1 Bernardino Baldi, Le vite de'matematici, Milan: Francoangeli, 1998. This passage of the Cronica is quoted in p. 51 n. 61.

2 See Duhem, Pierre, Les origines de la statique, Paris: Hermann, 1905Google Scholar; idem, Etudes sur Léonard de Vinci, Paris: F. De Nobele, 1913; Alexandre Koyré, ‘La dynamique de Nicolo Tartaglia’, in idem, Etudes d'histoire de la pensée scientifique, Paris: Presses universitaires de France, 1966, pp. 101–121; Costabel, Pierre, ‘Vers une mécanique nouvelle’, in Sciences de la Renaissance. VIIIe Congrès International de Tours, Paris: Vrin, 1973, pp. 127–142Google Scholar; idem, ‘Observations et théories du mouvement au XVIème siècle’, Actes des Journées Galilée, Cahier du seminaire d'historie des sciences et d'epistemologie (1980) 7–8, pp. 1–16; Henninger-Voss, Mary J., ‘How the New Science of cannons shook up the Aristotelian cosmos’, Journal of the History of Ideas (2000) 63, pp. 371–397CrossRefGoogle Scholar; Strong, Edward W., Procedures and Metaphysics: A Study in the Philosophy of Mathematical–Physical Science in the Sixteenth and Seventeenth Centuries, Hildesheim: Olms, 1966Google Scholar; De Pace, Anna, Le matematiche e il mondo. Ricerche su un dibattito in Italia nella seconda metà del Cinquecento, Milan: Francoangeli, 1993Google Scholar.

3 His ideas on hydrostatics have been taken into account in broad analyses of the Renaissance Archimedean revival. See Keller, Alex, ‘Archimedean hydrostatic theorems and salvage operations in 16th-century Venice’, Technology and Culture (1971) 12, pp. 602–617CrossRefGoogle Scholar; and Meli, Domenico Bertolini, ‘Guidobaldo del Monte and the Archimedean Revival’, Nuncius (1992) 7, pp. 3–34CrossRefGoogle Scholar.

4 Tartaglia, Niccolò, Travagliata inventione, Venice: Nicolo Bescarini, 1551Google Scholar. Book I, Dichiarazione 10. ‘Anchora, che Vitruvio, Vegetio, e Valturio ne insegnino varii, e diversi modi per condure acqua in alto, delli quali molti se ne potriano accomodare in questa nostra inventione, per commodità de impire, et vodare tutte le sorte de legni, over vasi per avanti detti, de lo quali anchora molti ne sono notissimi, et famigliarissimi, cioè con trombe, con rote, con mantici, con istrumenti incavati a vida, e molti altri.’

5 See Flavius Vegetius Renatus, Epitoma rei militaris, Book IV, X; and Roberto Valturio, De re militari, Verona: Johannes Nicolai de Verona, 1472.

6 Vitruvius, On Architecture (ed. and tr. Frank Granger), Cambridge, MA: Harvard University Press, 2002, p. 145. As Keller has stated, apart from the references mentioned by Tartaglia, an Italian tradition on this specific problem can also be identified, as both Mariano Taccola and Leonardo da Vinci had proposed similar devices. The former was the first to suggest the possibility of raising a chest from a wreck by attaching it to an anchor lowered from a dinghy full of stones that were thrown overboard and thus allowed the rising of the anchor and the chest. The latter had a note on the method for transporting a great weight over water by flooding a barge. See Keller, op. cit. (3).

7 Alberti mentioned this operation in his De re aedificatoria (Book V, Chapter 12), and he supposedly explained it in more detail in his now lost Navis. This treatise was well known in the Renaissance, and Leonardo da Vinci possessed a copy of it. See The Notebooks of Leonardo da Vinci (ed. Jean Paul Richter), 2 vols., New York: Dover, 1970, vol. 2, 1113, pp. 273–274. Tartaglia had already been accused of plagiarism by Ludovico Ferrari in 1547, when the latter noticed the similarity between the mathematician's exposition of the medieval science of weights in his Quesiti et inventione diverse (Venice, 1546) and Jordanus Nemorarius's De ponderibus.

