Integral analysis and the phenomena of life. II

Zusammenfassung

In diesem Aufsatz gibt der Verfasser eine präcisere und vollständigere Darstellung des Inhalts seiner früheren Veröffentlichung über dasselbe Thema. Im Falle eines biologischen Systems, dessen innerer Zustand sich durch ein einziges Parameterc bestimmen lässt, werde seine zeitliche Entwicklung durch die Gleichung

$$\frac{{dc_t }}{{dt}} = f_1 (c_t ,t) + \int\limits_{t - \lambda }^t {f_2 } (c_\tau ,\tau )d\tau . . . . . .$$

((I))

dargestellt. Es wird gezeigt, dass Differentiation dieser Gleichung nacht nicht zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung führt. Im Gegensatz zur Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, werden die Eigenschaften von Gleichung (I) und ihren Derivaten nach der Zeit diskutiert. Es lässt sich Gleichung (I) auf eine gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung reduzieren. nur im ausgeschlossenen Fall, dasst-λ ein bestimmter (konstanter) Zeitpunkt wäre.

Wolle man einwenden, dass Gleichung (I) und ihre Derivaten nach der Zeit die zeitliche Entwicklung von Systemen darstellen, die zu jedem Moment nur ein „Punktgedächtnis” besitzen, dann lässt sich das Integralglied leicht derart transformieren, dass keine weitere Differentiation nach der Zeit auf eine Gleichung ohne Integralglied führen kann. Beispiele solcher Transformationen werden gegeben. Die neuen Gleichungen beschreiben die Entwicklung von Systemen die sicher ein „lineäres” Gedächtnis besitzen, d.h. ein Gedächtnis das sich zu jedem Moment auf ein endliches Kontinuum von Zeitpunkten und Zuständen erstreckt.

Es ergibt sich aus der vollständigeren Betrachtung, dass Gleichung (4) der früheren Abhandlung einer Revision bedarf.

Résumé

L'auteur fait un examen plus exact et plus approfondi du sujet traité dans sa première publication. Pour le cas d'un système biologique dont l'état intérieur est défini par un seul paramètrec, l'évolution au cours du temps se laisse decrire par l'équation

$$\frac{{dc_t }}{{dt}} = f_1 (c_t ,t) + \int\limits_{t - \lambda }^t {f_2 } (c_\tau ,\tau )d\tau . . . . . .$$

((I))

Une différentiation d'après le tempst ne peut pas réduire l'équation (I) à une équation différentielle ordinaire. Cela est possible seulement dans le cas exclu quet-λ soit un moment fixé. Au contraste des équations différentielles ordinaires, l'auteur explique comment se différent les propriétés de l'équation (I) et de ses dérivés d'après le temps.

Pour éviter la critique que l'équation (I) et ses dérivés d'après le temps décrivent l'évolution de systèmes qui à tout moment donné ne possèdent qu'une „mémoire à une seule valeur”, l'auteur expose comment l'intégrale peut se transformer afin qu'aucune nouvelle différentiation d'après le temps ne conduise à une équation sans intégrale. Plusieurs exemples d'une telle transformation sont donnés. Les équations transformées décrivent sans aucun doute l'évolution de systèmes qui à tout moment possèdent une mémoire qui s'étend sur une intervalle continue du temps passé. L'examen plus approfondi démontre que l'équation (4) de la première publication doit être corrigée.