Isonomia – Epistemologica Volume 2 COMPLESSITÀ E RIDUZIONISMO Volume 1 Il Realismo Scientifico di Evandro Agazzi Mario Alai, ed. Volume 2 Complessità e Riduzionismo Vincenzo Fano, Enrico Giannetto, Giulia Giannini, Pierluigi Graziani, eds. ISONOMIA Epistemologica Series Editor Gino Tarozzi gino.tarozzi@uniurb.it COMPLESSITÀ E RIDUZIONISMO a cura di Vincenzo Fano Enrico Giannetto Giulia Giannini Pierluigi Graziani © ISONOMIA – Epistemologica All rights reserved. ISSN 2037-4348 Scientific Director: Gino Tarozzi Managing Director: Pierluigi Graziani Department of Foundation of Sciences P.za della Repubblica, 13 – 61029 Urbino (PU) http://isonomia.uniurb.it/ Design by massimosangoi@gmail.com All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted in any form, or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise without prior permission, in writing, from the publisher. Sommario VINCENZO FANO, ENRICO GIANNETTO, GIULIA GIANNINI, PIERLUIGI GRAZIANI Riflettendo su complessità e riduzionismo ................................................................ 1 GIAN-ITALO BISCHI Modelli dinamici per le scienze sociali ..................................................................... 7 LUCIANO BOI Remarks on the geometry of complex systems and self-organization ..................... 21 CLAUDIO CALOSI, VINCENZO FANO Coscienza e fisicalismo minimale ........................................................................... 37 SALVO D'AGOSTINO Newton, Ampère, Maxwell, Einstein: sulla deduzione dei fenomeni ...................... 47 PIERLUIGI GRAZIANI Elementare ma complessa: la prospettiva della complessità computazionale attraverso il caso studio della geometria di Tarski ................................................ 59 ARCANGELO ROSSI Dai modelli riduzionistici della realtà fisica nella scienza classica alla complessità nella scienza contemporanea .............................................................. 75 ROBERTO SERRA Complex Systems Biology ....................................................................................... 93 GIORGIO TURCHETTI Dai modelli fisici ai sistemi complessi .................................................................. 101 SERGIO CHIBBARO, LAMBERTO RONDONI, ANGELO VULPIANI Considerazioni sui fondamenti della meccanica statistica ...............................

© 2012Vincenzo Fano, Enrico Giannetto, Giulia Giannini, Pierluigi Graziani "Riflettendo su complessità e riduzionismo", in Complessità e riduzionismo, pp. 1-5 Published by Isonomia, Rivista online di Filosofia – Epistemologica – ISSN 2037-4348 Università degli Studi di Urbino Carlo Bo http://isonomia.uniurb.it/epistemologica 1 Riflettendo su complessità e riduzionismo Vincenzo Fano Università degli Studi di Urbino Carlo Bo vincenzo.fano@uniurb.it Enrico Giannetto Università degli Studi di Bergamo egiannet@unibg.it Giulia Giannini Centre Alexandre Koyré, Paris giulia.giannini@gmail.com Pierluigi Graziani Università degli Studi di Urbino Carlo Bo pierluigi.graziani@uniurb.it Il volume raccoglie gli atti della XIII Scuola Estiva di Filosofia della Fisica, tenutasi a Cesena dal 13 al 18 settembre 2010. A partire dal 1998, il Centro Interuniversitario di ricerca in Filosofia e Fondamenti della Fisica (Urbino, Bologna, Salento e Insubria) organizza annualmente una scuola estiva in collaborazione con la Società Italiana di Logica e Filosofia delle Scienze (SILFS) e il Comune di Cesena. La scuola, diventata ormai punto di riferimento annuale per studenti, insegnanti e studiosi di varie discipline, affronta ogni anno un tema differente invitando i maggiori esperti italiani sull'argomento. Dedicata a "Complessità e Riduzionismo", l'edizione del 2010 si è avvalsa anche della collaborazione della Scuola di Dottorato in Antropologia ed Epistemologia della Complessità dell'Università degli Complessità e riduzionismo 2 Studi di Bergamo che, dal 2002, promuove in Italia e nel mondo la formazione e il perfezionamento di ricercatori esperti nella complessità storica, filosofica e antropologica delle scienze naturali e umane. Come mostrano i contributi qui raccolti, durante i lavori della scuola, complessità e riduzionismo sono stati affrontati dai relatori a partire da prospettive diverse e sotto differenti punti di vista. Gian-Italo Bischi, dopo aver brevemente delineato la storia della progressiva matematizzazione dell'economia, si è concentrato soprattutto sull'utilizzo di modelli dinamici non lineari. Sviluppati inizialmente in ambito fisico e basati su equazioni di evoluzione, tali modelli deterministici vengono utilizzati per prevedere – ed eventualmente controllare – l'evoluzione temporale di sistemi reali. Secondo Bischi, la scoperta che modelli dinamici non lineari (tipici dei sistemi sociali che presentano continue interazioni e meccanismi di feed-back) possono esibire comportamenti di caos deterministico, caratterizzato dalla proprietà di amplificare in modo difficilmente prevedibile perturbazioni arbitrariamente piccole, ha suscitato un certo imbarazzo e nel contempo creato nuove