Diese Arbeit ist als Teil eines mehrjährigen Forschungsprojekts des Schweizerischen Nationalfonds zum Thema "Formalontologische Grundlagen der gegenwärtigen künstlichen Intelligenzforschung" entstanden. Für wertvolle Hinweise und Kritik möchte ich Carola Eschenbach, Christopher Habel und Christina Schneider danken. 1 Zur Kognition räumlicher Grenzen: Eine mereotopologische Untersuchung1 Barry Smith Department of Philosophy and Center for Cognitive Science, SUNY Buffalo phismith@buffalo.edu Kurzfassung Die Wahrnehmung räumlicher Körper ist wenigstens zum grossen Teil eine Wahrnehmung körperlicher Grenzen. Die geläufigen mathematischen Auffassungen von Grenzen als abstrakte Konstruktionen sind aber für kognitionswissenschaftliche Zwecke wenig hilfreich. Der Aufsatz versucht, eine adäquatere Auffassung der Ontologie von Grenzen zu gewinnen, die in Ideen von Aristoteles und Brentano zur sogenannten Koinzidenz von Grenzen gewürzelt ist. Eine formale Theorie von Grenzen und von den ihnen zugehörigen Kontinua wird präsentiert, die auch eine Lösung gewisser Paradoxa des Zenon-Typs ermöglicht. Diese Theorie lässt sich nicht nur in der Kognitionswissenschaft anwenden sondern auch in bezug auf gewisse Probleme, die mit der Ontologie von geographischen und geopolitischen Grenzen zusammenhängen. Einführung Die Wahrnehmung räumlicher Körper ist wenigstens zum grossen Teil eine Wahrnehmung körperlicher Grenzen. Der Wahrnehmungsraum ist primär durch zweidimensionale Flächen konstituiert, die weiter durch eindimensionale interne und externe lineare Grenzen strukturiert sind. Unsere Wahrnehmungswelt ist demnach eine Grenzwelt. Die in der Wahrnehmung gegebenen materiellen, wahrnehmbaren, phänomenalen Grenzen sind Kognitionswissenschaft, 4 (1995), 177–184. 2Nach der klassischen Analyse des Kontinuums, die wir dem Mathematiker Richard Dedekind zu verdanken haben, müssen wir zwischen 'Dichte' und 'Stetigkeit' unterscheid en. Die Menge der rationalen Zahlen ist z. B. Dicht, in dem Sinn, dass wir zwischen zwei beliebigen Elementen dieser Menge immer ein Drittes finden können. Eine Menge A nennen wir stetig, genau dann wenn, für jede Teilung dieser Menge in Aggregaten B und C, derart, dass jedes Element von B grösser ist als jedes Element von C, es ein A-Element gibt, das entweder das kleinste Element von B oder das grösste von C ist. Die Menge der rationalen Zahlen hat diese Eigenschaft nicht. (Betrachten wir z.B. die Teilung, die A mit der Menge aller rationalen Zahlen, die grösser sind als %2, und B mit der Restmenge gleichsetzt.) Die Menge der realen Zahlen dagegen ist nach der gegebenen Definition sowohl dicht als auch stetig. 2 allerdings sowohl in der Philosophie als auch in der empirischen Kognitionswissenschaft als solche wenig untersucht worden, und die geläufigen mathematischen Auffassungen von Grenzen als abstrakte oder sogar als fiktive Gegenstände oder Konstruktionen sind für kognitionswissenschaftliche Zwecke wenig hilfreich. Um eine adäquatere Auffasung zu gewinnen, müssen wir zunächst ein Hindernis überwinden, das wir durch gewisse Analoga der klassischen Zenon-Paradoxen verbildlichen können. Diese weisen auf gewisse kontraintuitive Konsequenzen hin, die dem Begriff des Kontinuierlichen anzuhaften scheinen. Danach werden wir gewisse Aspekte der modernen mathematischen Auffassung des Kontinuums kritisieren, um eine für die Zwecke des Kognitionswissenschaftlers adäquateren Theorie von Grenzen formulieren zu können. Die dadurch gewonnene Theorie wird sich nicht nur im engeren kognitiven Bereich der Wahrnehmungstheorie anwenden lassen, sondern auch in bezug auf unser Verständnis materieller Grenzen in der Geographie und in benachbarten Gebieten. Ein Zenon-Paradoxon für Farben Man stelle sich folgenden Sachverhalt vor: Wir bewegen uns eine Linie entlang, die durch den Mittelpunkt eines Kreises führt, der in zwei symmetrische Segmente geteilt ist; das eine rot, das andere grün. In dieser Weise bewegen wir uns kontinuierlich vom roten zum grünen Segment des Kreises. Was geschieht, wenn wir die Grenze zwischen den beiden Segmenten überschreiten? Passieren wir einen letzten Punkt p1, der rot, und einen ersten Punkt p2, der grün ist? Offensichtlich nicht, da ein jedes Kontinuum dicht ist.2 Zwischen jeden zwei verschiedenen Puntken p1 und p2 müssten wir also eine unbestimmte Vielheit von weiteren Punkten konstatieren, die in unserem jetzigen Fall weder rot noch grün wären. Auch unerlaubt ist die Anerkennung nur einer der beiden Punkte p1 und p2, denn dies bedeutete eine unmotivierte Privilegierung einer der zwei Segmente über das andere, und eine Asymmetrie dieser Art würde eine weitere Erklärung verlangen, was hier ausgeschlossen wäre. (Diese Asymmetrie stellt, um mit den Philosophen zu sprehen, 3Über die topologischen Ideen, die hier angewendet werden, vgl. Eschenbach, Habel und Smith (Hrsg.). 