Abstract
In 1837, Dirichlet proved that there are infinitely many primes in any arithmetic progression in which the terms do not all share a common factor. We survey implicit and explicit uses of Dirichlet characters in presentations of Dirichlet’s proof in the nineteenth and early twentieth centuries, with an eye toward understanding some of the pragmatic pressures that shaped the evolution of modern mathematical method.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Similar content being viewed by others
Notes
The essays in Ferreirós and Gray (2006) provide an overview.
See Bottazzini and Gray (2013) for a history of complex function theory, which includes a detailed treatment of the work of Riemann and Weierstrass, in particular.
“Es sei jetzt:
$$\begin{aligned} F(\alpha ) = b_0 + b_1 \cos \alpha + b_2 \cos 2\alpha + \cdots = \sum b_i \cos i \alpha \end{aligned}$$eine beliebige endliche oder unendliche Reihe, deren Coefficienten von \(\alpha \) unabhängig sind.”
“Quod quo facilius praestari possit, denotet character \(\varphi D\) multitudinem istam numerorum ipso \(D\) minorum, et qui cum eo nullum habeant divisorem communem.” (Euler 1784, p. 19)
“Designemus brevitatis gratia multitudinem numerorum positivorum ad numerum datum primorum ipsoque minorum per praefixum characterem \(\varphi \). Quaeritur itaque \(\varphi A\).”
See the discussion in Wussing (1984, pp. 35–40).
This excerpt is quoted and discussed in Pengelley (2005).
“Seit man bei dem Begriffe der Funktion von der Nothwendigkeit der analytischen Zusammensetzung abgehend, das Wesen derselben in die tabellarische Zusammenstellung einer Reihe von zugehörigen Werthen mit den Werthen des order der (mehrerer) Variabeln zu setzen anfing, war es möglich, auch solche Funktionen unter diesen Begriff mit aufzunehmen, welche aus Bedingungen arithmetischer Natur entspringend nur für ganze Werthe oder nur für gewisse aus der natürlichen Zahlenreihe hervorgehende Werthe und Werth-Combinationen der in ihnen vorkommenden Variabeln einen bestimmten Sinn erhalten, während sie für die Zwischenwerthe entweder unbestimmt und willkürlich oder ohne alle Bedeutung bleiben.” We are grateful to Wilfried Sieg for help with the translation.
“...die Function \(\chi (\mathfrak a )\) ausser der Eigenschaft ...noch die andere besitzt, für alle derselben Classe \(A\) angehörenden Ideale \(\mathfrak a \) denselben Werth anzunehmen, welcher mithin zweckmässig durch \(\chi (A)\) bezeichnet wird und offenbar immer eine \(h^{te}\) Wurzel der Einheit ist. Solche Functionen \(\chi \), die man im erweiterten Sinn Charaktere nennen kann, existiren immer, und zwar geht aus den am Schlusse des §\(149\) erwähnten Sätzen leicht hervor, dass die Classenanzahl \(h\) zugleich die Anzahl aller verschiedenen Charaktere \(\chi _{1}, \chi _{2}, \ldots , \chi _{h}\) ist, und dass jede Classe \(A\) durch die ihr entsprechenden \(h\) Werthe \(\chi _{1}(A), \chi _{2}(A), \ldots , \chi _{h}(A)\) vollständig charakterisirt, d.h. von allen anderen Classen unterschieden wird.” The quotation appears in § 178 in the 1879 edition of the Vorlesungen (Dirichlet 1863), and in § 184 of the 1894 edition, which is reproduced in Dedekind’s Werke (Dedekind 1932). The translation above is by Hawkins (1971, p. 149).
See § 135 in Dedekind (1888). The relationship between the two notions will be discussed in forthcoming work by Wilfried Sieg and the second author.
“Wenn in einem Ausdrucke, dessen Inhalt nicht beurtheilbar zu sein braucht, ein einfaches oder zusammengesetztes Zeichen an einer oder an mehren Stellen vorkommt, und wir denken es an allen oder einigen dieser Stellen durch Anderes, überall aber durch Dasselbe ersetzbar, so nennen wir den hierbei unveränderlich erscheinenden Theil des Ausdruckes Function, den ersetzbaren ihr Argument.”
See Beaney (1997, pp. 137 and 140).
“Es sind nicht mehr bloß Zahlen zuzulassen, sondern Gegenstände überhaupt, wobei ich allerdings auch Personen zu den Gegenständen rechnen muß.”
“Man sich hieran besonders klar, dass der Functionsbegriff der Analysis, dem ich mich im Allgemeinen angeschlossen habe, weit beschränkter ist als der hier entwickelte.”
See the discussion in Sect. 7.
See Gauss’ remarks in Friedrich Gauss (1801, § 150).
See Wussing (1984) for the history of group theory.
“Man hat daher die Gleichung:
$$\begin{aligned} \prod \frac{1}{1-\omega ^{\gamma }\frac{1}{q^{s}}}=\sum \omega ^{\gamma }\frac{1}{n^{s}} = L, \end{aligned}$$(4)wo sich die Multiplicationszeichen auf die ganze Reihe der Primzahlen, mit alleiniger Ausnahme von \(p\), erstreckt, während die Summation sich auf alle ganzen Zahlen von 1 bis \(\infty \) bezieht, welche nicht durch \(p\) teilbar sind. Der Buchstabe \(\gamma \) bedeutet auf der ersten Seite \(\gamma _{q}\), auf der zweiten dagegen \(\gamma _{n}\).” (Dirichlet 1837b, pp. 317–318) We have replaced Dirichlet’s equation number with our own, and throughout this section we have modified the translation cited in Dirichlet (1837b).
