie będziemy w niniejszej pracy dokładnie tej struktury analizować, gdyż taka analiza stanowić może temat osobnych, znacznie obszerniejszych rozważań. Przedstawimy jedynie ogólny zarys tej struktury formuł oraz przyjrzymy się wybranym systemom, które mogą powstać z wykorzystaniem tych formuł jako aksjomatów. Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 169 Dla zobrazowania struktury zbioru interesujących nas formuł rozpatrzymy szczegółowo skończony jej podzbiór zawierający wybrane, najbardziej charakterystyczne i zarazem najkrótsze jego elementy. Traktować je można jako swoisty szkielet całego zbioru. W poniższej tabeli umieszczone są formuły, które znajdują się na diagramie z Rysunku 4.1. Oprócz samych formuł w pierwszej kolumnie tabeli znajduje się numer formuły występujący na diagramie, a w trzeciej kolumnie – numer formuły z wcześniejszego tekstu, jeżeli formuła taka wcześniej już wystąpiła. numer formuły formuła odnośnik na diagramie w tekście 〈5〉 MaP ∧ PaP →MiM (4.3) 〈6〉 MiP ∧ PaP ∧MaS →MiM 〈7〉 MaP ∧ SaS →MiM 〈8〉 MaP →MiM (2.22) 〈9〉 MiP ∧ PaP →MiM 〈10〉 MiP ∧ PaN ∧ SaS →MiM 〈11〉 MiP ∧ PaN →MiM 〈12〉 MiP ∧NaP →MiM 〈13〉 MiP ∧ PiP ∧ SaS →MiM 〈14〉 MiP ∧ PiP ∧ SaN →MiM 〈15〉 MiP ∧ SaS →MiM 〈16〉 MiP ∧ PiP →MiM 〈17〉 MiP ∧NaS →MiM 〈18〉 SaS →MiM (2.24) 〈19〉 MiP ∧ SiS →MiM 〈20〉 SaP →MiM 〈21〉 MiP →MiM (2.26) 〈22〉 SiS →MiM 〈23〉 SiP →MiM 〈24〉 SiS (2.2) 170 Sylogistyki nieklasyczne numer formuły formuła odnośnik na diagramie w tekście 〈25〉 SaS ∧ SaM ∧MaP ∧ PaP →MaM (4.4) 〈26〉 SaS ∧ SaM ∧MaP →MaM 〈27〉 SiS ∧ SaM ∧MaP ∧ PaP →MaM 〈28〉 SaS ∧ SaM →MaM 〈29〉 SiS ∧ SaM ∧MaP ∧NaN →MaM 〈30〉 SiS ∧ SaM ∧MaP →MaM 〈31〉 SaM ∧MaP ∧ PaP →MaM 〈32〉 SiS ∧ SaM ∧NaN →MaM 〈33〉 SaM ∧ PaP ∧ SaP →MaM 〈34〉 SaM ∧MaP →MaM 〈35〉 SiS ∧ SaM →MaM 〈36〉 MiP ∧ PaP ∧ SaM →MaM 〈37〉 SaM ∧ PaP →MaM 〈38〉 SaM →MaM (2.21) 〈39〉 MiM ∧MaP ∧ PaP →MaM 〈40〉 MiM ∧MaP ∧ SaS →MaM 〈41〉 MiM ∧NaN ∧MiN →MaM 〈42〉 MiM ∧MaP →MaM 〈43〉 MiM ∧ SaS →MaM 〈44〉 MiM ∧MiP ∧ PaN →MaM 〈45〉 MiM ∧ SaP →MaM 〈46〉 MiM →MaM Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 171 numer formuły formuła odnośnik na diagramie w tekście 〈47〉 MaP ∧ PaP →MaM 〈48〉 MiP ∧ PaP ∧NaS →MaM 〈49〉 MaP ∧NaN →MaM 〈50〉 MaP →MaM (2.20) 〈51〉 MiP ∧ PaP →MaM 〈52〉 MiP ∧ PaN ∧ SaS →MaM 〈53〉 MiP ∧ PaN →MaM 〈54〉 MiP ∧ PiP ∧ SaS →MaM 〈55〉 MiP ∧ PiP ∧ SaN →MaM 〈56〉 MiP ∧ SaS →MaM 〈57〉 MiP ∧ PiP →MaM 〈58〉 MiP ∧NaS →MaM 〈59〉 SaS →MaM 〈60〉 MiP ∧ SiS →MaM 〈61〉 SaP →MaM 〈62〉 MiP →MaM (2.18) 〈63〉 SiS →MaM 〈64〉 SiP →MaM 〈65〉 SaS (2.1) Relacja wyprowadzalności, jaka zachodzi pomiędzy powyższymi formułami, przedstawiona jest na Rysunku 4.1. Rutynowe dowody wyprowadzalności poszczególnych formuł na gruncie systemu Słp umieszczone w dodatku zostały wygenerowane automatycznie z wykorzystaniem programu komputerowego napisanego w języku Prolog. Został tam również umieszczony tekst programu generującego dowody. W dodatku zostały również umieszczone dowody pokazujące, że pomiędzy formułami umieszczonymi na Rysunku 4.1 nie występują żadne więcej przypadki wyprowadzalności w systemie Słp. Część formuł hornowskich języka rachunku nazw, niewystępujących na diagramie, jest w systemie Słp równoważna którejś z formuł z diagramu. Jako przykład może posłużyć formuła MaP ∧ PiP →MaM, (4.20) równoważna w systemie Słp formule 〈50〉 ze względu na to, że tezą tego systemu jest formuła (4.2). 172 Sylogistyki nieklasyczne Rysunek 4.1: Diagram formuł Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 173 Kolejne formuły, których nie trzeba brać pod uwagę, są dedukcyjnie równoważne5 w stosunku do którejś z wymienionych formuł na gruncie systemu Słp. Należy do nich formuła MiP ∧NaP →MaM, (4.21) wyprowadzalna w systemie Słp z formuły 〈53〉, z której jednocześnie w tym systemie można formułę 〈53〉 wyprowadzić6: 93 ?wyprowadzenie([1,2,3,4,53],66). 1. a(a3, a2) przesłanka 2. i(a3, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a3) formuła 2: [2] 4. i(a1, a2) przesłanka 5. a(a2, a2) formuła 53: [3, 1] a(a1, a1) formuła 53: [4, 5] true. 94 ?wyprowadzenie([1,2,3,4,66],53). 1. a(a2, a3) przesłanka 2. i(a2, a3) formuła 1: [1] 3. i(a1, a2) przesłanka 4. a(a2, a2) formuła 66: [2, 1] a(a1, a1) formuła 66: [3, 4] true. Inne tego typu formuły mają taką własność, że daje się znaleźć podstawienie, które zastosowane do części atomów z poprzednika implikacji sprawia, że stają się one identyczne z innymi atomami poprzednika, np. formuła SaM ∧ SaP →MaM (4.22) jest dedukcyjnie równoważna formule 〈38〉. Aby przejść od formuły 〈38〉 do formuły (4.21), wystarczy dołączyć dodatkowy czynnik do poprzednika zgodnie z odpowiednim prawem KRZ. Z kolei, aby z (4.21) uzyskać 〈38〉, można 5Formuły α i β są dedukcyjnie równoważne na gruncie określonego systemu wtedy i tylko wtedy, gdy w systemie tym zachodzi α ` β oraz β ` α. 6Przedstawiony dowód wygenerowany został automatycznie przez program z załącznika. 174 Sylogistyki nieklasyczne podstawić M za P i następnie na mocy odpowiedniego prawa KRZ wyeliminować czynnik powtarzający się w poprzedniku. Wśród wszystkich umieszczonych na diagramie formuł można wyróżnić kilka grup wyznaczonych przez pewne ich właściwości. Pierwszy wyraźny podział może być dokonany ze względu na następnik rozpatrywanych formuł. W przypadku formuł o numerach 〈5〉 – 〈24〉 następnik ma postać X iX , w pozostałych przypadkach następnik przyjmuje postać XaX . Formuły z następnikami szczegółowotwierdzącymi mają, z wyjątkiem formuły 〈11〉, swoje odpowiedniki ogólnotwierdzące z identycznymi poprzednikami (są to formuły o numerach 〈47〉 – 〈65〉). Formuła 〈11〉 stanowi tu wyjątek, gdyż jej ogólnotwierdzący odpowiednik (4.21) jest dedukcyjnie równoważny formule 〈53〉. Dodatkowa różnica polega na tym, że zachodzi wyprowadzalność 〈52〉 ` 〈49〉, a nie zachodzi wyprowadzalność 〈10〉 ` 〈7〉 pomiędzy szczegółowotwierdzącymi odpowiednikami tych formuł. Szczegółowotwierdzące odpowiedniki pozostałych formuł z następnikami ogólnotwierdzącymi, tzn. formuł 〈25〉 – 〈46〉, są tezami systemu Słp. Część z nich (formuły 〈39〉 – 〈46〉) zawiera w poprzedniku atom MiM , a pozostałe (formuły 〈25〉 – 〈38〉) zawierają atom SaM (SaM →MiM jest tezą Słp). Z kolei formuła 〈50〉 oraz wszystkie formuły z niej wyprowadzalne zawierają w poprzedniku atom MaP , pozostałe formuły tego atomu nie zawierają. Formuły zaznaczone na diagramie jaśniejszym kolorem – formuła 〈59〉 i wszystkie formuły z niej wyprowadzalne – zawierają w poprzedniku przynajmniej jeden atom o postaci XaX , pozostałe formuły, zaznaczone kolorem ciemniejszym, takich atomów nie zawierają. Jak wyżej wspomniano, umieszczone na diagramie formuły są tylko częścią nieskończonego zbioru hornowskich tez systemu Łuk, niebędących tezami systemu Słp. Przyjrzymy się teraz niektórym sposobom, na jakie nieskończone zbiory formuł mogą być tworzone. Zwrócimy najpierw uwagę na ciąg formuł, który umieścić można pomiędzy formułą 〈50〉 a 〈47〉, określony przez następujący schemat: S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn → S1aS1, (4.23) gdzie n - 3 (w przypadku n = 2 schemat przyjmuje postać formuły 〈50〉). W obecności aksjomatu (2.3) w systemie Słp każda formuła o postaci (XaZ∧α→ β)→ (XaY∧YaZ∧α→ β) jest tezą tego systemu. Wobec tego z formuły o schemacie (4.23) dla ustalonego n wyprowadzić można formułę o tym samym schemacie przy wartości n = m takiej, że 2 ¬ m ¬ n. Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 175 Wyprowadzalność w przeciwną stronę nie zachodzi, tzn. z formuły podpadającej pod schemat (4.23) dla określonego n = k nie można wyprowadzić w systemie Słp formuły podpadającej pod ten sam schemat przy n > k. Aby to wykazać, dla dowolnego n rozpatrzymy klasę modeli stanowiącą podklasę klasy MI47 zawierającą modele, których dziedzina zawiera nie więcej niż k = n− 1 elementów. Dla oznaczenia tej klasy przyjmiemy oznaczenie MIk47 . Oczywiście, ponieważ system Słp jest poprawny w stosunku do klasy modeli MI47 , aksjomaty systemu Słp są tautologiami również w klasie modeli MIk47 . Formuła (4.23) przy wartości indeksu k jest tautologią w klasie modeli MIk47 , ponieważ jej poprzednik zawsze będzie fałszywy ze względu na ilość elementów w dziedzinie. Z kolei formuła (4.23) przy wartości indeksu k+ 1 jest niespełniona przy wartościowaniu v określonym poprzez funkcje: g, przyjmującą zawsze wartość 0 oraz f , określoną w następujący sposób: f(S1) = 1; f(Si) = f(Si−1) ∪ {i}, dla i > 1. Wszystkie formuły podpadające pod schemat (4.23) są wyprowadzalne z formuły 〈50〉. Odpowiednie wyprowadzenie można w tym przypadku otrzymać w ramach KRZ poprzez dodanie czynników koniunkcji do poprzednika. Analogiczne nieskończone zbiory formuł można utworzyć także poprzez dodanie ciągów podobnych do tych występujących w poprzedniku schematu (4.23) do wielu innych formuł z diagramu. W szczególności analogiczne do przedstawionych powyżej schematy, które można umieścić pomiędzy formułami 〈38〉 a 〈28〉, przyjmują postać: S1aS1 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn → SnaSn, (4.24) gdzie n - 3 (w przypadku n = 2 schemat przyjmuje postać formuły 〈38〉). Przedstawione rozszerzenia zbioru opisanego przez diagram z Rysunku 4.1 nie są jedynymi możliwymi, stanowią jedynie przykładowe fragmenty zbioru formuł o skomplikowanej strukturze związanej z wyprowadzalnością w systemie Słp. Celem ich prezentacji jest jedynie pokazanie szerszego tła dla wskazania wybranych systemów spomiędzy systemów Słp i Łuk. 176 Sylogistyki nieklasyczne 4.3.2 Analiza wybranych systemów System Słp+ Omawiając system Słp zwróciliśmy uwagę na fakt, że o ile interpretacja zdań atomowych z różnymi zmiennymi jest tu taka sama jak w systemach Stnd i Łuk, to zdania postaci XaX oraz X iX można traktować jako wyrażające pewną własność zmiennej X . Stwierdziliśmy, budując odpowiednią strukturę semantyczną, że w systemie Słp własność ta jest niezależna od zakresu nazwy X . W różnych rozszerzeniach systemu Słp własność ta będzie się zmieniała. Jako przykład rozpatrzymy system, w którym aksjomatem wyznaczającym znaczenie zdań atomowych o postaci XaX jest formuła 〈25〉 z diagramu, tzn. formuła (4.4), pełniąca funkcję aksjomatu odrzuconego systemu Słp. Analiza tak skonstruowanego systemu rzuci pewne światło na ten intuicyjnie nieco niejasny aksjomat. Dla uproszczenia rozważań przyjmiemy jednocześnie jako aksjomat wyznaczający znaczenie zdań atomowych o postaci X iX formułę 〈24〉 z diagramu, tzn. formułę (2.2) – aksjomat systemu Łuk, zgodnie z którym wszystkie takie zdania są tezami. Tak określone rozszerzenie systemu Słp oznaczymy symbolem Słp+. Regułami w systemie Słp+ są MP i Sub, a aksjomatami są wszystkie podstawienia tez KRZ oraz następujące formuły: (2.3), (2.4), (2.5), (4.4) oraz (2.2). Z aksjomatów (2.4) oraz (2.2) można wyprowadzić formułę (2.6). Wzwiązku z tym tak określony system jest rzeczywiście rozszerzeniem systemu Słp. W świetle Lematu 48 jako bezpośrednią konsekwencję tego faktu oraz tego, że wszystkie aksjomaty systemu są tezami Łuk, otrzymujemy następujący lemat. Lemat 72. Każda formuła hornowska języka sylogistyki, w której następniku występuje atom z różnymi zmiennymi, jest tezą systemu Słp+ wtedy i tylko wtedy, gdy jest tezą systemu Łuk. System Słp+ można uzupełnić o odpowiedni system odrzuceniowy określony przy użyciu reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1 z aksjomatami odrzuconymi, którymi są formuła (4.5) oraz wszystkie formuły podpadające pod schematy: S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn ∧ SnaP ∧ PaP → SnaSn, (4.25) gdzie n - 2 ; Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 177 SaS ∧ SaP1 ∧ P1aP2 ∧ . . . ∧ Pn−1aPn → P1aP1, (4.26) gdzie n - 2. Definicja 24. Wyrażeniem odrzuconym systemu Słp+ jest aksjomat odrzucony (4.4), każda z formuł podpadająca pod jeden ze schematów (4.25) lub (4.26) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 73. Wyrażenia (2.11), (2.14) oraz (2.1) są wyrażeniami odrzuconymi systemu Słp+. Dowód. (2.11) Formuła ¬SaS → (SaS ∧ SaP1 ∧ P1aP2 → P1aP1) jest podstawieniem tezy KRZ, a formuła SaS ∧ SaP1 ∧ P1aP2 → P1aP1 jest odrzucona jako podpadająca pod schemat (4.26), a zatem korzystając z reguły MP−1, otrzymujemy a ¬SaS. (2.14) Formuła SiP → (SaS ∧ SaM ∧ PaP ∧ PaM ∧MaM → SiP ) jest podstawieniem tezy KRZ, a formuła SaS ∧ SaM ∧ PaP ∧ PaM ∧MaM → SiP jest odrzucona jako aksjomat odrzucony (4.5), a zatem korzystając z reguły MP−1, otrzymujemy a ¬SiP . (2.1) Ponieważ podstawieniem tezy KRZ jest formuła S2aS2 → (S1aS2 ∧ S2aP ∧ PaP → S2aS2), formuła S1aS2 ∧ S2aP ∧ PaP → S2aS2 jest odrzucona jako podpadająca pod schemat (4.25). Odrzucona jest więc również formuła S2aS2 i na mocy reguły Sub−1 również formuła SaS. ¥ 178 Sylogistyki nieklasyczne Lemat 74. Każde wyrażenie atomowe o postaci XaY oraz ZiV, gdzie Z i V są różnymi zmiennymi, a także każde wyrażenie o postaci ¬α, gdzie α jest formułą elementarną, jest wyrażeniem odrzuconym systemu Słp+. Dowód. Każde wyrażenie atomowe o postaci XaY można odrzucić korzystając z reguły Sub−1 zastosowanej do a SaS, a wyrażenie ZiV , gdzie Z i V – do a SiP . Z kolei każde wyrażenie o postaci ¬α, gdzie α jest formułą elementarną, jest odrzucone, ponieważ odrzucona jest formuła (2.11) – analogicznie jak w systemie Łuk. ¥ Lemat 75. Każda formuła hornowska języka systemu Słp+ jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. W obecności Lematów 72 i 74 oraz aksjomatu (2.2) wystarczy wykazać zachodzenie lematu dla formuł o postaci α→ XaX . Jeżeli α zawiera atomy YaY oraz ZaZ oraz łańcuchy łączące Y z X oraz X z Z, to rozpatrywana formuła jest tezą systemu, którą otrzymać można z aksjomatów (4.3) oraz (2.3). W przeciwnym wypadku mamy do czynienia z jedną z następujących możliwości: (i) nie ma takiego Y , że α zawiera atom YaY oraz łańcuch łączący Y z X lub (ii) nie ma takiego Z, że α zawiera atom ZaZ oraz łańcuch łączący X z Z. W przypadku (i) wszystkie zmienne, które są połączone ze zmienną X w α można uporządkować liniowo w taki sposób, że w każdym atomie zbudowanym z użyciem funktora a, którego argumentami są takie zmienne, pierwszy z argumentów jest w porządku ściśle wcześniejszy od drugiego. Niech m będzie liczbą takich zmiennych, a n = m + 1. Niech teraz e będzie podstawieniem, w którym za każdą zmienną połączoną z X w α podstawiona jest zmienna Si, gdzie 1 ¬ i ¬ m w taki sposób, że jeżeli α zawiera atom zbudowany przy użyciu funktora a oraz dwóch zmiennych połączonych z X , to rezultatem podstawienia e zastosowanego do tego atomu jest wyrażenie SjaSj+1, gdzie 1 ¬ i < m, za X podstawiona jest zmienna Sn, a za pozostałe zmienne – P . Przy tak zdefiniowanym podstawieniu e w systemie Słp+, ponieważ aksjomatami są formuły (2.2) i (2.3), a tezą jest (2.6), tezą jest również formuła e(α→ XaX ) ≡ (S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn ∧ SnaP ∧ PaP → SnaSn). W związku z tym, w obecności aksjomatu odrzuconego (4.25) formuła α→ XaX jest wyrażeniem odrzuconym. Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 179 Przypadek (ii) jest symetryczny w stosunku do przypadku (i), można więc zastosować do niego analogiczne rozumowanie, z zastosowaniem aksjomatu odrzuconego (4.26). ¥ Lemat 76. Żadna z formuł podpadających pod schemat (4.25) lub (4.26) nie jest tezą systemu Słp+. Dowód. Strukturę teoriomodelową, w której tautologiami są wszystkie tezy systemu, a nie są nimi wszystkie formuły podpadające pod schematy (4.25) lub (4.26), stanowi klasa modeli MI59 = (D, I49, v), w której dziedzina D jest zbiorem nieskończonym, wartościowanie v przypisuje zmiennym niepuste podzbiory D, a interpretacja I59 dla formuł atomowych jest określona następująco: I59(v(XaY)) = 1 wtw v(X ) ⊂ v(Y) lub v(X ) = v(Y) oraz v(X ) i v(X ) są zbiorami nieskończonym I59(v(X iY)) = 1 wtw v(X ) ∩ v(Y) 6= ∅, a dla funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Sprawdzenie, że aksjomaty systemu Słp+ są tautologiami w klasie MI59 , jest rutynowe. Aksjomat (4.5) jest niespełniony w modelu określonym w dziedzinie liczb całkowitych (C) przy wartościowaniu v, w którym v(S) jest zbiorem liczb parzystych, v(P ) jest zbiorem liczb nieparzystych, a v(M) zbiorem liczb naturalnych (N). Formuły podpadające pod schemat (4.25) są niespełnione w modelu określonym w dziedzinie (C) przy wartościowaniu v, w którym: v(S1) = {1}, v(Si) = v(Si−1) ∪ {1}, dla i > 1, v(P ) = N. Formuły podpadające pod schemat (4.26) są niespełnione w modelu określonym w dziedzinie (C) przy wartościowaniu v, w którym: v(Pn) = C− {n}, v(Pi) = v(Si+1)− {i}, dla 1 ¬ i < n, v(S) = C− N. ¥ Twierdzenie 51. Każda formuła języka systemu Słp+ jest tezą systemu lub 180 Sylogistyki nieklasyczne wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9 przy czym wykorzystać trzeba Lematy 75 oraz 76. ¥ Twierdzenie 52. System Słp+ jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli MI59. Dowód. Ponieważ wszystkie aksjomaty są tautologiami, aksjomaty odrzucone nie są (zgodnie z Lematem 76), a reguły MP , Sub, MP−1 oraz Sub−1 w oczywisty sposób zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność, tak jak w przypadku dowodów pełności poprzednio rozpatrywanych systemów, wystarczy pokazać, że reguła Comp−1 prowadzi od przesłanek, które nie są tautologiami, do wniosku, który też nie jest tautologią. Pokażemy ten fakt dla przypadku użycia reguły z dwoma przesłankami. Ogólny przypadek można dalej uzyskać przez prostą indukcję. Niech α → β1 i α → β2 będą formułami odrzuconymi systemu, które nie są spełnione w modelach wyznaczonych w dziedzinie C odpowiednio przez wartościowania v1 i v2. Niech dalej oba wartościowania przypisują zbiory skończone każdej zmiennej X , dla której α nie zawiera atomu o postaci XaX ani atomu YaY oraz łańcucha łączącego Y z X , oraz zbiory, których dopełnienie jest skończone każdej zmiennej X , która nie spełnia powyższego warunku, dla której α nie zawiera atomu o postaci XaX ani atomu ZaZ oraz łańcucha łączącego X z Z. (Odpowiednio dobierając podzbiory zbioru C można niezależnie od skończoności zbiorów i ich dopełnień uzyskać dowolne relacje zakresowe, więc taki dobór wartościowania zawsze jest możliwy). Formuła α → β1 ∨ β2 jest niespełniona w modelu z klasy MI59 określonym w dziedzinie C× C przy użyciu wartościowania v3, takiego że v3(X ) = v1(X )× v2(X ), dla dowolnego X . Aby to udowodnić, wystarczy do atomów, w których zmiennym przypisane są dwa różne zbiory, zastosować prawa rachunku zbiorów (2.17) i (4.18), a do przypadków atomów, w których obu zmiennym przypisany jest ten sam zbiór – prawidłowości: Jeżeli x1 i x2 są skończonymi zbiorami, to x1×x2 jest skończonym zbiorem. Jeżeli x1 i x2 są skończonymi zbiorami, to x1 × x2 jest skończonym zbiorem. ¥ Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 181 System Łuk− Formuły 〈18〉, 〈20〉, 〈22〉, 〈23〉, 〈59〉, 〈61〉, 〈63〉 i 〈64〉 charakteryzują się tym, że zmienna z następnika nie występuje w ich poprzedniku7. Oznacza to, że dla określonego X fakt, czy uznane jest wyrażenie atomowe o postaci X iX bądź XaX zależy nie od samego X , ale od pewnych globalnych własności dziedziny, którą się zajmujemy. Aby zbadać konsekwencje uznania tego typu formuł, przeanalizujemy system, w którym jedna z nich jest aksjomatem. Aby uprościć rozważania, przyjmiemy również w systemie formułę 〈62〉 z diagramu, tzn. formułę (2.18), będącą aksjomatem systemu Stnd. Takie rozszerzenie systemu Słp oznaczymy symbolem Łuk−. Regułami w systemie Łuk− są MP i Sub, a aksjomatami systemu są wszystkie podstawienia tez KRZ, formuły (2.3), (2.4), (2.6), (2.18) oraz formuła 〈18〉 z diagramu, tj. SaS →MiM. (4.27) Oczywiście, ponieważ aksjomatami systemu Łuk− są wszystkie aksjomaty systemu Stnd, pierwszy z nich jest rozszerzeniem drugiego. W szczególności tezami systemu Łuk− są formuły (2.19), (2.20), (2.21), (2.22) oraz (2.23). Z aksjomatów (2.18) i (4.27) można wyprowadzić formułę 〈64〉 z diagramu, tj. SiP →MiM, (4.28) a zatem również pozostałe wymienione formuły, w których zmienne z następnika nie występują w poprzedniku. Zestawiając powyższe rezultaty, otrzymujemy bezpośrednio następujący lemat: Lemat 77. Każde wyrażenie o postaci α → XaX bądź α → X iX , gdzie α jest formułą elementarną, jest tezą systemu Łuk−. Tak określony system można uzupełnić o system aksjomatycznego odrzucania określony przy użyciu reguł odrzucania MP−1, Sub−1 oraz Comp−1 z aksjomatami odrzuconymi, którymi są formuły (2.10) oraz (2.1). Definicja 25. Wyrażeniem odrzuconym systemu Łuk− jest każdy z aksjomatów odrzuconych (2.10) i (2.1) oraz każde wyrażenie, które można otrzymać 7Własność tę można nazwać tak samo jak analogiczną własność analizowaną w logikach modalnych niezupełnością w sensie Haldena, na co zwrócono uwagę w pracy [26]. 182 Sylogistyki nieklasyczne z tez systemu oraz wyrażeń odrzuconych przy użyciu jednej z reguł odrzucania: MP−1, Sub−1 lub Comp−1. Lemat 78. Formuła (2.11) jest wyrażeniem odrzuconym systemu Łuk− Dowód. Dowód przedstawiony jest poniżej. 1. ` SaM → SaS teza (2.20) 2. ` ¬SaS → ¬SaM KRZ: 1 3. ` ¬SaM → (SaM ∧ PaM → SiP ) KRZ 4. a SaM ∧ PaM → SiP aks. odrzucony (2.10) 5. a ¬SaM MP−1: 3, 4 a ¬SaS MP−1: 2,5 ¥ Lemat 79. Każde wyrażenie atomowe oraz każde wyrażenie o postaci ¬α, gdzie α jest formułą elementarną, jest wyrażeniem odrzuconym systemu Łuk−. Dowód. Każde wyrażenie atomowe można odrzucić stosując regułę MP−1 do aksjomatu odrzuconego (2.1) i formuły (2.19) (otrzymujemy a SiS) oraz reguły Sub−1, bądź stosując regułę Sub−1 wprost do aksjomatu odrzuconego (2.1). Z kolei każde wyrażenie o postaci ¬α, gdzie α jest formułą elementarną jest odrzucone, ponieważ odrzucona jest formuła (2.11) – analogicznie jak w systemie Łuk. ¥ Lemat 80. Każda formuła hornowska języka sylogistyki, w której następniku występuje atom z różnymi zmiennymi, jest tezą systemu Łuk− wtedy i tylko wtedy, gdy jest tezą systemu Łuk. Dowód. Zachodzenie lematu wynika z faktu, że system Łuk− znajduje się pomiędzy systemem Słp a systemem Łuk. ¥ Lemat 81. Każda formuła hornowska języka systemu Łuk− jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Zachodzenie lematu jest bezpośrednią konsekwencją Lematów 77, 80 i 79. ¥ Lemat 82. Aksjomaty odrzucone (2.10) oraz (2.1) nie są tezami systemu Łuk−. Systemy pomiędzy systemem Łuk a Słp 183 Dowód. Wszystkie tezy systemu Łuk− są tezami systemu Łuk, a aksjomat odrzucony (2.10) nie jest tezą Łuk. Wobec tego aksjomat odrzucony nie jest również tezą systemu Łuk−. Wszystkie tezy systemu Łuk− są spełnione w modelu, w którym wszystkie atomy są fałszywe, a aksjomat odrzucony (2.1) w takim modelu nie jest spełniony, zatem nie jest tezą systemu Łuk−. ¥ Twierdzenie 53. Każda formuła języka systemu Łuk− jest tezą systemu lub wyrażeniem odrzuconym, a żadna formuła nie jest jednocześnie tezą i wyrażeniem odrzuconym. Dowód. Dowód jest taki sam jak Twierdzenia 9, przy czym wykorzystać trzeba Lematy 81 oraz 82. ¥ Klasę modeli dla systemu Łuk− otrzymać można poprzez ograniczenie klasy modeli adekwatnej w stosunku do systemu Słp, tzn. klasy MI8 w taki sposób, że dopuszczalne są tylko wartościowania, które przypisują wszystkim zmiennym zbiór pusty albo takie, które żadnej zmiennej nie przypisują zbioru niepustego. Tak określoną klasę modeli oznaczymy symbolem M?I8 . Twierdzenie 54. System Łuk− jest adekwatny (poprawny i pełny) w stosunku do klasy modeli M?I8. Dowód. Tak jak w przypadku poprzednich twierdzeń o pełności, wystarczy pokazać, że tezy systemu są tautologiami w klasie modeli MI8 , a wyrażenia odrzucone nie są. Sprawdzenie, że aksjomaty systemu są tautologiami, jest rutynowe. Aksjomat odrzucony (2.10) nie jest spełniony w modelu określonym w dziedzinie {1, 2} przez wartościowanie v takie, że v(S) = {1}, v(P ) = {2}, v(M) = {1, 2} (D = {1, 2}). Aksjomat odrzucony (2.1) nie jest spełniony w modelu w dowolnej dziedzinie, określonym przez wartościowanie przypisujące każdej zmiennej zbiór pusty. Reguły MP , Sub, MP−1 oraz Sub−1 w oczywisty sposób zachowują odpowiednio tautologiczność i nietautologiczność, tak jak w przypadku dowodów pełności poprzednio rozpatrywanych systemów. Dla pokazania, że reguła Comp−1 prowadzi od przesłanek, które nie są tautologiami, do wniosku, który nie jest tautologią, można zastosować to samo rozumowanie, które zostało wykorzystane w dowodzie Twierdzenia 13 dla systemu Stnd, polegające na budowaniu iloczynu kartezjańskiego modeli. Ponieważ stosowana interpretacja jest w obu przypadkach taka sama, model 184 Sylogistyki nieklasyczne powstający jako iloczyn kartezjański modeli, w których niespełnione są przesłanki, będzie także w przypadku systemu Łuk− modelem, w którym wniosek nie jest spełniony. Wystarczy zatem pokazać, że model ten należy do klasy M?I8 , tzn. że jeżeli wartościowania v1 i v2 przypisują zbiór pusty wszystkim zmiennym albo nie przypisują go żadnej zmiennej, to warunek ten spełnia również wartościowanie v3, określone w ten sposób, że v3(X ) = v1(X )×v2(X ). W przypadku, gdy któreś z wartościowań v1 bądź v2 przypisuje wszystkim zmiennym zbiór pusty, tak samo zachowuje się wartościowanie v3. W przypadku, gdy żadne z wartościowań nie przypisuje żadnej zmiennej zbioru pustego, ponieważ iloczyn kartezjański dwóch zbiorów niepustych jest zawsze niepusty, wartościowanie v3 nie przypisuje zbioru pustego żadnej zmiennej. ¥ Rozdział 5 Matrycowe procedury rozstrzygania Ogólne wyniki z Rozdziału 1, dotyczące rozstrzygalności teorii hornowskich gwarantują, że wszystkie prezentowane w poprzednich rozdziałach systemy są rozstrzygalne. W niniejszym rozdziale zaprezentujemy alternatywną metodę rozstrzygania opartą o modele. Przedstawimy relację pomiędzy aksjomatyką odrzuceniową dla danego systemu rachunku nazw a procedurą decyzyjną dla tego systemu, skonstruowaną w oparciu o jego modele. Głównym rezultatem jest tu wykazanie, że uzupełnienie systemu o aksjomatykę odrzuceniową z wykorzystaniem skończonego zbioru aksjomatów odrzuconych pozwala na istotne ograniczenie rozmiaru modelu wystarczającego do zbudowania procedury rozstrzygania. Uzyskane wyniki zestawimy z obecnymi w literaturze rezultatami [18, 43] dotyczącymi wielkości modeli, których trzeba użyć do rozstrzygania formuł w różnych systemach rachunku nazw. Matryce dla systemu Łukasiewicza przedstawione zostały w pracy [21], dla systemu OntSyl – w pracy [25], a systemu Słp – w pracy [26]. Matryce dla pozostałych systemów nie były dotąd przedstawiane. 