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Michel Chasles’ foundational programme for geometry until the publication of his Aperçu historique

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Abstract

In this paper, I propose the idea that the French mathematician Michel Chasles developed a foundational programme for geometry in the period 1827–1837. The basic concept behind the programme was to show that projective geometry is the foundation of the whole of geometry. In particular, the metric properties can be reduced to specific graphic properties. In the attempt to prove the validity of his conception, Chasles made fundamental contributions to the theory of polarity and also understood that a satisfactory development of projective geometry has to overcome the specificity of that theory itself. In this perspective, he developed his ideas on duality and homography, showing their dependence on the concept that he was going to pose at the basis of geometry: the anharmonic ratio, today called cross-ratio. The conceptual itinerary that starts from Chasles’ studies on polarity and ends with his results based on the cross-ratio represents the itinerary of his foundational programme. I will follow this complex and interesting line of thought, place it in the context of what was then called descriptive geometry, and outline a connection with the later great results of Von Staudt, Cayley, and Klein.

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Notes

  1. I mention the main contributions given by Chasles until 1837. Many of them will be analysed during this research. Chasles (1813, 1814a, b, 1816a, b, 1827–28a, b, c, 1828a, b, 1828–29a, b, c, 1829a, b, c, d, e, f, g, h, i, 1830a, b, c, d, e, f, g, h, 1831, 1832a, b, c, 1835a, b, 1836a, b, 1837a, b, c, d).

  2. If the concept of “analytical method” was then relatively well defined, this is not the case for the concept of “synthetic method”. The term whose meaning is closer to our expression “synthetic geometry” was “pure geometry”, but there is not a perfect identification. On this subject, see the interesting work (Lorenat 2015). The author also adds a rich bibliography.

  3. Servois (1810–11, 337) and Gergonne (1812–13, 297). See also Chasles (1837a, 370–371) and Haubrichs dos Santos (2015, 124–126).

  4. The literature on projective geometry in the first 40 years of the nineteenth century is vast. I mention here some important works without any claim to be exhaustive. Furthermore, the texts referred to in this note concern general questions and are not specifically dedicated to the contributions of a single mathematician: Biosemat-Martagon (2010), Coolidge (1934, 1940, in particular chapters 1, V, VI; 2, III, VII), Delcourt (2011), Gerini (2000), Gray (2010), Haubrichs dos Santos (2015), Kötter (1901), Lennes (1930), Lorenat (2015), Loria (1896, chapter 1), Nabonnand (2006, 2011, Obenrauch (1897), Pedoe (1975), Simon (1906), Voelke (2008, first section, 2010).

  5. A parabolic transformation is a polarity with respect to a parabola, if one works in the plane; with respect to a paraboloid, if one works in the three-dimensional space.

  6. With regard to these memoirs, I will refer to the Aperçu, (Chasles 1837a, 573–848).

  7. The history of cross-ratio is long and dates back, at least, to Pappus, but my aim is not to trace such history, rather to analyse Chasles’ use of cross-ratio. Therefore, in this note, I will mention some significant works on Steiner because he was the mathematician who shares with Chasles the full comprehension of how to use this concept. As to Steiner’s works, in this context, it is enough to remember his Systematische Entwickelung, where Steiner used the Doppelverhältnis as a fundamental concept (Steiner 1832). Literature, with no claim to be exhaustive: Baldus (1923), Blåsjö (2009), Graf (1897), Hesse (1863), Lange (1899), Lampe (1900), Milne (1911) (elementary text on cross-ratio with good historical notes), Rowe (1997).

  8. I mention here some of the most important contributions given by Chasles on these subjects: (Chasles 1829i) concerns the caustics; (Chasles 1829f) the aplanatic lines; and (Chasles 1830c) the system of forces. Here, the celebrated so-called Chasles theorem on the most general displacement of a rigid body is proved; (Chasles 1837a, 350–353, note XXI) regards Descartes’ ovals and aplanatic lines; (Chasles 1837a, 408–416, note XXXIV) the use of duality in dynamics; (Chasles 1846) the attraction of an ellipsoid.

  9. With regard to the problem of generality in Chasles, a valuable paper is Chemla (2016). The author assumes her conception of generality in Chasles as a guide to explain the relations seen by Chasles between analytical and pure methods in geometry. She also addresses the way in which Chasles introduced and interpreted the principle of “contingent relations”, which is a generalization of Poncelet’s principle of continuity. Finally, Chemla compares an axiomatic approach to geometry with Chasles’. Chemla’s analysis is based upon Chasles’ Aperçu historique.