possibilità. Imbarazzo perché la presenza di caos deterministico rende insostenibile l'ipotesi dell'agente economico razionale, ovvero capace di prevedere correttamente; ma apre anche nuove possibilità, poiché tale scoperta mostra che quei sistemi economici e sociali caratterizzati da fluttuazioni in apparenza casuali potrebbero in realtà essere governati da leggi del moto deterministiche (anche se non lineari). Se Bischi ha affrontato il tema della complessità in ambito economico, Salvo D'Agostino ha invece introdotto e approfondito il problema dei successi e dei fallimenti dell'assiomatizzazione in campo fisico. Uno degli aspetti più dibattuti della complessità sul versante scientifico e filosofico è infatti quello della supposta rinuncia a una generalizzazione dei procedimenti assiomatico-deduttivi come metodo generale della ricerca scientifica. A partire dalla considerazione che la fisica pre-relativistica è spesso stata considerata fondata prevalentemente sul trionfo di tale metodo, D'Agostino ha evidenziato la presenza di una posizione antagonista presente già in Newton e ripresa successivamente da Ampère e Maxwell. Alternativa al metodo assiomatico-deduttivo, tale prospettiva si fonda sul ricorso alla cosiddetta deduzione dai fenomeni. Una variazione sul tema, è stata individuata da D'Agostino anche nel contributo di Einstein in cui alla celebrazione del metodo assiomatico-deduttivo si contrappone una lode dell'osservazione dei fenomeni e della riflessione sugli esperimenti: è proprio ponendo il problema di una scelta o conciliazione fra le due che Fano, Giannetto, Giannini, Graziani: Riflettendo su complessità e riduzionismo 3 Einstein avrebbe, secondo D'Agostino, il merito di aver aperto la via al pensiero scientifico moderno. Sempre in ambito fisico, Arcangelo Rossi ha tracciato, da un punto di vista storico, il passaggio dai modelli riduzionistici che hanno caratterizzato lo studio delle realtà fisica nella scienza classica all'emergere della questione della complessità nella scienza contemporanea. In particolare, a partire dall'affermazione di Ernst Cassirer secondo cui la piena transizione da un'accezione sostantiva ed esplicativa dei modelli a una formale e funzionale sarebbe rintracciabile già alle origini della scienza moderna, Rossi ha mostrato come la visione della natura che emerge dalla scienza classica illuminista fosse comunque realista e riduzionista. Benché alcuni aspetti e alcune visioni non propriamente qualificabili come riduzioniste e meccaniciste siano già presenti all'interno della scienza classica, la tematica della complessità comincia a svilupparsi in fisica solo alla fine dell'Ottocento. Sergio Chibarro, Lamberto Rondoni e Angelo Vulpiani hanno affrontato il ruolo del caos e l'emergenza di proprietà collettive all'interno della meccanica statistica. In particolare, hanno mostrato l'esistenza di due posizioni nettamente diverse: da una parte il punto di vista "tradizionale", risalente a Boltzmann e parzialmente formalizzato da Khinchin, secondo cui la meccanica statistica sarebbe caratterizzata in primo luogo dall'enorme numero di gradi di libertà; dall'altro la scuola "moderna" cresciuta intorno a Prigogine e ai suoi collaboratori, che considera il caos come l'ingrediente fondamentale. Anche attraverso alcune simulazioni numeriche, gli autori hanno mostrato come anche all'interno della meccanica statistica si faccia avanti il problema della complessità e del riduzionismo. Sebbene i risultati di Khinchin non siano in grado di rispondere in modo definitivo a tutti i problemi sollevati dalla relazione fra termodinamica e meccanica statistica, il numero estremamente grande di gradi di libertà che tale approccio prende in considerazione permette l'emergere, nei sistemi macroscopici, di proprietà del tutto assenti in sistemi piccoli. Giorgio Turchetti ha introdotto il problema del passaggio dai modelli fisici ai sistemi complessi mostrando come i limiti che il disegno riduzionista incontra già per i sistemi fisici diventino decisamente più forti nel caso dei sistemi complessi. La grande differenza tra un sistema fisico e un sistema complesso risiederebbe infatti, secondo Turchetti, nel fatto che il primo, fissate le condizioni esterne, ha sempre le medesime proprietà, mentre il secondo cambia con il fluire del tempo, perché la sua organizzazione interna muta non solo al cambiare di fattori ambientali ma anche con il succedersi delle generazioni. È in tale prospettiva che egli Complessità e riduzionismo 4 giunge a definire complessi non tanto i sistemi caratterizzati da proprietà emergenti e da interazioni non lineari tra i loro componenti (definibili come sistemi dinamici), ma piuttosto i sistemi viventi o quelli di vita artificiale che ne condividono le proprietà essenziali. Il problema di complessità e riduzionismo in campo biologico è stato poi affrontato in maniera diretta da Luciano Boi e da Roberto Serra. Il primo ha mostrato come lo studio del comportamento dinamico delle strutture cellulari non possa essere descritto con sufficiente accuratezza né