Abstract

Grassmann n’est pas le premier à créer un nouveau calcul :Möbius, Hamilton, Bellavitis, Cauchy, et bien d’autres l’ont précédé dans cette voie qui témoigne de toute l’importance des mutations subies par l’algèbre et de l’évolution des rapports complexes entretenus entre ce domaine et son « exacte contrepartie » la Géométrie euclidienne : à l’heure où s’élaborent les premières « structures » et les « morphismes », la géométrie euclidienne perd son statut de « critère de vérité » et d’« existence » des entités algébriques, notamment dénoncé par un prétendu « retour à la rigueur ».L’introduction « philosophique », décriée par ses contemporains ne voyant là que « fausse philosophie », ne pouvait être impunément écartée : la « seconde » Ausdehnungslehre de 1862 (A2) — pourtant proposée telle une nouvelle version rédigée conformément au style « souhaité » par son époque — ne conviendra pas plus à ses trop rares lecteurs. Tout lecteur averti reconnaît que A2ne peut être parfaitement entendu sans les nécessaires éclaircissements de A1.Trois points nous paraissent aujourd’hui significatifs :– L’Ausdehnungslehre est une science formelle qui trouve sa place dans le système mathématique de Grassmann. Ce système « améliore » celui déjà classique (notamment connu du père de Grassmann) qui résulte du croisement entre les deux contrastes fluants « continu/discret » et « distinct/égal ».– L’Ausdehnungslehre admet la géométrie comme première « application » remarquable. La géométrie [Geometrie] (ou encore la théorie de l’espace [Raumlehre]) est devenue une science réelle (l’espace préexiste), elle ne peut donc légitimement figurer au sein de la mathématique pure.– Une partie précède la séparation en les quatre branches précédentes de la mathématique pure (ou théorie des formes). La théorie générale des formes présente leurs lois communes, soit cette série de vérités qui, de la même manière se rapportent à toutes les branches des mathématiques et qui ne supposent donc que les concepts généraux d égalité, de diversité, de liaison et de séparation.