8 Girolamo Cardano, De subtilitate (ed. E. Nenci), Milan: Francoangeli, 2004, pp. 77–78. ‘At motus levis hoc unum subiiciatur exemplum. Cum naves freto merguntur, quas eruere consilium est, cimbae [‘cymbae’ in later editions] onustae saxis per funes alligantur navigio ab urinatoribus, sic ut funes quantum fieri potest tendantur, inde totidem cimbis vacuis lapides ex prioribus detracti excipiuntur; quo fit ut allevatae cimbae navigium paululum ex profundo secum trahant. Nam aer cimbas, quae pondere lapidum ferme mergebantur, cum aquae subesse nolit, in superficiem aquae attollit; unde navigium ferme pro cimbae altitudine superius trahitur. Trahatur igitur ex A in B, tunc cimbae quae plenae sunt lapidibus illi annectantur funibus, transfusisque lapidibus navigium trahetur in C. Rursus priores cimbae, in quas lapides transfudisti, nectuntur tensis funibus navigio in C existenti, trahentque deductis lapidibus ipsum in D, atque perpetua transmutatione ad aquae superficiem tandem deducetur.’

9 Cardano, op. cit. (8), pp. 61 and 64.

10 Raffaelo Caverni considered this negation of the principle of horror vacui as a revolutionary new doctrine that determined subsequent scientific discoveries. Caverni, Raffaelo, Storia del metodo sperimentale in Italia, 6 vols., Florence: G. Civelli Editore, 1891–1900, vol. 3, p. 435Google Scholar. However, this assertion is exaggerated. Pierre Duhem traced back to Roger Bacon the first positive conception of natural affection as an alternative to the abhorrence of a vacuum, whilst Lynn Thorndike argued that Adelard of Bath was in fact the first to formulate a theory of universal continuity in his Natural Questions. See Duhem, Pierre, Le système du monde: Histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, 10 vols., Paris: Hermann, 1954–1965, vol. 8, pp. 143 and 146–147Google Scholar; Thorndike, Lynn, A History of Magic and Experimental Science, 8 vols., New York: Columbia University Press, 1923–1958, vol. 2, pp. 37–39Google Scholar; and Grant, Edward, Much Ado about Nothing: Theories of Space and Vacuum from the Middle Ages to the Scientific Revolution, Cambridge: Cambridge University Press, 1981, pp. 67–69CrossRefGoogle Scholar.

11 Tartaglia, op. cit. (4), Book I, Dichiarazione 10.

12 Tartaglia, Niccolò, Ragionamenti, Venice: Nicolò Bescarini, 1551Google Scholar. Dialogue with Richard Wentworth, Second Reasoning. ‘Eglie così chiaro che a voler levare, et separare un corpo grave, dal fondo di qualche profonda acqua, non solamente eglie necessario a movere quello ma anchora a sulevare primamente tutta quella acqua che se gli riposa sopra. Et quando che il terreo fondo fusse acqua sarà necessario ad ellevarsi in parte de sotto in suso per venir a impire quel luoco che andasse lassando de mano in mano quel tal corpo, che si elevassi, ma per esser quel tal fondo immobile terra, la qual non potendo ascendere alla repletione di quel tal luoco vacuo eglie necesario che la maggior parte di quella acqua lo circonda dalle bande scorra a far questo tal officio, cioè a riempire quel tal luoco, et nel discendere tal acqua se tira anchora a drio gran parte di quella che doveria seguire a quella che sopra sta a quel corpo il che causa maggior difficultà in quella al moversi di sotto in suso: la qual combustione (per esser la detta acqua di natura grave) non poco, ovia all'ascenso del detto corpo in quel principio, ma immediate che si venghi a separare alquanto dal detto fondo, tanto è la furia de l'acqua che vi concorre, per impir quel luoco, dal qual si parte qual tal corpo (per non lasciarlo vacuo) che immediate comincia a dar aiutto è favore, alla elevatione di quello et continuando tal attratione parte de sotto giacente acqua, lo va seguitando con altra che vi concore insieme per impire, continuamente li detti vacui luochi che di continuo va lassando, il corpo ellevato, et quella acqua che sopra sta a quel tal corpo (per esser già commossa, et verso la parte superior) non da tanto impedimento all'assendimento dil detto corpo, anci per la commozione già fatta in quella, vien a esser fatta molto consentiente all'assendimento di quello et questa è la causa che eglie molto maggiore difficultà a separar dal fondo ogni cosa grave affondata, di quello che sarà poi che sia separata a tirarla in pelo d'acqua, e questa difficultà tanto più sarà maggiore quanto, che in fondo più profondo sarà, perché l'acqua che vi ripossa sopra (qual se ha da comovere e sulevar in parte insieme con lui) è di maggior quantità.’