dalla convenzionale dinamica dell'equilibrio né da modelli statici e richieda quindi nuovi strumenti. In particolare, egli ha affrontato la necessità – per una comprensione del comportamento dei sistemi (dinamici) complessi – di un'adeguata conoscenza delle caratteristiche cinetiche e topologiche delle loro componenti. A differenza dello studio dei meccanismi molecolari, l'analisi del comportamento dinamico delle strutture cellulari non necessita tanto di una profonda e dettagliata conoscenza del comportamento di ogni singola molecola, ma piuttosto delle regole che governano il comportamento globale e collettivo dei sistemi. In consonanza con il contributo di Boi, Serra ha spiegato come la scienza dei sistemi complessi abbia mostrato l'esistenza di "leggi" in gran parte indipendenti dalle specifiche caratteristiche delle entità microscopiche che tuttavia ne descrivono il comportamento e l'interazione. Se la ricerca di proprietà generali ha ormai assunto una grande rilevanza in ambito fisico, nelle scienze biologiche si trova ancora nei suoi primi stadi di vita. Attraverso una serie di esempi, Serra ha mostrato come tale approccio, da considerarsi non in opposizione alla biologia molecolare classica ma a essa complementare, sembra però portare anche in ambito biologico a importanti e promettenti risultati. Emblematico in questo senso è per Serra il lavoro di Kauffman che rivela come un sistema dinamico di geni che interagiscono fra loro mostri delle proprietà di auto-organizzazione che spiegano alcuni aspetti della vita, fra cui l'esistenza di un numero limitato di tipi cellulari in ogni organismo multicellulare. Pierluigi Graziani ha affrontato invece il problema della complessità computazionale in riferimento alla decidibilità della geometria elementare di Tarski. A partire soprattutto dai lavori di Fisher, Rabin e Meyers e in confronto con il lavoro di Tarski, Graziani ha analizzato come il problema della decisione si trasformi nella determinazione di quanto tempo e spazio di memoria impieghi un algoritmo di decisione per una teoria a determinare se un enunciato della teoria ne sia o meno un teorema. In teoria della complessità computazionale, infatti, si assume che siano computazionalmente intrattabili quei compiti che richiedono risorse di Fano, Giannetto, Giannini, Graziani: Riflettendo su complessità e riduzionismo 5 tempo e spazio di memoria (le cosiddette risorse computazionali) che crescono esponenzialmente con la lunghezza dell'input; e che siano computazionalmente trattabili quelli che richiedono risorse che crescono al più in modo polinomiale con la lunghezza dell'input. In tale prospettiva, la complessità computazionale non concerne dunque quante risorse richiede lo svolgere un determinato compito, bensì quanto aumentano le risorse richieste al crescere delle dimensioni dei dati. Claudio Calosi e Vincenzo Fano hanno mostrato come il problema della complessità e del riduzionismo riguardi anche il rapporto fra psicologia e fisica. In particolare, hanno proposto qui un nuovo esperimento mentale che hanno chiamato Shem-Shaun – dal nome dei due gemelli protagonisti del Finnegan's Wake di Joyce – e che solleva un problema per il Fisicalismo minimale in filosofia della mente. Il fisicalismo minimale viene infatti caratterizzato come quella tesi secondo cui le proprietà mentali sopravvengono nomologicamente sulla proprietà fisiche, una forma di riduzionismo per cui, stabilite le proprietà fisiche del mondo, quelle mentali sarebbero necessariamente determinate. Gli autori sostengono che, o il Fisicalismo minimale è incapace di dare un resoconto adeguato dell'esperimento Shem-Shaun o ne deve dare un resoconto che è in forte tensione con la nostra attuale immagine scientifica del mondo. Nel loro insieme, i lavori presentati testimoniano da un lato la vivacità degli studi epistemologici sulla complessità e dall'altro l'importanza del concetto di complessità per la filosofia della scienza e, in particolare, della fisica. © 2012 Pierluigi Graziani "Elementare ma complessa: la prospettiva della complessità computazionale attraverso il caso studio della geometria di Tarski", in Complessità e riduzionismo, pp. 57-72 Published by Isonomia, Rivista online di Filosofia – Epistemologica – ISSN 2037-4348 Università degli Studi di Urbino Carlo Bo http://isonomia.uniurb.it/epistemologica 59 Elementare ma complessa: la prospettiva della complessità computazionale attraverso il caso studio della geometria di Tarski Pierluigi Graziani Università degli Studi di Urbino Carlo Bo pierluigi.graziani@uniurb.it Sul finire degli anni venti dello scorso secolo, nei suoi corsi all'Università di Varsavia, Alfred Tarski elaborò un sistema di assiomi per la geometria elementare (lo indicheremo con 2GET ) che presentò, con diverse semplificavzioni ed aggiunte, nei lavori The completeness of elementary algebra and geometry del 1940 (ma pubblicato solo nel 1967), A decision method for elementary algebra and geometry del 1948 e What is elementary geometry? del 19591. Il sistema elaborato da Tarski è per molte