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Beyond Class Field Theory: Helmut Hasse’s arithmetic in the Theory of algebras in Early 1931

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Bibliography

Archival Sources

  • Niedersächsische Staats-und Universitätsbibliothek Göttingen, Handschriftenabteilung [=NSUB]

  • A. Adrian Albert to Hasse, 1931–1932, NSUB, Cod. Ms H. Hasse 1:25.

  • Emil Artin to Helmut Hasse, 27 November, 1930, NSUB, Cod. Ms H. Hasse, 1:59, nr. 35.

  • Hasse, Helmut. Talk 1. “Über Schiefkörper,” Vortrag in der Mathematischen Gesellschaft Göttingen, NSUB, Cod. Ms H. Hasse 13:16.

  • Hasse, Helmut. Talk 2. No title given. Vortrag auf dem “Schiefkörper Congress,” Marburg, 26 February, 1931, NSUB, Cod. Ms H. Hasse 13:17.

  • Hasse, Helmut. Talk 3. No title given. Vortrag Zürich, November 1932, NSUB, Cod. Ms H. Hasse 13:19 (4 pages).

  • Hasse, Helmut. “Darstellungstheorie (Nach E. Noether),” (Notes for Lectures on Representation Theory), March, 1931, NSUB, Cod. Ms H. Hasse 17:18.

  • Emmy Noether to Helmut Hasse, 25 June, 1930, NSUB, Cod. Ms H. Hasse 1:203A.

  • Emmy Noether to Helmut Hasse, 19 December, 1930, NSUB, Cod. Ms. H. Hasse, 1:203 A.

  • Emmy Noether to Helmut Hasse, 24 December, 1930, NSUB, Cod. Ms. H. Hasse, 1:203 A.

  • Emmy Noether to Helmut Hasse, 2 June, 1931, NSUB, Cod. Ms H. Hasse 1:203A.

Published Sources

  • Albert, A. Adrian. [1929] “A Determination of all Normal Division Algebras in Sixteen Units,” Transactions of the American Mathematical Society 31 (1929): 253–260.

  • Albert, A. Adrian. [1939] Structure of Algebras. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 24. (New York: American Mathematical Society, 1939).

  • Albert, A. Adrian and Helmut Hasse. [1931] “A Determination of All Normal Division Algebras Over an Algebraic Number Field,” Transactions of the American Mathematical Society 34 (1932):722–726.

  • Archibald, Raymond C. [1928] “Diophantine equations in division algebras,” Transactions of the American Mathematical Society 30 (1928): 819–837.

    Google Scholar 

  • Archibald, Raymond C., Ed. [1938] Semicentennial Addresses of the American Mathematical Society 1888–1938. (New York: American Mathematical Society, 1938).

  • Artin, Emil. [1923a] “Über die Zetafunktionen gewisser algebraischer Zahlkörper,” Mathematische Annalen 89 (1923): 147–156.

  • Artin, Emil. [1923b] “Über eine neue Art von L-Reihen,” Abhandlungen Mathematisches Seminar Universität Hamburg 3 (1923): 89–108.

  • Artin, Emil. [1927a] “Über einen Satz von Herrn J. H. Maclagan Wedderburn,” Abhandlungen des Mathematischen Seminars, Universität Hamburg 5 (1927):45–250.

  • Artin, Emil. [1927b] “Zur Arithmetik hyperkomplexer Zahlen,” Abhandlungen Mathematisches Seminar, Universität Hamburg 5 (1927): 261–289.

  • Artin, Emil. [1927c] “Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen,” Abhandlungen Mathematisches Seminar, Universität Hamburg 5 (1927): 251–260.

  • Artin, Emil. [1927d] “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes,” Abhandlungen Mathematisches Seminar, Universität Hamburg 5 (1927): 353–363.

  • Artin, Emil. [1930] “Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren,” Abhandlungen Mathematisches Seminar, Universität Hamburg 8 (1930):292–306.

  • Artin, Emil. [1950] “The influence of J. H. M. Wedderburn on the Development of Modern Algebra,” Bulletin of the American Mathematical Society 56 (1950): 65–72.

  • Artin, Emil. [1965] Collected Papers. Edited by Serge Lang and John Tate. (New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1965).

  • Bailey, T. N. and A. W. Knapp [1997] Representation Theory and Automorphic Forms. (Providence: American Mathematical Society, 1997).

  • Baker, Alan. [1984] A Concise Introduction to the Theory of Numbers. (Cambridge: Cambridge University Press, 1984).

