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Bridging the gap between analytic and synthetic geometry: Hilbert’s axiomatic approach

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Abstract

The paper outlines an interpretation of one of the most important and original contributions of David Hilbert’s monograph Foundations of Geometry (1899), namely his internal arithmetization of geometry. It is claimed that Hilbert’s profound interest in the problem of the introduction of numbers into geometry responded to certain epistemological aims and methodological concerns that were fundamental to his early axiomatic investigations into the foundations of elementary geometry. In particular, it is shown that a central concern that motivated Hilbert’s axiomatic investigations from very early on was the aim of providing an independent basis for geometry. Accordingly, these concerns about an independent grounding for elementary geometry determined very clear methodological constraints in the process of embedding it into a formal axiomatic system. It is argued that Hilbert not only sought to show that geometry could be considered a pure mathematical theory, once it was presented as a formal axiomatic system; he also aimed at showing that in the construction of such an axiomatic system one could proceed purely geometrically, avoiding concept formations borrowed from other mathematical disciplines like arithmetic or analysis.

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Notes

  1. For a study of the notion of “metamathematics” in this context see Wille (2011).

  2. Regarding its immediate reception, Hessenberg (1905b) and Hölder (1911) constructed calculi of points and segments, following Hilbert’s original ideas. In the same vein, the importance of Hilbert’s segment arithmetic is emphasized in the classical paper (Freudenthal 1957). The key results associated with Hilbert’s segment arithmetic are overviewed in the editors’ introductions to (Hallett and Majer 2004; Karzel and Kroll 1988) and (Pambuccian 2013). In addition, Hartshorne (2000) and Baldwin (2014) reconstruct the technical content of Hilbert’s ideas according to a more contemporary mathematical setting.

  3. Webb (1980), Hallett (1994, 2008) and Corry (2004a) have mentioned the importance of the segment arithmetic in the context of Hilbert’s early axiomatic investigations, but without focusing their analysis on this particular topic. On the other hand, Rowe (2000) has convincingly argued that the segment arithmetic turns out to be fundamental in order to obtain a more accurate picture of Hilbert’s early approach to foundational issues. Moreover, Rowe has illuminatingly observed that for Hilbert an important goal was to show “how synthetic and axiomatic methods could be combined to serve as a foundation for and bridge to analytic geometry” (2000, p. 64). However, these remarks are also made within the context of a more general examination of Hilbert’s early work on the foundations, and therefore the epistemological aims and the methodological concerns that were intimately connected to his technical innovation are overlooked.

  4. Unless otherwise noted, all translations in what follows are by the author. The original German is provided in the footnotes. I am thankful to Paolo Mancosu and Rachel Rudolph for their helpful comments and suggestions.

  5. On Hilbert’s engagement with geometry before 1891, see Toepell (1986).

  6. The term ‘movement’ refers plausibly to the theory of congruence of Book I of the Elements; in particular, to the famous method of superposition or movement of figures as a means to determine its congruence. On the other hand, the meaning of the expression ‘limit’ [Grenzlage] is here rather unclear.

  7. “So reich die griechische Geometrie an Gedanken, an Resultaten und an Problemen war, so hatte sie einen wesentlichen Mangel: es fehlte ihr an einer allgemeinen Methode, mittelst der allein eine fruchtbringende Weiterentwickelung der Wissenschaft möglich ist. In Euklid erscheint die Geometrie wie fertig, und kein Raum für freie, produktive Betätigung”.

  8. “Dieser Gedanke macht mit einem Schlage jedes geometrische Problem der Analysis zugänglich. So wurde Descartes der Schöpfer der analytischen Geometrie. Es wurden zunächst die Sätze der Griechen von neuem bewiesen und dann verallgemeinert. So trat an Stelle der Kunstgriffe und— mittelchen durch Cartesius eine einheitliche Methode—die Formel, das Rechnen. So wichtig dieser Fortschritt und so grossartig die Erfolge waren, so litt doch schliesslich die Geometrie als solche unter der einseitigen Ausbildung dieser Methode. Man rechnete nur noch, ohne Anschauung von dem Errechneten zu haben. Man verlor den Sinn für die geometrische Figur und für die geometrische Construktion”.

