Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad del Perú. Decana de América Dirección General de Estudios de Posgrado Facultad de Letras y Ciencias Humanas Unidad de Posgrado La contrastación de teorías inconsistentes no triviales TESIS Para optar el Grado Académico de Magíster en Filosofía con mención en Epistemología AUTOR Luis Felipe BARTOLO ALEGRE ASESOR Luis Adolfo PISCOYA HERMOZA Lima, Perú 2020 Reconocimiento No Comercial Compartir Igual Sin restricciones adicionales https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Usted puede distribuir, remezclar, retocar, y crear a partir del documento original de modo no comercial, siempre y cuando se dé crédito al autor del documento y se licencien las nuevas creaciones bajo las mismas condiciones. No se permite aplicar términos legales o medidas tecnológicas que restrinjan legalmente a otros a hacer cualquier cosa que permita esta licencia. Referencia bibliográfica Bartolo, L. (2020). La contrastación de teorías inconsistentes no triviales. Tesis para optar grado de Magíster en Filosofía con mención en Epistemología. Unidad de Posgrado, Facultad de Letras y Ciencias Humanas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú. Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad del Perú. Decana de América Vicerrectorado de Investigación y Posgrado Dirección General de Biblioteca y Publicaciones Dirección del Sistema de Bibliotecas y Biblioteca Central Hoja de metadatos complementarios 1. Código ORCID del autor 0000-0002-3312-6297 2. Código ORCID del asesor 0000-0002-8875-4573 3. DNI del autor 45150467 4. Grupo de investigación No pertenece 5. Institución que financia parcial o totalmente la investigación Autofinanciado 6. Ubicación geográfica donde se desarrolló la investigación. Debe incluir localidades y coordenadas geográficas. Universidad Nacional Mayor de San Marcos Av. Universitaria S/N, Avenida Venezuela cdr. 34, Cercado de Lima, Lima, Perú 12°03'21.6''S 77°05'03.9''W 7. Año o rango de años que la investigación abarcó

A mis abuelitos Juana y Silvestre Agradecimientos Quiero agradecer primero a Fabiola Cárdenas Maldonado; compañera de estudios y de vida sin cuyo aliento esta tesis quizá no habŕıa siquiera empezado a hacerse. Su observaciones fueron fundamentales para hacer el contenido de mi tesis más claro e interesante. Agradezco a Luis Piscoya Hermoza por su asesoŕıa y recomendaciones que me ayudaron a afinar los conceptos e hipótesis de esta tesis. Una de sus más valiosas lecciones fue que "aprendemos del fracaso y no del éxito" -lo cual, por cierto, es muy popperiano. También agradezco a Jorge Bravo el haberme ayudado a comprender algunos de los ejemplos de la fısica que utilizo en el apéndice E. Varias ideas de esta tesis las expuse en un taller de lógica y epistemoloǵıa organizado por algunos estudiantes y egresados de la especialidad de filosofıa. Entre ellos agradezco por su comentarios y cŕıticas a Adrian Quesada, Julio Silva, Adán Ochoa y, muy especialmente, Miguel Ángel Merma. Miguel ha sido fundamental para el avance de esta tesis por sus observaciones y por su motivación. Algunas ideas desarrolladas en los apéndices (especialmente el B) surgieron en un evento filosófico sui generis titulado El roast a Tailor Schneider. El concepto que mejor representan tanto a este evento como al apéndice B es aquel de términos sin referente. También quiero agradecer a Joseph Mejıa Guevara por ofrecerme un auditorio para exponer las ideas de la sección 4.2. Asimismo, sus originales aunque controversiales ideas sobre el tercer Reichenbach me han motivado indirectamente algunas reflexiones que prefeŕı incluir en los apéndices. Conversar con amigos como Diana Mogrovejo, Patricio Bazán, Johel Pozo, EdI win González, Emil Beraún, Vıctor Sánchez y, nuevamente, Fabiola Cárdenas, me impulso en varias etapas de mi formación a pulir mis ideas y evitar el conformismo intelectual. Mi padre Dante, mi madre Angélica, mis tıos Aldo, Marco, Lucho y Mario, mis tıas Ana, Fanny y Anny, mi hermano Rodrigo, mi prima Juanita y mi difunto abuelito Silvestre incentivaron, queriendo y sin querer, la actividad intelectual en diversas etapas de mi vida. Gracias a ellos, y también por su culpa, es que me interesé por la filosofıa. Tal interés jamás se habŕıa desarrollado sin el apoyo material de mi padre y mi abuelita Juana, a quienes debo mucho más que la posibilidad de hacer esta tesis. Buena parte del mérito que pueda tener esta tesis se debe a todos ellos, siendo yo el único responsable de mis errores. II Índice general Agradecimientos I Resumen 1 Introducción 3 1. Lógica 9 1.1. Lenguaje y consecuencia lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Lógicas explosivas y paraconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Metalógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Contrastación de teoŕıas 17 2.1. La base emṕırica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Corroboradores y refutadores potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1. Corroboradores potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Falsadores potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Cŕıticas al refutacionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Ciencia e inconsistencia 43 3.1. Inconsistencias factuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. Inconsistencias externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.1. Compromiso epistémico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.2. Racionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3. Inconsistencias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1. Contradicciones fácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 III 3.3.2. Contrastación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4. La contrastación redefinida 56 4.1. Contrastando teoŕıas inconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2. La paradoja del suicida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3. La contrastación bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Consideraciones finales 77 Conclusiones 79 A. Teoŕıa de la contradicción 81 C. Concepción semántica de las teoŕıas 83 D. Consideraciones sobre la concepción sintáctica 85 E. ¿Es inconsistente la cosmoloǵıa de Newton? 88 F. Lógica proposicional clásica (LPC) 96 F.1. Semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 F.2. Axiomatización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 F.3. Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 F.4. Aritmetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 G. La lógica trivalente L3 101 G.1. Lenguaje y semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 G.2. Axiomatización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 G.3. Álgebraización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 G.4. El problema de la aritmetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 H. Lógica discusiva J de Jaśkowski 105 I. Lógicas paraconsistentes Cn de da Costa 106 IV J. Lógicas dialécticas de Routley y Meyer 108 K. Semántica ∆ de Priest 110 Bibliografıa 112 V Resumen En esta tesis estudio la posibilidad lógica de contrastar teoŕıas fácticas que son inconsistentes, pero no triviales. En particular, indago si tales teoŕıas pueden satisfacer o no el principio de refutabilidad de Popper. Una teoŕıa ❚ satisface dicho principio syss es posible dividir la clase de todos los enunciados observacionales entre dos conjuntos disjuntos: 1. Conjunto de corroboradores potenciales de ❚: Esto es, enunciados observacionales que corroboraŕıan instancias de las leyes implicadas por ❚. 2. Conjunto de refutadores potenciales de ❚: O sea, enunciados observacionales que describen contra-ejemplos de las leyes implicadas por ❚, y que se pueden expresar como negaciones de sus corroboradores potenciales. Cuando aplicamos la lógica clásica para formalizar una teoŕıa inconsistente, esta implica cualquier enunciado pues en esta lógica las definiciones de consistencia (simple) y consistencia absoluta son compatibles. Una teoŕıa ❚ es (simplemente) consistente syss no existe una α tal que ❚ ⊢ α ∧ ¬α, sino ❚ es (simplemente) inconsistente. Decimos, en cambio, que ❚ es absolutamente consistente syss hay por lo menos una α tal que ❚ 0 α, sino ❚ es absolutamente inconsistente o trivial. Esto sucede porque la lógica clásica satisface la regla de deducción de Pseudo-Scotus, según la cual de una contradicción se implica cualquier información. En estas condiciones las teoŕıas clásicas inconsistentes seŕıan compatibles con cualquier fórmula bien formada, lo cual las hace inútiles para la ciencia. Existen, sin embargo, lógicas denominadas paraconsistentes en las que no se cumple de manera 1 general la ley de Pseudo Scotus y en las que una teoŕıa puede ser (simplemente) inconsistente, pero también absolutamente consistente. Para da Costa se abre la posibilidad de probar la "tesis de Hegel" según la cual existen contradicciones verdaderas sobre el mundo real. De hecho, él afirma que es más fácil probar la existencia de tales contradicciones que refutarla, pues bastaŕıa confirmar apenas un enunciado emṕırico contradictorio para confirmar esta tesis, mientras que su negación requeriŕıa de infinitos enunciados. En contra de esta tesis, se puede objetar que la actitud de los cientıficos ante las inconsistencias siempre ha sido tratar de resolverlas con miras a pulir nuestro futuro conocimiento, por lo que la propuesta de da Costa reprobaŕıa muchas de las decisiones más importantes de la historia de la ciencia. Finalmente, Priest propone que si una teoŕıa ❚ implica una contradicción α ∧ ¬α, donde ambas α y ¬α describen situaciones observables, pero lo descrito por tal contradicción no es observado, entonces debemos rechazar ❚. Esta propuesta es inviable pues las teoŕıas cientıficas no son rechazadas por falta de evidencia positiva, sino por evidencia negativa. De hecho, si α∧¬α fuera un corroborador potencial de ❚, entonces ¬α∨α seŕıa un refutador potencial de ❚. Pero puesto que ¬α∨α es una tautoloǵıa -incluso en el sistema de Priest-, la teoŕıa ❚ seŕıa automáticamente refutada. En consecuencia ¬α∨α seŕıa mejor caracterizado como un refutador actual de ❚, por lo que ❚ quedaŕıa inutilizable. Este argumento vale para cualquier teoŕıa inconsistente solo en virtud de sus propiedades lógicas. Sin embargo, es posible definir el concepto de refutador potencial de modo que un enunciado α sea un refutador potencial de ❚ syss ❚ ⊢ ¬α, pero ❚ 0 α. La manera simplificada de definir refutabilidad es requiriendo que la clase de refutadores potenciales de una teoŕıa no sea vaćıa. Esto requiere que la clase de refutadores potenciales sea necesariamente consistente, lo cual se sigue del mismo concepto de refutador potencial. 2 Introducción Pues bien, te diré, escucha con atención mi palabra, cuáles son los únicos caminos de investigación que se puede pensar; uno: que es y no es posible no ser ...; el otro: que no es y que es necesario no ser. -Parmenides, Frag. 928, trad. de Eggers Lan y Juliá (2003) La lógica estudia la transmisión de la verdad de un conjunto de enunciados a otro enunciado y la retrotransmisión de la falsedad de este a aquellos; ambos aspectos, empero, no tienen la misma función. En ciencias formales, Karl Popper (1979, pág. 317) dećıa, usamos la lógica para hacer demostraciones, esto es, para transmitir la verdad. Por esta razón intentamos demostrar un teorema con el menor número de premisas posible, o por medio de una lógica débil, pues una conclusión es más segura cuanto menos premisas la sustenten. En ciencias fácticas, sin embargo, pesa mucho más la retrotransmisión de la falsedad pues para contrastar exhaustivamente una teoŕıa es preciso conocer tantas de sus consecuencias como nos sea posible. Si queremos usar la lógica en un contexto cŕıtico, entonces debemos usar una lógica muy fuerte, la lógica más fuerte, por aśı decirlo, que esté a nuestra disposición; pues queremos que nuestra cŕıtica sea severa. [...] Por eso debemos (en las ciencias emṕıricas) usar la lógica completa, i.e. clásica o bivalente. Si en lugar de eso nos conformamos con usar una lógica más débil -como la lógica intuicionista o alguna lógica trivalente (como Reichenbach sugirió en conexión con la teoŕıa cuántica)- entonces afirmo que no somos lo suficientemente cŕıticos. (ibıd., pág. 305) Esto se aprecia bastante bien en la fısica, pues de sus teoŕıas se deducen consecuencias lógicas, varias de las cuales son contrastables. Por ejemplo, a partir del 3 principio de conservación de la enerǵıa es posible demostrar la inexistencia de las máquinas de movimiento perpetuo. A continuación la demostración que hace Richard Feynman, limitándose al caso de las máquinas de levantamiento de pesas. Podemos dividir las máquinas de levantamiento de pesas en dos clases excluyentes: las reversibles y las no reversibles. Sea a una máquina reversible que baja una unidad de peso en una unidad de distancia y, al mismo tiempo, levanta un peso de tres unidades. Supongamos que a levanta el peso de tres unidades en una distancia x. Sea b a otra máquina (que no sabemos si es reversible o no) que también baja una unidad de peso en una unidad de distancia, pero que levanta el peso tres unidades en una distancia y. Podemos demostrar que y no es más alta que x; en otras palabras, no es posible construir una máquina (b) que pueda levantar un peso por encima de lo que una máquina reversible (a) podŕıa levantarlo. Para esto supongamos que y fuera más alta que x. Tomamos un peso de una unidad y lo bajamos una unidad de altura con la máquina b; esto eleva el peso de tres unidades en una distancia y. Se sigue que podemos bajar el peso desde y hasta x, obteniendo aśı enerǵıa gratis, y usar nuestra máquina reversible a a la inversa para bajar el peso de tres unidades en una distancia x y levantar el peso de una unidad en una unidad de altura. ¡Esto retornaŕıa el peso de una unidad a donde estaba antes, dejando las máquinas x e y listas para ser usada de nuevo! Por lo tanto, tendŕıamos movimiento perpetuo si y fuera más alta que x, lo cual asumimos imposible. De todo esto concluimos que y no es más alta que x, por lo que toda máquina que pueda ser diseñada es reversible. (adapt. de Feynman, Leighton y Sands 2010, págs. 4-5) Feynman clasifica las máquinas entre no reversibles o reversibles, que son clases excluyentes. Esto es una aplicación de la ley de tertium non datur, o tercio excluido, pues no se considera la posibilidad de que una máquina pueda estar en una tercera clase diferente de estas. Para probar que solo existen máquinas de la primera 4 clase, Feynman asume que existen máquinas de la segunda. Esto le lleva a una contradicción, por lo que descarta esta segunda clase. Esto es una demostración por reductio ad absurdum, la cual se basa en la ley de no contradicción pues, al no ser posible afirmar algo y su negación, descartamos la premisa que nos llevó tal circunstancia. Finalmente, por el principio modus tollendo ponens, podemos inferir de la clasificación inicial y de la eliminación de la segunda clase que solo la primera existe. Esta argumentación, empero, no demuestra que el principio de conservación de enerǵıa sea verdadero. Tampoco partimos de una certeza en este principio que transmitimos a sus consecuencias. El argumento tiene más bien la función de demostrar que de ser falso que no existen máquinas de movimiento perpetuo, tal falsedad se retrotransmite al principio de conservación de enerǵıa. Es aśı que si encontráramos una máquina de movimiento perpetuo podŕıamos descartar la universalidad del principio de conservación de enerǵıa. Por lo tanto, si fuera falso que no existen máquinas de movimiento perpetuo, también seŕıa falso el principio de conservación de enerǵıa y la falsedad de su consecuencia lógica le seŕıa retro-transmitida. Sin embargo, ¿qué pasaŕıa si hubiera una máquina de movimiento perpetuo pero la ley de conservación de enerǵıa aún explique satisfactoriamente los demás fenómenos naturales? ¿Qué sucedeŕıa si no lográramos ensamblar una teoŕıa consistente para explicar esta circunstancia? La lógica clásica prohıbe las contradicciones pues estas son siempre falsas y ex falso sequitur quodlibet. Esto hace en principio impensable aceptar una teoŕıa inconsistente tanto en ciencias formales como fácticas. Pace Parménides, esta condición cambió con la aparición de las llamadas lógicas paraconsistentes, pues en ellas de las contradicciones no se sigue cualquier cosa. Esto podŕıa, en principio, ser aprovechado por la ciencia pues algunas teoŕıas interesantes, como el cálculo infinitesimal de Leibniz y Newton, o la primera versión de la teoŕıa cuántica, implican contradicciones. Sin embargo, una cosa es que de una teoŕıa inconsistente no se siga lo que sea, y otra muy distinta es que tal teoŕıa sea cientıficamente aceptable. Surge entonces la pregunta de si es posible ser cŕıtico, à la Popper, con las 5 teoŕıas inconsistentes. En particular, tenemos el problema de si es posible especificar cuáles seŕıan los refutadores potenciales de una teoŕıa inconsistente. Un refutador potencial tiene la propiedad de ser la negación de una consecuencia lógica de una teoŕıa, por lo que es incompatible con ella. De esto se sigue que algunos enunciados implicados por una teoŕıa inconsistente seŕıan incompatibles con su propia teoŕıa. En particular, si ¬α es un refutador potencial de ❚, pero ❚ implica α y ¬α, entonces ❚ es incompatible con ¬α, que es su propio enunciado. Propongo entonces que α sea un refutador potencial de ❚ si y solo si ❚ implica ¬α, pero no aśı α. Siendo aśı, una teoŕıa inconsistente será evaluada solo por aquellas de sus consecuencias lógicas cuyas negaciones no sean también consecuencias de la teoŕıa. La utilidad de las teoŕıas inconsistentes en las ciencias fácticas no implica la aceptabilidad de la tesis dialeteista, según la cual una proposición puede ser al mismo tiempo verdadera y falsa, o que puede haber contradicciones verdaderas. A la versión antigua de esta concepción Parménides la calificó de bicéfala o bifronte (δίκρανοι). Mi disertación no presupone un compromiso a favor o en contra del dialeteismo pues podemos encontrar en esta pesquisa objetivos relevantes para bicéfalos y parmeńıdeos. A los bicéfalos diremos que si existieran contradicciones verdaderas, estas deben aparecer en teoŕıas que prohıban algunos enunciados. Una teoŕıa sobre un mundo (consistente o inconsistente) que nada prohıbe es inútil para la ciencia pues sigue sin ser informativa. A los parmeńıdeos diremos que es importante tener nociones epistemológicas más generales que puedan adaptarse a las necesidades de varias lógicas y no únicamente a la clásica; lo cual es siempre bienvenido. El parmeńıdeo Jesús Mosteŕın (2011) sostuvp que las teoŕıas inconsistentes son indeseables para la ciencia emṕırica pues la idea reguladora de la consistencia nos urge a no conformarnos con teoŕıas inconsistentes y a buscar teoŕıas que describan mejor y más generalmente los sistemas que estudiamos. Hay quienes sin ser bicéfalos discuerdan de él y consideran que las teoŕıas inconsistentes podŕıan tener un valor práctico -o incluso epistémico (Brown 1990; Lipton 2007)- en la ciencias fácticas si careciéramos de un substituto consistente. En otras palabras, estos parmeńıdeos 6 son tolerantes a la bicefalia en situaciones donde esta sea inevitable. Por mi parte diré que dialogar con un bicéfalo es más grato y productivo cuando se discute con una cabeza a la vez. En el caṕıtulo 1 presento el aparato lógico-formal que permitirá entender los conceptos de esta tesis. En especial, la distinción entre lógicas explosivas y lógicas paraconsistentes (sec. 1.2). En el caṕıtulo 2 expongo y discuto el programa refutacionista, que servirá de marco epistemológico para entender qué es una teoŕıa cientıfica. De este modo, caracterizo la relación entre las teoŕıas fácticas y la experiencia (sec. 2.1), aśı como las definiciones formales de corroborador potencial (sec. 2.2.1) y refutador potencial clásico, o falsador potencial (sec. 2.2.2). Como veremos, el principal problema de aplicar el programa refutacionista a las teoŕıas inconsistentes es encontrar una definición de refutador potencial apropiada para ellas. Finalizo el caṕıtulo discutiendo algunas objeciones al refutacionismo (sec. 2.3). En el caṕıtulo 3 expongo un estado de la cuestión del estudio epistemológico de las teoŕıas fácticas inconsistentes. En particular, discuto las actitudes de lo que Davey (2014) llama la tradición epistemológica y su respectiva contra-tradición. Mi estado de la cuestión se extiende hasta la sección 4.1, donde analizo las dos únicas propuestas (Piscoya 1995; Priest 2006a) que adelantan una solución al problema de esta tesis. En un interludio quijotesco (sec. 4.2) narro la manera en que Sancho Panza ya habıa adelantado una solución al problema de encontrar refutadores potenciales para teoŕıas inconsistentes, y que adapto en la sección 4.3. Ahı presento mi propia definición de refutador potencial, evalúo su fertilidad y expongo de qué manera podŕıamos contrastar una teoŕıa inconsistente. Cierro esta sección con una reflexión acerca del dialeteismo emṕırico, que seŕıa una extensión del dialeteismo que afirma que algunos enunciados observacionales pueden ser a la vez verdaderos y falsos. Algunos apéndices acompañan esta disertación. En el apéndice A presento una teoŕıa formal de la contradicción que permitiŕıa un tratamiento más general de los conceptos de esta tesis. Prescindı de esta teoŕıa porque haćıa los teoremas mucho más largos y complicados de entender, lo cual prefeŕı obviar para esta primera exposición. 7 Los siguientes dos apéndices profundizan algunos aspectos del tratamiento formal de las teoŕıas cientıficas pues expongo las concepción semántica de las teoŕıas (ap. C) y algunas consideraciones sobre la sintáctica (ap. D). En el apéndice E presento un estado de la cuestión del problema de la alegada inconsistencia de la mecánica newtoniana. Esta discusión debe tomarse solo como una primera exploración. Finalmente, a partir del apéndice F presento algunos sistemas lógicos proposicionales. En la mayoŕıa de casos me limito a presentar sus axiomas y reglas de inferencia. En los casos de la lógicas clásica y trivalente de Luskasiewicz también presento semánticas, álgebras e interpretaciones aritméticas. Notación Los conceptos proposición y enunciado son usados de manera indistinta. Las letras minúsculas griegas α, β, ... son variables proposicionales de nuestro meta-lenguaje cuyo dominio es el conjunto de fórmulas del lenguaje objeto definido en (1.1). Los signos que comienzan con ❆,❇, ... denotan conjuntos de fórmulas o funciones que devuelven conjuntos de fórmulas. Todo signo que comience con A,B, ... denota algún conjunto de otro tipo. 8 Caṕıtulo 1 Lógica 1.1. Lenguaje y consecuencia lógica El análisis formal de teoŕıas cientıficas presupone representar sus enunciados con un lenguaje formal de, al menos, primer orden. Definiré inductivamente el conjunto ▲❡ de fórmulas bien formadas partiendo de repertorios de signos agrupados en un conjunto de constantes individuales C, un conjunto de variables de individuo V , un conjunto de predicados P , el conjunto de functores proposicionales {¬,∨,∧,→,↔}, y el conjunto cuantificadores {∃, ∀}. ❉❡❢✐♥✐❝✐✓♦♥ ✶✳✶✿ ▲❡♥❣✉❛❥❡ ▲ t1, ..., tn ∈ V & P ∈ P ⇒ Pt1...tn ∈ ❆, para P de aridad n (L1) t1, ..., tn ∈ C & P ∈ P ⇒ Pt1...tn ∈ ❆, para P de aridad n (L2) α ∈ ❆ ⇒ ¬α ∈ ❆ (L3) α ∈ ❆ ⇒ (α ∨ β), (α ∧ β), (α → β), (α ↔ β) ∈ ❆ (L4) α ∈ ❆ & t ∈ V ⇒ ∃t α, ∀t α ∈ ❆ (L5) ❙✐ es la intersección de todos los conjuntos ❆ que satisfacen (L2–4) (L6) ▲❡ es la intersección de todos los conjuntos ❆ que satisfacen (L1–5) (L7) Prescindiré informalmente de los paréntesis cuando no resulte en una fórmula 9 ambigua o de acuerdo con las convenciones usuales. El conjunto ❙✐ es el conjunto de enunciados singulares de ▲❡, que será usado para caracterizar los enunciados observacionales en la sección 2.2. Una consecuencia de la definición (1.1) es que las fórmulas abiertas también son fórmulas bien formadas. Una fórmula abierta es una fórmula tal que tiene variables no cuantificadas o variables libres. Decir que x está libre en una fórmula α equivale a decir que no sabemos de qué o de cuántos x estamos hablando en α. En śıntesis, una fórmula abierta no es una proposición pues no puede ser ni verdadera ni falsa.1 Esto implica que fórmula bien formada no es sinónimo de proposición o enunciado, lo que podemos definir como sigue. Def. α es una proposición ⇔ no tiene variables libres. (1.2) En adelante, usaré αx para indicar que la variable x está libre en α. Para extraer consecuencias lógicas de un conjunto de enunciados necesitamos una relación de consecuencia lógica. Usualmente esto se representa con la notación ❆  α o ❆ ⊢ α, donde  y ⊢ denotan las relaciones de consecuencia lógica semántica y sintáctica, respectivamente. Cuando una fórmula β se siga de un conjunto finito de fórmulas {α1, ..., αn}, abreviaremos {α1, ..., αn} ⊢ β con α1, ..., αn ⊢ β. Ahora, cuando una fórmula α se siga de un conjunto vaćıo de premisas decimos que es una verdad lógica. En este caso, podemos abreviar {} ⊢ α con ⊢ α. Como existen varias concepciones de la verdad y consecuencia lógica, especificaré la lógica que define la relación de consecuencia con un sufijo a los relatores. De este modo, ❆ ⊢L α se lee "α es una consecuencia L-lógica de ❆". Asimismo, ⊢L α se lee "α es una verdad L-lógica" o "α es un teorema L-lógico". Aśı, definiré ℘❈ons como un conjunto de relaciones de consecuencia lógica ⊢i: ℘▲❡ × ▲❡ que expresan que una fórmula α ∈ ▲❡ se sigue lógicamente de un conjunto de fórmulas ❆ ∈ ℘▲. El conjunto de consecuencias lógicas de un conjunto ❆ se representa con la 1En otras palabras, esto significa que Ax carece de valor lógico. Jan Lukasiewicz (1913), sin embargo, propuso otorgar "valores lógicos" fraccionarios a este tipo de enunciados, a los que denominó enunciados indeterminados (umbestimmte Aussagen). 