On the semantics of mathematical statements/sobre a semântica dos enunciados matemáticos

Manuscrito 30 (2):317-340 (2007)

Abstract
Husserl developed – independently of Frege – a semantics of sense and reference. There are, however, some important differences, specially with respect to the references of statements. According to Husserl, an assertive sentence refers to a state of affairs, which was its basis what he called a situation of affairs. Situations of affairs could also be considered as an alternative referent for statements on their own right, although for Husserl they were simply a sort of referential basis. Both Husserlian states of affairs and situations of affairs are extensional. Tarskian semantics can be rendered as a sort of state of affairs semantics. However, to assess adequately the existence of dual theorems in mathematics and, more generally, seemingly unrelated interderivable statements like the Axiom of Choice and its many equivalents, states of affairs are not enough. We need a sort of refinement of the notion of a situation of affairs, namely what we have called elsewhere an abstract situation of affairs. We are going to introduce abstract situations of affairs as equivalence classes of states of affairs denoted by closed sentences of a given language which are true in the same models. We first sketch the procedure for a first-order many-sorted language and then for a second-order many-sorted language.Husserl desenvolveu – independentemente de Frege – uma semântica do sentido e da referência. Contudo, há algumas diferenças importantes, especialmente com respeito às referências de enunciados. De acordo com Husserl, uma frase assertiva refere-se a um estado de coisas, que era sua base, o que ele chamou uma situação de coisas. As situações de coisas também poderiam ser consideradas como um referente alternativo para enunciados embora, para Husserl, elas fossem simplesmente um tipo de base referencial. Tanto os estados de coisas como as situações de coisas husserlianas são extensionais. A semântica tarskiana pode ser traduzida como um tipo de semântica de estado de coisas. Entretanto, para avaliar adequadamente a existência de teoremas duais em matemática e, de maneira mais geral, enunciados interderiváveis e aparentemente sem conexão, como o Axioma da Escolha e seus muitos equivalentes, os estados de coisas não são suficientes. Nós precisamos de um tipo de refinamento da noção de uma situação de coisas, a saber, o que nós chamamos de uma situação abstrata de coisas. Nós vamos introduzir as situações abstratas de coisas como classes de equivalência de estados de coisas denotadas por sentenças fechadas de uma determinada linguagem, as quais são verdadeiras nos mesmos modelos. Nós esboçamos o procedimento primeiro para uma linguagem multi-sortida de primeira ordem e então para uma linguagem multi-sortida de segunda ordem
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