Abstract
The aim of this paper is to present and discuss the philosophical views concerning mathematics of the founders of the so called Warsaw Mathematical School, i.e., Wacław Sierpiński, Zygmunt Janiszewski and Stefan Mazurkiewicz. Their interest in the philosophy of mathematics and their philosophical papers will be considered. We shall try to answer the question whether their philosophical views influenced their proper mathematical investigations. Their views towards set theory and its rôle in mathematics will be emphasized.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Similar content being viewed by others
Notes
,,Przenika ono wszystkie dziedziny myśli matematycznej; jest podstawą, na której budujemy inne zasadnicze pojęcia; jest źródłem wszystkich najwspanialszych pomysłów.“
,,Les mathématiciens n’étudient pas des objets, mais des relations entre les objets; il leur est donc indifférent de remplacer ces objets par d’autres, pourvu que les relations ne changent pas.“
,,[…] fakt, że nauka, tak oderwana, jaką jest matematyka, znajduje tyle zastosowań realnych, wytłumaczyć daje się istnieniem doskonałej odpowiedniości między dziedziną abstrakcji a dziedziną realnej rzeczywistości.“
The well-ordering theorem is in fact equivalent—on the basis of an appropriate system of set theory—to the axiom of choice.
,,[…] w przeciwieństwie do rozpowszechnionego mniemania o bezwzględnej oczywistości i pewności rozumowań matematycznych i tu spotykamy kwestie sporne.“
,,O tym należy wątpić. Różnica bowiem filozoficznych poglądów, która się objawia w tym sporze, która jest jego źródłem—jest tą odwieczną różnicą, która powodowała przez średniowiecze ciągnący się spór między nominalistami a platończykami, który ciągnie się i dziś między pozytywizmem a idealizmem.“
Besides Janiszewski particular chapters of Poradnik were written by: S. Kwietniewski—chapters about analytical, synthetic, descriptive and differential geometry as well as about the history of mathematics, W. Sierpiński—chapters about arithmetic, number theory, algebra, set theory, real functions, differential and integral calculus, S. Zaremba—chapters about analytic functions, partial differential equations, group theory and variation calculus as well as S.Mazurkiewicz—a chapter about probability. The introductory chapter “About science” was written by J. Łukasiewicz.
And he adds that this feature “became the reason why it is so unpopular among philosophers” (1915a, p. 450).
Poincaré wrote in Science et méthode (1908, Livre II, Chapitre III: Les Mathématiques et la Logique, VII. La pasigraphie): “The essential part of this language consists of some algebraic symbols denoting connectives: if, and, or. Maybe they are useful, but if they will help to renew the whole philosophy is another question. It is hard to suppose that the word if as written in the form ⊃ gains some new power.
This invention of Peano was called in former times a pasigraphy, i.e., the art of writing a mathematical treatise using no word of the colloquial language. This name indicates very well the applicability of this art. Later on it became more dignified by being called logistic. This word is used in Military Schools to denote the art of guiding and placing apart the army in the camp; it is clear that the new logistic had nothing to do with that, that the new name claims to do a revolution in logic.”
(L’élément essentiel de ce langage, ce sont certains signes algébriques qui représentent les différentes conjonctions: si, et, ou, donc. Que ces signes soient commodes, c’est possible; mais qu’ils soient destinés à renouveler toute la philosophie, c’est une autre affaire. Il est difficile d’admettre que le mot si acquiert, quand on l’écrit ⊃ , une vertu qu’il n’avait pas quand on l’écrivait si.
Cette invention de M. Peano s’est appelée d’abord la pasigraphie, c’est-à-dire l’art d’écrire un traité de mathématiques sans employer un seul mot de la langue usuelle. Ce nom en définissait très exactement la portée. Depuis, on l’a élevée à une dignité plus éminente, en lui conférant le titre de logistique. Ce mot est, paraît-il, employé à l’École de Guerre, pour désigner l’art du maréchal des logis, l’art de fair marcher et de cantonner les troupes; mais ici aucune confusion n’est à craindre et on voit tout de suite que ce nom nouveau implique le dessein de révolutionner la logique.)