“Die eben gefundene Gleichung repräsentirt \(p-1\) verschiedene Gleichungen, welche man erhält, wenn man für \(\omega \) seine \(p-1\) Werthe setzt. Bekanntlich lassen sich diese \(p-1\) verschiedenen Werthe durch die Potenzen von einem derselben \(\Omega \) darstellen, wenn dieser gehörig gewählt wird, und sind dann:
$$\begin{aligned} \Omega ^{0},\ \Omega ^{1},\ \Omega ^{2},\ \ldots ,\ \Omega ^{p-2}. \end{aligned}$$Wir werden, dieser Darstellung entsprechend, die verschiedenen Werthe \(L\) der Reihe oder des Productes mit:
$$\begin{aligned} L_{0},\ L_{1},\ L_{2},\ \ldots ,\ L_{p-2} \end{aligned}$$bezeichnen....” (Dirichlet 1837b, p. 318)
“
$$\begin{aligned} \prod \frac{1}{1-\theta ^{\alpha }\varphi ^{\beta }\omega ^{\gamma }\omega ^{\prime \gamma ^{\prime }}\ldots \frac{1}{q^{s}}}=\sum \theta ^{\alpha }\varphi ^{\beta }\omega ^{\gamma }\omega ^{\prime \gamma ^{\prime }}\ldots \frac{1}{n^{s}} = L, \end{aligned}$$(5)wo sich das Multiplicationszeichen auf die ganze Reihe der Primzahlen, mit Ausschluss von 2, \(p,\,p^{\prime }\), ..., und das Summenzeichen auf alle positiven ganzen Zahlen, welche durch keine der Primzahlen 2, \(p,\,p{\prime }\), ...theilbar sind, erstreckt. Das System der Indices \(\alpha , \beta , \gamma , \gamma ^{\prime }, \ldots \) entspricht auf der ersten Seite der Zahl \(q\), auf der zweiten Seite der Zahl \(n\). Die allgemeine Gleichung (5), in welcher die verschiedenen Wurzeln \(\theta , \varphi , \omega , \omega ^{\prime }, \ldots \) auf irgend eine Weise mit einander combinirt werden können, enthält offenbar eine Anzahl \(K\) besonderer Gleichungen.” (Dirichlet 1837b, pp. 336–337) We have replaced Dirichlet’s equation number with our own.
“...wo sich das Zeichen \(\sum \) auf die Primzahlen \(q\) erstreckt und \(W\) das Product der nach \(\mathfrak{a }, \mathfrak{b }, \mathfrak{c }, \mathfrak c^{\prime } , \ldots \) resp. zwischen den angegebenen Grenzen zu nehmenden Summen:
$$\begin{aligned} \sum \Theta ^{(h\alpha - \alpha _{m})\mathfrak{a }}, \sum \Phi ^{(h\beta - \beta _{m})\mathfrak{b }}, \sum \Omega ^{(h\gamma - \gamma _{m})\mathfrak{c }}, \sum \Omega ^{\prime (h\gamma ^{\prime } - \gamma ^{\prime }_{m})\mathfrak c^{\prime } }, \ldots \end{aligned}$$bedeutet. Nun erseiht man ...dass die erste dieser Summen 2 oder 0 ist, je nachdem die Congruenz \(h\alpha -\alpha _{m} \equiv 0 ( {mod } 2)\), oder was dasselbe ist, die Conquenz \(q^{h} \equiv m ( {mod } 4)\) stattfindet oder nicht stattfindet, das die zweite \(2^{\lambda -2}\) oder 0 ist, je nachdem die Congruenz \(h\beta -\beta _{m} \equiv 0 ( {mod } 2^{\lambda -2})\), oder was dasselbe ist, die Conquenz \(q^{h} = \pm m ( {mod } 2^{\lambda })\) oder was dasselbe ist, die Conquenz \(q^{h} \equiv m ( {mod } 4)\) stattfindet oder nicht stattfindet, das die dritte \((p-1)p^{\pi -1}\) oder 0 ist, je nachdem die Congruenz \(h\gamma -\gamma _{m} \equiv 0 ( {mod } (p-1)p^{\pi -1})\) oder was dasselbe ist, die Conquenz \(q^{h} \equiv m ( {mod } p^{\pi })\) stattfindet oder nicht stattfindet, u. s. w. das also \(W\) immer verschwindet, ausser wenn die Congruenz \(q^{h} \equiv m ( {mod } k)\) ist, in welchem Falle \(W=K\) wird.”
“...der Ausdruck \(kt+l\), in welchem \(t\) eine unbestimmte complexe ganze Zahl und \(k, l\) gegebene solche Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor bezeichnen, immer unendlich viele Primzahlen enthält.”
“Der allgemeine Beweis dieses Satzes ...stützt sich auf die Betrachtung einer Classe von unendlichen Reihen von der Form
$$\begin{aligned} L = \sum \psi (n), \end{aligned}$$wo der Buchstabe \(n\) alle ganzen positiven Zahlen durchlaufen muss, und die reelle oder complexe Function \(\psi (n)\) der Bedingung
$$\begin{aligned} \psi (n)\psi (n^{\prime })=\psi (nn^{\prime }) \end{aligned}$$genügt ...so nehmen wir immer an, dass \(\psi (1) = 1\) ist.”