  • Birkhoff, George D. [1938] “Fifty Years of American Mathematics,” in Semicentennial Addresses of the American Mathematical Society 1888–1938, ed. Raymond C. Archibald, pp. 270–315. (New York: American Mathematical Society, 1938).

  • Brandt, Heinrich. [1928a] “Idealtheorie in einer Dedekindschen Algebra,” Jahresbericht der DMV37 (1928): 5–7.

  • Brandt, Heinrich. [1928b] “Idealtheorie in Quaternionenalgebren,” Mathematische Annalen 99 (1928): 1–29.

    Google Scholar 

  • Brandt, Heinrich. [1930] “Zur Idealtheorie Dedekindscher Algebren,” Commentarii Mathematici Helvetici 2 (1930): 13–17.

  • Brauer, Richard. [1928] “Untersuchungen über die arithmetischen Eigenschaften von Gruppen linearer Substitutionen,” I. Mathematische Zeitschrift 28 (1928): 677–696.

    Google Scholar 

  • Brauer, Richard. [1929] “Über Systeme hyperkomplexer Zahlen,” Mathematische Zeitschrift 30 (1929): 79–107.

    Google Scholar 

  • Brauer, Richard. [1930] “Untersuchungen über die arithmetischen Eigenschaften von Gruppen linearer Substitutionen,” II. Mathematische Zeitschrift 31 (1930): 733–747.

    Google Scholar 

  • Brauer, Richard, Helmut Hasse, and Emmy Noether. [1932] “Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren,” Journal für die reine und angewandte Mathematik 167 (1932): 399–404.

    Google Scholar 

  • Carmichael, Robert D. [1923] Review of History of the Theory of Numbers, Vol. III: Quadratic and Higher Forms, American Mathematical Monthly 30 (1923): 259–262.

  • Deuring, Max. [1935] Algebren. Ergebnisse der Mathematik, Band 4, Heft 1. (Berlin: Springer, 1935).

  • Dickson, Leonard E. [1914] “Linear Associative Algebras and Abelian Equations,” Transactions of the American Mathematical Society 15 (1914): 31–46.

    Google Scholar 

  • Dickson, Leonard E. [1919] History of the Theory of Numbers. Vol. I. (Washington, D.C., Carnegie Institution of Washington, 1919).

  • Dickson, Leonard E. [1920] History of the Theory of Numbers. Vol. II. (Washington, D.C., Carnegie Institution of Washington, 1920).

  • Dickson, Leonard E. [1923a] History of the Theory of Numbers. Vol. III. (Washington, D.C., Carnegie Institution of Washington, 1923).

  • Dickson, Leonard E. [1923b] Algebras and their Arithmetics. (Chicago: University of Chicago Press, 1923).

  • Dickson, Leonard E. [1927] Algebren und ihre Zahlentheorie. (Zürich & Leipzig: Orell Füssli Verlag, 1927).

  • Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune-. [1863] Vorlesungen über Zahlentheorie. Edited by Richard Dedekind. (Braunschweig: Vieweg 1863).

  • Epple, Moritz. [2004] “Knot Invariants in Vienna and Princeton during the 1920s: Epistemic Configurations of Mathematical Research,” Science in Context 17 (1/2) (2004):131–164.

  • Fenster, Della D. [1998] “Leonard Eugene Dickson and his work in the arithmetics of algebras,”Archive for History of Exact Sciences 52 (1998): 119–159.

    Google Scholar 

  • Fenster, Della D. and Joachim Schwermer. [2005] “A Delicate Collaboration: A. Adrian Albert and Helmut Hasse and the Principal Theorem in Division Algebras in the Early 1930’s,” Archive for History of Exact Sciences 59 (2005): 349–379.

    Google Scholar 

  • Furtwängler, Philipp. [1907] “Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers, “Mathematische Annalen 63 (1907): 1–37.

  • Furtwängler, Philipp. [1909] “Reziprozitätsgesetze für Potenzreste mit Primzahlexponenten in algebraischen Zahlkörpern I,” Mathematische Annalen 67 (1909): 1–31.

  • Furtwängler, Philipp. [1912] “Reziprozitätsgesetze für Potenzreste mit Primzahlexponenten in algebraischen Zahlkörpern II,”Mathematische Annalen 72 (1912): 346–386.

  • Furtwängler, Philipp. [1913] “Reziprozitätsgesetze für Potenzreste mit Primzahlexponenten in algebraischen Zahlkörpern III,”Mathematische Annalen 74 (1913): 413–429.

  • Gray, Jeremy. [2000] The Hilbert Challenge. (Oxford: Oxford University Press, 2000).