5.1 Aksjomaty odrzucone i modele dla formuł hornowskich Twierdzenie 55. Niech T będzie teorią hornowską uzupełnioną o adekwatny system aksjomatycznego odrzucania, wykorzystujący reguły MP−1, Sub−1 186 Matrycowe procedury rozstrzygania i Comp−1 oraz aksjomaty odrzucone, będące formułami hornowskimi, aM klasą modeli teorii T . Jeżeli żaden z aksjomatów odrzuconych teorii T nie jest tautologią w klasie modeliM, to dowolna formuła hornowska α jest tezą systemu T wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią w klasie modeli M. Dowód. Jeżeli rozpatrywana formuła hornowska α jest tautologią w klasie modeli M, to nie da się z niej wyprowadzić żadnego z aksjomatów odrzuconych. W związku z tym, zgodnie z Wnioskiem 1 nie jest formułą odrzuconą, a więc, ponieważ system odrzucania jest adekwatny, musi być tezą teorii T . Jeżeli z kolei α nie jest tautologią w klasie modeli M, to nie jest tezą, ponieważ M jest klasą modeli teorii T . ¥ Wniosek 2. Dla rozstrzygnięcia, czy dowolna formuła hornowska α jest tezą teorii hornowskiej T , wystarczy skonstruować klasę modeli T , w której aksjomaty odrzucone nie są tautologiami. Twierdzenie 55 pozwala na wykorzystanie aksjomatyki odrzuceniowej systemu rachunku nazw do konstrukcji efektywnych procedur decyzyjnych opartych o modele. Systemy rachunku nazw, analizowane w poprzednich rozdziałach, posiadają adekwatne charakterystyki teoriomodelowe. Czynnikiem, który decyduje o efektywności wykorzystania modeli do rozstrzygania formuł przy zastosowaniu modeli, jest rozmiar dziedziny modelu, który musi być użyty do falsyfikacji formuły. Problem wyznaczenia takiego rozmiaru pojawił się w literaturze w pracach [18, 43]. Wykorzystanie powyższych rezultatów, związanych z rozstrzyganiem dla formuł hornowskich w oparciu o modele wyznaczone przez aksjomaty odrzucone, pozwala spojrzeć na ten problem z nowej perspektywy. Rozmiar dziedziny modelu można bowiem ograniczyć do rozmiaru pozwalającego na falsyfikację aksjomatów odrzuconych. W kolejnych podrozdziałach przeanalizujemy takie ograniczenia tych systemów z poprzednich rozdziałów, dla których podaliśmy skończoną aksjomatykę odrzuceniową. Możliwe jest również otrzymanie aksjomatyki odrzuceniowej w oparciu o klasę modeli adekwatną w stosunku do systemu aksjomatycznego, jeżeli ta klasa określona jest jako zbiór modeli M, zdefiniowany jak w Rozdziale 1 w skończonej dziedzinie. Modele dla hornowskich systemów zakresowych 187 Definicja 26. Niech M = (N, I, v) będzie modelem teorii hornowskiej T , takim że N = {z1, . . . , zk}, k ∈ N. Niech dalej S = {S1, . . . , Sk} będzie zbiorem zmiennych nazwowych o tych samych indeksach co obiekty z modelu. Niech vaks będzie wartościowaniem, w którym każdej zmiennej ze zbioru S przyporządkowany jest obiekt ze zbioru N o tym samym indeksie. Niech teraz Φ0 i Φ1 będą zbiorami atomów języka rachunku nazw, zbudowanych przy użyciu zmiennych ze zbioru S w taki sposób, że Φ0 = {α : I(vaks(α)) = 0}, a Φ1 = {α : I(vaks(α)) = 1}. Formuła aks(M) jest implikacją, której poprzednikiem jest koniunkcja wszystkich elementów zbioru Φ1, a następnikiem alternatywa wszystkich elementów zbioru Φ0. Twierdzenie 56. NiechM będzie klasą modeli teorii hornowskiej T , określoną w skończonej dziedzinie. System aksjomatycznego odrzucania dla systemu T można określić za pomocą reguł MP−1, Subst−1 i Comp−1 oraz formuły aks(M) jako jedynego aksjomatu odrzuconego. Dowód. Wystarczy pokazać, że (i) aksjomat odrzucony aks(M) nie jest tezą oraz, że (ii) każde wyrażenie hornowskie języka jest tezą albo wyrażeniem odrzuconym. Warunek (i) spełniony jest, ponieważ formuła aks(M) jest fałszywa w modelu M. Warunek (ii). Każda formuła jest tautologią w klasie modeli lub nie jest. Jeżeli formuła hornowska α jest tautologią, to jest również tezą T . Jeżeli nie jest tautologią, to istnieje wartościowanie v, w którym jest niespełniona. Niech e będzie podstawieniem, w którym za każdą zmienną X z α podstawiona jest zmienna Y , taka że vaks(Y) = v(X ), gdzie vaks jest wartościowaniem z Definicji 26. Na mocy praw KRZ implikacja e(α) → aks(M) jest tezą systemu T . W związku z tym α jest wyrażeniem odrzuconym. ¥ 5.2 Modele dla hornowskich systemów zakresowych Okazuje się, że dla zakresowych systemów hornowskich z poprzednich rozdziałów odpowiednie klasy modeli można określić w dziedzinie zawierającej dwa elementy. Aby podkreślić, że elementy takie mogą być dowolnymi obiektami, posłużymy się dla ich oznaczenia symbolami: ♣ i ♠. Przyjmiemy na 188 Matrycowe procedury rozstrzygania potrzeby dalszego ciągu niniejszego rozdziału następujące stałe oznaczenia dla nazw, których zakres stanowią odpowiednio zbiory: • w0 – ∅; • w1 – {♣}; • w2 – {♠}; • w3 – {♣,♠}; Modele, występujące w twierdzeniach o pełności dla poszczególnych systemów, opisywane były jako modele typu M, wprowadzone w Rozdziale 1, tzn. takie, w których zmiennym odpowiadają podzbiory dziedziny, a interpretacja określona jest z użyciem stosunków zakresowych między nimi. Jak zauważyliśmy w Rozdziale 1, tak określoną klasę modeli można opisać również jako modele M, w których zmiennym odpowiadają elementy dziedziny, a interpretacja jest określona przez bezpośrednie wskazanie dla każdego funktora par obiektów, dla których zdania są prawdziwe. Ten drugi sposób prezentacji modeli jest wygodniejszy w budowaniu procedur decyzyjnych i z niego będziemy korzystać w dalszych rozważaniach. 5.2.1 System Łuk W systemie Łuk klasę modeli pozwalającą na rozstrzyganie w odniesieniu do formuł hornowskich można ograniczyć do dziedziny dwuelementowej i trzech nazw: w1, w2 i w3. Zdania atomowe przyjmują wartości logiczne zgodnie z definicją interpretacji I2, określającą klasę modeli adekwatną w stosunku do systemu Łuk, np.: • zdanie w1aw1 jest prawdziwe, bo {♣} ⊆ {♣}; • zdanie w1aw2 jest fałszywe, bo {♣} 6⊆ {♠}; • zdanie w1aw1 jest prawdziwe, bo {♣} ⊆ {♣,♠}. Modele dla hornowskich systemów zakresowych 189 Wartości logiczne wszystkich formuł atomowych ujęte są w poniższych matrycach1: a w1 w2 w3 w1 1 0 1 w2 0 1 1 w3 0 0 1 i w1 w2 w3 w1 1 0 1 w2 0 1 1 w3 1 1 1 Twierdzenie 57. Powyższe matryce pozwalają na rozstrzygnięcie, czy dana formuła hornowska jest tezą systemu Łuk. Dowód. Matryce są skonstruowane w oparciu o definicję modeli z klasy MI2 , więc wyznaczone przez nie struktury są modelami systemu Łuk. Aby rozwiać ewentualne wątpliwości można sprawdzić, że aksjomaty Łuk są spełnione przy każdym podstawieniu nazw ze zbioru {w1, w2, w3} za zmienne. Aksjomat odrzucony (2.10) nie jest spełniony przy wartościowaniu v, takim że v(P ) = w1, v(S) = w2 i v(M) = w3. ¥ 5.2.2 System Stnd Matryce dla systmu Stnd powstają w sposób analogiczny do matryc dla systemu Łuk, poprzez ograniczenie modeli zbioru wyznaczonych przez interpretację I8 do naszej dziedziny dwuelementowej i czterech stałych nazw w niej występujących: w0, w1, w2 i w3. Wartości poszczególnych formuł atomowych przedstawione są poniżej: a w0 w1 w2 w3 w0 0 0 0 0 w1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 w3 0 0 0 1 i w0 w1 w2 w3 w0 0 0 0 0 w1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 w3 0 1 1 1 Twierdzenie 58. Powyższe matryce pozwalają rozstrzygnąć, czy dana formuła hornowska jest tezą systemu Stnd. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu Twierdzenia 57, przy czym aksjomaty odrzucone (2.10) i (2.24) są fałszywe odpowiednio przy wartościowaniach v1 i v2, w których: v1(S) = w1, v1(P ) = w2 i v1(M) = w3, a v2(P ) = w1 i v2(S) = w0. ¥ 1Matryce pokrywają się co do zawartości z matrycami określającymi interpretację I1. 190 Matrycowe procedury rozstrzygania 5.2.3 System B-horn Fakt, że zbiór aksjomatów systemu B-horn jest podzbiorem zbioru aksjomatów systemu B gwarantuje, że B-horn jest podsystemem systemu B. Każdy model B jest więc również modelem B-horn. Dla konstrukcji matryc odpowiednich dla systemu B wykorzystamy więc interpretację I10, z modelu adekwatnego w stosunku do systemu B ograniczonego do stałych nazw w0, w1, w2 i w3, otrzymując: a w0 w1 w2 w3 w0 1 1 1 1 w1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 w3 0 0 0 1 i w0 w1 w2 w3 w0 0 0 0 0 w1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 w3 0 1 1 1 Twierdzenie 59. Powyższe matryce pozwalają rozstrzygnąć, czy dana formuła hornowska jest tezą systemu B-horn. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu dwóch poprzednich twierdzeń, przy czym aksjomaty odrzucone (2.53) i (2.54) są niespełnione odpowiednio przy wartościowaniach v1 i v2, w których: v1(S) = w1, v1(P ) = w2 i v1(M) = w3, a v2(P ) = w1 i v(S) = w0. ¥ 5.2.4 System OntP W stosunku do systemu OntP wykorzystamy klasę modeli określoną przez interpretację I16 ograniczoną do nazw w1, w2 i w3, otrzymując następującą matrycę2: ε w1 w2 w3 w1 1 0 1 w2 0 1 1 w3 0 0 0 Twierdzenie 60. Powyższa matryca pozwala rozstrzygnąć, czy dana formuła hornowska jest tezą systemu OntP. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzednich twierdzeń, przy czym aksjomat odrzucony (3.4) jest niespełniony w modelu przy wartościowaniu v, w którym: v(P ) = w1, v(S) = w2 i v(M) = w3. ¥ 2Zawartość matrycy pokrywa się z zawartością matrycy z interpretacji I15. Modele dla hornowskich systemów zakresowych 191 5.2.5 System OntSol W stosunku do systemu OntSol wykorzystamy interpretację I22, ograniczoną jak w systemie Stnd do nazw w0, w1, w2 i w3, otrzymując3: ε w0 w1 w2 w3 sol w0 0 0 0 0 1 w1 0 1 0 1 1 w2 0 0 1 1 1 w3 0 0 0 0 0 Twierdzenie 61. Powyższe matryce pozwalają rozstrzygnąć, czy dana formuła hornowska jest tezą systemu OntSol. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzednich twierdzeń, przy czym aksjomaty odrzucone (3.4) i (3.13) nie są spełnione odpowiednio przy wartościowaniach v1 i v2, w których: v1(S) = w1, v1(P ) = w2 i v1(M) = w3, a v2(P ) = w1 i v(S) = w0. ¥ 5.2.6 System OntSyl W stosunku do systemu OntSyl wykorzystamy interpretację I32, ograniczoną do nazw w0, w1, w2 i w3, otrzymując następujące matryce: ε w0 w1 w2 w3 w0 0 0 0 0 w1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 w3 0 0 0 0 a w0 w1 w2 w3 w0 0 0 0 0 w1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 w3 0 0 0 1 i w0 w1 w2 w3 w0 0 0 0 0 w1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 w3 0 1 1 1 3Fakt, że w strukturze modelowej dla systemu OntSol wykorzystany jest zbiór w0, którego nie ma w odpowiedniej strukturze dla systemu OntP, potwierdza obserwacje z pracy [42], w której zauważono, że w stosunku do bezkwantyfikatorowego systemu z funktorem ε jako jedynym funktorem specyficznym można posłużyć się modelami, w których używa się jedynie niepustych zbiorów, a w odniesieniu do bogatszych systemów zbiór pusty jest niezbędny. 192 Matrycowe procedury rozstrzygania Twierdzenie 62. Powyższe matryce pozwalają rozstrzygnąć, czy dana formuła hornowska jest tezą systemu OntSyl. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzednich twierdzeń, przy czym aksjomaty odrzucone (3.43) i (3.44) nie są spełnione odpowiednio przy wartościowaniach v1 i v2, w których: v1(S) = w1, v1(P ) = w2 i v1(M) = w3, a v2(P ) = w1 i v(S) = w0. ¥ 5.3 Matryce dla systemu Słp 5.3.1 Matryce pięcioelementowe W systemie Słp charakterystyka modelu obejmuje nie tylko zakres nazw, ale również przypisaną im etykietę. Potrzebować będziemy również rozszerzenia modelu zdefiniowanego w sekcji 5.2 o dodatkowy obiekt w modelu – ♥. Wykorzystamy następujące nazwy: • s1 ze zbiorem desygnatów {♣} i etykietą 0; • s2 ze zbiorem desygnatów {♠} i etykietą 1; • s3 ze zbiorem desygnatów {♣,♠} i etykietą 0; • s4 ze zbiorem desygnatów {♥} i etykietą 1; • s5 ze zbiorem desygnatów {♣,♠,♥} i etykietą 1. Wartości logiczne poszczególnych zdań atomowych, zgodne z interpretacją w stosunku do której system Słp jest pełny, są przedstawione w poniższych matrycach: a s1 s2 s3 s4 s5 s1 0 0 1 0 1 s2 0 1 1 0 1 s3 0 0 0 0 1 s4 0 0 0 1 1 s5 0 0 0 0 1 i s1 s2 s3 s4 s5 s1 0 0 1 0 1 s2 0 1 1 0 1 s3 1 1 1 0 1 s4 0 0 0 1 1 s5 1 1 1 1 1 Twierdzenie 63. Formuła hornowska języka systemu Słp jest tezą wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią w powyższych matrycach. Matryce dla systemu Słp 193 Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzednich twierdzeń, przy czym aksjomaty odrzucone (4.3), (4.4) i (4.3) są fałszywe odpowiednio przy wartościowaniach v1, v2 i v3: v1(S) = s1 i v1(M) = s5, v2(S) = s2, v2(P ) = s5 i v2(M) = s4, a v3(S) = s2, v3(P ) = s3 i v3(M) = s5. ¥ 5.3.2 Matryce czteroelementowe Ograniczenie liczby zbiorów w modelu do czterech można uzyskać, wykorzystując interpretację koniunkcji i implikacji, pochodzącą z trójwartościowej logiki Łukasiewicza (zob. np. [33]), określoną przez następujące matryce4: ∧ 0 12 1 0 0 0 0 1 2 0 1 2 1 2 1 0 12 1 → 0 12 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 12 1 W modelu wykorzystamy dwie nazwy, którym odpowiada ten sam zbiór, ale różne etykiety. Będziemy tę sytuację reprezentować, wykorzystując w opisie matrycy dla obu tych nazw ten sam obiekt i przypisując wartość 12 zdaniom atomowym, które dla różnych etykiet przyjmowałyby różne wartości logiczne w modelu. Do konstrukcji matrycy skorzystamy z następujących obiektów, które można podstawiać za zmienne nazwowe5: • t2 ze zbiorem desygnatów {♠} i etykietą 1; • t3 ze zbiorem desygnatów {♣,♠} i etykietą 0; • t4 ze zbiorem desygnatów {♥} i etykietą 0 lub 1; 4Ponieważ w procedurze rozstrzygania nie występują implikacje będące w zasięgu innych funktorów, można zastosować również następującą uproszczoną matrycę dla tego funktora: → 0 12 1 0 1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 0 1 5Dla odróżnienia od poprzedniego modelu będziemy teraz używać litery t z indeksem, wartość indeksu będzie tak dobrana, aby symbolowi ti odpowiadał ten sam zbiór co wcześniej symbolom wi oraz si. 194 Matrycowe procedury rozstrzygania • t5 ze zbiorem desygnatów {♣,♠,♥} i etykietą 1. W tej sytuacji można wykorzystać następujące matryce dla funktorów sylogistyki: a t2 t3 t4 t5 t2 1 1 0 1 t3 0 0 0 1 t4 0 0 12 1 t5 0 0 0 1 i t2 t3 t4 t5 t2 1 1 0 1 t3 1 1 0 1 t4 0 0 12 1 t5 1 1 1 1 Twierdzenie 64. Formuła hornowska języka systemu Słp jest tezą wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią w powyższych matrycach. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzednich twierdzeń (zauważyć jedynie trzeba, że matryca dla implikacji jest normalna), przy czym aksjomaty odrzucone (4.3), (4.4) i (4.3) są niespełnione odpowiednio przy wartościowaniach v1, v2 i v3, takich że: v1(S) = t4 i v1(M) = t5, v2(S) = t2, v2(P ) = t5 i v2(M) = t3, a v3(S) = t2, v3(P ) = t4 i v3(M) = t5. ¥ 5.3.3 Matryce trójelementowe Kolejna matrycowa charakterystyka systemu Słp odchodzi nieco dalej od interpretacji funktorów, przy użyciu której zbudowana jest klasa modeli, w stosunku do której system jest pełny. Punktem wyjścia jest tu analogiczna matryca dla systemu Łuk. Tak jak w przypadku matrycy czteroelementowej zmodyfikowane zostanie rozumienie koniunkcji i implikacji. Funktory te będą zdefiniowane przy użyciu poniższych matryc6: ∧ 0 u1 u2 1 0 0 0 0 0 u1 0 u1 u1 u1 u2 0 u1 u2 u2 1 0 u1 u2 1 → 0 u1 u2 1 0 1 1 1 1 u1 u2 1 u2 1 u2 u1 u1 1 1 1 0 u1 u2 1 6Tak samo jak w przypadku logiki trójwartościowej, matryca dla implikacji może również zostać uproszczona do następującej postaci: → 0 u1 u2 1 0 1 1 1 1 u1 0 1 0 1 u2 0 0 1 1 1 0 0 0 1 Matryce dla systemu Słp 195 W matrycach poza wartościami 1 i 0, które można rozumieć jako prawda i fałsz pojawiają się dwie dodatkowe wartości, które interpretować można jako wartości nieokreślone. Jedyną wartością wyróżnioną jest 1. Tabela dla funktora koniunkcji jest taka sama jak w czterowartościowej logice Łukasiewicza. Tabela dla implikacji pokrywa się z odpowiednią matrycą czterowartościowej logiki modalnej Łukasiewicza przedstawionej w [31]. Do rozstrzygania formuł hornowskich można wykorzystać następujące matryce dla funktorów sylogistyki: a x1 x2 x3 x1 u1 0 1 x2 0 u2 1 x3 0 0 u1 i x1 x2 x3 x1 u1 0 1 x2 0 u2 1 x3 1 1 1 Odwołując się do modeli z klasy MI2 , nazwy występujące w opisie matrycy można zdefiniować następująco: • x1 ze zbiorem desygnatów {♣} i etykietą 0 lub 1; • x2 ze zbiorem desygnatów {♠} i etykietą 0 lub 1; • x3 ze zbiorem desygnatów {♣,♠} i etykietą 0 lub 1. Intuicyjny sens wartości u1 i u2 jest taki sam jak wartości 12 w przypadku matryc trójwartościowych. Występują one w sytuacjach, w których wartość logiczna zdania jest niezdeterminowana. Ze względów technicznych potrzebne jest jednak wykorzystanie dwóch różnych wartości z podobną intuicyjną interpretacją. Twierdzenie 65. Formuła hornowska języka systemu Słp jest tezą wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią w powyższych matrycach. Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzednich twierdzeń (tu też matryca dla implikacji jest normalna), przy czym aksjomaty odrzucone (4.3), (4.4) i (4.3) nie są spełnione odpowiednio przy wartościowaniach v1, v2 i v3: v1(S) = x2 i v1(M) = x3, v2(S) = x2, v2(P ) = x3 i v2(M) = x2, a v3(S) = x1, v3(P ) = x2 i v3(M) = x3. ¥ 196 Matrycowe procedury rozstrzygania 5.4 Matryce dla systemu Łuk− System Łuk− jest ostatnim z zaprezentowanych systemów, dla którego przedstawiony został system aksjomatycznego odrzucania ze skończonym zbiorem aksjomatów odrzuconych dla formuł hornowskich. Adekwatna klasa modeli dla tego systemu opiera się na interpretacji I8, modele są jednak ograniczone do takich, w których albo wszystkim zmiennym odpowiadają niepuste zbiory, albo wszystkim odpowiada zbiór pusty. W związku z tym nie można określić wartości logicznej zdania atomowego w oparciu o zakresy zbiorów przypisanych do jego argumentów w izolacji od wartościowania dla innych nazw. W tej sytuacji, aby stworzyć system matrycowy służący do rozstrzygania dla formuł hornowskich w tym systemie, posłużymy się nieklasyczną interpretacją funktorów koniunkcji i implikacji, zdefiniowaną za pomocą trójwartościowych matryc Łukasiewicza (przytoczonych w Podrozdziale 5.3.2). Zdaniom atomowym oraz formułom elementarnym przysługiwać będą wartości 0 oraz 12 , z których żadna nie jest wyróżniona. Wartość wyróżniona 1 pojawi się tylko jako możliwa wartość implikacji. W związku z tym do rozstrzygania formuł hornowskich wystarczą następujące fragmenty przestawionych matryc: ∧ 0 12 0 0 0 1 2 0 1 2 → 0 12 0 1 1 1 2 0 1 Pełne matryce dla wszystkich wartości potrzebne są ze względu na dowód adekwatności, do wykazania domknięcia zbioru tautologii na regułę MP . Matryce dla formuł atomowych są następujące: a w1 w2 w3 w1 1 2 0 1 2 w2 0 12 1 2 w3 0 0 12 i w1 w2 w3 w1 1 2 0 1 2 w2 0 12 1 2 w3 1 2 1 2 1 2 Twierdzenie 66. Formuła hornowska języka systemu Łuk− jest tezą wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią w powyższych matrycach. Dowód. Dowód jest taki sam jak w przypadku poprzednich twierdzeń: matryca dla implikacji jest normalna, sprawdzenie, że aksjomaty systemu są tautologiami w matrycach jest rutynowe, aksjomat odrzucony (2.10) nie jest spełniony przy wartościowaniu v, takim że v(P ) = w1, v(S) = w2 i v(M) = w3, Procedura decyzyjna dla systemów hornowskich 197 a aksjomat odrzucony (2.1) nie jest spełniony przy dowolnym wartościowaniu. ¥ 5.5 Procedura decyzyjna dla systemów hornowskich Procedurę, która zostanie poniżej określona, można zastosować do wszystkich systemów, dla których zostały powyżej zdefiniowane matryce. Procedura rozstrzygająca, czy dana formuła α jest tezą systemu jest następująca: I. Formuła α ma postaci β → γ oraz β → γ1 ∨ γ2, gdzie β jest formułą elementarną, a γ, γ1 i γ2 są formułami atomowymi: 1. Sprawdź tautologiczność formuły α w matrycach. 2. Jeżeli formuła jest tautologią, to jest tezą. W przeciwnym wypadku α nie jest tezą. II. Formuła α nie podpada pod przypadek I, ale jest formułą klauzulową, tzn. przyjmuje postać: β → γ1 ∨ . . . ∨ γn, n - 0: 1. Znajdź wszystkie formuły o postaci β → γi∨γj, takie że 1 ¬ i < j ¬ n. 2. Do każdej z nich zastosuj procedurę z punktu I. 3. Jeżeli przynajmniej jedna z rozpatrzonych formuł jest tezą, to α jest tezą. W przeciwnym wypadku α nie jest tezą. III. Formuła α nie jest formułą klauzulową: 1. Znajdź koniunkcję formuł klauzulowych α1 ∧ . . . ∧ αm równoważną α w KRZ. 2. Do każdej z formuł klauzulowych αk (1 ¬ k ¬ m) zastosuj procedurę z punktu II. 3. Jeżeli wszystkie rozpatrzone formuły są tezami, to α jest tezą. W przeciwnym wypadku α nie jest tezą. 198 Matrycowe procedury rozstrzygania 5.6 Rozstrzyganie dla systemu B Ponieważ system B nie jest teorią hornowską, nie można zastosować do niego wprost ogólnych rezultatów z Sekcji (5.1). Można jednak zastosować analogiczną procedurę rozstrzygania, wykorzystując regułę SC−1 i twierdzenia dotyczące pełności odrzuceniowej i pełności w modelu, dotyczące tego systemu. Musimy jedynie zwrócić uwagę na to, że w dowodzie Lematu 26, dla każdej formuly α, która nie jest tezą, pokazuje się podstawienie e, takie że tezą jest implikacja, której poprzednikiem jest e(α), a następnikiem aksjomat odrzucony. Wynika stąd bezpośrednio następujący wniosek: Wniosek 3. Jeżeli wyrażenie α języka systemu B, które jest wyrażeniem hornowskim lub przyjmuje postać γ → β1 ∨ β2, gdzie γ jest wyrażeniem elementarnym, a β1 oraz β2 atomami, jest wyrażeniem odrzuconym, to z formuły α na gruncie systemu B można wyprowadzić aksjomat odrzucony. Tak jak w przypadku systemu Słp dla zbudowania matryc odpowiednich dla systemu B potrzebować będziemy rozszerzenia modelu zdefiniowanego w Sekcji (5.2) o dodatkowy obiekt w modelu – ♥ oraz dodatkowe nazwy – w4 i w5. Zakresami tych nazw są następujące zbiory: • w4 – {♥}; • w5 – {♣,♠,♥}. Wartości logiczne zdań atomowych dla tak zdefiniowanych nazw wyrażone są w poniższych matrycach7: a w0 w1 w2 w3 w4 w5 w0 1 1 1 1 1 1 w1 0 1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 0 1 w3 0 0 0 1 0 1 w4 0 0 0 0 1 1 w5 0 0 0 0 0 1 i w0 w1 w2 w3 w4 w5 w0 0 0 0 0 0 0 w1 0 1 0 1 0 1 w2 0 0 1 1 0 1 w3 0 1 1 1 0 1 w4 0 0 0 0 1 1 w5 0 1 1 1 1 1 Twierdzenie 67. Każde wyrażenie hornowskie języka systemu B oraz każde wyrażenie o postaci α → β1 ∨ β2, gdzie α jest formułą elementarną, a β1 i β2 formułami atomowymi jest tezą systemu B wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe w modelu określonym przez powyższe matryce. 7Matryce o tej samej zawartości wykorzystane były w dowodzie Lematu 28. Rozstrzyganie dla systemu B 199 Dowód. Matryce skonstruowane są zgodnie z interpretacją I10, użytą do zdefiniowania klasy modeli, adekwatnej w stosunku do systemu B, a więc jeżeli formuła jest tezą B, to jest prawdziwa w modelu. Aksjomat odrzucony (2.57) nie jest spełniony przy wartościowaniu v, w którym v(M) = w0, v(S) = w1, v(P ) = w3, v(R) = w2, v(Q) = w4, a v(N) = w5. ¥ Procedura rozstrzygająca, czy dana formuła α jest tezą systemu B, jest następująca: I. Formuła α ma postaci β → γ oraz β → γ1 ∨ γ2, gdzie β jest formułą elementarną, a γ, γ1 i γ2 są formułami atomowymi: 1. Sprawdż tautologiczność formuły α w matrycach. 2. Jeżeli formuła jest tautologią, to jest tezą. W przeciwnym przypadku α nie jest tezą. II. Formuła α nie podpada pod przypadek I, ale jest formułą klauzulową, tzn. przyjmuje postać: β → γ1 ∨ . . . ∨ γn, n - 0: 1. Znajdź wszystkie formuły o postaci β → γi∨γj, takie że 1 ¬ i < j ¬ n. 2. Do każdej z nich zastosuj procedurę z punktu I. 3. Jeżeli przynajmniej jedna z rozpatrzonych formuł jest tezą, to α jest tezą. W przeciwnym wypadku α nie jest tezą. III. Formuła α nie jest formułą klauzulową: 1. Znajdź koniunkcję formuł klauzulowych α1 ∧ . . . ∧ αm, równoważną α w KRZ. 2. Do każdej z formuł klauzulowych αk (1 ¬ k ¬ m) zastosuj procedurę z punktu II. 3. Jeżeli wszystkie rozpatrzone formuły są tezami, to α jest tezą. W przeciwnym wypadku α nie jest tezą. 200 Matrycowe procedury rozstrzygania 5.7 Porównanie modeli z innymi podejściami W pracy [18] Johnson bada w ramach sylogistyki ze standardowym rozumieniem funktorów, odwołującym się do stosunków miedzyzakresowych, z semantyką taką jak system Łuk, specyficzny rodzaj wyprowadzeń, w których występują konstrukcje nazywane przez Johnsona łańcuchami sylogistycznymi. Przedstawimy ten rezultat w stylizacji językowej, którą posługujemy się w niniejszej pracy. W świetle rozważań z Rozdziału 1 jest to prezentacja równoważna. Rozważmy formuły o postaci at(X1,X2)∧. . .∧at(Xn−1,Xn)→ at(X1,Xn), gdzie at(Xi,Xi+1)(1 ¬ i < n) jest atomem zbudowanym przy użyciu jednego z funktorów sylogistyki a, i, e lub o oraz zmiennych Xi i Xi+1 w dowolnej kolejności, a dla każdych k, l(1 ¬ k, l < n), Xk i Xl są różnymi zmiennymi. Jeżeli taka formuła nie jest tezą systemu Łuk, to można znaleźć model M = (D, I2, v), w którym D jest zbiorem trzyelementowym. W niniejszej pracy badamy także ograniczenia rozmiaru modeli dla specyficznych formuł, w naszym przypadku formuł hornowskich. W ich przypadku jednak udaje się ograniczyć dziedzinę modelu do zbioru złożonego z dwóch elementów. W pracy [43] Pietruszczak przeprowadza bardziej systematyczną analizę wielkości modeli w różnych systemach rachunku nazw, różniących się występującymi w nich funktorami z bogatego zbioru obejmującego funktory znane z sylogistyki i Ontologii Leśniewskiego oraz sumę i iloczyn nazw. Rezultaty określają tam rozmiar modelu dla dowolnych formuł w zależności od liczby występujących w formule zmiennych. Wśród wielu analizowanych systemów występują również odpowiedniki systemów B oraz OntSyl. W przypadku systemu B rozmiar dziedziny modelu wyrażony jest wzorem: 1 2 n(n+ 1), natomiast dla systemu OntSyl: 1 2 n(n+ 3), gdzie w obu przypadkach n jest liczbą zmiennych występujących w formule. W niniejszej pracy rozmiary modeli, pozwalające na budowę procedury decyzyjnej, są znacznie mniejsze. W przypadku systemu B dziedzina zawiera trzy elementy, a w przypadku OntSyl oraz Stnd, na bazie którego można zrekonstruować system B – dwa. Jej rozmiar jest niezależny od liczby Porównanie modeli z innymi podejściami 201 zmiennych. Jednakże modele tu wykorzystane są stosowane jedynie do formuł hornowskich. W związku z tym w procedurze decyzyjnej dla dowolnych formuł występuje jeszcze przekształcenie syntaktyczne formuły do postaci normalnej i w związku z tym otrzymanych rezultatów nie można wprost porównywać. Warto jednak przy tym zwrócić uwagę, że to formuły hornowskie mogą być wykorzystane jako podstawa do budowania reguł wnioskowania i dlatego odgrywają szczególną rolę w formalizacji rachunku nazw.