“Der Zähler \(\chi (n) = \theta ^{\alpha }\eta ^{\beta }\omega ^{\gamma }\omega ^{\prime \gamma ^{\prime }}\ldots \) besitzt die charakteristischen Eigenschaften \(\chi (n)\chi (n^{\prime }) = \chi (nn^{\prime })\) ...”
“Wir bemerken zunächst, dass diese Reihen je nach der Wahl der in dem Ausdrucke \(\psi (n)\) vorkommenden Einheits-Wurzeln \(\theta , \eta , \omega , \omega ^{\prime }, \ldots \) ein ganz verschiedenes Verhalten zeigen; da diese Wurzeln resp. \(a,b,c,c^{\prime }, \ldots \) verschiedene Werthe haben können, so sind in der Form \(L\) im Ganzen
$$\begin{aligned} abcc^{\prime }\ldots = \varphi (k) \end{aligned}$$verschiedene besondere Reihen enthalten ...”
“
$$\begin{aligned} \varphi (k)\left( \sum \frac{1}{q^s} + \frac{1}{2}\sum \frac{1}{q^{2s}} + \ldots + \frac{1}{\mu }\sum \frac{1}{q^{\mu s}} + \ldots \right) = \log L_{1} + \sum \log (L_{2}) + \sum \log (L_{3}L_{3}^{\prime }), \end{aligned}$$wo auf der linken Seite das erste, zweite Summenzeichen u.s.f. sich auf alle die in \(k\) nicht aufgehenden Primzahlen \(q\) bezieht, welche resp. den Bedingungen \(q \equiv 1, q^{2} \equiv 1 ( {mod } k)\) u.s.f. Genüge leisten; auf der rechten Seite bezieht sich das erste Summenzeichen auf alle Reihen \(L_{2}\) der zweiten Classe, das zweite auf alle verschiedenen Paare \(L_{3}L_{3}^{\prime }\) conjugirter Reihen dritter Classe.” We have added the equation numbers in this quotation and the next, for later reference.
“Die Summation aller Producte \(\chi \log L\) giebt daher das Resultat
$$\begin{aligned} \varphi (k)\left( \sum \frac{1}{q^{s}}+\frac{1}{2}\sum \frac{1}{q^{2s}} + \frac{1}{3}\sum \frac{1}{q^{3s}} + \ldots \right) = \sum \chi \log L, \end{aligned}$$wo auf der linken Seite das erste, zweite, dritte Summenzeichen u.s.f. sich auf alle Primzahlen \(q\) bezieht, welche resp. den Bedingungen \(q \equiv m, q^{2} \equiv m, q^{3} \equiv m ( {mod } k)\) u.s.f. genügen, während das Summenzeichen auf der rechten Seite sich auf die sämmtlichen \(\varphi (k)\) verschiedenen Wurzel-Systeme \(\theta , \eta , \omega , \omega ^{\prime }, \ldots \)”
“In einer Abel’schen Grupper \(G\) von Grade \(h\) kann man stets die Elemente \(\Theta _{1}, \Theta _{2}, \ldots , \Theta _{\nu }\) von den Graden \(n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{\nu }\) so auswählen, dass in der Form
$$\begin{aligned} \Theta _{1}^{s_{1}}\Theta _{2}^{s_{2}}\ldots \Theta _{\nu }^{s_{\nu }} \end{aligned}$$jedes Element \(\Theta \) von \(G\) und jedes nur einmal enthalten ist, wenn \(s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{\nu }\) je einem vollständigen Restsystem nach den Moduln \(n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{\nu }\) entnommen werden.”
“Ordnet man den \(\nu \) Elementen \(\Theta _{1}, \Theta _{2}, \ldots , \Theta _{\nu }\) einer solchen Basis \(\nu \) Einheitswurzeln \(\omega _{1}, \omega _{2}, \ldots , \omega _{\nu }\) von den Graden \(n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{\nu }\), so entspricht auch jedem Element \(\Theta = \Theta _{1}^{s_{1}}\Theta _{2}^{s_{2}}\ldots \Theta _{\nu }^{s_{\nu }}\) der Gruppe eine bestimmte \(h^{ te }\) Einheitswurzel \(\omega \) nach der Vorschrift
$$\begin{aligned} \omega =\omega _{1}^{s_{1}}\omega _{2}^{s_{2}}\ldots \omega _{\nu }^{s_{\nu }}. \end{aligned}$$Wir bezeichnen diese Einheitswurzel mit \(\chi (\Theta )\), und nennen dieselbe den Charakter des Elementes \(\Theta \).”
Ist umgekehrt \(\chi (\Theta )\) eine durch das Element \(\Theta \) eindeutig bestimmte Function, welche der Bedingung ...genügt, so ist dieselbe nothwending unter diesen \(h\) Charakteren enthalten.
“Für jedes Element \(\Theta \) ist:
$$\begin{aligned} \chi _{1}(\Theta ) + \chi _{2}(\Theta ) + \cdots + \chi _{h}(\Theta ) = 0, \end{aligned}$$ausgenommen für das Hauptelement \(\Theta _{0}\), für welches
$$\begin{aligned} \chi _{1}(\Theta _{0}) + \chi _{2}(\Theta _{0}) + \cdots + \chi _{h}(\Theta _{0}) = h. \end{aligned}$$Mackey’s historical survey (Mackey 1980) of the history of harmonic analysis includes a very helpful and informative overview of the history of character-theoretic ideas in number theory.