3 ein Verstoss gegen das Gesetz des zureichenden Grundes dar, das für jedes Urteil einen Grund fordert, aus dem es rechtmässigerweise gefolgert werden kann.) Vielleicht ist also die Linie an dem Punkt, wo sie die Segmentenscheide kreuzt, farblos. Die zwei Segmente wären dann – topologisch gesehen – analog zu offenen Regionen.3 Man könnte versuchen, diese Alternative zu unterstützen, indem man behauptet, dass Farben – oder auch ähnliche Qualitäten (denn unser Argument gilt für andere Arten von Qualitäten räumlicher Gegenstände) – eigentlich nur als Eigenschaft von zweidimensionalen Regionen existieren können, Linien, wie auch Punkte, wären dann allesamt ohne Farbe. Man stelle sich allerdings eine völlig homogene rote Fläche vor. Sind die Punkte und Linien innerhalb dieser Fläche nicht auch rot? Um unsere Anschauungen in dieser Hinsicht zu festigen, betrachten wir zwei weitere Gedankenexperimente, die mit Bewegung und körperlicher Berührung zu tun haben. Stellen wir uns einen Körper vor, der eine Zeit lang in Ruhe ist und sich dann zu bewegen beginnt. Gibt es einen letzten Zeitpunkt p1, an dem der Körper ruht, und einen ersten p2, in dem er sich bewegt? Offensichtlich nicht, denn wegen der Dichte des Zeitkontinuums müssten wir in diesem Fall eine unendliche Zahl von weiteren Punkten zulassen, die zwischen p1 und p2 liegen und an denen der Körper irgendwie weder in Ruhe noch in Bewegung ist. Nur einen von p1 und p2 zuzulassen und nicht den Anderen würde wieder eine unmotivierte Priviligierung einer von zwei symmetrischen Alternativen bedeuten. Und auch die dritte Möglichkeit, dass der Körper in dem Zeitpunkt, an dem er die Segmentenscheide zwischen Ruhe und Bewegung kreuzt, ruheund bewegungslos ist, können wir ausschliessen, da es zwischen Ruhe und Bewegung kein Drittes gibt. Stellen wir uns weiter zwei ruhende Kugeln vor, die einander berühren. Was geschieht in dem Punkt, wo sie in Kontakt sind? Gibt es einen letzten körperlichen Punkt p1, der zur ersten Kugel, und einen ersten Punkt, p2, der zum zweiten gehört? Offensichtlich nicht, da wir dann wieder eine unendliche Anzahl von weiteren Punkten zwischen p1 und p2 zulassen müssten, was bedeutet, dass die zwei Kugeln sich nicht berühren würden. Die Anerkennung von nur einem der beiden Punkte würde wiederum eine unmotivierte Asymmetrie darstellen, was wir ausschliessen wollen. Unsere dritte Alternative ist allerdings gleichfalls auszuschliessen. Denn die Behauptung, dass der Punkt, wo die zwei Kugeln sich berühren, zu keinem der beiden Kugeln gehört, scheint wiederum mit der These gleichzusetzen zu sein, dass die zwei Kugeln sich nicht berühren. 4 Es gibt jedoch eine alternative Darstellung der Tatbestände in unseren drei Beispiele. Diese behauptet im Falle des Farbbeispiels, dass es nur einen Punkt der Linie gibt, wenngleich einen komplexen Punkt, der genau an der Grenze zwischen den beiden Segmenten liegt. Dieser Punkt ist in einem gewissen Sinn sowohl rot als auch grün. Anders gesagt: Er ist zugleich ein Aufhören, rot zu sein, und ein Anfangen, grün zu sein. In einer noch anderen Weise formuliert: Er ist ein Punkt, wo ein roter und ein grüner Punkt zusammenfallen. Wir haben es m.a.W. mit einer Koinzidenz von Grenzen zu tun, eine Idee, die wir im Folgenden zu präzisieren versuchen werden. Ähnlich verhält es sich in dem Fall, wo ein Körper sich zu bewegen beginnt. Auch hier gibt es einen einzigen Zeitpunkt, an dem der Körper sowohl in Ruhe als auch in Bewegung ist. Oder genauer: Der Körper ist in diesem Zeitpunkt dadurch charakterisiert, dass er aufhört, in Ruhe zu sein, und beginnt, sich zu bewegen. Und ähnlich auch in dem Fall, wo die zwei Kugeln sich berühren. Ein Punkt an der Oberfläche der einen Kugel koinzidiert mit einem Punkt an der Oberfläche der benachbarten Kugel. Alle Körper sind nach dieser Darstellung