13 Tartaglia, op. cit. (12), Dialogue with Richard Wentworth, Second Reasoning. ‘Hor perchè sia mo tanta, e tanta difficultà a separarlo da un fondo pantanoso, over arenoso di quello che sia da uno sassoso, la causa è questa, che in un fondo sassoso tutto il detto affondato corpo è abbrazato e circondato dal'acqua eccettuando quella poca parte che tocca il detto fondo sassoso, la qual parte ancora quanto, che è più accuta, cioè che tocca mancho del detto fondo tanto è piu facile a separarlo da quello, perchè l'acqua che ha da impire quell luoco, che lassarà il detto corpo nella sua assensione, è ivi presente, cioè che non ha da venire da loco molto lontano, e però il detto corpo non havendo tanta difficultà a tirare da longinque parti l'acqua che ha da impire quell suo loco, che ha da lassare, quantiche haveria a doverla tirare da longique parti, come che gli occorrerai quando, che fusse in gran parte sepolto nel pantano, over sabbia, nella qual positione, gli bisognaria tirare la detta acqua dalla suprema parte di quella sua cassa pantanosa, over arenosa per fin nella infima parte di quella, et perché tal acqua non può così immediatamente, over in un instante discorrere in tal parte infima, ma solamente in tempo. Et la natura non permette che un loco possi restar vacuo per alcun minimo spacio di tempo, e perciò è cosa molto, e molto più difficoltosa a separar un corpo grave da un fondo pantanoso, over arenoso, di quello sarà in un fondo sassoso … Dico che tal sarà necessario che quel tal loco restasse per un poco di tempo vacuo, cioè senza corpo perchè l'acqua (per esser corpo grave) non potrà scorrere et impire tutto quel vacuo in un instante, anci vi scorrera solamente in tempo. Et perchè la natura non permette che alcun loco possi restar vacuo per alcuna minima parte di tempo (come di sopra è detto) seguita adunque; esser impossibile a separare un tal corpo in un istante da tutte le parti di tal cassa pantanosa, over arenosa, et tanto maggior sarà tal difficultà, quanto che tal sua cassa sia fata universalmente contigua con el detto corpo, e indurata dintorno a quello.’

14 Cardano, op. cit. (8), pp. 78–79 n. 23. Nenci has stressed Cardano's and Tartaglia's common interest on the subject, but has not provided an explanation of their differences on the basis of their conception of matter.

15 See Grant, Edward, ‘Medieval explanations of the dictum that nature abhors a vacuum’, Traditio (1973) 29, pp. 327–355CrossRefGoogle Scholar.

16 Hero of Alexandria, Opera, 5 vols., Stuttgart: Teubner, 1976, vol. 1, pp. 28 and 30.

17 Hero of Alexandria, op. cit. (16), p. 4.

18 Hero of Alexandria, op. cit. (16), pp. 6–8.

19 Giorgio Valla, in his De expetendis et fugiendis rebus, repeated some of the experiments by Hero, but omitted any reference to his theory of matter. Francesco Maurolico, who probably used this work for his Ex Heronis et aliorum spiritalibus (Biblioteca Nazionale Centrale di Roma, San Pant.115/32, c.43r–44v; 46r–47v), described the mechanism of Pneumatica's first device as a consequence of the impossibility of a vacuum in nature. This shows that the experiments in themselves were not necessarily interpreted as the effect of porous matter.