10 notación ❆⊢, que se lee "❆ clausurado con respecto a ⊢". Def. ❆⊢ = {α|❆ ⊢ α} (1.3) Esta operación satisface los principios de extensión e idempotencia. Ax. ❆ ⊆ ❆⊢ (Ex ) Ax. ❆⊢ = ❆⊢⊢ (Id) La operación de substitución permite reemplazar, en una fórmula, ciertos términos o fórmulas por otros términos o fórmulas respectivamente. La notación de esta operación se puede definir como sigue. ❉❡❢✐♥✐❝✐✓♦♥ ✶✳✹ ✿ ❙✉❜st✐t✉❝✐✓♦♥ αtu es la fórmula resultante de reemplazar en α cada aparición no cuantificada de u por t, donde t, u ∈ C ∪ V . α(γ/β) es la fórmula resultante de reemplazar en α cada aparición de β por γ, donde β, γ ∈ ▲❡. Los siguientes postulados lógicos son válidos en casi todas las lógicas. Por esto no los anclaré en mis teoremas, aunque a menudo los citaré en las demostraciones. ❆1✐♦♠❛s ✶✳✺✿ P♦st✉❧❛❞♦s ❧✓♦❣✐❝♦s ❆ ⊢ α → β & ❇ ⊢ α ⇒ ❆ ∪❇ ⊢ β (A1) ❆ ⊢ α ∧ β ⇒ ❆ ⊢ β ∧ α (A2) ❆ ⊢ α ∧ β ⇒ ❆ ⊢ α & ❆ ⊢ β (A3) α ↔ β def = (α → β) ∧ (β → α) (A4) ❆ ⊢ α ↔ α (A5) ❆ ⊢ α → β & ❇ ⊢ β → α ⇒ ❆ ∪❇ ⊢ α ↔ β (A6) ❆ ⊢ α ↔ β & ❇ ⊢ γ ⇒ ❆ ∪❇ ⊢ γ(α/β) (A7) Los que ahora siguen, en cambio, no son reconocidos por algunas lógicas intuicionistas o mınimas, por lo que śı los anclaré en mis teoremas. Estos principios, sin embargo, son rara vez excluidos de las lógicas paraconsistentes. 11 ❆1✐♦♠❛s ✶✳✻✿ P♦st✉❧❛❞♦s ❧✓♦❣✐❝♦s ❆ ⊢ α → ¬¬α (N1) ❆ ⊢ ¬¬α → α (N2) 1.2. Lógicas explosivas y paraconsistentes Nobody panics when things go according to plan. Even if the plan is horrifying! -The Joker, The Dark Knight (Hnos. Nolan, 2008) En la epistemoloǵıa contemporánea coexisten tres maneras de caracterizar las teoŕıas cientıficas. Según la concepción sintáctica, (ver ap. D) una teoŕıa es un conjunto de enunciados clausurado con respecto a una relación de consecuencia. En la concepción semántica, (ver ap. C) representamos una teoŕıa como una estructura compleja de sistemas o modelos. La concepción pragmática las concibe como compresoras de información. Según varios autores, estas tres concepciones son en lo esencial equivalentes y difieren sobre todo en su notación.1 Las convenciones de la anterior sección me permiten especificar formalmente una propiedad de las teoŕıas propuesta por la concepción sintáctica. Ax. ❚ es una teoŕıa ⇒ ❚ = ❆⊢, para algún ❆ ⊆ ▲❡ (Te) ❚⊢ indica informalmente que los axiomas de ❚ están clausurados con respecto a ⊢. Una propiedad considerada deseable de las teoŕıas es la consistencia. Decimos que una teoŕıa es consistente si está libre de contradicciones. Los lógicos definen la contradicción como una relación existente entre un enunciado α y su negación ¬α, o como una propiedad de un enunciado α∧¬α. No obstante, a menudo se asume que también son contradictorios: α y ¬¬¬α, ∀xPx y ∃x¬Px, "esta silla es roja" y "esta silla es verde", etc. Aśı también, a menudo se asume que ¬α expresa un enunciado que contradice α en alguno de estos sentidos, en lugar de simplemente expresar la fórmula ¬α. 1Véase p.e. Vickers (2013, ➜2.3) y el intercambio entre Mosteŕın (1999, págs. 169-79) y Piscoya. 12 Estas variedades de la negación a menudo coexisten impĺıcitamente en el uso pragmático del concepto. Es posible resolver esta polisemia introduciendo la notación α para denotar una fórmula arbitraria que se contradice con α, independientemente de su forma lógica (ver ap. A). Sin embargo, los detalles formales de tal notación haŕıan esta exposición más complicada de lo necesario. Por esto, caracterizaré de consistente a los conjuntos, y por extensión a las teoŕıas, que no contenga dos fórmulas contradictorias α y ¬α. Esto, por cierto, significa que mientras la contradicción y la no contradicción se definen como una relación entre fórmulas, la consistencia e inconsistencia son propiedades de conjuntos.1 Def. ❆ es consistente⇔ α /∈ ❆ o ¬α /∈ ❆ (Con) Si ❆ no es consistente, entonces es inconsistente, lo cual significa que α,¬α ∈ ❆ para algún α. De las definiciones (1.3) y (Con) se sigue que una teoŕıa inconsistente será cualquier teoŕıa que implique dos enunciados contradictorios. {} ❚⊢ es inconsistente⇔ ❚ ⊢ α & ❚ ⊢ ¬α, para algún α (1.7) Como estamos por ver, en lógica clásica los conjuntos inconsistentes implican todas las fórmulas del lenguaje. Otra manera de decirlo es que el conjunto de consecuencias (lógicas) de un conjunto inconsistente es un conjunto trivial. Si un conjunto no es trivial, es absolutamente consistente. Def. ❆ es trivial ⇔ ❆ = ▲❡ (Tr) De lo que se sigue que toda teoŕıa trivial implica cualquier fórmula de ▲❡. {} ❚⊢ es trivial ⇔ ❚ ⊢ α (1.8) La propiedad de trivialidad nos permite comprender la clasificación que se puede hacer de todas las lógicas posibles entres las clases mutuamente excluyentes de lógicas explosivas y lógicas no explosivas o paraconsistentes.2 En las primeras se cumple el principio ex contradictione quodlibet (ECQ), según el cual de una contradicción 1En palabras de Perzanowski las "inconsistencias son primariamente locales (la inconsistencia de dos enunciados opuestos) y solo de manera secundaria son globales (de una teoŕıa, etc.)" (2001, p. 6). Aqúı uso el concepto de contradicción para las proposiciones o fórmulas y reservo el de consistencia para las teoŕıas y conjuntos de enunciados en general. 2Esta última denominación, junto a otras dos, la propuso F. Miró Quesada Cantuarias a Newton da Costa en una carta reimpresa en Gomes y D'Ottaviano (2017, págs. 610-1). 13 se sigue cualquier fórmula.1 Def. E es una lógica explosiva⇔ ❆ ⊢E α & ❆ ⊢E ¬α ⇒ ❆ ⊢E β (E ) Miró Quesada C. (1982, pág. 67) propone que los principios de tercio excluido, no contradicción e identidad son los que caracterizan una lógica clásica.2 Si el principio de no contradicción se expresa también mediante el principio ECQ, debemos decir entonces que las lógicas clásicas son explosivas. Esto significa que el conjunto de consecuencias explosivas de un conjunto inconsistente será ▲❡. Más aun, para los conjuntos clausurados en relaciones explosivas los conceptos de consistencia y no trivialidad son coextensivos para teoŕıas. {} ❆⊢E es consistente⇔ es absolutamente consistente (1.9) Demostración. (⇒) Si ❆⊢E es consistente entonces para cada fórmula α ∈ ❆⊢E tendŕıamos que ¬α /∈ ❆⊢E , lo cual garantiza que ❆⊢E no es trivial. (⇐) Demostramos por contrapositiva asumiendo que ❆ ⊢E α y ❆ ⊢E ¬α. La definición (E ) garantiza entonces que para todo β, ❆ ⊢E β. Ergo, ❆ es trivial. En estas condiciones, una teoŕıa inconsistente no es indeseable por contradecirse, sino porque no existe un solo enunciado que sea incompatible con ella. Tal teoŕıa no nos da ninguna gúıa sobre qué esperar o qué no esperar de su dominio. Śı queremos preservar la utilidad de una teoŕıa inconsistente y evitar que sea trivial a pesar de sus contradicciones, debemos usar una lógica no explosiva o paraconsistente. Una lógica paraconsistente es simplemente una lógica que no es explosiva, de lo que obtenemos la siguiente definición.3 Def. P es paraconsistente⇔ ❆ ⊢P α & ❆ ⊢P ¬α & ❆ 0P α, para algún α, β y ❆ (P) Las lógicas paraconsistentes permitiŕıan, pues, que incluso una teoŕıa inconsistente, por muy indeseable que parezca, sea útil para la ciencia. En referencia a nuestro eṕıgrafe, las lógicas paraconsistentes permiten que una teoŕıa inconsistente, por horrenda que parezca al epistemólogo tradicional (cf. sección 3.1), discrimine 1En adelante, ⊢E designará una relación de consecuencia explosiva cualquiera. 2Una propuesta distinta es la de Piscoya (2007, cap. XII). 3En adelante, ⊢P designará una relación de consecuencia paraconsistente cualquiera. 14 entre enunciados que le son compatibles e incompatibles. De este modo no debeŕıa cundir el pánico en la comunidad cientıfica pues de esta teoŕıa inconsistente aun es posible extraer un plan de investigación. La siloǵıstica seŕıa, según Priest, una lógica paraconsistente pues, a pesar de que S1 y S2 se contradicen en el argumento (1.10), "Aristóteles nos dice muy expĺıcitamente que este no es un silogismo válido" (2017, cl. 4; cf. Lukasiewicz 1910, ➜16). ❆r❣✉♠❡♥t♦ ✶✳✶✵ (S1) Ningún hombre es mortal. Premisa (S2) Algunos mortales son hombres. Premisa (S) Todos los hombres son hombres. De las premisas S1 y S2 En otras palabras, si ⊢ es la relación de consecuencia siloǵıstica, {S1, S2} ⊢ es un conjunto inconsistente no trivial. Esto, sin embargo, no coincide con lo antes dicho por el mismo Priest en el sentido de que "la pobreza de las formas de inferencia siloǵıstica y sus formas gramaticales asociadas hace imposible preguntarnos qué es lo que sigue de una contradicción" (Priest y Routley 1984, pág. 5).1 Una clase especial de lógicas paraconsistentes muy resistente a la trivialización es el de las lógicas fuertemente paraconsistentes.2 Def. P′ es fuertemente paraconsistente ⇔ {α,¬α}⊢P′ 6= ▲❡ (1.11) El hecho de que una teoŕıa esté clausurada en una relación fuertemente paraconsistente no excluye que sea trivializable en términos más sofisticados. Es aśı que en el cálculo C1 de da Costa (1993) cualquier fórmula α∧ (¬α∧¬(α∧¬α)) trivializa cualquier teoŕıa que la implique (cf. ap. I). 1 ✭✭Though Aristotelians held that a contradiction cannot be true, Aristotelian syllogistic is not explosive. However, like a purely positive logic it is not paraconsistent either. The point is that the poverty of the forms of syllogistic inference and its associated grammatical forms makes it impossible to ask the question of what follows from a contradiction.✮✮ 2Utilizo la definición de Perzanowski (2001, p. 8) y no la de Weber (2017, def. 1). 15 1.3. Metalógica Me, I always tell the truth... Even when I lie. -Tony Montana, Scarface (Oliver Stone, 1983) Tras definir las lógicas explosivas y paraconsistentes conviene preguntarse cuáles son los presupuestos lógicos que nos permitirán hablar sobre ellas y, especialmente, derivar sus consecuencias (meta-)lógicas. En otras palabras, queremos saber si la metalógica más apropiada es explosiva o paraconsistente. La paraconsistencia global es la tesis que propone que la metalógica más apropiada debe ser paraconsistente. Una razón, propuesta por Priest, es que evitaŕıa la distinción entre teoŕıa y metateoŕıa ausente en el lenguaje natural e indeseable a su criterio (Priest 2006b, pág. 70). Roman Suszko (1977), sin embargo, demostró que toda lógica L que tenga una clase definida de teoremas puede representarse en términos bivalentes. Esto se logra definiendo una función valuativa v, con dominio ▲❡ y rango {0, 1}, tal que para todo α, vα = 1 si y solo si ⊢L α, caso contrario, vα = 0. Esta versión debilitada de la tesis de Suszko solo propone que es posible establecer tal semántica. La tesis original, empero, afirma que la verdadera semántica de toda lógica es siempre bivalente. Sin comprometerse con esta tesis fuerte, Diderik Batens (1990), proponente de la lógica paraconsistente de relevancia, defendió que la lógica clásica es una meta-lógica más apropiada que las paraconsistentes con el siguiente argumento. Supongamos que tenemos dos enunciados wα = {⊤} y wβ = {⊥,⊤}. Está claro que wα 6= wβ pues {⊤} 6= {⊥,⊤}. Sin embargo, si utilizamos la negación paraconsistente de Priest (véase ap. K) para definir 6=, decir wα 6= wβ no bastaŕıa descartar wα = wβ. Con un razonamiento similar podŕıamos conjeturar que para alguna fórmula α puede darse que ⊢L α y 0L α. Esto es un problema pues tendŕıamos que α seŕıa y no seŕıa una fórmula L-válida o un teorema L-lógico. Esto justifica mi adopción de la lógica clásica como meta-lógica de los argumentos de esta tesis. 16 Caṕıtulo 2 Contrastación de teoŕıas And thus for a time I was occupied by exploded systems, mingling, like an unadept, a thousand contradictory theories, and floundering desperately in a very slough of multifarious knowledge, guided by an ardent imagination and childish reasoning, till an accident again changed the current of my ideas. When I was about fifteen years old we had retired to our house near Belrive, when we witnessed a most violent and terrible thunderstorm. ... On this occasion a man of great research in natural philosophy was with us, and, excited by this catastrophe, he entered on the explanation of a theory which he had formed on the subject of electricity and galvanism, which was at once new and astonishing to me. All that he said threw greatly into the shade Cornelius Agrippa, Albertus Magnus, and Paracelsus, the lords of my imagination. -Victor Frankenstein, Frankenstein (Mary Shelley, 1818) 2.1. La base emṕırica We learn from failure, not from success! -Vlad T, epes, , Dracula (Bram Stoker, 1897) El problema de la base emṕırica es quizá el principal problema de la epistemoloǵıa de las ciencias fácticas. Este consiste en determinar cuánta y qué experiencia permite justificar o aceptar una teoŕıa fáctica. Este problema se traslada automáticamente al de la aceptación de ciertos enunciados cientıficos de largo alcance como lo son las 17 leyes cientıficas. Una ley cientıfica como: Todos los cisnes son blancos. (2.1) expresa que todos los individuos posibles de un conjunto -en este caso el de los cisnes- debe también pertenecer a otro -el conjunto de las cosas blancas. Este enunciado tiene la forma lógica de un enunciado universal, que es forma tıpica de las leyes cientıficas. Si representamos la propiedad de ser cisne con el predicado C, y la de ser blanco con el predicado B, entonces el enunciado (2.1) puede ser representado con la fórmula ∀x(Cx→ Bx) de ▲❡. La respuesta del empirismo lógico fue su criterio de verificación, según el cual un enunciado solo tiene sentido en tanto sea verificable. De esto se sigue los enunciados de las ciencias fácticas solo tienen sentido en tanto sea posible conectarlos con experiencias que nos permitan determinar si son verdaderos. Una oración significa solo aquello que es verificable por ella. De ahı que una oración, si significa algo en absoluto, solo significa un hecho emṕırico. Algo que, en principio, esté más allá de lo perceptible (Erfahrbaren) no puede ser dicho, ni pensado ni preguntado. (Carnap 1931b, pág. 236) Lo que no puede ser ni dicho, ni pensado, ni preguntado es la metafısica. Los enunciados metafısicos seŕıan, entonces, pseudoenunciados pues no remiten a enunciados protocolares ; i.e. enunciados que registran la experiencia sin meter de contrabando presupuestos para interpretar lo observado.1 Una teoŕıa que no remita a enunciados protocolares es pseudocientıfica en esta concepción. Ningún enunciado cientıfico, sin embargo, denota las experiencias mismas de los cientıficos, por lo que no hay enunciados propiamente protocolares en ciencias fácticas. Podemos, no obstante, conectar algunos enunciados del lenguaje cientıfico con ciertas experiencias, o incluso con enunciados protocolares, mediante ciertas teoŕıas relativas a instrumentos de observación. Llamaré enunciados observacionales a los enunciados cientıficos de ▲❡ que pueden ser aśı ligados con la experiencia. El 1 ✭✭[I]n das Protokoll keine indirekt gewonnenen Sätze aufnehmen würden.✮✮ (Carnap 1931a, pág. 437) 18 siguiente es un enunciado observacional ligado a (2.1). El cisne a es blanco. (2.2) que afirma de un individuo de una clase -la de los cisnes- que también pertenece a otra -la de las cosas blancas. La fórmula de ▲❡ equivalente a (2.2) seŕıa Ca∧Ba. ¿Cómo se justifica entonces la creencia en (2.1) a partir de enunciados como (2.2)? Al respecto Wittgenstein dijo de todo enunciado que, si no es un enunciado observacionales, es una generalización de ellos.1 Si las leyes cientıficas cientıficas satisficieran esto, debeŕıan poder reducirse a enunciados observacionales. Pero como el universo de las teoŕıas cientıficas más interesantes es infinito, su contenido emṕırico se reduciŕıa a una cantidad infinita de enunciados observacionales. Como resulta imposible verificar cada uno de ellos, esta versión del criterio de verificación debe ser rechazada, pues tornaŕıa inaceptables las leyes cientıficas. La alternativa podŕıa estar en algún mecanismo de inferencia que permita pasar de la verdad de algunos enunciados observacionales -que son directamente verificables- a la de un enunciado teórico -que no es directamente verificable. Tal mecanismo seŕıa la inducción en su sentido anticuado, o inducción incompleta, que es aquella inferencia que pasa "de enunciados singulares, que describen, p.e. observaciones, experimentos, etc., a enunciados universales, tales como hipótesis o teoŕıas" (Popper 1935, ➜1). Pero como advertıa Lukasiewicz, con la inducción creamos ciertos juicios que van más allá de lo que realmente conocemos por experiencia. La inducción incompleta es un tipo de explicación. Es un modo de razonamiento que, para ciertos juicios singulares confiables como "S1 es P , S2 es P , S3 es P , ...", busca una razón en la forma de un juicio general como "todo S es P". [...] Cuando asumimos que los casos no conocidos se comportan como los casos conocidos no estamos reproduciendo los hechos que están emṕıri1Más precisamente, Wittgenstein habla de enunciados elementales o primitivos (Elementarsätze), que equivalen, en este contexto, a los enunciados enunciados protocolares de los empiristas lógicos y a mis enunciados observacionales. El pasaje referido es el siguiente: ✭✭Die Sätze sind alles, was aus der Gesamtheit aller Elementarsätze folgt (natürlich auch daraus, dass es die Gesamtheit aller ist). (So könnte man in gewissem Sinne sagen, dass alle Sätze Verallgemeinerungen der Elementarsätze sind.)✮✮ (Tractatus, 4.52) 19 camente dados, sino que creamos nuevos juicios que se asemejan a los juicios sobre los casos conocidos. (1970, p. 8, orig. 1912) De esto se sigue la clasificación que Lukasiewicz hace de los juicios de la ciencia entre los que reproducen hechos experimentados y los producidos por la mente humana. Los primeros son equiparables con los enunciados observacionales y son aceptados por ser verdaderos. Los segundos, en cambio son aceptados en la ciencia en tanto estén conectados "con juicios de la primera categoŕıa, si es que no implican consecuencias que estén en desacuerdo con la realidad." De los juicios de la segunda categoŕıa, empero, no podemos decir que son verdaderos o falsos pues "no sabemos si es que tienen contrapartes en la realidad". (ibıd., pág. 13) Los empiristas lógicos tampoco fueron ingenuos en esto. Carnap, por ejemplo, advirtió del carácter hipotético que las leyes cientıficas tienen con respecto a los enunciados singulares, y del de estos con respecto a los enunciados protocolares (1931a, pág. 400). Neurath, por su parte, precisó que la inducción que permite obtener leyes se justifica por una resolución o decisión (Entschluss) y que, por tanto, los intentos por justificarla lógicamente están "destinados a fracasar". De ahı que para él no pueda haber otro concepto de verdad cientıfica que no exprese, en el fondo, nuestro fracaso por intentar refutar.1 Esto es razonable para Lukasiewicz, pues para él la mente humana, y por lo tanto la ciencia, "no trabaja creativamente para alcanzar la verdad", sino para "construir śıntesis que satisfagan las necesidades intelectuales comunes a la humanidad" (1970, pág. 13). Esto no implica un compromiso con la metafısica, pues Lukasiewicz no dice que tales enunciados sean verdaderos o verificables; pero śı nos dice que la actividad cientıfica está irremediablemente colmada de creación poética.2 1 ✭✭Die " Induktion", die zu Gesetzen führt, beruht auf " Entschluss", sie ist nicht ableitbar. Die Versuche die " Induktion" logisch zu begründen, müssen daher scheitern. Wenn eine Aussage gemacht wird, wird sie mit der Gesamtheit der vorhandenen Aussagen konfrontiert. Wenn sie mit ihnen übereinstimmt, wird sie ihnen angeschlossen, wenn sie nicht übereinstimmt, wird sie als " unwahr" bezeichnet und fallen gelassen, oder aber der bisherige Aussagenkomplex der Wissenschaft abgeändert, so dass die neue Aussage eingegliedert werden kann; zu letzterem entschliesst man sich meist schwer. Einen anderen " Wahrheitsbegriff" kann es für die Wissenschaft nicht geben.✮✮ (1931, pág. 299) 2 ✭✭Poetic creativity does not differ from scientific creativity by a greater amount of fantasy. Anyone 20 Que la verdad no sea el telos de la ciencia implica una clara renuncia al criterio de verificación. Reichenbach intentó resolver este problema tratando la verdad cientıfica en términos probabilistas, de modo que asignar la verdad a un enunciado cientıfico no seŕıa asignarle una probabilidad muy alta equivalente a la certeza; asimismo, asignarle la falsedad seŕıa a asignarle una probabilidad muy baja equivalente a la imposibilidad (1936, pág. 269). De este modo, el problema se resuelve mediante un principio inducción probabilista que permitiŕıa asignar a (2.1) una probabilidad cercana a la certeza de verificarse suficientes enunciados como (2.2). Popper se opuso a esta tentativa arguyendo que el principio de inducción, incluyendo la probabilista, es imposible de justificar emṕıricamente, pues requeriŕıa de inferencias inductivas (o probabilistas) que tendŕıan que justificarse por otras inferencias inductivas (o probabilistas), generándose aśı una regresión infinita (1935, ➜1). Argumentó, además, que ninguna teoŕıa interesante se enuncia como una generalización de enunciados observacionales pues estas implican enunciados sobre entidades inobservables, como la gravedad, y solo algunas de sus consecuencias lógicas implican enunciados sobre entidades observables. Quizá la principal contribución de Popper a la epistemoloǵıa haya sido su caracterización de las teoŕıas cientıficas como sistemas de enunciados parcialmente decidibles, en el sentido de que son "lógicamente inverificables, pero śı unilateralmente refutables" (1932, pág. 426). Esto se debe a la asimetŕıa entre la posibilidad de refutar y verificar un enunciado universal.1 Aśı, mientras verificar (2.1) requeriŕıa la verificación de cada una de sus infinitas instancias, refutarlo solo requeriŕıa de who, like Copernicus, has moved the Earth from its position and sent it revolving around the Sun, or, like Darwin, has perceived in the mists of the past the genetic transformations of species, may vie with the greatest poet. But the scientist differs from the poet in that he reasons at all times and places. He need not and cannot justify everything, but whatever he states he must link with ties of logic into a coherent whole. The foundation of that whole consists of judgements about facts, and it supports the theory, which explains, orders and predicts facts. This is how the poem of science is created.✮✮ (1970, pág. 14) 1 ✭✭Die Naturgesetze ( " Theorien") können widerspruchsfrei als " teilentscheidbare" (d. h. aus logischen Gründen zwar nicht verifizierbare, wohl aber einseitig falsifizierbare) echte Wirklichkeitsaussagen angesehen werden, die durch Falsifikationsversuche methodisch überprüft werden.