“Jede der Formeln ...repräsentirt \(h\) verschiedene Formeln, entsprechend den \(h\) verschiedenen Charakteren \(\chi _1, \chi _2, \ldots , \chi _h\).”
“On appelle caractère principal celui qui correspond à la racine \(+1\); il est égal à l’unité pour tous les nombres \(n\). En dehors du caractère principal, il n’y en a qu’un seul qui soit réel pour tous les nombres \(n\): il correspond à la racine (\(-1\)) et est égal à \(\pm 1\) suivant le nombre \(n\). Nous donnerons à tous les autres caractères le nom de caractère imaginaires, quoiqu’ils puissent avoir une valeur réelle pour certains nombres particuliers. Leur module est toujours égal à l’unité.”
“Considérons ...la somme étendue à tous les caractères, c’est-à-dire à tous les systèmes de racines
$$\begin{aligned} S_{\chi }\chi (n)=S_{\omega }\omega _{1}^{\nu _{1}}\omega _{2}^{\nu _{2}} \ldots \end{aligned}$$... Pour tout nombre n, la somme étendue à la totalité des caractères
$$\begin{aligned} S_{\chi }\chi (n)=0, \end{aligned}$$à la seule exception près du cas où
$$\begin{aligned} n \equiv 1 ( {mod } M), \end{aligned}$$car alors tous les indicateurs sont nuls et l’on a
$$\begin{aligned} S_{\chi }\chi (n) = \varphi (M). {''} \end{aligned}$$“Nous définirons la fonction \(Z(s, \chi {mod } M)\), pour \(\mathcal{R }(s)>1\), par les expressions absolument convergentes
$$\begin{aligned} Z(s, \chi ) = \mathop {\displaystyle {\sum }^{\prime }}_{n=1}^{\infty } \frac{\chi (n)}{n^{s}}= \prod \left( 1-\frac{\chi (q)}{q^{s}}\right) ^{-1} \end{aligned}$$où \(n\) désigne successivement tous les nombres entiers premiers à \(M\) et \(q\) tous les nombres premiers qui ne divisent pas \(M\).”
“...on trouve l’équation fondamentale
$$\begin{aligned} (E)\ldots -\lim _{s=1}(s-1)\frac{Z^{\prime }(s, \chi )}{Z(s, \chi )}=\lim _{s=1}(s-1)\sum _{q}\chi (q)\frac{lq}{q^{s}}, \end{aligned}$$et cette équation (E) en représente en réalité \(\varphi (M)\) distinctes par l’échange des caractères entre eux.”
“L’équation fondamental utilisée par Dirichlet pour la démonstration de son théorème, est
$$\begin{aligned} \sum _{v}\frac{\log L_{v}(s)}{\psi _{v}(m)}=\varphi (k)\left( \sum \frac{1}{q^{s}} + \frac{1}{2}\mathop {\displaystyle {\sum }^{\prime }} \frac{1}{q^{2s}} + \frac{1}{3}\mathop {\displaystyle {\sum }^{\prime \prime }}\frac{1}{q^{3s}} + \ldots \right) \end{aligned}$$où \(m\) est un entier quelconque premier avec \(k\) et où les signes \(\sum , \sum ^{\prime }, \sum ^{\prime \prime }, \ldots \) s’étendent, le premier aux nombres premiers \(q\) tels que \(q \equiv m\,( {mod } k)\), le second aux nombres premiers \(q\) tels que \(q^{2} \equiv m\,( {mod } k)\), etc.”
“Er meinte, man könne und man müsse in diesem Gebiete eine jede Definition so fassen, daß durch eine endliche Anzahl von Versuchen geprüft werden kann, ob sie auf eine vorgelegte Größe anwendbar ist oder nicht. Ebenso wäre ein Existenzbeweis für eine Größe erst dann als völlig streng anzushen, wenn er zugleich ein Method enthalte, durch welche die Größe, deren Existenz bewiesen werde, auch wirklich gefunden werden kann. Kronecker war weit davon entfernt, eine Definition oder einen Beweis vollständig zu verwerfen, der jenen höchsten Anforderungen nicht entsprach, aber er glaubte, daß dann eben noch etwas fehle, und er hielt eine Ergänzung nach dieser Richtung hin für eine wichtige Aufgabe, durch die unsere Erkenntnis in einem wesentlichen Punkte erweitert würde.” We have modified and extended a translation due to Stein (1988, p. 250).
“...schließt mit dem Beweise des berühmten Satzes, daß jede arithmetische Reihe, deren Anfangsglied und Differenz teilerfremd sind, unendlich viele Primzahlen enthält; aber Kronecker vorvollständigt den Dirichletschen Beweis dieses Satzes in einem wesentlichen Punkte, indem er nachweist, daß man für jede beliebige groß anzunehmende Zahl \(\mu \) eine größere Zahl \(\bar{\mu }\) so bestimmen kann, daß in dem Intervalle \((\mu \cdots \bar{\mu })\) sich sicher eine Primzahl der verlangten Form befindet. Dies schöne Ergänzung jenes berühmten Beweises ist eine Frucht der oben erwähnten höheren Forderungen, welche Kronecker an arithmetische Beweise stellte, und hier scheint es in der That, daß durch diese Verbesserung der Dirichletsche Beweis nichts an Einfachheit und Durchsichtigkeit verloren hat.”