20 ‘Viene in appresso la deliberazione sotto il dì 11 di dicembre 1542 con la qual vien'concesso al fidel nostro Nicolo Tartalea che alcuno non possa senza permissione sua stampar ne far ristampar in questa città ne in alcun altro luogo nostro Euclide et Horone philosopho per lui tradotti e commentati, et Archimede.’ Quoted in Favaro, Antonio, ‘Di Niccolo Tartaglia e della stampa di alcune delle sue opere con particolare riguardo alla Travagliata Invenzione’, Isis (1913) 1, pp. 329–340CrossRefGoogle Scholar, especially p. 330.

21 It might appear possible that he referred to Hero's De mensuris as it was usually part of the medieval Archimedean corpus, but since Tartaglia used for his edition MS Madrid, Biblioteca Nacional 9119, which does not contain this text, this alternative seems improbable. For a description of this manuscript see Clagett, Marshall, Archimedes in the Middle Ages, 10 vols., Madison and Philadelphia: The American Philosophical Society, 1964–1984, vol. 2, pp. 60–71Google Scholar.

22 ‘Ma saranno ineguale tal problema si potera con industria risolvere con modi phisicali cioè per quel modo dato da Platone per ritrovar due linee medie proporzionale fra due linee date, over per quel modo trovato da Herone’. Niccolò Tartaglia, Cartelli di sfida matematica, facsimile reproduction of the first editions published in 1547 and 1548, Brescia: Ateneo, 1974, p. 80.

23 Eutocius mentions the solutions by Plato, Heron, Philon, Apollonius, Diocles, Pappus, Sporus, Meneachmus, Archytas, Eratosthenes and Nicomedes. See Archimedes, Opera Omnia (ed. I.L. Heiberg), 4 vols., Stuttgart: Teubner, vol. 3, pp. 57–99. Eutocius’ commentary was part of the translation made by William of Moerbeke, a work on which Tartaglia based his 1532 Italian edition of Archimedes’ texts. Since the answer to Ferrari dates from 1547, it is also possible that Tartaglia used, as Marshall Clagget says, the Archimedean Basel edition of 1544, which also contained this work by Eutocius. See Clagett, op. cit. (21), vol. 3, pp. 547 and 549–551. He might have also taken the reference from Valla's De expetendis et fugiendis rebus, which contained a Latin translation of this section of Eutocius’ commentary.

24 Rose, Paul Lawrence, The Italian Renaissance of Mathematics, Geneva: Librairie Droz, 1975, p. 46Google Scholar. See also Castellani, Carlo, ‘Il prestito dei codici manoscritti della biblioteca di San Marco in Venezia ne'suoi primi tempi a le conseguenti perdite de'codici stessi’, Atti del Reale Istituto Veneto di Scienza, Lettere ed Arti (1896–1897) 7(8), pp. 311–377Google Scholar. Mendoza made a copy of the manuscript in 1542. The other works contained in the codex are quite revealing of Tartaglia's mathematical influence: ‘Manuel Moscopulus de Inuentione quadranguli. Maximi Planudis Calculatio secundum Indos. Nicolai Artabasdi Traditio calculatoriae disciplinae. Eiusdem calculati … Isaac Argyri ratio dimetrendi agros …’. Hobson, Anthony, Renaissance Book Collecting: Jean Grolier and Diego Hurtado de Mendoza, Their Books and Bindings, Cambridge: Cambridge University Press, 1999, p. 236Google Scholar, item 71.

25 Hero of Alexandria, op. cit. (16), p. 24.

26 Francesco de Marchi explored the wrecks in Lake Nemi using a diving bell, an enterprise described in his Della architettura militare, Brescia: Dall'Oglio, 1599.

27 One cannot argue that he was not familiar with this concept for he had read Aristotle's Physics (Tartaglia quotes it in his Nova scientia), in which it is repeatedly used. See Book IV, 9, 217a 12, where Aristotle explains that a given matter can change into a smaller or larger mass. See also Book VIII, 7, 260b 5–14; Book IV, 5, 212 b3. Aristotle also refers to rare matter in Book IV, 9, 217b 10, 12.

