L'Axiome du Choix

Les fondations de l'Analyse et de la Théorie des ensembles, qui avaient atteint, dans les années septante et quatre-vingt du dernier siècle, une solidité qui paraissait alors satisfaisante, n'ont pas cessé de troubler les logiciens et les mathématiciens depuis la fin du siècle. Un des traits les plus anciens et les plus débattus à ce propos est l'Axiome du choix (selon Zermelo) ou l'Axiome multiplicatif (d'après Russell).

Lorsque la tâche d'assurer des sous-ensembles d'un ensemble donné est achevée d'un point de vue purement extensionel, au moyen de la notion de fonction univalente, il ne faut naturellement pas d'axiome spécial pour garantir que le produit cartésien ne s'annule lui-même que si un des facteurs est nul. C'est le cas, par exemple, dans l'axiomatisation de la théorie des ensembles due à von Neumann [22] (1>. (C'était essentiellement aussi l'attitude de Poincaré.)

Mais lorsque l'opération de la construction des sous-ensembles est fondée sur ce que Brouwer [2] et d'autres ont appelé la « compréhension », c'est-à-dire en définissant un sous-ensemble d'un ensemble donné S par une propriété (un prédicat) ayant un sens pour tous les éléments de S, alors le problème des sous-ensembles postulés par l'axiome multiplicatif demeure ouvert. Nous dénommerons brièvement « Axiome des sous-ensembles » le principe qui autorise la formation des sous-ensembles par compréhension.

En réalité, si le domaine des individus (lesquels, outre des ensembles, peuvent être des éléments d'un ensemble) reste arbitraire, on n'a trouvé aucune démonstration positive qui montre que l'axiome du choix soit indépendant de l'axiome des sous- ensembles. Ce problème fondamental de l'indépendance de l'axiome