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Une controverse entre Émile Picard et Leopold Kronecker

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Résumé

Dans deux articles publiés en 1869 et 1878, Leopold Kronecker construit une théorie qui prend sa source dans le travail de Sturm sur la détermination du nombre de solutions réelles d’une équation. La présentation de cette théorie des caractéristiques par Émile Picard va donner lieu à une controverse entre les deux mathématiciens sur la paternité d’une formule donnant le nombre de solutions de certains systèmes de plusieurs équations. Après avoir donné un aperçu de la théorie des caractéristiques, nous montrerons comment, à travers cette dispute, c’est en fait la façon dont ces deux mathématiciens appréhendent les mathématiques qui est en jeu.

Abstract

Leopold Kronecker constructs in two articles published in 1869 and 1878, a theory which has its roots in Sturm’s work on the determination of the number of real solutions of an equation. The presentation of this theory of characteristics by Émile Picard will give rise to a controversy between the two mathematicians, who claimed the fame for a formula giving the number of solutions of certain systems of several equations. In this article, after an overview of the theory of characteristics, we will show how, through this dispute, it is actually the way these two mathematicians approach mathematics that is at stake.

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Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3

Notes

  1. Ce problème, tout au moins sa première partie, consiste à compter le nombre de branches réelles, c’est-à-dire d’ovales, d’une courbe algébrique, et à donner des indications à propos de leur disposition.

  2. Cette discussion concerne en fait essentiellement la classification topologique des courbes algébriques, et le théorème de Harnack (1876) dont il est question dit que le nombre de composantes connexes d’une courbe algébrique de degré d est borné par:

    $$\begin{aligned} \dfrac{1-(-1)^d}{2}<c<\dfrac{(d-1)(d-2)}{2}+1 \end{aligned}$$

  3. Er könne Zahl und Lage der Züge bestimmen, mit der Charakteristik sei Alles gemacht (Arbeit vom Jahre 1878). Auch die Harnack’sche Arbeit und meine künftigen Untersuchungen seien der Theorie nach darin enthalten.

  4. (Rowe 2005, 75): «overly optimistic assessment» .

  5. Kronecker développe la théorie des caractéristiques principalement dans deux articles publiés en 1869 et 1878 intitulés respectivement Über Systeme von Functionen mehrer Variabeln (Kronecker 1869b et (Kronecker 1869c)) et Über die Charakteristik von Funktionen-Systemen (Kronecker 1878).

  6. Bei den Untersuchungen, deren Entwickelungsgang ich hier in Umrissen dargelegt habe, bin ich vom Sturm’schen Satze ausgegangen. Eine Ausdehnung desselben auf Systeme von Gleichungen ist schon vor längerer Zeit von Hrn. Hermite angegeben worden, aber es kam mir überdies darauf an, das den Sturm’schen Entwickelungen zu Grunde liegende Kettenbruchs-Verfahren selbst zu verallgemeinern und nachdem dies geschehen war die dadurch erhaltenen allgemeineren Resultate naturgemäss zu interpretiren.

  7. En particulier dans (Hermite 1852) et (Hermite 1853).

  8. Dans plusieurs articles (Kronecker 1869c), (Kronecker 1873) et (Kronecker 1878), Kronecker revisite le théorème de Sturm à l’aide des fractions continues, et il en multiplie les interprétations graphiques.

  9. Kronecker la décrit dans trois articles (Kronecker 1869b), (Kronecker 1869c) et (Kronecker 1878) publiés en 1869 et 1878.

  10. Kronecker professe à l’Université de Berlin un cours qu’il intitule Vorlesungen über die Theorie der Algebraischen Gleichungen. Ces leçons, contrairement à celles que Kronecker a données sur l’intégration, les déterminants ou l’arithmétique, n’ont pas été publiées. Nous y avons accès uniquement par des manuscrits, issus pour la plupart du fonds Hensel et conservés à la bibliothèque universitaire Louis Pasteur de Strasbourg. Ces manuscrits sont des mises en forme de notes prises par des étudiants. Dans ses cours, notoirement difficiles et adressés aux jeunes mathématiciens en devenir, il présente ses recherches les plus récentes: il s’agit d’un matériel privilégié pour voir comment Kronecker fait des mathématiques.