28 Grant, op. cit. (10), pp. 87–88. See Lucretius, De rerum natura, I, 384–390. See also Grant, op. cit. (15). Some authors that defended this thesis were Roger Bacon, Pseudo-Siger of Brabant, John of Jandun and the fathers of Coimbra. This problem was also solved using a theological argument. For example, Henry of Ghent (1217–1293) argued that God might create a void in this circumstance; see Alexandre Koyré, ‘Le vide et l'espace infini au XIVe siècle’, in idem, Etudes d'histoire de la pensée philosophique, Paris: Gallimard, 1971, pp. 37–92.

29 Grant, op. cit. (15).

30 Schmitt, Charles B., ‘Experimental evidence for and against void: the sixteenth-century arguments’, Isis (1967) 58, pp. 352–366CrossRefGoogle Scholar.

31 Grant, op. cit. (15).

32 Although Tartaglia acquired a copy of this work at some point, we cannot assume that he was responding to Piccolomini with his invenzione. Tonni-Bozza, ‘Frammenti di nuove ricerche intorno a Niccolò Tartaglia’, in Atti del Congresso Internazionale di Scienze Storiche (Roma 1–9 Aprile 1903), vol. 12, Rome: Tipografia della R. Accademia dei Lincei, 1904, pp. 293–307. This work stands out as one of the first comprehensive works on natural philosophy written in Italian. In Piccolomini's dedication to Pope Julius III, he refers to those few who had written in the vernacular on particular philosophical problems. Rufus Suter, ‘The scientific work of Alessandro Piccolomini’, Isis (1969) 60, pp. 210–222. One of these authors was probably Tartaglia.

33 Piccolomini, Alessandro, La prima parte della filosofia naturale, Venice: Vincenzo Valgrisi, 1551, pp. 225–226Google Scholar: ‘si vede sensatamente che posti insieme due corpi lunghi, e ben piani e politi, in modoche con la pianezza de le lor faccie si tochino perfettamente, subito poi che noi gli separiamo, sarà forza che nel mezi tra i lor piani, si trovi qualche voto d'ogni corpo, prima che l'aer possa trascorrere e riempire per ogni parte, non si potendo dar movimento subito et senza tempo, secondo che al suo luogo dichiararemo, a questi tali, che così dubitassero, rispoderei che per la imperfettione de la materia non si possano tra le sostanze naturali trovar corpi così piani e politi be le superficie loro, che così unitamente o in acqua, o in aere toccar si possino, che qualche particella d'aere o d'acqua non s'interchiuda, la qual particella nel separarsi de i detti corpi, vien a rarefarsi e conseguentemente non porge necessità che vi si debbi trovare il voto.’

34 Cardano, op. cit. (8), p. 74: ‘quod plana quae non fatiscunt, attamen disiunguntur. At hoc fieri nequiret, nisi admisso vacuo. Inter plana igitur quaecunque dum clauduntur, aer intercipitur, qui vetat plana disiungi quoad licet. Sed cum, ut dixi, pro sui robore solum impediat, maiore nixu vincitur. Solum illud obiicies, quod a minore aere minus haec disiunctio impediretur, at magis tamen impeditur. Ut enim magis plana ad unguem coierint, eo minus aeris intercipitur, et tamen eo difficilius divelluntur. Sed causa est, quia magis necesse est aerem illum a propria forma recedere, quo magis rarescit.’ On Cardano's three different editions of De subtilitate see Paola Pirzio, ‘Note sulle tre redazioni del De subtilitate di Girolamo Cardano’, in Marialuisa Baldi and Guido Canziani (eds.), Girolamo Cardano, le opere, le fonti, la vita, Milan: Francoangeli, 1999, pp. 169–179.

35 Although Bacon did not base his analysis of the separation of two plane surfaces on rarefaction, he did believe in this property of matter. See, for example, the description of air's rarefaction in the production of sound, Opus Majus, Part V, Chapter II.