✮✮ (ibıd., pág. 426) 21 refutar una de sus contra-instancias expresada en un enunciado observacional como: No es el caso que el cisne a es blanco. (2.2') que indica que un individuo de cierta clase -la de los cisnes- no pertenece a otra clase -la de las cosas blancas-, y cuya fórmula de ▲❡ seŕıa ¬(Ca ∧ Ba). Todo enunciado observacional que, de ser verdadero, refute una teoŕıa o ley es su refutador potencial. En este sentido, (2.2') es un refutador potencial de (2.1) -o cualquier teoŕıa que lo implique- pues si (2.2') fuera verdadero, entonces (2.2) y (2.1) seŕıan falsas. También podemos llamar corroborador potencial de una teoŕıa o ley a todo enunciado que exprese un caso especial de ellas. Aśı, (2.2) es un corroborador potencial de (2.1) y de cualquier teoŕıa que la implique. Popper denomina corroboración de una teoŕıa al proceso en el que verificamos sus consecuencias emṕıricamente contrastables. Es en este sentido que las "teoŕıas no se pueden verificar; pero śı se pueden corroborar" (1935, pág. 185).1 Sin embargo, Popper no propone aceptar una teoŕıa por haber sido suficientemente corroborada, sino por haber resistido varios intentos por refutarla. En este sentido, una teoŕıa es más cientıfica cuando arriesga hipótesis muy precisas y que a priori son muy probablemente falsas. De poco sirve una teoŕıa que tenga muchas consecuencias contrastables y verdaderas si es que son tan triviales como que mañana saldrá el Sol, o que este año lloverá. Por otro lado, poco o nada importa quién propone una teoŕıa o hipótesis, ni para qué lo hace, ni cómo llegó a ella. La ciencia es en esta concepción como un mercado abierto al que los cientıficos llegan con sus teoŕıas, los compradores son los demás cientıficos que deben decidir si se quedan o no con la teoŕıa. En tal decisión, poco le debe importar al comprador de dónde viene el vendedor. Todo lo que importa 1Sobre el término "corroborar", véase la siguiente nota al pie de la edición inglesa: ✭✭Carnap translated my term 'degree of corroboration' ('Grad der Bewährung ') [...] as 'degree of confirmation'. [...] I did not like this term, because some of its associations ('make firm'; 'establish firmly'; 'put beyond doubt'; 'prove'; 'verify': 'to confirm' corresponds more closely to 'erhärten' or 'bestätigen' than to 'bewähren'). [...] I fell within his usage, thinking that words do not matter. [...] Yet it turned out that I was mistaken: the associations of the word 'confirmation' did matter, unfortunately, and made themselves felt: 'degree of confirmation' was soon used -by Carnap himself- as a synonym (or 'explicans') of 'probability'✮✮ (Popper 2002, cap. 10, n. ∗1) 22 es si el producto es bueno o no, y una teoŕıa es buena en tanto se aproxime a la verdad. Algunas de estas teoŕıas pueden incluso parecerse a la mitoloǵıa o la religión; sin embargo "estas a menudo fantásticamente audaces anticipaciones de la ciencia se controlan clara y sobriamente a través de contrastaciones (Nachprüfungen) metódicas" (Popper 1935, 207, mi énfasis). Las ideas de Popper se han hecho un lugar importante en la comunidad cientıfica a través del llamado método hipotético deductivo (cf. Lorenzano 1993). Tal influencia no se limita a las ciencias naturales pues también ha tenido una influencia directa o indirecta entre representantes de las ciencias sociales de varias tradiciones. Por mencionar el caso de la antropoloǵıa cultural, autores como Llobera (1975) y Kaplan y Manners (1972, cap. 1) criticaron ciertos presupuestos empiristas o inductivistas que ubicaban la validez y objetividad de la disciplina en las observaciones de campo hechas por antropólogos individuales. En lugar de esto, propusieron adoptar la estrategia inversa de partir de conjeturas de largo alcance e incluso teoŕıas axiomáticas que puedan ser después contrastadas en el trabajo de campo. De manera más indirecta podemos ver similitudes entre la contrastación popperiana de hipótesis por enunciados observacionales, y el proceso contrastación de esquemas por cintas (strips) propuesto por Agar (1982) desde la tradición hermenéutica (cf. González Echevarŕıa 2006). También podemos ver algunas similitudes entre la dialéctica popperiana conjetura-refutación-nueva (y mejor) conjetura y el análisis cultural de Geertz que consiste en "adivinar significados, evaluar significados y extraer conclusiones explicativas de las mejores adivinanzas" (1973, pág. 20). Es en este sentido que podemos caracterizar al refutacionismo, falsacionismo o hipotético-deductivismo, como un programa epistemológico. Llamo programa epistemológico a los principios que sirven para que una comunidad, auto-concebida como cientıfica o académica, produzca y valide ideas como conocimiento cientıfico o académico. El programa inductivista, entre cuyos defensores podŕıamos considerar a Reichenbach, propone que una teoŕıa ❚ es validada por acumulación de evidencia positiva que permita confirmarla en cierto grado; i.e. cuanto más corroboradores 23 potenciales de ❚ verifiquemos, más justificados estaremos en creer en ❚. Para los refutacionistas, en cambio, ❚ es temporalmente aceptada en tanto haya "probado su temple" (Popper 2002, pág. 32) ante varios intentos fallidos de refutación; i.e. estamos justificados en creer en ❚ en tanto hayamos fracasado en verificar sus refutadores potenciales. Podŕıamos agregar aqúı el más liberal programa enciclopedista de Neurath (cf. sec. 2.3), que solo requiere de las teoŕıas que propongan de antemano sus condiciones de contrastación, sin necesidad de que estas se ajusten a un modelo general como el inductivista o el refutacionista. En el siguiente caṕıtulo hago una presentación formal de algunos conceptos necesarios para entender el programa refutacionista. 2.2. Corroboradores y refutadores potenciales 2.2.1. Corroboradores potenciales La razón por la que un lenguaje cientıfico debe contener enunciados observacionales es para que sus teoŕıas los puedan implicar. Como veremos en la sección 2.3, ninguna teoŕıa o ley cientıfica puede predecir por śı misma una situación observable pues es necesario asumir ciertos presupuestos sobre nuestros instrumentos y las condiciones iniciales del caso a ser evaluado. Sin embargo, con el fin de simplificar nuestra discusión, daremos estos presupuestos por descontados. Esto dicho, un enunciado observacional puede ser un enunciado singular, como (2.2), o uno existencial, como: Existe un cisne que es blanco. (2.3) según el cual existe un individuo de cierta clase -la de los cisnes- que también pertenece a otra -la de las cosas blancas. La fórmula de ▲❡ equivalente a (2.3) es ∃x(Cx∧Bx). Sin embargo, los enunciados existenciales no indican de qué individuo estamos hablando, cosa que śı hacen los singulares. Aunque un enunciado observacional debe ser o bien singular o bien existencial, no todos los enunciados existenciales y singulares describen situaciones observables. Esto porque algunos enunciados singulares se pueden también expresar como uni24 versales, y viceversa. Considérese por ejemplo el enunciado: Ernesto es puntual. (2.4) Si representamos la propiedad de ser puntual con P y a Ernesto con la constante e, la fórmula de ▲❡ correspondiente a (2.4) seŕıa Pe: un enunciado singular. Sin embargo, decir de alguien que es puntual equivale a decir que llega temprano en toda situación. De ahı que (2.4) sea equivalente a: Para toda circunstancia y, Ernesto llega temprano en y. (2.5) Si usamos el predicado diádico T para denotar la relación "x llega temprano en la situación y", la fórmula de ▲❡ correspondiente a (2.5) seŕıa ∀y Tey: un enunciado universal. Por lo tanto, (2.4) no es un enunciado observacional a pesar de ser un enunciado singular. Es posible construir un argumento similar para el caso de los enunciados existenciales. En śıntesis, los enunciados observacionales son simplemente aquellos enunciados (existenciales y singulares) que resultan describir situaciones observables. Tal observabilidad no precisa ser posible en el presente pues en algunos casos los sucesos a los que nos referimos no están a nuestro alcance espacio-temporal -como en los hechos históricos-, o no pueden ser determinados con los instrumentos de que disponemos en el presente. Popper, sin embargo, propuso que la forma lógica de los enunciados observacionales -sus enunciados básicos- sea la de los enunciados existenciales para aśı representar la asimetŕıa entre los enunciados teóricos y sus refutadores potenciales. De esta manera, la negación de todo refutador potencial no podŕıa preservar su forma lógica, pues será una ley cientıfica.1 Para nuestros propósitos, empero, es más conveniente la forma lógica de los enunciados singulares. De otro modo, no será posible decir que una fórmula contradictoria φ∧¬φ, sea tal que tanto φ cuanto ¬φ sean enunciados observacionales. Esto porque, mientras la negación de un enunciado singular es otro enunciado singular 1 ✭✭[W]ir müssen die logische Form der Basissätze so bestimmen, dass die Negation eines Basissatzes seinerseits kein Basissatz sein kann✮✮ (Popper 1935, p. 58). "Enunciado básico" (Basissatz ) es en este contexto sinónimo de "refutador potencial". 25 -e.g. (2.2) y (2.2')-, la negación de un enunciado existencial, como: No existe un cisne que sea blanco. (2.3') es equivalente a un enunciado universal, como: Todos los cisnes no son blancos. (2.3") Si φ fuera singular, ¬φ podŕıa ser un enunciado observacional pues también seŕıa singular. En cambio, si φ fuera existencial, ¬φ seŕıa equivalente a un enunciado universal, por lo que seŕıa lógicamente imposible de verificar. Ahora, hay buenas razones para considerar que la negación de todo enunciado observacional singular es también un enunciado observacional. Para justificar esto solo debemos asumir, como Bobenrieth (cf. sección 3.3), que observar ¬φ es simplemente observar una situación que sea incompatible con lo descrito por φ. De ahı que la única manera de observar ¬φ es observando lo descrito por otro enunciado observacional ψ, cuyo contenido emṕırico sea incompatible con el de φ. Debemos entonces preguntarnos en qué circunstancias puede haber un enunciado observacional φ tal que no exista un ψ que describa una situación incompatible con φ. Esto puede darse o bien porque (i) φ es una verdad anaĺıtica, en cuyo caso φ no seŕıa observacional, o porque (ii) nuestro lenguaje no es lo suficientemente expresivo como para permitir que φ exista, lo cual significa que debemos usar otro lenguaje. Por lo tanto, si φ es un enunciado observacional singular, también ¬φ lo es. Los siguientes axiomas caracterizan las propiedades que necesitamos del conjunto ❖❜ de enunciados observacionales de ▲❡. Ax. ❖❜ ⊆ ❙✐ (2.6) Ax. ❖❜ 6= {} (2.7) Ax. φ ∈ ❖❜⇔ ¬φ ∈ ❖❜ (2.8) De lo que se sigue que: {2.7, 2.8} ❖❜ es inconsistente (2.9) Ahora extenderé el uso del nombre ❖❜ para que también denomine una función ❖❜ : ℘▲❡ −→ ℘❖❜, donde el ❖❜ de la derecha refiere al conjunto de enunciados observacionales recién definido. Aśı, ❖❜(❆) devuelve el conjunto de enunciados ob26 servacionales singulares de ❆. Def. ❖❜(❆) = ❆ ∩❖❜ (2.10) Con lo que podemos enunciar la siguiente propiedad satisfecha por toda teoŕıa cientıfica fáctica. Ax. ❖❜(❚) 6= {}, para toda teoŕıa ❚ (2.11) En adelante, el dominio de las variables sentenciales φ y ψ estará restringido a ❖❜. Aśı, siempre que digamos que algún φ o todo ψ satisfacen algo, se entenderá que estamos hablando de enunciados observacionales; i.e. que φ, ψ ∈ ❖❜. Las definiciones y axiomas presentados hasta ahora son obviamente insuficientes para hacer una caracterización adecuada de los enunciados observacionales. Para esto tendŕıamos que servirnos de lo que Hempel llama términos observacionales, que son predicados que denotan "propiedades o relaciones cuya presencia o ausencia en un caso dado puede ser intersubjetivamente determinada, en circunstancias apropiadas, mediante observación directa" (1952, pág. 22). Tal estrategia, sin embargo, sólo haŕıa innecesariamente más larga y complicada esta exposición. Para definir formalmente las nociones de corroborador y refutador potencial introduciré los conceptos acontecimiento (Ereignis, occurence) y evento (Vorgang) en su presentación por Popper (1935, ➜23). Podemos definir un acontecimiento como aquello descrito por enunciado observacional, de manera que dos enunciados observacionales lógicamente equivalentes describen el mismo acontecimiento. De ahı que el acontecimiento representado por φ sea el conjunto de todos los enunciados observacionales equivalentes a φ.1 Def. ❆❝(φ)⊢ = {ψ | ⊢ φ↔ ψ} (Ac) De lo que se sigue inmediatamente que: {} φ ∈ ❆❝(φ)⊢ (2.12) De cualquier ψ ∈ ❆❝(φ)⊢ decimos que "ψ representa el acontecimiento❆❝(φ)⊢", pues decir que "el acontecimiento ❆❝(φ)⊢ ha ocurrido" equivale a decir que "φ y to1Aqúı la definición original: ✭✭Ist pk ein besonderer Satz (der Index k deutet die auftretenden Individualien, bzw. die individuellen Koordinaten an), so nennen wir die Klasse aller mit dem Satz pk äquivalenten Sätze das '' Ereignis Pk".✮✮ (Popper 1935, pág. 48) 27 dos los enunciados equivalentes a φ son verdaderos" (Popper 1935, pág. 48). Nótese que un acontecimiento es siempre un conjunto de enunciados observacionales equivalentes entre śı de acuerdo con una relación de consecuencia lógica. Si cambiamos la relación de consecuencia, podŕıamos alterar el conjunto, pues los criterios de equivalencia lógica podŕıan cambiar. Intuitivamente, un acontecimiento refiere a un hecho que puede ser descrito por enunciados observacionales, de lo que se sigue que son verificables. Por lo tanto, si ❚ ⊢ φ, la verificación de φ, y por lo tanto la de ❆❝(φ)⊢, seŕıa una corroboración de ❚. El conjunto de los corroboradores potenciales de una teoŕıa ❚, o ❈♦(❚), se puede definir entonces como la unión de todos los acontecimientos predichos por ❚. Def. ❈♦(❚⊢) = ⋃ φ∈❚⊢ ❆❝(φ)⊢ (Co) Como corolario tenemos que el conjunto de corroboradores potenciales de una teoŕıa es simplemente el conjunto de sus enunciados observacionales. {} ❈♦(❚⊢) = ❖❜(❚⊢) (2.13) Demostración. (⇒) Según la definición (Co) que existe un ψ ∈ ❚⊢ tal que φ ∈ ❆❝(ψ)⊢, si φ ∈ ❈♦(❚⊢). Esto, por la definición (Ac) significa que ⊢ ψ ↔ φ, lo cual, por la definición (A4) del bicondicional y el postulado (A3), implica que ⊢ ψ → φ. Pero como ❚ ⊢ ψ y ⊢ ψ → φ, se sigue por el postulado (A1) que ❚ ⊢ φ, lo cual implica que φ ∈ ❖❜(❚⊢). (⇐) Se sigue del teorema (2.12) y la definición (Co). Asimismo, si una teoŕıa inconsistente está clausurada con respecto a una relación explosiva, se sigue que el conjunto de sus corroboradores potenciales es el conjunto de todos los enunciados observacionales. {} ❚⊢E es inconsistente ⇒ ❈♦(❚⊢E) = ❖❜ (2.14) Demostración. El teorema (1.9) garantiza que ❚⊢E = ▲❡, para ❚⊢E inconsistente, por lo que reemplazando en el teorema (2.13) obtenemos ❈♦(❚⊢E) = ❖❜(▲❡). {2.7, 2.8} ❚⊢E es inconsistente ⇔ ❈♦(❚⊢E) = ❖❜ (2.15) 28 Demostración. (⇒) Teorema (2.14). (⇐) Si asumimos ❈♦(❚⊢E) = ❖❜, del teorema (2.9) se sigue ❈♦(❚⊢E) es inconsistente, lo cual por el teorema (2.13) implica que ❖❜(❚⊢E) es inconsistente y, por la definición (2.10), que también lo es ❚⊢E . 2.2.2. Falsadores potenciales A lo largo de su Logik, Popper caracteriza los refutadores potenciales de una teoŕıa como enunciados emṕıricamente contrastables prohibidos por, o inconsistentes con, tal teoŕıa. De ahı que las siguientes expresiones sean empleadas de manera equivalente a lo largo de esta obra. α se contradice con ❚ (2.16) α es inconsistente con ❚ (2.17) α es falso según ❚ (2.18) α es prohibido por ❚ (2.19) α es incompatible con ❚ (2.20) El sentido intuitivo de todos estos enunciados es similar. Según (2.16) y (2.17), α equivale a la negación de algo afirmado por ❚. Por su parte, (2.19) y (2.20) estipulan que si aceptamos la teoŕıa ❚, debemos rechazar α, y viceversa. Finalmente, (2.18) nos dice que si creemos ❚ es verdadera, se sigue que α es falsa. Las tres ideas pueden ser equiparadas si nos ubicamos en el contexto de una lógica clásica o explosiva. No obstante, es conveniente distinguir estos tres grupos de conceptos pues si ❚ fuera inconsistente pero no trivial, los tres conceptos podŕıan no ser equivalentes. Por ejemplo, es posible que α se contradiga (o sea inconsistente) con ❚, pero al mismo tiempo sea compatible con (o no prohibido por) ❚; e.g., cuando ❚ ⊢ α ∧¬α. Asimismo, es posible que un enunciado α sea falso según ❚, pero al mismo tiempo sea compatible con ella; e.g., cuando la semántica lógica es la de Priest y de los axiomas de ❚ se sigue que wα = {⊥,⊤}. Entre estos tres conceptos, importa más el concepto de incompatibilidad (o prohibición) pues permite explicitar el conjunto de enunciados que ❚ nos fuerza a rechazar, y que nos forzaŕıan a rechazar ❚. Esto es importante pues, incluso para 29 un defensor del dialeteismo como Priest no es racional aceptar y rechazar la misma información Priest (2006b, ➜7.3). Diremos entonces que todos los enunciados emṕıricamente contrastables que sean incompatibles con la teoŕıa serán sus refutadores potenciales. El sentido clásico en que se entiende esta compatibilidad es, por supuesto, el de la contradicción. A los refutadores potenciales definidos en este sentido les llamaré, de acuerdo a la etimoloǵıa del término original, falsadores potenciales. Aśı, el conjunto de falsadores potenciales de una teoŕıa ❚, o ❋❛(❚), es la unión de los acontecimientos de las negaciones de los enunciados de ❖❜(❚). Def. ❋❛(❚⊢) = ⋃ φ∈❚⊢ ❆❝(¬φ)⊢ (Fa) De lo que tenemos: {} ❚ ⊢ φ⇒ ¬φ ∈ ❋❛(❚⊢) (2.21) Demostración. De la definición (Fa) y el teorema (2.12). {N1} φ ∈ ❋❛(❚⊢) ⇒ ❚ ⊢ ¬φ (2.22) Demostración. Por la definición (Fa), de φ ∈ ❋❛(❚⊢) se sigue que φ ∈ ❆❝(¬ψ)⊢, para ψ ∈ ❚⊢. Por el postulado (N1) tenemos que ⊢ ψ → ¬¬ψ, por lo que (A1) garantiza que❚ ⊢ ¬¬ψ. De definición (Ac) y φ ∈ ❆❝(¬ψ)⊢ se deduce que ⊢ ¬ψ ↔ φ, lo cual por los postulados (A3), (A5) y (A7) y la definición (A4) del bicondicional implica que ⊢ ¬¬ψ → ¬φ. De esto y ❚ ⊢ ¬¬ψ se sigue, por (A1), que ❚ ⊢ ¬φ. {N1, N2} ❚ ⊢ ¬φ⇔ φ ∈ ❋❛(❚⊢) (2.23) Demostración. (⇒) Por el teorema (2.21) y los postulados (A6), (N1) y (N2). (⇐) Teorema (2.22). {N1, N2} ❚ ⊢ φ⇔ ¬φ ∈ ❋❛(❚⊢) (2.24) Demostración. (⇒) Teorema (2.21) (⇐) Del teorema (2.22) y (N2). 30 Este concepto parece incompatible con las teoŕıas inconsistentes pues si φ,¬φ ∈ ❚⊢, tendremos que tanto φ cuanto ¬φ serán sus refutadores potenciales. Sin embargo, este no seŕıa el caso si la teoŕıa fuera emṕıricamente consistente (EC ); i.e. si su subconjunto de enunciados observacionales fuera consistente. Def. ❆ es EC ⇔ ❖❜(❆) es consistente (EC ) Si ❆ no es emṕıricamente consistente, entonces es emṕıricamente inconsistente. Es perfectamente posible que una teoŕıa ❚⊢ sea (teóricamente) inconsistente, pero emṕıricamente consistente. Si esto es aśı, poco importa que ❚⊢ implique incluso todos los enunciados teóricos o que sea teóricamente trivial, pues no tendremos dos enunciados observacionales contradictorios que sean refutadores potenciales de ❚⊢. {N1, N2} ❚⊢es EC ⇔ ❋❛(❚⊢) es consistente Demostración. Por las contrapositivas de cada lado y las definiciones (EC ) y (Con) debemos demostrar que φ,¬φ ∈ ❋❛(❚⊢) ⇔ ψ,¬ψ ∈ ❚⊢, para algún φ y ψ. Esto se sigue trivialmente de los teoremas (2.23) y (2.24). No obstante, a menos que consideremos que algunos enunciados observacionales no satisfacen el principio de tercio excluido, la definición (Fa) refuta a priori cualquier que teoŕıa emṕıricamente inconsistente. Asimismo, si la lógica en que la teoŕıa inconsistente está clausurada es explosiva, toda fórmula emṕırica será su refutador potencial. {N1, N2} ❚⊢E es inconsistente ⇒ ❋❛(❚⊢E) = ❖❜ (2.25) Demostración. Por el teorema (2.23), para que ❋❛(❚⊢E) = ❖❜ basta que para todo φ, ❚ ⊢E ¬φ, lo que se sigue de la definición (E ). {N1, 2.7, 2.8} ❋❛(❚⊢) = ❖❜⇒ ❚⊢ es inconsistente (2.26) Demostración. Se sigue trivialmente de los teoremas (2.9) y (2.22). Es por esto que Popper consideró la consistencia una condición necesaria para la refutabilidad. Esto no solo porque una teoŕıa inconsistente seŕıa falsa, sino porque 31 al implicar todo enunciado, no prohıbe ninguno. Como consecuencia, ningún enunciado o conjunto de enunciados seŕıa incompatible con ella. Esto se encuentra bien expresado en la edición inglesa de su Logic. Pero la importancia del requisito de consistencia será apreciada si nos damos cuenta de que un sistema contradictorio no es informativo. Esto es aśı porque podemos derivar cualquier conclusión que nos plazca de este. Aśı, ningún enunciado es señalado ni como incompatible ni como derivable, pues todos son derivables. (Popper 2002, pág. 72) El teorema (2.26), sin embargo, sugiere una interpretación distinta: que las teoŕıas inconsistentes/triviales lo prohıben todo y son demasiado informativas, en lugar de permitirlo todo y ser no informativas. Considero que ambas interpretaciones son válidas pues ambos casos son igualmente indeseables. Si nos atenemos, empero, a la equivalencia entre los conceptos de incompatibilidad e inconsistencia, creo que mi interpretación es más apropiada. En todo caso, los teoremas (2.15) y (2.26) en conjunción pueden ser interpretados en el sentido de que las teoŕıas inconsistentes lo permiten y prohıben todo, lo cual es aún más indeseable. Es por todo esto Popper restringe su definición del concepto de refutabilidad solo a las teoŕıas consistentes. Aśı, una teoŕıa consistente es lógicamente refutable divide el conjunto de todos los enunciados observacionales entre dos conjuntos no vaćıos: (i) el conjunto de refutadores potenciales de la teoŕıa, i.e., enunciados no permitidos por la teoŕıa, o inconsistentes con ella; y (ii) el conjunto de enunciados que la teoŕıa permite, o que no la contradicen. (Popper 1935, ➜21) Sin embargo, Popper también estipula un mınimo de contenido emṕırico que toda teoŕıa debe cumplir para ser refutable; para él no basta que la teoŕıa prohıba algunos cuantos acontecimientos, es necesario que prohıba por lo menos un evento. Un evento expresa aquello que es "tıpico o universal de un acontecimiento" (ibıd., pág. 48). Por ejemplo, dado el enunciado observacional "Alberto viste un polo azul", que representa el acontecimiento de que Alberto viste un polo azul, tenemos el evento 32 vestir un polo azul, que es indiferente de Alberto o cualquier persona que lo pueda vestir. Como ya vimos, los enunciados observacionales son enunciados singulares. Esto significa que, dado un predicado monádico P, un enunciado observacional sobre a será de la forma Pa. Sin embargo, P puede estar definido en función de un predicado diádico R y un objeto c en su dominio, de manera que Pa sea equivalente en definición a Rac. Por ejemplo, si a refiere a Alejandra, c a Carla y Rxy denota que "x juega ajedrez con y", lo tıpico o o universal del acontecimiento denotado por Pa o Rac podŕıa ser tanto (i) jugar ajedrez con Maŕıa o (ii) jugar ajedrez con Patricia. Para evitar esta ambigüedad diremos que un evento representa lo general de un acontecimiento con respecto a cierto x de que trata tal acontecimiento. En su presentación original, Popper representa los eventos como clases de acontecimientos. Para no usar conjuntos de conjuntos, representaré los eventos como conjuntos que incluyen acontecimientos.1 Def. ❊✈(φ, u)⊢ = ⋃ t ❆❝(φtu) ⊢, donde φtu ∈ ❖❜ (Ev) En śıntesis, si el enunciado observacional Jac se lee "Alejandra juega ajedrez con Carla", entonces Jac representa el acontecimiento de que Alejandra juega con Carla, o ❆❝(Jac)⊢, que es un subconjunto de los eventos jugar con Carla o ❊✈(Jac, a)⊢ y jugar con Alejandra o ❊✈(Jac, c)⊢. En términos similares a estos, Popper define que una teoŕıa es refutable, o en este caso falsable, si prohıbe "al menos un evento" (1935, pág. 49). Si restringimos el dominio a las teoŕıas consistentes, la definición (Fa) satisface tal requisito. En adelante, cuando φ tenga un solo nombre o sea evidente por el contexto de qué nombre en φ se trate, referiremos al evento correspondiente con ❊✈(φ)⊢. Def. ❚⊢ es falsable ⇔ ❊✈(φ)⊢ ⊆ ❋❛(❚⊢), para algún φ (F ) 1Aqúı la definición original: ✭✭Ein '' Vorgang (P)" ist die Klasse aller Ereignisse Pk, Pl, ... die sich nur durch die Verschiedenheit der Individualien unterscheiden✮✮ (1935, pág. 48). En la edición inglesa, la definición de Popper dice "Let Pk, Pl, ... be elements of a class of occurrences" (2002, pág. 69), no la clase de todos los acontecimientos. Esto se contrapone con que los eventos "pueden ser descritos con la ayuda de nombres universales" (ibıd., pág. 69). Es curioso que este error esté en la traducción inglesa hecha, aunque en colaboración, por el mismo Popper. He corroborado que la traducción castellana de Vıctor Sánchez reproduce el mismo error. (Los énfasis son mıos.) 33 Lo inapropiado de estas definiciones para las teoŕıas inconsistentes es evidente. Siendo la consistencia condición necesaria para la falsabilidad las teoŕıas inconsistentes no pueden ser falsables. La refutabilidad, sin embargo, debe ser una propiedad definida para cualquier teoŕıa si queremos tener a las teoŕıas inconsistentes en su dominio. Tal definición debe evitar modificar el significado que tendŕıa para las teoŕıas clásicas. Queremos que la refutabilidad y la falsabilidad sean, en lo principal, equivalentes si ❚⊢ es consistente y ⊢ es explosiva. Para esto debemos modificar el concepto de refutador potencial de manera que se adapte a las caracteŕısticas de cada lógica. De esta suerte, una teoŕıa inconsistente clausurada en una lógica explosiva no podrá ser refutable, pero śı lo podrá ser si está clausurada en una paraconsistente. 2.3. Cŕıticas al refutacionismo I had retrod the steps of knowledge along the paths of time, and exchanged the discoveries of recent enquirers for the dreams of forgotten alchymists. Besides, I had a contempt for the uses of modern natural philosophy. It was very different, when the masters of the science sought immortality and power; such views, although futile, were grand; but now the scene was changed. The ambition of the enquirer seemed to limit itself to the annihilation of those visions on which my interest in science was chiefly founded. -Victor Frankenstein, Frankenstein (1818) El refutacionismo fue criticado Reichenbach alegando que ninguna teoŕıa cientıfica es realmente refutada por un contra-ejemplo (1932, pág. 428)1. En su respuesta a Logik der Forschung, Reichenbach agrega que siempre podemos explicar la inconsistencia entre teoŕıa y hechos "trasladando el error a la determinación del hecho" en lugar de a la teoŕıa. Si, por ejemplo, queremos probar la afirmación teórica de que la corriente eléctrica produce un campo magnético por medio de la desviación de un aguja magnética a través de la corriente, entonces un fracaso (Versagen) 1 ✭✭Kein Naturgesetz besitzt nämlich die von Popper vermutete Form, nach der es widerlegt wäre, wenn sich ein Gegenfall aufzeigen läßt.