1 «L'idée d'ordre», «l'idée de systéme», etc., ce typede sujets donnerait à présumer que le travail philosophique consiste à définir des concepts isolés: la philosophie françcaise traditionnelle est plus proche qu'on ne pense de l'analyse linguistique. À cette tendance nous opposerons le jugement de Popper qui estimait qu'en dehors des mathématiques le souci des définitions est futile et signe d'essentialisme.

2 Cf. Boursin, et Caussat, , L'autopsie du hasard, Bordas, 1970Google Scholar. Contrairement à ce que suggérerait le titre, les auteurs ne réputent pas désuète la problématique du hasard: ils sont convaincus d'examiner un vivant, non pas un cadavre.

3 Dans la plupart des cas de ce genre, on serait fort en peine d'indiquer un ensemble fondamental de résultats possibles. Dans des situations oú nous parlons de hasard parce que nous avons l'impression de la rareté, le théorie nous révéle que les probabilités sont plus fortes que nous ne croyons, etc. Cf. le probléme des rencontres dans Feller, , Introduction to Probability Theory and Its Applications, 1, 3é éd. 1968, p. 100Google Scholar.

4 Elle est trés clairement formulée par Laplace, Essaiphilosophique sur les probabilités, I, p. 55sq., dans la section « Des lois de la probabilité qui resultent de la multiplication indéfinie des événements ».

5 “The Beginnings of a Probability Calculus”, dans Pearson, E.S. and Kendall, M.G. ed. Studies in the History of Statistics and Probability, I, Ch. Griffin, Londres, 1970, p. 19–34Google Scholar.

6 Tel est le sous-titre de la section sur les probabilites dans le tome 1 de la Grande Encyclopédie Française (1937). Á l'âge classique on disait couramment: Doctrine of Chances, science des hasards.

7 Ceux-ci se rapportent à des personnes, non pas à des choses.

8 Saint-Sernin, B., Les Mathématiques de la Décision, Paris, 1973, p. 36Google Scholar. De Finetti repousse comme absurde l'idée qu'il y aurait deux hasards, l'un qui obéirait aux régies des phénoménes aléatoires, l'autre qui serait tellement plus chanceux, accidentel, et irrégulier, qu'il échapperait aux lois du hasard. Cf. Theory of Probability, 2, p. 63.

9 II faudrait chercher si cette opposition n'a pas une origine aristotélicienne.

10 Cette conception classique (irrégularité des cas individuels, régularité sur un grand nombre de cas) est admise par D. Bohm comme caractéristique des phénomenes aléatoires (Causality and Chance in Modern Physics, 1957). D'aprés Bohm, le hasard est inéliminable si la nature est qualitativement infinie. Un contexte d'intéret, i.e. un systéme causal, étant toujours limité, laisse forcément des processus à l'extérieur de son domaine. Ces processus provoquent des perturbations à l'intérieur du systéme causal: c'est sous cette forme que sa manifeste le hasard. Sil'on agrandit le contexte d'intérèt, on réduit certaines des perturbations par une analyse causale plus englobante, mais d'autres perturbations apparaissent, qui proviennent de l'extérieur du contexte agrandi. Ainsi, au lieu que les causes soient régulières ou irréguliéres en soi comme par une vertu propre incompréhensible, elles le sont relativement à un champ. (Bohm rend dynamique l'opposition laplacienne.)

11 Cité par Borel, E., Le Hasard, 1948Google Scholar. Sur cet argument des preuves financiéres, H.Jeffreys, Theory, of Probability: « L'existence est incertaine, mais rien n'est plus certain que la solvability des compagnies d'assurances; raisonnement illusoire, car une compagnie d'assurances, à chaque instant, n'a sur ses livres qu'un nombre fini de gens; ses taux sont basés sur des statistiques de mortalité toutes constitutés à partir d'ensembles finis de cas » (3éme éd., ictfi. p. 375).

12 'Loc. cit. p. 181.

13 Celaest expliqué magnifiquement, avec textes à l'appui, par Hacking, I., The Emergence of Probability, 1975Google Scholar.

