Abstract
This article was found among the papers left by Prof. Laugwitz (May 5, 1932–April 17, 2000). The following abstract is extracted from a lecture he gave at the Fourth Austrain Symposion on the History of Mathematics (Neuhofen/Ybbs, November 10, 1995).
About 100 years ago, the Cantor-Veronese controversy found wide interest and lasted for more than 20 years. It is concerned with “actual infinity” in mathematics. Cantor, supported by Peano and others, believed to have shown the non-existence of infinitely small quantities, and therefore he fought against the infinitely large and small numbers in Veronese’s geometry, but also against the non-archimedean systems of Thomae, du Bois-Reymond, and Stolz. As a positive consequence of the controversy the distinction between Cantor’s transfinite arithmetic and the theory of ordered algebraic structures becomes clear.
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Bibliography
Cantor, Georg: „Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten Nr. 2”,Mathematische Annalen 17 (1880), 355–357. Also: Cantor 1932, 145–148.
Cantor, Georg. “Sui numeri transfiniti (Estratto di una lettera a G. Vivanti); Lettera a G. Peano”,Rivisa di matematicà 5 (1895), 104–108; 108–109.
Cantor, Georg:Abhandlungen mathematischen und philosphischen Inhalts, ed. Ernst Zermelo. Berlin 1932: reprint, Georg Olms, Hildesheim 1966.
Cantor, Georg:Briefe, ed. Herbert Meschkowski, Winfried Nilson. Springer, Berlin etc. 1991.
Cauchy, Augustin Louis:Résumé des leçouns sur le calcul infinitésimal, 1823 (=Œuvres (2) 4, 5–261).
Cauchy, Augustin Louis:Leçons sur le calcul différentiel, 1829 (=Œuvres (2) 4, 263–609).
Cohen, Hermann:Das Prinzip der Infinitesimal-Methode und seine Geschichte, Berlin 1883; Nachdruck mit Einleitung und Apparat von Peter Schulthess, G. Olms Verlag, Hildesheim 1984.
Contro, Walter S.: „Von Pasch zu Hilbert”,Archive for History of Exact Sciences 15 (1976), 283–295.
Conway, J.H.:On Numbers and Games. Academic Press, London 1976.
Dauben, Joseph Warren:Georg Cantor, His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Princeton, Princeton University Press N.J. 1979.
du Bois-Reymond, Paul: „Sur la grandeur relative des infinis des fonctions”,Annali di matematica 4 (1871), 338–353.
du Bois-Reymond, Paul: „Théorème général conernant la grandeur relative des infinis des fonctions et de leurs dérivées”,Journal für die reine und angewandte Mathematik 74 (1872), 294–304.
du Bois-Reymond, Paul: „Über asymptotische Werthe, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen”,Mathematische Annalen 18 (1875), 363–414, 574–576.
du Bois-Reymond, Paul: „Zweis Sätze über Grenzwerth von Functionen zweier Veränderlichen”,Mathematische Annlen 11 (1876), 145–148.
du Bois-Reymond, Paul: „Über die Paradoxen des Infinitärcalcüls”,Mathematische Annalen 11 (1877): 149–167.
du Bois-Reymond, Paul:Die allagemeine Functionentheorie, erster Theil, Metaphysik und Theorie der mathematischen Grundbegriffe Grösse, Grenze, Argument und Function, Laupp Tübingen 1882; reprint Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1968.
Eccarius, Wolfgang: „Georg Cantor und Kurd Lasswitz, Briefe zur Philosophie des Unendlichen”,NTM, Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin 22 (1985), 7–28.
Ehrlich, Philip (ed.):Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, Kluwer, Dordrecht 1994.
Elliot, G.A. and Ribenboim, Paolo: „Fields of generalized power series”,Archiv der Mathematik 54 (1990), 365–371.
Enriques, Federigo: „Nicht-Archimedische Geometrie”,Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften III AB1 (1907), 117–129.
Fisher, Gordon: „The infinite and infinitesimal quantities of du Bois-Reymond and their reception”,Archive for History of Exact Sciences 24 (1981), 101–163.