  10. This paper concerns the work of Chasles until 1837. Thence, the long list of Chasles’ works published afterwards and not analysed in my research would be very tedious for the reader. Gino Loria (Loria 1896) presented an exhaustive list of Chasles’ works concerning the different subjects with which he dealt. Therefore, I am referring to Loria’s book for Chasles’ publications after 1837.

  11. As far as I know, the only publication of Chasles in the period between 1816 and 1826 is an appendix to (Hachette 1817) see Chasles (1817).

  12. The theory of reciprocal polars plays a fundamental role in Poncelet’s Traité (Poncelet 1822). Poncelet (1828, 1829) offer a further refinement of this subject.

  13. Given two circles, their similitude polars are the four polars of the two centres of similitude with respect to the two circles.

  14. In the explanation presented in the running text, I have directly referred to Chasles’ argumentation, but I have added the figures and the connected letters for the mathematical objects.

  15. In this case, too, I have introduced letters to denote mathematical objects, which is not present in Chasles, but it is helpful for the reader.

  16. The directive conic is the conic with respect to which the polarity is constructed.

  17. Original French text: «Deux coniques quelconques, situées d’une manière quelconque dans un même plan, et rapportées à une conique directrice ayant son centre au point de concours de deux tangentes communes aux deux courbes, ont pour polaires réciproques deux coniques homothétiques».

  18. Original French text: «Tous les quadrilatères dont les côtés touchent deux coniques aux quatre points où elle sont coupées par un droite menée arbitrairement par leur centre d’homologie ont leurs quatre sommets sur les deux axes de symptose de ces deux courbes, pourvu qu’on ne prenne, pour aucun sommet, le point de concours de deus tangentes à la même courbe».

  19. One of the results obtained by Chasles through the expounded apparatus extends an important property proved by Steiner (Steiner and Gergonne 1826–27, 309). He had demonstrated that the straight lines joining the radical centres of three circles to the poles of one of the similitude axes relative to these circles cut the three circles at their contact points with a fourth circle, which touches all of the three. Chasles claimed that this property holds if to the locution “three circles”, one replaces “three homothetic conics”. Thus, it is possible to solve the following problem (Chasles 1827–28b, 294), which I refer to in the dual notation used by Chasles:

    Given three conics having a common centre of homology, describe a fourth conics touching all of the three and having with them the same homology centre

    Given three conics having a common axe de symptose, describe a fourth conic touching all of the three and having the same axe de symptose.

  20. In this theorem, the letters are used by Chasles. They are not an addition of mine.

  21. Chasles reminded the reader that he had proved the first part of this theorem in Chasles (1814b) and he had proved analytically the second part (Chasles 1817, in Hachette 1817). Original French text: «L’oeil étant placé en un quelconque des points d’une surface du second ordre, et le plan du tableau étant parallèle au plan tangent à cette surface en ce point; 1. Toutes les courbes planes, traces sur la surface du second ordre dont il s’agit, se projeteront sur la tableau suivant des courbes semblables et semblablement situées, tant entre elles que par rapport à l’intersection de la surface du second ordre avec le plan du tableau; 2. Les projections de ces diverses courbes, sur le plan du tableau, auront respectivement pour centres les projections, sur ce tableau, des sommets des cônes circonscrits à la surface du second ordre suivant ces même courbes».

  22. Original French text: «Réciproquement, des coniques homothétiques étant tracées dans un même plan, en tel nombre qu’on voudra, on pourra toujours les considérer comme les projections stéréographiques d’autant de courbes planes tracées sur une même surface du second ordre; et leurs centres seront alors les projections des sommets des cônes circonscrits à cette surface suivant ces même courbes».

  23. Original French text: «Plusieurs surfaces du second ordre étant inscrites à une même surface de cet ordre, l’oeil étant placé en un quelconque des points de cette dernière, el le plan du tableau étant parallèle à son plan tangent en ce point; 1. Tous les contours apparens des surfaces inscrites seront, en perspective, des coniques homothétiques; 2. Les centres de ces coniques seront les projections des pôles des plans des lignes de contact de ces surfaces avec celle a laquelle elles sont inscrites, pris par rapport à cette surface, ou respectivement par rapport à chacune des autres».

  24. Original French text: «Si l’on circonscrit à une même surface du second ordre plusieurs cônes dont les sommets soient situés sur une même droite quelconque, tout plan tangent à cette surface coupera ces cônes suivant des coniques qui auront deux centres d’homologie communs, et qui jouiront conséquemment de toutes les propriétés d’une série de conique inscrites à un même quadrilatère».