  11. Die wahren Invarianten seien nicht die «litteralen» (die später vergessen sein würden, wie die Combinatorischen Arbeiten heute vergessen sind), sondern gewisse Zahlen (wie die Zahl der positiven Vorzeichen der Quadrate eine gleichzeitige Invariante einer quadratischen Form ist ; vegl. die gleichzeitigen Invarianten zweier quadratischer Formen, die Kronecker von allen Arbeiten die schwerste geworden sei).

  12. Giebt es Funktionen der Zahlen (a, b, c), welche so beschaffen sind, daß sie für sämtliche Systeme derselben Klasse identisch sind ? Ist eine solche Funktion vorhanden, so legen wir ihr die von Sylvester so außerordentlich glücklich gewählte, obgleich von ihm nur für einen ganz speziellen Fall gebrauchte Bezeichnung ‘Invariante’ zu.

  13. Si l’on se reporte par exemple au traité d’algèbre de Weber (Weber 1898, 226), un invariant est une fonction polynomiale des coefficients d’une ou plusieurs «formes» , c’est-à-dire de polynômes à une ou plusieurs inconnues.

  14. Ich unterscheide die Invarianten als arithmetische, algebraische und analytische Invarianten nach der Methode, durch welche sie aus den Elementen eines Systems hergeleitet werden. Jede reduzierte Form ist z.B. eine arithmetische Invariante, weil es eines Algorithmus, welcher mit einer Kettenbruchentwicklung Ähnlichkeit hat, bedarf, um sie aus den Elementen der Systeme herzuleiten. Algebraische Invarianten sind in speziellen Fällen rational, wenn sie nämlich rationale Funktionen der Elemente sind. Bei analytischen Invarianten, und solche giebt es eigentlich für jede Äquivalenz, — tritt ein Limes auf.

  15. Les \(f_h\) sont les opposés des restes lors de la division euclidienne de \(f_{h-2}\) par \(f_{h-1}\)[voir par exemple (Sinaceur 1991, 106)].

  16. Diese Verallgemeinerung der Sturmschen Formel rührt von Sylvester her, welchen darüber und über die in vorhergehenden besprechenen kombinatorischen Ausdrücke, die er unter Voraussetzung der Zerlegung einer Funktion als Produkt von Linearfaktoren bildete, einige Aufsätze in den Philosophical Transactions z. Teil 1853 erscheinen ließ. Während aber für den Speziellen Fall, wo \( f_1(x)=f'(x) \) gesetzt wird, die Bedeutung der Zeichensumme auf der Hand liegt, bemühte sich Sylvester vergeblich, diese allgemeineren Zeichenverbindungen, für welche er den Namen «intercallations» einführte, in Klarer und erschöpfend Weise zu interpretieren.

  17. Cette comparaison avec le cercle peut faire penser au travail de Gauss, qui propose une définition similaire dans la première et la quatrième démonstrations du théorème fondamental de l’algèbre (Gauss 1799) et (Gauss 1849).

  18. Diese Betrachtungen können verallgemeinert werden, indem man anstatt der \(x=\)Axe eine beliebige dritte Kurve zu den beiden andere hinzunimmt ; jedoch ist es, um diese Untersuchungen arithmetisch durchführen zu können, nötig, einen neuen Begriff einzuführen: den Begriff der Charakteristik eines Funktionsystems.

  19. Pour une description détaillée de la théorie des caractéristiques on pourra lire (Vergnerie 2019) et (Vergnerie 2017).

  20. Dans son cours, Kronecker qualifie ce critère d’«analytique» en 1880, puis d’«arithmétique» en 1890. Si dans un premier temps il souhaite s’éloigner d’une définition géométrique du sens de parcours, il insiste dans son dernier cours sur la contribution de sa définition à l’«arithmétisation» des mathématiques.

  21. Le sens de parcours est ici celui qui laisse \(f>0\) sur la gauche. Ce sens s’inverserait si l’on parcourait f en regardant les points d’intersections avec \(\psi \). Voir (Vergnerie 2017, 348).