Fisher, Gordon: „Veronese's non-archimedean linear continuum”,Real Numbers, Generalizations of the Reals, and Theories of Continua, Edited by P. Ehrlich, Kluwer, Dordrecht 1994, 107–145.
Fuchs, L.:Partially ordered algebraic systems, Pergamon Press Oxford 1963.
Hahn, Hans: „Über die nichtarchimedischen Grössensysteme”,Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Wien, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse Abteilung IIa, 116 (1907), 601–655.
Hardy, Godfrey Harold:Orders of infinity. The ‘Infinitärcalcül’ of Paul du Bois-Reymond, Cambridge University Press 1910.
Hilbert, David:Grundlagen der Geometrie, Dritte Auflage, Teubner, Leipzig 1909.
Kennedy, Hubert C.:Life and works of Giuseppe Peano, D. Reidel Publ. Comp., Dordrecht 1980.
Kerry, Benno: „Über G. Cantors Mannigfaltigkeitsuntersuchungen”,Viertelijahresschrift für wissenschaftliche Philosophie 9 (1885), 191–232.
Killing, Wilhelm: „Bemerkungen über Veroneses transfinite Zahlen”,Index Lectionum in Academia Monasteriensi, Münster in Westfalen 1895.
Killing, Wilhelm: „Üeber transfinite Zahlen”,Mathematische Annalen 48 (1897) 425–432.
laugwitz, Detlef: „Eine nichtarchimedische Erweiterung angeordneter Körper”,Mathematische Nachrichten 37 (1968), 225–236.
Laugwitz, Detlef: „On Abraham Robinson's sequential lemma”,Preprint No. 167, Fachbereich Mathematik, Darmstadt 1974.
Laugwitz, Detlef: „Tullio Levi-Cività’s work on nonarchimedean structures”,Tullio Levi-Cività, Convegno Internazionale Celebrativo del Centenario della Nascità, Atti dei Convegni 8 (1975), Accademia Nazionale dei Lincei, Rome 297–312.
Laugwitz, Detlef: „Cauchy-Zahlen als Grundlage der Infinitesimalmathematik”,Mathematische Semesterberichte 38 (1991), 175–213.
Laugwitz, Detlef:Bernhard Riemann 1826–1866-Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik, Birkhäuser, Basel etc. 1996.
Laugwitz, Detlef: „Controversies about numbers and functions”,Proceedings of the Conference on History and Philosophy of Mathematics, Pennsylvania State University., April (1996) 26–29, Edited by H. Breger, E. Grosholz. Kluwer, Amsterdam 1998, 177–198.
Laugwitz, Detlef:Bernhard Riemann 1826–1866-Turning Points in the Conception of Mathematics, Birkhäuser, Boston etc. 1999. (Transl. by Abe Shenitzer of Laugwitz 1996)
Levi-Cività, Tullio „Sugli infiniti ed infinitesimi attuali quali elementi analitici”,Atti, Istituto Reale Veneto di Scienze, Lettere ed Arte, ser. 7 a, 4 (1892-1893), 1765–1815.
Levi-Cività, Tullio: „Sui numeri transfiniti”,Rendiconti, Accademia dei Lincei, ser. 5 a, 7 (1898, 10 sem.), 91–96, 113–121.
Lightstone, A.H., and Robinson, Abraham:Non-archimedean fields and asymptotic expansions, North Holland, Amsterdam 1975.
Meschkowski, Herbert: „Aus den Briefbüchern Georg Cantors”,Archive for History of Exact Sciences 2 (1965), 503–519.
Meschkowski, Herbert und Nilson, Winfried: See Cantor 1991.
Newton, Isaac: An Account of the Book entituled Commercium Epistolicum Collinii et aliorum, De Analysi promota, 1722. Facsimile reprint as an Appendix in: A. Rupert Hall, Philosophers at War. The quarrel between Newton and Leibniz. Cambridge University Press, 1980.
Ostrowski, Alexander: „Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper”,Mathematische Zeitschrift 39 (1935), 269–404.
Peano, Giuseppe: „Dimostrazione dell’impossibilità di segmenti infinitesimi costanti”,Rivista di matematica 2 (1892), 58–62.