  25. Poncelet (1822, 261), Dandelin and Gergonne 1824–25. With regard to Quetelet, Chasles did not clarify the work to which he is referring. It is likely he was referring to (Quetelet 1826).

  26. From an intuitive point of view, the situation can be represented in this way: let us consider the vertex and the axis of a parabola. On the axis, take into account the points situated in the zone of the plane where there is not the parabola. The polar of any of these points tends to the line at infinity when the point tends to the point at infinity of the axis.

  27. In this subsection, I will clarify Chasles’ conception of the elements at infinity.

  28. Original French text: «Les polaires de deux points quelconques, prises par rapport à une parabole, interceptent sur l’axe de cette courbe un segment qui est égal an longueur à la projection orthogonale sur cet axe de la droite qui joint les deux points».

  29. My explanation: this depends on the property that, given a point P belonging to the parabola’s axis and the two tangents to the parabola from P are drawn, the line connecting the two contact points, which is the polar of P, saws the axis in a point Q, which is as far from the vertex as P. This polar is perpendicular to the axis.

  30. Because of a typo, the letter δ is written in the denominator of the expression on the left, but the correct letter is β.

  31. Original French text: «Quand une conique est circonscrite à un quadrilatère, si l’on tire arbitrairement une transversale fixe, puis, que d’un point quelconque de la courbe, on mène deux rayons aboutissans à deux sommets opposés du quadrilatère, le rapport des segments compris sur la transversale entre le premier rayon et les deux côtés de l’angle au sommet duquel est mené ce rayon, et le rapport des segments compris sur la transversale entre le second rayon et les deux autres côtés du quadrilatère, seront entre eux dans une raison constante, quel que soit le point de la courbe d’où l’on a mené des deux rayons».

  32. Original French text: «Les plans polaires de deux points, pris par rapport à un paraboloïde, interceptant sur l’axe de paraboloïde un segment égal en longueur à la projection orthogonale sur cet axe de la droite qui joint les deux points».

  33. My explanation: this depends on the fact that the lines generating the cone converge in a point, thence, by duality, the lines corresponding to the generating lines of the cone are coplanar.

  34. My explanation: this depends on the fact that the plane at infinity is secant to the hyperboloid; hence, in the polar parabolic transformation, according to the principle 4), the lines at infinity cutting the hyperboloid are transformed into lines parallel to the paraboloid’s axis. They form the cylinder, to which Chasles refers.

  35. Original French text: «Si l’on a une surface du second degré et une section plane faite par un plan diamétral, et que par une droite quelconque on mène des plans tangents à la surface et à sa section plane; puis, que l’on tire une transversale parallèle au diamètre conjugué au plan diamétral, le segment intercepté sur cette transversale entre un plan tangent à la surface et un plan tangent à la courbe, sera égal au segment intercepté entre les deux autre plans tangents».

  36. Original French text: «Quand on a un système de points en ligne droite, et leur centre des moyennes distances, si l’on fait la transformation parabolique, on aura un système de droites concourant en même point, et le diamètre de ces droites, conjugué à la direction de l’axe de la parabole auxiliaire».

  37. Original French text: «Si l’on mène à une courbe géométrique toutes ses tangentes parallèles à un même droite, le diamètre de ces tangentes passera par un point fixe, quelle que soit la direction de cette droit». The term “geometrical curve” was then used to denote what today we call an algebraic curve. In the translation proposed in the running text, I have used the modern locution.

  38. Original French text: «Quand on a un système de points en ligne droite et leur centre des moyennes distances, si l’on fait la transformation par rapport à un paraboloïde, on aura un système de plans passant par une même droite et leur plan-diamètre, conjugué à la direction de l’axe du paraboloïde».

  39. See Haubrichs dos Santos (2015, 186–197).

  40. Three Chasles’ important and long memoirs are Chasles (1829h, 1830h, 1831). Chasles applied his foundational ideas to several geometrical questions. Though these memoires are very significant from a mathematical point of view, they do not add new elements insofar as Chasles’ foundational programme is concerned. Thence, I will not analyse their content.

  41. Original French text: «Dans deux figures corrélatives, à quatre points la première, situés en ligne droite, correspondent, dans la seconde, quatre plans passant par un même droite, et dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre points; Et, à quatre plans de la première figure, passant par un même droite, correspondent, dans la seconde figure, quatre points situés an ligne droite, dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre plans».