“Was uns diese Beispiele lehren, ist nun maßgebend für alle Definitionen der Analysis überhaupt. Dieselben führen stets auf die ganzen Zahlen und ihre Eigenschaften zurück, und es ist von dem ganzen Gebiete des letzgenannten Zweiges der Mathematik der einzige Begriff des limes oder der Grenze der Zahlentheorie bisher fremd geblieben. Gegen die Anaylsis also, die sich von ihrer ursprünglichen Quelle, der Geometrie, befreit und auf freiem Boden selbständig entwickelt hat, kann die Arithmetik nicht abgegrenzt werden, um so weniger, als es Dirichlet gelungen ist, grade die schönsten und tiefliegenden arithmetischen Resultate durch die Verbindung der Methoden beider Disciplinen zu erzielen.”
“Für die ambigen Charaktere erfüllt der Beweis von Dirichlet auch diese Forderung, dagegen reichen seine Methoden nicht aus, um dasselbe auch für die Reihen zu leisten, welche den complexen Charakteren entsprechen.”
“Überhaupt ist das hier in einen speziellen Falle sich darbietende Problem, für eine von Null verschiedene wohldefinierte Zahlgröße eine Grenze zu finden, über der sie notwendig liegen muß, nicht so einfach, als es auf den ersten Blick erscheint, vielmehr kann diese Aufgabe unter Umständen eine der heikelsten Fragen sein, die die Wissenschaft kennt.”
In modern terms, one can obtain such a lower bound by computing rational approximations until one obtains one that is sufficiently accurate to bound the number away from zero. Thus, the statement “if \(r \ne 0\), then \(|r| >0\)” was accepted by the Russian school of constructive mathematics in the 1950s and 1960s. This implication is equivalent to “Markov’s principle,” which is, however, rejected by strict constructivists. See, for example, Troelstra and Dalen (1988).
See, for example, Troelstra and Dalen (1988).
As above, the powers of two require special treatment. In the discussion, Kronecker assumes that \(m\) is divisible by 8, in which case the units modulo that power of two form a product of two cyclic groups; the values of \(\rho \) and \(\rho _0\) are the indices in those two groups, and \(\omega \) and \(\omega _0\) are the corresponding roots of unity.
Es sie nun \(r\) eine Einheit modulo \(m\), und \(\mathrm {Indd}\ r = (\rho , \rho _0, \rho _1, \ldots , \rho _g)\); ordnen wir \(r\) jetzt die Einheitswurzel:
$$\begin{aligned} \Omega (r) = (-1)^\rho \omega _0^{\rho _0} \omega _1^{\rho _1} \ldots \omega _g^{\rho _g} \end{aligned}$$zu, so gehört zu jeder Einheit \(r\) eine und nur eine Einheitswurzel \(\Omega (r)\), welche wir einen Charakter von \(r\) nennen wollen, denn durch \(r\) is ja das Indexsystem \((\rho , \rho _0, \ldots )\), also \(\Omega (r)\) eindeutig bestimmt.
“Wenn kein Mißverständnis zu befürchten ist, wollen wir im folgenden das zu Grunde gelegte Exponentensystem \((k, k_0, k_1, \ldots )\) kurz durch \((k)\) und den zugehöringen Charakter einfacher durch
$$\begin{aligned} \Omega ^{(k)}(r) \end{aligned}$$bezeichnen. Auch hier entspricht für ein festes Wertsystem \((k, k_0, \ldots )\) jeder Einheit offenbar \(r\) ein Character \(\Omega ^{(k)}(r)\).”
“...ich werde über sie vier Sätze mit sehr kurzem und elegantem Wortlaut beweisen. Alsdann darf der Leser bald die recht komplizierte Definition dieser Funktionen vollkommen vergessen und braucht sich nur zu merken, daß die Existenz eines Systems von \(h\) verschiedenen Funktionen bewiesen worden ist, welche die vier Eigenschaften besitzen.”
“Satz 1: Es ist für zwei ganze positive Zahlen \(n, n^{\prime }\)
$$\begin{aligned} \chi (nn^{\prime })=\chi (n)\chi (n^{\prime }). \end{aligned}$$Von jeder der \(h\) Funktionen wird also dies “Multiplikationsgesetz” behauptet ...
Satz 2: Es ist für \(n \equiv n^{\prime } ( {mod } k)\)
$$\begin{aligned} \chi (n)=\chi (n^{\prime }) \end{aligned}$$...
Satz 3: Wenn \(n\) ein vollständiges Restsystem modulo \(k\) durchläuft, ist für \(x=1\), d.h. für den Hauptcharakter
$$\begin{aligned} \sum _{n}\chi _{x}(n)=h, \end{aligned}$$dagegen für \(x=2, \ldots , h\), d.h. für alle übrigen Charaktere
$$\begin{aligned} \sum _{n}\chi _{x}(n)=0 \end{aligned}$$...
Satz 4: Wenn \(n\) festgehalten und die Summe
$$\begin{aligned} \sum _{x=1}^{h}\chi _{x}(n) \end{aligned}$$über alle \(h\) Funktionen erstreckt wird, so ist
$$\begin{aligned} \sum _{x=1}^{h}\chi _{x}(n)=h \quad \mathrm{f}{\ddot{\mathrm{u}}}\mathrm{r} \, n \equiv 1 ( {mod } k), \end{aligned}$$dagegen
$$\begin{aligned} \sum _{x=1}^{h}\chi _{x}(n)=0 \quad \mathrm{f}{\ddot{\mathrm{u}}}\mathrm{r} \, n \not \equiv 1 ( {mod } k), \end{aligned}$$also für alle \(k-1\) übrigen Restklassen modulo \(k\).”