analog, topologisch gesprochen, zu geschlossenen dreidimensionalen Volumen (sie besetzen geschlossene Volumen des Raumes). Die Brentanosche Auffassung des Kontinuums Der Raum, wie er in der alltäglichen Erfahrung gegeben ist, stellt sich als eine sehr grosse, nicht begrenzte, dreidimensionale Ordnung dar, worin Körper sich von Ort zu Ort frei bewegen können und worin verschiedene Typen von materiellen und phänomenalen Grenzen sich der Wahrnehmung präsentieren. Dieser Erfahrungsraum ist eine Einheit, ein einziges, zusammenhängendes Ganzes, worin sich keine isolierten Raumpunkte, Linien, oder Flächen finden lassen. Dieses räumliche Ganze der Alltagswelt ist dicht: Für jede zwei nicht aneinander grenzenden räumlichen Regionen der Alltagswelt, gibt es eine weitere Region, die zwischen diesen beiden liegt. Materie, woraus Körper gebildet werden, erscheint in getrennten Portionen von endlicher Grösse, die endliche Volumen des Raumes besetzen. Auch Materie lässt einer kumulative Zerteilung oder Zerstückung zu, für die aus der Perspektive der alltäglichen Erfahrung keine Grenzen gesetzt sind. Alle Körper sind im Raum und bestehen aus Materie. Körper sind zusammenhängend und haben geschlossene Grenzen. Sie haben manchmal Löcher. Sie sind ausgedehnt, können einander berühren, zersplittern und in gewissen Fällen miteinander verschmolzen werden. Wie die Zenon'schen Überlegungen schon gezeigt haben, ist es schwer, die genaue ontologische Struktur dieses Raums der alltäglichen Erfahrung in widerspruchsfreier Form festzulegen. Was folgt ist ein Versuch, die Ontologie der Alltagswelt räumlicher Körper konsequent zu bestimmen. Die hier zu verteidigende Theorie gründet sich lose in der 4Die formalen Ideen, die weiter unte n skizziert sind, wurden seinerseits durch Roderick Chisholms Schriften zur Ontologie des Kontinuums inspiriert. Vgl. Chisholm (1989), (1992/93), sowie Smith (im Erscheinen). 5Vgl. Fussnote 2 oben. Demnach entsteht diesbezüglich auch kein Analog des Cantorschen Kontinuumproblems. Schon die Existenz dieses Problems, das bekanntlich gerade auf einen Fehlen entscheidungsrelevanter Anschauungen innerhalb des mengentheoretischen Weltbildes basiert, kann als Zeugnis betrachtet werden, dass eine nicht-mengentheoretischer Auffassung einen grösseren Grad 5 Auffassung, die durch Aristoteles in seiner Physik geschildert ist, vor allem in deren Präzisierung durch Franz Brentano in seinen Philosophischen Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum.4 Wir beginnen – sozusagen von oben – mit den ausgedehnten und qualitativ gefüllten räumlichen Kontinua, die in der visuellen Wahrnehmung gegeben sind. Die Grenzen dieser Kontinua werden als Entitäten aufgefasst, die sich darin visuell diskriminieren lassen. Die gewöhnlichen mengentheoretischen Auffassungen des Kontinuums arbeiten dagegen von unten nach oben: Sie beginnen mit unausgedehnten Punkten und versuchen, ein Modell des Kontinuums auf der Basis von Mengen von Punkten zu konstruieren. Das Kontinuum ist dadurch mengentheoretisch simuliert. Die gewonnene Simulation ist von grosser mathematischer Eleganz und Ausdruckskraft, und sie lässt sich in vielen Bereichen z.B. der mathematischen Physik reibungslos anwenden. Wir werden im Folgenden dagegen zu zeigen versuchen, dass eine alternative, formal konsequente Theorie des Kontinuums von Oben nach Unten gewonnen werden kann. Diese Theorie will keine Simulation der Struktur des Kontinuums. Sie versteht sich vielmehr als eine realistische Theorie des Kontinuums selbst, wie sie in der Erfahrung gegeben ist, und dadurch auch als eine Theorie von den Grenzen, die mitgegeben werden. Mengentheorie Die mengentheoretische Simulation des Kontinuums ist aus folgenden Gründen als eine Auffassung des Kontinuums, wie es in der Erfahrung gegeben wird, unzulänglich: 1. Das Kontinuum der Erfahrung ist ein qualitatives Kontinuum, nicht nur in dem Sinn, dass es (charakteristischerweise) mit Farbund anderen Qualitäten gefüllt ist, sondern auch in dem Sinn, dass ihm die quantitativen Konstruktionen (von Kardinalzahlen usw.) der klassischen Mengentheorie nicht gerecht werden. Die gewöhnliche erwähnte mathematische Gegenüberstellung zwischen Dichte und Stetigkeit ist für das Kontinuum der Erfahrung ohne Belang.5 des Realismus besitzen kann. 6Wie Bockman ((1993), S. 100) bemerkt, ist der mengentheoretische