Abstract

RésuméLes tentatives modernes entreprises pour fonder définitivement les mathématiques ont mis à nu la situation suivante:si l'on essaie d'éliminer les antinomies et les concepts «trop forts» de la théorie des ensembles tout en conservant un point de vue platonicien analogue au point de vue classique, on est forcé de recourir à des restrictions motivées de façon purement dogmatique;si, d'autre part, l'on essaie d'adopter un point de vue formaliste intégral, on se heurte à la nécessité d'envisager des «vérités platoniciennes» relatives aux systèmes formels;enfin l'essai hilbertien d'envisager la théorie de ces systèmes formels comme une théorie d'objets concrètement donnés ne tient visiblement pas compte des réalités.Il s'ensuit que les méthodes usuelles de la théorie moderne des fondements des mathématiques ne permettent pas d'accéder à un point de vue objectif sans cornposante dogmatique — ceci pour des raisons de méthode primaires par rapport aux détails des solutions proposées.Il est alors nécessaire d'envisager un type tout à fait différent de théorie des fondements des mathématiques. La réflexion mathématique sur des objets abstraits apparaît comme une donnée épistémologique qu'il faut étudier en tant que telle — antérieurement à toute interprétation, platonicienne ou autre. Une telle étude partira de la constatation que par le fait même de disposer de certains concepts, nous disposons de certaines connaissances. Elle cherchera à faire une étude épistémologique de celles‐ci.Cette façon de poser le problème déborde nécessairement le cadre des mathématiques. Elle nous réfère à une étude épistémologique du langage.SummaryThe modern attempts to establish a deflnitive foundation for mathematics have laid bare the following situation:if one tries to eliminate the antinomies and the 6 very strong R concepts of set theory whilst preserving a Platonist standpoint analogous to the classical one, one is obliged to establish restrictions that are justified only by dogmatic reasons;on the other hand if one tries to maintain a purely formalist point of view, one finds oneself confronted with the necessity of introducing «platonic truths» with respect to the formal systems;finally the Hilbertian attempt to build the theory of these systems as a theory of concretely given objects is obviously not based on facts.The consequence of all this is that the usual methods in the foundations of mathematics do not enable us to reach apurely objective standpoint devoid of dogmatic components. ‐ The reason for this lies in questions of method which are of a primary nature as compared with the details of the various solutions that have been brought forth.This entails the necessity of taking into account quite a different type of theory for the foundations of mathematics. Mathematical reflection about abstract objects appears as an epistemological dafum that ought to be studied on its own account ‐ previous to any interpretation, Platonist or not. The starting‐point of such a study will be the fact that merely by disposing of certain concepts we dispose already of a certain knowledge. Its object will be an epistemological study of this knowledge.This way of posing the problem necessarily takes us beyond the limits of a purely mathematical‐logical investigation; it refers us to an epistemological investigation of human language