14 La thése qu'un énoncé de probabilité exprime notre ignorance partielle est désuéte. Elle tend à devenir rare, même sous des plumes françaises. Quiconque connait la loi de probabilité d'un phenoméne (e.g. du nombre d'essais indispensables pour extraire deux chaussettes rouges d'un tiroir qui contient sept chaussettes rouges et quatre marron), connaît quelque chose, non pas rien. Á l'époque de Laplace on opposait principalement loi probabiliste et loi déterministe: il semblait encore étrange que la nature se puisse décrire en termes d'épreuves qui, si on les interpréte d'une maniere réaliste, impliquent que les conditions n'y déterminent pas les résultats (cf. note 28 ci-dessous). Le terme de comparaison a changé. De nos jours on classe d'un côté les situations oú la loi de probabilité est connue, et de l'autre les situations oú elle ne Test pas. Quand nous ignorons la distribution de « Face » avec telle piece de monnaie, notre genre d'incertitude differe de celle oú nous sommes quand nous savons que cette distribution est o, 6. Au lieu d'opposer hasard et determinisme, nos contemporains préferent distinguer entre l'incertitude qui tient au hasard dont nous connaissons la loi, et l'incertitude qui provient de notre ignorance touchant la loi du hasard.

15 Cf. De Finetti, loc. cit., 1, p. 24.

16 « Fréquence relative » est un observable; «limite » est un concept mathématique qui implique l'idée d'infini, laquelle n'a pas de sens concret (l'infini ne se rencontre nulle part réalisé dans la nature; nous n'avons jamais affaire à une suite infinie d'épreuves aléatoires). « Limite de fréquences relatives » ne peut done pas avoir de sens concret ou empirique.

17 Halmos, P., Measure Theory, 1956, p. 191.Google Scholar

18 Le pluriel serait meilleur, car le propensionisme a des variantes.

19 C'est par cette voie que l'indéterminisme épistémologique est rendu compatible avec le déterminisme métaphysique. Cf. le bel art. de , Watkins in , Schilpp ed. The Philosophy of Karl Popper, 1975Google Scholar.

20 Cf. “Objective Single-Case Probabilities” dans Logic, Methodology, and Philosophy of Science, 4, North-Holland 1973Google Scholar.

21 Cramer, H., Mathematical Methods of Statistics, 1945, p. 150–1Google Scholar.

22 Soit une épreuve aléatoire qui consiste à lancer une piéce de monnaie non-biaisée. Appelons l'événement« Face » un succés S. Repetons n fois l'épreuve et appelons S _n le nombre des succés en n épreuves répétées. Alors (Sⁿln) i.e. le rapport du nombre des succés au nombre des épreuves, est la fréquence relative des succes en n épreuves.

23 Plus précisément ces axiomes énoncent les conditions que doit remplir un systéme de trois entités pour être un espace de probabilité. Ils définissent implicitement la notion de probabilité. Leur rôle est d'éclaircissement et de mise en lumiére des hypothéses indispensables. Dans la pratique on en tire des exercices d'application pour les débutants. Ensuite on n'en fait plus guére mention car on s'intéresse essentiellement aux distributions de probabilité. On se sert done de préférence d'un instrument conceptuel plus souple, à savoir des variables aléatoires.

24 Par exemple dans le modéle abstrait, l'indépendance a une définition précise (e.g. la définition symétrique). Quelle en est l'interprétation concrete ? Des événements A et B sont-ils indépendants quand il n'y a pas entre eux de relation causale, ou bien quand notre information touchant A n'affecte pas la probabilité de B, etc. ?

25 Par exemple l'ensemble fondamental correspondant à une épreuve dé jet d'un dé est constitué par les six faces apparentes possibles du dé. Soit E l'événement: « Obtenir un nombre pair de points ». E est représenté par l'ensemble {2, 4,6}, et il est réalisé quand on obtient deux points, quatre points, ou six points.

26 Cf. W. Feller, loc. cit. chap. 3.

27 Cf. J. Venn: « Ce qui est fondamental… e'est l'idee d'une série qui combine 1'irrégularité individuelle et la regularité au niveau de l'ensemble ». The Logic of Chance, p. 4.

28 Cf. Kendall, M., loc. cit. p. 32Google Scholar: «II afalluplusieurs siécles pourque l'humanité s'habitue à un monde dans lequel certains événements seraient sans cause, ou du moins dans lequel de larges domaines d'événements seraient déterminés par une causalité tellement èloignée, qu'un modéle non-causal pourrait les représenter fidélement… Peu de perspectives sont aussi sombres que l'avenir d'un monde qui ne serait soumis qu'à une loi mécanique et à un hasard aveugle ».