  22. Ich wurde hierbei auf jene Betrachtungen geführt, welche den Inhalt der ersten vier Abschnitte vorliegender Notiz bilden, und welche ich damals in mündlichen Unterhaltungen meinem Freunde Weierstrass mittheilte. Dabei wurde ich von ihm angeregt unter den erlangten neuen Gesichtspunkten den Gegenstand meiner Untersuchung weiter und namentlich in derjenigen Richtung zu verfolgen, in welcher nicht bloss eine Ausdehnung des Stürmischen sondern auch des Cauchy’schen Satzes erhalten würde. Die Arbeiten, welche ich darauf hin unternommen, und die Resultate, welche ich dabei erlangt habe, finden sich in den Abschnitten V bis X auseinandergesetzt und zwar im Wesentlichen in derselben Reihenfolge, wie ’sie sich mir bei der Untersuchung ergeben haben.

  23. Voir par exemple (Mawhin 2000, 129) et (Dinca and Mawhin 2009, 7).

  24. Normalien à 18 ans, agrégé à 21 ans, titulaire de la chaire de Calcul Différentiel de la Sorbonne à 30 ans, âge minimal requis pour cette fonction. Sa première nomination pour devenir membre de l’Académie doit même être reportée à 1889 en raison de son trop jeune âge.

  25. On pourra lire à ce propos les articles de Laurent Rollet et Philippe Nabonnand, et en particulier (Nabonnand and Rollet 2009).

  26. Voir (Picard 1891d, 80, 126) pour deux équations à deux inconnues et pour trois équations à trois inconnues.

  27. Chapitres III et IV de (Picard 1891d).

  28. Il ajoute d’ailleurs, p. 127 du même ouvrage, que l’on «voit le rôle essentiel joué dans cette question par le signe du déterminant fonctionnel» .

  29. Dies erhellt schon aus dem Umstände, dass sämmtliche hier betrachteten Integrale eine ganz andere Form annehmen, wenn man für die Gleichungs Systeme: \(F_k=0\) oder \(f_k=0\) andere aber äquivalente nimmt, d. h. solche, welche genau dieselben Punkte \(\zeta \) oder \(\eta \) (sammt deren Charakter) bestimmen, während natürlich die Integrale ihrem Werthe nach dabei unverändert bleiben müssen. Andrerseits sollen aber auch die Erleichterungen hervorgehoben werden, welche man sich bei der directen Ermittelung jener Integralwerthe erlauben darf. Man kann nämlich für gegebene Begrenzungs-Functionen \(F_0\) andere einer möglichst bequemen und geeigneten analytischen Darstellung zugängliche Begrenzungen substituiren, da es ja nur darauf ankommt, dass diese mit jenen in Bezug auf die umschlossenen Punkte \((\eta )\) übereinstimmen.

  30. C’est aussi par l’entremise de Hermite que Poincaré prendra connaissance des articles de Kronecker sur la théorie des caractéristiques (Poincaré 1986, 170).

  31. Dans cet article, Picard suppose que les racines communes aux deux équations sont «simples» , c’est-à-dire qu’il suppose que le déterminant fonctionnel \(\begin{vmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}&\dfrac{\partial f}{\partial y}\\ \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}&\dfrac{\partial \varphi }{\partial y} \end{vmatrix}\) n’est pas nul. Ainsi, pour tout couple (x, y) qui serait solution des deux premières équations, le système \(\left\{ \begin{matrix} z\dfrac{\partial f}{\partial x}+t\dfrac{\partial f}{\partial y}=0\\ z\dfrac{\partial \varphi }{\partial x}+t\dfrac{\partial \varphi }{\partial y}=0 \end{matrix}\right. \) a une unique solution, qui est \(z=t=0\).

  32. Déterminant par blocs.

  33. Picard écrit en fait ce nombre sous la forme d’une somme composée d’une intégrale curviligne et d’une intégrale double.

  34. Kronecker ne semble pas avoir lu la seconde note datée de novembre.

  35. En fait, seul le cas infini est traité.

  36. Da die Charakteristik eine ganze Zahl ist, so ist es nur nötig, das Integral in der letzten Formel bis auf die erste Dezimale genau zu berechnen, um den Wert der Charakteristik zu erhalten.