ragioni differente da quello hilbertiano2 e da altre assiomatizzazioni storicamente presentate3. Tale sistema, infatti, descrive un universo contenente solo punti e due relazioni tra elementi primitivi: quella di essere tra e quella di equidistanza. Tale scelta caratterizza una visione della geometria in cui le linee e i piani sono insiemi di punti e rende più facile il confronto con l'approccio algebrico in cui tutte le figure sono appunto viste come luoghi di punti, insiemi definibili di punti (nel piano, insiemi di coppie di numeri). Tuttavia, quella di Tarski è un'assiomatizzazione per la geometria elementare euclidea ovvero per quella parte della geometria euclidea non basata su nozioni insiemistiche e 1 Per un'analisi storica dell'assiomatizzazione tarskiana si veda l'articolo di Alfred Tarski e Steven Givant (1999). 2 Hilbert (2009). 3 Vedi Graziani (2001). Complessità e riduzionismo 60 che può essere sviluppata in un linguaggio in cui non si suppone – come nel linguaggio della geometria hilbertiana – di poter quantificare sui numeri naturali o su insiemi qualunque di punti4. Dunque, tutte le variabili x,y,z,... che occorrono in questa teoria sono assunte variare sopra elementi (punti) di un insieme fissato (spazio). Le costanti logiche della teoria sono i connettivi , , , , , ,¬ ⊃ ∨ ∧ ∃ ∀ e lo speciale predicato binario =, mentre come costanti non logiche o simboli primitivi della teoria abbiamo il predicato ternario β usato per denotare la relazione di essere tra ed il predicato quaternario δ usato per denotare la relazione di equidistanza. Leggeremo, dunque, la formula ( )xyzβ come y giace tra x e z (senza escludere il caso in cui y coincide con x o z); e la formula ( ), , ,x y z uδ come x è distante da y come z da u, vale a dire il segmento xy è congruo al segmento zu . Diamo dunque gli assiomi del sistema tarskiano, considerando per semplicità, l'assiomatizzazione per la geometria elementare del piano presentata in What is elementary geometry?.5 A1 (Assioma di identità per la relazione β ) ( ) ( )xy xyx x yβ∀ ⊃ =   A2 (Assioma di transitività per la relazione β ) ( ) ( ) ( )xyzu xyu yzu xyzβ β β∀ ∧ ⊃   A3 (Assioma di connessione per β ) 4 In 2GET non possiamo avere enunciati del tipo "per ogni poligono", ma solo enunciati che riguardano poligoni con un numero fissato di vertici. Per avere, infatti, enunciati del tipo "per ogni poligono" si dovrebbe arricchire il linguaggio di 2GET con nuove variabili X,Y,... varianti su insiemi finiti di punti. Ciò consentirebbe di avere simboli per denotare figure geometriche (insiemi di punti), classi di figure geometriche etc. L'assioma di continuità, che daremo tra breve, stabilisce l'esistenza su di una retta r di un minimo confine superiore per ogni insieme X definibile, non per insiemi arbitrari, dove dire che X è definibile significa che esiste una formula 1( , ,..., )nx y yα ed individui 1,..., nb b per cui in ogni modello A , [ ]{ }1: , ,..., ka a b b Xα∈ =A A ⊨ . Dai risultati di Tarski segue che in questa teoria non sono definibili i numeri naturali, altrimenti, via Teorema di Gödel, essa sarebbe incompleta. 5 È possibile estendere i risultati tarskiani per la geometria bidimensionale al caso di geometrie n dimensionali per un intero positivo n, modificando gli assiomi A11 e A12. Per maggiori delucidazioni su tali argomenti si veda l'articolo di Tarski e Givant (1999). Graziani: Elementare ma complessa 61 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyzu xyz xyu x y xzu xuzβ β β β∀ ∧ ∧ ≠ ⊃ ∨   A4 (Assioma di riflessività per δ ) ( )xy xyyxδ∀    A5 (Assioma di identità per δ ) ( ) ( )xyz xyzz x yδ∀ ⊃ =   A6 (Assioma di transitività per δ ) ( ) ( ) ( )xyzuvw xyzu xyvw zuvwδ δ δ∀ ∧ ⊃   A7 (Assioma di Pasch) A8 (Assioma di Euclide) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txyzu vw xut yuz x y xzv xyw vtwβ β β β β∀ ∃ ∧ ∧ ≠ ⊃ ∧ ∧   A9 (Assioma dei cinque segmenti) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] xx yy zz uu xyx y yzy z xux u yuy u xyz x y z x y zuz u δ δ δ δ β β δ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∀ ∧ ∧ ∧ ∧ ′ ′ ′ ′ ′∧ ∧ ∧ ≠ ⊃ A10 (Assioma di costruzione per segmenti) ( ) ( )xyuv z xyz yzuvβ δ∀ ∃ ∧   A11 (Assioma inferiore di dimensionalità) ( ) ( ) ( )xyz xyz yzx zxyβ β β∃ ¬ ∧ ¬ ∧ ¬   A12 (Assioma superiore di dimensionalità) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyzuv xuxv yuyv zuzv u v xyz yzx zxyδ δ δ β β β∀ ∧ ∧ ∧ ≠ ⊃ ∨ ∨   A13 (Assiomi elementari di continuità) Tutti gli enunciati della forma ( ) ( ){ }...vw z xy zxy u xy xuyφ ψ β φ ψ β∀ ∃ ∀ ∧ ⊃ ⊃ ∃ ∀ ∧ ⊃       ( ) ( ) ( ) ( )txyzu v xtu yuz xvy ztvβ β β β∀ ∃ ∧ ⊃ ∧   Complessità e riduzionismo 62 dove φ sta per una formula nella quale le variabili x,v,w,..., ma né y, né z, né u, occorrono libere, e similmente per ψ , con x ed y interscambiati. In generale – come in Hilbert l'assioma di continuità è un enunciato non elementare poiché contiene variabili del secondo ordine che variano su insiemi arbitrari di punti (in aggiunta a variabili del primo ordine che variano su punti), ovvero l'assioma di continuità può