Ansatz aus folgende Gründen in bezug auf eine Ontologie von komplexen materiellen Gegenständen inadäquat: First, all possible parts of such objects are in general not known in advance and hence we cannot choose a natural class of 'urelements'. Hence, if we choose some level of decomposition of such a complex system and construct a corresponding set-theoretical model, we obtain an essentially partial description of this system. What complicates the situation still further is the possibility of different independent decompositions of the same object. As a result we must assign to an object a set of its partial models, and will never be sure that this set gives a faithful description. Genau an diesem Punkt kann die Mereologie als Alternative zur Mengentheorie eingesetzt werden, denn 'the objects in mereology are primary elements of the universe of discourse and hence there exists a possibility of "downward" analysis of the structure of objects through their decomposition into parts.' (aaO.) 6 2. Die mengentheoretische Konstruktion des Kontinuums setzt die höchst fragwürdige Hypothese voraus, man könne aus nicht-ausgedehnten Bauteilen (Punkten, Atomen) ein ausgedehntes Ganzes zusammenstellen. 3. Die Anwendung der Mengentheorie auf einen bestimmten Bereich setzt voraus, dass man eine Grundstufe von sog. Urelementen isoliert hat, und dass man die Gesamtheit der Strukturmomente dieses Bereichs durch ein kumulatives Kombinieren dieser Element simulieren kann. Wenn wir es allerdings, wie im Bereich der Welt der alltäglichen Erfahrung, ausschliesslich mit mesoskopischen Entitäten und mit ihren mesoskopischen Teilen und Zusammensetzungen zu tun haben, dann sind keine grundlegende Atome oder Urelemente gegeben, die als letzte Bauteile eingesetzt werden können.6 4. Die mengentheoretische Hierarchie ist eine abstrakte zeitlose Ordnung, implizit durch die jeweiligen Axiome definiert und nicht durch die Inspektion eines präexistierenden Bereichs von Gegenständen aufgedeckt. Auf der Basis mengentheoretischer Axiome kann man Existenzbeweise führen. (Wir können z.B. beweisen, dass das Kontinuum existiert.) Keine solchen Beweise sind im Rahmen einer realistischen Theorie des Kontinuums möglich. Es ist vielmehr eine empirische Frage, ob Kontinua existieren oder nicht, und die 7Dies gilt auch für die Ontologie und Mereologie Lesniewskis: Vgl. Lejewski (1967). 7 hier angebotene Theorie besteht demgemäss aus sehr allgemeinen Sätzen, die von der Wirklichkeit, wie wir sie aus der Erfahrung kennen, wahr sein sollen.7 5. Die üblichen Auffassungen des Kontinuums setzen ein Dualitätsprinzip voraus, wonach jede Grenze eines beliebigen Gegenstands auch Grenze seines Äusseren ist. Es ist vor allem dieses Prinzip, das für die oben geschilderten Zenon-Paradoxa verantwortlich ist. Intuitiv betrachtet aber sind die Grenzen, die in der Erfahrung gegeben sind, in vielen Fällen asymmetrisch. Dies gilt z. B. für die externe Grenze (Oberfläche) eines Körpers. Diese erscheint uns selbstverständlich als Teil des Körpers, nicht aber als Teil seines Äusseren. Im Folgenden werden wir davon ausgehen, dass Grenzen, wenigstens in manchen wichtigen Fällen, in diesem Sinn Teile von dem sind, was sie abgrenzen. Viele Grenzen, die in der Alltagserfahrung gegeben sind, sind also asymmetrisch. 6. Die Mengentheorie betrachtet das Kontinuum als etwas Homogenes, in dem Sinn, dass es aus Bestandteilen nur einer Art aufgebaut wäre. Aus der Perspektive der Alltagserfahrung dagegen, ist das Kontinuum aus mehreren verschiedenartigen Teilen aufgebaut: Grenzen von verschiedenen Dimensionen einerseits, und ausgedehnten Körpern und Raumregionen andererseits. 7. Grenzen sind immer und notwendigerweise Grenzen von etwas Ausgedehntem. Es ist diese Eigentümlichkeit der Grenzen, dass sie nur als Teile von grösseren Ganzen existieren können, die unsere Auffassung am radikalsten von der klassischen mathematischen Auffassung unterscheidet. Brentano beschreibt diesen Gegensatz wie folgt: Wir sollen uns einen Raum vorstellen, worin sich eine Menge von Kugeln befindet, von welchen sich jede mit einer anderen Geschwindigkeit bewegt. Bei einer sei diese 0, bei einer andern habe sie die Grösse von 1 Meile in der Stunde, bei einer dritten die von 1⁄2 Meile in der Stunde, und so sei jede mittlere Geschwindigkeit zwischen 0 und 1 Meile in der Stunde, welche überhaupt denkbar ist, möge sie ein rationales oder irrationales Verhältnis zeigen, durch die Geschwindigkeit irgendeiner Kugel vertreten. Fragt man, ob man es dann mit einem Kontinuum von Geschwindigkeiten zu tun habe, so wäre die Frage nach Dedekind zu bejahen, in Wahrheit aber wäre sie zu verneinen, wogegen in dem Falle einer in der Art sich drehenden Scheibe, dass die Geschwindigkeit in der äussersten Peripherie die einer 8Vgl. Casati und Varzi (1994), Appendix. 