✮✮ 34 del experimento no debe considerarse una refutación de la teoŕıa; la no rotación de la aguja magnética puede deberse a que la aguja del compás estaba atascada en donde estaba. Y aunque es posible descartar esta posible explicación del fracaso por medio de otro intento, aun quedan muchas otras posibles explicaciones. (Reichenbach 1935, pág. 270) Los fısicos simplifican este procedimiento, según Reichenbach, dando un grado de probabilidad cada vez más bajo a la hipótesis contrastada, hasta considerarla probabilistamente falsa. Considerando esto, Neurath propuso un cambio terminológico similar a uno propuesto por Popper. Mientras este habla de corroboración en lugar de verificación, aquél habla de sacudida o puesta en duda (Erschütterung) en lugar de refutación. De ahı que se oponga tanto a Reichenbach como a Popper en sus intentos de proponer una metodoloǵıa general de inducción o control, respectivamente, aplicable a cualquier teoŕıa de cualquier disciplina. De Popper critica más precisamente, su análisis de las teoŕıas cientıficas como sistemas abstractos bien definidos, libres de ambigüedades, y cuyas relaciones lógicas son muy claras. Tal análisis, según Neurath, no es aplicable a todas las teoŕıas cientıficas pues los enunciados "con los que realmente trabajamos utilizan muchos términos imprecisos, de manera que los 'sistemas' solo pueden destacarse como abstracciones." (1935, pág. 354) Neurath propuso, en cambio, analizar las teoŕıas cientıficas como enciclopedias escogidas por un investigador de acuerdo a la naturaleza del objeto estudiado, y cuyas relaciones lógicas con la experiencia no pueden ser determinadas de antemano. Esto no implica que no deba existir alguna forma efectiva de conectar tales enciclopedias con los enunciados observacionales. No obstante, ningún método general de inducción o control debe determinar de antemano la naturaleza de esta conexión. Rechazamos que la enciclopedia preferida por un investigador sea lógicamente seleccionada con ayuda de un método esquemático general (generell skizzierbaren Method). Con esto liberamos a las ciencias fácticas no solamente de que tengan un método general de "inducción", sino también de que tengan un método general de "control". (ibıd., pág. 355) 35 Neurath propone aśı un modelo más amplio de la teorización cientıfica, que tiene a los sistemas como caso especial. Aunque critica la pretensión popperiana de representar cualquier teoŕıa cientıfica como un sistema, reconoce que sus propuestas y las de Reichenbach explican con suficiencia ciertos dominios de la teorización cientıfica -contrariamente a Popper, quien desecha la propuesta de Reichenbach por completo. Décadas más tarde, Thomas Kuhn profundizó estas cŕıticas señalando que toda teoŕıa nace refutada pues aun las más exitosas se topan con observaciones o experimentos incompatibles con sus predicciones, a los que llama anomaĺıas. La mayor parte del trabajo cientıfico consiste entonces en explicar estas anomaĺıas a partir de una teoŕıa asumida, en lugar intentar probarla o refutarla. Tal actividad se hace presuponiendo ciertas prácticas, conceptos e instrumentos compartidos por una comunidad cientıfica de un tiempo y lugar dado, que constituyen su paradigma. La ciencia normal es, en este sentido, la actividad de "digerir" estas anomaĺıas en el contexto de un paradigma. Los descubrimientos no previstos y difıciles de interpretar por el paradigma dominante forman parte de lo que Kuhn llama ciencia extraordinaria. Un ejemplo clásico de ciencia extraordinaria fue el descubrimiento del átomo de hidrógeno pues presupuso una nueva teoŕıa e incluso un nuevo lenguaje que exprese el concepto contemporáneo de átomo. Para Kuhn la justificación de los paradigmas no depende tanto de su verdad como de contar con la adhesión de una comunidad de especialistas. Tal adhesión puede darse por algunas razones objetivas como solucionar problemas importantes que el paradigma vigente no puede. Sin embargo, Kuhn consideró difıcil el diálogo entre los defensores de dos paradigmas rivales, ya que ambos suponen concepciones básicas distintas. En sus términos, estos paradigmas no difieren en algunos detalles sino que implican "maneras inconmensurables de percibir el mundo y practicar la ciencia en él" (Kuhn 1996, pág. 4). No es posible desechar ciertas teoŕıas o paradigmas por refutación pues toda teoŕıa tiene siempre predicciones no cumplidas que, por śı solas no pueden descartar un paradigma, sino solamente "ayudar a crear una 36 crisis o, más precisamente, reforzar una que se esté dando" (Kuhn 1996, pág. 79). El cambio se da cuando otro paradigma atrae una comunidad de adeptos lo suficientemente influyente para convertir a otros especialistas. De este modo se produciŕıa una revolución cientıfica que, en analoǵıa con la revolución poĺıtica, cambia radicalmente el paradigma desde el cual se practicará la nueva ciencia normal. En este caso, las razones sociológicas explicaŕıan las revoluciones cientıficas mejor que las propiedades objetivas de la teoŕıa o la capacidad de los cientıficos para discernir racionalmente cuándo una teoŕıa es mejor que otra. Los clientes, al fin y al cabo, no se fijan solo en el producto, sino también en dónde se hizo y quién lo vende. Ya debeŕıa estar claro que la explicación debe ser, en último análisis, psicológica o sociológica. Esto es, debeŕıa ser una descripción de un sistema de valores, una ideoloǵıa, junto con una análisis de las instituciones en las que ese sistema es transmitido y aplicado. (Kuhn 1970, pág. 21) Las tesis kuhnianas sentaron las bases para el programa fuerte de la socioloǵıa del conocimiento que pretende explicar la aceptación y cambios de teoŕıas en la comunidad cientıfica en términos puramente sociológicos. Esto, empero, no significa que el mismo Kuhn se haya comprometido con estas propuestas. De hecho, él mismo nunca emprendió de manera sistemática el trabajo de conectar hechos históricos o sociales particulares con el desarrollo de la ciencia.1 Popper le reconoció a Kuhn el haberle abierto los ojos con respecto a la existencia de lo que este llama ciencia normal. No obstante, objetó que "el cientıfico 'normal' [...] ha sido mal instruido", pues para Popper "toda enseñanza universitaria (y si es posible la anterior) debe ser el entrenamiento e incitación del pensamiento cŕıtico" (1970, pág. 52). Sobre la tentativa de explicar las revoluciones cientıficas en términos sociológicos, Popper objeta que: 1Al respecto recomiendo leer la semblanza que Clifford Geertz hace de Thomas Kuhn con motivo de su fallecimiento, donde entre otras cosas dice: ✭✭Kuhn was far from comfortable with doctrines that questioned either the possibility of genuine knowledge or the reality of genuine advances in it. Nor, for all his emphasis on sociological considerations in understanding of theory change, was he ever anything less than scornful of the notion that such considerations affect the truth value of theories of how light propagates or planets move.✮✮ (2000, pág. 166) 37 [C]omparadas con la fısica, la socioloǵıa y la psicoloǵıa están plagadas de modas y dogmas descontrolados. La idea de que podemos encontrar aqúı una "descripción objetiva y pura" está claramente errada. (1970, págs. 57-8) En otras palabras, aun si la explicación de las revoluciones cientıficas fuera eminentemente sociológica, esta disciplina no está preparada para asumir tal reto. El "regreso a estas, a menudo, espurias ciencias" (ibıd., pág. 58) poco pueden hacer para responder las principales preguntas epistemológicas. En el contexto de esta discusión, Imre Lakatos reformuló el refutacionismo distinguiendo dos tipos de afirmaciones cientıficas: (i) las leyes generales que conforman el núcleo de la teoŕıa y las (ii) hipótesis auxiliares. El núcleo se limita a leyes cientıficas pues tales son los principios que forman parte del núcleo duro de una teoŕıa. Las hipótesis auxiliares incluyen enunciados teóricos y observacionales pues algunas de estas hipótesis son teoŕıas sobre instrumentos con su propio núcleo duro, y otras son presupuestos emṕıricos como la ubicación de los objetos en un sistema dado. La conjunción de (i) y (ii) produce predicciones emṕıricamente contrastables. Sin embargo, el fallo de tales predicciones nunca puede refutar el núcleo de la teoŕıa, pues siempre es posible modificar nuestras hipótesis auxiliares de manera que la teoŕıa sea compatible con nuestras observaciones. Por ejemplo, cuando las observaciones de Alexis Bouvard revelaron que la órbita de Urano teńıa ciertas desviaciones que contradećıan las predicciones contemporáneas, no solo se pońıa a prueba la mecánica clásica, sino también la hipótesis auxiliar de que no existıa cerca de Urano algún cuerpo que pueda alterar su órbita. En lugar de dar por refutada la teoŕıa de Newton, Bouvard conjeturó la existencia de un octavo planeta, al que llamó Neptuno. Casos de este tipo demuestran que ningún experimento u observación basta por śı solo para refutar una teoŕıa, pues no es una sola hipótesis lo que ponemos a prueba, sino un conjunto de ellas. De hecho, Lakatos remarca que "precisamente las más admiradas teoŕıas cientıficas simplemente no pueden prohibir ningún estado de cosas observable" (1978, pág. 16). 38 Lakatos llama programas de investigación a sucesiones de teoŕıas ligeramente distintas entre śı, cada una de las cuales incluye el núcleo de la teoŕıa y un conjunto de hipótesis auxiliares. Cada teoŕıa de esta sucesión produce ciertas hipótesis contrastables cuya eventual refutación lleva a esta comunidad a revisar la teoŕıa, especialmente las hipótesis auxiliares, de manera que podamos explicar estos resultados contrarios con nuevas hipótesis contrastables. La sucesión representa el cambio que ha sufrido la teoŕıa gracias a los esfuerzos de una comunidad cientıfica por defender su núcleo. En nuestra notación, un programa de investigación T seŕıa una sucesión T = 〈❚1,❚2, ...❚n〉, donde cada teoŕıa ❚i+1 es ligeramente distinto a su antecesora ❚i. Cada ❚i es está conformado por un núcleo ◆i ⊂ ▲❡ y un cinturón de hipótesis auxiliares ❍i de manera que ❚i = (◆i ∪❍i) ⊢. Aśı, una teoŕıa del movimiento planetario ❚ = (◆ ∪❍)⊢ que pretenda predecir el movimiento del Sistema Solar, debe incluir en ❍ presupuestos emṕıricos sobre la ubicación de sus planetas en algún momento dado. Cada ❚i de un determinado programa T tendrá consecuencias lógicas emṕıricamente contrastables y prohıbe ciertos estados del mundo. En tanto la mayoŕıa de ❚i prohıban un cierto estado del mundo, tenderemos a creer que todo el programa T lo prohıbe, o lo hace menos probable. La refutación de cada ❚i conlleva a una nueva ❚i+1 donde, normalmente, los núcleos ◆i y ◆i+1 permanecen aproximada o exactamente iguales, siendo los cinturones de hipótesis los que experimentan cambios más sustanciales. Los cambios en el núcleo se dan, normalmente, cuando la teoŕıa no ha sido aún completamente formulada o implica algunas inconsistencias internas o con respecto a otras teoŕıas bien establecidas. Los programas de investigación de Lakatos se parecen a los paradigmas de Kuhn. En ambos casos tenemos comunidades cientıficas defendiendo ciertos postulados básicos y que, ante evidencias negativas, intentan generar nuevas hipótesis que permitan explicar las anomaĺıas. Tanto programas cuanto paradigmas no son evaluados únicamente por sus propios méritos, sino que hay factores externos que determinan su éxito. Pero mientras para Kuhn tales factores externos deben expli39 carse en buena medida sociológicamente, Lakatos considera que la racionalidad es determinante. Es aśı que el éxito de un programa depende, según Lakatos, de su "exceso de contenido emṕırico corroborado sobre su predecesor (o rival)" (1978, pág. 32). Éste también es un factor externo en la medida que ningún programa decide cuál es su programa rival. Para Lakatos, de hecho, la refutación no se da en el nivel de las teoŕıas, sino de los programas. Un nuevo programa, entonces, no es aceptado solo por un experimento crucial que refutó el anterior, sino porque "lleva al descubrimiento de nuevos hechos" inimaginables en los programas rivales (ibıd., pág. 32). En general, el proceso de adopción y rechazo de un programa de investigación puede ser racionalmente reconstruido como sigue: (i) las teoŕıas cientıficas producen predicciones arriesgadas que, (ii) de ser confirmadas, nos permiten aceptar la teoŕıa provisionalmente y, (iii) de ser refutadas, nos llevan a buscar hipótesis ad hoc produzcan nuevas predicciones; (iv) en el contexto de otro programa aparece una nueva teoŕıa que predice los mismos fenómenos que la anterior con igual o mayor precisión, predice acertadamente alĺı donde la anterior fallaba y además propone nuevas predicciones quizá impensables en el anterior programa; mientras tanto, el antiguo programa solo reinterpreta los nuevos resultados sin contribuir con conocimiento nuevo; finalmente, (v) un creciente número de cientıficos adopta el programa nuevo y abandona el anterior. Este proceso es un tanto más complejo que el supuesto por Popper, pero redime la racionalidad que Kuhn habıa subestimado en la ciencia. Esto porque, si bien Lakatos acepta que ninguna teoŕıa puede ser definitivamente refutada, evidencia que puede haber buenas razones para abandonar un programa de investigación y adoptar otro más productivo. Los cŕıticos del refutacionismo a menudo omiten la distinción hecha por Popper entre los sentidos lógico y práctico de la refutabilidad (cf. 1935, ➜9; 1989). El primero tiene que ver con las propiedades lógicas de las teoŕıas, de manera que una teoŕıa será refutable en tanto sea incompatible con una clase no vaćıa de enunciados observacionales Popper 1935, ➜21. El segundo tiene que ver más bien con la posibilidad 40 práctica de refutar la teoŕıa. Al respecto Popper remarcó incluso que "las teoŕıas refutables en el primer sentido nunca son refutables en el segundo" (1989, pág. 84).1 Aunque no sea posible rechazar una teoŕıa por algunas cuantas observaciones adversas, śı es importante que algunos enunciados le sean lógicamente incompatibles, pues tales enunciados determinan el potencial éxito comparativo de un programa y la misma posibilidad lógica de que una teoŕıa fáctica sea falsa. Si bien los planteamientos teóricos (ver sec. 3.2.1) no tienen conexiones lógicas translúcidas, las teoŕıas acabadas de las ciencias mejor consolidadas śı las tienen. Por esto podemos exigir al menos de tales teoŕıas que establezcan a priori qué hechos podŕıan refutarlas o sacudirlas. Esto aun si fuera en la práctica imposible determinar si tales hechos han acontecido. Si restringimos el refutacionismo a teoŕıas de este tipo, quedaŕıa por responder la objeción de Neurath según la cual algunas disciplinas, como la socioloǵıa, no validas sus teoŕıas de acuerdo con esta estrategia. Ante esto podŕıamos cuestionar si tales disciplinas realmente logran un estándar mınimo de cientificidad que justifique traerlas a colación. ¿Quién objetaŕıa contra el refutacionismo el que la astroloǵıa no satisfaga sus requisitos? Esto porque la propuesta refutacionista es eminentemente prescriptiva; no busca dar cuenta de lo que hacen los cientıficos con sus teoŕıas, como en una propuesta descriptiva, sino que propone un criterio para decidir cuándo una teoŕıa es cientıfica o no lo es. El caso de la socioloǵıa y otras disciplinas cuyos estándares de cientificidad son dudosos presenta la mejor evidencia en contra de los intentos por reconciliar las dimensiones prescriptiva y descriptiva de la epistemoloǵıa (cf. Dıez y Moulines 1999, sec. I.2). Esto porque no podemos empezar a incluir a la socioloǵıa en nuestra descripción a menos que hayamos decidido que es una disciplina cientıfica; sin embargo, no podemos decidir esto arbitrariamente, sino evaluando si tal disciplina satisface los requisitos o prescripciones necesarias para convertirse en 1 ✭✭(1) Falsifiziebar als ein technischer Terminus im Sinne des Abgrenzungskriteriums der Falsifizierbarkeit: Das ist ein rein logischer Begriff, der auf einer logischen Relation zwischen der fraglichen Theorie und der Klasse der Basissätze beruht. (2) Falsifizierbar in dem Sinne, dass die fragliche Theorie endgültig oder zwingend falsifiziert werden kann: Popper hat immer betont dass auch eine im ersten Sinn falsifizierbare Theorie im zweiten Sinn niemals falsifizierbar ist.✮✮ 41 una ciencia. Sin embargo, no es necesario acudir a disciplinas como la socioloǵıa para cuestionar la validez general del refutacionismo. Como la discusión de tales casos más sofisticados exceden los objetivos de esta tesis, restringiré las propuestas de esta disertación a toda teoŕıa o disciplina que satisfaga los requisitos del refutacionismo. Para que el modelo refutacionista pueda considerarse aplicable a las teoŕıas cientıficas debemos asumir una de dos posturas: (i) las teoŕıas en cuestión son las teoŕıas que conforman la sucesión de un programa de investigación o (ii) existe un conjunto de presupuestos teóricos referente al diseño de experimentos e instrumentos de observación que se asumen como no problemáticos. No tengo espacio para explicar por qué (i) y (ii) son equivalentes para los propósitos de este trabajo. De cualquier modo, (ii) hace el tratamiento más sencillo pues no debemos incluir en la teoŕıa los presupuestos que debeŕıamos incluir en (i). De ahı que mi tratamiento formal de la sección 2.2 sea más compatible con (ii). 42 Caṕıtulo 3 Ciencia e inconsistencia Now, when I am fighting with cancer of the colon, I came to the opinion that most (or even any) case of cancer is an inconsistency ocurring in the world, which should be taken as the paradigmatic case by any true dialectical theory. I am therefore preparing myself to become a Hegelian after death. -Jerzy Perzanowski (2001) 3.1. Inconsistencias factuales Las inconsistencias son peligrosas aun si no implican cualquier cosa. Por ejemplo, el uso paralelo de dos sistemas de medidas distintos (el métrico y el anglo-americano tradicional) provocó desajuste en la trayectoria del Mars Climate Orbiter que ocasionó su destrucción en el año 1990 (cf. Alder 2003, pág. 11). Nótese que estos sistemas de medida se contradicen solo en un nivel lingǘıstico, y no presuponen teoŕıas fácticas distintas: lo que decimos en un sistema puede decirse en el otro sin alterar el significado. Las inconsistencias teóricas, en cambio, podŕıan encerrar incompatibilidades más profundas, lo cual justifica que la mayoŕıa de cientıficos y filósofos las consideren indeseables. Siguiendo a Gotesky (1968), Bartelborth (1989, págs. 95-6) y Priest (2006a, pág. 144), podemos clasificar las inconsistencias cientıficas en tres grupos: Factuales: Inconsistencias entre una teoŕıa y los datos u observaciones; i.e. "creencias, opiniones, teoŕıas que son tenidas por verdaderas incluso cuando existen 43 hechos que las contradicen" (Gotesky 1968, pág. 488). Externas: Inconsistencias entre teoŕıas que describen el mismo sistema y que "atribuyen naturalezas distintas a las mismas cosas o llegan a diferentes conclusiones acerca de ellas" (ibıd., pág. 484). Internas: Que caracterizan a las teoŕıas inconsistentes objeto de esta disertación. La tradición epistemológica y cientıfica ha decantado siempre por ver la inconsistencia como un defecto. Podemos resumir la postura tradicional con respecto a cada tipo inconsistencia como sigue: i) Si una teoŕıa es inconsistente con los datos, entonces es falsa. ii) Si dos teoŕıas se contradicen, por lo menos una no es verdadera. iii) Una teoŕıa internamente inconsistente es trivial y, por tanto, inútil. Davey (2014) llama contra-tradición al programa, asociado a la paraconsistencia, que cuestiona de manera moderada o radical alguna de las posturas tradicionales (i–iii). La mayor parte de publicaciones del programa paraconsistente consiste de: (a) propuestas y análisis de sistemas lógicos paraconsistente; (b) reflexión filosófica de los fundamentos de la racionalidad; y (c) aplicación de lógicas paraconsistentes a problemas matemáticos -e.g. la formulación de una teoŕıa de conjuntos. Un cuarto y minoritario grupo de publicaciones se dedica al análisis epistemológico de las ciencias fácticas, cuyas dos únicas publicaciones colectivas son las de Meheus (2002) y Martınez-Ordaz y Estrada-González (2017). Con respecto a las inconsistencias factuales, Priest señala que una teoŕıa no se descarta por una observación contraria, pues tal observación puede ser tratada como una anomaĺıa (2006a, pág. 145). En esto, sin embargo, la tradición epistemológica está unánimemente de acuerdo. No es necesario tomar las posturas más heterodoxas de Kuhn (1996), Lakatos (1978) y Feyerabend (1981), pues Reichenbach (1935), Neurath (1931; 1935), Popper (1970; 1989) y Hempel (2000) conoćıan bien las limitaciones prácticas de la refutación. 44 Una afirmación más arriesgada fue hecha por da Costa, de acuerdo con quien "la operación de falsificación [...] consiste en la restricción apropiada de los dominios de aplicación de las teoŕıas (incluidas leyes e hipótesis)" (1997, pág. 199). En este sentido, da Costa propone que una teoŕıa que ha gozado de suficiente confirmación nunca es falsada, sino que solo se restringe su campo de aplicación. Esto se opone abiertamente a la tradición epistemológica y cientıfica pues algunas hipótesis refutadas, como el modelo ptolemaico del Sistema Solar, han sido definitivamente abandonadas y son consideradas estrictamente falsas. Una contribución sobre las inconsistencias factuales fue hecha por MartınezOrdaz, quien las subdivide entre independiente y auxiliar. Sea ❚ una teoŕıa fáctica y ❙ una teoŕıa usada para el diseño de un experimento. Decimos que una inconsistencia entre ❚ y una observación es independiente cuando la intersección entre ❙ y los presupuestos relevantes de ❚ para este experimento es vaćıa; de lo contrario, decimos que tal inconsistencia es auxiliar (Martınez-Ordaz 2017, pág. 142). De las inconsistencias independientes podemos decir que representan una inconsistencia entre teoŕıa y observación que no depende de la interacción entre los presupuestos ❚ y ❙. De las inconsistencias auxiliares, en cambio, no podemos decir esto pues es difıcil determinar en qué medida se deben a la interacción entre ❙ y ❚. Otra contribución interesante va en contra de la afirmación de Popper, según quién la lógica clásica es el único marco lógico apropiado para la contrastación (1979, pág. 305). El marco lógico de la contrastación no precisa ser clásico; i.e. la lógica con que comparamos los enunciados emṕıricos de nuestra teoŕıa con los que describen nuestras observaciones no debe ser la clásica. La lógica presupuesta por una teoŕıa no debe confundirse con el marco lógico de su contrastación. Por ejemplo, si una teoŕıa presupone una lógica paraconsistente y resulta emṕıricamente consistente, podemos usar un marco lógico clásico sin ningún problema. La afirmación de Popper es bastante razonable pues al ser altamente intolerante a las inconsistencias, la lógica clásica es una excelente retro-transmisora de la falsedad. El que un marco lógico sea adecuado para un proceso de contrasta45 ción, y en particular para la refutación, depende precisamente de su capacidad para retro-transmitir la falsedad.1 Tennant (1985), sin embargo, demostró que las lógicas intuicionista y mınima también son tan adecuadas como la clásica. No parece, empero, ser este el caso de la lógica paraconsistente pues su tolerancia a la inconsistencia le puede impedir la retro-transmisión de la falsedad. Esto no parece haber sido disputado por la contra-tradición, cuyo principal trabajo ha sido el análisis de inconsistencias externas e internas. A esto dedicaré los siguientes dos caṕıtulos. 3.2. Inconsistencias externas If I'm going to have a past, I prefer it to be multiple choice. -The Joker, The Killing Joke (Alan Moore, 1988) Los principales problemas relativos a las inconsistencias externas también conciernen a las internas: ¿qué tipo de compromiso epistémico existe hacia dos teoŕıas inconsistentes entre śı o hacia una teoŕıa internamente consistente?; y ¿es racional un cientıfico que opera con inconsistencias?, ¿puede modelarse esta racionalidad con una lógica paraconsistente? En esta sección trato estos para ambos tipos de inconsistencias, y en el siguiente discuto los problemas exclusivos de las internas. 3.2.1. Compromiso epistémico This is an imaginary story -which may never happen, but then again may. ... This is an imaginary story... Aren't they all? -Alan Moore, Whatever Happened to the Man of Tomorrow? (1986) Algunos autores consideran que el compromiso epistémico adecuado hacia la información inconsistente debe ser más débil que el de la creencia. Esto porque un cuerpo de conocimiento inconsistente no puede ser verdadero. Si hablamos de inconsistencias externas, por lo menos una de las teoŕıas debe ser falsa. 1En esto debeŕıa concordar Priest, quien destaca el rol refutativo de la lógica en la ciencia emṕırica: ✭✭[T]he central uses of deductive argument are (i) to stablish new truths from old (as in mathematics) and (ii) to establish old falsehoods from new (as in experimental refutation).