  9. A brief commentary about Descartes’ “analytic geometry” is here in order. Unlike the view that Hilbert presents in this historical introduction, the Cartesian method did not consist in merely establishing an “isomorphism” between straight lines and geometrical curves and its corresponding algebraic equations. On the contrary, the relation between geometry and algebra, with its respective epistemological status, objects, methods and problems was for Descartes much more complex and nuanced. Mancosu (1996), Bos (2001) and Panza (2011) are important sources to avoid this simplified view of Descartes’ Géométrie.

  10. “In Gegensatze zu allen seinen Vorgängern, welche immer noch der Rechnung bedurften, machte er—wie er selbst in seinem Vorwort sagt—die projektive Geometrie ,,zu einer selbständigen Wissenschaft, welche des Messens nicht bedarft“. Er schuf eine Geometrie, in der man weder rechnet noch misst, sondern nur construiert, weder Zirkel noch Winkelmass benutzt, sondern das Lineal. Damit war jene wissenschaftliche Forderung in befriedigender Weise erfüllt. Denn die Rechnung muss bei Abteilung von Sätze über Lageverhältnisse als etwas fremdes erscheinen. In dieser Gestalt bildet die projektive Geometrie zwar nur einen Teil der Geometrie, aber dieses Teilgebiet ist von einer wunderbaren Einheitlichkeit und Abgeschlossenheit. Nach dem Vorbilde dieses Werkes gedenke ich meine Vorlesung über projektive Geometrie zu gestalten.”

  11. “Die Geometrie geht nicht so tief wie die Analysis. Wenn man Geometrie treibt, so muss es synthetische sein. Was hat die angeschaute Fläche oder Kurve mit eine Gleichung \(f (x,y,z) = 0\) zu tun? Die Analysis ist ein dem Wesen der Geometrie fremdes Hülfsmittel, welches daher vermieden werden muss, wenn man die Geometrie als Gebäude errichten oder fundieren will. Wohl dürfen sich Geometrie und Analysis gegenseitig befruchten und zu heuristischen Zwecke einander bedienen” (Cod. Ms. Hilbert 600:1, p. 9). Although it is rather difficult to establish the exact date of this passage, it corresponds to a very early period. In fact, this passage is found in the initial pages of the first volume of Hilbert’s Scientific Notebooks, on the cover of which is written: Leipzig, Winter 1885.

  12. For a discussion of the notion of “purity of methods”, see Detlefsen (2008) and Arana and Detlefsen (2011).

  13. We can go even further back and see Hilbert’s claims as mirroring Newton’s requirement of an independent basis of geometry:

    Equations are Expressions of Arithmetical Computation, and properly have no place in Geometry (that is, Lines, Surfaces, Solids, and Propositions) may be said to be some equal to others. Multiplications, Divisions, and such sort of Computations, are newly received into Geometry, and that unwarily, and contrary to the first Design of this Science ...Therefore these two Sciences ought not to be confounded. The Ancients did so industriously distinguish them from one another, that they never introduced Arithmetical Term into Geometry. And the moderns, by confounding both, have lost the Simplicity in which all the Elegancy of Geometry consists. [Quoted in Arana and Detlefsen (2011, p. 2)].

    Similar passages from Leibniz and Newton can be found in (Mancosu 1996). On the revival of pure geometrical methods at the beginning of the nineteenth century, see Gray (2006).

  14. Cf. Klein (2004, p. 55).

  15. The French mathematician Michel Chasles, one of the toughest advocates of purely geometrical methods, expressed this point as follows:

    Is it then sufficient in a philosophical and basic study of a science to know that something is true if one does not know why it is so and what place it should take in the series of truths to which it belongs? [Quoted in Kline (1972, p. 836)].

  16. For the early nineteenth century debates on the synthetic and the analytic method in geometry, mainly in the context of projective geometry, the classical papers of Fano (1907) and Nagel (1939) are still very useful sources. See also Epple (1997) and Nabonnand (2011).