Zakończenie Podstawowym zadaniem, które miała zrealizować niniejsza rozprawa było zaprezentowanie bogactwa aksjomatycznych systemów rachunku nazw. Przedstawiono w tym celu, w jednolity sposób, szereg znanych systemów rachunku nazw oraz kilka nowych systemów skonstruowanych przez Autora niniejszej pracy. Prezentacja każdego z nich zawiera aksjomatyzację, uzupełniający go system aksjomatycznego odrzucania oraz adekwatną charakterystykę teoriomodelową. Dla części przedstawiono również procedurę decyzyjną opartą o matryce. Do systemów skonstruowanych przez Autora należą systemy określane jako sylogistyka dowodowa oraz systemy, które umieścić można pomiędzy systemami sylogistyki Słupeckiego i Łukasiewicza. Dodatkowo nowością jest aksjomatyczne odrzucanie dla systemów z funktorem ε Leśniewskiego oraz systemu Brentany, teoriomodelowa charakterystyka systemu Słupeckiego oraz wskazanie zależności pomiędzy aksjomatyką odrzuceniową a procedurami decyzyjnymi opartymi o modele dla formuł hornowskich. Interesującym odkryciem jest to, że systemy sylogistyki dowodowej z aksjomatami niewiele różniącymi się od systemów standardowych, nie posiadają w odróżnieniu od nich skończonej aksjomatyzacji odrzuceniowej. Interesujące jest również to, że systemy Łuk i Stnd mają modele w dziedzinie dwuelementowej, a dla systemów B i Słp potrzebna jest dziedzina trzyelementowa. Przedstawiając różne systemy aksjomatyczne rachunku nazw, nie staramy się wskazywać, który z nich jest właściwy bądź lepszy od innych. Wybór pomiędzy nimi pozostawiamy Czytelnikowi. Kryteria wyboru mogą być różne. Między innymi wymienić można posiadane intuicje dotyczące sensu funktorów rachunku nazw, zgodność z ich sposobem używania w języku naturalnym, zgodność z rozumieniem funktorów w ujęciu historycznym, względy praktyczne związane z budowaniem dowodów i wykonywaniem obliczeń. Przedstawione analizy powinny być pomocne w dokonywaniu wyboru kie204 Zakończenie rowanego każdym z wymienionych kryteriów. Sens funktorów w przedstawianych systemach naświetlany jest wielostronnie – poprzez system aksjomatyczny, aksjomatyczny system odrzucania, a więc wskazanie na formuły, które nie mają być ujęte w systemie, teoriomodelową strukturę odpowiadającą systemowi, a więc formalną jego semantykę. Z kolei dokonanie wyboru kierowane kryteriami obliczeniowymi wspierane jest przez rezultaty dotyczące rozmiaru dziedziny, w której określony jest model dla systemu, oraz rozmiaru matrycy potrzebnej do zdefiniowania procedury decyzyjnej. Oczywiście, przedstawione rezultaty mogą stanowić punkt wyjścia dla dalszych badań. Interesujące wydają się szczególnie trzy kierunki. Pierwszym z nich jest rozszerzanie przedstawionego podejścia do rachunku nazw na systemy zawierające funktory nazwotwórcze – negację nazwową, sumę oraz iloczyn nazw oraz relacje. Drugi kierunek to dokładniejsze zbadanie przestrzeni pośrednich systemów rachunku nazw, rozciągającej się pomiędzy znanymi powszechnie systemami. W niniejszej pracy przedstawiono jedynie ogólny plan tej przestrzeni. Godne uwagi mogą się okazać nie tylko poszczególne systemy, które można tam odnaleźć, ale również ogólne własności samej ich struktury. W końcu trzeci możliwy kierunek to badania dotyczące stosowalności systemów rachunku nazw. W szczególności, jedną z domen zastosowania mogą tu być klasyfikacje pojęć występujące w kontekście tworzenia systemów informatycznych. Dodatek A Zestawienie systemów aksjomatycznych A.1 Systemy sylogistyki We wszystkich poniższych systemach regułami wyprowadzania są MP i Sub, a regułami odrzucania – MP−1 i Sub−1. We wszystkich systemach oprócz systemu B występuje dodatkowo reguła Comp−1, a w systemie B reguła SC−1. System Łuk Aksjomaty: (2.1) SaS (2.2) SiS (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP Aksjomat odrzucony: (2.10) PaM ∧ SaM → SiP 206 Zestawienie systemów aksjomatycznych System Stnd Aksjomaty: (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.6) SaP → SiP (2.18) SiP → SaS Aksjomaty odrzucone: (2.10) PaM ∧ SaM → SiP (2.24) PaP → SiS System B Aksjomaty: (2.1) SaS (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.26) SiP → SiS (2.27) SaP ∨ SiS Aksjomat odrzucony: (2.57) MaS ∧MaP ∧MaQ ∧ SaR ∧ PaR ∧RaN ∧QaN∧ SiS ∧ PiP ∧QiQ→ SiP ∨RiQ System B-horn Aksjomaty: (2.1) SaS (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.26) SiP → SiS Aksjomaty odrzucone: (2.53) SiS ∧ PiP ∧ SaM ∧ PaM → SiP (2.54) PiP ∧ SaP → SiS Systemy sylogistyki 207 System Słp Aksjomaty: (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.5) PiS → SiP (2.6) SaP → SiP Aksjomaty odrzucone: (4.3) PaM ∧ SaM → SiP (4.4) SaS ∧ SaM ∧MaP ∧ PaP →MaM (4.5) SaS ∧ SaM ∧ PaP ∧ PaM ∧MaM → SiP System D1 Aksjomaty: (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.5) PiS → SiP (2.6) SaP → SiP (4.7) ¬SaS Aksjomaty odrzucone (schematy): (4.12) S1iS1 ∧ α ∧ SmaM1 ∧ P1iP1 ∧ β ∧ PnaM1 ∧ γ → SmiPn (4.17) δ → SiS gdzie α ∈ dL(S1, Sm), β ∈ dL(P1, Pn), γ ∈ dL(M1,Mk) oraz α, β i γ nie zawierają wspólnych zmiennych, a δ ∈ dL(S, P ). System D2 Aksjomaty: (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.5) PiS → SiP (2.6) SaP → SiP (4.7) ¬SaS (2.26) SiP → SiS 208 Zestawienie systemów aksjomatycznych Aksjomaty odrzucone: (4.16) α ∧ SmaM1 ∧ β ∧ PnaM1 ∧ γ → SmiPn (4.17) δ →MiM gdzie α ∈ dL(S1, Sm), β ∈ dL(P1, Pn), γ ∈ dL(M1,Mk) oraz α, β i γ nie zawierają wspólnych zmiennych, a δ ∈ dL(S, P ) i M nie występuje w δ. System D3 Aksjomaty: (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.6) SaP → SiP (4.7) ¬SaS (2.2) SiS Aksjomat odrzucony (schemat): (4.16) α ∧ SmaM1 ∧ β ∧ PnaM1 ∧ γ → SmiPn gdzie α ∈ dL(S1, Sm), β ∈ dL(P1, Pn), γ ∈ dL(M1,Mk) oraz α, β i γ nie zawierają wspólnych zmiennych. System Słp+ Aksjomaty: (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.5) PiS → SiP (4.4) SaS ∧ SaM ∧MaP ∧ PaP →MaM (2.2) SiS Aksjomaty odrzucone: (4.5) SaS ∧ SaM ∧ PaP ∧ PaM ∧MaM → SiP (4.25) S1aS2 ∧ . . . ∧ Sn−1aSn ∧ SnaP ∧ PaP → SnaSn(n - 2) Systemy Ontologii 209 System Łuk− Aksjomaty: (2.3) MaP ∧ SaM → SaP (2.4) MaP ∧MiS → SiP (2.6) SaP → SiP (2.18) SiP → SaS (4.27) SaS →MiM Aksjomaty odrzucone: (2.10) PaM ∧ SaM → SiP (2.18) SaS A.2 Systemy Ontologii We wszystkich poniższych systemach regułami wyprowadzania są MP i Sub, a regułami odrzucania – MP−1, Sub−1 i Comp−1. System OntP Aksjomaty: (3.1) SεP → SεS (3.2) SεM ∧MεP → SεP (3.3) SεP ∧ PεM → PεS Aksjomat odrzucony: (3.4) PεM ∧ SεM → SεP System OntSol Aksjomaty: (3.1) SεP → SεSS (3.2) SεM ∧MεP → SεP (3.3) SεP ∧ PεM → PεS (3.10) sol(S) ∧ PεS → SεS (3.11) SεS → sol(S) Aksjomaty odrzucone: (3.4) PεM ∧ SεM → SεP (3.13) sol(S) ∧ PεP → SεS 210 Zestawienie systemów aksjomatycznych System OntSyl Aksjomaty: (3.17) SεP → SεS (3.18) SεP → SaP (3.19) SaM ∧MεP → SεP (3.20) SiP ∧ PεP → PεS (3.21) PiS → SaS (3.22) SaP → SiP (3.23) SaM ∧MaP → SaP (3.24) SiM ∧MaP → PiS Aksjomaty odrzucone: (3.43) SεM ∧ PεM → SiP (3.44) PεP → SiS Dodatek B Program do tworzenia dowodów założeniowych /* Plik dowody.pl */ /* Wyprowadzenia w systemie */ wyprowadzenie(Lista_ax,Nr_formuly):retractall(axs(_,_)), maplist(zapis_ax,Lista_ax), ax(Formula,Nr_formuly), podstaw(Formula,a), dowod(Formula), retractall(axs(_,_)), !. zapis_ax(Nr) :ax(Formula,Nr), assert(axs(Formula,Nr)). podstaw(P,X):term_variables(P,LVAR), reset_gensym(X), maplist(gensym(X),LVAR). /* dowody */ dowod(c(Przeslanki,Konkluzja)) :retractall(zapis_dowodu(_)), zapis_przeslanek(Przeslanki), generacja_dowodu(Konkluzja), prezent(Konkluzja,Dowod1), 212 Program do tworzenia dowodów założeniowych retractall(zapis_dowodu(_)), numers(Dowod1,Dowod2), numers2(Dowod2,Dowod), liniowanie(Dowod),nl,nl, !. dowod(_). % zapisanie przesłanek zapis_przeslanek([]). zapis_przeslanek([H|T]) :assertz(zapis_dowodu(k(H,przeslanka,[]))), zapis_przeslanek(T). % zakończenie dowodu generacja_dowodu(Konkluzja) :zapis_dowodu(k(Konkluzja,_,_)), !. % generowanie kolejnych kroków dowodu generacja_dowodu(Konkluzja) :axs(c(Przeslanki_reg,Wniosek_reg),Nazwa), maplist(w_dowodzie,Przeslanki_reg), not(wystepuje(Wniosek_reg)), assertz(zapis_dowodu(k(Wniosek_reg,Nazwa,Przeslanki_reg))),!, generacja_dowodu(Konkluzja). % brak dowodu generacja_dowodu(_) :retractall(zapis_dowodu(_)), nl, write('brak dowodu'),nl, !. % kontrola dołączania nowych wierszy do dowodu (eliminacja powtórzeń) wystepuje(F) :w_dowodzie(D), subsumes(D,F), !. w_dowodzie(F) :zapis_dowodu(k(F,_,_)). % PREZENTACJA DOWODU - % Wybór potrzebnych wierszy, powiązanie ich i graficzna prezentacja % w bazie zapisane kroki dowodu jako % zapis_dowodu(k(krok,regula,przeslnki) prezent(Konkluzja,Dowod):Program do tworzenia dowodów założeniowych 213 zapis_dowodu(k(Konkluzja,Regula,Przesl)), uzup([[k(Konkluzja,Regula,Przesl)]],Dow), list_to_set(Dow,Dowod), !. prezent(_,Dowod):zapis_dowodu(k(sprzecznosc,Regula,Przesl)), uzup([[k(sprzecznosc,Regula,Przesl)]],Dow), list_to_set(Dow,Dowod). uzup([[]|T],D):- !, append(T,D). uzup([H|T],D):dol(H,PH), uzup([PH,H|T],D). dol([],[]). dol([k(_,przeslanka,_)|T],PT):dol(T,PT). dol([k(_,_,Lista)|T],D):dol_kroki(Lista,Kroki), append(Kroki,PT,D), dol(T,PT). dol_kroki([],[]). dol_kroki([H|T],[k(H,N,L)|KT]):zapis_dowodu(k(H,N,L)), dol_kroki(T,KT). numers2(D,DN):nums2(D,D,DN), !. nums2(_,[],[]). nums2(D,[j(N,k(A,B,L))|T1],[j(N,k(A,B,LN))|T2]):nums_list(D,L,LN), nums2(D,T1,T2), !. nums_list(_,[],[]). nums_list(D,[F|T1],[N|T2]):member(j(N,k(F,_,_)),D), nums_list(D,T1,T2). 214 Program do tworzenia dowodów założeniowych wypisanie_wiersza_dowodu(k(W1,przeslanka,_)):write(' '), write(W1), write(' '), write('przesłanka'), !. wypisanie_wiersza_dowodu(k(W1,W2,[])):write(' '), write(W1), write(' formuła '), write(W2), !. wypisanie_wiersza_dowodu(k(W1,W2,W3)):write(' '), write(W1), write(' formuła '), write(W2), write(': '), write(W3). liniowanie([j(_,W)]):nl,write(' '),wypisanie_wiersza_dowodu(W). liniowanie([j(N,W),H|T]):nl,write(N),write('. '),wypisanie_wiersza_dowodu(W), liniowanie([H|T]). numers(Dowod,Dowod_numerowany):length(Dowod,N), numlist(1,N,L), join(L,Dowod,Dowod_numerowany). join([],[],[]). join([H1|T1],[H2|T2],[j(H1,H2)|T]):join(T1,T2,T). /**********************************************/ /* DYREKTYWY DLA KOMPILATORA */ /**********************************************/ :dynamic zapis_dowodu/1, num_dek/1, axs/2. /**********************************************/ /* Plik aksjomaty.pl */ % Aksjomaty sylogistyk ax(c([a(S,P)],i(S,P)),1). ax(c([i(S,P)],i(P,S)),2). ax(c([a(M,P),a(S,M)],a(S,P)),3). ax(c([a(M,P),i(S,M)],i(S,P)),4). Program do tworzenia dowodów założeniowych 215 ax(c([a(M,P),a(P,P)],i(M,M)),5). ax(c([i(M,P),a(P,P),a(M,S)],i(M,M)),6). ax(c([a(S,S),a(M,P)],i(M,M)),7). ax(c([a(M,P)],i(M,M)),8). ax(c([i(M,P),a(P,P)],i(M,M)),9). ax(c([a(S,S),i(M,P),a(P,N)],i(M,M)),10). ax(c([i(M,P),a(P,N)],i(M,M)),11). ax(c([i(M,P),a(N,P)],i(M,M)),12). ax(c([i(M,P),i(P,P),a(S,S)],i(M,M)),13). ax(c([i(M,P),i(P,P),a(S,N)],i(M,M)),14). ax(c([i(M,P),a(S,S)],i(M,M)),15). ax(c([i(M,P),i(P,P)],i(M,M)),16). ax(c([i(M,P),a(N,S)],i(M,M)),17). ax(c([a(S,S)],i(M,M)),18). ax(c([i(S,S),i(M,P)],i(M,M)),19). ax(c([a(S,P)],i(M,M)),20). ax(c([i(M,P)],i(M,M)),21). ax(c([i(S,S)],i(M,M)),22). ax(c([i(S,P)],i(M,M)),23). ax(c([],i(S,S)),24). ax(c([a(S,S),a(S,M),a(M,P),a(P,P)],a(M,M)),25). ax(c([a(S,S),a(S,M),a(M,P)],a(M,M)),26). ax(c([i(S,S),a(S,M),a(M,P),a(P,P)],a(M,M)),27). ax(c([a(S,S),a(S,M)],a(M,M)),28). ax(c([i(S,S),a(S,M),a(M,P),a(N,N)],a(M,M)),29). ax(c([i(S,S),a(S,M),a(M,P)],a(M,M)),30). ax(c([a(S,M),a(M,P),a(P,P)],a(M,M)),31). ax(c([i(S,S),a(S,M),a(N,N)],a(M,M)),32). ax(c([a(S,M),a(P,P),a(S,P)],a(M,M)),33). ax(c([a(S,M),a(M,P)],a(M,M)),34). ax(c([i(S,S),a(S,M)],a(M,M)),35). ax(c([i(M,P),a(P,P),a(S,M)],a(M,M)),36). ax(c([a(S,M),a(P,P)],a(M,M)),37). ax(c([a(S,M)],a(M,M)),38). ax(c([i(M,M),a(M,P),a(P,P)],a(M,M)),39). ax(c([i(M,M),a(M,P),a(S,S)],a(M,M)),40). ax(c([i(M,M),a(N,N),i(M,N)],a(M,M)),41). ax(c([i(M,M),a(M,P)],a(M,M)),42). ax(c([i(M,M),a(S,S)],a(M,M)),43). ax(c([i(M,M),i(M,P),a(P,N)],a(M,M)),44). ax(c([i(M,M),a(S,P)],a(M,M)),45). ax(c([i(M,M)],a(M,M)),46). ax(c([a(M,P),a(P,P)],a(M,M)),47). 216 Program do tworzenia dowodów założeniowych ax(c([i(M,P),a(P,P),a(M,S)],a(M,M)),48). ax(c([a(M,P),a(N,N)],a(M,M)),49). ax(c([a(M,P)],a(M,M)),50). ax(c([i(M,P),a(P,P)],a(M,M)),51). ax(c([i(M,P),a(P,N),a(S,S)],a(M,M)),52). ax(c([i(M,P),a(P,N)],a(M,M)),53). ax(c([i(M,P),i(P,P),a(S,S)],a(M,M)),54). ax(c([i(M,P),i(P,P),a(S,N)],a(M,M)),55). ax(c([i(M,P),a(S,S)],a(M,M)),56). ax(c([i(M,P),i(P,P)],a(M,M)),57). ax(c([i(M,P),a(N,S)],a(M,M)),58). ax(c([a(S,S)],a(M,M)),59). ax(c([i(M,P),i(S,S)],a(M,M)),60). ax(c([a(S,P)],a(M,M)),61). ax(c([i(M,P)],a(M,M)),62). ax(c([i(S,S)],a(M,M)),63). ax(c([i(S,P)],a(M,M)),64). ax(c([],a(S,S)),65). Dodatek C Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 89 ?proofs. formuła 6: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], i(X1, X1)) formuła 5: c([a(X1, X2), a(X2, X2)], i(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. a(a2, a2) przesłanka i(a1, a1) formuła 6: [2, 3, 1] formuła 7: c([a(X1, X1), a(X2, X3)], i(X2, X2)) formuła 6: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], i(X1, X1)) 1. a(a2, a2) przesłanka 2. a(a1, a3) przesłanka i(a1, a1) formuła 7: [1, 2] formuła 9: c([i(X1, X2), a(X2, X2)], i(X1, X1)) formuła 6: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka i(a1, a1) formuła 9: [1, 2] formuła 8: c([a(X1, X2)], i(X1, X1)) formuła 7: c([a(X1, X1), a(X2, X3)], i(X2, X2)) 1. a(a2, a3) przesłanka i(a2, a2) formuła 8: [1] 218 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu formuła 13: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) formuła 7: c([a(X1, X1), a(X2, X3)], i(X2, X2)) 1. a(a2, a3) przesłanka 2. i(a2, a3) formuła 1: [1] 3. i(a3, a2) formuła 2: [2] 4. i(a3, a3) formuła 4: [1, 3] 5. a(a1, a1) przesłanka i(a2, a2) formuła 13: [2, 4, 5] formuła 12: c([i(X1, X2), a(X3, X2)], i(X1, X1)) formuła 8: c([a(X1, X2)], i(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] i(a1, a1) formuła 12: [2, 1] formuła 10: c([a(X1, X1), i(X2, X3), a(X3, X4)], i(X2, X2)) formuła 9: c([i(X1, X2), a(X2, X2)], i(X1, X1)) 1. a(a2, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) przesłanka i(a1, a1) formuła 10: [1, 2, 1] formuła 11: c([i(X1, X2), a(X2, X3)], i(X1, X1)) formuła 10: c([a(X1, X1), i(X2, X3), a(X3, X4)], i(X2, X2)) 1. i(a2, a3) przesłanka 2. a(a3, a4) przesłanka i(a2, a2) formuła 11: [1, 2] formuła 13: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) formuła 10: c([a(X1, X1), i(X2, X3), a(X3, X4)], i(X2, X2)) 1. a(a3, a4) przesłanka 2. i(a3, a4) formuła 1: [1] 3. i(a4, a3) formuła 2: [2] 4. i(a4, a4) formuła 4: [1, 3] 5. a(a1, a1) przesłanka 6. i(a2, a3) przesłanka 7. i(a3, a3) formuła 13: [2, 4, 5] i(a2, a2) formuła 13: [6, 7, 5] formuła 12: c([i(X1, X2), a(X3, X2)], i(X1, X1)) Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 219 formuła 11: c([i(X1, X2), a(X2, X3)], i(X1, X1)) 1. a(a2, a3) przesłanka 2. i(a1, a2) przesłanka 3. i(a1, a3) formuła 4: [1, 2] i(a1, a1) formuła 12: [3, 1] formuła 14: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) formuła 12: c([i(X1, X2), a(X3, X2)], i(X1, X1)) 1. a(a3, a2) przesłanka 2. i(a3, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a3) formuła 2: [2] 4. i(a1, a2) przesłanka 5. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] i(a1, a1) formuła 14: [4, 5, 1] formuła 15: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) formuła 13: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) przesłanka i(a1, a1) formuła 15: [1, 2] formuła 14: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) formuła 13: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. i(a2, a2) przesłanka 3. a(a3, a3) przesłanka i(a1, a1) formuła 14: [1, 2, 3] formuła 17: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) formuła 14: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a4) przesłanka i(a1, a1) formuła 17: [1, 2] formuła 16: c([i(X1, X2), i(X2, X2)], i(X1, X1)) formuła 14: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. i(a2, a2) przesłanka i(a1, a1) formuła 16: [1, 2] 220 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu formuła 18: c([a(X1, X1)], i(X2, X2)) formuła 15: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) 1. a(a3, a3) przesłanka i(a1, a1) formuła 18: [1] formuła 17: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) formuła 15: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) przesłanka i(a1, a1) formuła 17: [1, 2] formuła 19: c([i(X1, X1), i(X2, X3)], i(X2, X2)) formuła 16: c([i(X1, X2), i(X2, X2)], i(X1, X1)) 1. i(a2, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) przesłanka i(a1, a1) formuła 19: [1, 2] formuła 20: c([a(X1, X2)], i(X3, X3)) formuła 17: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) 1. a(a3, a4) przesłanka i(a1, a1) formuła 20: [1] formuła 19: c([i(X1, X1), i(X2, X3)], i(X2, X2)) formuła 17: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) 1. a(a3, a4) przesłanka 2. i(a3, a4) formuła 1: [1] 3. i(a4, a3) formuła 2: [2] 4. i(a4, a4) formuła 4: [1, 3] 5. i(a1, a2) przesłanka i(a1, a1) formuła 19: [4, 5] formuła 20: c([a(X1, X2)], i(X3, X3)) formuła 18: c([a(X1, X1)], i(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka i(a2, a2) formuła 20: [1] formuła 21: c([i(X1, X2)], i(X1, X1)) formuła 19: c([i(X1, X1), i(X2, X3)], i(X2, X2)) Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 221 1. i(a2, a3) przesłanka i(a2, a2) formuła 21: [1] formuła 22: c([i(X1, X1)], i(X2, X2)) formuła 19: c([i(X1, X1), i(X2, X3)], i(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka i(a2, a2) formuła 22: [1] formuła 22: c([i(X1, X1)], i(X2, X2)) formuła 20: c([a(X1, X2)], i(X3, X3)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] i(a3, a3) formuła 22: [4] formuła 23: c([i(X1, X2)], i(X3, X3)) formuła 21: c([i(X1, X2)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka i(a1, a1) formuła 23: [1] formuła 23: c([i(X1, X2)], i(X3, X3)) formuła 22: c([i(X1, X1)], i(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka i(a2, a2) formuła 23: [1] formuła 24: c([], i(X1, X1)) formuła 23: c([i(X1, X2)], i(X3, X3)) i(a3, a3) formuła 24 formuła 26: c([a(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) formuła 25: c([a(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka 3. a(a2, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 26: [1, 2, 3] formuła 27: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 222 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu formuła 25: c([a(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka 2. i(a1, a1) formuła 1: [1] 3. a(a1, a2) przesłanka 4. a(a2, a3) przesłanka 5. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 27: [2, 3, 4, 5] formuła 28: c([a(X1, X1), a(X1, X2)], a(X2, X2)) formuła 26: c([a(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka a(a2, a2) formuła 28: [1, 2] formuła 29: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X2, X2)) formuła 26: c([a(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka 2. i(a1, a1) formuła 1: [1] 3. a(a1, a2) przesłanka 4. a(a2, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 29: [2, 3, 4, 1] formuła 48: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], a(X1, X1)) formuła 26: c([a(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. a(a1, a1) przesłanka 5. a(a2, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 48: [3, 4, 5] formuła 29: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X2, X2)) formuła 27: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka 3. a(a2, a3) przesłanka 4. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 29: [1, 2, 3, 4] formuła 31: c([a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 223 formuła 27: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a3) przesłanka 3. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 31: [1, 2, 3] formuła 32: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) formuła 28: c([a(X1, X1), a(X1, X2)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka 2. i(a1, a1) formuła 1: [1] 3. a(a1, a2) przesłanka a(a2, a2) formuła 32: [2, 3, 1] formuła 33: c([a(X1, X2), a(X3, X3), a(X1, X3)], a(X2, X2)) formuła 28: c([a(X1, X1), a(X1, X2)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a1, a1) przesłanka a(a2, a2) formuła 33: [1, 2, 2] formuła 30: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) formuła 29: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka 3. a(a2, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 30: [1, 2, 3] formuła 32: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) formuła 29: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka 3. a(a4, a4) przesłanka a(a2, a2) formuła 32: [1, 2, 3] formuła 40: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 29: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] 224 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 5. a(a2, a3) przesłanka 6. a(a4, a4) przesłanka a(a2, a2) formuła 40: [4, 5, 6] formuła 34: c([a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) formuła 30: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 34: [1, 2] formuła 35: c([i(X1, X1), a(X1, X2)], a(X2, X2)) formuła 30: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka a(a2, a2) formuła 35: [1, 2] formuła 33: c([a(X1, X2), a(X3, X3), a(X1, X3)], a(X2, X2)) formuła 31: c([a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a2, a3) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka 3. a(a3, a3) przesłanka 4. a(a1, a3) formuła 3: [1, 2] a(a2, a2) formuła 33: [2, 3, 4] formuła 34: c([a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) formuła 31: c([a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 34: [1, 2] formuła 39: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 31: c([a(X1, X2), a(X2, X3), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] 5. a(a2, a3) przesłanka 6. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 39: [4, 5, 6] Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 225 formuła 35: c([i(X1, X1), a(X1, X2)], a(X2, X2)) formuła 32: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka a(a2, a2) formuła 35: [1, 2] formuła 37: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) formuła 32: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 37: [1, 2] formuła 36: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X3, X1)], a(X1, X1)) formuła 33: c([a(X1, X2), a(X3, X3), a(X1, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a3) przesłanka 2. i(a1, a3) formuła 1: [1] 3. a(a1, a2) przesłanka 4. i(a3, a1) formuła 2: [2] 5. i(a3, a2) formuła 4: [3, 4] 6. i(a2, a3) formuła 2: [5] 7. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 36: [6, 7, 3] formuła 38: c([a(X1, X2)], a(X2, X2)) formuła 34: c([a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka a(a2, a2) formuła 38: [1] formuła 42: c([i(X1, X1), a(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 34: c([a(X1, X2), a(X2, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] 5. a(a2, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 42: [4, 5] formuła 38: c([a(X1, X2)], a(X2, X2)) formuła 35: c([i(X1, X1), a(X1, X2)], a(X2, X2)) 226 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 1. a(a1, a2) przesłanka a(a2, a2) formuła 38: [1] formuła 37: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) formuła 36: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X3, X1)], a(X1, X1)) 1. a(a3, a1) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 37: [1, 2] formuła 41: c([i(X1, X1), a(X2, X2), i(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 36: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X3, X1)], a(X1, X1)) 1. a(a3, a1) przesłanka 2. i(a3, a1) formuła 1: [1] 3. i(a1, a3) formuła 2: [2] 4. i(a1, a1) formuła 4: [1, 3] 5. a(a2, a2) przesłanka 6. i(a1, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 41: [4, 5, 6] formuła 38: c([a(X1, X2)], a(X2, X2)) formuła 37: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka a(a2, a2) formuła 38: [1] formuła 43: c([i(X1, X1), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 37: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] 5. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 43: [4, 5] formuła 52: c([i(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X1, X1)) formuła 37: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. a(a3, a3) przesłanka a(a2, a2) formuła 52: [3, 1, 4] Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 227 formuła 44: c([i(X1, X1), i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 38: c([a(X1, X2)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] a(a2, a2) formuła 44: [4, 3, 1] formuła 40: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 39: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka 3. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 40: [1, 2, 3] formuła 41: c([i(X1, X1), a(X2, X2), i(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 39: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a1) przesłanka 3. a(a2, a2) przesłanka 4. i(a1, a2) formuła 1: [1] a(a1, a1) formuła 41: [2, 3, 4] formuła 47: c([a(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 39: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 47: [1, 2] formuła 42: c([i(X1, X1), a(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 40: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 42: [1, 2] formuła 43: c([i(X1, X1), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 40: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 228 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 2. a(a3, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 43: [1, 2] formuła 49: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 40: c([i(X1, X1), a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 49: [1, 2] formuła 43: c([i(X1, X1), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 41: c([i(X1, X1), a(X2, X2), i(X1, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 43: [1, 2] formuła 44: c([i(X1, X1), i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 41: c([i(X1, X1), a(X2, X2), i(X1, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. i(a1, a2) przesłanka 3. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 44: [1, 2, 3] formuła 51: c([i(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 41: c([i(X1, X1), a(X2, X2), i(X1, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 51: [1, 2] formuła 44: c([i(X1, X1), i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 42: c([i(X1, X1), a(X1, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a1, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 44: [1, 1, 2] formuła 50: c([a(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 42: c([i(X1, X1), a(X1, X2)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 50: [1] Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 229 formuła 45: c([i(X1, X1), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 43: c([i(X1, X1), a(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 45: [1, 2] formuła 54: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 43: c([i(X1, X1), a(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 54: [1, 1, 2] formuła 45: c([i(X1, X1), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 44: c([i(X1, X1), i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a2, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 45: [1, 2] formuła 53: c([i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 44: c([i(X1, X1), i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 53: [1, 2] formuła 46: c([i(X1, X1)], a(X1, X1)) formuła 45: c([i(X1, X1), a(X2, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka a(a1, a1) formuła 46: [1] formuła 55: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) formuła 45: c([i(X1, X1), a(X2, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a2, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 55: [1, 1, 2] formuła 57: c([i(X1, X2), i(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 46: c([i(X1, X1)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a1) przesłanka 230 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu a(a1, a1) formuła 57: [1, 1] formuła 48: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], a(X1, X1)) formuła 47: c([a(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 48: [2, 3, 1] formuła 49: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 48: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a3) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 49: [1, 2] formuła 51: c([i(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 48: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 51: [1, 2] formuła 50: c([a(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 49: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 50: [1] formuła 52: c([i(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X1, X1)) formuła 49: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. a(a3, a3) przesłanka 5. a(a2, a2) formuła 52: [3, 1, 4] a(a1, a1) formuła 52: [2, 5, 4] formuła 53: c([i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 50: c([a(X1, X2)], a(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 231 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. a(a2, a2) formuła 53: [3, 1] a(a1, a1) formuła 53: [2, 4] formuła 52: c([i(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X1, X1)) formuła 51: c([i(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 52: [1, 2, 2] formuła 53: c([i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 52: c([i(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 53: [1, 2] formuła 54: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 52: c([i(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X1, X1)) 1. a(a2, a3) przesłanka 2. i(a2, a3) formuła 1: [1] 3. i(a3, a2) formuła 2: [2] 4. i(a3, a3) formuła 4: [1, 3] 5. a(a4, a4) przesłanka 6. a(a2, a2) formuła 54: [2, 4, 5] 7. i(a1, a2) przesłanka 8. i(a2, a2) formuła 1: [6] a(a1, a1) formuła 54: [7, 8, 5] formuła 55: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) formuła 53: c([i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) 1. a(a2, a3) przesłanka 2. i(a2, a3) formuła 1: [1] 3. i(a3, a2) formuła 2: [2] 4. i(a3, a3) formuła 4: [1, 3] 5. a(a2, a2) formuła 55: [2, 4, 1] 6. i(a1, a2) przesłanka 7. i(a2, a2) formuła 1: [5] a(a1, a1) formuła 55: [6, 7, 1] formuła 55: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) formuła 54: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 232 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 1. i(a1, a2) przesłanka 2. i(a2, a2) przesłanka 3. a(a3, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 55: [1, 2, 3] formuła 56: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 54: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 56: [1, 2] formuła 57: c([i(X1, X2), i(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 55: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. i(a2, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 57: [1, 2] formuła 58: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) formuła 55: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a4) przesłanka a(a1, a1) formuła 58: [1, 2] formuła 58: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) formuła 56: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 58: [1, 2] formuła 59: c([a(X1, X1)], a(X2, X2)) formuła 56: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. a(a3, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 59: [1] formuła 60: c([i(X1, X2), i(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 57: c([i(X1, X2), i(X2, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. i(a2, a2) przesłanka Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 233 a(a1, a1) formuła 60: [1, 2] formuła 61: c([a(X1, X2)], a(X3, X3)) formuła 58: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) 1. a(a3, a4) przesłanka a(a1, a1) formuła 61: [1] formuła 60: c([i(X1, X2), i(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 58: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) 1. a(a3, a4) przesłanka 2. i(a3, a4) formuła 1: [1] 3. i(a4, a3) formuła 2: [2] 4. i(a1, a2) przesłanka 5. i(a4, a4) formuła 4: [1, 3] a(a1, a1) formuła 60: [4, 5] formuła 61: c([a(X1, X2)], a(X3, X3)) formuła 59: c([a(X1, X1)], a(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka a(a2, a2) formuła 61: [1] formuła 63: c([i(X1, X1)], a(X2, X2)) formuła 60: c([i(X1, X2), i(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a3, a3) przesłanka a(a1, a1) formuła 63: [1] formuła 62: c([i(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 60: c([i(X1, X2), i(X3, X3)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 62: [1] formuła 63: c([i(X1, X1)], a(X2, X2)) formuła 61: c([a(X1, X2)], a(X3, X3)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. i(a1, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a1) formuła 2: [2] 4. i(a2, a2) formuła 4: [1, 3] a(a3, a3) formuła 63: [4] 234 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu formuła 64: c([i(X1, X2)], a(X3, X3)) formuła 62: c([i(X1, X2)], a(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka a(a1, a1) formuła 64: [1] formuła 64: c([i(X1, X2)], a(X3, X3)) formuła 63: c([i(X1, X1)], a(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka a(a2, a2) formuła 64: [1] formuła 65: c([], a(X1, X1)) formuła 64: c([i(X1, X2)], a(X3, X3)) a(a3, a3) formuła 65 formuła 47: c([a(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 5: c([a(X1, X2), a(X2, X2)], i(X1, X1)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka 3. a(a1, a1) formuła 47: [1, 2] i(a1, a1) formuła 1: [3] formuła 48: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], a(X1, X1)) formuła 6: c([i(X1, X2), a(X2, X2), a(X1, X3)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka 3. a(a1, a3) przesłanka 4. a(a1, a1) formuła 48: [1, 2, 3] i(a1, a1) formuła 1: [4] formuła 49: c([a(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 7: c([a(X1, X1), a(X2, X3)], i(X2, X2)) 1. a(a2, a3) przesłanka 2. a(a1, a1) przesłanka 3. a(a2, a2) formuła 49: [1, 2] i(a2, a2) formuła 1: [3] formuła 50: c([a(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 8: c([a(X1, X2)], i(X1, X1)) Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 235 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a1, a1) formuła 50: [1] i(a1, a1) formuła 1: [2] formuła 51: c([i(X1, X2), a(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 9: c([i(X1, X2), a(X2, X2)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a2, a2) przesłanka 3. a(a1, a1) formuła 51: [1, 2] i(a1, a1) formuła 1: [3] formuła 52: c([i(X1, X2), a(X2, X3), a(X4, X4)], a(X1, X1)) formuła 10: c([a(X1, X1), i(X2, X3), a(X3, X4)], i(X2, X2)) 1. i(a2, a3) przesłanka 2. a(a3, a4) przesłanka 3. a(a1, a1) przesłanka 4. a(a2, a2) formuła 52: [1, 2, 3] i(a2, a2) formuła 1: [4] formuła 53: c([i(X1, X2), a(X2, X3)], a(X1, X1)) formuła 12: c([i(X1, X2), a(X3, X2)], i(X1, X1)) 1. a(a3, a2) przesłanka 2. i(a3, a2) formuła 1: [1] 3. i(a2, a3) formuła 2: [2] 4. i(a1, a2) przesłanka 5. a(a2, a2) formuła 53: [3, 1] 6. a(a1, a1) formuła 53: [4, 5] i(a1, a1) formuła 1: [6] formuła 54: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 13: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. i(a2, a2) przesłanka 3. a(a3, a3) przesłanka 4. a(a1, a1) formuła 54: [1, 2, 3] i(a1, a1) formuła 1: [4] formuła 55: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) formuła 14: c([i(X1, X2), i(X2, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 236 Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 2. i(a2, a2) przesłanka 3. a(a3, a4) przesłanka 4. a(a1, a1) formuła 55: [1, 2, 3] i(a1, a1) formuła 1: [4] formuła 56: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 15: c([i(X1, X2), a(X3, X3)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) przesłanka 3. a(a1, a1) formuła 56: [1, 2] i(a1, a1) formuła 1: [3] formuła 57: c([i(X1, X2), i(X2, X2)], a(X1, X1)) formuła 16: c([i(X1, X2), i(X2, X2)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. i(a2, a2) przesłanka 3. a(a1, a1) formuła 57: [1, 2] i(a1, a1) formuła 1: [3] formuła 58: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], a(X1, X1)) formuła 17: c([i(X1, X2), a(X3, X4)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a4) przesłanka 3. a(a1, a1) formuła 58: [1, 2] i(a1, a1) formuła 1: [3] formuła 59: c([a(X1, X1)], a(X2, X2)) formuła 18: c([a(X1, X1)], i(X2, X2)) 1. a(a1, a1) przesłanka 2. a(a2, a2) formuła 59: [1] i(a2, a2) formuła 1: [2] formuła 60: c([i(X1, X2), i(X3, X3)], a(X1, X1)) formuła 19: c([i(X1, X1), i(X2, X3)], i(X2, X2)) 1. i(a2, a3) przesłanka 2. i(a1, a1) przesłanka 3. a(a2, a2) formuła 60: [1, 2] i(a2, a2) formuła 1: [3] formuła 61: c([a(X1, X2)], a(X3, X3)) Wyprowadzenia dla formuł z Diagramu 237 formuła 20: c([a(X1, X2)], i(X3, X3)) 1. a(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) formuła 61: [1] i(a3, a3) formuła 1: [2] formuła 62: c([i(X1, X2)], a(X1, X1)) formuła 21: c([i(X1, X2)], i(X1, X1)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a1, a1) formuła 62: [1] i(a1, a1) formuła 1: [2] formuła 63: c([i(X1, X1)], a(X2, X2)) formuła 22: c([i(X1, X1)], i(X2, X2)) 1. i(a1, a1) przesłanka 2. a(a2, a2) formuła 63: [1] i(a2, a2) formuła 1: [2] formuła 64: c([i(X1, X2)], a(X3, X3)) formuła 23: c([i(X1, X2)], i(X3, X3)) 1. i(a1, a2) przesłanka 2. a(a3, a3) formuła 64: [1] i(a3, a3) formuła 1: [2] formuła 65: c([], a(X1, X1)) formuła 24: c([], i(X1, X1)) 1. a(a1, a1) formuła 65 i(a1, a1) formuła 1: [1] false. true.

Dodatek D Dowody niezależności dla formuł z Diagramu W związku z przechodniością relacji wyprowadzalności dla wskazania, że nie zachodzą między formułami umieszczonymi na diagramie żadne inne przypadki wyprowadzalności wystarczy pokazać, że relacja wyprowadzalności nie zachodzi pomiędzy formułami wymienionymi poniżej. Rozumowanie wskazujące na niezachodzenie wyprowadzalności jest takie same jak w dowodach twierdzeń o niezależności aksjomatów. W związku z tym ograniczymy się do wskazania interpretracji (najczęściej poprzez odpowiednie matryce) określających modele typu M, w których tautologiami są aksjomaty systemu Słp i pierwsza z pary rozpatrywanych formuł, a druga formuła tautologią nie jest oraz wartościowania ten ostatni fakt wykazującego, jeśli nie jest oczywiste. We wszystkich przypadkach interpretacja funktorów rachunku zdań jest klasyczna. Dla identyfikacji formuł będziemy posługiwali się ich numerami z Rysunku 4.1. 〈24〉 6` 〈25〉 Atomy o postaci X iY – 1, a atomy o postaci XaY według matrycy: a n1 n2 n3 n1 1 1 1 n2 0 0 1 n3 0 0 1 Formuła 〈25〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2, v(P ) = n3. 〈47〉 6` 〈26〉 Atomy o postaci X iY – 1, a atomy o postaci XaY według matrycy: 240 Dowody niezależności dla formuł z Diagramu a n1 n2 n3 n1 1 1 1 n2 0 0 1 n3 0 0 0 Formuła 〈26〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2, v(P ) = n3. 〈28〉 6` 〈27〉 Atomy o postaci X iY – 1, a atomy o postaci XaY według matrycy: a n1 n2 n3 n1 0 1 1 n2 0 0 1 n3 0 0 1 Formuła 〈27〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2, v(P ) = n3. 〈50〉 6` 〈28〉 Atomy o postaci X iY – 1, a atomy o postaci XaY według matrycy: a n1 n2 n1 1 1 n2 0 0 Formuła 〈28〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(M) = n2, v(S) = n1. 〈51〉 6` 〈29〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n4 n1 0 1 1 0 n2 0 0 1 0 n3 0 0 0 0 n4 0 0 0 1 i n1 n2 n3 n4 n1 1 1 1 0 n2 1 1 1 0 n3 1 1 1 0 n4 0 0 0 1 Formuła 〈29〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2, v(P ) = n3, a v(N) = n4. 〈59〉 6` 〈30〉 Atomy o postaci X iY – 1, a atomy o postaci XaY według matrycy: Dowody niezależności dla formuł z Diagramu 241 a n1 n2 n3 n1 0 1 1 n2 0 0 1 n3 0 0 0 Formuła 〈30〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2, v(P ) = n3. 〈35〉 6` 〈31〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n1 0 1 1 n2 0 0 1 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 0 1 1 n2 1 1 1 n3 1 1 1 Formuła 〈31〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2, v(P ) = n3. 〈33〉 6` 〈36〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n1 0 1 0 n2 0 0 0 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 0 1 0 n2 1 1 1 n3 0 1 1 Formuła 〈36〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2, v(P ) = n3. 〈38〉 6` 〈39〉 Atomy o postaci X iY – 1, a atomy o postaci XaY według matrycy: a n1 n2 n1 0 1 n2 0 1 Formuła 〈39〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(M) = n1, v(P ) = n2. 〈53〉 6` 〈43〉 Wszystkie atomy według matryc: 242 Dowody niezależności dla formuł z Diagramu a n1 n2 n1 1 0 n2 0 0 i n1 n2 n1 1 0 n2 0 1 Formuła 〈43〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n1, v(M) = n2. 〈61〉 6` 〈46〉 Atomy o postaci XaY – 0, a atomy o postaci X iY – 1. 〈46〉 6` 〈5〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n1 0 1 n2 0 1 i n1 n2 n1 0 1 n2 1 1 Formuła 〈5〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(M) = n1, v(P ) = n2. 〈47〉 6` 〈6〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n1 1 0 1 n2 0 0 1 n3 0 0 0 i n1 n2 n3 n1 1 1 1 n2 1 0 1 n3 1 1 1 Formuła 〈6〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n3, v(M) = n2, v(P ) = n1. 