✮✮ (2006b, pág. 84) 46 En armońıa con eso, Madan propone que "un objetivo cientıfico racional seŕıa encontrar teoŕıas máximamente inconsistentes [entre śı] que sean fácticamente adecuadas" (1983, pág. 453). Este objetivo es razonable pues, siendo las teoŕıas solo aproximaciones, no hay ningún impedimento para tener teoŕıas que se contradigan si ambas tienen apoyo emṕırico. Esto es especialmente aśı en disciplinas que no cuentan con una teoŕıa unificada, sino con varias teoŕıas incompatibles entre śı que explican distintos aspectos de un mismo problema. Madan considera por esto que desarrollar una propuesta para maximizar inconsistencias evitaŕıa "la desilusión que afrontan estudiantes de economıa educados para creer que su disciplina es una ciencia como la fısica" (ibıd., pág. 454). Esta propuesta parece ser incompatible con el realismo cientıfico pues asume que, en este caso, la economıa solo ofrece "proposiciones falsas en el mundo real, que sin embargo son verdaderas con suficiente frecuencia como para lograr nuestra atención." (ibıd., pág. 454) Sin embargo, también existen propuestas que defienden el realismo cientıfico a pesar de las inconsistencias. Para este propósito el concepto de aceptación, propuesto originalmente por Bas van Fraassen (1980), es un concepto intermedio entre creencia y consideración. Decimos que aceptamos una teoŕıa cuando la tratamos como si creyéramos en ella, en particular, en sus consecuencias observacionales. En palabras de Lipton, van Fraassen busca nuestras creencias de modo que "no vayan mucho más allá de la evidencia" (2007, pág. 121). De ahı que afirmar que una teoŕıa es verdadera sea condición suficiente pero no necesaria para tener un compromiso realista (Brown 1990, pág. 281). Por esto, Brown propone aceptar un cuerpo de información inconsistente cuando provee "la mejor y más general explicación (account) disponible de [su] dominios", pero también establecer "limites contextuales para tal compromiso de manera que evitemos insertar enunciados incompatibles en alguna parte" (ibıd., pág. 285). Lipton propone en cambio debemos reducir nuestra creencia creencia "del total de la teoŕıa debido a la contradicción" (2007, pág. 121). En este sentido, es posible reducir la(s) teoŕıa(s) original(es) a un conjunto de enunciados consistente, ninguno de los cuales 47 haya sido deducido de las contradicciones del sistema original (2007, pág. 128). Esta ĺınea ha sido criticada por Joel Smith, quien acuña el concepto de planteamiento (proposal) "para referir simplemente a una colección de enunciados", mientras que teoŕıa refiere a una colección de enunciados lógicamente clausurado (1988b, pág. 429). Cuando la cerradura deductiva de un planteamiento resulta en una teoŕıa inconsistente, no es correcto decir que creemos o aceptamos la teoŕıa resultante. En lugar de eso, el cientıfico teórico "usa el planteamiento original junto con las pruebas disponibles que lo confirmen, para darnos una proyección esquemática de cómo será la teoŕıa consistente que lo reemplace (o una parte de ella)" (ibıd., pág. 438). Es por esto que, para Smith, las teoŕıas inconsistentes no pueden ser tratadas como teoŕıas acabadas cuya aceptación deba ser justificada, pues las teoŕıas inconsistentes solo pueden estudiarse dentro del contexto de descubrimiento.1 Por su parte, da Costa y French consideran que abandonar la creencia en las consecuencias lógicas de los planteamientos "es una maniobra radical bajo cualquier circunstancia pues pone estos avances cientıficos, profundamente importantes como son, más allá del alcance de la lógica" (2002, pág. 111). Ellos proponen, en cambio, interpretar la verdad cientıfica como una cuasi-verdad. De esta manera, las teoŕıas cientıficas, incluidas las inconsistentes, son siempre parcialmente verdaderas, lo cual implica que tenemos un compromiso epistémico con ellas, pero de distinta naturaleza.2 Esto simplifica las cosas pues ya no es necesario establecer los ĺımites contextuales propuestos por Brown.3 Davey cuestiona que el compromiso epistémico de los cientıficos hacia sus teoŕıas inconsistentes implique la creencia en sus mismas inconsistencias. Por ejemplo, los ĺıquidos pueden ser tratados como (1) distribuciones continuas de materia (según la propuesta de Navier-Stokes) o como (2) conjuntos muy grandes de partıculas 1Refiere a la distinción entre contexto de descubrimiento y justificación de Reichenbach (1961, ➜1). 2El concepto de verdad parcial depende del concepto estructura pragmática simple, cuyo desarrollo técnico se puede consultar en da Costa (1997, cap. III) y da Costa y French (2002, sec. 4). 3 ✭✭However, one may wonder if it is even possible to effect the clear cut division between different 'contexts' or 'sub-sets' withing a theory that this account requires. Even in the Bohr example it can be questioned whether there was quite the 'systematic division' of contexts that this approeach requires.✮✮ (ibıd., pág. 108) 48 ejecutando movimientos aleatorios (Davey 2014). Ambos tratamientos son inconsistentes entre śı, pero eso no es un problema para Davey pues los cientıficos no necesariamente creen en la verdad literal de (1) o (2), ni mucho menos en la ambos juntos. Por supuesto, el fısico está comprometido con la afirmación de que para ciertos propósitos es adecuado tratar un ĺıquido como [(1)] y que para otros propósitos es adecuado tratar un ĺıquido como [(2)] -pero no existe inconsistencia lógica en esto; no más que la inconsistencia que hay entre una madre que en circunstancias ordinarias dice que su hijo mide 5 pies y el meticuloso doctor que dice que mide 5.01 pies. (ibıd., pág. 3018) En śıntesis, Davey defiende que la única manera de encontrar una inconsistencia en las creencias de un fısico en virtud de (1) y (2) es creer que existe un compromiso con la verdad literal de cada teoŕıa. No queda claro, sin embargo, si la propuesta de conocimiento parcial de da Costa, que viene de la contra-tradición, es compatible con lo propuesto por Davey. Quizá lo que esté de fondo en esta discusión sea la naturaleza del compromiso epistémico con las teoŕıas e hipótesis cientıficas, problema que es común tanto a la tradición como la contra-tradición. 3.2.2. Racionalidad Si aceptamos que hay planteamientos o teoŕıas inconsistentes en la ciencia, esto implica que, de algún modo, debemos abandonar la generalidad del ex contradictione sequitur quodlibet. Sin embargo, no está claro cuál es ese modo en que debemos abandonarlo. En el caso de dos teoŕıas inconsistentes ❚⊢1 y ❚ ⊢ 2 podŕıa bastarnos con creer en la unión de ellas ❚⊢1 ∪❚ ⊢ 2 , pero no en su cerradura lógica (❚ ⊢ 1 ∪❚ ⊢ 2 ) ⊢ -donde ⊢ es la relación de consecuencia clásica. De este modo podemos creer en cada enunciado de ❚⊢1 y ❚ ⊢ 2 , incluyendo los que se contradicen, pero en ninguna consecuencia lógica de la unión de ambas teoŕıas. Esto porque aun cuando ❚⊢1 ∪❚ ⊢ 2 sea inconsistente, no es trivial, como śı lo seŕıa (❚⊢1 ∪❚ ⊢ 2 ) ⊢. Tenemos entonces que 49 creer en α ∈ ❚⊢1 y ¬α ∈ ❚ ⊢ 2 no nos lleva a creer en cualquier enunciado pues no aplicamos la relación de consecuencia lógica a la unión de ❚⊢1 y ❚ ⊢ 2 . Si la no trivialidad es condición necesaria de la racionalidad, entonces creer en dos teoŕıas inconsistentes no necesariamente es irracional. Caso distinto es el de las teoŕıas internamente inconsistentes. A menos que las tratemos solo como planteamientos en el sentido de Smith, la cerradura lógica clásica las hace triviales y, por tanto, inútiles para la ciencia. Parece que aqúı śı necesitamos de una lógica paraconsistente para impedir que las teoŕıas inconsistentes sean triviales. Algo similar sucede cuando queremos usar dos teoŕıas ❚1 y ❚2 inconsistentes entre śı para derivar aplicaciones, por ejemplo, tecnológicas. ¿Qué sucede si es que ❚1 y ❚2 ofrecen aplicaciones técnicas complementarias pero, al mismo tiempo, son inconsistentes entre śı? Se presenta un problema similar para teoŕıas que tempranamente ofrecen predicciones verificadas, pero luego descubrimos inconsistentes. ¿Cómo justificamos estas predicciones y no sus negaciones? ¿Cómo justificamos la aceptación de las tecnoloǵıas aplicadas de ❚1 y ❚2 sin perdernos en la inconsistencia entre ambas? La estrategia conducida por la lógica presupuesta por la teoŕıa (logic driven) evita la trivialidad asumiendo que ⊢ en ❚⊢ es una relación paraconsistente. Esto también haŕıa posible creer en la cerradura lógica de (❚⊢1 ∪ ❚ ⊢ 2 ) ⊢P ; donde ⊢ sigue siendo clásica. Varios trabajos se han dado en esta linea de investigación. Drago (2002) ha argumentado que la lógica clásica no ha sido el único marco lógico presupuesto por los cientıficos, sino que también hay ejemplos históricos de razonamiento intuicionista y paraconsistente; ejemplos de esto último seŕıan el tratamiento que Lobachevsky hace de su geometŕıa y el que Carnot hace de la termodinámica. La principal área de investigación es, sin embargo, la de las reconstrucciones racionales del procedimiento lógico con que ciertas teoŕıas operan. Por ejemplo, la lógica multideductiva fue desarrollada por da Costa, de Souza y otros con el objeto de unificar teoŕıas fısicas incompatibles dentro de un solo sistema formal. Es aśı que 50 la mecánica clásica de partıculas, el electromagnetismo clásico de partıculas y los postulados de cuantización de Bohr pueden ser unificados en un sistema formal a pesar de sus compatibilidades. Estas teoŕıas estaŕıan clausuradas con respecto a una relación multideductiva ⊢S3 que, debido a las incompatibilidades entre las teoŕıas de base, debe ser una relación paraconsistente. Esta unificación no es la aspirada por los fısicos, pero este podŕıa ser representada con aquel esquema si es que "la misma lógica es mantenida y no hay incompatibilidad entre las teoŕıas" (de Souza 2000, pág. 259). Por su parte, Brown, Priest y otros han desarrollado una estrategia llamada Chunk and Permeate, con la que han analizado el cálculo infinitesimal, el modelo atómico de Bohr y la función δ de Dirac. Continuando esta ĺınea de investigación Friend y Martınez-Ordaz (2018) estudiaron la interacción entre el Modelo de la Gota Ĺıquida (Liquid Drop Model) y el Modelo de Capas (Shell Model). Ambos modelos, inconsistentes entre śı, son usados en conjunto para extraer predicciones que ninguno por śı solo puede lograr. Los cientıficos deben, por ende, trabajar con una estrategia de razonamiento paraconsistente que permita la interacción entre ambas evitando la trivialidad. Tal estrategia es denominada Bundle Chunk and Permeate, que es una extensión de Chunk and Permeate que incorpora el análisis de fibras de Abramsky. La estrategia conducida por la lógica está quizá guiada por el principio de sistematización de da Costa, según el cual "la razón siempre se expresa por medio de una lógica" (1994, pág. 45). Tal principio parece tener fundamentos; sin embargo, no está claro si ante la aparición de inconsistencias el proceder del cientıfico o el filósofo será siempre racional. La otra estrategia es la conducida por el contenido de la teoŕıa (content driven), en la cual las inconsistencias de una teoŕıa se resuelven en favor del sistema que intentamos describir con esta. De este modo, si tenemos ❚ ⊢ α y ❚ ⊢ ¬α, entonces debemos observar con cuidado qué tiene más sentido decir del modelo al que apuntamos. Huelga decir que si no queremos que ⊢ sea paraconsistente, entonces debemos concebir ❚ como un planteamiento en lugar de como una teoŕıa. Dentro de esta 51 propuesta se ubican los estudios de Norton sobre la teoŕıa cuántica de la radiación de cuerpo negro (1987) y sobre la teoŕıa newtoniana de la gravitación (2002), aśı como los estudios epistemológicos de Smith (1988b; 1988a). La premisa de esta estrategia es que las inconsistencias son una consecuencia de los axiomas con formalizamos nuestras representaciones teóricas del mundo, y no necesariamente de las mismas representaciones. De este modo es en principio posible resolver estas inconsistencias apelando las mismas representaciones. Si las inconsistencias entre las aplicaciones tecnológicas de dos teoŕıas se dan en términos de precisión, es fácil ver que esta se resuelve en considerando el valor que le damos, en el contexto, a la precisión y simplicidad. El problema es que no hay un método efectivo propuesto para resolver las inconsistencias teóricas pues este presupondŕıa tener lógicamente sistematizada nuestra representación, lo cual es precisamente lo que pretende hacer con los axiomas de una teoŕıa. De cualquier modo, si existiera tal método, la estrategia conducida por el contenido seŕıa reducible a la conducida por la lógica pues podŕıamos construir un sistema lógico que permite decidir cómo resolver tales inconsistencias. Según la tradición epistemológica, si dos teoŕıas son inconsistentes por lo menos una de ellas no es verdadera. Esta postura no es necesariamente contraria a la de la contra-tradición. Hemos visto cómo en más de un caso se previene la trivialidad aislando las teoŕıas de manera que las contradicciones no aparezcan simultáneamente o por lo menos buscando manera de que no impliquen cualquier cosa. Sin embargo, hay quienes defienden la posibilidad de que estas inconsistencias no sean un defecto que a evitar. Para estos autores, ciertas teoŕıas inconsistentes (internamente o entre śı) acaso no deban ser aceptadas a pesar de sus inconsistencias, sino precisamente por ellas. Esto es porque tales autores defienden que el mundo es, en cierto sentido, inconsistente. A esta postura podemos denominar como dialeteismo fáctico, y es mejor entendida en la discusión sobre las inconsistencias internas. 52 3.3. Inconsistencias internas A contradiction in terminis implies no more than an impropriety of speech. Those things which men understand by improper and contradictious phrases may be sometimes really in nature without any contradiction at all. -Isaac Newton, Letter III (1693) Las teoŕıas internamente inconsistentes, que conforman el área menos atendida de la contra-tradición, sugieren dos problemas no presentes hasta ahora: ¿tiene sentido hablar de contradicciones fácticas verdaderas?; y, de ser aśı, ¿cómo debemos proceder para aceptarlas o rechazarlas? A continuación discuto estos problemas. 3.3.1. Contradicciones fácticas Quizá el primero en no descartar la existencia de contradicciones verdaderas con rigor lógico haya sido Jan Lukasiewicz, acaso el padre espiritual de la contra-tradición. Él critica los argumentos con que el estagirita justificó las formulaciones que denomina lógica, ontológica y psicológica del principio de (no) contradicción Lukasiewicz (1910, ➜1). Lukasiewicz descubre un ignoratio elenchi en los argumentos del estagirita, pues este pretende justificar que ningún enunciado contradictorio puede ser verdadero, con un argumento que solo establece que no todos los enunciados contradictorios pueden ser verdaderos (ibıd., pág. 28).1 De esto concluye da Costa (1994) que la existencia de contradicciones fácticas verdaderas solo puede establecerse a posteriori. Asimismo argumenta que es más fácil probar la hipótesis de que existen contradicciones verdaderas que refutarla. Mientras confirmarla requeriŕıa de encontrar una sola contradicción real, refutarla requeriŕıa un número infinito de contrastaciones.2 Arenhart objeta a esta propuesta que la práctica cientıfica ante las inconsis1Mignucci (1996) presenta una versión más formalizada de esta cŕıtica. 2 ✭✭O que se pode dizer, no tanto, é que a priori, especialmente apelando para a lógica, não se justifica nem se podem banir as contradições. A existência ou não de contradições reais só se establecerá a posteriori pela ciência. E, como tudo sugere, afigura-se mais fácil provar a verdade da tese de Hegel, do que sua falsidade; com efeito, uma constatação, apenas, de contradição real, comprovaria a tese de Hegel, ao passo que nenhum número finito de constatações seria suficiente para falsificá-la.✮✮ (ibıd., pág. 208) 53 tencias ha sido siempre intentar eliminarlas; lo cual siempre se ha logrado con las inconsistencias teóricas internas. Asumir que se debe proceder de otro modo implica que los cientıficos "han tomado algunas decisiones equivocadas al eliminarlas, de manera que tales contradicciones debeŕıan permanecer" (2018, pág. 21). Todo esto resultaŕıa en la especulación de que existen casos en que las teoŕıas internamente inconsistentes no debieron ser corregidas. De este modo "terminaŕıamos aferrándonos a la ciencia que pudo ser, en lugar de a la ciencia que realmente es" (ibıd., pág. 21). 3.3.2. Contrastación El dialeteismo fáctico no requiere de un dialeteismo emṕırico. Esto es, el que existan hechos contradictorios no requiere que los podamos experimentar directamente. En la ciencia contrastamos la existencia de entidades inobservables por medio de entidades observables, donde la existencia de estas se sigue de la aquellas. Del mismo modo, enunciados inverificables se contrastan por medio de enunciados verificables, donde la verdad de los primeros implica la verdad de los últimos. Es por esto que una teoŕıa inconsistente podŕıa tener conjuntos consistentes de corroboradores y refutadores potenciales. No parece, empero, apropiado aceptar una teoŕıa inconsistente si no corroboramos su carácter inconsistente -a menos que su inconsistencia sea considerada un defecto por corregir. Pero en tal caso nos topamos con el problema de si es posible observar o experimentar un estado de cosas inconsistente. Al respecto Gotesky advirtió que incluso si por una ley natural no pudiera existir algo que tenga propiedades incompatibles, "tal ley no podŕıa informarnos de antemano sobre qué propiedades son incompatibles o contradictorias en cualquier caso dado" (1968, pág. 473). Esta idea es precisada por Bobenrieth, para quien la negación "no refleja o representa algo en la realidad, sino algo que hacemos con la realidad" (2007, pág. 508) y, por lo tanto, "no existe percepción de hechos negativos" pues "la negación es una operación que se da en virtud de nuestros esquemas categoriales" (1996, pág. 407). 54 De esto no se sigue, empero, que no sea posible observar situaciones contradictorias. De hecho, el dialeteismo emṕırico de Priest asume que "la inferencia puede jugar un rol en la reconstrucción racional de cómo funciona" la visión (2006a, pág. 59). Algo similar se puede argumentar sobre otras formas de experiencia. Es por esto que es, en principio, posible ver algo que no es rojo: solo necesitamos ver que ese algo es verde, lo cual es incompatible con ser rojo de acuerdo con la teoŕıa del color. Si pudiéramos observar lo descrito por contradicciones, se abre la posibilidad de poder aceptar una teoŕıa inconsistente en tanto inconsistentes. El problema de cómo se debeŕıa contrastar tales teoŕıas ha sido, sin embargo, escasamente discutido. En la siguiente sección analizaré las dos únicas con que me he topado en mi investigación. 55 Caṕıtulo 4 La contrastación redefinida 4.1. Contrastando teoŕıas inconsistentes Yo vi una Rueda altısima, que no estaba delante de mis ojos, ni detrás, ni a los lados, sino en todas partes, a un tiempo. Esa Rueda estaba hecha de agua, pero también de fuego, y era (aunque se véıa el borde) infinita. -Jorge Luis Borges, La escritura del Dios (1949) En nuestro medio, Luis Piscoya identificó una incompatibilidad entre el principio de refutabilidad y las teoŕıas emṕıricas inconsistentes. Puesto que una teoŕıa inconsistente implica clásicamente todos los enunciados de su lenguaje, esta seŕıa "compatible con todas las proposiciones [y] no existiŕıa ni siquiera una capaz de refutarla" (1995, pág. 60). Puesto que las lógicas paraconsistentes permiten modificar esta condición, Piscoya redefine el criterio de refutabilidad de manera más general. En efecto, la condición de que una teoŕıa cientıfico-emṕırica sea refutable requiere estrictamente que tal teoŕıa no implique al menos una proposición. Ciertamente la verdad de tal proposición, al no estar implicada por la teoŕıa seŕıa incompatible con ella y [...] puede ser interpretada como refutadora. [...] Consecuentemente, nosotros reformularemos con mayor precisión el requisito de refutabilidad de las teoŕıas emṕırico-cientıficas estableciendo que ellas son refutables si y solo si son absolutamente consistentes. (ibıd., 67, énfasis mıos) 56 Esta propuesta, empero, tiene algunas deficiencias. En primer lugar, y como vimos en la sección 2.2, una teoŕıa puede ser absolutamente consistente pero emṕıricamente trivial. En tal caso, tiene muy poco sentido decir que la teoŕıa es refutable pues igual "implica cualquier cualquier consecuencia observacional concebible [...] por lo que nada nos dice acerca del mundo" (Hempel 2000, pág. 79). Sin embargo, aun si la consistencia absoluta se requiriera al nivel de los enunciados observacionales, esta definición no explicita cuáles son los refutadores potenciales de una teoŕıa -a menos que no implique un solo enunciado. Podŕıamos interpretar que cualquiera o todos juntos son los refutadores, y en ambos casos tendŕıamos problemas. En el primero puede que ❚ sea incompleta y, por lo tanto, la verdad o falsedad de un enunciado φ tal que ni ❚ ⊢ φ ni ❚ ⊢ ¬φ refutaŕıa ❚, lo cual es indeseable. En el segundo caso necesitaŕıamos refutar hasta el último enunciado para refutar la teoŕıa entera, lo cual seŕıa equivalente a decir que nuestra teoŕıa es compatible con casi todo. La propuesta de Piscoya define la refutabilidad de una teoŕıa no en términos de sus refutadores potenciales, sino de sus propiedades metalógicas. Una definición de refutabilidad debe primero explicitar las relaciones que existen entre la teoŕıa y los enunciados que la puedan refutar, y recién después puede ayudarnos a evaluar sus propiedades metalógicas. La propuesta de Piscoya puede ser precisada con la siguiente definición que me sugirió él mismo en una comunicación personal. En esta, un enunciado será un refutador (potencial) absoluto de una teoŕıa si de ambos se sigue cualquier enunciado. Defino el conjunto de refutadores absolutos de una teoŕıa ❚, o ❆❜(❚), como sigue. Def. ❆❜(❚⊢) = {φ | ❖❜ ⊆ (❚ ∪ {φ})⊢} (Ab) Esta definición es ya bastante útil pues permite establecer un criterio lógico suficiente para refutar una teoŕıa. Sin embargo, excluye a teoŕıas formalizadas en lógicas muy resistentes a la trivialización y que, por ende, no admitiŕıan muchos refutadores absolutos; e.g. las lógicas fuertemente paraconsistentes de la definición (1.11). Ciertamente una lógica paraconsistente no descarta la existencia de ciertos enuncia57 dos que trivialicen la teoŕıa. Por ejemplo, en el cálculo C1 de Da Costa (véase I), si tenemos que ❚ ⊢C1 α y ❚ ⊢C1 ∗α, ❚ seŕıa trivial. De este modo, si ❚ ⊢C1 ∗φ, φ seŕıa un refutador potencial de ❚, y viceversa. Como contraparte tenemos la lógica no adjuntiva de Jaśkowski (véase H) que impide la regla de introducción de la conjunción. De este modo, si tenemos que ❚ ⊢J α y ❚ ⊢J ¬α, no podremos derivar ❚ ⊢J α ∧ ¬α, por lo que el teorema α ∧ ¬α → β es inutilizable. Sobre esta premisa también trabaja la estrategia chunk and permeate: Un procedimiento común para manejar información inconsistente es dividirla en partes inconsistentes y luego operar en cada una de ellas. [...] El procedimiento que describiremos aqúı tiene tal caracteŕıstica. También [permite] un cierto tipo de interacción entre los fragmentos (chunks). Espećıficamente, se permite que información fluya entre los fragmentos. Por su puesto, si permitiéramos que toda la información de un fragmento fluya hacia otro, esto destruiŕıa el procedimiento; por lo que debe haber un ĺımite. Ergo, debe existir un mecanismo que permita un fluido parcial. Podŕıamos entonces pensar en los fragmentos como separados por membranas que son semi-permeables: permeables a oraciones de ciertos tipos, pero no de otros. (Brown y Priest 2004, pág. 380) Parece ser pues que, en estos casos, cualquier contradicción puede ser manejada de tal forma que la teoŕıa no sea trivializada. Por esto, una teoŕıa cuya lógica subyacente sea la de Jaśkowski o que utilice la estrategia chunk and permeate no tendrá muchos refutadores absolutos. Esto podŕıa considerarse una evidencia de que ciertas lógicas simplemente no son aptas para la ciencia fáctica. Empero, con el objeto de no descartar una teoŕıa solo por su lógica subyacente, vale la pena redefinir el concepto de refutador potencial de manera que no solo los enunciados trivializadores sean refutadores potenciales. Priest comienza su propuesta declarando no conocer teoŕıas emṕıricas con consecuencias observacionales contradictorias. Las contradicciones implicadas de teoŕıas 58 inconsistentes, como la teoŕıa atómica de Bohr, seŕıan de carácter teórico antes que observacional. Sin embargo, con el objeto de justificar la contrastabilidad de una posible teoŕıa de este tipo parte por justificar que es posible observar situaciones contradictorias. Puesto que su análisis se centra en la visión, comienza por destacar que es posible ver lo descrito por un enunciado atómico (observacional), como por ejemplo que una flor es roja. De esto se sigue la siguiente tesis. Es posible observar que algo es el caso. (4.1) ¿Podemos observar también que algo no es el caso? Quizá podemos decir que si observamos que una flor es amarilla, de alguna manera observamos que no es roja. A esto podemos objetar que lo que observamos es únicamente que la flor es amarilla y que sabemos que la flor no es roja por deducción. Considérese, empero, una habitación como la de Mary que, en lugar de ser gris, incluye todo el espectro cromático con excepción del amarillo. En esta habitación, Mary ha podido observar flores, todas las cuales han sido roja. Sin embargo, un Mary sale de esta habitación y lo primero que ve es una flor amarilla, por lo que observará que esta no es roja. Con un argumento similar, Priest da por justificada la siguiente tesis.1 Es posible observar que algo no es el caso. (4.2) El siguiente paso se da al advertir que la visión no solo es hecha por los ojos, sino que también ciertas funciones cognitivas participan. Entre estas, las categoŕıas del entendimiento. incluyendo funciones lógicas como la conjunción y la disyunción. Por ejemplo, es posible ver que una cierta fotografıa es de Ned o Ted, si son gemelos idénticos y vemos una fotografıa de alguno de ellos, sin saber quién es. En otras palabras, es posible ver que "esta fotografıa es de Ted, o esta fotografıa es de Ned." En el caso de la conjunción, al ver la rosa amarilla podemos ver que "la rosa es amarilla y la rosa no es roja." Por lo dicho, se justifica la siguiente tesis. Es posible observar un hecho expresado por una conjunción. (4.3) Sin embargo, dar un paso más y decir que una conjunción contradictoria es observable parece absurdo. ¿Cómo seŕıa posible ver a un mismo tiempo que algo es 1Su experimento mental es: "[Y]ou enter a room: the whole room is visible from where you stand; there is no one there. You can see that Pierre is not in the room." (Priest 2006a, pág. 143) 59 Figura 4.1: Impossible trident, by D. H. Schuster (1964). y no es? Priest trata de convencer incluso a aquellos que consideran que cualquier situación descrita por una inconsistencia es imposible. Ver situaciones imposibles es perfectamente posible. Esto es lo que percibimos en varias ilusiones ópticas. [E]xisten varias figuras imposibles bien conocidas (por ejemplo, las retratadas en los dibujos de Escher); existen aparatos de percepción en los que algunas personas reportan haber visto cosas simultáneamente rojas y verdes; existen situaciones donde algunas cosas parecen estar moviéndose y no moviéndose. (Priest 2006a, pág. 121, véase fig. 4.1) Con este argumento, Priest termina su fundamentación de la principal y más interesante tesis de su ensayo. La tesis (4.3) también cumple para conjunciones contradictorias. (4.4) La propuesta de Priest para refutar teoŕıas emṕıricamente inconsistentes se puede resumir como sigue. Sea ❚ una teoŕıa tal que ❚ ⊢ φ ∧ ¬φ, donde φ y ¬φ describen situaciones observables. Si la situación expresada por φ ∧ ¬φ no es observada, entonces la teoŕıa debe ser rechazada.1 Veamos por qué esta tentativa es inadecuada. Primero, si nos mantenemos en la propuesta refutacionista, cuando una teoŕıa ❚ implica un enunciado emṕıricamente contrastable φ, su correspondiente refutador potencial seŕıa ¬φ. De ahı que nos interese observar ¬φ más que φ. Si tomamos φ ∧ ¬φ como un teorema contrastable de ❚, tendŕıamos que su negación ¬(φ ∧ ¬φ) 1 ✭✭If a theory entails an observable consequence α and α is not perceived, something is wrong, either with our theory or with our perceptions; something needs to be fixed. In particular, then, if a theory entails β ∧ ¬β, where β is some observation statement, then if such contradiction is not observed, something is wrong. As I have already argued, β ∧¬β is a perfectly observable state of affairs.