  17. For instance, this was a main concern in Poncelet’s presentation of projective geometry (cf. Poncelet 1822). See Gray (2006) and Nabonnand (2011) for a discussion.

  18. For the relation between the concern for the purity of methods and foundational investigations in Hilbert’s axiomatic researches, see Hallett (2008) and Arana and Mancosu (2012).

  19. Gauss expressed this view in a famous letter to Bessel:

    According to my most intimate conviction, the theory of space has a completely different position with regards to our knowledge a priori, than the pure theory of magnitudes. Our knowledge of the former lacks completely that absolute conviction of its necessity (and therefore of its absolute truth) which is characteristic of the latter. We must humbly acknowledge that, whereas number is just a product of our minds, space also has a reality outside our minds, whose laws we cannot prescribe a priori. [Gauss to Besell, April 9th 1830; in Gauss and Besell (1880, p. 497)].

    I follow Ferreirós (2006, p. 237) in the translation of this passage.

    Very similar claims can be found, for example, in Bolzano (1999) and Grassmann (1995).

    For a discussion on the Gaussian epistemological distinction between ‘pure’ and ‘mixed’ mathematics, and its influence on the nineteenth century mathematical tradition in Germany, see Ferreirós (2006).

  20. “Die Geometrie ist die Lehre von den Eigenschaften des Raumes. Sie unterscheidet sich wesentlich von den rein mathematischen Wissensgebieten wie z. B. Zahlentheorie, Algebra, Funktiontheorie. Die Resultate dieser Gebiete können durch reines Denken gewonnen werden, indem man durch klare logische Schlüsse die behaupteten Thatsachen auf immer einfachere zurückführt, bis man schliesslich nur noch den Begriff der ganzen Zahl nöthig hat. ... Ganz anders verhält es sich mit der Geometrie. Ich kann die Eigenschaften des Raumes nimmer durch blosses Nachdenken ergründen, so wenig wie ich die Grundgesetze der Mechanik, das Gravitationsgesetz oder irgend ein anderes physikalisches Gesetz so erkennen kann. Es ist ja der Raum, nicht ein Produkt meines Nachdenkens, sondern er ist mir durch meine Sinne gegeben. Ich brauche daher zur Ergründung seiner Eigenschaften meine Sinne. Ich brauche die Anschauung und das Experiment, wie bei der Ergründung physikalischer Gesetze, wo auch noch die Materie als gegeben durch die Sinne hinzukommt”. I partly follow Corry (2004a, p. 86) in the translation of this passage.

  21. For excellent accounts of these developments in nineteenth century geometry, see Gray (2006) and Nabonnand (2008a).

  22. The cross-ratio of four collinear points \(A, B, C, D\), considered in that order, is the quantity \(\frac{CA}{CB}/\frac{DA}{DB}\). Desargues was the first to observe that the cross-ratio was projectively invariant. However, this definition assumed the possibility of measuring the distance between two points, before the cross-ratio could be calculated; thus, projective geometry was grounded on a metrical concept.

  23. The notion of “fundamental forms” [Grundgebilde] was introduced by Steiner (1832). In his book Steiner (1832, p. 237) took the concepts of ‘point’, ‘line’, ‘plane’ and ‘space’ as primitive and undefined elements and introduced the notion of ‘fundamental forms’ to designate certain specific combinations of these primitive elements, namely: (i) the line, viewed as the support of a set of infinitely many points; (ii) the pencil of lines in the plane [Strahlbüschel in der Ebene], defined as a set of lines in the plane that pass through a given point; (iii) the pencil of planes [Ebenenbüschel], defined as a set of planes through a given line; (iv) the plane, viewed as a set of infinitely many points and lines, or planar pencils of lines; and (v) the pencil of lines in space [Strahbüschel im Raume], defined as a set of lines in space that pass through a given point. Later, von Staudt (1847) distinguished between “uniform or first degree fundamental forms” [einförmige Grundgebilde], which contained only one category of elements, and “second or third degree fundamental forms”, which contained more than one category of elements. Thus, von Staudt called (i–iii) ‘uniform fundamental forms’, inasmuch as they were formed by only one category of elements–points, lines and planes, respectively—and identified (iv–v) as ‘fundamental forms of second degree’ (Cf. von Staudt 1847, pp. 1–12). Finally, in modern expositions of projective geometry the first fundamental form—(i)—is often characterized by saying that the points on a line form a range, “especially when we regard them as the possible positions of a variable point \(X\) which runs along the line” (Coxeter 1993, p. 21).