8 Meile in der Stunde wäre, während das Zentrum sich nicht verrückte, ein wirkliches Kontinuum von Geschwindigkeiten vorläge. (Brentano, (1976), S. 52) Der Unterschied zwischen den beiden Fällen besteht, laut Brentano, darin dass in dem letzten jede der Geschwindigkeiten als Grenze erscheint, welche für sich genommen nichts ist, wohl aber mit dem Kontinuum der Geschwindigkeiten vereinigt, einen Beitrag zu ihm liefert. Bei jener Menge von Kugeln wäre dagegen die Geschwindigkeit einer jeden etwas für sich, und eben dies stände damit in Widerspruch, dass sie mit den übrigen ein wahres Kontinuum bildete. (aaO., S. 52-53) Ontologie der Grenzen Grenzen sind also abhängige Gegenstände und können nicht isoliert existieren. Grenzen haben in dieser Hinsicht eine Ähnlichkeit mit Löchern und Schatten.8 Wie Löcher und Schatten haben Grenzen stets Träger. Der Träger einer Grenze ist in gewisser Hinsicht unbestimmt: Dieselbe Grenze kann unverändert weiter existieren, obwohl ihr Träger radikal verändert wird. Betrachten wir z. B. die Oberfläche eines Apfels. Hier taucht zunächst der ganze Apfel als Träger auf. Diese Rolle kann aber auch durch den Apfel ohne seinen Kern gespielt werden, wenn letzterer in verschiedenen Graden von Innen weggefressen wäre. Eine Grenze ist also nur generisch von dem Kontinuum abhängig, das die Rolle ihres Trägers spielt. Wie Brentano es formuliert: Eine Grenze kann 'nicht ohne Zusammenhang mit einem Kontinuum sein ... Doch lässt sich kein noch so kleiner Teil des Kontinuums und kein noch so naheliegender Punkt desselben angeben, von dessen Existenz die Grenze bedingt wäre.'((1993), S. 65-66) Grenzen sind auch dadurch bestimmt, in welcher Richtung sie als Grenze dienen. Wir stellen uns zwei Linienfragmente vor, die zusammen die Ecke eines Vierecks bilden. Betrachten wir die Endpunkte dieser Linien, wie sie an der Kante des Vierecks koinzidieren. Der eine Punkt ist Grenze einer Linie und grenzt in eine Richtung ab; der andere Punkt ist Grenze der anderen Linie und genzt in eine andere, orthogonale Richtung ab. Oder stellen wir uns eine Linie vor, die Tangente eines Kreises ist und die den Kreis in einem gewissen Punkt berührt. Ein Punkt auf der Linie koinzidiert mit einem gewissen Punkt auf dem Kreis. Die zwei hier gegebenen punktuellen Grenzen sind ihrer Koinzidenz zum Trotz Grenzen in jeweils andere Richtungen und mit jeweils anderen Trägern. Auch koinzidierende Linien können als Grenzen in verschiedene Richtungen dienen, wie wir weiter unten bei der Behandlung von geographischen Grenzphänomenen sehen werden. 9 Eine äussere Grenze eines Körpers, z. B. ein Punkt auf dem Rand einer Scheibe, ist nur in bestimmten Richtungen eine Grenze. (Wir erinnern uns daran, dass die äussere Grenze eines Körpers nach unserer Auffassung nicht zugleich Grenze seiner Umgebung ist.) Innere Grenzen dagegen – wie z.B. der Mittelpunkt einer soliden Kugel – sind Grenzen in alle möglichen Richtungen. Sie haben, wie Brentano es ausdrückt, maximale Plerose oder Fülle: 'ein Punkt [ist] örtlich spezifisch anders, jenachdem er nach allen Seiten oder nur nach gewissen Seiten Grenze ist, wie das erste bei einem Punkte im Innern des Körpers, das letzte bei einem Punkte in der Fläche oder Kante oder einem Eckpunkte der Fall ist.'