essere formulato come ( ) ( ){ }XY z xy x X y Y zxy u xy x X y Y xuyβ β∀ ∃ ∀ ∈ ∧ ∈ ⊃ ⊃ ∃ ∀ ∈ ∧ ∈ ⊃       e asserisce che due insiemi X e Y tali che gli elementi di X precedono gli elementi di Y rispetto ad un punto a (cioè ( )zxyβ ogni qual volta x è in X e y è in Y) sono separati da un punto u. Tarski sostituì questo assioma con A13, ovvero con una collezione infinita di assiomi elementari di continuità che ci danno la completezza di Dedekind solo per insiemi definibili. Dal punto di vista analitico, come Tarski dimostra, ciò significa che i modelli di 2GET saranno isomorfi a spazi cartesiani su campi che non necessariamente coincidono con R , ma con quelli che sono noti come campi reali chiusi. Torneremo più avanti su questo punto. Come è noto, l'importanza del sistema tarskiano risiede anche e soprattutto nel fatto che per esso è possibile dimostrare la coerenza, la completezza e la decidibilità. Intuitivamente, l'idea di Tarski è quella, dimostrata la coerenza, completezza e decidibilità della teoria dei campi reali chiusi ( CRCOT ), di interpretare 2GET in CRCOT provando la trasferibilità dei risultati di coerenza, completezza e decidibilità da CRCOT a 2 GET . In generale, dimostrando che CRCOT ha l'eliminazione dei quantificatori 6 Tarski dimostra la decidibilità dei campi reali chiusi. Per il fatto poi che: se CRCOT ha l'eliminazione dei quantificatori allora è model-completa e se è model-completa avendo un modello primo (un modello cioè che è sottostruttura elementare di ogni modello) allora è completa, Tarski dimostra anche la completezza di CRCOT . 6 Per chiarezza ricordiamo che una formula α è equivalente alla formula γ nella teoria T se α γ↔ T ⊢ e che T quindi ammette l'eliminazione dei quantificatori se ogni formula di T è equivalente in T ad una formula aperta. Per una introduzione alla Teoria dei Modelli si veda Hodges (1993); Keisler (1977). Per un'introduzione alla decidibilità si veda Rabin (1977). Si veda anche Renegar (1992). Graziani: Elementare ma complessa 63 La coerenza discende immediatamente dalla esistenza di un modello di CRCOT . 7 Più in dettaglio, per poter interpretare 2GET in CRCOT provando la trasferibilità dei risultati di coerenza, completezza e decidibilità da CRCOT a 2 GET , il primo passo da fare è risolvere il cosiddetto problema di rappresentazione per 2GET che consiste nel caratterizzare tutti i modelli di 2 GET , M,B,D=< >M tali che: (i) M è un insieme non vuoto; (ii) B e D sono, rispettivamente, una relazione ternaria e quaternaria su M; (iii) Tutti gli assiomi di 2GET valgono in M se tutte le variabili sono assunte variare su elementi di M e le costanti β e δ denotano, rispettivamente, le relazioni B e D. 7 Senza però ricorrere, come fa Tarski, al teorema di Sturm (si vedano, oltre ai lavori di Tarski: Jacobson 1985, vol. I, cap. 5; Prestel 1984), per dimostrare che CRCOT ha l'eliminazione dei quantificatori, è necessario e sufficiente, come mostrato da Shoenfield (1967), provare che essa soddisfa le due condizioni seguenti: Condizione dell'isomorfismo: per ogni due modelli A ed ∗ A di CRCOT e ogni isomorfismo φ di una sottostruttura di A e una sottostruttura di ∗A , esiste un'estensione di φ che è un isomorfismo di un sottomodello di A ed un sottomodello di ∗A ; Condizione del sottomodello: per ogni modello B di CRCOT , ogni sottomodello ∗ B di B e ogni formula chiusa semplicemente esistenziale α di ∗ B L abbiamo α α∗ ≡⊨ ⊨B B . Dimostrato che CRCOT soddisfa le due condizioni precedenti, è possibile dimostrare la model-completezza di CRCOT . Poiché è dimostrabile che se una teoria è model-completa ed ha un modello primo allora è completa, CRCOT è anche completa. La decidibilità di CRCOT scende dal fatto che la teoria è completa e assiomatizzata o dal fatto che la teoria dei campi ordinati reali chiusi ha l'eliminazione dei quantificatori. Attraverso l'eliminazione dei quantificatori, infatti, trasformiamo un dato enunciato α di T in un altro enunciato γ di T tale che T α γ↔⊢ e γ appartiene ad un insieme K di enunciati per i membri del quale possiamo in un numero finito di passi determinare se sono teoremi di T o no. Complessità e riduzionismo 64 Come evidenziato, i più familiari modelli di 2GET sono certamente gli spazi cartesiani bidimensionali (che indicheremo con C 2F ) su particolari campi ordinati F, , , , ,0,1=< + ⋅ − ≤ >F (dove F è appunto un insieme non vuoto) che soddisfano il teorema di Bolzano ristretto alle funzioni polinomiali. Sono questi i campi reali chiusi. Tarski riesce a dimostrare che tutti e soli i modelli di 2GET sono isomorfi a spazi cartesiani di questo tipo dove l'assioma elementare di continuità corrisponde alla proprietà di Bolzano per i polinomi: Teorema di Rappresentazione Affinché M sia un modello di 2GET è necessario e sufficiente che M sia isomorfo allo spazio cartesiano su un campo reale chiuso C ∗ 2 F . Risolto il problema della rappresentazione è possibile per Traski passare al problema della completezza e decidibilità di 2GET . Come anticipato, sfruttando il teorema di Sturm, Tarski può dimostrare che