  24. Cf. von Staudt (1847, p. 47). For systematic expositions of these results, see Veblen and Young (1910) and Coxeter (1993).

  25. Cf. von Staudt (1847, pp. 43–44). A similar description can be found in (Arana and Mancosu 2012, p. 312).

  26. The most common formulation of Desargues’ theorem asserts: If \(\bigtriangleup ABC\) and \(\bigtriangleup A'B'C'\) are two triangles such that the lines \(AA'\), \(BB'\), and \(CC'\) intersect at a point, then the intersections \(C''\), \(A''\) and \(B''\) of the corresponding sides lie on a straight line. In the literature the distinction is usually made between a planar and a spatial version of the theorem, depending on whether the triangles in question both lie in the same plane or not.

    On the philosophical and methodological problems around the proof of the planar Desargues’ theorem, see Arana and Mancosu (2012) and Hallett (2008).

  27. “Zwei einförmige Grundgebilde heissen zu einander projektivisch, wenn sie so auf einander bezogen sind, dass jedem harmonischen Gebilde in dem einem ein harmonisches Gebilde im andern entspricht”.

  28. “Wenn zwei projektivische einförmige Gebilde drei Elemente entsprechend gemein haben, so haben sie alle ihre Elemente entsprechend gemein”.

  29. For a careful study of von Staudt’s definition of coordinates in projective geometry, see Nabonnand (2008b).

  30. Cf. von Staudt (1847, pp. 50–52). For a critical discussion of von Staudt’s proof of the fundamental theorem of projective geometry, see Nabonnand (2008a, cap. 7) and Voelke (2008, pp. 251–252).

  31. Cf. Klein (1873, pp. 132–145). A year later, Klein (1874) presented a solution to this problem by using the recent “axiom of Cantor”, which asserts that to each real number there is a corresponding point on the straight line (Cantor 1872, p. 128). As is well known, in this period the notion of continuity became more precise due to the works of Weierstrass, Dedekind and Cantor on the set of the real numbers.

  32. Cf. Darboux (1880).

  33. “The axiom, which F. Klein used to complete the gap in Staudt’s grounding of projectivity, comes out in the theorem formulated above [i.e., Weierstrass’ postulate on limit points]. To take this theorem as a principle is not in agreement with the intuitions represented here. Thus, apart from the fact that in general an observation cannot refer to infinitely many things, from our point of view the incorporation of that theorem is not yet admissible, for we cannot accept the existence of infinitely many points on a segment, without giving to the word ‘point’ a more general extension than the current one and, consequently, removing it even more from its original meaning”.

    [Das Axiom, durch welches Herr F. Klein die Lücke in Staudt’s Begründung der Projectivität ausfüllt, kommt auf den eben formulirten Satz hinaus. Diesen als Grundsatz anzunehmen, würde mit den hier festgehaltenen Anschauungen nicht im Einklang stehen. Denn abgesehen davon, dass eine Beobachtung sich überhaupt nicht auf unendlich viele Dinge beziehen kann, ist die Aufstellung jenes Satzes von unserem Standpunkte aus uach deshalb noch nicht zulässig, weil wir in einer Strecke nicht unendlich viele Punkte annehmen dürfen, ohen dem Sinne des Wortes ,,Punkt “eine weitere als die bisherige Ausdehnung zu geben und uns mithin von seiner ursprünglichen Bedeutung noch mehr zu entfernen. (Pasch 1882, pp. 126–127). I would like to thank Dirk Schlimm for his permission to use his forthcoming translation of Pasch’s Vorlesungen On Pasch’s empiricist program see Schlimm (2010).