((1993), S. 72) Grenzen sind aber auch qualitativ und materiell durch ihre Träger bedingt. Wie Brentano sagt: 'Wenn eine rote und eine blaue Fläche aneinanderstossen, so koinzidieren eine rote und eine blaue Linie' ((1976), S. 51-52). Der Mittelpunkt einer blauen Kreisfläche ist in der Tat ein Ganzes aus unzählig vielen koinzidierenden Punkten, die Grenzen 'unzähliger gerader und krummer blauer Linien und beliebig vieler blauer Sektoren, in welche die Kreisfläche geteilt gedacht werden kann.' (aaO., S. 15-16) Wenn eine Kreisfläche aus vier Quadranten besteht, von welchen der eine weiss, der andere blau, der dritte rot, der vierte gelb ist, so sehen wir den Mittelpunkt des Kreises in gewisser Weise in eine Vierheit von Punkten zerlegt, denn insofern er die Spitze des blauen Quadranten bildet, kommt ihm ein Viertel der Plerose zu, die ihm als blauen Punkt zukam, da er Mittelpunkt einer durchaus blauen Kreisfläche war, und er koinzidiert jetzt mit einem einer roten, einem einer gelben und einem einer weissen Fläche zugehörigen Punkte, von welchen jeder das gleiche Mass von Plerose, aber eine andersseitige Plerose besitzt. (aaO., S. 16) Ein Zenon-Paradoxon für Länder Man könnte meinen, dass diese und ähnliche Überlegungen bestenfalls von phänomenologischem Interesse sind, da Grenzen von physikalischen Körpern nie die nötige geometrische Vollkommenheit besitzen können, um die hier geschilderten Eigenschaften der Koinzidenz und Plerose zu verwirklichen. In manchen Bereichen der äusserlichen Welt, und vor allem im Bereich der geopolitischen Grenzen, kann die Theorie der Koinzidenz und Plerose jedoch aufschlussreich angewendet werden, in einer Art, die wieder bei der klassischen mathematischen Auffassung ausgeschlossen zu sein scheint. Landesgrenzen, z. B. die Grenze zwischen Frankreich und Deutschland, sind im normalen Fall symmetrisch. Diese Grenze ist für sich genommen eine Grenze in voller Plerose. Nehmen wir aber das Beispiel der alten Grenze zwischen der DDR und der Bundesrepublik Deutschland. Diese Grenze war eine Grenze in nur halber Plerose, da sie 9Die Sachlage war also anders als der in der Weltgeschicht auch oft auftauchende Fall einer Grenze, die nur auf eine Seite akzeptiert ist. 10Vgl. Simons (1987), Eschenbach (1995). 10 nur in eine Richtung als Grenze diente. Die Bundesrepublik erkannte bekanntlich keine Grenze an dieser Strecke an: Eine in die östliche Richtung gerichtete Grenze gab es an dieser Stelle nicht.9 Wenn, wie allerdings nach der hier verteidigten Auffassung, Landesgrenzen stets als Teil der entsprechenden Länder existieren, dann folgt daraus, dass wir es auch im Fall der Grenze zwischen Frankreich und Deutschland eigentlich mit asymmetrischen Grenzen zu tun haben. Denn obwohl die Grenzen zwischen Frankreich und Deutschland für eine gewisse Strecke koinzidieren, besitzen doch Frankreich und Deutschland keine gemeinsamen Teile. Die Grenze von Frankreich ist ja französisch, die von Deutschland deutsch. Eine formale Theorie Wie wir bei der Betrachtung der Zenon-Paradoxen schon bemerkt haben, gibt es eine Reihe von subtilen Problemen, mit denen eine widerspruchsfreie Theorie von Grenzen konfrontiert ist. Im Folgenden werden wir also versuchen, mit formalen Mitteln eine logisch konsequente Auffassung des Kontinuums zu entwickeln, die für kognitionswissenschaftliche Zwecke geeignet ist. Als Grundlage unserer Theorie nehmen wir nicht wie gewöhnlich die Mengentheorie, sondern die Mereologie oder Theorie der Teil-Ganzes Relation,10 die in ihrem Begriffsapparat eine weltnähere Darstellung der hier relevanten Phänomene zulässt. Als primitive Begriffe unserer formalen Theorie der Grenzen und ihrer Träger nehmen wir genauer das übliche 'ist Teil von' ('#') der klassischen Mereologie, sowie die zwei Spezialbegriffe: 'koinzidiert mit' ('-') und 'ist ein Körper' ('K'). Wir verwenden '<'für 'echter Teil', der wie folgt zu definieren ist: D<. x < y := x # y ∧ x Ö y, Wir definieren weiter mereologisches Überschneiden oder Überlappen (O für 'overlapping') mit: DO. xOy := õz(z ≤ x ∧ z ≤ y) 11 Sich überschneidende Entitäten haben gemeinsame (echte oder unechte) Teile. Als Bereich unserer Variablen (Bereich der Gegenstände im allgemeinsten Sinn) nehmen wir die Gesamtheit aller räumlichen Körper, einschliesslich alle Teile, Grenzen und Zusammenfassung davon. Als mereologische Axiome verwenden wir: A<1. (x < y ∧ y < z) → x < z (Transitivität) A<2. x < y → ¬ y < x (Asymmetrie) A<3. x < y → õz(z < y ∧ ¬ zOx) (schwache Ergänzung) (Hier und im folgenden sind nicht explizit gebundene Variabeln implizit als allgemeinquantifiziert zu verstehen.) Wir benötigen ausserdem ein allgemeines Prinzip der Summierung. 