  37. Il ne fait allusion à l’article de 1878 que pour dire que l’on y retrouve les notations de celui de 1869.

  38. Dans (Hashagen 2003), Ulf Hashagen montre que Dyck avait déjà eu accès à ces notes de cours alors qu’il était étudiant à la Technische Hochschule de Munich.

  39. Voir (Dyck 1884), (Dyck 1888), (Dyck 1890). Pour une description détaillée du travail de Dyck dans ce domaine, on pourra lire (Hashagen 2003, 265).

  40. C’est d’ailleurs Hilbert qui en fait la revue dans le Jahrbuch (JFM 25.0145.01 dans le Jahrbuch Database.):

    Hr. Picard hat mit Hülfe einer Formel von Kronecker die Anzahl der in einem Gebiete liegenden gemeinsamen Wurzeln eines Gleichungssystems durch bestimmte, über das Innere und die Berandung dieses Gebietes zu erstreckende Integrale ausgedrückt. Das nämliche Resultat leitet der Verfasser auf einem einfacheren Wege ab, indem er nicht die von Hrn. Picard benutzte Formel, sondern eine andere Formel von Kronecker der Betrachtung zu Grunde legt.

  41. C’est ce que Kronecker appelle univalentes.

  42. (Kronecker 1869b, 191): «innerhalb des Integrations-Gebietes überall endlich und stetig» /«sämmtlichen Variabein differentiirbar» .

  43. Nous rappelons qu’il l’utilise deux fois: d’abord sur le domaine d’intégration \(L\cdot D=0\) puis \(L=0\).

  44. Voir par exemple (Picard 1892, 14), (Picard 1904, 215) pour les fonctions de deux variables.

  45. Voir (Hermite 1852) et (Hermite 1853).

  46. Voir (Davidoglou 1901a) et (Davidoglou 1901b).

  47. (Kronecker 1887, 155): «die numerische Bezeichnung der reellen Wurzeln der algebraischen Gleichungen» .

  48. Die Aufgabe wäre gelöst, wenn wir im Stande wären, das grösste Intervall von der Beschaffenheit anzugeben, dass in ihm, wohin wir auch seinen Anfangspunkt legen nie mehr als eine reelle Wurzel der Gleichung liegt.

  49. Voir le chapitre intitulé Algebraic generality vs arithmetic generality in the 1874 controversy between C. Jordan and L. Kronecker du livre (Chemla et al. 2016), (Brechenmacher 2006) et (Brechenmacher 2007).

  50. Denn man ist es gewohnt – zumal in algebraischen Fragen – wesentlich neue Schwierigkeiten anzutreffen, wenn man sich von der Beschränkung auf diejenigen Fälle losmachen will, welche man als die allgemeinen zu bezeichnen pflegt. Sobald man von der Oberfläche der sogenannten, jede Besonderheit ausschliessenden Allgemeinheit in das Innere der wahren Allgemeinheit eindringt, welche alle Singularitäten mit umfasst, findet man in der Regel erst die eigentlichen Schwierigkeiten der Untersuchung, zugleich aber auch die Fülle neuer Gesichtpunkte und Erscheinungen, welche sie in ihren Tiefen enthält.

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Authors and Affiliations

  1. Laboratoire SPHERE, UMR 7219, Université Paris Diderot – CNRS, bâtiment Condorcet, case 7093 5 rue Thomas Mann, 75205, Paris Cedex 13, France

    Cédric Vergnerie

Authors
  1. Cédric Vergnerie
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Corresponding author

Correspondence to Cédric Vergnerie.

Additional information

Communicated by Jeremy Gray.

Publisher's Note

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Appendices

A Chronologie: liste des articles qui font référence à cette controverse

  1. 1.

    Sur le nombre de racines communes à plusieurs équations simultanées de Picard dans les Comptes rendus du 7 septembre 1891 (Picard 1891c)

  2. 2.

    Sur la recherche du nombre de racines communes à plusieurs équations simultanées de Picard dans les Comptes rendus du 16 novembre 1891 (Picard 1891b)

  3. 3.

    Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées de Kronecker dans les Comptes rendus du 28 décembre 1891 (Kronecker 1891b)

  4. 4.

    Du nombre de racines communes à plusieurs équations simultanées de Picard dans les Comptes rendus du 28 décembre 1891 (Picard 1891a)

  5. 5.

    Sur le nombre de racines communes à plusieurs équations simultanées. de Picard en 1892 dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées (Picard 1892)

  6. 6.

    Sur une extension du théorème de Sturm de Lars Edvard Phragmén dans les Comptes rendus en 1892 (Phragmén 1892)

  7. 7.

    Tome 2 du Traité d’analyse de Picard publié en 1893. (Picard 1891d)

  8. 8.

    Sur la détermination du nombre de racines communes à un système d’équations simultanées et sur le calcul de la somme des valeurs d’une fonction en ces points. de Walter Dyck dans les Comptes rendus en 1894 (Dyck 1894)

  9. 9.

    Sur les racines communes à plusieurs équations de Walter Dyck dans les Comptes rendus en 1895 (Dyck 1895)

  10. 10.

    Deuxième édition du Tome 1 du Traité d’analyse de Picard en 1901 (Picard 1891d)

  11. 11.

    Teorema di Sturm e sue estensioni de Gaspare Mignosi en 1925 (Mignosi 1925)

B Picard et la «science allemande»

En 1916, Picard publie un document intitulé L’histoire des sciences et les prétentions de la science allemande. Dans ce long article, qui est clairement un texte de propagande ayant pour but d’exacerber les sentiments patriotiques du lecteur, il réécrit l’histoire des sciences, et en particulier l’histoire des mathématiques. Pendant plus de cinquante pages, il s’évertue à montrer que les scientifiques allemands n’ont non seulement rien inventé, mais ont une tendance certaine à s’approprier les résultats des chercheurs des autres pays, et en particulier des Français. Si l’on s’en tient aux mathématiciens du xix\(^\text {e}\) siècle – et on ne peut pas soupçonner Picard de ne pas connaître leur travail – il ne citera que deux mathématiciens allemands: Weierstrass qui «conduit [ses lecteurs] en tenant une lanterne sourde» et Gauss, dont «plus d’un passage constitue une énigme à déchiffrer» (Picard 1916, 22). Le contexte de la Première Guerre mondiale, et donc le conflit entre la France et l’Allemagne impose bien sûr une lecture prudente de ce texte, qui est avant tout un texte de propagande. Cependant, si l’attribution de telle ou telle qualité ou défaut en fonction de la nationalité est fantaisiste, ce que Picard y décrit comme étant de la bonne ou de la mauvaise mathématique doit correspondre à son propre ethos de la science. Ainsi, aux mathématiciens allemands, même à ceux que «personne ne se donnerait le ridicule de vouloir diminuer» il reproche un certain obscurantisme (Picard 1916, 19). Et il est vrai que les articles de Kronecker, s’ils ne sont pas complétés par la lecture des cours qu’il a donnés à l’université, sont, par leur densité, d’un accès malaisé (Vergnerie 2019, 92–93). Un autre reproche que Picard adresse à la «science allemande» peut être résumé par la phrase suivante:

La difficulté à juger de l’importance réelle des problèmes fait parfois attacher un grand prix à des questions purement formelles sans intérêt pour le fond. (Picard 1916, 23)

Que la «science allemande» , quelle que soit la signification de l’expression, témoigne ou non de ce travers n’a aucune importance. Ce qui ressort de ce texte, c’est que Picard voit cette difficulté comme l’un des problèmes à surmonter lorsque l’on pratique les sciences pures. On ne peut donc pas se contenter d’expliquer la controverse dont il est question dans cet article par la différence, très formelle, entre les formules données par Kronecker et celles produites par Picard, ni plaider uniquement la mauvaise foi de Picard, qui est certes réelle, mais pas suffisante.

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Vergnerie, C. Une controverse entre Émile Picard et Leopold Kronecker. Arch. Hist. Exact Sci. 74, 131–164 (2020). https://doi.org/10.1007/s00407-019-00241-z

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