  34. Cf. Pasch (1882, p. 114). Weierstrass’ continuity axiom on the existence of limit points is formulated in (Pasch 1882, p. 126).

  35. “IV. Grundsatz: Liegt der Punkt \(c_1\) innerhalb der geraden Strecke \(ab\), und verlängert man die Strecke \(ac_1\) und die congruente Strecke \(c_1c_2\), diese um die congruente Strecke \(c_2c_3\) usf., so gelangt man stets zu einer Strecker \(c_nc_{n+1}\) die den Punkt \(b\) enthält”.

  36. On Pasch’s proof of the fundamental theorem of projective geometry, see Contro (1976) and Voelke (2008).

  37. “These two theorems of incidence [i.e., the theorems of Desargues and Pascal] are sufficient to prove the fundamental theorem of projective geometry, without resorting to further continuity assumptions or infinite processes, and thereby to develop the whole linear projective geometry of the plane” (Wiener 1891, p. 47).

  38. Wiener (1893).

  39. Wiener (1893, p. 72).

  40. Schur (1898). On Schur’s contributions the foundations of geometry, see Voelke (2010).

  41. “Neulich hat Schur in einem Briefe an Klein gezeigt, dass mit Hülfe der Congruenzsätze im Raume der Pascalsche Satz in der Ebene für das Geradenpaar bewiesen werden kann, d.h. ohne des Archimedische Axiom. Dieser Brief, über den uns Schönflies in der math. Gesellschaft vortrug, hat mir Anlass gegeben, meine älteren Ueberlegung[en] über die Grundlagen der Euklidischen Geometrie wieder aufzunehmen. Es is merkwürdig wie viel Neues da noch zu holen ist“. Quoted in (Toepell 1985, pp. 640–641).

  42. Cf. Rowe (2000, pp. 67–68).

  43. This course was originally announced for the summer semester of 1893, but due to the scarce number of students it was postponed to the next semester. Hilbert took advantage of the deferment and completed his lecture notes on the basis of further readings, particularly (Pasch 1882). On the origin and characteristic of these notes see Hallett and Majer (2004, cap. 2) and Toepell (1986).

  44. In what follows I will refer to the first edition of Foundations of Geometry (Hilbert 1899) as the “Festschrift”.

  45. See Hallett and Majer (2004, pp. 66–71) for an account the the content of this lecture course.

  46. See Hilbert (1893/1894a, pp. 81–82).

  47. See Hilbert (1893/1894a, pp. 85–93).

  48. “In alle exakten Wissenschaften gewinnt man erst dann präzise Resultate, wenn die Zahl eingeführt ist. Es ist von hoher erkenntnisstheoretischer Bedeutung zu verfolgen, wie dies Messen geschieht”. A very similar remark can be found in (Hilbert 1898/1899a, p. 282).

  49. In the preface of his Theory of Algebraic Number Fields (1897), Hilbert makes a very similar remark on the nineteenth century “arithmetization of geometry”:

    The conclusion, if I am not mistaken, is that above all the modern development of pure mathematics takes place under the banner of number: the Dedekind and Kronecker definitions of the fundamental concepts of arithmetic and Cantor’s general construction of the concept of number lead to an arithmetization of function theory (...) The arithmetization of geometry is accomplished by the modern investigations in non-Euclidean geometry in which it is a question of a strictly logical construction of the subject and the most direct possible and completely satisfactory introduction of number into geometry. (Hilbert 1998, p. 9)

  50. See Hilbert (1893/1894a, pp. 85–88).

  51. “Wenn man unendlich viele in einer Reihe geordnete Punkte hat: \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), ...und wenn alle Punkte auf einer Seite eines Punktes \(A\) liegen, so giebt es stets einen und nur einen Punkt \(P\), so dass alle Punkte der Reihe auf der nämlichen Seite von \(P\) liegen, und dass zugleich kein Punkt zwischen \(P\) und alle Punkten der Reihe vorhanden ist. \(P\) heisst der Grenzpunkt”.