29 Sur ce sujet, Borel et Poincaré n'ont ajouté que des métaphores. Voici, à titre d'information historique, un fragment de Laplace: « Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière la marche des événements, on voit naitre à mesure qu'ils se multiplient une régularité frappante qui semble tenir à un dessein, et que Ton a consideree comme une preuve de la Providence. Concevons … une urne qui renferme des boules blanches et des boules noires, et supposons qu'à chaque fois qu'on en tire une boule, on la remette dans l'urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre des boules noires extraites, sera le plus souvent irregulier dans les premiers tirages; mais les causes variables de cette irrégularité produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche irreguliére des événements, et qui, se détruisant mutuellement dans l'ensemble d'un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans l'urne, ou les possibilites respectives d'en extraire une boule blanche ou une boule noire à chaque tirage ».Essai, I, p. 56.

30 Gnedenko, , Theory of Probability, trad. angl. sur la 4éme éd., 1968Google Scholar.

31 Cramér, H., loc. cit. p. 141Google Scholar.

32 Parzen, E., Modern Probability Theory, Wiley 1960, p. 2Google Scholar.

33 Cf. Fine, T., Theories of Probability, Academic Press 1973Google Scholar, que nous avons abondamment utilisé.

34 On rencontre des formulations douteuses sous la plume de mathématiciens qui se croient obligés d'être peu scrupuleux lorsqu'ils rédigent un ouvrage de vulgarisation. On lit dans Probabilité et Certitude de Borel: « La loi des grands nombres consiste à affirmer que quand n augmente indéfiniment, la fréquence fⁿ, (entendons: notre X) tend vers une limite qui est égale à la probabilité p » (p. 31). On doit conjecturer que Borel préférait l'inexactitude au pédantisme, à moins qu'il ait eu en vue la loi forte (Cantelli-Borel) qui affirme que la probabilité que f_n s'écarte dep de p moins de ε est I. (On dit que f_n – p converge vers zéro presque sûrement.)

35 Cf. Maistrov, L., Probability Theory, A Historical Sketch, 1974Google Scholar. — Maintenant on prouve (I) i.e.:

en utilisant la majoration fournie par l'inégalité de Chebyschev (1867):

Or X, moyenne de n variables de Bernouilli, a pour variance σ² = pqln), qui tend vers o quand n est trés grand. Cette inégalité permet de calculer n pour une valeur donnée de k.

36 D'aprés Maistrov (loc. cit. p. 81), De Moivre n'a considéré que le cas p = q = ½.

37 C'est ce qui explique Pimportance de la loi normale.—L'écart-type de S _n est ς/ alors que l'écart-type de est ς, qui tend vers 0 quand n est grand. La moyenne X de n variables X _t a une tendance à varier qui décrôit à mesure que n croît.

38 Recherches sur la probabilité desjugements, 1837: « Les choses de toute nature sont soumises à une loi universelle, qu'on peut appeler la loi des grands nombres … Cette loi énonce que les ratios numeriques dérivés de l'observation d'une trés grande quantité d'événements similaires restent presque constants, pourvu que ces événements soient gouvernés partiellement par des facteurs constants, et partiellement par des facteurs variables dont les variations sont irréguliéres et ne causent pas de changement systématique dans un sens quelconque … De ces exemples de toutes natures il résulte que la loi universelle des grands nombres est déjà pour nous un fait général et incontestable résultant d'expériences qui ne se démentent jamais».

39 Cf. Hodges, and Lehmann, , Basic Concepts of Probability and Statistics, Holden-Day 1970, p. 210: « La stabilité en long terme est un fait empirique. La loi des grands nombres affirme seulement que notre modéle de la probabilité est assez réaliste pour s'accorder avec ce fait».Google Scholar

40 Une personne qui n'a jamais eu de cours de probabilités croit qu'aprés une longue séquence de « Face », la chance tourne et la probabilité de « Pile » augmente (“Monte Carlo fallacy”). Du point de vue fréquentiste, ou la probabilité ne dépend que des conditions objectives des épreuves, cette croyance est fausse. D'un point de vue personaliste, ce qui est fautif n'est pas le refus de considérer les épreuves comme indépendantes, c'est de considérer qu'elles sont dependantes et d'invoquer la loi des grands nombres (péché d'incohérence). De plus la personne qui a cette croyance fait fonds sur une vague idée qu'a la longue les pourcentages des « Pile » et des « Face » doivent s'équilibrer, et elle imagine qu'on a le droit de soustraire, de l'infinité des épreuves, le nombre des « Face » en excés obtenus. Or on ne raisonne pas sur I'infini comme sur le flni. « II n'y a pas de nombre de coups fini qu'on serait en principe capable de spécifier, dans les bornes duquel l'égalité se rétablirait » (Ayer, A., “Chance”, Scient. Amer. 10 65Google Scholar, repr. in Readings of the Scient. Amer.: Mathematics in the Modern World, Freeman, 1968)