  42. See, i.e. (Poncelet 1828).

  43. Original French text: «Étant donnés plusieurs plans A, B, C,… et un dernier plan I, passant tous par une même droite; il existera toujours un certain plan G, passant aussi par un cette droite, et jouissant de cette propriété, que, si l’on mène une transversale quelconque, le centre des moyennes harmoniques des points où elle percera le plans A, B, C,… par rapport au point où elle percera le plan I, sera toujours dans ce plan G».

  44. Original French text: «[…] bien que la relation anharmonique soit projective, on n’a pas songé à la prendre pour le type unique des relations projectives, ni des relations transformables par le principe de dualité, c’est-à-dire pour la forme unique à laquelle devaient être comparées et ramenées toutes les autres relations; ce qui donne un caractère de généralité et de précision aux méthodes de transformation, qui auparavant étaient restreintes, et avaient quelque chose de vague et d’incertain dans leurs applications».

  45. Original French text: «Car nous considérons les méthodes de transformation comme des moyens précieux pour la découverte de théorèmes nouveaux, et la démonstration de quelques vérités partielles; mais, quand il s’agit de vérités appartenant à une théorie déjà formée, les démonstrations que procurent ces méthodes artificielles ne nous paraissent pas complétement satisfaisant: cette théorie doit trouver en elle-même les ressources nécessaires pour la démonstration directe des vérités qui lui appartiennent, sans qu’on soit obligé de s’appuyer sur les vérités correspondantes, dans la théorie corrélative. Ainsi, par exemple, si nous faisons entrer, dans un Traité des surfaces du second degré, les propriétés nouvelles que nous avons trouvées dans les paragraphes précédents, telle que celle des axes conjugués à un point, ce serait directement que nous démontrerions ces propriétés, et non par le principe de dualité. Ce sont ces démonstrations directes qui, nécessairement, amèneront un perfectionnement notable dans les théories géométriques».

  46. My explanation: consider the orthogonal projection a1 of a on M and the orthogonal projection b1 of b. The triangles aa1 c and bb1 c are similar and aa1 = p, bb1 = q.

  47. Original French text: «Dans deux figures homographiques, le rapport des distances d’un plan quelconque de la première, à deux points fixes de cette figure, est au rapport des distances du plane homologue, dans la seconde figure, aux deux points fixes qui correspondent à ceux de la première figure, dans une raison constante».

  48. The definition is simply that if two figures satisfy the condition that to any point and any plane of the former, a point and a plane of the latter correspond, then the two figures are homographic (ivi, 701).

  49. Original French text: «Cela résulte de ce que, dans les figures corrélatives, les relations métriques sont aussi une conséquence des relations descriptives. Mais quand nous présenterons directement, et sans le secours du principe de dualité, la théorie des figures homographiques, nous nous renfermerons dans la définition que nous venons de faire reposer sur leurs relations descriptives seules, et nous conclurons, de cette définition même, les relations métriques des figures et toutes leurs propriétés».

  50. The projective forms of first species are: (1) pencil of lines and (2) sheaf of planes. In the language of movement, they are generated by a simple movement of their generating elements (lines and planes, respectively). The projective forms of second species are: (1) punctured plane; (2) ruled plane; bundle of straight lines; bundle of planes. These forms are generated by a double movement of their generating element. The projective forms of third species are: (1) punctured space and (2) space of planes. These forms are generated by a triple movement of their generating element.

  51. See Voelke (2008).

  52. Original French text: «Étant donnés deux tétraèdres quelconques abcd, a′b′c′d′; si, par chaque point d’une figure donnée, ou mène trois plans, passant par les trois arêtes bc, ca, ab du premier tétraèdre, et rencontrant respectivement les arêtes opposées en α, β, γ et que, sur les trois arêtes a′d′, b′d′, c′d′ du second tétraèdre, on prenne trois points α′, β′, γ′, déterminés par les trois équations \( \frac{\alpha a}{\alpha d} = \lambda \frac{{\alpha^{{\prime }} a^{{\prime }} }}{{\alpha^{{\prime }} d^{{\prime }} }};\quad \frac{\beta b}{\beta d} = \mu \frac{{\beta^{{\prime }} b^{{\prime }} }}{{\beta^{{\prime }} d^{{\prime }} }};\quad \frac{\gamma c}{\gamma d} = \nu \frac{{\gamma^{{\prime }} c^{{\prime }} }}{{\gamma^{{\prime }} d^{{\prime }} }} \), λ, μ, ν, étant trois constants, prises arbitrairement: Le point d’intersection des trois plans α′b′c′; β′c′a′; γ′a′b′, appartiendra à une seconde figure qui sera HOMOGRAPHIQUE à la première».