  • Hasse, Helmut. [1923a] “Über die Äquivalenz quadratischer Formen im Körper der rationalen Zahlen,” Journal f. d. Reine u. Angewandte Mathematik 152 (1923): 205–244.

  • Hasse, Helmut. [1923b] “Über die Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen im Körper der rationalen Zahlen,” Journal f. d. Reine u. Angewandte Mathematik 152 (1923): 129–148.

  • Hasse, Helmut. [1924a] “Äquivalenz quadratischer Formen in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper,” Journal f. d. Reine u. Angewandte Mathematik 153 (1924):184–191.

  • Hasse, Helmut. [1924b] “Darstellbarkeit von Zahlen durch quadratische Formen in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper,” Journal f. d. Reine u. Angewandte Mathematik 153 (1924): 113–130.

    Google Scholar 

  • Hasse, Helmut. [1924c] “Symmetrische Matrizen im Körper der rationalen Zahlen,” Journal f. d. Reine u. Angewandte Mathematik 153 (1924): 12–43.

  • Hasse, Helmut. [1924d] “Zur Theorie des quadratischen Hilbertschen Normenrestsymbols in algebraischen Körpern,” Journal f. d. Reine u. Angewandte Mathematik 153 (1924): 76–93.

  • Hasse, Helmut. [1926] “Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper, Teil I,” Jahresbericht der DMV 35 (1926):1–55.

  • Hasse, Helmut. [1927] “Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper, Teil Ia,” Jahresbericht der DMV 36 (1927):233–311.

  • Hasse, Helmut. [1928] “Review of Algebren und ihre Zahlentheorie,” Jahresbericht der DMV 37 (1928), 2. Abt., pp. 90–97.

  • Hasse, Helmut. [1930a] “Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper II. Reziprozitätsgesetze,” Jahresbericht der DMV 6 (1930): 1–204.

  • Hasse, Helmut. [1930b] “Die Normenestheorie relativ-Abelscher Zahlkörper als Klassenkörpertheorie im Kleinen,” Journal f. d. Reine u. Angewandte Mathematik 162 (1930): 145–154.

  • Hasse, Helmut. [1931a] “Beweis eines Satzes und Widerlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol,” Nachrichten Gesellschaft Wissenschaften Göttingen (1931): 64–69.

  • Hasse, Helmut. [1931b] “Theorie der zyklischen Algebren über einem algebraischen Zahlkörper,” Nachrichten Gesellschaft Wissenschaften Göttingen (1931):70–79.

  • Hasse, Helmut. [1931c] “Über p-adische Schiefkörper und ihre Bedeutung für die Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme,” Mathematische Annalen 104 (1931): 495–534.

  • Hasse, Helmut. [1932a] “Strukturtheorie der halbeinfachen Algebren über algebraischen Zahlkörpern,” in Verhandlungen des Internationalen Mathematiker Kongresses Zürich 1932 hrsg. Dr. Walter Saxer, II. Band, Sektions-Vorträge, pp. 18–19. (Orell-Füssli: Zürich-Leipzig, 1932).

  • Hasse, Helmut. [1932b] “Theory of cyclic algebras over an algebraic number field,” Transactions of the American Mathematical Society 34 (1932): 171–214; 727–730.

  • Hasse, Helmut. [1933] “Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe ueber einem algebraischen Zahlkoerper,” Mathematische Annalen 107 (1933), 731–760.

    Google Scholar 

  • Hasse, Helmut. [1975] Mathematische Abhandlungen, ed. Heinrich Wolfgang Leopoldt and Peter Roquette, 3 vols. (Berlin & New York: Walter de Gruyter, 1975).

  • Hensel, Kurt. [1913] Zahlentheorie. (Berlin and Leipzig: G. J. Göschen’sche Verlagshandlung, 1913).

  • Hilbert, David. [1896] “Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsalzes über Abelsche Zahlkörper,” Nachrichten Gesellschaft Wissenschaften Göttingen (1896): 29–39.

  • Hilbert, David. [1897] “Die Theorie der algebraischen Zahlkörper (Zahlbericht),”Jahresbericht der DMV 4 (1897): 175–546.

  • Hilbert, David. [1901] Mathematische Probleme, Archiv für Mathematik und Physik 1 (1901):44–63 & 213–237.

  • Jahresbericht der DMV. [1932] “Mitteilungen und Nachrichten. 26–28. Februar. Vortragsreihe über hyperkomplexe Systeme,”Jahresbericht der DMV (41): 1932, 2 Abt., p. 16.

  • Kronecker, Leopold. [1853] “Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen,” Monatsbericht Berlin (1853): 365–374.