“Es sei nun
$$\begin{aligned} L_{x}(s) = \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi _{x}(n)}{n^{s}} \end{aligned}$$die dem Charakter \(\chi (n)=\chi _{x}(n)\) entsprechende Funktion; es ist jetzt bequemer, um die Charakter in die Bezeichnung aufzunehmen,
$$\begin{aligned} L(s, \chi ) \end{aligned}$$zu schreiben, und nur, wenn kein Mißverständnis zu befürchten ist, wie früher kurz
$$\begin{aligned} L(s). {''} \end{aligned}$$“Erstens nämlich ist der Kreis der Rechnungsarten erweitert worden, die zur Bildung einer Funtion beitragen. Zu der Addition, Multiplikation, Potenzierung und deren Umkehrungen sind die verschiedenen Arten des Grenzüberganges hinzugekommen, ohne daß man allerdings immer ein klares Bewußtsein von dem wesentlich Neuen hatte, das damit aufgenommen werde. Man ist weiter gegangen und sogar genötigt worden, zu der Wortsprache seine Zuflucht zu nehmen, da die Zeichensprache der Analysis versagte, wenn z.B. von einer Funktion die Rede war, deren Wert für rationale Argumente 1, für irrationale 0 ist.”
See also the Griffith Evans’ helpful introduction to the 1959 Dover reprinting of Volterra’s lectures (Volterra 1930).
“...betrachten wir eine Menge \(P\) solcher Paare, und zwar von der Beschaffenheit, daß jedes Element \(a\) von \(A\) in einem und nur einem Paare \(p\) von \(P\) als erstes Element auftritt. Jedes Element \(a\) bestimmt auf diese Weise ein und nur ein Element \(b\), nämlich dasjenige, mit dem es zu einem Paare \(p = (a,b)\) verbunden auftritt; dieses durch \(a\) bestimmte, von \(a\) abhängige, dem \(a\) zugeordnete Element bezeichnen wir mit
$$\begin{aligned} b = f(a) \end{aligned}$$und sagen, daß hiermit in A (d. h. für alle Elemente von \(A\)) eine eindeutige Funktion von \(a\) definiert sei. Zwei solche Funktionen \(f(a),\,f^{\prime }(a)\) sehen wir dann und nur dann als gleich an, wenn die zugehöringen Paarmengen \(P, P^{\prime }\) gleich sind, wenn also, für jedes \(a,\,f(a) = f^{\prime }(a)\) ist.”
References
Avigad, Jeremy. Methodology and metaphysics in the development of Dedekind’s theory of ideals. In (Ferreirós and Gray, 2006), 159–186.
Avigad, Jeremy. 2006. Mathematical method and proof. Synthese 153: 105–159.
Avigad, Jeremy. 2008. Understanding proofs. In (Mancosu, 2008), 317–353.
Avigad, Jeremy. 2010. Understanding, formal verification, and the philosophy of mathematics. Journal of the Indian Council of Philosophical Research 27:161–197.
Avigad, Jeremy, and Rebecca Morris. n.d. Character and object. In preparation.
Beaney, Michael (ed.). 1997. The Frege Reader. Malden, MA: Blackwell Publishing.
Boole, George. 1859. A treatise on differential equations. Cambridge: Macmillan and Co.
Bottazzini, Umberto, and Jeremy Gray. 2013. Hidden Harmony-Geometric Fantasies: The rise of complex function theory. Berlin: Springer.
Cantor, Georg. 1895. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. Mathematische Annalen 46: 481–512.
Cayley, Arthur. 1854. On the theory of groups, as depending on the symbolic equation \(\theta ^n = 1\). Philosophical Magazine 7:40–47. Reprinted in his Collected Mathematical Papers, volume 2, 123–130. Cambridge: Cambridge University Press. 1889.
Chorlay, Renaud. n.d. Questions of generality as probes into 19th century analysis. To appear in K. Chemla, R. Chorlay, D. Rabouin, editors, Handbook on Generality in Mathematics and the Sciences.
de la Vallée Poussin, Charles Jean. Démonstration simplifiée du théorèm de Dirichlet sur la progression arithmétique. Mémoires couronnés et autres mémoires publiés par L’Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 53:1895–1896.
de la Vallée Poussin, Charles Jean. 1897. Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers. Brussels: Hayez.
Dedekind, Richard. 1854. Über die Einführung neuer Funktionen in der Mathematik. Delivered as a Hablitationsvorlesung in Göttingen on June 30, 1854. Reprinted in (Dedekind, 1932), volume 3, chapter LX, 428–438, and translated by William Ewald as “On the introduction of new functions in mathematics” in (Ewald, 1996), volume 2, 754–762.
Dedekind, Richard. 1888. Was sind und was sollen die Zahlen? Braunschweig: F. Vieweg & Sohn. A later edition reprinted in (Dedekind, 1932), Volume 3, Chapter LI, 335–391. The second edition, with a new preface, was published in 1893, and is translated by Wooster Beman as “The nature and meaning of numbers” in Essays on the Theory of Numbers, Chicago: Open Court, 1901; reprinted by New York: Dover, 1963. The Beman translation is reprinted, with corrections by William Ewald, in (Ewald, 1996), volume 2, 787–833.
