(Berlin-Heidelberg-New York : Springer- Verlag, 1985), 17x25 cm, xi-271 p., 28 fig. Le célèbre auteur de Moderne Algebra, un des fondateurs de la géométrie algébrique moderne « abstraite », s'est toujours vivement intéressé à l'histoire des sciences. Il a publié de nombreux volumes et articles consacrés à l'histoire des mathématiques et de leurs applications dans les diverses civilisations du monde antique, où il a montré que son érudition est à la hauteur de son talent mathématique. Peu de temps avant la parution du présent volume, Van der Waerden a publié un autre ouvrage consacré à la géométrie et l'algèbre dans les civilisations antiques. L'histoire de l'algèbre décrite dans ce volume débute donc chez les musulmans du ixe siècle de notre ère et s'arrête avec Emmy Noether et son école aux environs de 1930. L'auteur signale qu'il n'a pas cherché à écrire l'histoire de toutes les parties de l'algèbre durant cette période ; nous indiquerons à la fin de ce compte rendu les parties les plus importantes qui ne sont pas traitées ; peut-être l'auteur les réserve-t-il pour un volume ultérieur ? L'ouvrage est divisé en 3 parties : « Théorie des équations algébriques », « Théorie des groupes », « Théorie des algèbres ». Dans la première partie, il accorde plus de place qu'on ne le fait d'ordinaire aux algébristes musulmans (ixe au xie siècle) et italiens (xme au xive siècle). Un point particulièrement intéressant est que Omar Khayyam avait déjà identifié les mesures d'aires à des « nombres », par choix d'une unité de longueur et identification à un « nombre » l'aire d'un rectangle dont un côté est cette unité et dont l'autre est mesuré par ce « nombre » ; il procède de même pour les volumes. Ce sont les progrès, permettant le démarrage de l'algèbre qui seront retrouvés plus tard par R. Bombelli et Descartes. Il faut aussi noter une étude détaillée de l'œuvre de Léonard de Pise (Fibonacci). Le reste de la première partie retrace de façon fort claire l'évolution bien connue de la théorie de la résolution d'une équation algébrique, de Scipion del Ferro à Camille Jordan. Deux chapitres couvrent la période de Viète à Abel, mais Gauss, Galois et Jordan ont chacun droit à un chapitre. L'équation cyclotomique et les corps finis sont traités avec plus de détails que d'ordinaire. Toutefois c'est à Jordan — qui fait en quelque sorte le pont entre la théorie des équations et celle des groupes — qu'est réservé le plus long chapitre. L'auteur y analyse en particulier le mémoire de 1868 sur les groupes de mouvements, premier exemple de groupes infinis, ainsi que la détermination des groupes de Galois des équations liées à la géométrie algébrique et aux fonctions elliptiques, très étudiées vers le milieu