in CRCOT ogni formula è equivalente a una priva di quantificatori e provare che CRCOT è completa e decidibile. Il lavoro è quello di trasportare queste proprietà da CRCOT a 2 GET . Per comodità tipografica invece di scrivere C 2 F scriveremo U e consideriamo CRCOTU ⊨ , a partire da U per il linguaggio formale L possiamo, dunque, come si è visto, costruire una struttura , ,M D B=< >U U U U M M M M , per il linguaggio formale ∗L , che sia modello di 2 GET ed il modo in cui abbiamo costruito MU da U ha come correlato sintattico la definizione di una traduzione di 2GET in CRCOT . Possiamo, infatti, associare ad ogni formula α di ∗L una formula αɶ di L tale che [ ]1 1... n na a a aα ′ ′ɶU ⊨ sse 1 1 ... n na a a aα ′ ′  MU ⊨ 8 8 Dove αɶ ha 2n variabili libere, se α ne ha n. Conveniamo per ogni variabile x di ∗L di scegliere due variabili ,x x′ di L : intuitivamente ciò significa che mentre in ∗L parliamo di punti ,j ja a′< > , in L parliamo di coordinate ja e ja′ . Vedi Tarski e Givant 1999, 201, per una descrizione intuitiva. Graziani: Elementare ma complessa 65 definendo una traduzione : Form Formλ ∗ → LL ponendo, ove si supponga , 'x x x=< > e , 'y y y=< > , che per le formule atomiche: ( ) ( )x y x y x yλ ′ ′= = = ∧ = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2( ( , , , ))D x y z w x y x y z w z wλ ′ ′ ′ ′= − + − = − + − ( ( , , )) [( ) ( ) ( ) ( )] [0 ( ) ( )] [0 ( ) ( )]B x y z x y y z x y y z x y y z x y y zλ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⋅ − = − ⋅ − ∧ ≤ − ⋅ − ∧ ≤ − ⋅ − Figura 1. La definizione di equidistanza nel piano cartesiano Complessità e riduzionismo 66 Figura 2. La definizione di essere tra nel piano cartesiano. e supponendola letterale per le altre formule: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x λ α γ λα λγ λ α γ λα λγ λ α γ λα λγ λ α λα λ α λα λ α λα ∧ = ∧ ∨ = ∨ → = → ¬ = ¬ ∃ = ∃ ∀ = ∀ Sia ora α λα=ɶ . Posto ciò è possibile dimostrare il seguente Teorema di Interpretazione: Per ogni enunciato α di ∗L , 2GE CRCOT Tα α⇒ ɶ⊢ ⊢ Dimostrato il teorema di interpretazione9 disponiamo di una traduzione di ∗ L in L per cui vale 2GE CRCOT Tα α⊃ ɶ⊢ ⊢ , ovvero disponiamo di una 9 Ogni traduzione di ∗ L in L per cui valga 2GE CRCOT Tα α⊃ ɶ⊢ ⊢ sarà chiamata interpretazione di 2GET in CRCOT . Graziani: Elementare ma complessa 67 interpretazione di 2GET in CRCOT . Ciò ci consente di dimostrare la coerenza di 2 GET , ma non ancora di trasferire i risultati di completezza e decidibilità da CRCOT a 2 GET . Per poter trasferire la completezza e la decidibilità da CRCOT a 2 GET è necessario non solo che la nostra traduzione sia una interpretazione, ma anche che la nostra interpretazione sia fedele ovvero che valga il seguente teorema: Teorema di fedeltà dell'interpretazione 2 GE CRCOT Tα α↔ ɶ⊢ ⊢ la cui dimostrazione utilizza il teorema di rappresentazione ed il teorema di interpretazione. Posto che la traduzione λ è un'interpretazione fedele, è possibile provare la trasferibilità dei risultati di completezza e decidibilità da CRCOT a 2 GET . La decidibilità è ovvia – tenuto conto dell'assiomatizzabilità una volta provata la completezza. Per avere la completezza, posta la coerenza di 2 GET , si supponga 2 GET α⊬ , dove α è un enunciato di ∗ L , allora si deve provare che 2GET α¬⊢ . Per la fedeltà si ha che CRCOT αɶ⊬ e, poiché CRCOT è completa, CRCOT α¬ ɶ⊢ . Per definizione ( )α α¬ = ¬ɶ , così ( )CRCOT α¬⊢ e poiché λ è fedele 2GET α¬⊢ . Sebbene i risultati di coerenza e di completezza siano già di grande rilievo per un sistema assiomatico, l'interesse per il sistema tarskiano deriva soprattutto dalla possibilità di poter dimostrare per esso anche la proprietà di decidibilità che, dopo la famosa conferenza di Parigi di Hilbert, era divenuto uno dei problemi di maggiore interesse e indagine da parte dei matematici e logici. Fu proprio il tentativo di analizzare tale concetto che condusse a raffinatissimi contributi non solo nel campo della teoria dei modelli, ma anche in quello della teoria della ricorsività10. Uno dei grandi problemi degli studi fondazionale posti da Hilbert era, infatti, la questione di decidere per ogni teoria T quali sono i suoi teoremi. E' questo il cosiddetto Entscheidungsproblem o problema della decisione. La riflessione su tale nozione portò subito in primo piano la necessità di una chiara definizione del concetto di algoritmo di decisione o di computo ovvero la necessità di definire, relativamente a problemi differenti, un 10 Si veda Rabin (1977). Complessità e riduzionismo 68 complesso di istruzioni deterministiche, meccaniche e generali. Esempi noti di tali procedure sono l'algoritmo euclideo per la ricerca del massimo comune divisore fra due numeri naturali o l'algoritmo delle tavole di verità mediante cui stabilire se una data formula proposizionale è o no una tautologia. Sebbene in matematica ed in logica esistano numerosi esempi di algoritmi, l'importanza della ricerca di tali procedure risiede nel fatto che esistono altrettanti problemi noti per i quali non conosciamo un algoritmo in grado di offrirci una soluzione, ad