〈11〉 6` 〈7〉 oraz 〈51〉 6` 〈7〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n1 0 1 0 n2 0 0 0 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 0 1 0 n2 1 1 0 n3 0 0 1 Formuła 〈7〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n3, v(M) = n1, v(P ) = n2. 〈59〉 6` 〈8〉 Wszystkie atomy według matryc: Dowody niezależności dla formuł z Diagramu 243 a n1 n2 n1 0 1 n2 0 0 i n1 n2 n1 0 1 n2 1 1 Formuła 〈8〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(M) = n1, v(P ) = n2. 〈50〉 6` 〈9〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n1 1 0 n2 0 0 i n1 n2 n1 1 1 n2 1 0 Formuła 〈9〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(M) = n2, v(P ) = n1. 〈51〉 6` 〈10〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n4 n1 0 0 0 0 n2 0 0 1 0 n3 0 0 0 0 n4 0 0 0 1 i n1 n2 n3 n4 n1 0 1 1 0 n2 1 0 1 0 n3 1 1 1 0 n4 0 0 0 1 Formuła 〈10〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n4, v(M) = n1, v(P ) = n2, a v(N) = n3. 〈59〉 6` 〈11〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n1 0 0 1 n2 0 0 1 n3 0 0 0 i n1 n2 n3 n1 0 1 1 n2 1 0 1 n3 1 1 1 Formuła 〈11〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(N) = n3, v(M) = n1, v(P ) = n2. 〈53〉 6` 〈13〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n1 0 0 0 n2 0 0 0 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 0 1 0 n2 1 1 0 n3 0 0 1 244 Dowody niezależności dla formuł z Diagramu Formuła 〈13〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n3, v(M) = n1, v(P ) = n2. 〈57〉 6` 〈15〉 Wszystkie atomy według matryc: a n1 n2 n3 n1 0 0 0 n2 0 0 0 n3 0 0 1 i n1 n2 n3 n1 0 1 0 n2 1 0 0 n3 0 0 1 Formuła 〈15〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(S) = n3, v(M) = n1, v(P ) = n2. 〈62〉 6` 〈18〉 Zachodzi, ponieważ formuła 〈62〉 jest tezą systemu Stnd, a formuła 〈18〉 nie jest. 〈61〉 6` 〈16〉 Atomy o postaci XaY – 0, a atomy o postaci X iY według matrycy: i n1 n2 n1 1 1 n2 1 0 Formuła 〈16〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(P ) = n1, v(M) = n2. 〈63〉 6` 〈21〉 Atomy o postaci XaY – 0, a atomy o postaci X iY według matrycy: i n1 n2 n1 0 1 n2 1 0 Formuła 〈16〉 nie jest spełniona przy wartościowaniu v, w którym v(P ) = n2, v(M) = n1. 〈64〉 6` 〈24〉 Aksjomaty systemu Słp oraz formuła 〈64〉 są prawdziwe, a formuła 〈24〉 fałszywa w modelu, w którym wszystkie atomy są fałszywe. Bibliografia [1] K. Ajdukiewicz. Logika pragmatyczna. PWN, Warszawa, 1965. [2] Arystoteles. Dzieła wszystkie, volume 1. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1990. [3] A. Biela and A. Wojtylak. Automatyczne dowodzenie twierdzeń. Uniwersytet Śląski, Katowice, 1993. [4] L. Borkowski. Logika formalna. PWN, Warszawa, 1970. [5] L. Borkowski. Bezkwantyfikatorowy założeniowy system rachunku nazw. Część I. Roczniki Filozoficzne, 28(1):133–148, 1980. [6] L. Borkowski. Bezkwantyfikatorowy założeniowy system rachunku nazw. Część II. Roczniki Filozoficzne, 41(1):11–21, 1993. [7] J. Corcoran. Completeness of an ancient logic. The Journal of Symbolic Logic, 37:696–702, 1972. [8] J. Corcoran. Aristotle's natural deduction system. In Corcoran J., editor, Ancient Logic and Its Modern Interpretations, pages 1–100. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1974. [9] Z. Dywan. Denotacja u Arystotelesa i Fregego. In Omyła M., editor, Szkice z semiotyki i ontologii sytuacji, pages 11–28. Biblioteka Myśli Semiotycznej, Polskie Towarzystwo Semiotyczne, Warszawa, 1991. [10] G. Frege. Pisma semantyczne. PWN, Warszawa, 1977. [11] P.T. Geach. Logic Matters. Campus (University of California Press). University of California Press, 1980. [12] V. Goranko. Refutation systems in modal logic. Studia Logica, 53(2):299–324, 1994. [13] L. Gruszecki. U źródeł pojęć mnogościowych. Wydawnictwo KUL, Lublin, 2005. [14] A. Grzegorczyk. Zarys logiki matematycznej. PWN, Warszawa, 1969. [15] J. Heijenoort, editor. From Frege to Goedel: A Source Book in Mathematical Logic. Harward University Press, Cambridge Massachusetts, 1967. [16] A. Ishimoto. A propositional fragment of Lesniewski's Ontology. Studia Logica, 36:285–299, 1977. 246 Bibliografia [17] B. Iwanuś. O sylogistyce Arystotelesa. Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Matematyka, XXVIII:41–56, 1972. [18] F. Johnson. Three-membered domains for Aristotle's syllogistic. Studia Logica, 50:181–187, 1991. [19] T. Kotarbiński. Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk. Ossolineum, 1929. [20] R.A. Kowalski. Logic for Problem Solving. Elsevier, 1979. [21] P. Kulicki. Modele dla sylogistyki Arystotelesa w dziedzinie dwuelementowej. Roczniki Filozoficzne, XLVI-XLVII/I:239–242, 1998/1999. [22] P. Kulicki. Logika programowania a sylogistyka Arystotelesa. PhD thesis, KUL, 1999. [23] P. Kulicki. The use of axiomatic rejection. In T. Childers, editor, The Logica Yearbook 1999, pages 109–117. Filosofia, Prague, 2000. [24] P. Kulicki. Systemy sylogistyki dowodowej. Roczniki Filozoficzne, 58(1):139–153, 2010. [25] P. Kulicki. An axiomatisation of the pure calculus of names. Studia Logica, 1:to appear, 2011. [26] P. Kulicki. On a minimal system of Aristotle's Syllogistic. Bulletin of the Section of Logic, 1:1–14, 2011. [27] J. Lear. Aristotle's compactness proof. The Journal of Philosophy, 76:198–215, 1979. [28] E.J. Lemmon. Quantifiers and modal operators. Proceedings of the Aristotelean Society, 58:245–268, 1958. [29] W.J. Lloyd. Foundations of Logic Programming. Springer, 1987. [30] J. Łukasiewicz. O sylogistyce Arystotelesa. Sprawozdania z czynności i posiedzeń Polskiej Akademii Umiejętności, 44, Nr 6:220–227, 1939. [31] J. Łukasiewicz. Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. Clarendon Press, Oxford, 1957. [32] J. Łukasiewicz. Sylogistyka Arystotelesa z punktu widzenia współczesnej logiki formalnej. PWN, Warszawa, 1988. [33] G. Malinowski. Logiki wielowartościowe. PWN, Warszawa, 2006. [34] G. Marciszewski, editor. Mała encyklopedia logiki. PWN, Warszawa, 1988. [35] J.N. Martin. Aristotle's natural deduction revisited. History and Philosophy of Logic, 18:1–15, 1997. [36] S. McCall. Connexive implication. The Journal of Symbolic Logic, 31:415–433, 1966. [37] S. McCall. Connexive implication and the syllogism. Mind, 76:346–356, 1967. [38] J.C.C. McKinsey. The decision problem for some classes of sentences without quantifiers. The Journal of Symbolic Logic, 8:61–76, 1943. Bibliografia 247 [39] L.S. Moss. Completeness theorems for syllogistic fragments. In S. Kepser F. Hamm, editor, Logics for Linguistic Structures, pages 143–174. Mouton de Gruyter, Berlin, New York, 2008. [40] A. Pietruszczak. O logice tradycyjnej i rachunku nazw dopuszczającym podstawienia nazw pustych. Ruch Filozoficzny, 44:158–166, 1987. [41] A. Pietruszczak. O pewnym ujęciu logiki tradycyjnej. Acta Universitatis Nicolai Copernici, Logika I, pages 31–41, 1991. [42] A. Pietruszczak. Standardowe rachunki nazw z funktorem Leśniewskiego. Acta Universitatis Nicolai Copernici, Logika, I:5–29, 1991. [43] A. Pietruszczak. Cardinalities of models for pure calculi of names. Reports on Mathematical Logic, 28:87–102, 1994. [44] W. A. Pogorzelski. Elementarny słownik logiki formalnej. Dział Wydawnictw Filii Uniwersytetu Warszawskiego, Białystok, 1992. [45] K. Policki. Sylogistka typu Brentany i jej stosunek do Sylogistyki Arystotelesa. In R. Tomanek J. Krokos, K. Swiętorzecka, editor, W kierunku filozofii klasycznej. Inspiracje i kontynuacje, pages 485–501. Wydawnictwo UKSW, Warszawa, 2008. [46] I. Pratt-Hartmann and L.S. Moss. Logics for the relational syllogistic. The Review of Symbolic Logic, 2:1–37, 2009. [47] A.N. Prior. Formal Logic. Clerendon Press, Oxford, 1962. [48] V. F. Rickey. A survey of Leśniewski's logic. Studia Logica, 36:407–426, 1977. [49] J.A. Robinson. A machine oriented logic based on the resolution principle. Journal of the ACM, 12:23–41, 1965. [50] C. Rocha and J. Meseguer. A rewriting decision procedure for Dijkstra-Scholten's syllogistic logic with complements. Technical report, University of Illinois at Urbana-Champaign Computer Science Department, 12 2007. Dostępny jako: http://hdl.handle.net/2142/11411. [51] J.C. Shepherdson. On the interpretation of Aristotelian syllogistic. The Journal of Symbolic Logic, 21:137–147, 1956. [52] T. Skura. Syntactic refutations against finite models in modal logic. Notre Dame Journal of Formal Logic, 35(4):595–605, 1994. [53] T. Skura. A refutation theory. Logica Universalis, 3(2):293–302, 2009. [54] J. Słupecki. Uwagi o sylogistyce Arystotelesa. Annales UMCS, I:187–191, 1946. [55] J. Słupecki. Z badań nad sylogistyką Arystotelesa. Wroclaw, 1948. [56] J. Słupecki. S. Leśniewski's calculus of names. Studia Logica, 3:7–76, 1955. [57] J. Słupecki and G. Bryll. Proof of Ł-decidability of Lewis system S5. Studia Logica, 32:99–105, 1973. 10.1007/BF02123824. 248 Bibliografia [58] J. Słupecki, G. Bryll, and U. Wybraniec-Skardowska. Theory of rejected propositions. I. Studia Logica, 29(1), 1971. [59] J. Słupecki, G. Bryll, and U. Wybraniec-Skardowska. The theory of rejected propositions. II. Studia Logica, 30(1), 1972. [60] W. Suchoń. Sylogistyki klasyczne. Universitatis, Kraków, 1999. [61] M. Takano. Syntactical proof of translation and separation theorems on subsystems of elementary ontology. Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 37:129–138, 1991. [62] M. Tkaczyk. Zdania warunkowe w logice starożytnej. Kwartalnik Filozoficzny, 35(4):23–41, 2007. [63] M. Tkaczyk. Logika czasu empirycznego. Wydawnictwo KUL, 2009. [64] R. Urbaniak. Some non-standard interpretations of the axiomatic basis of Leśniewski's ontology. The Australasian Journal of Logic, 4:13–46, 2006. [65] T. Waragai. On the logical content of the weak law of extensionality and its relation to the successive simplification of the riginal axiom of Leśniewski's Ontology. Technical Report 2003-2, 2003. [66] T. Waragai and K. Oyamada. A system of ontology based on identity and partial ordering as an adequate logical apparatus for describing taxonomical structures of concepts. Annals of the Japan Association for Philosophy of Science, 15(2):123–149, 2007. [67] A. Wedberg. The Aristotelean theory of classes. Ajatus, 15:299–314, 1948. [68] D. Westerstahl. Aristotelean syllogisms and generalized quantifiers. Studia Logica, 48(4):577–585, 1989. [69] R. Wilson. Four colors suffice: How the map problem was solved. Princeton University Press, 2002. [70] R. Wójcicki. Dual counterparts of consequence operations. Bulletin of the Section of Logic, 2:54–57, 1973. [71] E. Wojciechowski. Bezkwantyfikatorowy rachunek nazw z regułą ekstensjonalności. Roczniki Filozoficzne, 56(1):417–429, 2008. [72] E. Wojciechowski. Negacja nazwowa a nieokreśloność i nieostrość nazw. Roczniki Filozoficzne, 58(1):281–290, 2010. Indeks rzeczowy łańcuch, 76, 79, 80, 102, 103, 110, 112– 114, 116, 117, 120, 121, 124, 150, 153, 177–179, 224, 226 ε-łańcuch, 131, 134, 139, 142, 152, 153 łańcuch prosty, 190, 192–194, 197, 204, 206 aksjomatyczne odrzucanie, 20, 64, 66–69 dowód założeniowy, 38, 54, 55 ekstensjonalność schemat dla KRZ, 36, 49 zasada w Ontologii, 170 formuła, 30–32, 36 atomowa (atom), 25, 31 definitywna, 32 elementarna, 31 hornowska, 31 klauzulowa, 32 implikacja, 22, 32, 63, 64 konektywna, 22 klauzula, 34, 35 literał, 34, 42, 44 model, 33, 35, 58, 59, 69–72 niespełnialny zbiór, 34–37 Ontologia Leśniewskiego, 24, 26, 28, 29, 61, 129–171 Ontologia elementarna, 169 Ontologia podstawowa, 169, 170 operacja konsekwencji, 33, 36, 39–41, 48, 64, 67 pełność, 34, 55–65 poprawność, 56, 65 postać klauzulowa, 36–38, 40, 46, 51, 52, 55 Prolog, 19, 55, 216 reguła dekompozycji Comp−1, 66–69, 77, 81–84, 87, 90, 99, 100, 132, 136, 140, 145, 153, 154, 161, 176, 186, 191, 198, 201, 203, 209, 211, 222, 226, 228, 231, 234, 257, 261 dekompozycji słaba SC−1, 104, 105, 249, 257 odrywania MP , 33, 39, 48, 66, 67, 69, 74, 80–83, 90, 136, 145, 161, 175, 186, 189, 198, 202, 209, 222, 226, 228, 231, 247, 257, 261 odrzucania przez odrywanie MP−1, 66–69, 77, 79, 80, 82, 83, 87, 88, 90, 99–103, 105, 112, 132, 134– 136, 140, 145, 153, 154, 156, 157, 159, 161, 176, 178, 186, 191, 192, 198, 201, 203, 209, 222, 223, 226, 228, 229, 231, 234, 257, 261 250 Indeks rzeczowy odrzucania przez podstawianie Sub−1, 66–69, 77, 79, 80, 82, 83, 87, 88, 90, 99–103, 105, 112, 132–136, 140, 141, 145, 153, 154, 156, 157, 159, 161, 176–178, 186, 191, 192, 198, 201, 203, 209, 222–224, 226, 228, 229, 231, 234, 257, 261 podstawiania Sub, 33, 37, 39, 45, 46, 48, 66, 67, 74, 80–83, 90, 136, 145, 161, 175, 186, 189, 198, 202, 209, 222, 226, 228, 231, 257, 261 rezolucji dla formuł Rezf , 37, 38, 45–47, 49, 123, 124 rezolucji dla klauzul Rezk, 35, 43 sylogizm, 20–23, 25, 50, 51, 61, 63, 64, 182, 188 system B, 93–127, 239, 249–253, 258 B-horn, 99–105, 239, 258–259 D1, 189–204, 208, 209, 259 D2, 202–209, 211, 260 D3, 209–212, 260 OntP, 130–139, 144, 145, 151, 160, 239–240, 262 Łuk, 74–89, 92, 93, 102, 174, 175, 177–180, 184, 202, 212, 219, 221, 222, 224, 229, 230, 237–238, 244, 251, 252, 257 Łuk−, 227–231, 246–247, 261 OntSyl, 149–168, 170, 241, 262–263 OntSyl?, 167–168 OntSol, 138–149, 240, 262 Słp+, 221–227, 261 Słp, 175–187, 189, 196, 197, 212, 216, 219–222, 228–230, 233, 241– 246, 249, 259 Stnd, 85–92, 95–97, 99, 150, 160, 167, 174, 175, 182, 184, 202, 221, 228, 231, 238, 240, 253, 258 B, 166 OntP, 240 wyprowadzenie, 33, 35, 39–41, 44, 46, 48, 53, 54, 69 zdanie kategoryczne, 21, 24–26 ogólnoprzeczące, 29 ogólnotwierdzące, 29, 74, 82, 90, 95, 166, 174, 189, 219 szczegółowoprzeczące, 29 szczegółowotwierdzące, 29, 82,