It is proved that the relevance logic \ has no structurally complete consistent axiomatic extension, except for classical propositional logic. In fact, no other such extension is even passively structurally complete.

In "Handbook of Philosophical Logic" M. Dunn formulated a problem of describing pretabular extensions of relevant logics (cf. M. Dunn [1984], p. 211: M. Dunn, G. Restall [2002], p. 79). The main result of this paper described in the title.

In [60] N. Belnap presented an 8-element matrix for the relevant logic R with the following property: if in an implication A → B the formulas A and B do not have a common variable then there exists a valuation v such that v(A → B) does not belong to the set of designated elements of this matrix. A 6-element matrix of this kind can be found in: R. Routley, R.K. Meyer, V. Plumwood and R.T. Brady [82]. Below we prove (...) that the logics generated by these two matrices are the only maximal extensions of the relevant logic R which have the relevance property: if A → B is provable in such a logic then A and B have a common propositional variable. (shrink)

W tych badaniach logiczno-filozoficznych, w których używał logiki modalnej, Jerzy Perzanowski szczególną uwagę zwracał na miejsce danej logiki modalnej w kracie logik modalnych: ważne dla niego były logiki otaczające daną logikę. Cenił rozważania nad kratą logik modalnych i poświecił jej sporo miejsca w swej naukowej twórczości. Natrafił w szczególności na tzw. logiki anty-monotoniczne; badania nad nimi rozpoczął, ale ich nie ukończył (por. Perzanowski [1989, 1989’], Makinson [1971]). Podał podstawowe fakty syntaktyczne dotyczące tych logik, lecz nie opisał semantyki dla takich logik: (...) ani relacyjnej, ani algebraicznej. Logiki te są o tyle ciekawe, że wyniki badań nad nimi uzupełniają obraz całej kraty logik modalnych. Poniżej uzupełniam rozważania J. Perzanowskiego: podaję semantykę relacyjną i algebraiczną dla takich logik i opisuję strukturę całej kraty logik modalnych. (shrink)

This paper is devoted to showing certain connections between normal modal logics and those strictly regular modal logics which have as a theorem. We extend some results of E. J. Lemmon (cf. [66]). In particular we prove that the lattice of the strictly regular modal logics with the axiom is isomorphic to the lattice of the normal modal logics.