'Die Summe der φ-er' ist zuerst kontextuell durch: Dσ σx(φx) := 4y (∀w (w O y ↔ õv (φv ∧ w O v))) definiert. σxφx (die Summe der φ-er) ist m.a.W. dasjenige y, das sich mit gerade denjenigen w überschneidet, die sich mit (mindestens) einem φ-er überschneiden. Wir konstatieren dann: A<4. õxφx → õy(y = σxφx) (Summierung) Für jedes einstellige Prädikat φ, das für wenigstens ein Argument erfüllt ist, existiert eine entsprechende Summe. Es gibt demnach die mereologische Summe aller H2O-Moleküle, die mereologische Summe aller Katzen, die mereologische Summe aller Menschen, usw. Teile diese Summen sind nicht nur (respektive) H2O-Moleküle, Katzen und Menschen, sondern auch Teile und Aggregate von H2O-Moleküle, Katzen und Menschen. Die Summe der φ-er ist demnach nicht mit der Menge der φ-er gleichzusetzen. Wir definieren: D–. x–y := σz(z ≤ x ∧ ¬ z O y) (mereologische Differenz) D∪ x ∪ y := σz(z ≤ x ∨ z ≤ y) (binäre Summierung) D∩ x ∩ y := σz(z ≤ x ∧ z ≤ y) (binäre Schnitt) und können dann beweisen: T<1. x < y → õz(z = y–x) (starke Restbildung) 12 Wenn x echter Teil von y ist, dann gibt es genau ein z, derart, dass x + z = y. Koinzidenz Die Koinzidenzrelation soll nach unserer jetzigen Auffassung ausschliesslich zwischen Grenzen bestehen. (In einer erweiterten Fassung könnte man andere Koinzidenzrelationen mitberücksichtigen, z. B. zwischen einem Körper und der Raumregion, die er besetzt, zwischen Geist und Gehirn, zwischen Statue und Bronzemasse oder sogar zwischen der Strasse von Athen nach Theben und der Strasse von Theben nach Athen.) Als Axiome für nehmen wir: A-1. x y → y x (Symmetrie) A-2. (x y ∧ y z) → x z (Transitivität) Wir können dann leicht beweisen: T-1. x y → x x Gilt auch die Umkehrung dieses Satzes? Gilt es präziser, dass Gegenstände, die mit sich selbst koinzidieren, auch mit etwas Anderem koinzidieren? Diese These können wir wenigstens schwach bejahen, in dem wir sagen, dass selbstkoinzidierende Gegenstände möglicherweise mit etwas Fremdem koinzideren können, ein Prinzip, das wir folgendermassen formulieren können A-3. x x → ◊x õy(x y ∧ x Ö y) Der Modaloperator '◊x' soll hier als 'ist möglicherweise von der Art, dass ...'gelesen werden. Wir brauchen ausserdem zwei Prinzipien der beschränkten Summierung: A-4. (x y ∧ v w) → (x ∪ v) - (y ∪ w) (endliche Summierung) Wenn x mit y und v mit w koinzidieren, dann koinzidiert auch die Summe von x und y mit der Summe von y und w. Wir haben ausserdem: A-5. (õyφy ∧ ∀y(φy → x y)) → x σyφy 11Das Beispiel von Landesgrenzen macht deutlich, dass auch Grenzen von nicht-zusammenhängenden Ganzen existieren können, wie z. B. im Fall Dänemarks. Vgl. Cartwright (1975). 12In der erweiterten Fa ssung dieser Ideen werden wir den Begriff einer Substanz definieren, der derartige Fälle ausschliesst. Vgl. Smith (1992) und (im Erscheinen). 13Vgl. Casati und Varzi (1994), Kap. 5: "Fillers and Skins". 13 Wenn es ein φ-er gibt und wenn alle φ-er mit x koinzidieren, dann koinzidiert auch die Summe aller φ-er mit x. Wenn also speziell x mit y sowie mit z koinzidiert, dann koinzidiert x mit der Summe von y und z. Koinzidierende Gegenstände sind metaphorisch gesprochen stets "dünn", sie haben keine massige Form (Bulk), wie Körper es haben. Aus diesem Grund gewinnen wir ein weiteres Prinzip, das darin besteht, dass Teile von selbstkoinzidierenden Gegenständen immer auch selbstkoinzident sind: A-6. (x x ∧ y < x) → y y Körper Der Begriff eines Körpers soll zunächst allgemein definiert werden. Körper müssen in dem Sinn topologisch wohlerzogen sein, dass sie immer vollständige äusserliche Grenzen haben. Dabei müssen sie aber nicht immer zusammenhängende Gegenstände11 und sie müssen nicht selbständig sein. (Auch z. B. eine Kugel mit einem Radius von 1 Zoll innerhalb einer grösseren soliden Kugel mit einem Radius von 2 Zoll soll als Körper gelten.)12 Wir konstantieren dann: AK1. Kx ∧ Ky → K(x ∪ y) AK2. Kx ∧ ¬Ky ∧ ¬xOy → ¬ K(x ∪ y) Körper haben demnach keine unendlich dünne Schlitze oder fehlende Einzelpunkte: Fehlende Teile von Körpern sind stets derart, dass sie durch Körper als ihre Füller gefüllt werden können.13 Körper haben stets selbstkoinzidente und nicht-selbstkoinzidente Teile. (Sie haben daher die nötige massige Form, sind nicht wie Grenzen dünn".) AK3. Kx → (õy (y < x ∧ y y) ∧ õy (y < x ∧ ¬y y)) 14Diese Definition müsste in einer vollständigeren Darstellung weiter präzisiert werden. Nicht beliebige Körper sollen als Träger einer gegebenen Grenze dienen. Die relevanten Körper müssen aller derart sein, dass im Schnitt von jeden zwei davon die Grenze selbst als echter Teil enthalten ist: DB. Bx := õy (Ky ∧ x < y ∧ ðx ∀z(z ≤ x → õw(Kw ∧ z < w ∩ y))) Dabei müsste auch der Sinn und Status der hier verwendeten Modaloperatoren geklärt werden. 