esempio il problema della decisione per la logica del primo ordine (LP): data una qualunque formula α scritta nel linguaggio della logica del primo ordine, è possibile decidere in un numero finito di passi se α è un teorema o meno del sistema considerato? Ovvero, considerata la classe C di tutte le formule di LP è possibile dare un algoritmo per isolare in essa una sottoclasse T costituita da tutte e sole quelle formule che sono teoremi di LP? Ovvero è possibile decidere per ogni formula α di LP se Tα ∈ oppure no? Un errore molto facile in cui è possibile cadere è quello di pensare che tale algoritmo esista11 e che sia proprio rappresentato da un sistema di assiomi per LP con le sue regole di derivazione; infatti è possibile decidere per ogni formula α di LP se essa è o no un assioma ed è anche possibile decidere se, data una successione finita di formule, essa è una derivazione di formule in LP. Ma ciò non dà affatto una risposta alla domanda dell' Entscheidungsproblem. Per determinare quando una data formula è un teorema dobbiamo essere in grado di sapere se esiste una sua dimostrazione, ciò significa che dobbiamo in qualche modo avere a che fare con il dominio infinito delle dimostrazioni. Il carattere effettivo delle regole di derivazione e della proprietà di essere assioma ci consente di determinare, data una successione di formule, se essa è una dimostrazione, ma non di sapere se, data una formula α , esiste una successione di formule che sia una sua dimostrazione. Una semplice riflessione ci mostra allora che per la decidibilità di una teoria è sufficiente che sia assiomatizzabile e completa. Ciò che, dunque, Tarski riuscì a dimostrare per 2GET è che l'insieme dei teoremi di 2 GET è decidibile, cioè data una qualunque formula di ∗L siamo in grado in un numero finito di passi e del tutto meccanicamente di stabilire se essa è o no un teorema di 2GET . Questo discende dalla completezza di 2GET e dalla sua assiomatizzabilità. Alternativamente possiamo sfruttare la decidibilità di CRCOT e la traduzione 11 A. Church diede una risposta negativa al problema della decisione per la logica del primo ordine. Vedi Church (1936a); (1936b). Graziani: Elementare ma complessa 69 λ . Il risultato dimostrato da Tarski è che l'interpretazione : Form Formλ ∗ → LL è effettiva, ovvero dato α di ∗ L è possibile, in un numero finito di passi, determinare αɶ di L . Dato α in ∗L si deve decidere se 2GET α⊢ o no. Applicando λ , dopo un numero finito di passi abbiamo αɶ . Poiché CRCOT è decidibile, dopo un numero finito di passi sappiamo se CRCOT αɶ⊬ o no. Per fedeltà sappiamo se 2 GET α⊢ o no. In una certa ampia misura, come correttamente sottolinea Rabin12, sino agli anni sessanta dello scorso secolo «in the spirit of Hilbert's Program and of Turing's analysis of computabilità, it is tacitly assumed that for a theory T proved decidable, the question whether a given sentence is a theorem of T is a trivial one. For one needs only to mechanically apply the decision procedure in order to answer any such question. No creative or intelligent thinking is required for this process». Tale prospettiva iniziò a modificarsi sotto la spinta dei lavori di Fisher, di Rabin13 e Meyers14 che posero l'attenzione in modo particolare sulla complessità computazionale della soluzione di problemi di decisione15. Così, la questione non era più quella del problema della decisione, bensì la seguente: dato un algoritmo di decisione per una teoria T, quanto tempo e spazio di memoria16 tale algoritmo impiega per decidere se un enunciato della teoria è un suo teorema? In teoria della complessità computazionale si assume che siano computazionalmente intrattabili quei compiti che richiedono risorse di tempo e spazio di memoria (le cosiddette risorse computazionali) che 12 Rabin (1977, 599). 13 Fischer and Rabin (1974). 14 Meyer (1975). 15 Vedi anche Stockmeyer (1987). Si veda anche Papadimitriou (1994); Sipser (2005). 16 Come opportunamente sottolineato da Frixione e Palladino (2004, 381): «queste due risorse hanno un ruolo, per così dire, 'asimmetrico': in un certo senso il tempo di calcolo è prioritario rispetto allo spazio di memoria, in quanto, se un calcolo richiede un certo spazio di memoria, esso deve necessariamente richiedere un tempo che sia almeno dello stesso ordine di grandezza. Se ad esempio un calcolo richiede uno spazio di memoria che cresce esponenzialmente, esso deve impiegare un numero di passi di calcolo almeno esponenziale, in quanto altrimenti non avrebbe il tempo sufficiente per operare su tutta la memoria richiesta. Non è detto però che valga il viceversa. Un calcolo può richiedere un tempo esponenziale anche se gli è sufficiente uno spazio di memoria polinomiale». Ovviamente, come Frixione e Palladino notano, questo vale certamente per computazioni sequenziali, nel caso del calcolo parallelo le cose meritano analisi ulteriori. Complessità e riduzionismo 70 crescono esponenzialmente con la lunghezza dell'input17; e che siano computazionalmente trattabili quelli che richiedono risorse che crescono al più in