,,Pewne zaznajomienie się z logistyką należy polecić każdemu, kto chce mieć pojęcie o dzisiejszym stanie logiki, szczególniej więc fachowym filozofom, a poniekąd i matematykom […]. Staje się zaś ona dla nich niezbędna, jeśli zechcą się zająć filozofią matematyki.“
,,Zagadnienia, poruszone w poprzednich paragrafach, znajdują się, że tak powiemy, poza obrębem działalności matematyka: jakiekolwiek będzie on miał poglądy na nie, czy też nie będzie ich mieć wcale, to nie wywrze [to]—przynajmniej bezpośrednio—wpływu na jego pracę w obrębie matematyki i w tym obrębie nie utrudni porozumienia z innymi matematykami. Bez względu na to, za co uważają liczby naturalne albo indukcję matematyczną, wszyscy matematycy będą się nimi posługiwać w jednakowy sposób. Istnieją jednak i takie kwestie sporne, które mają wpływ bezpośredni na aktualną pracę matematyczną. Dotyczą one ważności pewnych rozumowań matematycznych i przedmiotowości niektórych pojęć matematycznych.“
Mostowski writes in (1975, p. 9) that when Sierpiński discovered this fact, he wrote to his colleague T. Banachiewicz, the future professor of astronomy of the Jagiellonian University, who at that time studied in Göttingen, asking him whether this result is known. Banachiewicz answered the question sending a telegram containg the unique word: “Cantor”. In this way he called Sierpński’s attention to Cantor’s works—and the latter began to study them.
He held one of two chairs in mathematics, the other was held by Józef Puzyna.
The opinion—proclaimed sometimes—that Sierpiński’s lectures were the first in the world in this new domain of mathematics is erroneous. Earlier lectures in set theory were given by Ernst Zermelo (Göttingen 1900–1901), Felix Hausdorff (Leipzig 1901) and Edmund Landau (Berlin 1902–1903, 1904–1905).
Sierpiński was on vacations when the war began.
Ruziewicz became professor of the Technical University and of Jan Kazimierz University in Lvov as well as a rector of the Academy of Foreign Trade.
How important this was can be seen from the following anecdote told by E. Marczewski in (1948, pp. 17–18) where he wrote: “when […] in 1911 Puzyna, Sierpiński, Zaremba and Żorawski met in the section of mathematics at the Conference of Scientists and Physicians in Cracow, they found no common subject to discuss: their scientific interests were extremely different.”
„W myśl powyższego projektu należałoby założyć u nas czasopismo ściśle naukowe, poświęcone wyłącznie jednej z tych gałęzi matematyki, w których mamy pracowników wybitnych, prawdziwie twórczych i licznych. Czasopismo to [. . . ] przyjmowałoby artykuły w każdym z czterech języków uznanych w matematyce za międzynarodowe [. . . ]. Pismo to zawierałoby, obok artykułów oryginalnych, bibliografie tej gałęzi, streszczenia, a nawet przedruki ważniejszych artykułów, drukowanych gdzie indziej, szczególnie zaś tłumaczenia artykułów wartościowych, drukowanych w językach nie „międzynarodowych“, a wiec przede wszystkim prac polskich, które marnują się nieznane; wreszcie korespondencje: odpowiedzi na zapytania [. . . ].
[…]
[…] powróćmy do sprawy twórczości matematycznej. Tu atmosferę odpowiednią może wytworzyć dopiero zajmowanie się wspólnymi tematami. Konieczni prawie dla badacza są współpracownicy. Odosobniony najczęściej zamiera. Przyczyny tego są nie tylko psychiczne, brak pobudki: odosobniony wie o wiele mniej od tych, co pracują wspólnie. Do niego dochodzą tylko wyniki badań, idee już dojrzałe, wykończone, często w kilka lat po swym powstaniu, gdy ukażą się w druku. Odosobniony nie widział, jak i z czego one powstawały, nie przeżywał tego procesu razem z ich twórcami. ,,Jesteśmy z daleka od tych kuźni czy kotłów, w których wytwarza się matematyka, przychodzimy spóźnieni i, nie ma rady, musimy pozostać w tyle“ mówił mi w Getyndze o swoich rodakach pewien uczony matematyk rosyjski. O ileż bardziej stosuje się to do nas!
Otóż, jeśli nie chcemy zawsze ,,pozostawać w tyle“, musimy chwycić się środków radykalnych, sięgnąć do podstaw złego. Musimy stworzyć taką ,,kuźnię“ u siebie! Osiągnąć zaś to możemy tylko przez skupienie większości naszych matematyków w pracy nad jedną gałęzią matematyki. Dokonywa się to obecnie samo przez się, trzeba tylko temu prądowi dopomóc. Otóż niewątpliwie utworzenie u nas specjalnego pisma dla jednej gałęzi matematyki pociągnie wielu do pracy w tej gałęzi.