  53. Note that Chasles continued to think of different planes at infinity for any figure. But this does not compromise the correctness of his reasoning.

  54. Original French text: «1. Le rapport de deux segments, pris sur deux droites parallèles quelconques, dans le première figure, est égal au rapport des deux segments correspondants, dans la seconde Fig. 2. Le rapport des aires de deux polygones plans quelconques, situés dans deux plans parallèles appartenant à la première figure, est égal au rapport des aires des deux polygones, dans la seconde Fig. 3. Les volumes de deus parties correspondantes des deux figures sont dans un rapport constant».

  55. For different approaches to the problem of foundations of mathematics as well as to the question concerning the nature of mathematical objects, see Gray (2008).

References

  • Anonymous (un Abonné). 1822–23. Géométrie élémentaire. Sur la construction du cercle tangent à trois cercles donnés. Annales de mathématiques pures et appliquées 13: 199–200.

  • Baldus, R. 1923. Zur Steinerschen Definition der Projektivität. Mathematische Annalen 90 (1–2): 86–102.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  • Biosemat-Martagon, L. (ed.). 2010. Eléments d’une biographie de l’Espace projectif. Nancy: Presses Universitaires de Nancy.

    MATH  Google Scholar 

  • Blåsjö, V. 2009. Jakob Steiner’s Systematische Entwickelung: The culmination of classical geometry. The Mathematical Intelligencer 31 (1): 21–29.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  • Cayley, A. 1859. A sixth memoir on quantics. In The collected mathematical papers of Arthur Cayley, II, 1889, 561–592. Cambridge: Cambridge University Press.

  • Chemla, K. 2016. The value of generality in Michel Chasles’s historiography of geometry. In The Oxford handbook of generality in mathematics and the sciences, ed. K. Chemla, R. Chorlay, and D. Rabouin, 47–89. Oxford: Oxford University Press.

    Google Scholar 

  • Coolidge, J.L. 1934. The rise and fall of projective geometry. The American Mathematical Monthly 41 (4): 217–228.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  • Coolidge, J.L. 1940. A history of geometrical methods. Oxford: Oxford University Press.

    MATH  Google Scholar 

  • Dandelin, J.P., and J.D. Gergonne. 1824–25. Géométrie pure. Recherches nouvelles sur les sections du cone et sur les hexagones inscrits et circonscrits à ces sections. Annales de mathématiques pures et appliquées 15: 387–396.

  • Dandelin, J.P., and J.D. Gergonne. 1825–26. Géométrie pure. Usages de la projection stéréographique en géométrie. Annales de mathématiques pures et appliquées 16: 322–327.

  • Dandelin, J.P. 1827. Propriétés projectives des courbes du second degré. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet III: 9–12.

    Google Scholar 

  • Delcourt, J. 2011. Annales de Gergonne et Nouvelles Annales de la géométrie élementaire à la géométrie supérieure. Archive for the History of Exact Sciences 65: 229–293.

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  • Gaultier, L. 1813. Mémoire sur les moyens généraux de construire graphiquement les cercles déterminés par trois conditions, et les sphères déterminés par quatre conditions. Journal de l’École polytechnique 16: 124–214.

    Google Scholar 

  • Gergonne, J.D. 1812–13. Géométrie analytiques. Théorie analytique des pôles des lignes et des surfaces du second ordre. Annales de mathématiques pures et appliquées 3: 337–341.

  • Gerini, C. 2000. Les “Annales” de Gergonne: apport scientifique et épistémologique dans l’histoire des mathématiques. PhD dissertation, UFR Lettres. Université Aix-Marseille I. Université de Provance, Presses Universitaires du Septentrion Villeneuve d’Asq, 2003.

  • Graf, J.H. 1897. Der Mathematiker Jakob Steiner von Utzenstorf. Bern: K. J. Wyss.

    MATH  Google Scholar 

  • Gray, J. 2008. Plato’s ghost. The modernist transformation of mathematics. Princeton: Princeton University Press.

    MATH  Google Scholar 

  • Gray, J. 2010. Worlds out of nothing. A course in the history of geometry in the 19th century. London: Springer.

    Book  MATH  Google Scholar 

  • Haubrichs dos Santos C. 2015. Étienne Bobillier (1798–1840): percours mathématique, enseignant et professionnel. PhD dissertation, Simon Fraser University.

  • Hesse, O. 1863. Jakob Steiner. Journal für die reine und angewandte Mathematik 62: 99–100.