✮✮ (Priest 2006a, pág. 148) 60 seŕıa el refutador potencial de la teoŕıa. En la mayoŕıa de lógicas paraconsistentes, incluyendo la de Priest (2006b, sec. 5), este enunciado es equivalente a φ ∨ ¬φ, por lo que observar lo descrito por cualquiera de φ o ¬φ refutaŕıa la teoŕıa. De esto se sigue que no es posible refutar una teoŕıa inconsistente a partir de sus enunciados contradictorios. Volveré a este punto en la sección 4.3. Pero aun si aceptamos el paradigma verificacionista, impĺıcito en Priest, tenemos problemas. Como vimos en la sección 2.1, el verificacionismo de Carnap y Neurath no ignoraba la imposibilidad lógica de la inducción. Verificar una teoŕıa depende en parte de una convención pues ninguna cantidad finita de enunciados puede justificar definitivamente una teoŕıa. Tal teoŕıa solo puede ser corroborada más y más o, caso contrario, refutada por la experiencia. Es aśı que ciertas consecuencias de la teoŕıa no pueden ser contrastadas pues aun no contamos con los instrumentos necesarios para ejecutar tales observaciones. Si una teoŕıa ❚ tiene dos consecuencias contrastables φ y ψ, tenemos entonces que ❚ ⊢ φ ∧ ψ. Sin embargo, puede ser el caso que φ haya sido observada, pero no aśı ψ o ¬ψ. De esto tendŕıamos que φ ∧ ψ no ha sido observado y, por ende, tendŕıamos que rechazar ❚, lo cual es absurdo. Malgrado tutto, la propuesta de Priest tiene una fortaleza pues, si fuera posible observar φ ∧ ¬φ, la improbabilidad de tal observación (cf. ibıd., sec. 8.4) daŕıa un respaldo sin precedentes a ❚. Pero, de cualquier modo, no ofrece una solución para los que solo ven un uso práctico en las teoŕıas inconsistentes. No sirve para quienes creen que el mundo es consistente y las teoŕıas inconsistentes solo deben usarse si carecemos de una teoŕıa consistente. Es principalmente por esto que debemos explorar otras propuestas para justificar o refutar teoŕıas fácticas inconsistentes. 4.2. De las pericias con que el gobernador Sancho Panza solventó la paradoja del suicida Quizá nuestros contemporáneos -siempre- se parecen demasiado a nosotros, y quien busca novedades las hallará con más facilidad en los antiguos. -Jorge Luis Borges, Nathaniel Hawthorne (1949) 61 La decisión más apropiada viene inspirada, sorprendentemente, por el noble escudero Sancho Panza, quien encontrándose gobernador de lo que a su entendimiento era una ınsula -pues para él, y como le dećıa a su esposa Teresa Panza, una ınsula es "algo para gobernar"- y mientras se dispońıa a desayunar, un forastero que visitaba su gobierno le hizo una consulta. Señor, un caudaloso ŕıo dividıa dos términos de un mismo señoŕıo (y esté vuestra merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso). Digo, pues, que sobre este ŕıo estaba una puente, y al cabo della, una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario habıa cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del ŕıo, de la puente y del señoŕıo, que era en esta forma: "Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que alĺı se muestra, sin remisión alguna". Sabida esta ley y la rigurosa condición della, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que dećıan verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que, tomando juramento a un hombre, juró y dijo que para el juramento que haćıa, que iba a morir en aquella horca que alĺı estaba, y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento y dijeron: "Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y, conforme a la ley, debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca, y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre". Ṕıdese a vuesa merced, señor gobernador, qué harán los jueces del tal hombre; que aun hasta agora están dudosos y suspensos. Y, habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuestra merced, me enviaron a mı a que suplicase a vuestra merced de su parte diese su parecer en tan intricado y dudoso caso. (II.51.4, todos los énfasis de esta sección son mıos.) Esta paradoja tiene reminiscencias de la paradoja del mentiroso aun cuando 62 hay algunas diferencias fundamentales entrambas. En primer lugar, lo que se está tratando de determinar no es la verdad de un enunciado, sino lo que podŕıamos llamar su condición deóntica. La interpretación de los jueces sugiere que la condición de los enunciados que tratamos es la de un deber ser pues si "este hombre [...] mintió en su juramento [...] debe morir; y si [juró] verdad, por la misma ley debe ser libre" o, lo que es lo mismo, debe no morir. De esta manera, si en la paradoja del mentiroso intentamos determinar si un enunciado es verdadero o falso, en la del suicida tratamos de determinar si una circunstancia debe ser o debe no ser. Atendiendo estas consideraciones, la ley del puente se puede estipular como sigue. Ley del puente. Todo aquel que quiera pasar por el puente, si jura verdad entonces debe no morir en la horca, y si jura falsedad, entonces debe morir en la horca. La ley del puente dice, en śıntesis, que si el juramento es verdadero, entonces el jurador debe no morir en la horca y si lo que jura es falso, entonces debe morir en la horca. ❈✉❛❞r♦ ✹✳✺ ✿ ▲❡2 ❞❡❧ ♣✉❡♥t❡ Juramento Destino Falso Muere Verdadero No muere En el habla cotidiana suele ser lo mismo decir que algo deba no ser y que algo no deba ser ; un análisis más profundo, empero, muestra significativas diferencias entre ambos. Cuando es debido que una circunstancia no sea, tenemos un nivel de compromiso con impedir su realización. En cambio, cuando solo decimos que la tal circunstancia no es debida, solo decimos que esta no precisa ser, pero no que precisa no ser. De ahı que no estemos comprometidos a impedir la realización de lo que no debe ser, pero śı la de aquello que debe no ser. Por ejemplo, si se debe no ir a La Meca, desaprobaremos cualquier tentativa de que alguien intente ir. Si se debe ir a La Meca, desaprobaremos a todo aquél que no vaya. Pero si simplemente no se debe ir a La Meca, no desaprobamos a aquél que vaya, sino que lo liberamos de la 63 obligación de ir; en principio es libre de ir si aśı lo quiere. Lo cierto es que si algo debe no ser, entonces se sigue que no debe ser, pero no la conversa, lo que se expresa en el principio de que los deberes no se contradicen. Principio NCD (Principio de no contradicción de los deberes). Si algo debe no ser, entonces no debe ser. En este contexto notamos que para cualquier jurador, el morir en la horca solo puede ser resultado de que los jueces hayan determinado que aśı deba ser. Asimismo, si no muere en la horca, esto es resultado de que los jueces hayan determinado que deba no ser aśı. Postulado 4.6. Todo aquel que quiso pasar por el puente, si no murió en la horca, entonces debıa no morir en ella, y si murió en ella, entonces aśı lo debıa. De este postulado y del principio NCD se sigue que morir y no morir son circunstancias que se dan por y solo por el respectivo deber de ellas. Teorema 4.7. Todo aquel que quiso pasar por el puente, murió si y solo si debió morir, y no murió si y solo si debió no morir. Demostración. (De NCD y 4.6). Si asumimos que el jurador debió morir, tenemos por el principio NCD que no es cierto que debió no morir, y por el postulado 4.6 que murió. Ahora, si asumimos que el jurador debió no morir tendŕıamos, otra vez por NCD, que no debió morir, y por el postulado 4.6 concluimos que no murió. Los lados de derecha a izquierda se siguen trivialmente del postulado 4.6. Lo dicho por el jurador suicida, sin embargo, nos lleva a la contradicción ya señalada. Paradoja del suicida. El que jurare morir en la horca, morirá y no morirá en la horca. Demostración. (De NCD, ley del puente y 4.6). Si el jurador muere, entonces juró verdad y por la ley del puente debe no morir en la horca; de lo cual, junto con el 64 principio NCD, se sigue que no debe morir en esta. Pero como el jurador muere, se sigue del postulado 4.6 que debió morir y por el principio NCD que no debió no morir. Como esto es absurdo, debemos concluir que el jurador no muere. Pero de esto se sigue que el jurador juró mentira y, por la ley del puente, tendŕıamos que debió morir. De esto y del teorema 4.7 se concluye que el jurador muere, con lo que tenemos una contradicción. ⊥ Esto es un problema pues los jueces no pueden dictaminar al mismo tiempo que el suicida muera y que no muera; y tampoco parece posible que una persona al mismo tiempo esté viva y muerta. Con esto tenemos un tercer caso en el que un juramento puede ser al mismo tiempo verdadero y falso. ❈✉❛❞r♦ ✹✳✽ ✿ ▲❡2 ❞❡❧ ♣✉❡♥t❡ ✷ Juramento Destino Falso Muere Verdadero No muere Falso y Verdadero ¿? Pero hay otro presupuesto que no hemos hecho expĺıcito en esta historia. Este es que los jueces deben por necesidad determinar para todo jurador bien que debe morir o bien que debe no morir en la horca. Postulado 4.9. Todo aquel que quiera pasar por el puente, debe morir o debe no morir. Lo cual nos lleva al caso especial, en el que se da otra especie de paradoja; aquél en que el jurador jura que no morirá en la horca. Paradoja del vivaz. El jurador que jurare no morir en la horca tiene destino incierto. Demostración. Si asumimos que el jurador no muere en la horca, entonces juró verdad y, por el la ley del puente, debe no morir. Pero si asumimos que el jurador 65 muere en la horca, entonces dijo mentira, y por la misma ley debe morir. Ergo, no es posible decidir entrambos, a pesar de que aśı lo determina el postulado 4.9.1 Con lo que tenemos aun otro caso, donde el juramento no es verdadero ni falso. ❈✉❛❞r♦ ✹✳✶✵ ✿ ▲❡2 ❞❡❧ ♣✉❡♥t❡ ✸ Juramento Destino Ni Falso ni Verdadero ¿? Falso Muere Verdadero No muere Falso y Verdadero ¿? La convención tarskiana (Tarski 1944; 1969) sugeriŕıa descartar los enunciados auto-referenciales de nuestro lenguaje; que fueron los que desataron las paradojas arriba expuestas. Esto es, los juramentos de morir en la horca, y no morir en ella, no seŕıan aceptables pues de algún modo predican de śı mismos. Cualquier jurador que rompa esta regla estaŕıa obligado a jurar algo distinto. Sin embargo, el juramento ya se hizo sin que los jueces objetaran a debido tiempo, por lo que deben tomar una decisión en un sentido o el otro. Ante esto, el sutil Sancho interviene interpretando el problema, y la misma ley del puente, en términos más flexibles. A mi parecer, este negocio en dos paletas le declararé yo, y es aśı: el tal hombre jura que va a morir en la horca, y si muere en ella, juró verdad, y por la ley puesta merece ser libre y que pase la puente; y si no le ahorcan, juró mentira, y por la misma ley merece que le ahorquen. (II.51.8) El fraseo de Sancho sugiere que mal hicimos en entender la ley del puente como una estipulación definitiva o una obligación ineluctable para los jueces. Más apropiado seŕıa entenderla como la asignación de un mérito a la posibilidad de que el jurador muera o no. Por esto es menester reformular la ley del puente en los siguientes términos: 1Esta es solo una demostración intuitiva. La demostración completa requiere formalizar el argumento y encontrar dos interpretaciones en que los postulados y axiomas sean verdaderos: en una de las cuales el jurador muera y deba morir, y en la otra donde no muera y deba no morir. 66 Ley del puente corregida. Todo aquel que quiera pasar por el puente, si jura verdad entonces merece no morir en la horca, y si jura falsedad, entonces merece morir en la horca. Mientras que el deber nos compele a actuar, el merecimiento no necesariamente. Es deseable hacer lo que es merecido, pero solo estamos obligados a hacer lo que es debido. Es por esto que decir que algo merece ser y no ser, no es tan disparatado como decir que debe ser y no ser. Considérese el caso de un niño que habiendo cumplido con sus deberes, pero habiendo hecho travesura, merece ser y no ser premiado. Como consecuencia, no podemos aceptar un principio de no contradicción de los merecimientos pues el que algo merezca no ser no implica que no merezca ser. El postulado 4.6, por su parte, śı puede extrapolado al concepto de merecimiento. Postulado 4.11. Todo aquel que quiso pasar por el puente, si no murió en la horca, entonces merećıa no morir en ella, y si murió en ella, entonces lo merećıa. Sin embargo, de esto se sigue que el jurador suicida tanto merece morir en la horca como merece no morir en ella. Paradoja deóntica del suicida. El que jurare morir en la horca, tanto merece morir cuanto merece no morir en ella. Demostración. (Del postulado 4.6 y la ley del puente). Si asumimos que no merećıa morir en la horca, se sigue del postulado 4.11 que no murió en ella y, por tanto, que dijo mentira. De esto y la ley del puente corregida se sigue que merećıa morir en la horca, lo que se contradice con nuestra suposición. Si suponemos en cambio que no merećıa no morir en la horca, entonces murió en ella de acuerdo con el postulado 4.11. Pero esto implica que juró verdad y que merećıa no morir. Como ambos supuestos implican contradicciones tenemos que nuestro jurador tanto merece morir como merece no morir en la horca. Ante la disyuntiva de que la vida y la muerte le son merecidas a nuestro jurador, Sancho anuncia una solución que de salomónica tiene algo. 67 Digo yo, pues, agora que deste hombre aquella parte que juró verdad la dejen pasar, y la que dijo mentira la ahorquen, y desta manera se cumplirá al pie de la letra la condición del pasaje. (II.51.10) A lo que replica el preguntador. Pues, señor gobernador, será necesario que el tal hombre se divida en partes, en mentirosa y verdadera; y si se divide, por fuerza ha de morir, y aśı no se consigue cosa alguna de lo que la ley pide, y es de necesidad espresa que se cumpla con ella. (II.51.11) La réplica razonable despierta en Sancho una nueva solución, inspirada en un precepto del ilustre Don Quijote. Soy de parecer que digáis a esos señores que a mı os enviaron que, pues están en un fil las razones de condenarle o asolverle, que le dejen pasar libremente, pues siempre es alabado más el hacer bien que mal, y esto lo diera firmado de mi nombre, si supiera firmar; y yo en este caso no he hablado de mıo, sino que se me vino a la memoria un precepto, entre otros muchos que me dio mi amo don Quijote la noche antes que viniese a ser gobernador desta ınsula: que fue que, cuando la justicia estuviese en duda, me decantase y acogiese a la misericordia; y ha querido Dios que agora se me acordase, por venir en este caso como de molde. (II.51.12) Lo que podŕıamos llamar el principio de misericordia de Don Quijote y Sancho Panza puede interpretarse diciendo que si una circunstancia es éticamente preferible a su negación, pero tanto una cuanto la otra merecen ser, entonces debe ser la éticamente preferible. En otro caso implica que si ninguna merece ser, pero al menos una debe ser, también debe ser la éticamente preferible. Principio de misericordia (de Don Quijote y Sancho Panza). Si una circunstancia es éticamente preferible a su negación, es deber que sea o que no sea y merece ser tanto como no ser, o no merece ni ser ni no ser, entonces debe ser la tal circunstancia. De lo contrario, será lo que sea merecido ser. 68 Este intrincado pero profundo precepto puede ser más claro al entendimiento si es explicado en la circunstancia de esta historia en la que sabemos, gracias al noble Sancho, que dejar vivir es éticamente preferible a matar. Principio de santidad de la vida. Es éticamente preferible dejar vivir a hacer morir. Lo que nos permite entender las relaciones entre la verdad de un juramento, el merecimiento de morir o no en la horca del jurador y el deber de los jueces de ejecutar una cosa o la otra. ❈✉❛❞r♦ ✹✳✶✷ ✿ ▲❡2 ❞❡❧ ♣✉❡♥t❡ ✹ Juramento Merecimiento Deber Ni Falso ni Verdadero No merece no morir ni morir Debe no morir Falso Merece morir Debe morir Verdadero Merece no morir Debe no morir Falso y Verdadero Merece no morir y morir Debe no morir Siendo esto aśı, Sancho muestra su pericia disolviendo por mano propia esta tan interesante paradoja. Teorema de Sancho. El que jurare morir en la horca, ni debe morir ni morirá en ella. Demostración. Puesto que el principio de santidad de la vida dictamina que es preferible no hacer morir a hacer morir, y por el postulado 4.9 sabemos que es deber hacer no morir o hacer morir en esta, y por la paradoja deóntica del suicida sabemos que es merecido que el suicida muera y no muera, el principio de misericordia dictamina que el suicida no muera en la horca. Es debido a esto y al principio NCD que el suicida no morirá. Siendo esto aśı, y teniendo una semejante solución la paradoja del vivaz, no podemos sino admirar la sapiencia mostrada por el gobernador Sancho, quien tras la hazaña ordenó "denme de comer, y lluevan casos y dudas sobre mı, que yo las 69 despabilaré en el aire" (II.51.14). Ya pudiera este humilde narrador resolver enigmas mientras desayuna. Como eṕıgono de Panza, solo me toca desarrollar lo por él dicho y llevarlo a otros contextos, como el caso en que es merecido aceptar y rechazar una teoŕıa. 4.3. La contrastación bilateral Nuestro problema guarda muchas similitudes con el resuelto por Panza. Los que pretenden pasar el puente son como las teoŕıas que debemos aceptar; sus juramentos, como los enunciados que debemos evaluar; el otro lado del puente, como el lugar donde están todas las teoŕıas que hemos aceptado. Si el enunciado evaluado es verdadero, aceptamos la teoŕıa provisionalmente y la dejamos pasar junto con las otras; si es falso, la rechazamos como a las demás teoŕıas que perecieron también por falsas. De ahı que no sea del todo descabellada su primera solución, pues podŕıamos quedarnos con los enunciados verdaderos de cada teoŕıa y rechazar o aniquilar aquellos que sean falsos. Pero esto seŕıa la receta perfecta para no descartar teoŕıa ninguna, pues siempre rescataŕıamos lo cierto en ellas, aunque lo falso pese más. Es aqúı donde la segunda solución puede presentar una analoǵıa útil entre los casos en que el jurador merece morir y no morir, o ni merece morir ni no morir, y los casos en que la teoŕıa implica φ y ¬φ, o no implica ni φ ni ¬φ. En caso de que φ sea falso, tendŕıamos que rechazar la teoŕıa solo cuando implique φ, pero no ¬φ. Por lo tanto, φ solo podŕıa ser un refutador potencial de una teoŕıa ❚ cuando ❚ ⊢ ¬φ pero ❚ 0 ¬φ. Aśı, el conjunto de refutadores potenciales de una teoŕıa ❚⊢, o ❘❡(❚⊢), queda definido como sigue1: Def. ❘❡(❚⊢) = {φ /∈ ❚⊢ | ¬φ ∈ ❚⊢} (Re) De lo que obtenemos: {} ❚ 0 φ⇒ φ /∈ ❘❡(❚⊢) (4.13) {N2} ¬φ ∈ ❘❡(❚⊢) ⇒ ❚ ⊢ φ (4.14) 1Para una definición alternativa, pero equivalente, véase Bartolo Alegre (2019). 70 Demostración. De ¬φ ∈ ❘❡(❚⊢) se sigue por la definicón (Re) que ❚ ⊢ ¬φ y ❚ ⊢ ¬¬φ, lo cual por el postulado (N2) implica que ❚ ⊢ φ. {} φ,¬φ ∈ ❘❡(❚⊢), para ningún φ (4.15) Demostración. Por la definición (Fa) de φ ∈ ❘❡(❚⊢) se sigue que ❚ ⊢ ¬φ y de ¬φ ∈ ❘❡(❚⊢) se sigue que ❚ 0 ¬φ, lo cual es absurdo. Estos teoremas nos permiten resumir las condiciones de refutación de una teoŕıa con el siguiente cuadro. ❈✉❛❞r♦ ✹✳✶✻ ✿ ❘❡❢✉t❛❞♦r❡s ♣♦t❡♥❝✐❛❧❡s ❚⊢ φ ¬φ ❚ ⊢ φ, ❚ ⊢ ¬φ φ /∈ ❘❡(❚⊢) ¬φ /∈ ❘❡(❚⊢) ❚ ⊢ φ, ❚ 0 ¬φ φ /∈ ❘❡(❚⊢) ¬φ ∈ ❘❡(❚⊢) ❚ 0 φ, ❚ ⊢ ¬φ φ ∈ ❘❡(❚⊢) ¬φ /∈ ❘❡(❚⊢) ❚ 0 φ, ❚ 0 ¬φ φ /∈ ❘❡(❚⊢) ¬φ /∈ ❘❡(❚⊢) Veamos las consecuencias de nuestra definición. En primer lugar, veamos la relación entre las clases de corroboradores y refutadores potenciales. En la definición (F ) fue necesario limitar informalmente su rango a las teoŕıas consistentes para que estas clases no se puedan intersectar. Con la definición (R) esto no es necesario. {} ❈♦(❚⊢) ∩❘❡(❚⊢) = {} (4.17) Demostración. Supongamos que φ es en ❈♦(❚⊢) y ❘❡(❚⊢). De la definición (Co) se sigue que ❚ ⊢ φ, lo cual es prohibido por la definición (Re). Ahora debemos explorar si la definición (Fa) es un caso especial de la definición (Fa). Por ejemplo, es trivialmente cierto que todo refutador potencial (Re) de una teoŕıa es también su falsador potencial (Fa). {N1, N2} ❘❡(❚⊢) ⊆ ❋❛(❚⊢) (4.18) Demostración. Por la definición (Re), de φ ∈ ❘❡(❚⊢) se sigue que ❚ ⊢ ¬φ, lo cual por el teorema (2.23) implica que φ ∈ ❋❛(❚⊢). 71 Puesto que en las teoŕıas clásicas el concepto de refutador potencial solo es relevante si es aplicado a teoŕıas consistentes, tenemos que los conjuntos de refutadores y falsadores potenciales de una teoŕıa son iguales en este dominio. {N1} ❋❛(❚⊢) ⊆ ❘❡(❚⊢), para ❚⊢EC (4.19) Demostración. Por el teorema (2.22), de φ ∈ ❋❛(❚⊢) se sigue que ❚ ⊢ ¬φ. Pero como ❚ es consistente, esto significa que ❚ 0 φ, por lo que la definición (Re) asegura que φ ∈ ❘❡(❚⊢). {N1, N2} ❋❛(❚⊢) = ❘❡(❚⊢), para ❚⊢EC (4.20) Estos resultados implican que la definición (Re) no solo es apropiada para las teoŕıas inconsistentes, sino que devuelve todo el poder de la definición (Fa) para las teoŕıas emṕıricamente consistentes. Con el objeto de definir la propiedad de refutabilidad de una teoŕıa hay que advertir que si requerimos que esta prohıba todo un evento, puede suceder que las inconsistencias pueden darse al nivel de ciertos casos especiales de ese evento. De ser aśı, podŕıamos correr el riesgo de descartar teoŕıas inconsistentes con gran contenido emṕırico, pero que no logran prohibir ningún evento entero. Diré entonces que una teoŕıa es refutable syss prohıbe por lo menos un pseudoevento, que es el conjunto complemento de un evento en algunos acontecimientos. Para definir este concepto considérese el conjunto C de constantes de nuestro lenguaje y supongamos que A es un subconjunto de C tal que la cardinalidad de A es menor que la de C−A. Un pseudoevento relativo a un enunciado observacional Pa incluiŕıa los acontecimientos ❆❝(Paxa) ⊢, para x ∈ C −A, pero excluiŕıa los acontecimientos ❆❝(Paya) ⊢, para y ∈ A. La cardinalidad de A debe ser menor que la C − A para dar un mınimo de contenido emṕırico a la teoŕıa. Todo esto está expresado en la siguiente definición. Def. ❊✈✬(φ, u,❆)⊢ = ❊✈(φ, u)⊢ − ⋃ t∈❆ ❆❝(φtu) ⊢, donde φtu ∈ ❖❜, y c❆ < c(❈−❆) (pEv) 72 Si ❆ es finito -y ❈ infinito-, podemos decir que ❊✈✬(φ, u,❆)⊢ es un cuasi evento. Al igual como con los eventos, evitaré abreviaré ❊✈✬(φ, u,❆)⊢ con ❊✈✬(φ)⊢ cuando esto no cause confusiones. Ahora definiré que una teoŕıa es refutable syss prohıbe por lo menos un pseudoevento. Def. ❚⊢ es refutable ⇔ ❊✈✬(φ)⊢ ⊆ ❘❡(❚⊢), para algún φ (R) Todas las teoŕıas están en el dominio de esta definición aplica en general a teoŕıas, y no solo teoŕıas consistentes o absolutamente consistentes pues. Como veremos en los teoremas (4.22) y (4.26), la refutabilidad implica estas propiedades de las teoŕıas en los casos oportunos. Aśı, de esta definición se sigue la consecuencia deseable -incluida en la definición de Piscoya- de que toda teoŕıa refutable será absolutamente consistente. Sin embargo, podemos formular esta conclusión en términos más fuertes diciendo que toda teoŕıa refutable es emṕıricamente no trivial. Decimos que una teoŕıa es emṕıricamente trivial si es que implica todos los enunciados observacionales de un lenguaje. Def. ❆ es emṕıricamente trivial ⇔ ❖❜ ⊆ ❆ (4.21) De lo que tenemos: {} ❚⊢ es refutable ⇒ ❚⊢ no es emṕıricamente trivial (4.22) Demostración. Si❚⊢ es refutable, la definición (R) garantiza que hay un φ ∈ ❘❡(❚⊢), lo que por la definición (Re) implica que ❚ 0 φ. La falsabilidad o refutabilidad clásica está definida solo para teoŕıas consistentes, por lo cual es difıcil establecer relaciones entre las definiciones (F ) y (R). Omitiendo esta restricción, una teoŕıa inconsistente podŕıa ser falsable, pues prohıbe todos los eventos posibles de acuerdo con (F ), pero irrefutable, pues no prohıbe un solo pseudoevento de acuerdo con (R). Para proseguir este análisis debemos entonces estudiar el caso especial en que la intersección entre los conjuntos corroboradores y falsadores potenciales de una teoŕıa es vaćıo. {} ❈♦(❚⊢) ∩ ❋❛(❚⊢) = {} ⇒ ❚⊢ es EC (4.23) Demostración por contrapositiva. Por el teorema (2.13), de ❚ ⊢ ¬φ se sigue que 73 ¬φ ∈ ❈♦(❚⊢), y por el teorema (2.21), de ❚ ⊢ φ se sigue que ¬φ ∈ ❘❡(❚⊢). {N1} ❚⊢ es EC ⇔ ❈♦(❚⊢) ∩ ❋❛(❚⊢) = {} (4.24) Demostración. (⇒) Por el teorema (2.13), de φ ∈ ❈♦(❚⊢) se sigue ❚ ⊢ φ, y por el teorema (2.22), de φ ∈ ❘❡(❚⊢) se sigue ❚ ⊢ ¬φ, lo cual demuestra la contrapositiva. (⇐) Teorema (4.23). De esto se sigue que el caso que nos interesa analizar es el de las teoŕıas emṕıricamente consistentes. En este dominio tenemos que toda teoŕıa falsable también es refutable. {N1, N2} ❚⊢es falsable ⇒ ❚⊢es refutable, donde ❚⊢ es EC (4.25) Demostración. Si ❚⊢ es emṕıricamente consistente, el teorema (4.20) implica que ❋❛(❚⊢) = ❘❡(❚⊢). De ahı que si ❊✈(φ)⊢ ⊆ ❋❛(❚⊢), que significa que ❚⊢ es falsable, se sigue ❊✈✬(φ)⊢ ⊆ ❘❡(❚⊢), que significa que ❚⊢ es refutable. Si la lógica de en que ❚ está clausurada es explosiva, se sigue que toda teoŕıa refutable debe ser consistente y viceversa. {} ❚⊢E es refutable ⇔ ❚⊢E es consistente (4.26) Demostración. Puesto