Lecz jeszcze w inny sposób pismo dopomogło by do wytworzenia się u nas tej ,,kuźni“: bylibyśmy wtedy ośrodkiem technicznym publikacji matematycznych w tej gałęzi. Do nas przysyłano by rękopisy nowych prac i utrzymywano by z nami stosunki.“
This phrase was repeated in each of the following volumes.
Called today topology—my remark, R.M.
Unfortunately Janiszewski did not live to see the publication of this volume—he died at the age of just 31 years on 3rd January 1920 during the influenza pandemic.
,,Rozważając ułożoną przez Janiszewskiego tablicę ,,podziału matematyki“ (Poradnik, t. I, str. 22/23), dostrzegamy, że stanowisko teorii mnogości zostało w tablicy tej wyznaczone w sposób bardzo szczególny. Tablica jest dwuskrzydłowa, co jest zgodne z tradycyjnym podziałem matematyki na dwie gałęzie: po lewej stronie mamy analizę (łącznie z arytmetyką i algebrą), po prawej geometrię. Na linii środkowej znajdujemy dwie tylko teorie: teorię mnogości i teorię grup.—Zauważmy nadto, że przesuwając się w tablicy omawianej od góry ku dołowi, przechodzimy na ogół od działów prostszych, bardziej pierwotnych i samowystarczalnych—do bardziej złożonych i wymagających z zewnątrz czerpanych środków pomocniczych, tym sposobem mamy tu rodzaj piramidy umiejętności matematycznych, opartej oczywiście na wierzchołku. Otóż tym wierzchołkiem jest teoria mnogości, która zajmuje w tablicy miejsce szczytowe, mając pod sobą bezpośrednio podstawy arytmetyki, podstawy geometrii i topologię.—Wreszcie widzimy liczne ,,linie związku“, rozchodzące się (przeważnie odśrodkowo) od teorii mnogości we wszystkich kierunkach.—Reasumując, powiedzieć można, że tablica nadaje teorii mnogości stanowisko niemal dominujące w matematyce (gdyż zarazem podstawowe i centralne), ponadto zaś uwydatnia jej oddziaływanie na inne działy.“
,,[…] ujawnienie w łonie teorii mnogości pewnych sprzeczności, tj. antynomij, stało się jednym z motywów rewizji zasad logiki formalnej“.
,,[…] na gruncie pojęcia zbioru podjęta została (przez szkołę Peany, a następnie przez Russella i Whiteheada) próba wtłoczenia całej matematyki w ramy jednolitego systemu hipotetyczno-dedukcyjnego, próba wprawdzie ułomna, jednak niezwykle interesująca z uwagi na tkwiące w niej tendencje do syntezy.“
,,Do studiowania filozofii matematyki należy znać dobrze teorię mnogości, arytmetykę, podstawy geometrii i podstawowe pojęcia analizy nieskończonościowej; następnie konieczna jest znajomość logistyki; wreszcie potrzebne jest ogólne wykształcenie filozoficzne.“
,,Do czynnej jednak pracy na tym polu [tzn. w zakresie filozofii matematyki—uwaga moja, R.M.] to nie wystarczy; koniecznym jest głębsze zrozumienie matematyki, czego można oczekiwać tylko od tych, którzy sami w tej dziedzinie pracowali w sposób twórczy. Niech przykład tylu filozofów, którzy, mając duże nawet wykształcenie matematyczne, popełnili w swych pracach nad filozofią matematyki błędy matematyczne i wykazali niezrozumienie (choć nie nieznajomość!) matematyki, działa tu odstraszająco. Brak znowu filozoficznego wykształcenia powoduje często u matematyków, zajmujących się temi zagadnieniami, niezrozumienie filozoficznej ich strony, przeoczenie po prostu całej masy zagadnień.“
Leśniewski and Łukasiewicz were in the Editorial Board till 1928.
This plan was not fulfilled. The reason was that the number of papers in logic and the foundations submitted to the journal was too small.
It should be stressed that they—in particular Łukasiewicz—had extremely good mathematical intuition. Their lectures found very good reception among students of mathematics and were appreciated by them.