    Google Scholar 

  • Kötter, E. 1901. Die Entwicklung der synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt (1847). Jahresbericht der Deutschen mathematiker Vereinigung 5(2): 1–484.

    MATH  Google Scholar 

  • Lampe, E. 1900. Zur Biographie von Jacob Steiner. Bibliotheca mathematica 1: 129–141.

    MATH  Google Scholar 

  • Lange, J. 1899. Jacob Steiners Lebensjahre in Berlin 1821–1863 nach seinen Personalakten dargestellt. Berlin: Gaertner.

    MATH  Google Scholar 

  • Lennes, J.B. 1930. Projective geometry from 1822–1918. PhD dissertation, The University of Montana.

  • Lorenat L. 2015. Die Freude an der Gestalt: Methods, figures, and practices in early nineteenth century geometry. PhD dissertation under the direction of P. Nabonnand and T. Roque, Université de Lorraine.

  • Loria, G. 1896. Il Passato e il presente delle principali teorie geometriche., Seconda edizione accresciuta e interamente rifatta Torino: Clausen.

    Book  MATH  Google Scholar 

  • Milne, J.J. 1911. An elementary treatise on cross-ratio geometry, with historical notes. Cambridge: Cambridge University Press.

    MATH  Google Scholar 

  • Nabonnand, P. 2006. Contributions à l’histoire de la géométrie projective au 19e siècle. Document présenté pour l’HDR. 2006.

  • Nabonnand, P. 2011. L’argument de la généralité chez Carnot, Poncelet et Chasles. In Justifier en mathématiques, eds. D. Flament and P. Nabonnand, 17–44. Paris: Éditions de la Maison des sciences de l’homme.

  • Obenrauch, F.J. 1897. Geschichte der darstellenden und projectiven Geometrie mit besonderer Berücksichtigung ihrer Begründung in Frankreich und Deutschland und ihrer wissenschaftlichen Pflege in Österreich. Brünn: Carl Winiker.

    MATH  Google Scholar 

  • Pedoe, D. 1975. Notes on the history of geometrical ideas II. The principle of duality. Mathematics Magazine 48(5): 274–277.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  • Poncelet, J.V. 1822. Traité des propriétés projectives des figures. Paris: Bachelier.

    Google Scholar 

  • Poncelet, J.V. 1828. Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques […]. Journal für die reine und angewandte Mathematik 3: 213–272.

    Article  Google Scholar 

  • Poncelet, J.V. 1829. Mémoire sur la théorie général des polaires réciproques […]. Journal für die reine und angewandte Mathematik 4: 1–71.

    Article  Google Scholar 

  • Quetelet, A. 1825. Sur l’emploi des projections stéréographiques en géométrie par M. G. Dandelin, professuer Ext. a l’Université de Liége. Correspondance mathématique et physique, I, V, 256–264, 316–322.

  • Quetelet, A. 1826. Sur quelques propriétés nouvelles des caustiques secondaires, déduites des projections stéréographiques. Correspondance mathématique et physique II: 81–86.

    Google Scholar 

  • Quetelet, A. 1829. Sur les lignes aplanétiques – Sur les lignes colorées que produit la polarisation dans le plaques de cristal […]; réponse du rédacteur a M. Chasles. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 190–196.

    Google Scholar 

  • Rowe, D. 1997. In search of Steiner’s Ghosts: Imaginary elements in nineteenth century geometry. In Le nombre, une hydre àn visages; etre nombres complexes et vecteurs, ed. D. Flament, 193–208. Paris: Éditions de la Maison des sciences de l’homme.

    Google Scholar 

  • Servois, F.J. 1810–11. Solution du premier des deux problèmes proposés à la page 259 de ce volume, et du problème proposé à la page 126 du même volume, Annales de mathématiques pures et appliquées 3: 293–302.

  • Simon, M. 1906. Über di Entwicklung der Elementar Geometrie im XIX. Jahrhundert. Leipzig: Teubner.

    Google Scholar 

  • Steiner, J., and J.D. Gergonne. 1826–27. Géométrie pure. Théorie générale des contacts et des intersections des cercles. Annales de mathématiques pures et appliquées 17: 285–315.

  • Steiner, J. 1832. Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander […]. Berlin: G. Fincke.

    MATH  Google Scholar 

  • Voelke, J.-D. 2008. Le théorème fondamental de la géométrie projective: evolution de sa preuve entre 1847 et 1900. Archive for the History of Exact Sciences 62: 243–296.