que ❚⊢E es refutable, el teorema (4.22) garantiza que no sea trivial, y el teorema (1.9) que es consistente. Ahora queda por definir cómo se debe aplicar estos conceptos a la contrastación efectiva de teoŕıas inconsistentes. Supongamos que descubrimos que la teoŕıa fáctica ❚⊢E es inconsistente y, por tanto, trivial. Lo primero que debemos hacer es destrivializar ❚⊢E , reemplazando ⊢E por una relación de consecuencia paraconsistente ⊢P. No puede ser cualquiera pues no es el caso para todo ❆ y ⊢P que ❆ ⊢P 6= ▲❡. Necesitamos pues una relación ⊢P apropiada para ❚; esto es, tal que ❆ ⊢P no sea trivial. Def. ⊢ es apropiada para ❆⇔ ❆⊢ es no trivial (4.27) 74 Una relación ⊢P puede ser apropiada para ❚ y ❚ ⊢P ser emṕıricamente trivial. En este caso, ❚⊢ seŕıa tan inútil para las ciencias fácticas como lo seŕıa cualquier teoŕıa inconsistente clausurada en una lógica explosiva. Por lo tanto, ⊢ también debe ser emṕıricamente apropiada (EA) para ❚; es decir, suficiente para impedir que ❚⊢P sea emṕıricamente trivial. Def. ⊢ es EA para ❆⇔ ❖❜(❆) ⊂ ❖❜ (4.28) Si encontramos una relación ⊢P emṕıricamente apropiada para ❚ y ❘ ⊢P es emṕıricamente consistente, entonces los refutadores potenciales de ❘⊢P serán sus falsadores potenciales, como lo establece el teorema (4.20). Caso contrario, debemos demostrar que un enunciado no es teorema de ❚⊢P antes de considerarlo un refutador potencial; usualmente esto es más difıcil que demostrar que un enunciado śı es teorema. Si tras agotar todas lógicas paraconsistentes inicialmente consideradas seguimos sin obtener un❖❜(❆⊢) que no sea vaćıo o idéntico a❖❜, debemos o bien reconsiderar nuestros criterios de selección de sistemas lógicos o, de lo contrario, descartar ❚⊢ sin necesidad de contrastación emṕırica. Ahora, supongamos que tenemos una teoŕıa emṕıricamente inconsistente ❚⊢P con una clase bien definida de refutadores potenciales ❘❡(❚⊢P). Si ❚⊢ ⊢P φ ∧ ¬φ, el teorema (4.15) asegura que ninguno de φ ∈ ❘❡(❚⊢P) o ¬φ ∈ ❘❡(❚⊢P) será el caso. Esto sucede porque en toda teoŕıa consistente ❚ existe una relación lógica clara entre sus de corroboradores y refutadores potenciales, la cual no existe en las teoŕıas consistentes: φ y ¬ψ son corroboradores potenciales de una teoŕıa syss ¬φ y ψ son sus refutadores potenciales. Por esto, cada vez que un refutador potencial es emṕıricamente refutado, estamos automáticamente verificando un corroborador potencial. Esto se explica por la definición clásica de la negación: φ es verdadera syss ¬φ es falsa (o no verdadera). En las lógicas paraconsistentes, en cambio, aun si la verdad de φ se sigue de la de los axiomas de ❚⊢, no necesariamente se sigue ni la falsedad ni la no verdad de ¬φ. De ahı que la verificación de φ no implica automáticamente 75 la refutación de ¬φ, ni viceversa. Por lo dicho, si una teoŕıa inconsistente quiere ser validada por sus inconsistencias, y no a pesar de ellas, debe pasar un proceso bilateral de contrastación: debe dar negativo en los tests que intenten refutar sus consecuencias emṕıricas consistentes, y positivo en los tests que intenten verificar sus consecuencias emṕıricas inconsistentes. Esto pone a los dialeteistas emṕıricos en serios aprietos, pues deben aceptar que las teoŕıas inconsistentes no pueden ser refutadas en tanto inconsistentes. Solo podŕıan ser verificadas si aceptamos el argumento de Priest expuesto en la sección 4.1. Esto haŕıa del dialeteismo emṕırico una postura eminentemente dogmática; contraria a un esṕıritu cientıfico que no solo busca corroborar, sino también la oportunidad de refutar sus hipótesis, o al menos remecerlas. No es posible objetar en este caso -al estilo de Reichenbach, Neurath y Kuhn- que el refutacionismo propone un modelo excesivamente simplificado de la práctica cientıfica. El dialeteismo emṕırico no ha podido satisfacer adecuadamente ni siquiera este modelo; por lo que no se puede esperar que satisfaga uno más sofisticado. No obstante, las definiciones aqúı propuestas pueden servir para salvar teoŕıas inconsistentes, pero sin pretender validarlas como tales. En la siguiente y final sección presento algunas consideraciones al respecto. 76 Consideraciones finales We want our criticism to be severe. ... It doesn't matter if we are over-critical. -Karl Popper (1979, pág. 305) Si acaso doblares la vara de la justicia, no sea con el peso de la dádiva, sino con el de la misericordia. -Don Quijote (II.42.16) Comencé esta disertación citando a Popper, quien enfatizaba el rol cŕıtico de la lógica en la ciencia emṕırica, pues aquella permite retro-transmitir la falsedad de las consecuencias lógicas de una teoŕıa. Ahı donde una teoŕıa implique algo falso, debemos ser cŕıticos y rechazarla; asimismo, si la teoŕıa es inconsistente, debemos también rechazarla por ser trivial y no informativa. ¿Pero qué sucede si nuestra mejor aproximación es una teoŕıa inconsistente? Quizá solo corresponda seguir buscando hasta encontrar una teoŕıa consistente que realmente pueda ser contrastable. Sin embargo, nada garantiza que la encontremos una en un plazo razonable, por lo que debemos servirnos, si quiera provisionalmente, la teoŕıa inconsistente. ¿Cómo se debe llevar entonces la empresa cŕıtica popperiana con las teoŕıas inconsistentes? Las lógicas paraconsistentes evitan que algunas teoŕıas inconsistentes sean triviales y de esta manera evitamos que no sean informativas. Sin embargo, al implicar dos enunciados contradictorios, uno de los cuales es verdadero, seŕıan falsadas a priori. Mi solución parece ir en contra del esṕıritu cŕıtico de Popper pues dada una contradicción de una teoŕıa y su posible disonancia con la realidad, he optado por la misericordia en lugar de por la cŕıtica. Esta misericordia, empero, no debe confundirse con la dádiva. Si los falsadores potenciales de una teoŕıa fueran solo aquellos enunciados que la pudieren trivializar, 77 habŕıamos tenido teoŕıas demasiado resistentes a la cŕıtica; habŕıamos doblado la vara de la justicia con el peso de la dádiva. Por esto he optado por rechazarlas cada vez que aceptemos un enunciado que, contradiciendo la teoŕıa, no esté también implicado por ella. Si tal falsador potencial es verdadero, la teoŕıa tendrá que ser perdonada. Y esto debe ser aśı pues, con las teoŕıas inconsistentes, no es posible ser cŕıticos sin ser primero misericordiosos. 78 Conclusiones A continuación los resultados de este trabajo. 1. Los conceptos clásicos de falsador potencial y falsabilidad son aplicables a teoŕıas inconsistentes siempre que sean emṕıricamente consistentes. Esto sucede porque una teoŕıa emṕıricamente consistente no implica ningún par φ,¬φ de fórmulas observacionales. Puesto que un falsador potencial debe ser un enunciado observacional, las inconsistencias teóricas son irrelevantes para las definiciones clásicas. 2. Es posible definir clases de corroboradores y refutadores potenciales excluyentes y no vaćıas, aśı como un concepto de refutabilidad adecuado para las teoŕıas inconsistentes no triviales en general. Esto es posible solo si la teoŕıa está clausurada con respecto a una relación de consecuencia que le sea emṕıricamente apropiada, o sea, si es que podemos definir una clase de enunciados observacionales que no se sigan de la teoŕıa con respecto a cierta relación de consecuencia paraconsistente. 3. Las definiciones referidas en la conclusión previa tienen como caso especial las definiciones clásicas. De ahı que lo propuesto en esta disertación constituya una teoŕıa formal de la contrastación más amplia que la de Popper e igualmente fuerte cuando limitamos su dominio al de las teoŕıas emṕıricamente consistentes. 4. La verificación de un corroborador potencial de una teoŕıa inconsistente no implica automáticamente la refutación de uno de sus refutadores potenciales, ni la rećıproca. Esto se debe a que las lógicas paraconsistente no establecen de manera general la incompatibilidad entre una fórmula y su negación. De esto se sigue que toda teoŕıa emṕıricamente inconsistente debe pasar por un proceso bilateral de contrastación en 79 el que verificamos sus consecuencias inconsistentes y refutamos sus consecuencias consistentes. En consecuencia, las teoŕıas inconsistentes son contrastables en un sentido más débil que las teoŕıas consistentes. 5. Existe un buen argumento según el cual es posible observar lo dicho por un enunciado contradictorio. Este argumento de Priest parte por aceptar la posibilidad de observar lo expresado por una conjunción y por un enunciado negado. Asimismo, no presupone aceptar que el mundo sea "inconsistente" en ningún sentido. La posibilidad de observar situaciones imposibles, como las expresadas por los dibujos de Escher, parece suficiente prueba emṕırica de esta posibilidad. 6. No es posible refutar lo expresado por un enunciado observacional contradictorio si aceptamos la posibilidad de que sea verdadero. Esto se debe a que si una teoŕıa implicara φ y ¬φ, sus refutadores potenciales correspondientes seŕıan también ¬φ y φ. Puesto que estos ya son corroboradores potenciales de tal teoŕıa, debemos excluirlos de su clase de refutadores potenciales. 7. El dialeteismo emṕırico es un programa dogmático pues solo admite la corroboración, y no la refutación. Esto se sigue de las dos últimas conclusiones, pues una teoŕıa inconsistente puede ser contrastada por sus teoremas observacionales consistentes, pero no por las inconsistentes. 80 Apéndice A Teoŕıa de la contradicción No es fácil presentar una definición de negación que sea válida para cualquier lógica. Si bien es posible definir la negación de una manera especial para cada lógica, necesitamos una definición o esquema que los unifique pues queremos aplicar estas lógicas y, en especial, las propiedades de su operación de negación para tratar los enunciados de ciertas teoŕıas cientıficas. Por esto, definiré directamente qué es una contradicción asumiendo que ¬ es el operador de negación de nuestro lenguaje. En primer lugar, quiero distinguir entre la contradicción en un sentido débil y en uno fuerte. La contradicción débil es una relación que existe entre una fórmula α y su negación ¬α. La contradicción fuerte es una propiedad de una fórmula del tipo α ∧ ¬α -donde ∧ es la conjunción. Caracterizo el primer caso como débil pues algunas lógicas paraconsistentes no incluyen la regla de adjunción, según la cual α, β ⊢ α ∧ β. Es aśı que en tales lógicas podemos obtener α y ¬α, pero no α ∧ ¬α, por lo que el principio ex contradictione quodlibet -i.e., α ∧ ¬α ⊢ β- queda suspendido. Si bien decir que un tipo de contradicción es débil y el otro fuerte no aclara qué es una contradicción, śı sirve para precisar en qué manera la podemos expresar. Expresaré la contradicción como una relación usando el relator ⇌, donde α ⇌ β se lee "α se contradice con β". Aśı, toda relación de contradicción debe satisfacer la siguiente definición. 81 ❆1✐♦♠❛s ❆✳✶✿ ❚❡♦r✓✏❛ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝❝✐✓♦♥ Ax. α ⇌ ¬α (A.2) Ax. α ⇌ β ⇒ β ⇌ α (A.3) Ax. α ⇌ β & β ⇌ γ & γ ⇌ δ ⇒ α ⇌ δ (A.4) El axioma (A.4) es prescindible si es que no queremos definir como contradicciones a cada par de fórmulas construido a partir de una misma fórmula, donde la una tiene un número par de negaciones por delante, y la otra uno impar. Esto, empero, restaŕıa poder expresivo al concepto. De cualquier modo, el principal corolario de (A.1) se sigue de las axiomas (A.2) y (A.3). {A.2, A.3} ¬α ⇌ α (A.5) La notación α designa una fórmula arbitraria que se contradiga con α; e.g., ¬α,¬¬¬α,¬¬¬¬¬α, etc. Aśı, la expresión "existe un α tal que..." es una abreviación de "existe un β que se contradice con α tal que...", y la expresión "para todo α se cumple..." es una abreviación de "para todo β que se contradiga con α se cumple...". En notación lógica esto se veŕıa aśı: Def. ∧ α Pα ⇔ ∧ β (β ⇌ α ⇒ Pα) (A.6) Def. ∨ α Pα ⇔ ∨ β (β ⇌ α & Pα) (A.7) Para diferencias dos o más fórmulas arbitrarias que se contradigan con α podemos utilizar subındices numéricos como α1, α2, etc. Ahora podemos redefinir la clase de refutadores potenciales como sigue: Def. ❘❡(❚⊢) = {φ /∈ ❚⊢ | φ ∈ ❚⊢} (Re) El lector puede comprobar que todos los teoremas de la sección 4.3 se siguen sin necesidad de los postulados (N1) y (N2), aunque las demostraciones son un tanto más engorrosas. 82 Apéndice C Concepción semántica de las teoŕıas La distinción entre teoŕıas matemáticas y fácticas no consiste en que las segundas sean teoŕıas interpretadas y las primeras no, pues podemos interpretar una teoŕıa con un sistema numérico. Tal distinción es más fácil de explicar con la notación de la concepción semántica y el concepto de núcleo estructural. El núcleo estructural de una teoŕıa fısica en sentido de Sneed consta de diversas clases: la clase de todos los modelos posibles parciales de la teoŕıa, es decir, de todos los sistemas observables y describibles con independencia de la teoŕıa y que eventualmente podŕıan ser explicados por ella; en segundo lugar, la clase de todos los modelos posibles, especificada por los dos primeros axiomas; en tercer lugar, la clase de los modelos, especificada por los últimos axiomas; en cuarto lugar, una función que a cada modelo posible le asigna un modelo posible parcial, a saber, el sistema que consta de su mismo dominio y sus mismas funciones no teóricas; y finalmente, la clase de todos los conjuntos de modelos posibles ligados entre śı por las condiciones de ligadura. (Mosteŕın 2000, pág. 269) Aunque la noción de modelo aparece en cada punto de la definición, esta solo sirve para caracterizar lo común que hay entre ellos. El núcleo estructural es lo 83 que caracteriza a una estructura matemática la cual puede, en principio, servir para describir cualquier sistema o ser objeto de estudio puramente abstracto. La adecuación de tal núcleo a la descripción de tal o cual sistema es lo que corresponde a una ciencia fáctica. En particular, si tenemos un núcleo estructural N podemos decir que un sistema S le es adecuado o no y definir que ad(N) es el conjunto de los sistemas adecuados a N. Dejando a la intuición la noción de adecuación, podemos decir que una estructura T = 〈N, I〉 syss N es un núcleo estructural y I ⊆ ad(N). Intuitivamente I es un conjunto de sistemas o interpretaciones propuestas de la teoŕıa que puede cambiar en el tiempo. Por ejemplo, la mecánica clásica newtoniana teńıa entre sus modelos propuestos los fenómenos terrestres, el sistema planetario, los sistemas satelitales e incluso el movimiento atómico y el universo. Sin embargo, aunque los cuatro últimos ya no sean modelos adecuados, śı lo sigue siendo el primero. De este modo, la teoŕıa newtoniana aún es cientıficamente relevante pues cuenta con interpretaciones adecuadas a su núcleo estructural. El lenguaje de la concepción semántica es compatible con la idea de que las teoŕıas en la ciencia no son estáticas y a menudo adquieren nuevos modelos o pierden antiguos. Está claro que una teoŕıa matemática no requiere de interpretaciones propuestas para su caracterización pues su objeto de estudio es las estructuras mismas. Esto es aśı en la concepción contemporánea de teoŕıa matemática. La mayor parte de la historia, sin embargo, la geometŕıa euclidiana fue considerada una teoŕıa sobre el espacio real. Es por eso que antes, y no ahora, teńıa sentido decir que la geometŕıa euclidiana es verdadera o falsa.1 Nada de esto impide asociar una interpretación destacada por motivos intuitivos una teoŕıa matemática, pero esto ya no tiene que ver con su caracterización formal. 1Putnam (1975, cap. 4) tiene un contra-argumento que no tengo espacio par rebatir. 84 Apéndice D Consideraciones sobre la concepción sintáctica En la concepción sintáctica, una teoŕıa ❚ es un subconjunto de ▲❡ que contiene las proposiciones que postula verdaderas del sistema que pretende explicar. También nos dice indirectamente qué enunciados son falsos: la negación de cada enunciado de ❚. Si cualquier subconjunto de ▲❡ fuera una teoŕıa, ℘▲❡ seŕıa el conjunto de todas las teoŕıas expresables en ▲❡, lo que nos lleva a las siguientes consideraciones. En primer lugar, algunas teoŕıas seŕıan poco interesantes. Por ejemplo, la teoŕıa ❚0 = ▲❡ es idéntica a su lenguaje, por lo cual todo se sigue de ella. Como dijo Popper de las teoŕıas inconsistentes, el problema de ❚0 no radica en que sea falsa sino en que no es informativa. No podemos esperar predicciones interesantes o arriesgadas de ❚0 pues además de predecir todo lo que sucede, también predice todo lo que no sucede. Por su parte, ❚1 = {}, siendo opuesta a ❚0, es igual de inútil pues al no afirmar ni negar enunciado alguno, tampoco nos provee predicciones. Tampoco es muy útil ❚2 = ▲❡− {α} pues esto no significa, en sentido estricto, que ❚2 prohıba α. En la mayoŕıa de lógicas, α es equivalente a alguna de la fórmulas ¬¬α,¬¬¬¬α, ..., las cuales aún pertenecen a ❚2. Una observación similar puede hacerse para cualquier teoŕıa que excluya solo una cantidad finita de enunciados de su lenguaje y también para teoŕıas que solo impliquen una cantidad finita de ellos. 85 Un caso menos obvio es el de ❚3 = ▲❡−❆, donde ❆ y ▲❡−❆ son equipotentes; de lo que se sigue que ▲❡ también es equipontente con ellos. Una teoŕıa aśı debeŕıa ser interesante pues parece que prohıbe tanto como predice. Sin embargo, si los enunciados atómicos de ▲❡ son P,Q,R, ..., podemos establecer una función biyectiva f entre el conjunto de fórmulas {P,¬P,¬¬P, ...} al conjunto de todas las fórmulas de ▲❡. Si limitamos ▲❡ solo a fórmulas literales, podemos usar la técnica cantoreana para establecer una biyección entre {P,¬P,¬¬P, ...} y ▲❡ en el cuadro D.1. ❈✉❛❞r♦ ❉✳✶ ✿ ❋✓♦r♠✉❧❛s ❞❡ ▲❡ P Q R S * * * ¬P ¬Q ¬R ¬S * * * ¬¬P ¬¬Q ¬¬R ¬¬S * * * ¬¬¬P ¬¬¬Q ¬¬¬R ¬¬¬S * * * ... ... ... ... . . . fP = P f¬P = ¬P f¬¬P = Q f¬¬¬P = R ... ... La cardinalidad del conjunto de enunciados prohibidos o predichos por ❚ no basta para establecer si una teoŕıa tiene suficiente contenido emṕırico. Ya Popper habıa advertido, por razones distintas, que el concepto de cardinalidad no es de mucha ayuda para comparar las clases de refutadores potenciales pues estas clases "tienen el mismo número cardinal para todas las teoŕıas" (2002, pág. 97). Nuestro criterio debe basarse en las relaciones lógicas que queremos que rijan entre los enunciados de la teoŕıa, como se hace en la definición (Te). Esta definición excluye directamente teoŕıas del tipo ❚1 y ❚2, además de facilitar la identificación teoŕıas del tipo ❚0 -esto especialmente cuando la lógica es explosiva. Esto porque toda vez que una teoŕıa no implique un enunciado α ∈ ▲❡ tampoco implicará un conjunto infinitos de enunciados -según la lógica presupuesta. En cuanto a ❚1, el hecho de que la teoŕıa esté clausurada con respecto a una relación de consecuencia asegura que por lo menos los teoremas de tal lógica sean parte de la teoŕıa, por lo cual siempre tendremos que ❚ 6= {}, incluso si el conjunto 86 de sus axiomas es vaćıo. Asimismo, podŕıamos identificar teoŕıas del tipo ❚0 si demostramos que es trivial de acuerdo con la relación con respecto a la que esté clausurada. Si tal relación es explosiva, bastará con demostrar una contradicción. No quise excluir ❚ = ▲❡ de la definición (Te) pues no siempre es fácil determinar si una teoŕıa es trivial solo a partir de sus axiomas. De hecho, algunos conjuntos de axiomas pueden producir teoŕıas triviales en una lógica pero no en otra. El que una teoŕıa solo incluya enunciados de ▲❡ impide que afirme algo que carezca de sentido afirmar del sistema que pretende describir. Esto parece no ser siempre aśı pues a menudo una teoŕıa nueva construye un lenguaje nuevo para lo que pretende ser el mismo sistema estudiado la teoŕıa precedente. En estos casos, sin embargo, la nueva teoŕıa extiende el lenguaje de la original; especialmente si es que, como suele pasar, podemos derivar la teoŕıa original como caso especial la nueva. 87 Apéndice E ¿Es inconsistente la cosmoloǵıa de Newton? The generality of mankind consider infinites no other ways than indefinitely; and in this sense they say all infinites are equal; though they would speak more truly if they should say, they are neither equal nor unequal, nor have any certain difference or proportion one to another. -Isaac Newton, Segunda carta a Bentley (1693) La cosmoloǵıa de Newton, o la teoŕıa newtoniana de la gravitación, es señalada a menudo como un ejemplo históricamente relevante de teoŕıa fáctica inconsistente. Tal teoŕıa comprende los siguientes presupuestos mecánicos: a) Sistema de referencia inercial que satisface las tres leyes de movimiento: (i) la velocidad de x es constante a menos que se le ejerza una fuerza; (ii) la suma de fuerzas F ejercidas sobre x es igual a su masa multiplicada por su aceleración; (iii) la fuerza que x ejerce sobre y es igual a la fuerza que y ejerce sobre x. b) Ley de la gravitación universal de Newton (de la inversa del cuadrado): La fuerza que x ejerce sobre y es igual al producto de sus masas y la constante gravitatoria, dividida entre el cuadrado de la distancia entre ambos. Y los siguientes presupuestos cosmológicos: c) Espacio euclidiano tridimensional infinito. 88 d) Distribución de materia homogénea e isotrópica a escalas macroscópicas. Decimos que un material es homogéneo si tiene las mismas propiedades y composición en cualquiera de sus partes; decimos, en cambio, que es isotrópico si sus propiedades son las mismas en cualquier dirección. Un material homogéneo, pero no isotrópico es el cuero pues, si bien cualquier plancha de cuero es igual en cualquier parte, no es igualmente flexible en toda dirección. En śıntesis, el presupuesto (d) postula que "a escalas lo suficientemente grandes el universo es esencialmente igual en todas partes" (Koberlein 2014). Estos presupuestos parecen implicar una serie de paradojas.1 La que aqúı nos interesa postula que la fuerza gravitatoria neta ejercida sobre una partıcula de prueba "en cualquier punto del espacio es igual a F , donde F es una fuerza de cualquier magnitud o dirección nominada" (Norton 2002, pág. 186). Sea p una partıcula de prueba arbitraria y c un cúmulo arbitrario de partıculas que ejerce una fuerza F sobre p. Consideremos todas las partıculas del espacio con excepción de p y c. De (b) se sigue que cuanto más lejos esté una partıcula, menor será la fuerza que ejerza sobre p. Pero como el espacio es homogéneo, isotrópico e infinito, la fuerza ejercida sobre p en cualquier dirección será infinita; por lo tanto, la fuerza neta ejercida sobre p menos la fuerza que ejerce c es igual a 0. Ergo, la fuerza gravitatoria neta ejercida sobre p es igual a la fuerza que c ejerce sobre p: es decir F . Puesto que F es arbitraria, tenemos entonces tanto que F = x, para cualquier fuerza nominada x. Aśı, dadas dos fuerzas m y n tales que m 6= n, tendŕıamos que F = m = n, lo cual se contradice con m 6= n. (adapt. ibıd., ➜3)2 Esta paradoja ha sido discutida en por autores como Norton (2002, orig. 1992), Malament (1995), Vickers (2013, cap. 5) y Davey (2014, ➜3.3.1). Según Norton 1Koberlein (2016) hace una interesante presentación informal algunas de estas. 2Publicada por primera vez en: Hugo von Seeliger (1895). ✭✭Ueber das Newton'sche Gravitationsgesetz✮✮. En: Astronomische Nachrichten 137.9, págs. 129-36. doi: 10.1002/asna.18951370902. 89 (2002), esta paradoja revela la inconsistencia de la cosmoloǵıa de Newton y, por ende, prueba la existencia de al menos una teoŕıa inconsistente en la historia de la ciencia. Los demás, empero, cuestionan esta aseveración y debaten si su reconstrucción es apropiada. Malament, por ejemplo, señala que esta contradicción solo puede aparecer en una formulación primitiva de la teoŕıa, anterior a su geometrización por Cartan1 y Friedrichs2 (1995, pág. 489). En otras palabras, la inconsistencia se origina en la formalización y no en la teoŕıa misma. Para explicar este argumento representaré nuestra fuerza F con la sumatoria: F = ∑ i∈U Fi (E.1) donde U es el conjunto de las (infinitas) partıculas del universo y, para todo i ∈ U , Fi es la fuerza que i ejerce sobre p. Malament señala que el argumento de Norton asume que podemos separar de la suma (E.1) la fuerza de cualquier partıcula para reincorporarla después y obtener el resultado que queramos. La inconsistencia seŕıa entonces producto de una manipulación incorrecta de las sumatorias infinitas y el argumento de Norton, similar a aquél "usado para 'demostrar' que, para todo entero n, la suma infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ... es igual a n." Luego, lo que "Norton presenta como una demostración de inconsistencia es mejor entendido como una vıvida demostración de no-convergencia." (ibıd., pág. 491) Con un criterio similar, Davey considera errado decir que "la magnitud de la fuerza neta depende del orden en que sumamos la contribuciones de cada partıcula", pues tal suma "no está bien definida matemáticamente." De ahı que esta inconsistencia no le parezca epistemológicamente relevante pues lo que tenemos es "un conjunto inconsistente de afirmaciones matemáticas que han sido insertadas en una fısica por lo demás consistente." (2014, pág. 3021) Ciertos presupuestos matemáticos de la teoŕıa no contaron pues con bases sólidas hasta mucho después de formulada. El cálculo infinitesimal formulado por New1Élie Cartan (1923/1924). ✭✭Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (première partie)✮✮. En: Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. 3.a ép. 40–1, págs. 325-412, 1-25. doi: 10.24033/asens.751, 10.24033/asens.753. 2Kurt Friedrichs (mar. de 1928). ✭✭Eine invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und des Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz✮✮. En: Mathematische Annalen 98 (1), págs. 566-75. issn: 1432-1807. doi: 10.1007/BF01451608. 