    Hilbert mentioned this axiom again in a letter to Klein, dated on August 14th 1894, and which was published a year later in the Mathematische Annalen (Hilbert 1895). As we saw in Sect. 2.2, a very similar version of this axiom, frequently called the principle of Bolzano–Weierstrass on the existence of limit points, can be found in (Pasch 1882, p. 125). It is highly possible that Hilbert borrowed this axiom from Pasch’s book.

  52. Cf. Hallett and Majer (2004, pp. 194–195).

  53. Hilbert is referring to Wiener (1891).

  54. Cf. (Hilbert 1898/1899a) and (Hilbert 1898/1899b).

  55. “Mit diesen Prämissen ist dann sofort aus der Geometrie eine Rechenkunst geworden. Es ist Klar, dass man bei Benutzung des rechten Winkels, der Parallelen, der Längen und Abstände alles Principielle aus der elementaren Geometrie voraussetzt. Man schlägt da also den Weg ein, auf dem man so rasch als möglich um jeden Preis vorwärts zur Einführung der Zahl in der Geometrie gelangt. Nun ist in der That in jeder Exakten Wissenschaft die Einführung der Zahl ein vornehmstes Ziel. Man kann der Fortschritt einer Naturwissenschaft oder eines Zweiges der Naturwissenschaft geradezu messen an dem Grade, in welchem die Zahl eingeführt ist. Aber, wenn die Wissenschaft nicht einem unfruchtbaren Formalismus anheimfallen soll, so wird sie auf einem späteren Stadium der Entwicklung sich wieder auf sich selbst besinnen müssen und mindestens die Grundlagen prüfen, auf denen sie zur Einführung der Zahl gekommen ist”.

  56. “Dementsprechend wird in unserer Vorlesung die Einführung der Zahl in die Geometrie gerade zum Schluss als Endziel erscheinen, welches das ganze bis dahin aufgeführte Gebäude der Geometrie krönt”.

  57. Cf. Hallett and Majer (2004, p. 197).

  58. “Aber es ist nicht nur ein praktisches und ein wissenschaftliches Bedürfniss, die Elemente der Euklidischen Geometrie erneut zu untersuchen, sondern die Resultate, die wir erhalten werden, lohnen, hoffe ich, reich die aufgewandte Mühe. Wir werden auf eine Reihe sehr einfacher und doch sehr tiefliegender und schwieriger Probleme geführt werden. Wir werden zu ganz neuen und wie ich glaube fruchtbaren Fragestellungen Anregung erhalten und werden nahe und bemerkenswerte Zusammenhänge erkennen zwischen den Elemente der Arithmetik und der Geometrie und damit wieder einen Grund gewahr werden für die Einheit der mathematischen Wissenschaft”.

  59. Cf. Hallett (1994, p. 167).

  60. “Durch das gesagte bestimmt sich das Verhältnis dieser Vorlesung zu denen über analytische und projektive Geometrie. In beiden Disciplinen werden die principiellen Fragen nicht behandelt; in der analytischen Geometrie beginnt man mit der Einführung der Zahl, wir dagegen werden die Berechtigung hierzu genau zu untersuchen haben, sodaß bei uns die Einführung der Zahl geradezu den Schluß bilden wird; in der projektiven Geometrie appelliert man von vorneherein an die Anschauung, wogegen wir ja die Anschauung analysieren wollen, um sie dann sozusagen aus ihren einzelnen Bestandteilen wieder aufzubauen”.

    See also Hilbert (1902a, p. 541) and Hilbert (1927, p. 2) .

  61. “Die Geometrie soll die reichen Mittel der Analysis nicht als Fesseln tragen und die Mittel der Analysis sollen von ihr selbst gesuchte und bewusst benutzte Quellen neuer Erkenntniss sein”.