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  • Voelke, J-D. 2010. Le développement historique du concept d’espace projectif, in Biosemat-Martagon, 207–286.

Mentioned works by Chasles

  • Chasles, M. 1813. Théorème de Géométrie. Correspondance sur l’École Royale Politechnique 2(5): 446–447.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1814a. Proposition de Géométrie. Correspondance sur l’École Royale Politechnique 3(1): 6.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1814b. Propositions relatives aux Courbes et aux Surfaces du second degré. Correspondance sur l’École Royale Politechnique 3(1): 11–17.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1816a. Propriétés des diamètres de l’ellipsoïd. Correspondance sur l’École Royale Politechnique 3(3): 302–328.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1816b. Démonstration des théorèmes sur les surfaces du second degré, énoncés par M. Monge, Correspondance sur l’Ecole Polytechnique, tom. II, p. 319. Correspondance sur l’École Royale Politechnique 3(3): 328–342.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1817. Exemples de la discussion des équations numériques du second degré à trois variables, d’après la méthode indiquée dans ce Traité des Surfaces du second degré (pag. 241–249, art. 149–154), in J.N.P. Hachette, Éléments de géométrie a trois dimensions. Partie algébrique, pp. 259–274, Paris, 1817.

  • Chasles, M. 1827–28a. Géométrie pure. Théorèmes sur les sections coniques confocales. Annales de mathématiques pures et appliquées 18: 269–276.

  • Chasles, M. 1827–28b. Géométrie de situation. Mémoire sur les propriétés des systèmes de sections coniques, situées dans un même plan. Annales de mathématiques pures et appliquées 18: 277–301.

  • Chasles, M. 1827–28c. Géométrie pure. Mémoire sur les projections stéréographiques, et sur les coniques homothétiques. Annales de mathématiques pures et appliquées 18: 305–320.

  • Chasles, M. 1828a. Extrait d’une lettre de M. Chasles sur les surfaces du second degré. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet IV: 294–295.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1828b. sur une propriété générale des coniques dont un cas par ticulier relatif à la parabole, a été démontré dans la Correspondance, tom. IV, p. 155. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet IV: 363–371.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1828–29a. Géométrie de situation. Additions et corrections au mémoire sur les propriétés des systèmes de coniques, inséré à la pag. 277 du précédent volume. Annales de mathématiques pures et appliquées 19: 26–32.

  • Chasles, M. 1828–29b. Géométrie de situation. Démonstration de quelques propriétés du triangle, de l’angle trièdre et du tétraèdre, considérés par rapport aux lignes et surfaces du second ordre. Annales de mathématiques pures et appliquées 19: 65–85.

  • Chasles, M. 1828–29c. Géométrie de situation. Recherches sur les projections stéréographiques, et sur diverses propriétés générales des surfaces du second ordre. Annales de mathématiques pures et appliquées 19: 157–175.

  • Chasles, M. 1829a. Propriétés générales des coniques. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 6–22.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829b. Démonstration géométrique des propriétés de la courbe d’intersection d’une sphère et d’un cône de révolution dont le sommet est un point de la sphère. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 44–48.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829c. Sur les lignes dirimantes à deux foyers conjugués. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 116–120.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829d. Mémoire sur les propriétés des diamètres conjugués des hyperboloïdes. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 129–157.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829e. Sur les surfaces du second degré. Corraspondence mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 173–174.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829f. Sur les lignes aplanétiques. Corraspondence mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 188–190.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829g. Premier Mémoire sur la transformation des relations métriques des figures. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet V: 281–324.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829h. Recherches de géométrie pure sur les lignes et les surfaces du second degré. Bruxelles: M. Hayez, Imprimeur de l’Académie Royale.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1829i. Sur les courbes du troisième et du quatrième degré (Extrait d’une lettre de M. Chasles au rédacteur). Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet, V. The letters are two: first letter 231–233; second letter 234–236.

  • Chasles, M. 1830a. Second Mémoire sur la transformations paraboliques des relations métriques des figures. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet VI: 1–24.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1830b. Lettre de M. Chasles au rédacteur, au sujet d’un Mémoire de M. Plucker, inséré dans le journal de M. Crelle plus Note supplémentaire. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet VI: 81–87.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1830c. Mémoire de géométrie pure, sur les systèmes de forces et les systèmes d’aires planes; et sur les polygones, les polyèdres, et les centres des moyennes distances. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet VI: 92–120.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1830d. Sur la génération des focales, lettre de M. Chasles. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet VI: 207–208.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1830e. Théorèmes généraux sur les diamètres des surfaces du second degré. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet VI: 255–258.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1830f. Théorèmes sur les surfaces du second degré. Correspondance mathématique et physique, publiée par A. Quetelet VI: 272–273.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1830g. Note sur une construction graphique nouvelle des tangentes et des rayons de courbature des courbes géométriques. Bulletin des sciences mathématiques, physiques et chimiques XIII: 390–393.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1830 h. Mémoire de géometrie pure sur les propriétés générales des cônes du second degré. M. Hayez, Imprimeur de l’Académie Royale.

