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Article contents
La théorie intuitionniste des types : sémantique des preuves et théorie des constructions
Published online by Cambridge University Press: 13 April 2010
Abstract
Martin-Löf's constructive theory introduces, beside proof processes—the brouwerian mental construction—proof objects that could become the subject matter of a new kind of proof theory. In contradistinction to the classical approach, the proposition can then be defined as the set of its proofs. The lower level type theory is therefore a set theory, where the operators Σ and Π generalize the Cartesian product and the functional space to families of sets. To obtain the familiar logical constants, we have only to choose the logical reading of a : A. Σ and Π become ∃ and ∀, or, if there is no functional dependency, & and ⊃.
- Type
- Articles
- Information
- Dialogue: Canadian Philosophical Review / Revue canadienne de philosophie , Volume 36 , Issue 2 , Spring 1997 , pp. 323 - 340
- Copyright
- Copyright © Canadian Philosophical Association 1997
References
Notes
1 Sur ce point, cf. notre étude : «Husserl et la logique contemporaine», Kairos, vol. 4 (1993), p. 36sqq.Google Scholar
2 Pour plus de détails, le lecteur est renvoyé une fois pour toutes aux exposés de Per Martin-Löf, Intuitionistic Type Theory, Naples, Bibliopolis, 1984, ainsi qu'à ceux d'Aarne Ranta, Type-Theorical Grammar, Oxford, Clarendon Press, 1994— dont les chapitres deux et huit contiennent une présentation tres éclairante —, et de Göran Sundholm, «Proof and Meaning», dans Dov Gabbay et Frantz Guenthner, dir., Handbook of Philosophical Logic, vol. 3, Dordrecht, Reidel, 1986, p. 471–506. Ceux qui sont familiers avec ces ouvrages reconnaîtront sans peine tout ce que nous leur devons. L'ouvrage de Simon Thomson, Type Theory and Functional Programming, Wokingham, Addison-Wesley, 1991, contient également une excellente présentation, mais nous n'avons pu en prendre connaissance qu'une fois ce travail achevé.
3 Cf. Dummett, Michael, The Logical Basis of Metaphysics, Londres, Duckworth, 1991, p. 251–252.Google Scholar
4 Gentzen, Gerhard, Recherches sur la déduction logique, Paris, PUF, 1955, §5.13, p. 27.Google Scholar
5 Martin-Löf, Per, «Truth of a Proposition, Evidence of a Judgment, Validity of a Proof», Synthese, vol. 73 (1987), p. 410–411.CrossRefGoogle Scholar
6 Kreisel, Georg, «Foundations of Intuitionistic Logic», dans Ernest Nagel et al., dir., Logic, Methodology and Philosophy of Science, Stanford, Stanford University Press, 1962, p. 198–199Google Scholar. Sur le rôle joué alors par ce dernier, sur le rapport de son projet à celui de Heyting d'une part, de Kleene de l'autre, qui avait proposé une interprétation s'appuyant sur des notions empruntées à la sémantique classique, cf. Sundholm, Göran, «Constructions, Proofs and the Meaning of Logical Constants», Journal of Philosophical Logic, vol. 12 (1983), p. 157–161.CrossRefGoogle Scholar
7 Pour l'informaticien, qui conçoit l'évaluation non comme une interprétation mais comme un calcul, sera canonique l'élément qui est à lui-m≖me sa proper valeur, et non canonique celui dont la valeur, une fois calculée, est un élément canonique. De façon générate les expressions fonctionnelles.f(a), introduites par les règies d'élimination, sont non canoniques. Cf. Turner, Raymond, Logics for Artificial Intelligence, Chichester, Ellis Horwood, 1984, p. 50.Google Scholar