Dedekind, Richard. 1894. Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Supplement XI to the fourth edition of (Dirichelt, 1863), 434–657. Reprinted in (Dedekind, 1932), volume 3, chapter 46, 1–222.
Dedekind, Richard. 1932. Gesammelte mathematische Werke, volumes 1–3, edited by Robert Fricke, Emmy Noether and Öystein Ore, Braunschweig: F. Vieweg & Sohn. Reprinted by Chelsea Publishing Co., New York, 1968.
Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune. 1829. Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 4:157–169. Reprinted in (Dirichlet, 1889), 117–132.
Dirichlet, Johann Peter Gustave Lejeune. 1835. Ueber eine neue anwendung bestimmter integrale auf die summation endlicher oder unendlicher reihen. Abhandlungen der königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 391–407. Reprinted in (Dirichlet, 1889), 237–256.
Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune. 1837. Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression. Bericht über die Verhandlungen der königlich Presussischen Akademie der Wissenschaften Berlin. Reprinted in (Dirichlet, 1889), pages 307–312.
Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune. 1837. Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Abhandlungen der königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 45–81. Reprinted in (Dirichlet, 1889), 313–342. Translated by Ralf Stefan as “There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime”, arxiv:0808.1408.
Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune. 1840. Über eine Eigenschaft der quadratischen Formen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 21:98–100. Reprinted in (Dirichlet, 1889), 597–502.
Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune. 1841. Untersuchungen über die Theorie der complexen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 22:190–194. Reprinted in (Dirichlet, 1889), 503–508.
Dirichlet, Johann Peter Gustave Lejeune. 1863. Vorlsesungen über Zahlentheorie. Vieweg, Braunschweig. Edited by Richard Dedekind. Subsequent editions in 1871, 1879, 1894, with “supplements” by Richard Dedekind. Translated by John Stillwell, with introductory notes, as Lectures on Number Theory, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.
Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejune. 1889. Werke, edited by Leopold Kronecker. Berlin: Georg Reimer.
Edwards, Harold M. 1980. The genesis of ideal theory. Archive for history of exact sciences 23: 321–378.
Edwards, Harold M. 1989. Kronecker’s views on the foundations of mathematics. In The history of modern mathematics, ed. D.E. Rowe, and J. McCleary, 67–77. San Diego: Academic Press.
Edwards, Harold M. 2007. Kronecker’s fundamental theorem of general arithmetic. In Episodes in the history of modern algebra (1800–1950), ed. Jeremy Gray, and Karen Parshall, 107–116. Providence, RI: American Mathematical Society.
Edwards, Harold M. 2009. Kronecker’s algorithmic mathematics. Mathematical Intelligencer 31: 11–14.
Eistenstein, Gotthold. 1850. Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, weche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden. Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der königlich Preussischen Akademie der Wissenshaften zu Berlin, 36–42. Reprinted in Eisenstein’s Mathematische Werke, volume 2, pages 705–711, Chelsea Publishing Company, New York, 1989.
Euler, Leonhard. 1748. Introductio in Analysin Infinitorum, tomus primus. Lausannae. Publications E101 and E102 in the Euler Archive.
Euler, Leonhard. 1784. Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae 4. Publication E564 in the Euler Archive. Translated by Jordan Bell as “Speculations on some characteristic properties of numbers”, 2007, arXiv:0705.3929.
Everest, Graham, and Thomas Ward. 2005. An introduction to number theory. London: Springer.
Ewald, William (ed.). 1996. From Kant to Hilbert: A source book in the foundations of mathematics, volumes 1 and 2. Oxford: Oxford University Press.
Ferreirós, José. 1999. Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics. Basel: Birkhäuser.
Ferreirós, José, and Gray Jeremy (eds.). 2006. The architecture of modern mathematics. Oxford: Oxford University Press.
Frege, Gottlob. 1879. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle: Louis Nebert. Translated by Michael Beaney in (Beaney, 1997), 84–129.
Frege, Gottlob. 1891. Function und Begriff. Jena: Hermann Pohle. Reprinted in (Frege, 2002), and translated by Peter Geach as “Function and concept” in (Beaney, 1997). Page number references are to the original publication.
Frege, Gottlob. 1893. Grundgesetze der Arithmetik. Jena: H. Pohle, volume 1, volume 2, 1903. Excerpts translated by Michael Beaney in (Beaney, 1997), 194–223 and 258–289.
Frege, Gottlob. 2002. Funktion-Begriff-Bedeutung, edited by Mark Textor. Göttingen: Vandenhoeck and Ruprecht.
Gauss, Carl Friedrich. 1801. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: G. Fleischer. Reprinted in Gauss’ Werke, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen, 1863. Translated with a preface by Arthur A. Clarke, New Haven: Yale University Press, 1966, and republished by New York: Springer, 1986.
Hadamard, Jacques. 1896. Sur la distribution des zéros de la fonction \(\zeta (s)\) et ses conséquences arithmétiques. Bulletin de la Société Mathématique de France 24: 199–220.
Harel, Guershon, Evan Fuller, and Jeffrey M. Rabin. 2008. Attention to meaning by algebra teachers. Journal of Mathematical Behavior 27: 116–127.
Harel, Guershon, and James Kaput. 1991. The role of conceptual entities in building advanced mathematical concepts and their symbols. In Advanced mathematical thinking, ed. D. Tall, 82–94. Dordrecht: Kluwer.
