COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS

Mark Colyvan, An Introduction to the Philosophy of Mathematics, Cambridge, Cambridge University Press, 2012, 188 pp.

Comencemos por decir que Una introducción a la filosofía de la matemática contiene exactamente lo que su título sugiere, es decir, una mirada introductoria a una amplia serie de temas elegidos por el autor, todos ellos relacionados con la filosofía de la matemática. Bien podríamos decir que el libro es un catálogo explicado de algunos de los tópicos que se estudian en esta rama del conocimiento.
Cada capítulo del libro trata de un tema diferente, e inclusive puede ser leído independientemente de los otros; por otro lado, la diversidad de los temas tratados junto con la brevedad del libro, hacen inevitable que la exposición sea un tanto rápida y superficial, aunque el lector interesado puede profundizar en cualquiera de los temas tratados gracias a la amplia y actualizada bibliografía que Mark Colyvan ofrece al final de cada capítulo. Para los docentes, además, es interesante mencionar que cada capítulo contiene una lista de preguntas o planteos, algunos de las cuales indagan en los temas más profundamente que el propio texto, y que bien podrían ser debatidos en un eventual seminario.
Expliquemos brevemente el contenido del libro, capítulo por capítulo. El primero comienza con un resumen de lo que Colyvan llama "los grandes ismos" de principios del siglo xx: el intuicionismo, el logicismo y el formalismo. Estas escuelas nacieron a raíz de la crisis desencadenada por el descubrimiento de la paradoja de Russell y fueron el inicio de la moderna filosofía de la matemática.
Posteriormente, en ese mismo capítulo, el autor discute dos problemas planteados por Paul Benacerraf en 1965 y 1973 respectivamente y que, según Colyvan, marcan la agenda de la actual filosofía de la matemática. El primero de estos problemas es el de la indeterminación que surge al intentar reducir la matemática a la teoría de conjuntos. Por ejemplo, si definimos, siguiendo a John von Neumann, a los números naturales como 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2},… entonces la afirmación 1 ∈ 3 es verdadera; pero si los definimos de la manera en que lo hace Ernst Zermelo, 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {1}, 3 = {2},… entonces la afirmación 1 ∈ 3 es falsa. El segundo problema es el desafío de hallar una filosofía que permita una semántica uniforme para el discurso matemático y nomatemático, y que a la vez provea una epistemología plausible para la matemática.
El segundo capítulo se centra en tres teoremas de la lógica matemática que, aunque de interés para la filosofía, son teoremas específicamente matemáticos. En este aspecto, es interesante mencionar que el autor siempre se mantiene cercano a la reflexión sobre la práctica matemática concreta. El interés filosófico en este caso radica en que los tres teoremas establecen diferentes tipos de limitaciones para las teorías de primer orden. El primero es el teorema de Löwenheim-Skolem que dice, esencialmente, que si un sistema de axiomas de primer orden admite un modelo infinito entonces el sistema no puede caracterizar unívocamente el cardinal del universo de ese modelo; en particular, por ejemplo, todo sistema de axiomas de primer orden para los números reales admite un modelo numerable (la no numerabilidad de los reales no puede ser "forzada" por axiomas de primer orden). Los otros dos teoremas mencionados en este capítulo son los teoremas de incompletitud de Gödel; el primero establece que para todo sistema consistente de axiomas de primer orden que permita demostrar una parte sustancial de la aritmética existen enunciados indecidibles; el segundo dice que la consistencia de un sistema de axiomas como el antes mencionado no puede ser demostrada por métodos representables en la propia teoría.
En los dos capítulos siguientes, tercero y cuarto, Colyvan discute las posturas modernas sobre el realismo y antirrealismo en matemática. En el tercero desarrolla el tema del realismo, en especial el platonismo pleno de Mark Balaguer y el estructuralismo de Michael Resnik y Stewart Shapiro, con sus respectivas virtudes y objeciones; este capítulo también contiene una discusión del argumento de indispensabilidad de Quine. En el siguiente, Colyvan habla de las posturas antirrealistas, en especial del ficcionalismo de Hartry Field y del nominalismo de Jody Azzouni, comentando también sus virtudes y defectos.
El capítulo quinto está centrado en el tema de la explicación matemática; ya sea en referencia a las explicaciones extramatemáticas, es decir, las explicaciones matemáticas de fenómenos naturales; así como a las explicaciones intramatemáticas. En este segundo aspecto Colyvan intenta hacer una distinción, que no logra tener mucha claridad, entre qué significa que la demostración de un teorema sea "más explicativa" o "menos explicativa". El capítulo siguiente, el sexto, se vincula con éste en su temática ya que habla, según la expresión del físico Eugene Wigner, de la "inexplicable eficacia" de la matemática para predecir fenómenos físicos. En particular, el autor hace foco en el hecho de que ciertas teorías físicas no fueron sugeridas por observaciones empíricas sino por formalismos matemáticos.
El capítulo séptimo trata de la paraconsistencia, es decir, de la posibilidad de admitir teorías matemáticas en las que haya un cierto grado de inconsistencia. En ese sentido Colyvan señala dos ejemplos específicos, el primero es la teoría intuitiva de conjuntos de Georg Cantor y Gottlob Frege que, a pesar de que se sabe que es inconsistente, es usada hoy en día en el trabajo diario de todos los matemáticos, con la única excepción de los especialistas en teoría de conjuntos. El segundo ejemplo es el cálculo formulado por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz, teoría que durante más de un siglo se basó en el oscuro concepto de infinitésimo, noción de consistencia dudosa que fue finalmente desplazada por la idea de límite. El autor plantea en este capítulo la tesis de que la lógica con la que trabajan realmente los matemáticos no es la lógica aristotélica clásica sino una lógica paraconsistente, que él plantea como una lógica ternaria que admite la posibilidad de cierto grado de inconsistencia.
Pueden hacerse algunas objeciones a esta postura del autor. Por una parte, aunque es cierto que en su práctica diaria la mayoría de los matemáticos utiliza la teoría intuitiva de conjuntos, también es cierto que esos matemáticos solamente hacen uso de aquellas partes de la teoría de las que se sabe que no son inconsistentes; es decir, la inconsistencia de la teoría intuitiva de conjuntos es, por así decirlo, cuidadosamente evitada en la práctica matemática. Por otra parte, la lógica paraconsistente propuesta por el autor no es la única posible, por lo que subsiste la cuestión de cuál es la lógica paraconsistente que realmente debería aceptarse, si es que acaso debe aceptarse alguna.
El octavo, y penúltimo, capítulo trata de la notación matemática y de cómo ésta no es meramente una colección de nombres y símbolos, sino que juega un papel activo en el desarrollo de nuevos conceptos. El capítulo final, a modo de epílogo, es un catálogo de teoremas matemáticos, algunos famosos y otros sorprendentes, clasificados en dos grupos: los favoritos de los filósofos y los clásicos no tan apreciados. En esta lista, entre otros, vuelven a aparecer el teorema de Löwenheim- Skolem y los teoremas de incompletitud de Gödel, la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, y el teorema de Banach-Tarski, que dice que es posible cortar una esfera maciza en cinco partes que, al ser reagrupadas convenientemente y sin deformarlas ni agrandarlas, permiten armar dos esferas macizas cada una de ellas exactamente igual a la esfera original; ciertamente éste último es un teorema muy apto para desencadenar reflexiones filosóficas acerca del significado de la matemática.

Gustavo Piñeiro
Universidad de Buenos Aires