41 Theory of Probability, 2, p. 40.

42 La n-iéme somme partielle s _n est égale à np ²q ², qui n'est pas borné, mais tend vers I'infini avec n.

43 Cf. E. Borel, Le Hasard, §48, p. 231, Probabilité et Certitude, §54 p. 118 sq. — Pour des variantes littéraires, voir peut-être « Pierre Ménard auteur du Quichotte» dans Borges, J.L., Fictions (trad. fr. , Gallimard), et Swift, J., Voyages de Gulliver, chap, v (L'Academie de Lagado)Google Scholar.

44 Bohm, D., op. cit. p. 24Google Scholar: « Si Ton se donne assez de temps, toutes les combinaisons de choses sont possibles, voire inévitables ». C'est ce que l'auteur illustre par l'hypothése d'Oparine sur l'apparition de la vie sur la Terre.

45 Cf. Kac, Mark, “Probability” (1964)Google Scholar, dans Mathematics in the Modern World, déjà cité, p. 165–74. Le point de vue de la mécanique contredit celui de la thermodynamique (loi d'entropie decroissante). Cf. l'assertion de D. Bohm qu'il n'y a pas de loi scientifique qui vaille de toute la réalité.

46 Bien entendu se demander ce qu'est la probabilité est aussi absurde que de se demander ce qu'est le point en géométrie E.g. les axiomes de Kolmogorov définissent implicitement un espace de probabilités, i.e. une structure formée d'un ensemble S, d'un ensemble de parties de S (evénements probabilisables), et d'une fonction d'ensembles P.

47 Analysant par un processus de Poisson (dans l'espace) la dispersion des impacts de bombes volantes au sud de Londres à la fin de la WW II, Feller note que les gens sont enclins à croire que les points de chute sont groupés: « Au regard inexercé, le hasard (randomness) apparaît soit comme régularité soit comme tendance à ['accumulation » (p. 161). Dans un processus de Poisson, le hasard se manifeste par l'indépendance des incidents: en l'occurrence la probability d'un impact dans une région est indépendante de ce qui concerne les impacts extérieurs à la région.

48 On aurait l'impression que Lord Keynes, dans le Treatise, a été sévére à l'égard de Cournot. A lire certains chapitres de I'Essai sur les Fondements de nos connaissances on se rend compte que le mépris du grand Anglais était Justiné!

49 Cf. Kendall, et Hacking, déjà cites. — Saint-Sernin a un excellent chap, sur le certain et l'incertain.

50 L. Savage, The Foundations of Statistics: « Décider quoi affirmer est une instance de décider comment agir», etc. Cf. aussi I. Levi, Gambling with Truth, 1967.

51 E.g. en théorie des tests on cherche non pas si une hypothése statistique est vraie, mais si on doit l'accepter de préférence à une autre, etc.

52 La conception propensioniste est représentée par Hacking (Logic of Statistical Inference 1965) et D.H. Mellor (The Matter of Chance 1971). Elle n'a pas essentiellement pour fin d'assurer une « valeur objective » aux assignations de probabilités, en dotant le hasard de réalité, sous forme de disposition des choses. (Cela serait encore du justificationisme.) Quand on considere la probabilité comme une propriété de choses, on l!eve le principal obstacle propre à empêcher les théories probabilitaires ou statistiques de recevoir une portée ontologique. Le propensionisme se propose de permettre à des théories physiques indéterministes d'acquérir un caractére objectif.

53 Suivant les personalistes, la théorie des probabilités est la réponse de l'homme aux situations d'incertitude. La théorie des probabilités n'a pas à approfondir la nature ni l'origine de 1'incertitude: si elle est due à l'ignorance de lois déterministes, ou a 1'inexistence de pareilles lois, ou bien si elle tient à l'incapacité d'effectuer des calculs trop longs, ou à l'impossibilité de mettre la main sur les informations pertinentes. Cf. Finetti, De, loc. cit., 1, p. 217sqGoogle Scholar.

54 La distinction entre incertitude propre à la randomness et incertitude touchant l'état de nature, rappelle la distinction de Knight entre risque (où les probabilités sont connues) et incertitude (où elle sont inconnues). Un personalisme strict nie que des probabilités nous soient inconnues.