15Vgl. Smith 1993, wo diesen Formel "Brentano's Principle" genannt wird. 14 Sie sind ausserdem dicht (sie können immer in weitere, kleinere Körper zerschnitten werden): AK4. Kx → õyz (Ky ∧ Kz ∧ y ∪ z = x ∧ ¬ yOz) (Dichte von Körpern) Körper können prinzipiell miteinander mereologisch überschneiden (wie etwa im Fall des Flügelsystems und des Antriebsystems eines Flugszeugs). Aus formalen Gründen bestehen wir aber darauf, dass der Schnitt zweier Körper immer selbst ein Körper ist: AK3. (Kx ∧ Ky ∧ xOy) → K(y ∩ x) (Schnitt) Grenzen Eine Grenze ist etwas, was die Bedingung erfüllt, dass sie notwendigerweise als echter Teil eines Körpers existiert. Um künstlich konstruierte Gegenbeispiele auszuschliessen, insistieren wir ausserdem darauf, dass eine Grenze etwas ist, deren Teile auch diese Bedingung erfüllen. Eine Definition des Begriffs einer Grenze ist demnach die folgende: DB1. Bx := ðx∀z(z ≤ x → õy(Ky ∧ z < y)), Der Operator 'ðx' soll hier eine Notwendigkeit bezeichnen: x ist eine Grenze, genau dann wenn, x notwendigerweise von der Art ist, dass, für alle seine Teile z, es einen Körper y gibt, der z als echten Teil enthält.14 Da x Teil von sich selbst ist, folgt trivialerweise aus DB1: TB1. Bx → õy(Ky ∧ x < y) Die Definition DB1 soll unsere Intuition zum Ausdruck bringen, dass Grenzen nie isoliert existeren, sondern immer nur in Begleitung von Gegenständen höherer Dimensionen, wovon sie die Grenzen sind.15 Wir können jetzt folgendes Axiom konstatieren, die eine Konsequenz unserer begrifflichen Entscheidung zum Ausdruck bringt, dass nur Grenzen in Koinzidenzrelationen stehen können: 16Vgl. Eschenbach, Habel und Smith (Hrsg.) sowie die in diesem Heft gesammelten Beiträge. 15 AB1. Bx / x x (Grenzen sind selbstkoinzident) Eine Punktgrenze können wir dann wie folgt definieren: DPT. PTx :=∀y(y ≤ x → y x) (Punkt) was mit der These konsistent ist, dass Punkte (punktuelle) Teile haben können, ohne dadurch ausgedehnt zu sein. Analog zu AK4 können wir dann behaupten: AB2. Bx → PTx ∨ õyz(By ∧ Bz ∧ y ∪ z = x ∧ ¬ yOz) Dieses Axiom soll eine "Dichte von Grenzen" zum Ausdruck bringen. (Wir bemerken dabei, dass AB2 auch dann gilt, wo x z.B. mit ein paar Punkte zu identifizieren ist.) Schlussbemerkung In seinen Ausführungen über die "ecological laws of surfaces" schreibt J. J. Gibson: According to classical physics, the universe consists of bodies in space. We are tempted to assume, therefore, that we live in a physical world consisting of bodies in space and that what we perceive consists of objects in space. But this is very dubious. The terrestrial environment is better described in terms of a medium, substances, and the surfaces that separate them. (1986, p. 16) Und wie inzwischen klar geworden ist, wird es nicht nur in der Gibson'schen Wahrnehmungstheorie sondern auch in vielen anderen Bereichen der Kognitionswissenschaft mit topologischen Begriffen gearbeitet.16 Die topologischen Strukturen der Erfahrungswelt können allerdings, wie gezeigt wurde, nur schwer mit Hilfe der klassischen mengentheoretischen Simulationen verstanden werden. Unsere nichtklassische (Brentano'sche) Theorie bietet sich als Alternative an. Nicht von ungefähr ist diese Theorie aus der direkten Beschäftigung mit den psychologischen Strukturen im Bereich der menschlichen Wahrnehmung entstanden. Denn Brentano war nicht nur Erfinder (oder Entdecker) des modernen Begriffs der Intentionalität. Seine Intentionalitätslehre war Teil einer Ontologie der psychologischen Wirklichkeit, die die Gesamtheit der hier relevanten phänomenalen Strukturen in nicht-reduktionistischer Weise zu behandeln versuchte. Und die eigenartige Verquickung psychologischer und ontologischer Ideen in 16 seinen Werken machen ihn zu einer der wichtigsten Urväter der modernen Kognitionswissenschaft. Literatur Bochman, Alexander (1990) "Mereology as a Theory of Part-Whole", Logique et Analyse, 129-30, 75-101. Brentano, Franz (1933) Kategorienlehre, hrsg. von A. Kastil, Leipzig: Meiner. Brentano, Franz (1976) Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum, hrsg. von Stephan Körner und Roderick M. Chisholm, Hamburg: Meiner. Cartwright, Richard (1975) "Scattered Objects", in K. 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