Hausdorff, Felix. 1914. Grundzüge der Mengenlehre. Leipzig: Veit and Company. Reprinted by Chelsea Publishing Company, New York, 1949.
Hawkins, Thomas. 1971. The origins of the theory of group characters. Archive for History of Exact Sciences 7: 142–170.
Klein, Felix. 1893. A comparative review of recent researches in geometry. Bulletin of the American Mathematical Society 2: 215–249.
Kleiner, Israel. 1989. Evolution of the function concept: A brief survey. The College Mathematical Journal 20: 282–300.
Kronecker, Leopold. 1870. Auseinandersetzung einiger eigenschaften der klassenzahl idealer complexer zahlen. Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 881–882. Reproduced in (Kronecker, 1895–1930), volume I, pages 271–282.
Kronecker, Leopold. 1882. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen. Riemer, Berlin. Also published in Journal für reine und angewandte Mathematik, volume 92, 1–122, and (Kronecker, 1895–1930), volume II, 237–387.
Kronecker, Leopold. 1887. Ein Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik. Journal für die reine und angewandte Mathematik 100:490–510. Reprinted in (Kronecker, 1895–1930), volume IIIa, pages 209–240.
Kronecker, Leopold. 1901. Vorlesungen über Zahlentheorie, edited by Kurt Hensel, B. G. Teubner, Leipzig. Republished by Springer, Berlin, 1978.
Kronecker, Leopold. 1895–1930. Werke, edited by Kurt Hensel, volumes 1–5, B. G. Teubner, Leipzig. Reprinted by Chelsea Publishing Co., New York.
Landau, Edmund. 1909. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, volume 1. Leipzig: B. G. Teubner.
Landau, Edmund. 1927. Vorlesungen über Zahlentheorie. S. Hirzel, Leipzig. Translated by Jacob E. Goodman, as Elementary number theory, Chelsea Publishing Company, New York.
Legendre, Adrien-Marie. 1788. Recherches d’analyse indéterminée. Histoire de l’Academie Royale des Sciences de Paris, 465–559.
Luzin, Nikolai. 1998. Functions. The American Mathematical Monthly 105:59–67 (Part I) and 105:263–270 (Part II).
Mackey, George W. 1980. Harmonic analysis as the exploitation of symmetry: A historical survey. Bulletin of the American Mathematical Society 3: 543–698.
Mancosu, Paolo (ed.). 2008. The philosophy of mathematical practice. Oxford: Oxford University Press.
Monna, A.F. 1972. The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesgue. Archive for History of Exact Sciences 9: 57–84.
Moore, Gregory H. 1982. Zermelo’s axiom of choice: Its origins, development, and influence. New York: Springer.
Morris, Rebecca. 2011. Character and object. Master’s thesis. Carnegie Mellon University, Pittsburgh
Pengelley, David. 2005. Arthur Cayley and the first paper on group theory. In From Calculus to Computers: Using the Last 200 Years of Mathematics History in the Classroom, ed. Amy Shell-Gellasch, and Dick Jardine, 3–8. Washington, D.C.: Mathematics Association of America.
Stein, Howard. 1988. Logos, logic, and logistiké. In History and Philosophy of Modern Mathematics, ed. William Aspray, and Philip Kitcher, 238–259. Minneapolis, MN: University of Minnesota Press.
Tappenden, Jamie. 2006. The Riemannian background to Frege’s philosophy. In (Ferreirós and Gray, 2006), 97–132.
Troelstra, A.S., Dirk van Dalen. 1988. Constructivism in mathematics: An introduction, volumes 1 and 2. Amsterdam: North-Holland.
Volterra, Vito. 1887. Sopra le funzioni che dipendono de altre funzioni. Rend. R. Academia dei Lincei 2:97–105, 141–146 and 153–158.
Volterra, Vito. 1930. Theory of Functionals and of Integral and Integro-differential Equations. Blackie and Son, Ltd., London and Glasgow. Translated by M. Long and edited by Luigi Fantappiè. Reprinted with a preface by G. C. Evans, a biography of Vito Volterra and a bibliography of his published works by E. Whittaker, New York: Dover, 1959.
Weber, Heinrich. 1882. Beweis des Satzes, dass jede eigentlich primitive quadratische Form unendlich viele Primzahlen darzustellen fähig ist. Mathematische Annalen 20: 301–329.
Wilson, Mark. 2006. Wandering significance: An essay on conceptual behavior. Oxford: Oxford University Press.
Wussing, Hans. 1984. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, translated from the German by Abe Shenitzer and Hardy Grant. Cambridge, MA: MIT Press.
Youschkevitch, A.P. 1976. The concept of function up to the middle of the 19th century. Archive for History of Exact Sciences 16: 37–85.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Additional information
Communicated by: Jeremy Gray.
This essay draws extensively on the second author’s Carnegie Mellon MS thesis (Morris 2011). We are grateful to Michael Detlefsen and the participants in his Ideals of Proof workshop, which provided feedback on portions of this material in July 2011, and to Jeremy Gray for helpful comments. Avigad’s work has been partially supported by National Science Foundation grant DMS-1068829 and Air Force Office of Scientific Research grant FA9550-12-1-0370.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Avigad, J., Morris, R. The concept of “character” in Dirichlet’s theorem on primes in an arithmetic progression. Arch. Hist. Exact Sci. 68, 265–326 (2014). https://doi.org/10.1007/s00407-013-0126-0
Received:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s00407-013-0126-0