modo polinomiale18 con la lunghezza dell'input. In tale prospettiva, come correttamente si dice, la complessità computazionale non concerne quante risorse richiede di svolgere un determinato compito, bensì quanto aumentano le risorse richieste al crescere delle dimensioni dei dati. Il confronto della nuova prospettiva con il lavoro tarskiano sembrò da subito fondamentale. Proprio studiando la complessità computazionale degli algoritmi di decisione, nel 1974, Fischer e Rabin provarono in primis per l'aritmetica di Presburger (dimostrata decidibile) che per ogni algoritmo di decisione esistono enunciati α di misura (numero dei simboli) n tali che l'algoritmo richiede 22 n passi per decidere α ; ed in secondo luogo che l'algoritmo tarskiano19 per la geometria elementare è inefficiente in quanto esponenzialmente complesso: essi mostrarono, infatti, che dato un qualunque algoritmo per la geometria euclidea elementare esistono infiniti enunciati della teoria tali che l'algoritmo non è in grado di decidere se è oppure no un teorema della teoria in meno di 2cn passi, dove 0c > (c dipende dalla codificazione usata) ed n la lunghezza dell'enunciato; e posero (senza dimostrazione) che esiste un 0c > tale che l'algoritmo di Tarski verificherà o refuterà un enunciato della geometria elementare di lunghezza n in al più 2b passi con 2cnb = . Dunque, dal punto di vista della complessità computazionale, ciò significa, come evidenziato da Stockmeyer, che la usuale distinzione tra teorie decidibili ed indecidibili viene ad offuscarsi in quanto per un essere umano le teorie decidibili che ammettono algoritmi inefficienti equivalgono a teorie indecidibili: The fact that ( , )Th R + and ( , , )Th R + ⋅ are decidible is of little use in designing practical decision algorithms. The exponential growth of the time required to accept ( , )Th R + suggests that any decision procedure for this problem will use hopelessly large amounts of time on relatively short 17 Tali lunghezze sono misurate in modo opportuno ed in maniera diversa a seconda dei casi: nel caso in questione potremmo considerare il numero di simboli ricorrenti nell'enunciato da decidere. 18 Dunque un algoritmo è considerato efficiente se esiste una funzione polinomiale P tale che, per ogni enunciato della teoria in questione, l'algoritmo richiede un numero di passi minori o uguale a P(n) (dove n è la lunghezza dell'enunciato) per decidere se l'enunciato è o meno un teorema della teoria. 19 Per ulteriori dettagli storici si veda Stockmeyer (1987). Un secondo interessante caso studio è quello proposto da D'Agostino (1992). Graziani: Elementare ma complessa 71 sentences, and therefore that ( , )Th R + is "practically undecidable" even thoug it is tecnically decidable. Even though the value of c and the density of sentences for which the theorem applies have not yet been determined well enough to draw solid conclusions, the term practical undecidability seems apt, since classical undecidability results are prone to similar objections. At the very least, an exponential lower bound on the time complexity of a problem serves as a warning not to seek a uniformly efficient decision algorithm but either to settle for an algorithm which does not work in all cases or to simplify the problem so that it becomes tractable.20 Tali risultati, ovviamente, non implicano una rinuncia a lavorare sulla geometria tarskiana dal punto di vista della dimostrazione automatica21, perché in generale questo tipo di applicazioni è motivato anche dall'obiettivo di verificare la validità di nuovi algoritmi. In conclusione, la teoria della complessità computazionale non ci insegna qualcosa di importante e di cui tener conto solo per la progettazione di nuovi algoritmi22 e per l'informatica tout court, ma qualcosa che deve spronarci ad una riflessione più generale che senza dubbio raffinerebbe le analisi di molti problemi filosofici: dalla filosofia del linguaggio alla filosofia della matematica, dalla filosofia della fisica alla filosofia dell'economia, dalla filosofia della mente alla filosofia della biologia23. Ringraziamenti Ringrazio Silvio Bozzi per avermi introdotto a queste tematiche negli anni di insegnamento all'Università di Urbino: questo testo ha un grande debito con i suoi insegnamenti; ringrazio, inoltre, Fabio Acerbi, Giulia Giannini, Paolo Stellari, Angelo Vistoli, Massimo Sangoi per i loro utilissimi commenti. 20 Stockmeyer (1987, 3). 21 Vedi Quaife (1989); Narboux (2007). 22 Rabin (1974); Simon, (1995). 23 Si veda l'importante lavoro di Aaronson (2012); si veda anche Cherniak (1984); D'Agostino, Mondadori (1999). Complessità e riduzionismo 72 Riferimenti Aaronson, S., 2012, «Why Philosophers Should Care About Computational Complexity» in: B. J. Copeland, C. Posy, O. Shagrir (a cura di), Computability: Gödel, Turing, Church and Beyond, MIT Press. Caviness, B.F., Johnson, J.R., 1998, Quantifier Elimination and Cylindrical Algebraic Decomposition, Texts and Monographs in Symbolic Computation. Springer-Verlag. 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