  • Chasles, M. 1831. Mémoire de géométrie pure sur les propriétés générals des coniques sphériques. M. Hayez, Imprimeur de l’Académie de Bruxelles.

  • Chasles, M. 1832a. Extrait d’une lettre de M. Chasles a M. Quetelet sur la description de la spirale d’Archimède. Correspondance mathématique et physique de l’observatoire de Bruxelles publiée par A. Quetelet VII: 41–43.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1832b. Extrait d’une lettre de M. Chasles au rédacteur sur le propriétés des coniques qui ont un foyer commun. Correspondance mathématique et physique de l’observatoire de Bruxelles publiée par A. Quetelet VII: 295–297.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1832c. Note sur les propriétés générales du système de deux corps semblables entre eux […]. Correspondance mathématique et physique de l’observatoire de Bruxelles publiée par A. Quetelet VII: 352–357.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1835a. Propositions de géométrie et solution d’une question proposée dans la. Correspondance mathématique et physique de l’observatoire de Bruxelles publiée par A. Quetelet VIII: 56–58.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1835b. Sur l’hyperboloïde à une nappe, et sur le paraboloide hyperbolique. Correspondance mathématique et physique de l’observatoire de Bruxelles publiée par A. Quetelet VIII: 128–134.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1836a. Sur les surfaces du second degré qui n’ont pas de foyer. Journal des mathématiques pures et appliquées 1: 187–190.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1836b. Géométrie. Analogie entre des propositions plane et de Géométrie à trois dimensions – Géométrie de la sphère – Hyperboloïde à une nappe. Journal des mathématiques pures et appliquées 1: 324–334.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1837a. Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie particuliérement de celles qui se rapportent a la géométrie moderne. Consulted edition. Paris: Gauthier-Villars, 1875.

  • Chasles, M. 1837b. Note sur les équations indéterminées du second degré – Formules d’Euler pour la resolution de l’équation \(Cx^{2} \mp A = y^{2}\) – Leur identité avec celles des algébristes indiens et arabes – Démonstration géométrique de ces formules. Journal des mathématiques pures et appliquées 2: 37–55.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1837c. Note sur un cas particulier de la construction des tangentes aux projections des courbes, pour lequel les méthodes générales sont en défaut […]. Journal des mathématiques pures et appliquées 2: 293–311.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1837d. Mémoire sur diverses manières de généralizer les propriétés des diamètres conjugués dans les sections coniques […]. Journal des mathématiques pures et appliquées 2: 388–405.

    Google Scholar 

  • Chasles, M. 1846. Sur les lignes géodésiques et les lignes de courbure des surfaces du second degré. Journal de mathématiques pures et appliquées 11: 5–20.

  • Chasles, M. 1852. Traité de Géométrie supérieure. Paris: Bachelier.

    MATH  Google Scholar 

  • Chasles, M. 1860. Les Trois Livres de Porismes d'Euclide. Paris: Mallet-Bachelier.

  • Chasles, M. 1865. Traité des sections coniques. Paris: Gauthier-Villars.

    MATH  Google Scholar 

  • Chasles, M. 1870. Rapport sur les progrès de la géométrie en France. Paris: Imprimerie Nationale.

    MATH  Google Scholar 

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Acknowledgements

I wish to express my gratitude to Professor Jeremy Gray for his precious advice and commentaries during the revision of this paper. I am profoundly grateful to Professor Gianluca Gorni for his valuable help and expertise in drawing the diagrams here presented. I am grateful to Professor Ciro Ciliberto for his tips concerning the general structure of this paper. Obviously, any possible mistake rests entirely upon me. I would also like to thank the anonymous referee for several useful comments.

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  1. University of Udine, Udine, Italy

    Paolo Bussotti

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  1. Paolo Bussotti
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Bussotti, P. Michel Chasles’ foundational programme for geometry until the publication of his Aperçu historique. Arch. Hist. Exact Sci. 73, 261–308 (2019). https://doi.org/10.1007/s00407-019-00222-2

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