  • Langlands, Robert P. [1970] “Problems in the Theory of Automorphic Forms,”Lectures in Modern Analysis and Applications, III, Lecture Notes in Mathematics, 170. (Berlin: Springer-Verlag, 1970), pp. 18–86.

  • Langlands, Robert P. [1997] “Where stands functoriality today?” in Representation Theory and Automorphic Forms, edited by T. N. Bailey and A. W. Knapp, pp. 457–471. (Providence: American Mathematical Society, 1997).

  • Lemmermeyer, Franz. [2000] Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. (Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, New York, 2000).

  • Miyake, Katsuya. Ed. [2001] Class field theory—its centenary and prospect. Papers from the 7th International Research Institute of the Mathematical Society of Japan held in Tokyo, June 3–12, 1998. Advanced Studies in Pure Mathematics, 30. (Tokyo: Mathematical Society of Japan, 2001).

  • Noether, Emmy. [1929] “Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie,” Mathematische Zeitschrift 30 (1929): 641–692.

    Google Scholar 

  • Noether, Emmy. [1932] “Hyperkomplexe Systeme in ihren Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie,” Verhandlungen des Internationalen Mathematiker Kongresses Zürich 1932 hrsg. Dr. Walter Saxer, I. Band, pp. 189–194. (Bericht und Allg. Vorträge, Orell-Füssli: Zürich-Leipzig, 1932).

  • Noether, Emmy. [1983a] “Algebra der hypercomplexen Grössen,” posthumously published (based on notes taken by Max Deuring) in Emmy Noether, Gesammelte Abhandlungen. Collected Papers, Ed. N. Jacobson, pp. 711-763. (Berlin -Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1983).

  • Noether, Emmy. [1983b] Gesammelte Abhandlungen. Edited by Nathan Jacobson. (Berlin- Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1983).

  • Scharlau, Winfried. [1999] “Emmy Noether’s Contributions to the Theory of Algebras,” Israel Mathematical Conference Proceedings 12 (1999): 39–55.

  • Schwermer, Joachim. [2007] “Minkowski, Hensel and Hasse—On the beginnings of the local-global principle,” to appear in Episodes in the History of Modern Algebra (1850–1950), edited by Jeremy J. Gray and Karen Hunger Parshall.

  • Speiser, Andreas. [1927] “Idealtheorie in rationalen Algebren,” Chapter 13 in Leonard E. Dickson, Algebren und ihre Zahlentheorie (Zürich & Leipzig: Orell Füssli Verlag, 1927).

  • Takagi, Teiji. [1920] “Über eine Theorie des relativ-Abel’schen Zahlkörpers,” Journal Coll. Sc. Tokyo 41 (1920): 1–133.

    Google Scholar 

  • Takagi, Teiji. [1922] “Über das Reziprozitätsgesetz in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper,” Journal Coll. Sc. Tokyo 44 (1922): 1–50.

    Google Scholar 

  • Weber, Heinrich. [1886] “Theorie der abelschen Zahlkörper I,” Acta Mathematica 8 (1886):193–263.

  • Weber, Heinrich. [1887] “Theorie der abelschen Zahlkörper II,” Acta Mathematica 9 (1887):105–130.

  • Wedderburn, Joseph H. M. [1905] “A theorem on finite algebras,” Transactions of the American Mathematical Society 6 (1905): 349–352.

    Google Scholar 

  • Wedderburn, Joseph H. M. [1907] “On hypercomplex number systems,” Proceedings of the London Mathematical Society 6 (1907): 77–118.

  • Wedderburn, Joseph H. M. [1914] “A type of primitive algebras,” Transactions of the American Mathematical Society 15 (1914): 162–166.

    Google Scholar 

  • Wedderburn, Joseph H. M. [1921] “On division algebras,” Transactions of the American Mathematical Society 22 (1921): 129–135.

    Google Scholar 

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Correspondence to Della D. Fenster.

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Communicated by J.J. Gray.

The authors would like to thank Dr. H. Rohlfing for his permission to quote from the archives at the University of Göttingen. The first author would also like to thank the University of Richmond for generous support of her sabbatical in 2004-2005, the Erwin Schrödinger International Institute for Theoretical Physics in Vienna for an unsurpassable scholarly experience in the spring of 2005, and the Faculty of Mathematics at the University of Vienna for support in June, 2006 to bring this project to completion.

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Fenster, D.D., Schwermer, J. Beyond Class Field Theory: Helmut Hasse’s arithmetic in the Theory of algebras in Early 1931. Arch. Hist. Exact Sci. 61, 425–456 (2007). https://doi.org/10.1007/s00407-007-0001-y

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