90 ton y Leibniz, necesario para operar sumas de series infinitas no convergentes, fue muy criticado por su "carácter vago y poco riguroso". Recién en el siglo XIX fue adecuadamente formulado gracias a la introducción de "la noción de ĺımite y de la reducción de esa noción a otras puramente aritméticas, eliminando aśı cantidades infinitesimales y métodos aparentemente poco rigurosos de aproximación." (da Silva 2007, pág. 82) Del mismo modo sucede con el concepto de infinito, a cuya manipulación matemática Newton hizo contribuciones invaluables. Su comprensión del concepto no fue ingenua; esto lo demuestra en su análisis de la paradoja según la cual una pulgada debe ser igual a un pie porque si dividimos ambas en partes infinitas, las sumas de tales partes deben ser iguales. El problema no reside, según Newton, en el presupuesto de divisibilidad infinita de las magnitudes, como señalaron quienes descubrieron la paradoja, sino en la concepción errónea de que todos los infinitos son iguales. Existe, luego, otra forma de considerar los infinitos que es usada por los matemáticos, y que es por lo cual, dentro de ciertas restricciones y limitaciones determinadas, podemos determinar que los infinitos tienen ciertas diferencias o proporciones entre śı. (Newton 1838, pág. 209, mi énfasis) Con todo, su concepto de infinito es insuficiente para la comprensión cabal de la inconsistencia señalada por Norton. Esto porque tal inconsistencia no se obtiene de la manipulación de magnitudes infinitamente divididas, sino de conjuntos de cardinalidad infinita: el conjunto de partıculas que existen en un espacio infinito. Las proporciones y diferencias de las que Newton habla no son expresables en términos de cardinales transfinitos pues su noción de infinito es pre-cantoriana. Newton imagina el espacio infinito como un espacio euclidiano tridimensional que se extiende indefinidamente hacia todos lados; no como un conjunto de coordenadas equipotente con uno de sus subconjuntos propios. Tal limitación bien podŕıa haber jugado un papel relevante en la formulación de su teoŕıa cosmológica. 91 Vickers comparte las inquietudes antes expuestas sobre la correcta formulación de la teoŕıa y da un paso más al proponer que el "concepto de Cosmoloǵıa Newtoniana no está bien definido en absoluto" (2013, pág. 111); solo tenemos diferentes formulaciones o propuestas para sistematizar la concepción cosmológica que ni siquiera el mismo Newton llegó a formular adecuadamente. A pesar de esto, usamos tal concepto para denotar una teoŕıa supuestamente no ambigua "para la que la respuesta a la pregunta '¿es consistente?' será 'śı' o 'no'" (ibıd., pág. 133). Por esto, Vickers adopta una estrategia eliminista en la que no analizamos teoŕıas sino directamente los enunciados que nos interesan de estas (cf. ibıd., cap. 1). Aśı, Vickers discute formulaciones alternativas de la "teoŕıa", de las que deriva cuatro inconsistencias distintas (ibıd., ➜5.3), de las que solo una le parece históricamente relevante. [L]as inconsistencias (I1), (I3) y (I4) no hacen justicia a cómo se desarrolló la historia de la ciencia. Para cada una, y para ambos siglos en cuestión, al menos un presupuesto no tuvo ninguna relevancia en la historia real de la ciencia, sea porque [(i)] la matemáticas pertinentes no existıan (más o menos antes de 1800), o porque [(ii)] no se haćıa preguntas cosmológicas en absoluto (después de 1800). (ibıd., pág. 135) Para el caso (i), Vickers señala una serie errores formales: La confusión entre divergencia e indeterminación debida a la ausencia de las herramientas formales antes señaladas. (ibıd., ➜5.3.1.1) La contradicción se da en términos de conceptos sin significación emṕırica inmediata como fuerza promedio o potencial gravitatorio. (ibıd., ➜5.3.1.3) La indeterminación de la fuerza F puede implicar tanto que la solución no ha sido alcanzada, cuanto que no existe tal solución. (ibıd., ➜5.3.2.1) En cuanto a (ii), Vickers se apoya en las investigaciones de Merleau-Ponty y otros1 para afirmar que en el siglo XIX los cientıficos "no planteaban problemas 1Especialmente: Jacques Merleau-Ponty y Bruno Morando (1971). Les trois étapes de la cosmologie. Collection Science nouvelle. Paris: Robert Laffont. 92 cosmológicos en absoluto" (2013, pág. 134). Finalmente, Vickers reconoce que los presupuestos que hacen posible la inconsistencia (I2) śı fueron sostenidos por varios de los actores relevantes de los siglos XVII y XVIII. Por esto se pregunta por qué fue identificada recién a fines del siglo XIX. Para responder distingue dos maneras en que podemos formular la pregunta que desencadena la inconsistencia. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria neta ejercida sobre p en un lugar arbitrario del universo? (ibıd., pág. 112) (Q) ¿Cuál es la fuerza gravitatoria neta promedio que p experimentaŕıa en todos los puntos de una región arbitraria lo suficientemente grande como para que el universo sea homogéneo a esa escala? (ibıd., pág. 136) (Q') En ambas presentaciones, arguye Vickers, no estamos ante una pregunta obvia. Responder (Q) implicaŕıa "conocer las posiciones y masas de un número infinito de cuerpos, lo que es absurdo". Por su parte, (Q') "no parece ser una pregunta interesante, excepto porque responderla de dos maneras distintas nos lleva a una inconsistencia" (ibıd., pág. 136). Ciertamente, esto no parece ser relevante para cosmoloǵıa o la fısica, pero śı muestra a los "cientıficos una de las cosas más importantes que pueden aprender: que uno de sus presupuestos es falso". (ibıd., pág. 144) Vickers acepta entonces que una de las formulaciones históricas de la cosmoloǵıa newtoniana es inconsistente -y esto a pesar de que dedica su libro a refutar caso por caso que haya existido teoŕıas cientıficas inconsistentes históricamente relevantes. Resulta que tales enunciados, como los reconoce Vickers, son precisamente (a–d); por lo que, descartando las consideraciones formales antes señaladas, vale la pena preguntarnos cuál de estos presupuestos seŕıa el menos confiable en aquél contexto. Podemos descartar que (a) o (b) sean el problema, pues están en el corazón de la fısica de Newton -y además son satisfechos con suficiente precisión por objetos que se mueven a velocidades que no se aproximan a la de la luz. Parece que Newton créıa en (c) pues en un espacio finito, aun si la masa estuviera homogéneamente distribuida, toda esta "caeŕıa atráıda hacia el centro de todo 93 el espacio y formaŕıa ahı una gran masa esférica" (Newton 1838, pág. 203). Harrison (1986), sin embargo, sugiere que quizá Newton haya admitido la finitud del universo e incluso calculado en cuánto tiempo se podŕıa contraer: cien millones de años. En favor de esta hipótesis señala que tales cálculos fueron hechos por Lord Kelvin con conceptos matemáticos que Newton conoćıa. Asimismo, la siguiente cita enigmática le sugiere que Newton pudo ver aqúı un argumento en favor de la existencia de Dios: Pero hay aún otro argumento de la existencia de Dios, que considero muy fuerte; pero hasta que los principios en que se funda sean mejor recibidos, creo que lo más aconsejable es dejarlo dormir. (Newton 1838, pág. 207) Ésta, que no pasa de ser una audaz especulación, establece empero que de haber advertido Newton la inconsistencia, quizá habŕıa descartado el presupuesto (c) antes que el (d). En cuanto a este, Bentley advirtió a Newton de una especie de paradoja, que según Norton es básicamente la misma de la que estamos discutiendo. Y es mucho más difıcil concebir que todas las partıculas en un espacio infinito estén tan precisamente posicionadas una entre otra, como para permanecer quietas en perfecto equilibrio. [...] Con todo, concedo la posibilidad, al menos por poder divino; y si estuvieran alguna vez aśı ubicadas, concuerdo con usted en que continuaŕıan en tal posición sin movimiento por siempre, a menos que vuelvan a ser puestas en movimiento por el mismo poder. (ibıd., pág. 208) De tal universo, que seŕıa homogéneo e isotrópico en el nivel de las partıculas, Newton reconoció que no podŕıa ser puesto en movimiento sino por una fuerza divina. No advirtió, empero, que tal debıa ser el caso del nuestro a escalas macroscópicas. De ahı que no sea justo decir que "Newton simplemente negó que hubiera un problema" (Norton 2002, pág. 191), pues no advirtió que el universo satisface (d) a ciertas escalas. 94 Pero si esta teoŕıa era realmente inconsistente, ¿cómo es que los fısicos de la época pudieron sostenerla racionalmente sin tenerla por trivial o inútil? ¿Es acaso porque el razonamiento cientıfico es paraconsistente en lugar de explosivo o clásico? Si aśı fuera, tendŕıamos que concluir que la mejor manera de representar la cosmoloǵıa newtoniana seŕıa como un cierto conjunto de axiomas clausurado con respecto a una relación paraconsistente. A pesar de su expĺıcita oposición a esta hipótesis, Vickers la sugiere cuando dice que "está muy claro que [los cientıficos del siglo XVIII] no infeŕıan ni algo ni todo por ECQ." (2013, pág. 145) Sin embargo, quizá la racionalidad cientıfica no deba evaluarse en el contexto de todas las afirmaciones y preguntas que según el lógico o el filósofo sean expresables por una teoŕıa, sino acaso solo de aquellas que lo sean según la comunidad de expertos en el tema. Si una pregunta no es hecha por un cientıfico, puede deberse a que aún no ha sido descubierta, o a que simplemente no es una pregunta cientıfica. Aśı, de toparnos con preguntas capaces de dinamitar la racionalidad o la consistencia de una teoŕıa, debemos antes preguntarnos si no estamos obviando ciertos principios racionales, o incluso lógicos, según los cuales lo irracional e ilógico sea plantearse tales preguntas. 95 Apéndice F Lógica proposicional clásica (LPC) A partir de este apéndice presento brevemente algunos sistemas lógicos que pueden servir de referencia para el lector de la tesis. Una clasificación bastante más completa se puede hallar en Bobenrieth Miserda (1996, ap. A). F.1. Semántica La lógica proposicional clásica es una parte de la lógica de primer orden que solo se ocupa de las fórmulas proposicionales; i.e. sin predicados, términos singulares ni cuantificadores. Es posible definir todas sus funciones lógicas a partir cualquiera de sus dos operadores funcionalmente completos. En esta sección definiré uno de ellos, conocido como el trazo de Sheffer, y a partir de este definiré las demás funciones. El śımbolo ⊥ refiere la falsedad y ⊤ a la verdad. ❉❡❢✐♥✐❝✐✓♦♥ ❋✳✶ ✿ ❋✉♥❝✐♦♥❡s ❞❡ ❧❛ ▲P❈ α β α ↑ β ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ¬α def = α ↑ α α ∨ β def = (α ↑ β) ↑ (α ↑ β) α ∧ β def = (α ↑ α) ↑ (β ↑ β) α → β def = α ↑ (β ↑ β) α ↔ β def = (α ↑ β) ↑ ((α ↑ α) ↑ (β ↑ β)) 96 F.2. Axiomatización La axiomatización propuesta por Jan Lukasiewicz (1963, sec. 4) que se puede presentar con tres esquemas axiomáticos y una regla de inferencia.1 ❆1✐♦♠❛s ❋✳✷✿ ❆1✐♦♠❛s ❞❡ ❧❛ ▲P❈ Ax. α, α → β ⊢T β (T1) Ax. ⊢T (α → β) → ((β → γ) → (α → γ)) (T2) Ax. ⊢T (¬α → α) → α (T3) Ax. ⊢T α → (¬α → β) (T4) F.3. Álgebras Un álgebra es una estructura A = 〈A, f1, f2, ..., fn〉, donde A es dominio de la estructura y f1, ... fn son funciones. Es importante que aclarar que si A también tuviera relaciones ya no seŕıa una estructura algebraica. La algebraización de la LPC fue propuesta por George Boole en su libro The Mathematical Analysis of Logic. Contemporáneamente, definimos un álgebra de Boole como una estructura B = 〈{0, 1},⊔,⊓,−〉 que satisface los siguientes pares de axiomas: 1La presentación original se hace con consistantes proposicionales y dos reglas de inferencia adicionales: regla de substitución y regla del reemplazo. 97 ❆1✐♦♠❛s ❋✳✸✿ ✓❆❧❣❡❜r❛ ❞❡ ❇♦♦❧❡ Ax. a ⊔ b = b ⊔ a, a ⊓ b = b ⊓ a (B1) Ax. a ⊔ (b ⊔ c) = (a ⊔ b) ⊔ c, a ⊓ (b ⊓ c) = (a ⊓ b) ⊓ c (B2) Ax. a ⊔ a = a, a ⊓ a = a (B3) Ax. a ⊔ (a ⊓ b) = a, a ⊓ (a ⊔ b) = a (B4) Ax. a ⊔ (b ⊓ c) = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c), a ⊓ (b ⊔ c) = (a ⊓ b) ⊔ (a ⊓ c) (B5) Ax. a ⊔ 0 = a, a ⊓ 1 = a (B6) Ax. a ⊔ −a = 1, a ⊓ −a = 0 (B7) Es usual interpretar − como la negación, ⊔ como la disyunción y ⊓ como la conjunción. De ser aśı, 0 corresponde a la falsedad y 1 a la verdad. Los axiomas (B1–B4) definen el sistema como un retıculo y los axiomas (B6) y (B7) señalan 0 y 1 como los extremos inferior y superior, respectivamente, de todo el sistema. Ahora, si invertimos la interpretación de ⊔ y ⊓, también se debe invertir la de 0 y 1. Si nos atenemos a la interpretación tradicional, es posible definir nuevas funciones correspondientes al condicional y bicondicional del siguiente modo. Def. a ⊐ b def = −a ⊔ b (B8) Def. a  b def = (−a ⊔ b) ⊓ (−b ⊔ a) (B9) Las álgebras de Boole son isomorfas con otras estructuras que podŕıamos denominar álgebras de Sheffer–Wolfram. Un álgebra de Sheffer–Wolfram es una estructura S = 〈{0, 1},△〉 que satisface el axioma de Wolfram: Ax. ((a△ b) △ c) △ (a△ ((a△ c) △ a)) = c (F.4) El operador △ se corresponde con el operador funcionalmente completo ↑. F.4. Aritmetización Contaré la verdad. -Kuḱın Florez Es posible representar la LPC interpretando sus valores lógicos como valores numéri98 cos y sus funciones como operaciones aritméticas. Miguel Merma (2016; 2017) realizó una propuesta en este sentido interpretando 0 como la verdad y 1 como la falsedad. A continuación haré algo similar, pero manteniendo las interpretaciones tradicionales de 0 y 1. Para esto basta con asignar una operación aritmética a algún operador funcionalmente completo de la LPC; v.g. el trazo de Scheffer. ❉❡❢✐♥✐❝✐✓♦♥ ❋✳✺ ✿ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t❡ ❛r✐t♠✓❡t✐❝♦ ❞❡ ↑ α β α ↑ β 1 − a * b 0 0 1 1 − 0 * 0 = 1 0 1 1 1 − 0 * 1 = 1 1 0 1 1 − 1 * 0 = 1 1 1 0 1 − 1 * 1 = 0 Para simplificar la notación definiré la operación aritmética N de manera que a N b def = 1−ab, para todo a, b ∈ Z. De este modo, podemos interpretar toda la lógica proposicional en una sección de la aritmética con la siguiente función z. Definición F.6 (Función z). Dadas las estructuras algebraicas S = 〈{0, 1},△〉 y A = 〈{0, 1},N〉, la función z : S −→ A es tal que (i) z asigna 0 ∈ Z a 0 ∈ {0, 1}, (ii) z asigna 1 ∈ Z a 1 ∈ {0, 1}, y (iii) z asigna la función △ de S a la función N de A. Es un corolario de F.6 que existe la función inversa z−1 y que esta es inyectiva. Se sigue, pues, que z es una biyección entre A y S, por lo que tenemos que son isomorfas. De ahı que A satisface el axioma de Wolfram cuando interpretada de acuerdo con z. (Repárese en que para el dominio {0, 1} rige aa = a.) ((a N b) N c) N (a N ((a N c) N a)) = ((1 − ab) N c) N (a N ((1 − ac) N a)) = (1 − (1 − ab)c) N (a N (1 − (1 − ac)a)) = (1 − (c− abc)) N (a N (1 − (a−✚aac)) = (1 − (c− abc)) N (a N (1 − (a− ac)) = (1 − c+ abc) N (a N (1 − a+ ac) = (1 − c+ abc) N (1 − a(1 − a+ ac) = (1 − c+ abc) N (1 − (a−✚aa+✚aac) 99 = (1 − c+ abc) N (1 − (✚a−✚a+ ac) = (1 − c+ abc) N (1 − ac) = 1 − (1 − c+ abc)(1 − ac) = 1 − (1 − ac− c+ ac✁c+ abc− a✚abc✁c) = 1 − (1 −✟ac− c+✟ac+❍❍abc−❍❍abc) = 1 − (1 − c) = ✁1 − ✁1 + c = c Las siguientes equivalencias aritméticas de las funciones proposicionales usuales pueden derivarse fácilmente. ❈✉❛❞r♦ ❋✳✼✿ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝✐❛s ❛r✐t♠✓❡t✐❝❛s ❞❡ ❧❛ ▲P❈ ¬α 7→ a N a = 1 − a α ∨ β 7→ (a N b) N (a N b) = a+ b− ab α ∧ β 7→ (a N a) N (b N b) = ab α → β 7→ a N (b N b) = 1 + ab− a α ↔ β 7→ (a N b) N ((a N a) N (b N b)) = 1 + 2ab− a− b 100 Apéndice G La lógica trivalente L3 La lógica trivalente L3 fue presentada por Jan Lukasiewicz (1970, págs. 87-8) como una alternativa a la lógica clásica bivalente. Es la primera lógica proposicional que considera tres valores lógicos, el tercero de los cuales es interpretable como la posibilidad o indeterminación. G.1. Lenguaje y semántica El lenguaje de L3 se contruye a partir del de la LPC e incorpora nuevos functores: los functores unarios ▽,△, ◦ y el binario |. Su semántica consta de tres valores que representaré con −1 para falso, 1 para verdadero y 0 para el tercer valor. 101 ❉❡❢✐♥✐❝✐✓♦♥ ●✳✶ ✿ ❙❡♠✓❛♥t✐❝❛ ❞❡ ✥▲3 La lógica proposicional trivalente de Lukasiewicz se define por la estructura L3 = 〈{−1, 0, 1}, C〉, donde C = {f¬, f♦, f, f△, f◦, f→, f∨, f∧, f↔, f|}, cuyas funciones se definen por las matrices: f¬ f♦ f f△ f◦ −1 1 −1 −1 −1 0 0 0 1 1 1 0 1 −1 1 1 −1 0 f→ −1 0 1 −1 1 1 1 0 0 1 1 1 −1 0 1 f∨ −1 0 1 −1 −1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 f∧ −1 0 1 −1 −1 −1 −1 0 −1 0 0 1 −1 0 1 f↔ −1 0 1 −1 1 0 −1 0 0 1 0 1 −1 0 1 f| −1 0 1 −1 0 −1 −1 0 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 Las funciones f◦ y f| no son originales de L3. Incluyo f◦ porque el conjunto {f◦, f¬, f→} es funcionalmente completo para la lógica trivalente, y f| porque es la versión trivalente del operador funcionalmente completo de Webb (1935). G.2. Axiomatización En el año 1931, en un artıculo escrito en polaco, Mordchaj Wajsberg presentó una axiomatización para L3 cuya única regla de inferencia es el MPP. 1 ❆1✐♦♠❛s ●✳✷✿ ❆1✐♦♠❛s ❞❡ ✥▲3 Ax. α, α → β ⊢ L3 β ( L1) Ax. ⊢ L3 α → (β → α) ( L2) Ax. ⊢ L3 (α → β) → ((β → γ) → (α → γ)) ( L3) Ax. ⊢ L3 (¬α → ¬β) → (β → α) ( L4) Ax. ⊢ L3 ((α → ¬α) → α) → α ( L5) 1Tomo la referencia de Surma (1987, sec. ix). El artıculo original se llama Aksjomatyzacja trójwartościowego rachunku zdań. En castellano: Axiomatización del cálculo proposicional trivalente. Fue publicado en el año 1931 en las Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, vol. 23, pp. 126–45. 102 G.3. Álgebraización La primera algebraización de L3 fue propuesta por el matemático rumano Grigore Moisil. Una algebraización equivalente y simplificada ha sido presentada por Antonio Monteiro (1963) y Lúız Monteiro (1963; 1974). La estructura M = 〈{1},⊔,⊓,,−〉 es una álgebra de Lukasiewicz–Mosil–Monteiro si satisface los siguientes axiomas: ❆1✐♦♠❛s ●✳✸✿ ✓❆❧❣❡❜r❛ ❞❡ ✥▲✉❦❛s✐❡✇✐❝34▼♦s✐❧4▼♦♥t❡✐r♦ Ax. −−a = a (M1) Ax. −a ⊔ a = 1 (M2) Ax. a ⊓ (a ⊔ b) = a (M3) Ax. a ⊓ −a = −a ⊓ a (M4) Ax. (a ⊓ b) = a ⊓ b (M5) Ax. −(a ⊓ b) = −a ⊔ −b (M6) Ax. a ⊓ (b ⊔ c) = (c ⊓ a) ⊔ (b ⊔ a) (M7) G.4. El problema de la aritmetización L3 es aritmetizable con las operaciones tradicionales; sin embargo, salvo por una función, las fórmulas que conseguimos están muy lejos de la simpleza lograda para la LPC. De hecho, para utilizar las operaciones tradicionales y usar los números −1, 0 y 1, esta aritmetización se debe dar en una teoŕıa de números que incluya los números racionales -p.e. la de Suppes (1957, pág. 129). Por otro lado, no podemos simplificar a2 pues la propiedad aa = a no se cumple para −1; tenemos, empero, que śı se cumple la equivalencia a3 = a. Interpretando los operadores del sistema L3 con las siguientes equivalencias podemos igualar a 1 todos los teoremas de L3. 103 ❈✉❛❞r♦ ●✳✹✿ ❊q✉✐✈❛❧❡♥❝✐❛s ❛r✐t♠✓❡t✐❝❛s ❞❡ ✥▲3 ¬α 7→ −a ♦α 7→ 1 2 (2 − a2 − a) α 7→ 1 2 (a2 − a) △α 7→ 1 2 (a2 − a) ◦α 7→ 0 α → β 7→ 1 2 (a2b2 − a2 − b2 + ab− a+ b+ 2) α ∨ β 7→ − 1 2 (a2b2 − a2 − b2 + ab− a− b) α ∧ β 7→ − 1 2 (a2b2 − a2 − b2 + ab+ a+ b) α ↔ β 7→ 1 2 (a2b2 − 2a2 − 2b2 + 3ab+ 2) α | β 7→ 1 4 (9a2b2 − a2b− ab2 + ab− 8a2 − 8b2 + 4) En principio, es posible aritmetizar cualquier lógica n-valente; sin embargo, las fórmulas se vuelven cada vez más complicadas y la aritmetización, carente de interés. Mientras la aritmetización de la lógica bivalente es atractiva por su simpleza y el uso de operaciones tradicionales, aqúı la insistencia en usar solo las operaciones aritméticas tradicionales resulta en una gran complicación de las fórmulas. Esta complicación será argüiblemente mayor cuando la lógica en cuestión tiene más valores de verdad. 104 Apéndice H Lógica discusiva J de Jaśkowski La lógica discusiva (dyskusyjnej ) de Jaśkowski Jaśkowski (1999, orig. 1948) es considerada la primera lógica paraconsistente. La mayoŕıa de sus axiomatizaciones se basan en la lógica modal S5, aunque el mismo Jaśkowski no propuso una axiomatización. A continuación presento la axiomatización de Vasyukov (2001, págs. 43-4). ❆1✐♦♠❛s ❍✳✶✿ ❆1✐♦♠❛s ❞❡ ❧❛ ❧✓♦❣✐❝❛ ❞✐s❝✉s✐✈❛ Def. α+ def = ¬(¬α ∧ α) ∧ α (J0) Ax. ⊢A α ⇒ ⊢J α + (J1) Ax. ⊢J (α + ⊃ α)+ (J2) Ax. ⊢J ((α ⊃ β) + ⊃ (α+ ⊃ β+))+ (J3) Ax. ⊢J ((α → α) → α) ⊃ ((α → α) → α) + (J4) Ax. α+, (α ⊃ β)+ ⊢J β + (J5) Ax. α+ ⊢J α (J6) Ax. (α → α) → α ⊢J α (J7) Ax. α+ ⊢J α ++ (J8) Ax. α ⊃ β ⊢J α → β (J9) 105 Apéndice I Lógicas paraconsistentes Cn de da Costa Las lógicas Cn de da Costa (1963), da Costa (1974) y da Costa (1993) 1 parten de los axiomas de la lógica positiva de Hilbert-Bernays, que son los siguientes: Ax. α, α → β ⊢Cn β (C0) Ax. ⊢Cn α → (β → α) (C1) Ax. ⊢Cn (α → β) → ((α → (β → γ)) → (α → γ)) (C2) Ax. ⊢Cn α → (β → α ∧ β) (C3) Ax. ⊢Cn α ∧ β → α (C4) Ax. ⊢Cn α ∧ β → β (C5) Ax. ⊢Cn α → α ∨ β (C6) Ax. ⊢Cn β → α ∨ β (C7) Ax. ⊢Cn (α → γ) → ((β → γ) → (α ∨ β → γ)) (C8) A estos agregamos los axiomas correspondientes al principio de tertium non datur y de eliminación de doble negación; por lo que los sistemas Cn no son intuicionistas. Ax. ⊢Cn α ∨ ¬α (C9) 1En castellano véase Piscoya (2009, sec. V.1). 106 Ax. ⊢Cn ¬¬α → α (C10) Dos definiciones introduciendo nuevos operadores unarios que permitan completar la axiomatización. Estos operadores expresan la noción de fórmula bem comportada, que indica para cierta fórmula aplica el principio de no contradicción. Estos operadores se definen inductivamente con las cláusulas (C11) y (C12). Def. ⊢Cn α (1) def= ¬(α ∧ ¬α) (C11) Def. ⊢Cn α (n) def= α(n−1) ∧ (α(n−1))(1) (C12) Los axiomas de un cálculo Cn se obtienen agregando los siguientes esquemas. Ax. ⊢Cn β (n) → ((α → β) → ((α → ¬β) → ¬α)) (C13n) Ax. ⊢Cn α (n) ∧ β(n) → (α ∧ β)(n) (C14n) Ax. ⊢Cn α (n) ∧ β(n) → (α ∨ β)(n) (C15n) Ax. ⊢Cn α (n) ∧ β(n) → (α → β)(n) (C16n) La negación de los sistemas Cn comparte muchas caracteŕısticas con la de la lógica clásica. Sin embargo, no se cumple el principio de explosión, por lo son cálculos paraconsistente. A pesar de esto, es posible definir un operador con las propiedades de la negación clásica para todos estos cálculos con excepción de Cω. Def. ∗α def = ¬α ∧ α(n) (C17) De esto se sigue que la LPC es reducible a los sistemas Cn, para n < ω. 107 Apéndice J Lógicas dialécticas de Routley y Meyer Los siguientes son los axiomas y reglas de inferencia del la lógica dialéctica débil DL de Routley y Meyer (1976). Def. α ∨ β def = ¬(¬α ∧ ¬β) (D0) Ax ⊢D α → α (D1) Ax ⊢D (α → β) ∧ (β → γ) → (α → γ) (D2) Ax ⊢D α ∧ β → α (D3) Ax ⊢D α ∧ β → β (D4) Ax ⊢D (α → β) ∧ (α → γ) → (α → (β ∧ γ)) (D5) Ax ⊢D α ∧ (β ∨ γ) → (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) (D6) Ax ⊢D ¬¬α → α (D7) Ax ⊢D (α → ¬β) → (β → ¬α) (D8) Ax ⊢D (α → β) → ¬(α ∧ ¬β) (D9) Ax ⊢D A ∧ ¬A (D10) Ax α, α → β ⊢D β (D11) Ax α, β ⊢D α ∧ β (D12) Ax α → β, γ → δ ⊢D (β → γ) → (α → δ) (D13) 108 El axioma (D10) simplemente asegura que el cálculo "contiene contradicciones reales" (Routley y Meyer 1976, pág. 6). En la lógica dialéctica fuerte DM, de los mismos autores, la disyunción ya no es definible en términos clásicos. Es por ello necesario eliminar el axioma (D8) y agregar los siguientes. Ax ⊢D α → α ∨ β (D14) Ax ⊢D β → α ∨ β (D15) Ax ⊢D (α → γ) ∧ (β → γ) → ((α ∨ β) → γ) (D16) Ax ⊢D ¬α ∧ ¬β → ¬(α ∨ β) (D17) Ax ⊢D ¬(α ∧ β) → ¬α ∨ ¬β (D18) Ax α → β ⊢D ¬β → ¬α (D19) 109 Apéndice K Semántica ∆ de Priest La semántica paraconsistente de Priest (2006b, sec. 5.2) tiene varios paralelos con la semántica de la lógica clásica. Sin embargo, puesto que un enunciado puede ser a la vez verdadero y falso, las condiciones de verdad son independientes a las de falsedad; ergo, es necesario definirlas por separado. Para esto necesitamos un tipo de función valuativa w : ▲❡ −→ ℘{⊥,⊤}. De esta suerte, el conjunto {⊥} representaŕıa lo solamente falso, {⊤} lo solamente verdadero y {⊥,⊤} lo a la vez verdadero y falso. Puesto que la verdad y la falsedad no son mutuamente excluyentes, las condiciones de verdad y falsedad deben ser establecidas de manera independiente. A continuación la semántica de las operaciones de negación, conjunción y disyunción. ❆1✐♦♠❛s ❑✳✶✿ ❙❡♠✓❛♥t✐❝❛ ❞❡ Pr✐❡st Ax. ⊥ ∈ w(¬α) ⇔ ⊤ ∈ wα (G1) Ax. ⊤ ∈ w(¬α) ⇔ ⊥ ∈ wα (G2) Ax. ⊥ ∈ w(α ∨ β) ⇔ ⊥ ∈ wα & ⊥ ∈ wβ (G3) Ax. ⊤ ∈ w(α ∨ β) ⇔ ⊤ ∈ wα o ⊤ ∈ wβ (G4) Ax. ⊥ ∈ w(α ∧ β) ⇔ ⊥ ∈ wα o ⊥ ∈ wβ (G5) Ax. ⊤ ∈ k(α ∧ β) ⇔ ⊤ ∈ kα & ⊤ ∈ kβ (G6) En su concepción clásica de la lógica paraconsistente, Priest admite la validez 110 general del principio de tercio excluido, por lo que excluye el valor ni verdadero ni falso (Priest 2006b, sec. 4.7). Una concepción intuicionista de la lógica paraconsistente no admitiŕıa la generalidad de este principio, por lo que su semántica asignaŕıa {} a lo ni verdadero ni falso. La relación de consecuencia ∆ se define de manera distinta a A, pero no deja de tener consecuencias similares. Ax. A ∆ α ⇔ (⊤ ∈ wβ, para todo β ∈ A,⇒ ⊤ ∈ wα) (G7) Finalmente, la noción de verdad lógica se define de manera bastante intuitiva. De este modo, será verdadera toda fórmula cuyo valor lógico incluya la verdad. Ax. ∆ α ⇔ ⊤ ∈ wα (G8) 111 Bibliografıa Agar, Michael H. (dic. de 1982). ✭✭Toward an Ethnographic Language✮✮. En: American Anthropologist 84.4, págs. 779-95. issn: 0002-7294. url: jstor.org/stable/ 676490 (vid. pág. 23). Alder, Ken (2003). The Measure of The World. In Commemoration of the Thirteenth Annual Dibner Library Lecture Series. Washington DC: Smithsonian Institution Libraries. url: sil.si.edu/silpublications/dibner-library-lectures/ 2003-alder/2003-dibner-alder.pdf (vid. pág. 43). Arenhart, Jonas R. Becker (2018). ✭✭The Price of True Contradictions About the World✮✮. En: Contradictions, from Consistency to Inconsistency. Ed. por Walter Carnielli y Jacek Malinowski. Trends in Logic 47. Cham: Springer, págs. 11-31. isbn: 9783319987972. doi: 10.1007/978-3-319-98797-2_2 (vid. pág. 54). 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