  62. For a comparison between the structures of Euclid’s Elements and Hilbert’s Grundlagen, see Hartshorne (2000).

  63. For an account of the heated exegetical debates on Book II of the Elements, see Corry (2013).

  64. Elements, Book V, def. 5.

  65. Cf. Freudenthal (1957, pp. 125–126).

  66. For Archimedes’ statement of this principle and its use by Euclid, see Heath (1956, vol. 3, pp. 15–16).

  67. Elements, Book VI, def. 4.

  68. Elements, Book VI, prop. 2.

  69. Hilbert is referring here to the Archimedean axiom. In this lecture course Hilbert gives three different versions of the Archimedean axiom, not all equivalent to each other. For details see Hilbert (1898/1899b, pp. 377–378).

  70. “Die Beweise dieser Sätze bei Euklid sind in dem Falle durchaus streng, wo \(AC\) und \(BC\) beide durch wiederholtes Abtragen einer und derselben Strecke entstanden sind. Nun aber beruft sich Euklid auf allgemeine Grössenbeziehungen, indem er die obige Proportion als eine Zahlengleichung auffasst, und schliesst so, dass der Satz bei beliebiger Lage von \(A\) und \(A'\) gültig bleibt. Hiergegen ist einzuwenden: (1) dass man eine Proportion zwischen Strecken stets als eine Zahlenrelation auffassen darf, ist ein neues Axiom (welches wir unter V besprechen werden). (2) Selbst wenn man dies neue Axiom eingeführt hat, muss man ausdrücklich beweisen, daß die dadurch neu eingeführte Zahlen (cf. später) denselben Rechnungsgesetzen folgen wie die bereits bekannten”.

  71. There is an evident connection between the objections that Hilbert raises here to the Euclidean theory of proportions and Dedekind’s analysis of continuity and irrational numbers. On the one hand, in his paper Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) Dedekind organized his presentation around the comparison of the property of continuity of the straight line with the idea of the continuum of numbers as manifest in the ordered set of the real numbers. More precisely, by following up “arithmetically all phenomena in the straight line” (Dedekind 1872, p. 770), he arrives at a purely arithmetical construction of the real numbers system as corresponding to the set of all cuts of rational numbers. And Dedekind accomplished this aim by showing that the (new) irrational numbers—defined in terms of cuts–satisfy all the properties of the old (rational) numbers (save continuity or completeness).

    On the other hand, Dedekind argued explicitly that the (full) continuity of space was not a necessary condition in the logical structure of Euclidean geometry. For example, in the preface to the first edition of his book Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), Dedekind suggested that in a system of coordinates formed by algebraic numbers all Euclidean constructions could be carried out, and all Euclidean theorems would remain valid (Dedekind 1888, p. 793).

    On Dedekind’s reflections on continuity and geometry see Ferreirós (2007, pp. 131–135) and Corry (2004a, pp. 37–40). For the influence of Dedekind’s ideas on Hilbert’s early views on the foundations, see Ferreirós (2009), Corry (2004a) and Sieg (2009).

    I’m indebted to a referee for bringing this point to my attention.

  72. “Dieser Satz ist in dem Spezialfall, wo man weiss, dass die Längen der Abschnitte auf einem der Halbstrahlen kommensurabel sind, mit Hilfe des zweiten Kongruenzsatzes beweisbar; im allgemeinen Falle ist jedoch dazu die Anwendung der Stetigkeit erforderlich. Diese Benutzung der Stetigkeit tritt hier als eine der bisherigen Betrachtung ganz fremde Schlussweise auf, und zwar erscheint das noch besonders deshalb unbefriedigend, weil jener Proportionssatz u.a. auch zum Beweise einiger Schnittpunktssätze angewandt wird, die ihrem Inhalte nach von den Gesetzen der Stetigkeit unabhängig zu sein scheinen”.

  73. For the notion of content which is operative in Hilbert’s reflections on the purity of methods, see Arana and Mancosu (2012).