More about this collaboration writes Duda (2004).
Add that Janiszewski used to say about himself that he is not a mathematician but a philosopher and that he “[…] is doing mathematics in order to state how far can reach the human mind by the logical reasoning alone“ ([…] zajmuje się matematyką dlatego, aby przekonać się, jak daleko może umysł ludzki dojść samym logicznym rozumowaniem) (Steinhaus 1921).
References
Duda R (2004) On the Warsaw interactions of logic and mathematics in the years 1919–1939. Ann Pure Appl Logic 127:289–301
Janiszewski Z (1915a) Logistyka [Logistics]. In: Poradnik dla samouków. Wskazówki metodyczne dla studjujących poszczególne nauki. Wydanie nowe, tom I. Wydawnictwo A. Heflera i St. Michalskiego, Warszawa, pp 449–461
Janiszewski (1915b) Zagadnienia filozoficzne matematyki [Philosophical problems of mathematics]. In: Poradnik dla samouków. Wskazówki metodyczne dla studjujących poszczególne nauki. Wydanie nowe, tom I. Wydawnictwo A. Heflera i St. Michalskiego, Warszawa, pp 462–489
Janiszewski Z (1916) O realizmie i idealizmie w matematyce, Przegląd Filozoficzny 19, pp 161–170. French translation: Sur le réalisme et l’idéalisme en mathématique, [in:] Z. Janiszewski, Œuvres choisies, rédigées par K. Borsuk et al., PWN, Warszawa 1962, pp 309–317
Janiszewski Z (1917) O potrzebach matematyki w Polsce [On the needs of mathematics in Poland]. In: Nauka polska, jej potrzeby, organizacja i rozwój 1, pp 11–18. Reprinted in: Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, Seria II: Wiadomości Matematyczne 7 (1963), 3–8. English translation published in: Kuzawa SMG, Modern mathematics: the genesis of a school in Poland, New Haven 1968
Knaster B (1960) Zygmunt Janiszewski (w 40-lecie śmierci) [Zygmunt Janiszewski (at the 40th Anniversary of His Death)], Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria II: Wiadomości Matematyczne 4:1–9
Lebesgue H (1922) Á propos d’une nouvelle revue mathématique: Fundamenta Mathematicae. Bulletin des Sciences Mathématiques 46
Marczewski E (1948) Rozwój matematyki w Polsce [Development of Mathematics in Poland]. Nakładem Polskiej Akademii Umiejętności z zasiłku Prezydium Rady Ministrów. Skład Główny w Księgarni Gebethnera i Wolffa, Warszawa-Kraków-Łódź-Poznań-Zakopane
Mazurkiewicz S (1923) Teoria mnogości w stosunku do innych działów matematyki [Set theory in relation to other domains of mathematics]. In: Poradnik dla samouków, Tom III: Matematyka. Uzupełnienia do tomu pierwszego. Wydawnictwo A. Heflera i St. Michalskiego. Warszawa, 89–98
Mostowski A (1975) Travaux de W. Sierpiński sur la théorie des ensembles et ses applications. In: W. Sierpiński, Œuvres choisies, Tome II, PWN—Éditions Scientifiques de Pologne, Warszawa 1975, pp 9–13
Poincaré H (1902) La Science et l’hypothèse. Flammarion, Paris
Poincaré H (1908) Science et méthode. Flammarion, Paris
Sierpiński W (1909) Pojęcie odpowiedniości w matematyce [The concept of correspondence in mathematics]. Przegląd Filozoficzny 12:8–19
Sierpiński W (1912) Zarys teorii mnogości [An outline of set theory]. Skład Główny w Księgarni E. Wendego i S-ki, Warszawa
Sierpiński W (1965) Cardinal and ordinal numbers. Polish Scientific Publishers, Warszawa
Steinhaus H (1921) Zygmunt Janiszewski–wspomnienie pośmiertne [Zygmunt Janiszewski—an obituary]. Przegląd Filozoficzny 22:113–117
Acknowledgments
The financial support of the Foundation for Polish Science [Fundacja na rzecz Nauki Polskiej] is acknowledged.
Author information
Authors and Affiliations
Corresponding author
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Murawski, R. Philosophy of Mathematics in the Warsaw Mathematical School. Axiomathes 20, 279–293 (2010). https://doi.org/10.1007/s10516-010-9107-y
Received:
Accepted:
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/s10516-010-9107-y