Peiffer-Reuter, Renée: „L'infini relatif chez Veronese et Natorp”,La mathématique non standard, Edited by Hervé Barreau, Jacques Harthong. Editions du Centre National de la Recherche Scientifique, Paris 1989, 117–142.
Robinson, Abraham: „Function theory on some nonarchimedean fields”,Papers in the foundations of mathematics, supplement to vol. 80 of the American Mathematical Monthly (1973), 87–109.
Schmieden, Curt und Laugwitz, Detlef: „Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung”,Mathematische Zeitschrift 69 (1958), 1–39.
Schönflies, Arthur: „Transfinite Zahlen, das Axiom des Archimedes und die projective Geometrie”,Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 5 (1896), 75–81.
Schönflies, Arthur: „Sur les nombres transfinis de M. Veronese”,Rendiconti Lincei (5) 6 (1987), 362–368.
Schönflies, Arthur: „Mengenlehre”,Encyklopädie der mathematischen Wissenschafte, I A5, 1898.
Schönflies, Arthur: „Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten”, 1. Teil,Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 8, 2 (1989), 1–250; 2. Teil,Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 2.-Ergänzungsband, Teubner, Leipzig 1908.
Schönflies, Arthur: „Über die Möglichkeit einer projektiven Geometrie bei transfiniter (nicht archimedischer) Maßbestimmung”,Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 15 (1906), 26–41.
Stolz, Otto: „Zur Geometrie der Alten, insbesondere über ein Axiom des Archimedes”,Mathematische Annalen 22 (1883), 504–519.
Stolz, Otto:Vorlesungen über allgemeine Arithmetik. Erster Theil: Allgemeines und Arithmetik der reellen Zahlen. Teubner, Leipzig 1885, 2nd extended edition (with J.A. Gmeiner):Theoretische Arithmetik, 1900.
Stolz, Otto: „Über zwei Arten von unendlich kleinen und unendlich großen Größen”,Mathematische Annalen 31 (1888), 601–604.
Stolz, Otto: „Über das Axiom des Archimedes”,Mathematische Annalen 39 (1891), 107–112.
Thomae, Johannes:Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafuntionen einer Veränderlichen. Zweite, vermehrte Auflage, L. Nebert, Halle 1873.
Veronese, Giuseppe: „Il continuo rettilineo e l’assioma V d’Archimede”,Accademia dei Lincei, Roma, Memorie (4) 4 (1890), 603–624.
Veronese, Giuseppe:Fondamenti di geometria a più dimensione e a più spezie di unità rettilinee esposti in forma elementare, Tipografia del seminario, Padova 1891.
Veronese, Giuseppe: „Osservazioni sopra una dimostrazione contro il segmento infinitesimo attuale”,Atti del Circolo matematico di Palermo 6 (1892), 73–76.
Veronese, Giuseppe:Grundzüge der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten gradliniger Einheiten in elementarer Form entwickelt, trans. Adolf Schepp. Teubner: Leipzig 1894.
Veronese, Giuseppe: „Intorno ad alcune osservazioni sui segmenti infiniti e infinitesimi attuali”,Mathematische Annalen 47 (1896), 423–432.
Veronese, Giuseppe: „Segmenti e numeri transfiniti”,Rendiconti Lincei (5) 7 (1898), 79–87.
Veronese, Giuseppe: „On non-archimedean geometry”, (Translated from the Italian original in Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici, Roma 1908.) In: Ehrlich 1994, 169–187.
Vivanti, Giulio: „Sull’infinitesimo attuale”,Rivista di matematica 1 (1891), 135–153 248–255.
Vivanti, Giulio: Review of Peano 1892,Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 25 (1892), 68–69.
Weyl, Hermann: „David Hilbert and his mathematical work”,Bulletin of the American Mathematical Society 50 (1944), 612–654.
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Laugwitz, D. Debates about infinity in mathematics around 1890: The Cantor-Veronese controversy, its origins and its outcome. NTM N.S. 10, 102–126 (2002). https://doi.org/10.1007/BF03033104
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