  74. “Die älteste Anwendung ist aber, wenn auch nicht mit vollem Bewusstsein, in der elementaren Geometrie von Euklid gemacht worden (...) Der Gebrauch, den Euklid von der Irrationalzahl macht, besteht in der Begründung der Proportionlehre, d.h. wesentlich des Satzes: Wenn in einem Dreieck eine Parallele zur Grundlinie gezogen ist, so sind die betr. Abschnitte der beiden Seiten zu einendar proportional”.

  75. Cf. Rowe (2000, p. 69).

  76. Although formal definitions of fields can already be found in H. Weber’s Lehrbuch der Algebra (1896), the idea of a field as an autonomous, mathematically meaningful concept is due to Steinitz (1910). For details see (Corry 2004b). I would like to thank one of the referees for this remark.

  77. For a technical analysis of Hilbert’s axiomatization and the notion of a complete ordered field, see Ehrlich (1997).

  78. Hilbert (1971, p. 46).

  79. Approximately one year before the publication of the Festschrift, Schur (1898) had also proved Pascal’s theorem without using the Archimedean axiom, but assuming instead all planar and spatial axioms of incidence, order and congruence. For the relevance of this result for Hilbert’s axiomatic investigation, see Toepell (1985).

  80. Cf. Hilbert (1899, §13).

  81. Hilbert (1971, p. 51).

  82. On Descartes’ interpretation of the algebraic operations of line segments, see Mancosu (1996) and Bos (2001).

  83. As Baldwin (2014) has observed, Descartes and Hilbert would also agree that the “intuition” behind the geometrical definition of the product of two line segments is essentially different from the arithmetical definition of the product of two numbers as “repeated addition”. The multiplication by another field element is based on similarity, and implies the existence of multiplicative inverses. However, the (inductive) definition of the multiplication by a natural number as iterated addition does not reflect this essential aspect of multiplication as similarity: many elements have no multiplicative inverses.

  84. In a semi-field there is no requirement of an inverse element for addition. For details see Baldwin (2014).

  85. Hilbert (1971, p. 55).

  86. Hilbert (1971, p. 55).

  87. Theorem 41 in Hilbert (1971, p. 55).

  88. Theorem 42 in Hilbert (1971, pp. 56–57).

  89. Cf. Hartshorne (2000, p. 187).

  90. Also quoted in Hallett and Majer (2004, p. 430).

  91. It should be noted that Hilbert’s original construction of a segment arithmetic opened an array of very fruitful investigations. For instance, some years later Hessenberg (1905b) showed how to construct a calculus of geometrical points similar to Hilbert’s segment arithmetic, thus obtaining a simplification of his internal arithmetization of geometry. Moreover, Hilbert’s theory of proportions, which seemed rather “obscure and complicated from a contemporary point of view” (Freudenthal 1957, p. 1957), was notably simplified by Bernays (1999). For a complete survey of the main results connected to Hilbert’s geometrical investigations, see Karzel and Kroll (1988) and Pambuccian (2013).

  92. This conclusion can be particularly appreciated in several examples analyzed by Hallett (2008) and Arana and Mancosu (2012).

  93. Cf. Blumenthal (1922).

  94. Also in his Paris conference, Hilbert pointed out that another striking analogy between the geometrical and the arithmetical thinking had been exhibited by Minkowski in his book Geometrie der Zahlen (1986). Hilbert’s interest on Minkowski’s book has been analyzed by Smadja (2012) .

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Acknowledgments

I want to express my gratitude to John Baldwin, Abel Lassalle Casanave, Dirk Schlimm, Gerardo Vildostegui, and especially to Paolo Mancosu, for their insightful comments and helpful suggestions to previous versions of this paper. I would also like to thank the referees for their valuable criticism. This work was supported by a grant of the National Scientific and Technical Research Council (CONICET, Argentina).

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  1. National Scientific and Technical Research Council (CONICET), Santa Fe, Argentina

    Eduardo N. Giovannini

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  1. Eduardo N. Giovannini
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Giovannini, E.N. Bridging the gap between analytic and synthetic geometry: Hilbert’s axiomatic approach. Synthese 193, 31–70 (2016). https://doi.org/10.1007/s11229-015-0743-z

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